2021中考数学专题复习第13讲 二次函数的综合运用
2021年中考数学 专题汇编：二次函数的实际应用(含答案)
2021中考数学专题汇编：二次函数的实际应用一、选择题（本大题共10道小题）1. 某商品进货单价为90元/个，按100元/个出售时，能售出500个，如果这种商品每个每涨价1元，那么其销售量就减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为()A．130元/个B．120元/个C．110元/个D．100元/个2. 某企业生产季节性产品，当产品无利润时，企业自动停产，经过调研，它一年中每月获得的利润y(万元)和月份n之间满足函数关系式y＝－n2＋12n－11，则企业停产的月份为()A．1月和11月B．1月、11月和12月C．1月D．1月至11月3. 北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆，拉索与主梁相连.最高的钢拱如图所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线型钢拱的函数表达式为()A.y=x2B.y=-x2C.y=x2D.y=-x24. 如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C=120°.若新建墙BC与CD总长为12 m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是()A.18 m2B.18m2C.24m2D.m25. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位: s)之间的函数关系如图所示.下列结论:①小球在空中经过的路程是40 m;②小球抛出3秒后，速度越来越快;③小球抛出3秒时速度为0;④小球的高度h=30 m时，t=1.5 s.其中正确的是()A.①④B.①②C.②③④D.②③6. 某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段防护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为()A．50 m B．100 mC．160 m D．200 m7. 如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x-x2刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画，下列结论错误的是()A .当小球抛出高度达到7.5 m 时，小球距O 点水平距离为3 mB .小球距O 点水平距离超过4 m 时呈下降趋势C .小球落地点距O 点水平距离为7 mD .斜坡的坡度为1∶28. 中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图①)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线形钢拱通过吊杆，拉索与主梁相连．最高的钢拱如图②所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A ，B 两点，拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB ＝90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系．则此抛物线形钢拱的函数解析式为( )A ．y ＝26675x 2 B ．y ＝－26675x 2 C ．y ＝131350x 2D ．y ＝－131350x 29. 如图，将一个小球从斜坡上的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x －12x 2刻画，斜坡可以用一次函数y ＝12x 刻画，下列结论错误的是( )A ．当小球抛出高度达到7.5 m 时，小球距点O 的水平距离为3 mB ．小球距点O 的水平距离超过4 m 后呈下降趋势C ．小球落地点距点O 的水平距离为7 mD ．小球距点O 的水平距离为2.5 m 和5.5 m 时的高度相同10. 在羽毛球比赛中，羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋c 的一部分(如图)，其中出球点B 离地面点O 的距离是1 m ，球落地点A 到点O 的距离是4 m ，那么这条抛物线的解析式是( )A ．y ＝－14x 2＋34x ＋1B ．y ＝－14x 2＋34x －1C ．y ＝－14x 2－34x ＋1D ．y ＝－14x 2－34x －1二、填空题（本大题共8道小题）11. 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品的售价为a 元，则可卖出(350－10a )件．但物价部门限定每件商品加价不能超过进价的40%，若商店想获得最大利润，则每件商品的价格应定为________元．12. 如图，一块矩形土地ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF分开.已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB= m 时，矩形土地ABCD 的面积最大.13. 某种商品每件的进价为20元，经调查表明：在某段时间内若以每件x 元(20≤x ≤30，且x 为整数)出售，则可卖出(30－x )件．若要使销售利润最大，则每件的售价应为________元．14. 