暑假预习江苏省盐城市盐都县八年级数学上册第6讲全等三角形的判定之AAS讲义新版苏科版
人教版数学八年级上册12.2三角形全等的判定ASA、AAS说课稿
在教学过程中，我预见到以下问题或挑战：1.学生对ASA、AAS判定条件的理解可能不够深入；2.学生在解决实际问题时，可能难以找到符合判定条件的元素；3.部分学生可能因缺乏自信，不愿主动参与课堂讨论。
为应对这些问题，我将采取以下措施：1.通过直观教具和动画演示，加深学生对判定条件的理解；2.设计具有层次性的问题，引导学生逐步深入思考；3.鼓励学生参与课堂，及时给予积极评价，增强学生的自信心。
3.实践活动：让学生利用ASA、AAS判定方法，测量并计算实际生活中的一些几何图形，如窗户的面积、三角形的边长等，将所学知识应用于实际。
（四）总结反馈
在总结反馈阶段，我将引导学生进行以下自我评价：
1.让学生回顾本节课所学的内容，总结ASA、AAS判定方法的要点。
2.邀请学生分享自己在解决问题过程中的心得体会，以及在小组讨论中的收获。
（二）学习障碍
学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的基本概念、全等三角形的定义及SSS、SAS判定方法。然而，他们在学习ASA、AAS判定方法时可能遇到以下障碍：1.对ASA、AAS判定条件的理解不够深入，容易混淆；2.在实际应用中，难以准确找到符合ASA、AAS判定条件的元素；3.证明过程中，逻辑推理能力不足，导致证明过程不严谨。
自主探究：鼓励学生独立思考、发现问题，培养他们解决问题的能力，增强学生的学习主动性和创造性。
合作学习：通过小组讨论、互助合作，促进学生之间的交流与分享，提高学生的团队协作能力和沟通能力。
（二）媒体资源
在教学过程中，我将使用以下教具、多媒体资源和技术工具：
1.教具：三角板、量角器等，用于直观展示全等三角形的判定过程，帮助学生理解几何定理。
（三）学习动机
为了激发学生的学习兴趣和动机，我将采取以下策略或活动：
江苏省盐城市鞍湖实验学校八年级数学上册 暑期预习讲义 第一章 第6课时 探究三角形全等的条件
第6课时探讨三角形全等的条件预习目标1．经历探讨三角形全等“角角边”条件的进程，体会通过操作、归纳取得数学结论的进程．2．把握三角形全等的“角角边”条件，并能运用“角角边”判定两个三角形全等．3．能够进一步结合具体问题和情境进行有层次的试探和简单的推理证明．4．进一步学会文字语言、符号语言和图形语言的表达和彼此转化．教材导读阅读教材P19～P20内容，回答以下问题：1．三角形全等的条件——“角角边”两_______别离相等且其中一组_______的对边相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“_______”）．2．体验三角形全等的“角角边”条件(1)观看与发觉：在如图①与图②中，∠B_______∠E，∠C_______∠F，AB_______DE；在如图①与图③中，∠B_______∠E，∠C_______∠F，AB_______DE；在如图①与图④中，∠B_______∠E，∠C_______∠F，AB_______DE（填“＝”或“≠”）．(2)结论：图_______与图_______中的两个三角形全等．例题精讲例1 如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF．求证：(1)△ABC≌△DEF．(2) BE＝CF．提示：(1)依照已知条件，要证明△ABC∽△DEF，已经具有“AB＝DE，∠A＝∠D”，而由AC∥DF，能够取得∠ACB＝∠F，因此运用“AAS”证明△ABC≌△DEF．(2)依照全等三角形的性质可知BC＝EF，即可推出BE＝CF．解答：(1)∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F．在△ABC和△DEF中，点评：此题考查运用“AAS”证明两个三角形全等，并运用全等三角形的性质确信对应边的相等关系．例2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．求证：DE＝AD－BE．提示：依照垂直的概念和等量代换，可知∠CBE＝∠ACD，再由BE⊥CE，AD⊥CE取得∠BEC＝∠CDA＝90°，最后依照BC＝AC，运用“AAS”可证得△BEC≌△CDA．依照全等三角形的对应边相等，可知CE＝AD，BE＝CD，从而证得DE＝AD－BE．点评：此题考查运用“AAS”证明两个三角形全等，并运用全等三角形的性质确信图中边与边之间的等量关系，渗透了转化的数学思想．热身练习1．如图，已知△ABC的六个元素，以下甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的是( )A．甲、乙B．甲、丙C．乙、丙D．乙2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，AC、BD交于点O，那么以下结论正确的选项是( ) A．AB＝BC，CD＝AD B．BO＝DO，AO＝COC．AD＝BC，AC＝BD D．AB＝AD，AC＝BD3．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，那么图中全等的三角形有_____________________．4．如图，∠BAC＝∠ABD，请你添加一个条件：_______，使OC＝OD(填一个即可)．5．如图，AD∥BC，∠A＝90°，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交射线AD与点E，连接BE，过点C 作CF ⊥BE，垂足为F．求证：AB＝FC．6．如图，AC、BD相互平分于点O，过点O的直线别离交AB、CD于点E、F，那么OE与OF相等吗？什么缘故？。
新版湘教版秋八年级数学上册第二章三角形课题全等三角形的判定(AAS)说课稿
新版湘教版秋八年级数学上册第二章三角形课题全等三角形的判定(AAS)说课稿一. 教材分析湘教版秋八年级数学上册第二章三角形课题全等三角形的判定(AAS)，这部分内容是三角形全等判定方法的一个补充。
学生在学习了SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法后，能够更加全面地理解和掌握三角形全等的判定。
AAS判定方法是指两个三角形中，两角对应相等，且其中一个角的对边也对应相等，则这两个三角形全等。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了三角形的全等判定，对于全等的概念和判定方法有一定的了解。
但是，学生在实际运用中可能会混淆各种判定方法，对判定条件的理解不够深入。
