山东省聊城市2015届高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题及答案
2015年山东省聊城市高考一模数学试卷【解析版】
2015年山东省聊城市高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设集合M＝{x|x2﹣x＜0}，N＝{x|﹣2＜x＜2}，则（）A．M∩N＝∅B．M∩N＝M C．M∪N＝M D．M∪N＝R 2．（5分）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∃x0∈R，lnx0＜0B．∃x0∈R，sin x0＜0C．∀x∈R，x3＞0D．∀x∈R，2x＞04．（5分）已知等轴双曲线C与椭圆+＝1有相同的焦点，则双曲线C的方程为（）A．2x2﹣2y2＝1B．﹣＝1C．x2﹣y2＝1D．﹣＝15．（5分）从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（）A．B．C．3D．6．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于（）A．13B．49C．35D．637．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图是两底边长分别为1，2的直角梯形，俯视图是斜边长为3的等腰直角三角形，该几何体体积是（）A．1B．2C．D．8．（5分）“a＝b”是“直线y＝x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝2相切”的（）A．充分必要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分又不必要条件9．（5分）已知实数x，y满足条件，则目标函数z＝+的取值范围为（）A．[2，]B．[，]C．[2，]D．[，2] 10．（5分）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）﹣mx＝0恰有3个不同的实数根，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，）B．（，+∞）C．（0，）D．（1，+∞）二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知两个单位向量，满足|+2|＝，则，的夹角为．12．（5分）将函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y ＝sin x的图象，则f（）＝．13．（5分）从区间（0，10）内任取一个实数x，执行如图所示的程序框图后，输出的结果大于55的概率为．14．（5分）设O是坐标原点，AB是圆锥曲线的一条不经过点O且不垂直于坐标轴的弦，M是弦AB的中点，k ab，k cm分别表示直线AB，OM的斜率，在圆x2+y2＝r2中，k ab•k cm＝﹣1，在椭圆+＝1（a＞b＞0）中，类比上述结论可得．15．（5分）我们把函数y＝f（x）图象上的点到坐标原点距离的最小值叫做函数y＝f（x）的“中心距离”，已知函数g（x）＝x+（a＞0）的“中心距离”不小于，则实数a的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝，b＝7，函数f（x）＝sin2x cos A﹣sin A sin2x（x∈R），且f（x）的最大值为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求△ABC的面积．17．（12分）为了了解某班同学喜爱打篮球是否与性别有关，对该班全体同学进行了问卷调查，统计调查结果得到如下列联表已知从该班全体同学中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为．（Ⅰ）求列联表中m，n的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法在喜欢打篮球的同学中抽取6名同学，然后再从这6名同学中任取2名同学，求所选2名同学中至少有1名女生的概率．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，侧面P AB⊥底面ABCD，P A＝AD＝AB，点M是PB的中点．（Ⅰ）求证：AM∥平面PDC（Ⅱ）求证：平面PDC⊥平面PBC．19．（12分）已知等差数列{a n}是递增数列，a3＝7，且a2，a4，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）设b n＝a n cos nπ（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．20．（13分）已知动圆M经过定点A（2，0），且在y轴上截得的弦长为4（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程（Ⅱ）设N（x0，0）是x轴上的定点，BD是经过N点的轨迹C的任意一条弦，若∠BAD恒为钝角，求x0的取值范围．21．（14分）已知函数f（x）＝（x2﹣2x+k）e x（e＝2.71828…是自然对数的底数）（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在x＝0处的切线与直线x+y＝0平行，求k的值（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间（Ⅲ）求函数f（x）在[0，2]上的最小值．2015年山东省聊城市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设集合M＝{x|x2﹣x＜0}，N＝{x|﹣2＜x＜2}，则（）A．M∩N＝∅B．M∩N＝M C．M∪N＝M D．M∪N＝R 【解答】解：集合M＝{x|x2﹣x＜0}＝（0，1），N＝{x|﹣2＜x＜2}＝（﹣2，2），∴M∩N＝（0，1）＝M，M∪N＝（﹣2，2）＝N，故选：B．2．（5分）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：＝∴复数的共轭复数是1+i故选：A．3．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∃x0∈R，lnx0＜0B．∃x0∈R，sin x0＜0C．∀x∈R，x3＞0D．∀x∈R，2x＞0【解答】解：A．取，则＝﹣1＜0，因此是真命题；B．取x0＝，则＝﹣＜0，因此是真命题；C．取x≤0，则x3≤0，因此是假命题；D．∀x∈R，2x＞0，是真命题．故选：C．4．（5分）已知等轴双曲线C与椭圆+＝1有相同的焦点，则双曲线C的方程为（）A．2x2﹣2y2＝1B．﹣＝1C．x2﹣y2＝1D．﹣＝1【解答】解：椭圆的焦点坐标为（﹣1，0），（1，0），所以双曲线的焦点坐标为（﹣1，0），（1，0），满足c2＝1＝a2+b2的只有A，故选A．5．（5分）从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（）A．B．C．3D．【解答】解：∵，∴＝＝，．故选：B．6．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于（）A．13B．49C．35D．63【解答】解：等差数列{a n}中，设首项为a1，公差为d，，解得：d＝2，a1＝1，所以：故选：B．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图是两底边长分别为1，2的直角梯形，俯视图是斜边长为3的等腰直角三角形，该几何体体积是（）A．1B．2C．D．【解答】解：由三视图知几何体为四棱锥，其直观图如图：则AS＝AB＝，四棱锥的高为，底面为直角梯形的面积S＝（1+2）×＝，∴几何体的体积V＝××＝．故选：D．8．（5分）“a＝b”是“直线y＝x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝2相切”的（）A．充分必要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：若直线y＝x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝2相切，则圆心（a，b）到直线的距离d＝，即|a﹣b+2|＝2，即a﹣b+2＝2或a﹣b+2＝﹣2，则a﹣b＝0或a﹣b﹣4＝0，则a＝b”是“直线y＝x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝2相切”的充分不必要条件，故选：C．9．（5分）已知实数x，y满足条件，则目标函数z＝+的取值范围为（）A．[2，]B．[，]C．[2，]D．[，2]【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得：，则A（3，1），联立，解得：，则B（1，2），由图可知，的最小值为，最大值为2．令t＝∈[]，f（t）＝，则当t＝1时，t+有最小值为2；又，f（2）＝2+＝，∴z＝+的取值范围是[2，]．故选：C．10．（5分）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）﹣mx＝0恰有3个不同的实数根，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，）B．（，+∞）C．（0，）D．（1，+∞）【解答】解：画出分段函数y＝f（x）的图象和直线y＝mx，关于x的方程f（x）﹣mx＝0恰有3个不同的实数根，即为y＝f（x）和直线y＝mx有三个不同的交点．当直线与y＝f（x）（x＜0）的图象相切时，直线与y＝f（x）（x∈R）恰有两个交点．联立y＝mx和y＝﹣1﹣x2（x＜0），可得x2+mx+1＝0，由判别式m2﹣2＝0，可得m＝（﹣舍去），通过图象观察，当直线的斜率大于时，直线与y＝f（x）（x∈R）都有三个交点．则实数m的取值范围为（，+∞）．故选：B．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知两个单位向量，满足|+2|＝，则，的夹角为．【解答】解：因为|+2|＝，所以|+2|2＝＝（）2，又，是两个单位向量，所以，∴＝﹣，又，所以cos＝，，的夹角为．故答案为．12．（5分）将函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则f（）＝．【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得函数y＝sin（2ωx+φ）的图象．再把所得图象再向右平移个单位长度得到函数y＝sin[2ω（x﹣）+φ）]＝sin（2ωx+φ﹣ω）＝sin x的图象，∴2ω＝1，且φ﹣ω＝2kπ，k∈Z，∴ω＝，φ＝+2kπ，∴f（x）＝sin（x+），∴f（）＝sin（+）＝sin＝．故答案为：．13．（5分）从区间（0，10）内任取一个实数x，执行如图所示的程序框图后，输出的结果大于55的概率为．【解答】解：设实数x∈[0，10]，经过第一次循环得到x＝2x+1，n＝2经过第二循环得到x＝2（2x+1）+1，n＝3经过第三次循环得到x＝2[2（2x+1）+1]+1，n＝4此时输出x输出的值为8x+7令8x+7≥55，得x≥6由几何概型得到输出的x大于55的概率为＝＝．故答案为：．14．（5分）设O是坐标原点，AB是圆锥曲线的一条不经过点O且不垂直于坐标轴的弦，M是弦AB的中点，k ab，k cm分别表示直线AB，OM的斜率，在圆x2+y2＝r2中，k ab•k cm＝﹣1，在椭圆+＝1（a＞b＞0）中，类比上述结论可得若AB是圆锥曲线的一条不经过点O且不垂直于坐标轴的弦，M是弦AB的中点，则k AB•k OM＝﹣．【解答】解：定理：如果圆x2+y2＝r2（r＞0）上异于一条直径两个端点的任意一点与这条直径两个端点连线的都斜率存在，则这两条直线的斜率乘积为定值﹣1，即k AB•k OM＝﹣1．运用类比推理，写出该定理在椭圆+＝1中的推广：若AB是圆锥曲线的一条不经过点O且不垂直于坐标轴的弦，M是弦AB的中点，则k AB•k OM＝﹣故答案为：若AB是圆锥曲线的一条不经过点O且不垂直于坐标轴的弦，M是弦AB的中点，则k AB•k OM＝﹣．15．（5分）我们把函数y＝f（x）图象上的点到坐标原点距离的最小值叫做函数y＝f（x）的“中心距离”，已知函数g（x）＝x+（a＞0）的“中心距离”不小于，则实数a的取值范围为[﹣1，+∞）．