某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现:当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元时，平均每天能多售出4件，当每件的定价为元时，该服装店平均每天的销售利润最大.15. 飞机着落后滑行的距离s(单位：米)关于滑行时间t(单位：秒)的函数解析式是s＝60t－32t2，则飞机着落后滑行的最长时间为________秒．16. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门．已知计划中的材料可建墙体总长为27 m，则能建成的饲养室总占地面积最大为________m2.17. 如图所示是一座抛物线形拱桥，当水面宽为12 m时，桥拱顶部离水面4 m，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系．若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式为y＝－19(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式为________________．18. 如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于A，B 两点，桥拱最高点C到AB的距离为9 m，AB＝36 m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7 m，则DE的长为________m.三、解答题（本大题共4道小题）19. 某商店销售一种商品，经市场调查发现，该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如下表:售价x(元/件) 50 60 80周销售量y(件) 100 80 40周销售利润1000 1600 1600w(元)注:周销售利润=周销售量×(售价-进价)(1)①求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);②该商品进价是元/件;当售价是元/件时，周销售利润最大，最大利润是元;(2)由于某种原因，该商品进价提高了m元/件(m>0)，物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若周销售最大利润是1400元，求m的值.20. 把一个足球垂直于水平地面向上踢，时间为t(秒)时该足球距离地面的高度h(米)，适用公式h＝20t－5t2(0≤t≤4)．(1)当t＝3时，求足球距离地面的高度；(2)当足球距离地面的高度为10米时，求t的值；(3)若存在实数t1和t2(t1≠t2)，当t＝t1或t2时，足球距离地面的高度都为m(米)，求m的取值范围．21. 旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x(元)是5的倍数．发现每天的运营规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？(注：净收入＝租车收入－管理费)(2)当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？22. (2019•辽阳)我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？2021中考数学专题汇编：二次函数的实际应用-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】B[解析] 设利润为y元，涨价x元，则有y＝(100＋x－90)(500－10x)＝－10(x－20)2＋9000，故每个商品涨价20元，即单价为120元/个时，获得最大利润．2. 【答案】B[解析] 由题意知，利润y和月份n之间的函数关系式为y＝－n2＋12n－11，∴y＝－(n－6)2＋25，当n＝1时，y＝0；当n＝11时，y＝0；当n＝12时，y＜0.故停产的月份是1月、11月和12月．故选B.3. 【答案】B[解析]设二次函数的表达式为y=ax2，由题可知，点A的坐标为(-45，-78)，代入表达式可得:-78=a×(-45)2，解得a=-，∴二次函数的表达式为y=-x2，故选B.4. 【答案】C[解析]如图，过点C作CE⊥AB于E，设CD=x，则四边形ADCE为矩形，CD=AE=x，∠DCE=∠CEB=90°，∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°，BC=12-x.在Rt△CBE中，∵∠CEB=90°，∴BE=BC=6-x，∴AD=CE=BE=6x，AB=AE+BE=x+6-x=x+6，∴梯形ABCD的面积=(CD+AB)·CE=x+x+6·6x=-x2+3x+18=-(x-4)2+24，=24，即CD长为4 m时，使梯形储料场ABCD的面积最大，∴当x=4时，S最大最大面积为24m2，故选C.5. 【答案】D[解析]①由图象知小球在空中达到的最大高度是40 m，故①错误;②小球抛出3秒后，速度越来越快，故②正确;③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0，故③正确;④设函数解析式为:h=a(t-3)2+40，把O(0，0)代入得0=a(0-3)2+40，解得a=-，∴函数解析式为h=-(t-3)2+40.把h=30代入解析式得，30=-(t-3)2+40，解得t=4.5或t=1.5，∴小球的高度h=30 m时，t=1.5 s或4.5 s，故④错误，故选D.6. 