因此，在教授AAS判定方法时，需要帮助学生巩固已学的知识，提高他们的实际运用能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握全等三角形的判定方法AAS，能够运用AAS判定两个三角形是否全等。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主探索并发现AAS判定方法，培养学生的动手操作能力和抽象思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点：全等三角形的判定方法AAS。
2.教学难点：对AAS判定条件的理解和运用，以及与其他判定方法的区分。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、黑板等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入：通过复习已学的全等三角形判定方法（SSS、SAS、ASA），引导学生思考是否还有其他判定方法。
2.新课讲解：介绍AAS判定方法，通过示例让学生观察、分析，引导学生发现并归纳AAS判定条件。
3.案例分析：提供一些三角形全等的案例，让学生运用AAS判定方法进行判断，巩固所学知识。
4.练习与拓展：布置一些练习题，让学生独立完成，检测对AAS判定方法的理解和运用。
同时，引导学生思考如何将AAS与其他判定方法结合起来运用。
【精品】八年级上册数学 三角形全等AAS和ASA 讲义
三角形全等（ASA ，AAS ）全等三角形判定二（基础）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“角边角”，判定方法4——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等． 【要点梳理】要点一、全等三角形判定3——“角边角” 全等三角形判定3——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）. 要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定4——“角角边” 1.全等三角形判定4——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE ∥BC ，那么∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，又∠A ＝∠A ，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、全等三角形的判定3——“角边角”1、已知：如图，E，F在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B．求证：AE＝CF．举一反三：1.如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，AD∥BC，求证：△ADF≌△CBE．2.已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM.类型二、全等三角形的判定4——“角角边”例2、已知：如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．求证：AD＝AC．举一反三：1.如图，AD是△ABC的中线，过C、B分别作AD及AD的延长线的垂线CF、BE.求证：BE＝CF.2、已知：如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝DC．（1）求证：AC与BD互相平分；（2）若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，求证：OE＝OF.类型三、全等三角形判定的实际应用例4、要测量河两岸相对两点A ，B 间的距离，先在过点B 的AB 的垂线上取两点C 、D ，使CD=BC ，再在过点D 的l 的垂线上取点E ，使A 、C 、E 三点在一条直线上，这时ED 的长就是A ，B 两点间的距离．你知道为什么吗？说说你的理由．堂上练习：1．如图，ABC ∆和DEF ∆中，下列能判定ABC ∆≌DEF ∆的是（ ） A ．DF AC =，EF BC =，D A ∠=∠ B ．E B ∠=∠，F C ∠=∠，DF AC = C ．D A ∠=∠，E B ∠=∠，F C ∠=∠ D ．E B ∠=∠，F C ∠=∠，DE AC = 2．如图为打碎的一块三角形玻璃，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（ ）A ．带①去B ．带②去C ．带③去D ．带①和②去 3．如图，BC AD =，BD AC =，则图中全等三角形有（ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对4．如图，21∠=∠，AD AB =，若想使ABC ∆≌ADE ∆，则需增加一个条件，你增加的条件为： .并加以证明. 5．如图，已知21∠=∠，43∠=∠求证：BE BD =6.如图，∠A = ∠D ，∠DBC = ∠ACB 。
八年级数学上册教学课件《用“ASA”或“AAS‘判定三角形全等》
练习2 判断.
a.有两条边和一个角对应相等的两个三角形
全等.
（× ）
b.有两个角和一条边对应相等的两个三角形
全等.
（√ ）
基础巩固
随堂演练
1.如图，已知AB = DC，AD = BC，E、F是DB 上的两点且BF = DE.若∠AEB = 120°，∠ADB =
30°，则∠BCF =（ D ）
A.150° B.40°
12.2 三角形全等的判定
第3课时用“ASA”或“AAS”判定三角形全等
八年级上册
新课导入
• 一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了， 如图，你能制作一张与原来形状大小相同的三 角形硬纸板吗？下面我们带着这个问题学习判 定三角形全等的两个重要方法.
• 学习目标： 1．能叙述出“角边角”定理. 2．能运用“角边角”定理解决简单的推理证明 问题.
A
D
F E
B
C
练习1 如图，EA⊥AB，DB⊥AB，∠ACE =∠BDC，AE =BC，试判断CE与CD的关系.
解：∵EA⊥AB，DB⊥AB， ∴∠A =∠B =90°，在△ACE和△BDC中，
∠ACE =∠BDC， ∠A =∠B， AE =BC， ∴△ACE ≌△BDC（AAS）．
∴CE =CD .
归纳概括“AAS”判定方法: 两角分别相等且其中一组等角的对边相等 的两个三角形全等（简写为“角角边”或 “AAS”）．
也就是说，三角形的两个角的大小和其中一 个角的对边的长度确定了，这个三角形的形状、 大小就确定了.