【解答】解：由题意任取函数g（x）＝x+（a＞0）图象上的一点P（x，x+），由两点间的距离公式可得P到原点的距离|OP|＝＝≥＝，当且仅当2x2＝即x＝±时取等号，∵“中心距离”不小于，∴≥，解得a≥﹣1，∴实数a的取值范围为：[﹣1，+∞）故答案为：[﹣1，+∞）三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝，b＝7，函数f（x）＝sin2x cos A﹣sin A sin2x（x∈R），且f（x）的最大值为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求△ABC的面积．【解答】解：（I）f（x）＝sin2x cos A﹣sin A＝（sin2x cos A+sin A cos2x）﹣sin A＝sin（2x+A）﹣sin A，∵f（x）的最大值为，∴＝，化为sin A＝，∵△ABC是锐角三角形，∴，∴f（x）＝sin（2x+）﹣，由，（k∈Z），解得≤x≤k（k∈Z）．∴函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．（II）由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴，化为＝0，解得c＝或4．经过检验可得：不符合题意，舍去．∴c＝4．＝＝＝7．∴S△ABC17．（12分）为了了解某班同学喜爱打篮球是否与性别有关，对该班全体同学进行了问卷调查，统计调查结果得到如下列联表已知从该班全体同学中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为．（Ⅰ）求列联表中m，n的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法在喜欢打篮球的同学中抽取6名同学，然后再从这6名同学中任取2名同学，求所选2名同学中至少有1名女生的概率．【解答】解：（Ⅰ）由于在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为，则喜爱打篮球的学生人数为30，故m＝20，又由学生共有50人，则n＝50﹣30﹣5＝15，故列联表中m，n的值分别为20，15；（Ⅱ）用分层抽样的方法得到喜欢打篮球的同学中抽取6名同学中男生为6×＝4人，女生为6﹣4＝2人，从这6名同学中任取2名同学，共有＝15种情况，其中至少有1名女生有＝9种情况，故所选2名同学中至少有1名女生的概率为＝．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，侧面P AB⊥底面ABCD，P A＝AD＝AB，点M是PB的中点．（Ⅰ）求证：AM∥平面PDC（Ⅱ）求证：平面PDC⊥平面PBC．【解答】证明：（Ⅰ）取PC的中点N，连接MN，ND，在Rt△ABD中，∵AB＝AD＝P A，∴BD＝，∠ABD＝45°，又∠ABC＝90°，∴∠DBC＝45°，又∠BDC＝90°，∴BC＝2…2分∵M，N分别是PB，PC的中点，∴MN，又∵AD＝，∴MN∥AD，MN＝AD，…4分∴AM∥ND，又∵AM⊄平面PDC，DN⊂平面PDC，∴AM∥平面PDC…5分（Ⅱ）∵侧面P AB⊥底面ABCD，交线为AB，在底面ABCD中，BC⊥AB，∴BC⊥侧面P AB，又AM⊂侧面P AB，∴BC⊥AM…8分在△P AB中，P A＝AB，且M是PB的中点，∴AM⊥PB，又PB，BC⊂平面PBC，且PB∩BC＝B，∴AM⊥平面PBC…10分由（Ⅰ）知AM∥DN，∴DN⊥平面PBC，又DN⊂平面PDC，∴平面PDC⊥平面PBC…12分19．（12分）已知等差数列{a n}是递增数列，a3＝7，且a2，a4，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）设b n＝a n cos nπ（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d＞0，由a2，a4，a9成等比数列，可得，∴，化为d＝3a1．由a3＝7，可得a1+2d＝7，联立，解得，∴a n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2．（II）数列{a n}的前n项和T n＝＝．b n＝，∴数列{b n}的前n项和S n＝﹣++…+．当n为偶数时，S n＝﹣++…+＝（a2﹣a1）（a2+a1）+（a4﹣a3）（a4+a3）+…+（a n﹣a n﹣1）（a n+a n﹣1）＝3（a1+a2+…+a n）＝3S n＝．+b n＝﹣（3n﹣2）2＝．当n为奇数时，S n＝S n﹣1综上可得：S n＝．20．（13分）已知动圆M经过定点A（2，0），且在y轴上截得的弦长为4（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程（Ⅱ）设N（x0，0）是x轴上的定点，BD是经过N点的轨迹C的任意一条弦，若∠BAD恒为钝角，求x0的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设动圆圆心M（x，y），则点M到y轴的距离为d＝|x|，圆M 的半径r＝，∵圆M在y轴上截得的弦长为4，得，即，化简得轨迹C的方程为：y2＝4x；（Ⅱ）设经过点N的抛物线y2＝4x的任意一条弦为BD的方程为x＝my+x0，由消去x得y2﹣4my﹣4x0＝0，设B（x1，y1），D（x2，y2），则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4x0，＝（x1﹣2，y1），＝（x2﹣2，y2），•＝（x1﹣2，y1）•（x2﹣2，y2）＝（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2＝（my1+x0﹣2）（my2+x0﹣2）+y1y2＝（m2+1）y1y2+m（x0﹣2）（y1+y2）+＝＝，因为∠BAD恒为钝角，所以对于任意的m∈R都有，即＜0在R上恒成立，所以＜0，解得，又因为当x0＝2时，∠BAD＝180°不合题意，因此x 0的取值范围为：，且x0≠2．21．（14分）已知函数f（x）＝（x2﹣2x+k）e x（e＝2.71828…是自然对数的底数）（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在x＝0处的切线与直线x+y＝0平行，求k的值（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间（Ⅲ）求函数f（x）在[0，2]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝（x2﹣2x+k）e x（e＝2.71828…是自然对数的底数），∴f′（x）＝（2x﹣2）e x+（x2﹣2x+k）e x＝（x2+k﹣2）e x，又∵曲线y＝f（x）在x＝0处的切线与直线x+y＝0平行，∴f′（0）＝（02+k﹣2）e0＝﹣1；故k＝1；（Ⅱ）∵f′（x）＝（x2+k﹣2）e x，∴①当k﹣2≥0时，f′（x）≥0，故f（x）在定义域R上是增函数；②当k﹣2＜0时，x∈（﹣，）时，f′（x）＜0，x∈（﹣∞，﹣）∪（，+∞）时，f′（x）＞0；故f（x）在（﹣∞，﹣）上是增函数，在（﹣，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数；（Ⅲ）当k≥2时，函数f（x）在[0，2]上单调递增，故f（x）min＝f（0）＝k；当0＜＜2，即﹣2＜k＜2时，函数f（x）在[0，）上是减函数，在（，2]上是增函数；故f（x）min＝f（）＝（2﹣2）；当≥2，即k≤﹣2时，函数f（x）在[0，2]上是减函数，故f（x）min＝f（2）＝k•e2．。
【山东二模汇总 理科综合6份】2015届山东省各地市高三 二模理综试题及答案(Word版)
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考试用时150分钟．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号、县区和科类填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷(必做，共107分)注意事项：1．第I卷共20小题．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦净后，再选涂其它答案标号。
不涂在答题卡上，只答在试卷上不得分．以下数据可供答题时参考：相对原子质量：H l C 12 N 14 O 16 Na 23 Mg 24 Al 27 S 32 Cl 35.5 K 39 Ca 40 Cr 52 Fe 56 Cu 64 Zn 65一、选择题(共13小题，每小题5分，共65分。
每小题只有一个选项符合题意。
) 1．蝌蚪在变态发育过程中，尾部逐渐消失。
下列有关叙述错误的是A．与甲状腺激素的调节有关B．与尾部细胞中的溶酶体有关C．与基因突变改变遗传信息有关D．与有关基因程序地表达有关2．下列关于生物学实验的描述，正确的是A．用黑藻叶片进行观察质壁分离与复原实验时，叶绿体的存在会干扰实验现象的观察B．用改良苯酚品红染色观察低温诱导的植物染色体数目C．纸层析法分离叶绿体色素的实验结果表明，叶绿素a在层析液中溶解度最低D．用标志重捕法调查田鼠种群密度及农田土壤小动物的丰富度3.“内质网压力”是指过多的物质，如脂肪积累到内质网中使其出错的状态。
[聊城二模 理综]山东省聊城市2015届高三下学期第二次模拟考试理科综合试题 Word版含答案
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2015年聊城市高考模拟试题理科综合（二）本试题分第I卷和第II卷两部分，共14页。
满分300分。
考试用时150分钟。
答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置。
考试结束后，将本试卷、答题卡一并交回。
第I卷（必做，共107分）注意事项：1.第I卷共20小题。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不涂在答题卡上，只答在试卷上不得分。
以下数据可供答题时参考：相对原子质量：H—1 O—16 Al—27 S—32 Fe—56 Cu—64 Ba—137一、选择题（共13小题，每小题5分，共65分。
每小题只有一个选项符合题意。
）1.下列关于植物激素及其作用的叙述，正确的是A.脱落酸可抑制细胞分裂B.赤霉素能促进种子的休眠C.乙烯可促进果实的发育D.细胞分裂素合成于植物体的任何部位2.下列关于细胞生命历程的叙述，正确的是A.细胞凋亡和细胞癌变都是遗传物质改变的结果B.生物体中，分化后的细胞不能增殖C.细胞有丝分裂过程中，基因突变或染色体变异都有可能发生D.细胞减数分裂过程中，遗传物质平均分配到子细胞3.右图由I、II、III三个椭圆组成，下列对应关系正确的是A.I DNA、II RNA、III染色体B.I 蛋白质、II RNA、III酶C.I叶绿体、II线粒体、III具有双层膜的细胞器D.I有丝分裂、II无丝分裂、III遗传物质复制4.下列各项实验中所用的试剂，作用相同的是A.“体验制备细胞膜的方法”和“显微镜观察叶绿体”实验中，蒸馏水的作用B.“绿叶中色素的提取”和“检测生物组织中的脂肪”实验中，酒精的作用C. “检测生物组织中的还原糖”和“检测生物组织中的蛋白质”实验中，CuSO4的作用D.“观察植物细胞有丝分裂”和“低温诱导植物染色体数目变化”实验中，盐酸的作用5.下列关于生物进化的叙述，正确的是A.某种群中，若RR个体的百分率增加则R基因频率一定增加B.有利变异的产生使生物向着特定的方向进化C.种群基因库间出现差异是生物进化的根本原因D.在进化的过程中，自然选择直接作用于个体的基因型6.图甲为人类白化病基因a和红绿色盲病基因b及其等位基因在细胞中的分布；图乙为某遗传系谱图（III—9为同时患白化病和红绿色盲病的男性）。
山东省青岛市2015高三下第二次模拟考试数学理试题