【答案】C[解析] 以2 m长线段所在直线为x轴，以其垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，再求出不锈钢支柱的长度．7. 【答案】A[解析]根据函数图象可知，当小球抛出的高度为7.5 m时，二次函数y=4x-x2的函数值为7.5，即4x-x2=7.5，解得x1=3，x2=5，故当抛出的高度为7.5 m时，小球距离O点的水平距离为3 m或5 m，A结论错误;由y=4x-x2，得y=-(x-4)2+8，则抛物线的对称轴为直线x=4，当x>4时，y随x值的增大而减小，B结论正确;联立方程y=4x-x2与y=x，解得或则抛物线与直线的交点坐标为(0，0)或7，，C 结论正确;由点7，知坡度为∶7=1∶2也可以根据y=x 中系数的意义判断坡度为1∶2，D 结论正确.故选A .8. 【答案】B[解析] 设二次函数的解析式为y ＝ax 2.由题可知，点A 的坐标为(－45，－78)，代入解析式可得－78＝a(－45)2，解得a ＝－26675，∴二次函数解析式为y ＝－26675x 2.故选B.9. 【答案】A[解析] 令y ＝7.5，得4x －12x 2＝7.5.解得x 1＝3，x 2＝5.可见选项A错误．由y ＝4x －12x 2得y ＝－12(x －4)2＋8，∴对称轴为直线x ＝4，当x ＞4时，y 随x 的增大而减小，选项B 正确．联立y ＝4x －12x 2与y ＝12x ，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝72.∴抛物线与直线的交点坐标为(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，可见选项C 正确．由对称性可知选项D 正确．综上所述，只有选项A 中的结论是错误的，故选A.10. 【答案】A [解析] A ，B 两点的坐标分别为(4，0)，(0，1)，把(4，0)，(0，1)分别代入y ＝－14x 2＋bx ＋c ，求出b ，c 的值即可．二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】28 [解析] 设商店所获利润为y 元．根据题意，得 y ＝(a －21)(350－10a)＝－10a 2＋560a －7350＝－10(a －28)2＋490， 即当a ＝28时，可获得最大利润．又21×(1＋40%)＝21×1.4＝29.4，而28<29.4，所以a ＝28符合要求． 故商店应把每件商品的价格定为28元，此时可获得最大利润．12. 【答案】150[解析]设AB=x m ，矩形土地ABCD 的面积为y m 2，由题意，得y=x ·=-(x -150)2+33750，∵-<0，∴该函数图象开口向下，当x=150时，该函数有最大值.即AB=150 m 时，矩形土地ABCD 的面积最大.13. 【答案】25[解析] 设利润为w 元，则w ＝(x －20)(30－x)＝－(x －25)2＋25.∵20≤x≤30，∴当x ＝25时，二次函数有最大值25.14. 【答案】22[解析]设每件的定价为x 元，每天的销售利润为y 元.根据题意，得y=(x -15)[8+2(25-x )]=-2x 2+88x -870. ∴y=-2x 2+88x -870=-2(x -22)2+98. ∵a=-2<0， ∴抛物线开口向下，∴当x=22时，y 最大值=98.故答案为22.15. 【答案】20[解析] 滑行的最长时间实际上是求顶点的横坐标．∵s ＝60t －32t 2＝－32(t －20)2＋600，∴当t ＝20时，s 的最大值为600.16. 【答案】75[解析] 设与墙垂直的一边的长为x m ，则与墙平行的一边的长为27－(3x －1)＋2＝(30－3x)m.因此饲养室总占地面积S ＝x(30－3x)＝－3x 2＋30x ，∴当x ＝－302×（－3）＝5时，S 最大，S最大值＝－3×52＋30×5＝75.故能建成的饲养室总占地面积最大为75 m 2.17. 【答案】y ＝－19(x ＋6)2＋418. 【答案】48[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB 与y 轴交于点H.∵AB＝36 m，∴AH＝BH＝18 m.由题可知：OH＝7 m，CH＝9 m，∴OC＝9＋7＝16(m)．设该抛物线的解析式为y＝ax2＋k.∵抛物线的顶点为C(0，16)，∴抛物线的解析式为y＝ax2＋16.把(18，7)代入解析式，得7＝18×18a＋16，∴7＝324a＋16，∴a＝－1 36，∴y＝－136x2＋16.当y＝0时，0＝－136x2＋16，∴－136x2＝－16，解得x＝±24，∴E(24，0)，D(－24，0)，∴OE＝OD＝24 m，∴DE＝OD＋OE＝24＋24＝48(m)．三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解:(1)①设y与x的函数关系式为y=kx+b，依题意，有解得∴y与x的函数关系式是y=-2x+200..②设进价为t元/件，由题意，1000=100×(50-t)，解得t=40，∴进价为40元/件; 周销售利润w=(x-40)y=(x-40)(-2x+200)=-2(x-70)2+1800，故当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元.故答案为40，70，1800.(2)依题意有，w=(-2x+200)(x-40-m)=-2x2+(2m+280)x-8000-200m=-2x-2+m2-60m+1800.∵m>0，∴对称轴x=>70，∵-2<0，∴抛物线开口向下，∵x≤65，∴w随x的增大而增大，∴当x=65时，w有最大值(-2×65+200)(65-40-m)，∴(-2×65+200)(65-40-m)=1400，∴m=5.20. 