问题2 如图，AE⊥BE，AD⊥DC，CD =BE，
∠DAB =∠EAC．求证：AB =AC．
拓展延伸
5.如图，点 E、F 在BD上，且 AB = CD，
八年级数学上册《全等三角形的判定AAS》教案、教学设计
3.结合教材中的例题，逐步引导学生掌握AAS判定方法的步骤，如：先确定两个角相等，再找到它们之间的夹边，最后判断另一个角是否相等。
4.强调在运用AAS判定方法时，要注意元素的对应关系，避免出现错误。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我会将学生分成若干小组，每组4-6人。然后给出几个具有挑战性的问题，让学生在小组内进行讨论，共同解决问题。
3.教学评价：
-采用多元化的评价方式，包括课堂问答、小组讨论、课后作业和阶段测试，全面评估学生的学习效果；
-关注学生的学习过程，鼓励学生自我评价和同伴评价，培养学生的自我监控和反思能力；
-根据学生的个体差异，提供个性化的反馈和指导，帮助学生克服困难，提高学习效果。
4.教学资源：
-利用多媒体教学资源，如几何画板、教学视频等，丰富教学内容，提高学生的学习兴趣；
针对以上学情，本章节教学设计将注重分层教学，关注学生的个体差异，通过多样化的教学手段和丰富的教学活动，提高学生对全等三角形判时，关注学生的情感需求，营造宽松、和谐的学习氛围，使学生在愉快的氛围中学习数学。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
2.提高题：给出一个复杂的几何图形，要求学生找到符合AAS判定条件的两个全等三角形。
3.应用题：运用全等三角形的性质解决实际问题，如计算图形的面积、求线段长度等。
（五）总结归纳
在总结归纳环节，我会引导学生回顾本节课所学内容，总结全等三角形的判定方法，特别是AAS判定方法的原理和步骤。
1.让学生用自己的语言概括AAS判定方法的要点，加深理解。
1.教学重点：
-掌握AAS判定全等三角形的方法；
人教版数学八年级上册《全等三角形判定(SAS、AAS)》说课稿
人教版数学八年级上册《全等三角形判定（SAS、AAS）》说课稿一. 教材分析人教版数学八年级上册《全等三角形判定（SAS、AAS）》这一节的内容，是在学生已经掌握了三角形的基本概念、性质和三角形的全等条件SSS、HL的基础上进行讲解的。
本节课的主要内容是引导学生探究并掌握全等三角形的判定方法SAS和AAS，并通过例题和练习题让学生巩固所学知识。
SAS判定法是指，如果两个三角形中，一边和它的两个角分别与另一个三角形中的一边和它的两个角相等，那么这两个三角形全等。
AAS判定法是指，如果两个三角形中，两个角和它们之间的夹边分别与另一个三角形中的两个角和它们之间的夹边相等，那么这两个三角形全等。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和探索能力，对于三角形的基本概念和性质有一定的了解。
但是，对于全等三角形的判定方法SAS和AAS的理解和应用还需要通过本节课的学习来进一步提高。
此外，学生可能对于证明过程的书写和逻辑推理还需要进一步的指导和练习。
三. 说教学目标1.让学生理解并掌握全等三角形的判定方法SAS和AAS。
2.培养学生的逻辑思维能力和探索能力。
3.通过对例题和练习题的分析和解答，提高学生运用全等三角形的判定方法解决问题的能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：全等三角形的判定方法SAS和AAS的理解和应用。
2.教学难点：对于全等三角形判定方法的灵活运用和证明过程的书写。
五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主探究和合作交流来理解和掌握全等三角形的判定方法。
2.使用多媒体课件和实物模型辅助教学，帮助学生直观地理解全等三角形的判定方法。
3.通过例题和练习题的分析和解答，让学生亲自动手操作，提高学生的实践能力。
六. 说教学过程1.导入：通过复习已学过的全等三角形的判定方法SSS和HL，引出本节课要学习的新内容SAS和AAS。
2.探究：让学生自主探究全等三角形的判定方法SAS和AAS，引导学生通过观察、分析和推理来得出判定方法。
12.2.4 三角形全等的判定4(AAS)人教版数学八年级上册同步精品讲义
专题12.2.4 三角形全等的判定4（AAS ）1. 经历探索三角形全等条件的过程，掌握和会用“AAS ”条件判定两个三角形全等；2. 使学生经历探索三角形全等的过程，体验操作、归纳得出数学结论的方法.3. 通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生观察分析图形的能力及运算能力，培养学 生乐于探索的良好品质以及发现问题的能力.知识点01三角形全等的判定4：（AAS ）知识点三角形全等的判定4：角角边（AAS ）文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等；图形：符号：在与中，【微点拨】1.方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．2.全等三角形对应边上的高也相等.【知识拓展1】角角边判定三角形全等的条件例1．（2021•覃塘区八年级期末）如图，点A ，B ，C ，D 在同一直线上，∠AEC ＝∠DFB ，AB ＝DC ，请补充一个条件： ，能使用“AAS ”的方法得△ACE ≌△DBF．【分析】根据全等三角形的判定定理添加条件，答案不唯一．【解答】解：∵AB＝DC，∴AB+BC＝DC+BC，即AC＝DB．在△ACE与△DBF中，∠AEC＝∠DFB、AC＝DB，所以添加∠A＝∠D可以使用“AAS”的方法得△ACE≌△DBF．故答案是：∠A＝∠D．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．【即学即练】1．（2021•句容市八年级月考）如图，已知∠ABC＝∠DCB，若添加条件 ，则可由AAS证明△ABC≌△DCB；若添加条件 ，则可由SAS证明△ABC≌△DCB；若添加条件 ，则可由ASA证明△ABC ≌△DCB．【分析】由于∠ABC＝∠DCB，再加上公共边，当利用“AAS”进行判断时可加∠A＝∠D；当利用“SAS”进行判断时可加AB＝DC；当利用“ASA”进行判断时可加∠ACB＝∠DBC．【解答】解：当∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，当AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合SAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，当∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DCB；故答案为：∠A＝∠D，AB＝DC，∠ACB＝∠DBC．【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．【知识拓展2】利用AAS判定三角形全等（实际应用）例2．（2021•南关区八年级期末）如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝1.5m．点A到地面的距离AE＝1.5m，当他从A处摆动到A′时，有A′B⊥AB．（1）求A'到BD的距离；（2）求A'到地面的距离．【分析】（1）作A'F⊥BD，垂足为F，根据全等三角形的判定和性质解答即可；（2）根据全等三角形的性质解答即可．【解答】解：（1）如图2，作A'F⊥BD，垂足为F．