山东省青岛市2015高三下第二次模拟考试数学理试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知11abi i=-+，其中,a b 是实数，i 是虚数单位，则||a bi -= A ．3 B ．2 C ．5 D 2. 已知集合2{|lg(2)}M x y x x ==-，22{|1}N x x y =+=，则M N =A ．[1,2)-B ．(0,1)C ．(0,1]D ．∅ 3. 高三（3）班共有学生56人，座号分别为1,2,3,,56，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、17号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是 A ．30 B ．31 C ．32 D ．334. 已知函数22, 0,()|log |,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则使()2f x =的x 的集合是A ．1{,4}4B ．{1,4}C ．1{1,}4D ．1{1,,4}4当输入的值为25时， 则输出的结果为A ．4B ．5C ．6D ．76. 设,x y 满足约束条件2311x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥+⎩，则下列不等式恒成立的是A ．3x ≥B ．4y ≥C ．280x y +-≥D ．210x y -+≥ 7. “2-≤a ”是“函数a x x f -=)(在[1,)-+∞上单调递增”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8. 将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种9. 定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，当1(0,]2x ∈时，)1(log )(2+=x x f ，则()f x 在区间3(1,)2内是A ．减函数且()0f x >B ．减函数且()0f x <C ．增函数且()0f x >D ．增函数且()0f x <10. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作斜率为1-的直线交双曲线的渐近线于点P ，点P 在第一象限，O 为坐标原点，若OFP ∆的面积为228a b +，则该双曲线的离心率为A第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知不共线的平面向量a ，b 满足(2,2)a =-，()()a b a b +⊥-，那么||b = ；12. 某班有50名同学，一次数学考试的成绩X 服从正态分布2(110,10)N ，已知(100110)0.34P X ≤≤=，估计该班学生数学成绩在120分以上的有 人；13. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是 ；14. 若函数()sin()(0,0)6f x A x A πωω=->>的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为 ；15. 若不等式2222()y x c x xy -≥-对任意满足0x y >>的实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值为 ．三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知向量2(sin,cos )33x x a k =,(cos ,)3xb k =-,实数k 为大于零的常数，函数()f x a b =⋅,R x ∈，且函数()f x . （Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，若2A ππ<<，()0f A =,且a =,求AB AC⋅的最小值.17．（本小题满分12分）为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度.不超过22公里的地铁票价第14题图俯视图正（主）视图侧（左）视图第13题图如下表：现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22公里.已知甲、乙乘车不超过6公里 的概率分别为14，13，甲、乙乘车超过6公里且不超过12公里的概率分别为12，13. （Ⅰ）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．18．（本小题满分12分）如图，在正四棱台1111ABCD A BC D -中，11A B a =，2AB a =，1AA =，E 、F 分别是AD 、AB 的中点.（Ⅰ）求证：平面11EFB D ∥平面1BDC ； （Ⅱ）求二面角1D BC C --的余弦值的大小.注：底面为正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心，这样的四棱锥叫做正四棱锥.用一个平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，底面与截面之间的部分叫做正四棱台.19．（本小题满分12分）C1BE DAB1A1D 1C设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正整数的等比数列，且111a b ==，13250a b =，82345a b a a +=++，*N n ∈．（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n d 满足218log 11()2n b n n d d +-++=（*N n ∈），且116d =，试求{}n d 的通项公式及其前n 项和n S ．20．（本小题满分13分）已知抛物线1:C 22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上存在一点G 到焦点的距离为3，且点G 在圆:C 229x y +=上．（Ⅰ）求抛物线1C 的方程；（Ⅱ）已知椭圆2:C 2222 1 (0)x y m n m n +=>>的一个焦点与抛物线1C 的焦点重合，若椭圆2C 上存在关于直线:l 1143y x =+对称的两个不同的点，求椭圆2C 的离心率e 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知函数1()1ln a f x x x=-+（a 为实数）． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的图象在点11(,())22f 处的切线方程；（Ⅱ）设函数2()32h a a a λ=-（其中λ为常数），若函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，且存在a 满足()≥h a 18+λ，求λ的取值范围；（Ⅲ）已知*N n ∈，求证：11111ln(1)12345n n+<++++++．高三自主诊断试题数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． D C B A B C A C B C二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.12. 8 13.32 14．232- 15．4 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知2()(sin ,cos )(cos ,)333x x xf x a b k k =⋅=⋅- 221cos12223sin cos cos sin (sin cos )32322332x x x x x k x x k k k k k +=-=-=--……2分 222()sin()2232322342x x k x k π=--=-- ……………………5分因为R x ∈，所以()f x 的最大值为1)122k =，则1k = …………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，21()sin()342x f x π=--，所以21()sin()0342A f A π=--= 化简得2sin()342A π-= 因为2A ππ<<，所以25123412A πππ<-< 则2344A ππ-=，解得34A π= …………………………………………………8分因为2222240cos 222b c a b c A bc bc+-+-=-==，所以2240b c += 则22402b cbc +=≥，所以20(2bc ≤= ……………10分则3cos20(142AB AC AB AC bc π⋅==-≥所以AB AC ⋅的最小值为20(1 …………………………………………………12分 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意可知，甲、乙乘车超过12公里且不超过22公里的概率分别为14，13则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率111111114323433P =⨯+⨯+⨯= ……………2分 所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率1121133P P =-=-= …………………4分 （Ⅱ）由题意可知，6,7,8,9,10ξ= 则111(6)4312P ξ==⨯= 11111(7)43234P ξ==⨯+⨯=1111111(8)4343233P ξ==⨯+⨯+⨯=11111(9)23434P ξ==⨯+⨯=111(10)4312P ξ==⨯= ………………………………………………………………10分所以ξ的分布列为则11111()67891081243412E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ……………………………………12分 18．（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）连接11AC ，AC ，分别交11,,B D EF BD 于,,M N P ，连接1,MN C P 由题意，BD ∥11B D因为BD ⊄平面11EFB D ，11B D ⊂平面11EFB D ，所以BD ∥平面11EFB D …………2分 又因为11,2A B a AB a ==，所以11112MC AC == 又因为E 、F 分别是AD 、AB 的中点，所以1MC NP =又因为AC ∥11AC ，所以1MC ∥NP 所以四边形1MC PN 为平行四边形 所以1PC ∥MN因为1PC ⊄平面11EFB D ，MN ⊂平面11EFB D ，所以1PC ∥平面11EFB D因为1PC BD P =I ，所以平面11EFB D ∥平面1BDC …………………………………5分 （Ⅱ）连接1A N ，因为11A M MC NP ==，又1A M ∥NP 所以四边形1A NPM 为平行四边形，所以PM ∥1A N由题意M P ⊥平面ABCD ，1A N ∴⊥平面ABCD ，1A N AN ∴⊥因为11A B a =，2AB a =，1AA =，所以1A N MP === 因为ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥所以，以,,PA PB PM 分别为,,x y z 轴建立如图所示的坐标系则,0)B，(0,,0)D，(,0,0)C，1()C所以(0,,0)BD =-u u u r，1(,,)22BC a =-uuu r，(,,0)BC =u u u r………………………………………………………7分设1111(,,)n x y z =u u r 是平面1BDC 的法向量，则1110n BC n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r uuu ru u r uu u r111100⎧-=⎪∴⎨⎪-=⎩，10y ∴=， 令11z =，则1x1n =u u r……………………………………………9分设2222(,,)n x y z =uu r 是平面1BCC 的法向量，则2120n BC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu r uuu r uu r uu u r2222200⎧=⎪∴⎨⎪=⎩令21y =，则21x =-，2z =所以2(n =-uu r ………………………………11分所以1212120cos ,7n n n n n n +⋅<>===-u u r uu r u r u u r u u r uu r所以二面角1D BC C --的余弦值的大小为7………………………………………12分 ，则依题意有0q > 2分4分（Ⅱ）12n n b -= 21log n b n +∴=811()2n n n d d -++∴= ， 7121()2n n n d d -+++=两式相除：212n n d d +=， 由116d =，81121()1282d d -+==可得：28d =135,,,d d d ∴是以116d =为首项，以12为公比的等比数列；246,,,d