【答案】解：(1)当t＝3时，h＝20t－5t2＝20×3－5×9＝15(米)，∴此时足球距离地面的高度为15米．(2分)(2)∵h＝10，∴20t－5t2＝10，即t2－4t＋2＝0，解得t1＝2＋2，t2＝2－2，∴经过2＋2或2－ 2 秒时，足球距离地面的高度为10米．(4分)(3)∵m≥0，由题意得t1和t2是方程20t－5t2＝m的两个不相等的实数根，∴b2－4ac＝(－20)2－20m＞0，∴m＜20，∴m的取值范围是0≤m＜20.(8分)21. 【答案】解：(1)由题意知，若观光车能全部租出，则0<x≤100，由50x－1100>0，(2分)解得x>22，(3分)又∵x是5的倍数，∴每辆车的日租金至少应为25元．(5分)(2)设每天的净收入为y元，当0<x≤100时，y1＝50x－1100，(6分)∵y1随x的增大而增大，∴当x＝100时，y1的最大值为50×100－1100＝3900；(8分)当x>100时，y2＝(50－x－1005)x－1100＝－15x2＋70x－1100＝－15(x－175)2＋5025.(9分)∴当x＝175时，y2的最大值是5025，∵5025>3900，∴当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．(10分) 22. 【答案】(1)设一次函数关系式为(0)y kx b k =+≠，由图象可得，当30x =时，140y =；50x =时，100y =，∴1403010050k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得2200k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 与x 之间的关系式为2200(3060)y x x =-+≤≤．(2)设该公司日获利为W 元，由题意得2(30)(2200)4502(65)2000W x x x =--+-=--+，∵20a =-<，∴抛物线开口向下，∵对称轴65x =，∴当65x <时，W 随着x 的增大而增大，∵3060x ≤≤，∴60x =时，W 有最大值，22(6065)200015=90W -⨯-+=最大值．即，销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为1950元．。
【2021中考数学】二次函数的综合及其应用含答案
二次函数的综合及其应用1． 有一块矩形地块ABCD ，AB ＝20米，BC ＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD 分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x 米．现决定在等腰梯形AEHD 和BCGF 中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE 和CDHG 中种植乙种花卉；在矩形EFGH 中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/平方米、60元/平方米、40元/平方米，设三种花卉的种植总成本为y 元． (1)当x ＝5时，求种植总成本y ；(2)求种植总成本y 与x 的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围；(3)若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．2． 某单位的帮扶对象种植的农产品在某月(按30天计)的第x 天(x 为正整数)的销售价格p(元/千克)关于x 的函数关系式为p ＝⎩⎪⎨⎪⎧25x ＋4（0<x≤20），－15x ＋12（20<x≤30），销售量y(千克)与x 之间的关系如图所示．(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围．(2)当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？(销售额＝销售量×销售价格)3． 在平面直角坐标系中，直线y ＝－12x ＋5 与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线y ＝ax 2＋bx(a≠0)过点A.(1)求线段AB 的长；(2)若抛物线y ＝ax 2＋bx 经过线段AB 上另一点C ，且BC ＝5，求这条抛物线表达式； (3)如果抛物线y ＝ax 2＋bx 的顶点D 在△AOB 内部，求a 的取值范围4． 如图，在直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形，经过A(－2，0)，B ，C 三点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋83(a ＜0)与x 轴的另一个交点为D ，其顶点为M ，对称轴与x 轴交于点E.(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)已知R 是抛物线上的点，使得△A DR 的面积是▱OABC 的面积的34，求点R 的坐标；(3)已知P 是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD 上存在唯一的点Q ，使得∠PQE＝45°，求点P 的坐标．5． 