∵AC⊥BD，∴∠ACB＝∠A'FB＝90°；在Rt△A'FB中，∠1+∠3＝90°；又∵A'B⊥AB，∴∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠3；在△ACB和△BFA'中，，∴△ACB≌△BFA'（AAS）；∴A'F＝BC∵AC∥DE且CD⊥AC，AE⊥DE，∴CD＝AE＝1.5；∴BC＝BD﹣CD＝2.5﹣1.5＝1（m），∴A'F＝1（m），即A'到BD的距离是1m．（2）由（1）知：△ACB≌△BFA'∴BF＝AC＝1.5m，作A'H⊥DE，垂足为H．∵A'F∥DE，∴A'H＝FD，∴A'H＝BD﹣BF＝2.5﹣1.5＝1（m），【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【即学即练】2.（2022•嘉定区八年级期末）如图，两车从路段MN的两端同时出发，以相同的速度行驶，相同时间后分别到达A，B两地，两车行进的路线平行．那么A，B两地到路段MN的距离相等吗？为什么？【分析】要判断A，B两地到路段MN的距离是否相等，可以由条件证明△AEM≌△BFN，再根据全等三角形的性质就可以的得出结论．【解答】解：A，B两地到路段MN的距离相等．理由：∵AE⊥MN，BF⊥MN，∴∠AFN＝∠AEM＝90°．∵AM∥BN，∴∠M＝∠N．在△AEM和△BFN中，，∴△AEM≌△BFN（AAS），∴AE＝BF．∴A，B两地到路段MN的距离相等．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，点到直线的距离的理解，在解答时弄清判断三角形全等的条件是关键．【知识拓展3】利用AAS证明三角形全等（求线段的长度）例3．（2022·黑龙江黑河·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=7cm，CE=5cm，则DE=________cm．【答案】12【分析】用AAS证明△ABD≌△CAE，得AD=CE，BD=AE，得到DE=BD+CE=7+5=12cm．【详解】∵∠BAC＝90°，∠ADB＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠EAC＝∠ABD，∵AB＝AC，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝CE+BD＝12cm．故答案为：12．【点睛】本题主要考查了三角形全等，解决问题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质．【即学即练1】3．（2022·陕西·武功县教育局教育教学研究室七年级期末）如图，E是的边的中点，过点C作，过点E作直线交于D，交于F，若，则的长为__________．【答案】2.5【分析】根据平行线性质得出∠ADE=∠F，∠FCE=∠A，求出AE= EC，根据AAS证△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质推出即可．【详解】证明：∵CF//AB，∴∠ADE=∠F，∠FCE=∠A，∵点E为AC的中点，∴AE= EC，在△ADE和∆CFE中，∴△ADE≌∆CFE(AAS)，∴AD= CF= 6.5，∵AB= 9，∴BD= AB- AD=9- 6.5= 2.5，故答案为： 2.5．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，注意：全等三角形的对应边相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．【知识拓展4】利用AAS证明三角形全等（求角的度数）例4．（2022·山东·八年级期末）如图，点D在边AC上，BC与DE交于点P，，，∠CDE＝∠ABD．(1)与全等吗？为什么？(2)已知，，求的度数．【答案】(1)，见解析；(2)【分析】（1）通过三角形内角和为，可以得到∠CDE＝∠CBE，通过找角的关系可以得到∠ABC＝∠DBE，又因为，即可证明．（2）在（1）问的证明中我们可以证得∠ABD＝∠CBE=∠CDE，即可解题．(1)．理由：∵∠C＝∠E，∠CPD＝∠EPB，∴，∴∠CDE＝∠CBE，∵∠CDE＝∠ABD，∴∠CBE＝∠ABD，∴∠CBE＋∠CBD＝∠ABD＋∠CBD，即∠ABC＝∠DBE，又∵∠C＝∠E，AB＝DB，∴．(2)∵∠ABE＝157°，∠DBC＝27°，∴，∴∠CDE＝∠CBE＝65°．【点睛】本题考查了全等三角形的证明，熟记对顶角相等，熟练掌握运用全等三角形的判定定理是解答本题的关键．【即学即练2】2．（2021•迁安市期中）如图，在△ABC中，∠A＝62°，∠ABC＝90°，点D在AC上，连接BD，过点D作ED⊥BD，垂足为D，使DE＝BC，连接BE，若∠C＝∠E．（1）求证：AB＝BD；（2）若∠DBC＝34°，求∠BFE的度数．【分析】（1）根据三角形内角和定理得出∠A＝∠DBE，再根据AAS证出△ABC≌△BDE，即可得出AB＝BD；（2）根据已知条件和△ABC≌△BDE，得出∠DBE＝62°，再根据∠DBC＝34°，求出∠FBE的度数，最后根据三角形内角和定理即可得出答案．【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠C＝90°，∵ED⊥BD，∴∠BDE＝90°，∵∠C＝∠E，∴∠A＝∠DBE，在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴AB＝BD；（2）∵∠A＝62°，∠ABC＝90°，∴∠C＝∠E＝28°，∵ED⊥BD，∴∠BDE＝90°，∴∠DBE＝62°，∵∠DBC＝34°，∴∠FBE＝28°，∴∠BFE＝180°﹣∠E﹣∠FBE＝180°﹣28°﹣28°＝124°．【点评】此题考查全等三角形的判定与性质以及三角形的内角和定理，关键是根据AAS证出△ABC≌△BDE．【知识拓展5】利用AAS证明三角形全等（证明类）例5．（2021•沙坪坝区校级期中）如图，BD是△ABC中AC边上的中线，过点C作CE∥AB，交BD的延长线于点E，F为△ABC外一点，连接CF、DF，且DE＝DF、∠ADF＝∠CDE．求证：（1）△ABD≌△CED；（2）CA平分∠BCF．【分析】（1）由平行线的性质得出∠ABD＝∠CED，∠BAD＝∠DCE，根据AAS可证明△ABD≌△CED；（2）证明△BDC≌△FDC（SAS），由全等三角形的性质得出∠BCD＝∠FCD．【解答】证明：（1）∵CE∥AB，∴∠ABD＝∠CED，∠BAD＝∠DCE，∵BD是△ABC中AC边上的中线，∴AD＝CD，在△ABD和△CED中，，∴△ABD≌△CED（AAS）；（2）∵△ABD≌△CED，∴BD＝DE，又∵DE＝DF，∴BD＝DF，∵∠ADF＝∠CDE，∠CDE＝∠ADB，∴∠ADB＝∠ADF，∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠ADF，∴∠BDC＝∠FDC，在△BDC和△FDC中，，∴△BDC≌△FDC（SAS），∴∠BCD＝∠FCD，∴CA平分∠BCF．【点评】本题考查了平行线的性质，角分线的判定，中线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【即学即练5】5．（2022·浙江·瑞安市八年级阶段练习）如图，在中，，，平分，，垂足为点E，和的延长线交于点F．（1）求证：．（2）求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）首先根据同角的余角相等得到，然后根据AAS证明即可；（2）首先根据ASA 证明，然后得到FE=AE，结合（1）问结论根据全等三角形的性质即可证明．