d d 是以28d =为首项，以12为公比的等比数列 ……………………………………………………………6分 ∴当n 为偶数时，1218()16(22n n n d -=⨯= ……………………………………………………………7分13124()()n n n S d d d d d d -=+++++++22221116[1()]8[1()]112232[1()]16[1()]4811221122nnn n n ⨯-⨯-=+=-+-=--- …………9分∴当n 为奇数时，112116()2(22n n n d +-=⨯=…………………………………………………………10分13241()()n n n S d d d d d d -=+++++++112211221116[1()]8[1()]112232[1()]16[1()]4811221122n n n n n +-+-⨯-⨯-=+=-+-=---∴,,n n n d ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，48,48,nn n S ⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩…………………12分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设点G 的坐标为00(,)x y ，由题意可知022002003292p x x y y px⎧+=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩………………………2分解得：001,4,x y p ==±=所以抛物线1C 的方程为：28y x = ………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线1C 的焦点(2,0)F椭圆2C 的一个焦点与抛物线1C 的焦点重合∴椭圆2C 半焦距2222, 4c m n c =-==……①…………………………………………5分设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆2C 上关于直线:l 1143y x =+对称的两点， :4MN y x λ=-+ n 为奇数n 为偶数 n 为偶数 n 为奇数由2222 1 4x y m n y x λ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩22222222(16)80m n x m x m m n λλ⇒+-+-=……（*）则42222222644(16)()0m m n m m n λλ∆=-+->，得：222160m n λ+->……②………………………………………………………………7分 对于（*），由韦达定理得：21222816m x x m n λ+=+ 212122224()216n y y x x m nλλ∴+=-++=+ MN 中点Q 的坐标为2222224(,)1616m n m n m n λλ++ 将其代入直线:l 1143y x =+得： 222222141164163n m m n m n λλ=⨯+++……③……………………………………………………9分 由①②③消去λ，可得：217m <<，椭圆2C 的离心率2c e m m==，∴137e << ………………………………………………………………………13分 21．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）当1a =时，11()1lnf x x x =-+， 211()f x x x '=-， 则1()4222f '=-=，1()12ln 2ln 212f =-+=-∴函数()f x 的图象在点11(,())22f 的切线方程为：1(ln 21)2()2y x --=-， 即2ln 220x y -+-= …………………………………………………………………4分 （Ⅱ）221()a a x f x x x x-'=-=，由()0f x '=x a ⇒=由于函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，所以0≤a 或2≥a ………………………5分由于存在a 满足()≥h a 18+λ，所以max ()≥h a 18+λ……………………………………6分 对于函数2()32h a a a λ=-，对称轴34a λ= ①当304λ≤或324λ≥，即0λ≤或83λ≥时，2max 39()()48h a h λλ==， 由max ()≥h a 18+λ29188⇒≥+λλ，结合0λ≤或83λ≥可得：19≤-λ或83λ≥ ②当3014λ<≤，即403λ<≤时，max ()(0)0h a h ==， 由max ()≥h a 18+λ108⇒≥+λ，结合403λ<≤可知：λ不存在； ③当3124λ<<，即4833λ<<时，max ()(2)68h a h λ==-； 由max ()≥h a 18+λ1688⇒-≥+λλ，结合4833λ<<可知：13883≤<λ 综上可知：19≤-λ 或138≥λ………………………………………………………………9分 （Ⅲ）当1a =时，21()x f x x-'=，当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,)∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，∴11()1ln f x x x=-+在1x =处取得最大值(1)0f = 即11()1ln (1)0f x f x x =-+≤=，∴11ln x x x-≤，……………………………………11分 令 1n x n =+，则11ln n n n +<，即1ln(1)ln n n n +-<， ∴ln(1)ln(1)ln1[ln(1)ln ][ln ln(1)](ln 2ln1)n n n n n n +=+-=+-+--++- 1111121n n n <++++--． 故11111ln(1)12345n n+<++++++． ………………………………………………14分。
山东省青岛市2015届高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题 Word版含解析
2015年山东省青岛市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题．每小题5分，共50分）1．（5分）已知=1﹣bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|a﹣bi|=（）A．3 B． 2 C． 5 D．【考点】：复数求模．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：通过复数的相等求出a、b，然后求解复数的模．【解析】：解：=1﹣bi，可得a=1+b+（1﹣b）i，因为a，b是实数，所以，解得a=2，b=1．所以|a﹣bi|=|2﹣i|==．故选：D．【点评】：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．2．（5分）已知集合M={x|y=lg（2x﹣x2）}，N={x|x2+y2=1}，则M∩N=（）A．[﹣1，2）B．（0，1）C．（0，1] D．∅【考点】：交集及其运算．【专题】：集合．【分析】：求出M中x的范围确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出两集合的交集即可．【解析】：解：由M中y=lg（2x﹣x2），得到2x﹣x2＞0，即x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即M=（0，2），由N中x2+y2=1，得到﹣1≤x≤1，即N=[﹣1，1]，则M∩N=（0，1]，故选：C．【点评】：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）高三（3）班共有学生56人，座号分别为1，2，3，…，56，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、17号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（）A．30 B．31 C．32 D．33【考点】：系统抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：根据系统抽样的定义确定样本间隔即可．【解析】：解：样本间隔为56÷4=14，则另外一个号码为14+17=31，故选：B ． 【点评】： 本题主要考查系统抽样的应用，根据条件求出样本间隔是解决本题的关键．4．（5分）已知函数，则使f （x ）=2的x 的集合是（ ）A ．B ． {1，4}C ．D ．【考点】： 分段函数的应用． 【专题】： 函数的性质及应用． 【分析】： 利用分段函数通过f （x ）=2求出x 的值即可． 【解析】： 解：函数，当x ≤0时，2x=2，可得x=1（舍去）．当x ＞0时，|log 2x|=2，即log 2x=±2，解得x=4，或x=． 使f （x ）=2的x 的集合是．故选：A ． 【点评】： 本题考查分段函数的应用，函数的零点的求法，考查计算能力． 5．（5分）已知MOD 函数是一个求余函数，其格式为MOD （n ，m ），其结果为n 除以m 的余数，例如MOD （8，3）=2．如图是一个算法的程序框图，当输入的值为25时，则输出的结果为（ ）A ． 4B ． 5C ． 6D ． 7【考点】： 程序框图． 【专题】： 图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序框图，根据题意，依次计算MOD（n，i）的值，当i=5，MOD（25，5）=0，满足条件MOD（25，2）=0，退出循环，输出i的值为5．【解析】：解：模拟执行程序框图，可得：n=25，i=2，MOD（25，2）=1，不满足条件MOD（25，2）=0，i=3，MOD（25，3）=1，不满足条件MOD（25，3）=0，i=4，MOD（25，4）=1，不满足条件MOD（25，4）=0，i=5，MOD（25，5）=0，满足条件MOD（25，2）=0，退出循环，输出i的值为5．故选：B．【点评】：本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的MOD（n，i）的值是解题的关键，属于基础题．6．（5分）设x，y满足约束条件，则下列不等式恒成立的是（）A．x≥3 B．y≥4 C．x+2y﹣8≥0 D．2x﹣y+1≥0【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行判断即可．【解析】：解：作出不等式组对应的平面区域如图：则C（2，3），B（2，5），则x≥3，y≥4不成立，作出直线x+2y﹣8=0，和2x﹣y+1=0，由图象可知2x﹣y+1≥0不成立，恒成立的是x+2y﹣8≥0，故选：C．【点评】：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．7．（5分）“a≤﹣2”是“函数f（x）=|x﹣a|在[﹣1，+∞）上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：从两个方向去判断，先看“a≤﹣2”能否得到“函数f（x）=|x﹣a|在[﹣1，+∞）上单调递增”：这个容易判断能得到；再看“函数f（x）=|x﹣a|在[﹣1，+∞）上单调递增”能否得到“a≤﹣2”：根据f（x）解析式知道f（x）在[a，+∞）上单调递增，从而a≤﹣1，并得不到a≤﹣2，综合以上情况即可得出答案．【解析】：解：（1）若a≤﹣2，x∈[﹣1，+∞）时，f（x）=x﹣a；∴此时f（x）在[﹣1，+∞）上单调递增；∴“a≤﹣2”是“函数f（x）=|x﹣a|在[﹣1，+∞）上单调递增”的充分条件；（2）若“函数f（x）=|x﹣a|在[﹣1，+∞）上单调递增”，则：x≥a在[﹣1，+∞）上恒成立；∴﹣1≥a；即a≤﹣1；∴得不到a≤﹣2；∴“a≤﹣2”不是“函数f（x）=|x﹣a|在[﹣1，+∞）上单调递增”的必要条件；∴综上得“a≤﹣2”是“函数f（x）=|x﹣a|在[﹣1，+∞）上单调递增”的充分不必要条件．故选A．【点评】：考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值，比如本题中f（x）=，一次函数的单调性，以及充分条件、必要条件、充分不必要条件的概念．8．（5分）将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有（）A．