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2与x 轴交于A ，B 两点，且OA ＝2OB ，与y 轴交于点C ，连接BC ，抛物线对称轴为直线x ＝12，D 为第一象限内抛物线上一动点，过点D 作DE⊥OA 于点E ，与AC 交于点F ，设点D的横坐标为m.(1)求抛物线的表达式；(2)当线段DF 的长度最大时，求D 点的坐标；(3)抛物线上是否存在点D ，使得以点O ，D ，E 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：(1)当x ＝5时，EF ＝20－2x ＝10，EH ＝30－2x ＝20，y ＝2×12×(EH ＋AD)×x×20＋2×12×(GH ＋CD)×x×60＋EF·EH×40＝(20＋30)×5×20＋(10＋20)×5×60＋20×10×40＝22 000. (2)EF ＝20－2x ，EH ＝30－2x ，参考(1)，由题意，得y ＝(30＋30－2x)×x×20＋(20＋20－2x)×x×60＋(30－2x)(20－2x)×40＝－400x ＋24 000(0＜x ＜10)．(3)S 甲＝2×12(EH ＋AD)×x＝(30－2x ＋30)x ＝－2x 2＋60x ，同理S 乙＝－2x 2＋40x.∵甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2， ∴－2x 2＋60x －(－2x 2＋40x)≤120， 解得x≤6，故0＜x≤6，而y ＝－400x ＋24 000随x 的增大而减小，故当x ＝6时，y 的最小值为21 600， 故三种花卉的最低种植总成本为21 600元．2．解：(1)当0<x≤20时，设y 与x 的函数关系式为y ＝ax ＋b ，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝80.20a ＋b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝80，即当0<x≤20时，y 与x 的函数关系式为y ＝－2x ＋80；当20<x≤30时，设y 与x 的函数关系式为y ＝mx ＋n ，⎩⎪⎨⎪⎧20m ＋n ＝40，30m ＋n ＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝－40， 即当20<x≤30时，y 与x 的函数关系式为y ＝4x －40.由上可得，y 与x 的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋80（0<x≤20），4x －40（20<x≤30）. (2)设当月第x 天的销售额为w 元，当0<x≤20时， w ＝(25x ＋4)×(－2x ＋80)＝－45(x －15)2＋500，∴当x ＝15时，w 取得最大值，此时w ＝500；当20<x≤30时，w ＝(－15x ＋12)×(4x－40)＝－45(x －35)2＋500，∴当x ＝30时，w 取得最大值，此时w＝480，由上可得，当x ＝15时，w 取得最大值，此时w ＝500.答：当月第15天，该农产品的销售额最大，最大销售额是500元． 3．解：(1)直线y ＝－12x ＋5与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，则A(10，0)，B(0，5)，∴AB＝102＋52＝5 5.(2)设点C 坐标为(t ，－12t ＋5)，则BC 2＝t 2＋(－12t)2＝5，解得t ＝2，∴C(2，4)．将A ，C 坐标代入y ＝ax 2＋bx 得⎩⎪⎨⎪⎧0＝100a ＋10b ，4＝4a ＋2b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－14，b ＝52，∴这条抛物线的表达式为y ＝－14x 2＋52x.(3)∵抛物线y ＝ax 2＋bx 过点A ，∴100a＋10b ＝0，解得b ＝－10a ，∴抛物线顶点D 为(5，－25a)． 抛物线顶点D 在△AOB 内部，∴0＜－25a ＜52，解得－110＜a ＜0.4．解：(1)OA ＝2＝BC ，故函数的对称轴为x ＝1，则x ＝－b2a ＝1.①将点A 的坐标代入抛物线表达式得0＝4a －2b ＋83，②联立①②并解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝23，故抛物线的表达式为y ＝－13x 2＋23x ＋83.③(2)由抛物线的表达式，得点M(1，3)，点D(4，0)．∵△ADR 的面积是▱OABC 的面积的34，∴12AD·|y R |＝34OA·OB，即12×6×|y R |＝34×2×83， 解得y R ＝±43，④联立④③并解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1±13，y ＝－43或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1±5，y ＝43. 故点R 的坐标为(1＋13，－43)或(1－13，－43)或(1＋5，43)或(1－5，43)．(3)(Ⅰ)如图，作△PEQ 的外接圆R ，∵∠PQE＝45°，∴∠PRE＝90°， 则△PRE 为等腰直角三角形． 当直线MD 上存在唯一的点Q ， 则RQ⊥MD.点M ，D 的坐标分别为(1，3)，(4，0)，则ME ＝3，ED ＝4－1＝3， 则MD ＝32，过点R 作RH⊥ME 于点H ，设点P(1，2m)，则PH ＝HE ＝HR ＝m ， 则圆R 的半径为2m ，则点R(1＋m ，m)， S △MED ＝S △MRD ＋S △MRE ＋S △DRE ，∴12EM·ED＝12MD·RQ＋12ED·y R ＋12ME·RH， 即12×3×3＝12×32×2m ＋12×3m＋12×3m，解得m ＝34，故点P(1，32)．