【详解】（1）∵∴∴∵∴∴在和中∴（AAS）（2）∵∴∵平分∴在和中∴（ASA）∴FE=AE∴∵∴CD=AF∴【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是先证明两个三角形全等，然后利用全等的性质证明．6．（2021•西城区八年级期末）如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，∠A＝∠E，AC＝ED．（1）求证：BC＝CD；（2）连接BD，求证：∠ABD＝∠EBD．【分析】（1）由“AAS”可证△ABC≌△ECD，可得BC＝CD；（2）由等腰三角形的性质可得∠CBD＝∠CDB，由平行线的性质和平角的性质可得结论．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCE，在△ABC和△ECD中，，∴△ABC≌△ECD（AAS），∴BC＝CD；（2）如图，连接BD，∵BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB＝180°，又∵∠CBD+∠EBD＝180°，∴∠ABD＝∠EBD．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．考法01 利用AAS 证明三角形全等（探究类）【典例1】（2022·山东烟台·七年级期末）如图1，已知中，，，、分别与过点的直线垂直，且垂足分别为E ，D ．(1)猜想线段AD 、、三者之间的数量关系，并给予证明．(2)如图2，当过点C 的直线绕点旋转到的内部，其他条件不变，如图2所示，①线段AD 、、三者之间的数量关系是否发生改变？若改变，请直接写出三者之间的数量关系，若不改变，请说明理由；②若，时，求的长．【答案】(1)，证明见解析(2)①发生改变，；② 1.3【分析】（1）证明，可得，CD＝BE，即可求解；（2）①证明，可得，CD ＝BE ， 即可求解；②由①可得，从而得到，即可求解．（1）解：， 理由如下：∵、分别与过点的直线垂直，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，，，CD ＝BE ，∵ DE ＝EC ＋CD ， ；（2）解：①发生改变．能力拓展∵、分别与过点的直线垂直，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，，，CD＝BE，∵DE＝CE-CD，∴；②由①知：，∴，∴BE的长为1.3.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等角的余角相等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．变式1．（2022•呼兰区八年级期中）如图，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F．（1）若∠ABF＝63°，求∠ADE的度数；（2）请直接写出线段BF、EF、DE三者间的数量关系．【分析】（1）证明△ABF≌△DAE，可得∠ABF＝∠DAE，由∠AED＝90°可求出∠ADE的度数；（2）由△ABF≌△DAE可得BF＝AE，DE＝AF，则可得结论BF+EF＝DE．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠BFA＝∠AED＝90°，∴∠ABF+∠BAF＝∠BAF+∠DAE＝90°，∴∠ABF＝∠DAE，∵AB＝AD，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴∠ABF＝∠DAE，∵∠AED＝90°，∴∠ADE＝90°﹣∠DAE＝90°﹣63°＝27°；（2）解：BF+EF＝DE．∵△ABF≌△DAE，∴BF＝AE，DE＝AF，∴AF＝DE＝AE+EF＝BF+EF．【点评】本题考查了平行线的性质，直角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．变式2．（2021•华容县八年级期末）如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC边上一动点（BP＜CP），分别过B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F．（1）求证：EF＝CF﹣BE．（2）若点P为BC延长线上一点，其它条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论．【分析】（1）由BE⊥AP，CF⊥AP可以得出∠AEB＝∠AFC＝90°，根据∠BAC＝90°就可以求出∠BAE＝∠ACF，就可以得出△ABE≌△CAF，而得出AE＝CF，BE＝AF得出结论；（2）如图2，同样由BE⊥AP，CF⊥AP可以得出∠AEB＝∠AFC＝90°，根据∠BAC＝90°就可以求出∠BAE ＝∠ACF，就可以得出△ABE≌△CAF，而得出AE＝CF，BE＝AF得出结论EF＝BE+CF．【解答】解：（1）证明：∵BE⊥AP，CF⊥AP，∴∠AEB＝∠AFC＝90°．∴∠FAC+∠ACF＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠FAC＝90°，∴∠BAE＝∠ACF．在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AE＝CF，BE＝AF．∵EF＝AE﹣AF，∴EF＝CF﹣BE；（2）EF＝BE+CF理由：∵BE⊥AP，CF⊥AP，∴∠AEB＝∠AFC＝90°．∴∠FAC+∠ACF＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠FAC＝90°，∴∠BAE＝∠ACF．在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AE＝CF，BE＝AF．∵EF＝AE+AF，∴EF＝BE+CF．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用．解答时证明三角形全等是解答本题的关键．考法02 全等中的坐标问题【典例2】（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中A（0，2），B（﹣1，0），以点A 为直角顶点，AB为直角边在第二象限内作等腰直角△ABC．(1)设点C的坐标为（a，b），求a+b的值．(2)求四边形OACB的面积．(3)在（1）的条件下，坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合），使△PAB与△ABC全等？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)1 (2)(3)存在，P的坐标是或或【分析】（1）如图1，作CE垂直于y轴，垂足为E，可知△ECA≌△OAB，知的长，得到的坐标，进而得到的值，进而得到的值；（2）如图2，作CE垂直于y轴，垂足为E，连接OC，，代线段值求解即可；（3）分为三种情况：①如图3，过P作PE垂直于x轴，垂足为E，∠PBA＝∠AOB＝∠PEB＝90°，△PEB ≌△BOA，得的值，进而表示的点坐标即可；②如图4，过C作CM垂直于x轴，垂足为M，过P作PE垂直于x轴，垂足为E，则∠CMB＝∠PEB＝90°，△CMB≌△BEP，得的值，进而表示的点坐标即可；③如图5，过P作PE垂直于x轴，垂足为E，则∠BEP＝∠BOA＝90°，△CMB≌△BEP，得的值，进而表示的点坐标即可．