18种B．24种C．36种D．72种【考点】：相互独立事件的概率乘法公式．【专题】：概率与统计．【分析】：把甲、乙两名员工看做一个整体，再把这4个人分成3部分，每部分至少一人，共有种方法，再把这3部分人分到3个为车间，有种方法，根据分步计数原理，求得不同分法的种数．【解析】：解：把甲、乙两名员工看做一个整体，5个人变成了4个，再把这4个人分成3部分，每部分至少一人，共有种方法，再把这3部分人分到3个为车间，有种方法，根据分步计数原理，不同分法的种数为•=36，故选：C．【点评】：本题考查的是分类计数问题问题，把计数问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题，属于基础题．9．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（﹣x），当时，f（x）=log2（x+1），则f（x）在区间内是（）A．减函数且f（x）＞0 B．减函数且f（x）＜0 C．增函数且f（x）＞0 D．增函数且f（x）＜0【考点】：函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：令x∈，利用已知表达式及函数的奇偶性知f（x）=﹣log2x，从而可得答案．【解析】：解：设x∈，则x﹣1∈，根据题意，f（x）=f（﹣x+1）=﹣f（x﹣1）=﹣log2（x﹣1+1）=﹣log2x，故选：B．【点评】：本题考查了函数奇偶性的性质，属于基础题．10．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过F作斜率为﹣1的直线交双曲线的渐近线于点P，点P在第一象限，O为坐标原点，若△OFP的面积为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：先设F点坐标，然后根据点斜式写出直线l方程，再与双曲线的渐近线联立，求出第一象限中的点P，根据三角形面积，求出a与b的关系，进而求出离心率．【解析】：解：设右焦点F（c，0），则过F且斜率为﹣1的直线l方程为y=c﹣x∵直线l交双曲线的渐近线于点P，且点P在第一象限∴为解得P（，）∵△OFP的面积为，∴•c•=整理得a=3b∴该双曲线的离心率为==故答案为：C．【点评】：本题考查了双曲线的一些性质，离心率、焦点坐标等，同时考查了直线方程和三角形面积公式．三、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知不共线的平面向量，满足，，那么|=2．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：根据向量的坐标即可求得，而根据即可得到，从而得到，这样便可求出答案．【解析】：解：；∴；；∴；∴．故答案为：．【点评】：考查根据向量的坐标求向量的长度的公式，两非零向量垂直的充要条件，以及数量积的运算．12．（5分）某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布N（110，102），已知P （100≤X≤110）=0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有8人．【考点】：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】：应用题；概率与统计．【分析】：根据考试的成绩ξ服从正态分布N（110，102）．得到考试的成绩ξ关于ξ=110对称，根据P（100≤ξ≤110）=0.34，得到P（ξ≥120）=0.16，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．【解析】：解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N（110，102）．∴考试的成绩ξ关于ξ=110对称，∵P（100≤ξ≤110）=0.34，∴P（ξ≥120）=P（ξ≤100）=（1﹣0.34×2）=0.16，∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.16×50=8．故答案为：8．【点评】：本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩ξ关于ξ=110对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．13．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是32；【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：根据几何体的三视图，得三棱锥的底面边长与对应的高，求出它的体积．【解析】：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面边长为8，该边上的高为6的三棱锥，且三棱锥的高为4；∴该三棱锥的体积为V三棱锥=×8×6×4=32．故答案为：32．【点评】：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．14．（5分）若函数f（x）=Asin（的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为；【考点】：定积分．【专题】：导数的概念及应用．【分析】：由图象求出函数解析式，然后利用定积分求得图中阴影部分的面积．【解析】：解：由图可知，A=1，，T=2π，∴ω=1，则，∴图中的阴影部分的面积为=cos（）﹣cos（﹣）=1﹣．故答案为：．【点评】：本题考查了利用y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，考查了定积分的求法，是基础的计算题．15．（5分）若不等式2y2﹣x2≥c（x2﹣xy）对任意满足x＞y＞0的实数x，y恒成立，则实数c的最大值为．【考点】：函数的最值及其几何意义．【专题】：计算题；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】：不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，变形为c≤=，令=t可得c≤=f（t），利用导数研究函数f（t）的单调性极值与最值即可得出．【解析】：解：∵不等式2y2﹣x2≥c（x2﹣xy）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，∴c≤=，令=t＞1，∴c≤=f（t），令f（t）=，则f′（t）==，当t＞2+时，f′（t）＞0，函数f（t）单调递增；当1＜t＜2+时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减；∴当t=2+时，f（t）取得最小值，f（2+）=2﹣4．∴实数c的最大值为2﹣4．故答案为：2﹣4．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、简答题（本大题共6小题，共75分）16．（12分）已知向量，，实数k为大于零的常数，函数f（x）=，x∈R，且函数f（x）的最大值为．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若＜A＜π，f（A）=0，且a=2，求的最小值．【考点】：余弦定理的应用；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数．【专题】：解三角形；平面向量及应用．【分析】：（Ⅰ）通过斜率的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后通过解函数的最大值，求k的值；（Ⅱ）利用f（A）=0，得到A的值，然后利用余弦定理通过a=2得到bc范围，然后求的最小值．【解析】：（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知=…（2分）=…（5分）因为x∈R，所以f（x）的最大值为，则k=1…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以化简得因为，所以则，解得…（8分）因为，所以则，所以…（10分）则所以的最小值为…（12分）【点评】：本题考查斜率的数量积，余弦定理的应用，三角函数的最值的求法，考查计算能力．17．（12分）为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度．不超过22公里的地铁票价如下表：现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22公里．已知甲、乙乘车不超过6公里的概率分别为，，甲、乙乘车超过6公里且不超过12公里的概率分别为，．（Ⅰ）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．【考点】：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）求出甲、乙乘车超过12公里且不超过22公里的概率分别为，，求出甲、乙两人所付乘车费用相同的概率，即可求解甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率．（Ⅱ）求出ξ=6，7，8，9，10，求出概率，得到ξ的分布列，然后求解期望即可．【解析】：（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意可知，甲、乙乘车超过12公里且不超过22公里的概率分别为，则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率…（2分）所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率…（4分）（Ⅱ）由题意可知，ξ=6，7，8，9，10则…（10分）所以ξ的分布列为则…（12分）【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列期望的求法，考查计算能力．18．（12分）如图，在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1=a，AB=2a，AA1=a，E、F分别是AD、AB的中点．（Ⅰ）求证：平面EFB1D1∥平面BDC1；（Ⅱ）求二面角D﹣BC1﹣C的余弦值的大小．注：底面为正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心，这样的四棱锥叫做正四棱锥．用一个平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，底面与截面之间的部分叫做正四棱台．【考点】：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（Ⅰ）连接A1C1，AC，分别交B1D1，EF，BD于M，N，P，连接MN，C1P，证明BD∥平面EFB1D1，PC1∥平面EFB1D1，然后证明平面EFB1D1∥平面BDC1．（Ⅱ）连接A1N，证明PM∥A1N，A1N⊥AN，得到AC⊥BD，以PA，PB，PM分别为x，y，z轴建立如图所示的坐标系，求出相关点的坐标，平面BDC1的法向量，平面BCC1的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角D﹣BC1﹣C的余弦值的大小．【解析】：（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）连接A1C1，AC，分别交B1D1，EF，BD于M，N，P，连接MN，C1P由题意，BD∥B1D1因为BD⊄平面EFB1D1，B1D1⊂平面EFB1D1，所以BD∥平面EFB1D1…（2分）又因为A1B1=a，AB=2a，所以，又因为E、F分别是AD、AB的中点，所以，所以MC1=NP，又因为AC∥A1C1，所以MC1∥NP，所以四边形MC1PN为平行四边形，所以PC1∥MN，因为PC1⊄平面EFB1D1，MN⊂平面EFB1D1，所以PC1∥平面EFB1D1，因为PC1∩BD=P，所以平面EFB1D1∥平面BDC1…（5分）（Ⅱ）连接A1N，因为A1M=MC1=NP，又A1M∥NP，所以四边形A1NPM为平行四边形，所以PM∥A1N，由题意MP⊥平面ABCD，∴A1N⊥平面ABCD，∴A1N⊥AN，因为A 1B1=a，AB=2a，，所以，因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD，所以，以PA，PB，PM分别为x，y，z轴建立如图所示的坐标系：则，，，，所以，，，…（7分）设是平面BDC1的法向量，则∴，∴y1=0，令z 1=1，则，所以…（9分）设是平面BCC1的法向量，则，∴，令y2=1，则x2=﹣1，所以…（11分）所以所以二面角D﹣BC1﹣C的余弦值的大小为．