(Ⅱ)当点Q 与点D 重合时，由点M ，E ，D 的坐标知，ME ＝ED ，即∠MDE＝45°；①当点P 在x 轴上方时，当点P 与点M 重合时，此时∠PQE＝45°，此时点P(1，3)， ②当点P 在x 轴下方时，同理可得点P(1，－3)， 综上所述，点P 的坐标为(1，32)或(1，3)或(1，－3)．5．解：(1)设OB ＝t ，则OA ＝2t ，则点A ，B 的坐标分别为(2t ，0)，(－t ，0)，则x ＝12(2t －t)＝12，解得t ＝1，故点A ，B 的坐标分别为(2，0)，(－1，0)，则抛物线的表达式为y ＝a(x －2)(x ＋1)＝ax 2＋bx ＋2， 解得a ＝－1，b ＝1，故抛物线的表达式为y ＝－x 2＋x ＋2.(2)对于y ＝－x 2＋x ＋2，令x ＝0，则y ＝2，故点C(0，2)， 由点A ，C 的坐标，得直线AC 的表达式为y ＝－x ＋2， 设点D 的横坐标为m ，则点D(m ，－m 2＋m ＋2)， 则点F(m ，－m ＋2)，则DF ＝－m 2＋m ＋2－(－m ＋2)＝－m 2＋2m ＝－(m －1)2＋1. ∵－1＜0，∴DF 有最大值，此时m ＝1，点D(1，2)． (3)存在，理由：点D(m ，－m 2＋m ＋2)(m ＞0)，则OE ＝m ， DE ＝－m 2＋m ＋2，以点O ，D ，E 为顶点的三角形与△BOC 相似， 则DE OE ＝OB OC 或DE OE ＝OC OB ，即DE OE ＝2或DE OE ＝12，即－m 2＋m ＋2m ＝2或－m 2＋m ＋2m ＝12，解得m ＝1或－2(舍去)或1＋334或1－334(舍去)，故m ＝1或1＋334.。
备考2021年中考数学复习专题：函数_二次函数_二次函数与不等式(组)的综合应用,综合题专训及答案
若
≤－2，比较 与 的大小；
（4） 当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围。
9、 (2017濉溪.中考模拟) 2016年里约奥运会，中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌，优秀成绩的取得离不开艰辛的训练 ．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米 ，跳板距水面CD的高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD为横轴，CB 为纵轴建立直角坐标系．
下面是他的探究过程，请将探究过程补充完整： 将不等式按条件进行转化：
当x=0时，原不等式不成立； 当x＞0时，原不等式可以转化为x2+4x﹣1＞ ； 当x＜0时，原不等式可以转化为x2+4x﹣1＜ ； （1） 构造函数，画出图象 设y3=x2+4x﹣1，y4= ，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象．
备考2021年中考数学复习专题：函数_二次函数_二次函数与不等式（组）的综
合应用，综合题专训及答案
备 考 2021中 考 数 学 复 习 专 题 ： 函 数 _二 次 函 数 _二 次 函 数 与 不 等 式 （ 组 ） 的 综 合 应 用 ， 综 合 题 专 训
1、 (2018长春.中考真卷) 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴于点E（点A在点D 的左侧），经过E、D两点的函数y=﹣ x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1 ， 函数y=﹣ x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2 ， 其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L．
交于A（1，3）和B（﹣3，﹣1）两点．
观察图象可知：
2021年九年级数学中考复习专题：二次函数综合(考察动点坐标、长度、面积等)(一)
2021年九年级数学中考复习专题：二次函数综合（考察动点坐标、长度、面积等）（一）1．如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不能，请说明理由．2．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．已知点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP、PC、CD．（1）求这个抛物线的表达式．（2）当四边形ADCP面积等于4时，求点P的坐标．（3）①点M在平面内，当△CDM是以CM为斜边的等腰直角三角形时，直接写出满足条件的所有点M的坐标；②在①的条件下，点N在抛物线对称轴上，当∠MNC＝45°时，直接写出满足条件的所有点N的坐标．4．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC＝CD．（1）求b，c的值；（2）求直线BD的函数解析式；（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若PD＝m，△PCD的面积为S．