(1)解：如图1，作CE垂直于y轴，垂足为E，∴∠CEA＝90°∵A，B∴OA＝2，OB＝1∵∠BAC＝90°∴∠BAO+∠CAE＝90°∵∠ECA+∠CAE＝90°∴∠ECA＝∠BAO在△ECA和△OAB中∴△ECA≌△OAB（AAS）∴CE＝AO＝2，AE＝BO＝1即OE＝EA+OA＝3∴C点坐标为∴∴．(2)解：如图2，作CE垂直于y轴，垂足为E，连接OC，．(3)解：存在点P，使△PAB与△ABC全等；分为三种情况：①如图3，过P作PE垂直于x轴，垂足为E，则∠PBA＝∠AOB＝∠PEB＝90°，∴∠EPB+∠PBE＝90°，∠PBE+∠ABO＝90°∴∠EPB＝∠ABO在△PEB和△BOA∴△PEB≌△BOA（AAS）∴PE＝BO＝1，EB＝AO＝2∴，即P的坐标是；②如图4，过C作CM垂直于x轴，垂足为M，过P作PE垂直于x轴，垂足为E，则∠CMB＝∠PEB＝90°，∵△CAB≌△PAB∴∠PBA＝∠CBA＝45°，BC＝BP∴∠CBP＝90°∴∠MCB+∠CBM＝90°，∠CBM+∠PBE＝90°∴∠MCB＝∠PBE在△CMB和△BEP中∴△CMB≌△BEP（AAS）∴PE＝BM，CM＝BE∵∴PE＝1，OE＝BE﹣BO＝3﹣1＝2即P的坐标是；③如图5，过P作PE垂直于x轴，垂足为E，则∠BEP＝∠BOA＝90°，∵△CAB≌△PBA∴AB＝BP，∠CAB＝∠ABP＝90°∴∠ABO+∠PBE＝90°，∠PBE+∠BPE＝90°∴∠ABO＝∠BPE在△BOA和△PEB中∴△BOA≌△PEB（AAS）∴PE＝BO＝1，BE＝OA＝2，∴OE＝BE+BO＝2+1＝3，即P的坐标是；综合上述，符合条件的P的坐标是或或．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角坐标系中的点坐标．解题的关键在于全面考虑三角形全等的可能情况．变式1．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，5），则A点的坐标是_____．【答案】（-7，3）【分析】先作辅助线、，通过导角证明，再证明，得到AD的长度(A的纵坐标长度)、DC长度(加上OC得到A横坐标长度)，根据A点所在象限的符号，确定A点坐标．【详解】如图，过点A作于点D，过点B作于点E点C的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(1，5)OC=2，OE=1，BE=5在和中，A点的坐标是(-7，3) ．【点睛】本题考查了全等三角形的证明(在两个三角形中，如果有两组对应角，和其中一组对应角的对边分别相等，那么这两个三角形全等) ．变式2.（2022·福建宁德·八年级期中）在平面直角坐标系中，等腰直角顶点、分别在轴、轴上，且，．(1)如图1，当，，点在第四象限时，直接写出点的坐标．(2)如图2，当点在轴正半轴上运动，点在轴正半轴上运动，点在第四象限时，作轴于点，求，，之间的关系．【答案】(1)（3，-1）(2)a＋m＋n=0，理由见解析【分析】（1）作BD⊥x轴于D，证明△AOC≌△CDB（AAS），可得AO=CD=2，OC=BD=1，根据点在第四象限，即可求解．（2）作BE⊥x轴于E，证明△CEB≌△AOC（AAS），可得AO=CE=a，BE=CO，根据点在第四象限时，即可求解．（1）解：点B的坐标为（3，-1）．理由如下：作BD⊥x轴于D，∴∠AOC=90°=∠BDC，∴∠OAC＋∠ACO=90°，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠ACO＋∠BCD=90°，∴∠OAC=∠BCD，在△AOC和△CDB中，，∴△AOC≌△CDB（AAS），∴AO=CD，OC=BD，∵A（0，-2），C（1，0），∴AO=CD=2，OC=BD=1，∴OD=3，∵B在第四象限，∴点B的坐标为（3，-1）；（2）解：a＋m＋n=0．证明：作BE⊥x轴于E，∴∠BEC=∠AOC=90°，∴∠1＋∠2=90°，∵∠ACB=90°，∴∠1＋∠3=90°，∴∠2=∠3，在△CEB和△AOC中，，∴△CEB ≌△AOC （AAS ），∴AO =CE =a ，BE =CO ，∵BE ⊥x 轴于E ，∴BEy 轴，∵BD ⊥y 轴于点D ，EO ⊥y轴于点O ，∴EO =BD=m ，∴BE =-n ，∴a ＋m =-n ，∴a＋m ＋n =0．【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，第四象限点的坐标特征，数形结合是解题的关键．题组A 基础过关练1．（2021·河南洛阳·八年级期中）已知：如图，，，要使，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理合适的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用全等三角形的判定方法分别进行分析即可．【详解】解：、添加条件判定用的判定方法是，故原题说法正确，符合题意；、添加条件不能判定，故原题说法错误，不符合题意；、添加条件判定用的判定方法是，故原题说法错误，不符合题意；、添加条件判定用的判定方法是，故原题说法错误，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．解题的关键是注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2.（2022•东台市期中）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC 的是（ ）分层提分A．AB＝6，BC＝5，∠A＝50°B．∠A＝50°，∠B＝80°，BC＝8C．AB＝5，BC＝6，AC＝13D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°【分析】根据全等三角形的判定方法判断即可．【解答】解：A、已知AB、BC和BC的对角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；B、已知两角和一边，能画出唯一△ABC，故本选项符合题意；C、∵AB+BC＝5+6＝11＜AC，∴不能画出△ABC；故本选项不符合题意；D、根据∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；一般三角形全等的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．3．（2021·北京市师达中学八年级期中）如图，AE⊥AB且，BC⊥CD且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是（）A．30B．32C．35D．38【答案】B【分析】根据角的和差关系可得∠AEF=∠BAG，利用AAS可证明△AEF≌△BAG，可得AF=BG，EF=AG，同理可证明△CDH≌△BCG，可得CH=BG，CG=DH，即可得出FH、AC的长，根据实线所围成的图形的面积=S梯形EFHD-2S△ABC，利用梯形和三角形面积公式即可得答案．【详解】∵AE⊥AB，EF⊥FH，∴∠AEF+∠EAF=90°，∠BAG+∠EAF=90°，∴∠AEF=∠BAG，在△AEF和△BAG中，，∴△AEF≌△BAG，∴AF=BG=2，EF=AG=5，同理可得：△CDH≌△BCG，∴CH=BG=2，CG=DH=3，∴FH=AF+AG+CG+CH=12，AC=AG+CG=8，∴实线所围成的图形的面积=S梯形EFHD-2S△ABC==32．