…（12分）【点评】：本题考查平面与平面平行的判定定理的证明，二面角的求法考查空间想象能力以及计算能力．19．（12分）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正整数的等比数列，且a1=b1=1，a13b2=50，a8+b2=a3+a4+5，n∈N*．（Ⅰ）求{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{d n}满足（n∈N*），且d1=16，试求{d n}的通项公式及其前n项和S n．【考点】：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0，利用a13b2=50，a8+b2=a3+a4+5，列出方程组，求解公差与公比，然后求解通项公式．（Ⅱ）利用关系式推出，得到{d n}是奇数项与偶数项分别是等比数列；求出通项公式，然后求解前n项和S n．【解析】：（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0，且，即解得：，或，由于{b n}是各项都为正整数的等比数列，所以…（2分）从而a n=1+（n﹣1）d=2n﹣1，．…（4分）（Ⅱ）∵∴log2b n+1=n∴，两式相除：，由d1=16，，得：d2=8∴d1，d3，d5，…是以d1=16为首项，以为公比的等比数列；d2，d4，d6，…是以d2=8为首项，以为公比的等比数列…（6分）∴当n为偶数时，…（7分）S n=（d1+d3+…+d n﹣1）+（d2+d4+…+d n）=…（9分）∴当n为奇数时，…（10分）S n=（d1+d3+…+d n）+（d2+d4+…+d n﹣1）n为奇数n为偶数n为奇数n为偶数S n=∴，…（12分）【点评】：本题考查等差数列与等比数列的求和，递推关系式的应用，考查数列的函数特征，考查计算能力．20．（13分）已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上存在一点G到焦点的距离为3，且点G在圆C：x2+y2=9上．（Ⅰ）求抛物线C1的方程；（Ⅱ）已知椭圆C2：=1（m＞n＞0）的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，若椭圆C2上存在关于直线l：y=对称的两个不同的点，求椭圆C2的离心率e的取值范围．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）设点G的坐标为（x0，y0），利用已知条件列出x0，y0，p的方程组，然后求解抛物线方程．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆C2上关于直线l：对称的两点，设出MN：y=﹣4x+λ联立直线与椭圆方程，利用△＞0，得到不等关系式，结合韦达定理求出中点坐标，纠错m的范围，然后求解离心率的范围．【解析】：（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设点G的坐标为（x0，y0），由题意可知…（2分）解得：，所以抛物线C1的方程为：y2=8x…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线C1的焦点F（2，0）∵椭圆C2的一个焦点与抛物线C1的焦点重合∴椭圆C2半焦距c=2，m2﹣n2=c2=4…①…（5分）设M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆C2上关于直线l：对称的两点，MN：y=﹣4x+λ由⇒（16m2+n2）x2﹣8m2λx+m2λ2﹣m2n2=0…（*）则△=64m4λ2﹣4（16m2+n2）（m2λ2﹣m2n2）＞0，得：16m2+n2﹣λ2＞0…②…（7分）对于（*），由韦达定理得：∴MN中点Q的坐标为将其代入直线l：得：…③…（9分）由①②③消去λ，可得：，∵椭圆C2的离心率，∴…（13分）【点评】：本题考查直线与圆锥曲线方程的综合应用，椭圆的离心率的范围的求法，考查分析问题解决问题的能力．21．（14分）已知函数f（x）=1﹣（a为实数）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在点处的切线方程；（Ⅱ）设函数h（a）=3λa﹣2a2（其中λ为常数），若函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，且存在a满足h（a）≥λ+，求λ的取值范围；（Ⅲ）已知n∈N*，求证：ln（n+1）＜1+．【考点】：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）化简函数的解析式，求出函数的导数，利用切线方程的求法，求出斜率切点坐标求解即可．（Ⅱ）通过f'（x）=0求出极值点x=a，利用函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，得到a的范围，然后转化条件为h（a）max≥，①当λ≤0或时，②当时，③当时，分别求解h（a）max，推出λ的范围．（Ⅲ）当a=1时，求出函数的导数：，当x∈（0，1）时，当∈（1，+∞）时，利用函数的单调性求出最大值，推出，令，推出，然后利用累加法推出结果．【解析】：（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当a=1时，，，则，∴函数f（x）的图象在点的切线方程为：，即2x﹣y+ln2﹣2=0…（4分）（Ⅱ），由f'（x）=0⇒x=a由于函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，所以a≤0或a≥2…（5分）由于存在a满足h（a）≥，所以h（a）max≥…（6分）对于函数h（a）=3λa﹣2a2，对称轴①当或，即λ≤0或时，，由h（a）max≥，结合λ≤0或可得：或②当，即时，h（a）max=h（0）=0，由h（a）max≥，结合可知：λ不存在；③当，即时，h（a）max=h（2）=6λ﹣8；由h（a）max≥，结合可知：综上可知：或…（9分）（Ⅲ）当a=1时，，当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，∴在x=1处取得最大值f （1）=0即，∴，…（11分）令，则，即，∴ln（n+1）=ln（n+1）﹣ln1=[ln（n+1）﹣lnn]+[lnn﹣ln（n﹣1）]+…+（ln2﹣ln1）．故．…（14分）【点评】：本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及数列与函数的关系，考查导数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．。
2015届高考第二次模拟考试理科数学试卷及答案
高三第二次模拟考试数学 试题 （理科）满分150分 时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用0.5mm 的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将答题卡上交。
第I 卷 选择题 （共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．1．已知复数2(2)i z i-=（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．25BC ．5D2. 设函数()sin(2)2f x x π=-，则其导函数'()f x 是 （ ）A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π2的偶函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数3.已知圆22:()1C x a y -+=，直线:1l x =；则：13''''22a ≤≤是''C 上恰有不同四点到l 的距离为12的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4. 如果等差数列}{n a 中， 111a =-，1082108S S -=，则11S = （ ） A. -11 B. 10 C. 11 D. -105．若变量y x ,满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．16. 执行如图所示的程序框图，则输出的λ是 ( )． A ．－4B ．－2C ．0D ．－2或07．若0,0x y >>，228x y xy ++=，则2x y +的最小值是 （ ）A ． 112B ．3C ．92D ． 48．函数 32()cos sin cos f x x x x =+-的最大值是 （ ）第6题图A ．827B ．1C ．3227D ．29．已知012201420152015201520152015201512320152016C C C C C M =+++++,则M = ( ) A ．2016212016-B ．201622016C ．2015212015-D ．20152201510.已知平面向量满足：,,2PA PB PA PB PM QA QB ⊥+===,若1QM<,则PQ 的取值范围是（ ）A (B)CD ),3⎡⎣第（II ）卷 非选择题（100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．设随机变量X 服从正态分布N （3，1），且(24)0.68P X ≤≤=，则(4)P X >=12．一个几何体的三视图如图，则这个几何体的表面积为13. 在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是14. 已知曲线32:,11cos 2R ρθθΓ=∈-与曲线12:,2x t C t R y ⎧=⎪⎪∈⎨⎪=⎪⎩相交于,A B 两点，又原点(0,0)O ,则OA OB =15、在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的所对边分别是,,,a b c 有如下下列命题：①若C B A >>，则C B A sin sin sin >>；②若cos cos cos A B Ca b c==，则△ABC 为等边三角形； ③若sin 2sin 2A B =，则△ABC 为等腰三角形；④若(1tan )(1tan )2A B ++=，则△ABC 为钝角三角形；⑤存在,,A B C ，使得C B A C B A tan tan tan tan tan tan ++<成立. 其中正确的命题为__________________（写出所有正确命题．．．．的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本小题满分12分）B已知函数x x x x x f 22cos cos sin 2sin )(-+=，R x ∈. 求: (I) 函数)(x f 的单调增区间；(II)若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数)(x f 的值域.17. （本小题满分12分）某校一个研究性学习小组从网上查得，某种植物种子在一定条件下的发芽成功的概率为12，于是该学习小组分成两个小组进行验证性实验：（Ⅰ）第一个小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率；（Ⅱ）第二个小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次试验中种子发芽成功就停止实验，否则就继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但实验次数不超过5次。
【数学】山东省青岛市2015届高三下学期第二次模拟考试(理)