故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形判定定理是解题的关键．4．（2021·山东烟台·九年级期中）数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作S△ABC，小颖画的三角形面积记作S△DEF，那么你认为( )A．S△ABC >S△DEF B．S△ABC <S△DEF C．S△ABC =S△DEF D．不能确定【答案】C【分析】在两个图形中分别作BC、EF边上的高，欲比较面积，由于底边相等，所以只需比较两条高即可．【详解】解：如图，过点A、D分别作AG⊥BC，DH⊥EF，垂足分别为G、H，在△ABG和△DHE中，AB=DE=5，∠B=50°，∠DEH=180°-130°=50°，∴∠B=∠DEH，∠AGB=∠DHE=90°，∴△AGB≌△DHE(AAS)，∴AG=DH．∵BC=4，EF=4，∴S△ABC=S△DEF．故选：C．【点睛】考查全等三角形的判定和性质，等底等高两三角形面积相等．证明△AGB≌△DHE是解题的关键．5．（2022春•蜀山区校级期中）如图，直线l上有三个正方形，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）A．55B．16C．6D．4【分析】根据正方形的性质，易证△BAC≌△ECD（AAS），可得AB＝CE，BC＝DE，根据a，c的面积以及勾股定理即可求出b的面积．【解答】解：根据题意，得AC＝CD，∠ABC＝∠CED＝∠ACD＝90°，∴∠BAC+∠BCA＝90°，∠BCA+∠ECD＝90°，∴∠BAC＝∠ECD，在△BAC和△ECD中，，∴△BAC≌△ECD（AAS），∴AB＝CE，BC＝DE，∵a，c的面积分别为5和11，∴AB2＝5，DE2＝11，∴BC2＝11，根据勾股定理，得AC2＝AB2+BC2＝5+11＝16，∴b的面积为16，故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及正方形的性质，勾股定理等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．6．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD ＝2，BE＝1．则DE＝________．【答案】1【分析】先证明△ACD≌△CBE，再求出DE的长，解决问题．【详解】解：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D∴∵∴∵∴∴，∴．故答案为：1【点睛】此题考查三角形全等的判定和性质，掌握再全等三角形的判定和性质是解题的关键．7．（2021秋•长春期末）如图，小张同学拿着老师的等腰直角三角尺，摆放在两摞长方体教具之间，∠ACB ＝90°，AC＝BC，若每个长方体教具高度均为6cm，则两摞长方体教具之间的距离DE的长为 cm．【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，根据全等三角形的性质进行解答．【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD＝BE，AD＝CE，∵DE＝CD+CE，∴DE＝BE+AD，∵一块长方体教具的厚度为6cm，∴AD＝24cm，BE＝18cm，∴两摞长方体教具之间的距离DE的长＝24+18＝42（cm）．故答案为：42．【点评】此题主要考查全等三角形的应用，以及勾股定理的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．8．（2022·天津蓟州·八年级期末）如图，已知相交于点O，AB CD．求证．【答案】见解析【分析】由AB CD推出，，由推出，再由推出，最后由判定出即可证得．【详解】证明：∵AB CD∴，∵又∵，∴∵又∵，∴在和中，∵∴（）∴【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理——，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键．9．（2022·安徽合肥·八年级期末）如图，在ABC和CDE中，点B、D、C在同一直线上，已知∠ACB=∠E ，AC=CE，AB DE，求证：ABC≌CDE．【答案】见解析【分析】根据平行线的性质得到，再根据全等三角形的判定证明即可．【详解】证明：∵，∴，在和△CDE中，，∴．【点睛】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．10.（2021•苏州期末）如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DFE；（2）求证：点O为BF的中点．【分析】（1）由“SAS”可证△ABC≌△DFE；（2）由“AAS”可证△ACO≌△DEO，可得EO＝CO，可得结论．【解答】证明：（1）∵AB∥DF，∴∠B＝∠F，∵BE＝CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（SAS）；（2）∵△ABC≌△DFE，∴AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，在△ACO和△DEO中，，∴△ACO≌△DEO（AAS），∴EO＝CO，∴点O为BF的中点．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．题组B 能力提升练1．（2021·广东·东莞市沙田实验中学八年级期中）如图，AB∥CD，AD∥BC，AE⊥BD，CF⊥BD垂足分别为E、F两点，则图中全等的三角形有（ ）A．1对B．2对C．3对D．4对【答案】C【分析】根据全等三角形的判定方法求解即可．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．【详解】解：∵AB∥CD，AD∥BC，∴，，∴在△ABD和△CDB中，∴；∴，，∴在△ABE和△CDF中，，∴；∴在△ADE和△CBF中，，∴，则图中全等的三角形有：△ABE≌△CDF，△ADE≌△CBF，△ABD≌△CDB，共3对．故选：C．【点睛】此题考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．2.（2021秋•苏州期末）如图，已知AD＝AB，∠C＝∠E，∠CDE＝55°，则∠ABE的度数为（ ）A．155°B．125°C．135°D．145°【分析】利用AAS证明△ACD≌△AEB即可得出答案．【解答】解：在△ACD和△AEB中，，∴△ACD≌△AEB（AAS），∴∠ABE＝∠ADC，∵∠CDE＝55°，∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝180°﹣55°＝125°，∴∠ABE＝∠ADC＝125°，故选：B．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．3．（2022·四川南充·八年级期末）如图，点B，C，E在同一直线上，且，，，下列结论不一定成立的是（）A ．B．C．D．【答案】D【分析】根据直角三角形的性质得出∠A=∠2，∠1=∠E，根据全等三角形的判定定理推出△ABC≌△CDE，再逐个判断即可．【详解】解：∵AC⊥CD，∴∠ACD=90°，∵∠B=90°，∴∠1+∠A=90°，∠1+∠2=90°，∴∠A=∠2，同理∠1=∠E，∵∠D=90°，∴∠E+∠2=∠A+∠E=90°，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴，∴选项A、选项B，选项C都正确；根据已知条件推出∠A=∠2，∠E=∠1，但是∠1=∠2不能推出，而∠BCD=90°+∠1，∠ACE=90°+∠2，所以不一定成立故选项D错误；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和直角三角形的性质，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：ASA，SAS，AAS，SSS，两直角三角形全等，还有HL．4．（2021·沙坪坝区·重庆南开中学七年级期中）如图，在中，、分别足边、上的点，是的一条角平分线．再添加一个条件仍不能证明的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据全等三角形的判定方法逐项分析即可．【详解】解：∵是的一条角平分线，∴∠ABD=∠EBD，A.在△ADB和△EDB中，∴△ADB≌△EDB，故A不符合题意；B.在△ADB和△EDB中，∴△ADB≌△EDB，故不符合题意；C.在△ADB和△EDB中，∴△ADB≌△EDB，故不符合题意；D.在△ADB和△EDB中，若添加，符合“SSA”，此方法不能判断△ADB≌△EDB，故符合题意；故选D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）是解题的关键．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．5．（2022·广东·深圳大学附属中学七年级期末）如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF．给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③ACN≌ABM；④CD＝DN．其中符合题意结论的序号是_____．【答案】①②③【分析】此题考查的是全等三角形的判定和性质的应用，只要先找出图中的全等三角形就可判断题中结论是否正确．【详解】∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，∴△ABE≌△ACF（AAS），∴AC=AB，BE=CF，即结论②正确；∵AC=AB，∠B=∠C，∠CAN=∠BAM，∴△ACN≌△ABM（ASA），即结论③正确；∵∠BAE=∠CAF，∵∠1=∠BAE-∠BAC，∠2=∠CAF-∠BAC，∴∠1=∠2，即结论①正确；∴△AEM≌△AFN（ASA），∴AM=AN，∴CM=BN，∵∠CDM=∠BDN，∠C=∠B，∴△CDM≌△BDN，∴CD=BD，无法判断CD=DN，故④错误，∴题中正确的结论应该是①②③．故答案为：①②③．【点睛】此题考查了三角形全等的判定和性质；对图中的全等三角形作出正确判断是正确解答本题的关键．5.（2022•南昌期中）如图，若AB⊥BC于点B，AE⊥DE于点E，AB＝AE，∠ACB＝∠ADE，∠ACD＝∠ADC ＝70°，∠BAD＝60°，则∠BAE的度数是 ．【分析】证明△ABC≌△AED（AAS），得出∠BAC＝∠EAD，根据三角形内角和定理即可得出答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠B＝∠E＝90°，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（AAS），∴∠BAC＝∠EAD，∵∠ACD＝∠ADC＝70°，∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣40°＝20°，∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝∠BAD+∠BAC＝80°；故答案为：80°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理；证明三角形全等是解题的关键．6.（2022•郫都区校级期中）如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，∠ABD＝∠BCE，且AD＝BE．（1）证明：①△ABD≌△ECB；②AD∥BC；（2）若BC＝15，AD＝6，请求出DE的长度．【分析】（1）①由AAS证明△ABD与△ECB全等即可；②根据全等三角形的性质和平行线的判定解答即可；（2）根据△ABD与△ECB全等的性质解答即可．【解答】（1）证明：①在△ABD与△ECB中，，∴△ABD≌△ECB（AAS）；②由①得，△ABD≌△ECB，∴∠ADB＝∠EBC，∴AD∥BC；（2）解：∵△ABD≌△ECB，∴BD＝BC＝15，BE＝AD＝6，∴DE＝BD﹣BE＝15﹣6＝9．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．7．（2022•雁塔区八年级月考）如图，AB＝AC，E在线段AC上，D在AB的延长线上，且有BD＝CE，连DE 交BC于F，过E作EG⊥BC于G，试判断FG、BF、CG之间的数量关系，并说明理由．【分析】在BC上截取GH＝GC，可得△EHC是等腰三角形，进而得出AB∥EH，再证△BDF≌△HEF （AAS），通过线段之间的转化即可得出结论．【解答】解：FG＝BF+CG，理由如下：在BC上截取GH＝GC，连接EH，如图所示：∵EG⊥BC，GH＝GC，∴HE＝EC，∴∠EHC＝∠C，又AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠EHC＝∠ABC，∴EH∥AB，∴∠DBF＝∠EHF，∠D＝∠DEH，∵BD＝CE，∴HE＝BD，。
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第6讲 全等三角形的判定之AAS
知识引入
我们上一讲提到过，三角形的角度决定了它的形状，边长决定了它的大小。
如果有两个三角形它们有两个内角分别相等的话，那么这两个三角形的形状就是一样的，如果再加上一条边相等的话，那么这两个三角形大小也相等了，也就是出现了全等。
我们一起来探索：
1、 全等三角形的第4条判定？
新知新讲
知识点1.角角边（AAS ）
我们已经知道，如果这两条边相等的话，这两个三角形是全等的，那这种情况怎么来描述呢？分两种情况讲解AAS ，两个角相等，并且其中一个等角的对边也相等。
我们称为角角边（AAS ）
B
A
B'
这就是全等三角形的第4条判定
如果两个三角形两个内角及其中一个角的对边相等，那么这两个三角形全等，简称“角角边（AAS ）” 例1：如图，点E 是四边形ABCD 对角线BD 上一点，连接四边形对角线AC ，且∠BAC =∠EAD ，∠ABE =∠ACD ，BE =CD .求证；AB =AC .
B
金题精讲
题一：如图，点A、B、D、E在同一直线上，AD=EB，BC∥DF，∠C=∠F．求证：AC=EF．
题二：已知：如图，AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，且AC=CE．求证：△ABC≌△CDE．
C
题三：以下的边角相等关系的缩写中，有（）个不能用于证明三角形全等
SAS ASA SSA AAS SSS AAA
A．0 B．1 C．2 D．
3
第6讲全等三角形的判定之AAS
新知新讲
例1：思路：由公共角得∠BAE=∠CAD，然后用AAS判定．
金题精讲
题一：思路：两种方法证明，法一，∠C=∠F，∠ABC=∠EDF，AB=DE；法二，∠C=∠F，∠A=∠E，AB=DE．
题二：思路：三个垂直得到两个角相等（AA），加上AC=CE得到全等．
题三：C．（SSA和AAA）。