2015年山东省青岛市高考二模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题．每小题5分，共50分）1．（5分）已知=1﹣bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|a﹣bi|=（）A．3 B． 2 C． 5 D．【考点】复数求模．【专题】数系的扩充和复数．【分析】通过复数的相等求出a、b，然后求解复数的模．【解析】解：=1﹣bi，可得a=1+b+（1﹣b）i，因为a，b是实数，所以，解得a=2，b=1．所以|a﹣bi|=|2﹣i|==．故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．2．（5分）已知集合M={x|y=lg（2x﹣x2）}，N={x|x2+y2=1}，则M∩N=（）A．[﹣1，2）B．（0，1）C．（0，1] D．∅【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出M中x的范围确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出两集合的交集即可．【解析】解：由M中y=lg（2x﹣x2），得到2x﹣x2＞0，即x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即M=（0，2），由N中x2+y2=1，得到﹣1≤x≤1，即N=[﹣1，1]，则M∩N=（0，1]，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）高三（3）班共有学生56人，座号分别为1，2，3，…，56，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、17号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（）A．30 B．31 C．32 D．33【考点】系统抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】根据系统抽样的定义确定样本间隔即可．【解析】解：样本间隔为56÷4=14，则另外一个号码为14+17=31，故选：B．【点评】本题主要考查系统抽样的应用，根据条件求出样本间隔是解决本题的关键．4．（5分）已知函数，则使f（x）=2的x的集合是（）A．B．{1，4} C．D．【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用分段函数通过f（x）=2求出x的值即可．【解析】解：函数，当x≤0时，2x=2，可得x=1（舍去）．当x＞0时，|log2x|=2，即log2x=±2，解得x=4，或x=．使f（x）=2的x的集合是．故选：A．【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点的求法，考查计算能力．5．（5分）已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m 的余数，例如MOD（8，3）=2．如图是一个算法的程序框图，当输入的值为25时，则输出的结果为（）A．4 B． 5 C． 6 D．7【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，根据题意，依次计算MOD（n，i）的值，当i=5，MOD（25，5）=0，满足条件MOD（25，2）=0，退出循环，输出i的值为5．【解析】解：模拟执行程序框图，可得：n=25，i=2，MOD（25，2）=1，不满足条件MOD（25，2）=0，i=3，MOD（25，3）=1，不满足条件MOD（25，3）=0，i=4，MOD（25，4）=1，不满足条件MOD（25，4）=0，i=5，MOD（25，5）=0，满足条件MOD（25，2）=0，退出循环，输出i的值为5．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的MOD（n，i）的值是解题的关键，属于基础题．6．（5分）设x，y满足约束条件，则下列不等式恒成立的是（）A．x≥3 B．y≥4 C．x+2y﹣8≥0 D．2x﹣y+1≥0【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行判断即可．【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则C（2，3），B（2，5），则x≥3，y≥4不成立，作出直线x+2y﹣8=0，和2x﹣y+1=0，由图象可知2x﹣y+1≥0不成立，恒成立的是x+2y﹣8≥0，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．7．（5分）“a≤﹣2”是“函数f（x）=|x﹣a|在[﹣1，+∞）上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】从两个方向去判断，先看“a≤﹣2”能否得到“函数f（x）=|x﹣a|在[﹣1，+∞）上单调递增”：这个容易判断能得到；再看“函数f（x）=|x﹣a|在[﹣1，+∞）上单调递增”能否得到“a≤﹣2”：根据f（x）解析式知道f（x）在[a，+∞）上单调递增，从而a≤﹣1，并得不到a≤﹣2，综合以上情况即可得出答案．【解析】解：（1）若a≤﹣2，x∈[﹣1，+∞）时，f（x）=x﹣a；∴此时f（x）在[﹣1，+∞）上单调递增；∴“a≤﹣2”是“函数f（x）=|x﹣a|在[﹣1，+∞）上单调递增”的充分条件；（2）若“函数f（x）=|x﹣a|在[﹣1，+∞）上单调递增”，则：x≥a在[﹣1，+∞）上恒成立；∴﹣1≥a；即a≤﹣1；∴得不到a≤﹣2；∴“a≤﹣2”不是“函数f（x）=|x﹣a|在[﹣1，+∞）上单调递增”的必要条件；∴综上得“a≤﹣2”是“函数f（x）=|x﹣a|在[﹣1，+∞）上单调递增”的充分不必要条件．故选A．【点评】考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值，比如本题中f（x）=，一次函数的单调性，以及充分条件、必要条件、充分不必要条件的概念．8．（5分）将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有（）A．18种B．24种C．36种D．72种【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】概率与统计．【分析】把甲、乙两名员工看做一个整体，再把这4个人分成3部分，每部分至少一人，共有种方法，再把这3部分人分到3个为车间，有种方法，根据分步计数原理，求得不同分法的种数．【解析】解：把甲、乙两名员工看做一个整体，5个人变成了4个，再把这4个人分成3部分，每部分至少一人，共有种方法，再把这3部分人分到3个为车间，有种方法，根据分步计数原理，不同分法的种数为•=36，故选：C．【点评】本题考查的是分类计数问题问题，把计数问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题，属于基础题．9．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（﹣x），当时，f（x）=log2（x+1），则f（x）在区间内是（）A．减函数且f（x）＞0 B．减函数且f（x）＜0 C．增函数且f（x）＞0 D．增函数且f（x）＜0【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】令x∈，利用已知表达式及函数的奇偶性知f（x）=﹣log2x，从而可得答案．【解析】解：设x∈，则x﹣1∈，根据题意，f（x）=f（﹣x+1）=﹣f（x﹣1）=﹣log2（x﹣1+1）=﹣log2x，故选：B．【点评】本题考查了函数奇偶性的性质，属于基础题．10．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过F作斜率为﹣1的直线交双曲线的渐近线于点P，点P在第一象限，O为坐标原点，若△OFP的面积为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先设F点坐标，然后根据点斜式写出直线l方程，再与双曲线的渐近线联立，求出第一象限中的点P，根据三角形面积，求出a与b的关系，进而求出离心率．【解析】解：设右焦点F（c，0），则过F且斜率为﹣1的直线l方程为y=c﹣x∵直线l交双曲线的渐近线于点P，且点P在第一象限∴为解得P（，）∵△OFP的面积为，∴•c•=整理得a=3b∴该双曲线的离心率为==故答案为：C．【点评】本题考查了双曲线的一些性质，离心率、焦点坐标等，同时考查了直线方程和三角形面积公式．三、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知不共线的平面向量，满足，，那么|=2．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据向量的坐标即可求得，而根据即可得到，从而得到，这样便可求出答案．【解析】解：；∴；；∴；∴．故答案为：．【点评】考查根据向量的坐标求向量的长度的公式，两非零向量垂直的充要条件，以及数量积的运算．12．（5分）某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布N（110，102），已知P （100≤X≤110）=0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有8人．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】应用题；概率与统计．【分析】根据考试的成绩ξ服从正态分布N（110，102）．得到考试的成绩ξ关于ξ=110对称，根据P（100≤ξ≤110）=0.34，得到P（ξ≥120）=0.16，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．【解析】解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N（110，102）．∴考试的成绩ξ关于ξ=110对称，∵P（100≤ξ≤110）=0.34，∴P（ξ≥120）=P（ξ≤100）=（1﹣0.34×2）=0.16，∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.16×50=8．故答案为：8．【点评】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩ξ关于ξ=110对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．13．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是32；【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得三棱锥的底面边长与对应的高，求出它的体积．【解析】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面边长为8，该边上的高为6的三棱锥，且三棱锥的高为4；∴该三棱锥的体积为V三棱锥=×8×6×4=32．故答案为：32．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．14．（5分）若函数f（x）=Asin（的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为；【考点】定积分．【专题】导数的概念及应用．【分析】由图象求出函数解析式，然后利用定积分求得图中阴影部分的面积．【解析】解：由图可知，A=1，，T=2π，∴ω=1，则，∴图中的阴影部分的面积为=cos（）﹣cos（﹣）=1﹣．故答案为：．【点评】本题考查了利用y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，考查了定积分的求法，是基础的计算题．15．（5分）若不等式2y2﹣x2≥c（x2﹣xy）对任意满足x＞y＞0的实数x，y恒成立，则实数c的最大值为．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，变形为c≤=，令=t可得c≤=f（t），利用导数研究函数f（t）的单调性极值与最值即可得出．。
经典文档山东二模汇总_文数6份2015届山东省各地市高三二模数学(文)试题及答案(Word版)
①对 m Z ，有 f (2m ) 0 ；
②函数 f ( x) 的值域为 [ 0, ) ；
③存在 n Z ，使得 f (2n 1) 9 ；
④函数 f ( x) 在区间 (a,b) 单调递减的充分条件是“存在 k Z ，使得 (a,b) (2k ,2k 1 ) ，
其中所有正确结论的序号是： A. ①②④ B. ①② C.
16. （本小题满分 12 分）
已知向量 m ( 3 sin x, cos2 x), n (cos x,1)(
0) ，把函数 f (x)
mn
1
化简为
2
f ( x) A sin( tx ) B 的形式后， 利用“五点法” 画 y f ( x) 在某一个周期内的图像时，
列表并填入的部分数据如下表所示：
x 12
为了了解学生的校园安全意识， 某学校在全校抽取部分学生进行了消防知识问卷调查，
问
卷由三道选择题组成， 每道题答对得 5 分，答错得 0 分，现将学生答卷得分的情况统计如下：
0分
5分
10 分
15 分
性别
人数
分数
女生
20
x
30
60
男生
10
25
35
y
已知被调查的所有女生的平均得分为 8.25 分，现从所有答卷中抽取一份，抽到男生的答
第Ⅰ卷 选择题（共 50 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．
如需改动，
3．第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效．
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2015年聊城市高考模拟试题
理科数学（二）
注意事项：
1.本试题分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.第I 卷1至2页，第II 卷3至5页.满分150分，考试用时120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、考生号涂写在答题卡上.
3.第I 卷共2页.答题时，考生须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
4.第II 卷写在答题卡对应的区域内，严禁在试题卷或草纸上答题.
5.考试结束后，只将答题卡交回. 参考公式：
如果事件A,B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =⋅.
第I 卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知复数1
1z i
=-+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点在 A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.设集合{
}{}
2230,,x
A x x x
B y y e x R A B =--<==∈⋂=，则
A.()03，
B. ()02，
C. ()0，1
D. ()1，2
3.下列函数中，满足()()()f xy f x f y =的单调递增函数是 A. ()3
f x x =
B. ()1
f x x -=-
C. ()2log f x x =
D. ()2x
f x =
4.已知两条不同的直线,l m 和两个不同的平面,αβ，有如下命题： ①若,,//,////l m l m ααββαβ⊂⊂，则； ②若,//,//l l m l m αβαβ⊂⋂=，则；
③若,//l l αββα⊥⊥，则，其中正确命题的个数是 A.3
B.2
C.1
D.0
5.函数()1x xa y a x
=>的图象的大致形状是
6.利用简单随机抽样从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如图所示.在这些用户中，用电量落在区间[150，250]内的户数为 A.46 B.48 C.50
D.52
7.已知直线10ax y +-=与圆()()2
2
:11C x y a -++=相交于A,B 两点，且ABC ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为 A.117
-或
B. 1-
C. 11-或
D.1
8.将5名同学分成甲，乙，丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同分组方案的种数为 A.180 B.120 C.80 D.60 9.1234,,,a a a a 是各项不为零的等差数列，且公差0d ≠，若删去此数列的某一项，得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，则1
a d
的值为 A.1
B. 41-或
C.4
D. 41-或
10.已知M 是ABC ∆内一点，且30AB AC BAC ⋅=∠=o u u u r u u u r
，若M
B C M C A ∆∆，，MAB
∆的面积分别为1
2，x,y,则14
x y
+的最小值是 A.16
B.18
C.19
D.20
第II 卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.） 11.在ABC ∆中，若54
sin ,cos 135
A B =
=，则cos C =_________.
12.已知双曲线22
221x y a b
-=的离心率为2，它的一个焦点与抛物线
216y x =的焦点相同，那么该双曲线的渐近线方程为_________.
13.执行如图所示的程序框图，若输入的1,2T a ==，则输出的T 的值
为_________.
14.记集合()(){}
()222
0,11,,x A x y x y B x y y x
y x ⎧⎧≥⎫
⎪⎪
⎪
=-+≤=≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪≥⎭
⎩⎩
构成的平面区域分别为M,N ，现随机地向M 中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N 中的概率为_________. 15.已知函数()()3234f x x ax f x =-+，若存在唯一的零点0x ，则实数a 的取值范围是___________.
三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 16. （本小题满分12分）
设ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别是,,a b c ，已知,cos 6
A a b C π
=
=.
（I ）求角C 的大小；
（II ）如图，在ABC ∆的外角ACD ∠内取一点P ，使PC=2，过点P 作PM CA ⊥于M ，PN CD ⊥于N ，设线段PM ，PN 的长分别为,,,6
2
m n PCM x x π
π
∠=<<
且，求()f x mn
=的最大值及相应x 的值
.
17. （本小题满分12分）
如图，某快递公司送货员从公司A 处准备开车送货到某单位B 处，有A →C →D →B ，A →E →F →B 两条路线.若该地各路段发生堵车与否是相互独立的，且各路段发生堵车事件的概率如图所示（例如A →C →D 算作两个路段；路段AC 发生堵车事件的概率为1
6
，路段CD 发生堵车事件的概率为
110
）. （I ）请你为其选择一条由A 到B 的路线，使得途中发生堵车事件的概率较小；
（II ）若记路线A →E →F →B 中遇到堵车路段的个数为ξ，求ξ的分布列及其数学期望E(ξ）.
18. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD//BC ，9022ADC PA PD AD BC ∠=====o
，CD PB Q 是AD 的中点，M 是棱PC 上的点，且PM=3MC.
（I ）求证：平面PAD ⊥底面ABCD ； （II ）求二面角M BQ C --的大小.
19. （本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和是()
,2n n n S S a n n N *
=-∈且.
（I ）证明：数列{}1n a +是等比数列； （II ）记1
1
n n n n a b a a ++=
，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20. （本小题满分13分） 已知函数()12ln ,f x a x x a R x ⎛⎫
=-
-∈ ⎪⎝⎭
. （I ）当1a =时，判断函数()f x 是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由； （II ）求函数()f x 的单调区间.
21. （本小题满分14分）
已知椭圆E 的中心在坐标原点O
，它的长轴长，短轴长分别为2a ，右焦点(),0F c
，直
线2
:0l cx a x -=与轴相交于点,2A OF FA =u u u r u u r
，过点A 的直线m 与椭圆E 交于P ，Q 两点.
（I ）求椭圆E 的方程；
（II ）若以线段PQ 为直径的圆过原点O ，求直线m 的方程；
（III ）设()1A P A Q λλ=>uu u r uuu r ，过点P 且平行于直线l 的直线与椭圆E 相交于另一点M ，求证：
FM FQ λ=-u u u r u u u r
.
- 11 -。