①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；②当S取得最值时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，在线段MB上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与直线BC交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|BM﹣CM|的值最大，求出点M的坐标；（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，直接写出点E的坐标．7．如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．8．已知二次函数图象过点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）．（1）求二次函数的解析式．（2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC＝90°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角θ，且tanθ＝，求点K的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），与x轴交于B（﹣3，0）、C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的表达式；（2）用配方法求点D的坐标；（3）点P是线段OB上的动点．①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE＝PC，求点E的坐标；②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；③若点Q是射线OA上的动点，且始终满足OQ＝OP，连接AP，DQ，请直接写出AP+DQ的最小值．10．如图1，已知：抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）交x轴于A，C两点，交y轴于点B，且OB ＝2CO．（1）求二次函数解析式；（2）在二次函数图象（如图2）位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）令x＝0，则y＝3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3），∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD＝（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，∵a＝﹣1＜0，∴当x＝时，线段PD的长度有最大值；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD＝45°+45°＝90°，此时，点P（2，﹣1），综上所述，点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形．2．解：（1）∵点B（3，0），点C（0，3）在抛物线y＝﹣x2+bx+c图象上，∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）∵点B（3，0），点C（0，3），∴直线BC解析式为：y＝﹣x+3，如图，过点P作PH⊥x轴于H，交BC于点G，设点P（m，﹣m2+2m+3），则点G（m，﹣m+3），∴PG＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，＝×PG×OB＝×3×（﹣m2+3m）＝﹣（m﹣）2+，∵S△PBC有最大值，∴当m＝时，S△PBC∴点P（，）；（3）存在N满足条件，理由如下：∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，∴点A（﹣1，0），∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点M为（1，4），∵点M为（1，4），点C（0，3），∴直线MC的解析式为：y＝x+3，如图，设直线MC与x轴交于点E，过点N作NQ⊥MC于Q，∴DE＝4＝MD，∴∠NMQ＝45°，∵NQ⊥MC，∴∠NMQ＝∠MNQ＝45°，∴MQ＝NQ，∴MQ＝NQ＝MN，设点N（1，n），∵点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离，∴NQ＝AN，∴NQ2＝AN2，∴（MN）2＝AN2，∴（|4﹣n|）2＝4+n2，∴n2+8n﹣8＝0，∴n＝﹣4±2，∴存在点N满足要求，点N坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．3．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），∴抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，即﹣3a＝2，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2；（2）连接OP，设点P（x，﹣x2﹣x+2），∵抛物线y＝﹣x2﹣x+2交y轴于点C，∵S ＝S 四边形ADCP ＝S △APO +S △CPO ﹣S △ODC ＝×AO ×y P +×OC ×|x P |﹣×CO ×OD ＝4，∴×3×（﹣x 2﹣x +2）+×2×（﹣x ）﹣×1×2＝4，∴x 1＝﹣1，x 2＝﹣2， ∴点P （﹣1，）或（﹣2，2）；（3）①如图2，若点M 在CD 左侧，连接AM ，∵∠MDC ＝90°，∴∠MDA +∠CDO ＝90°，且∠CDO +∠DCO ＝90°， ∴∠MDA ＝∠DCO ，且AD ＝CO ＝2，MD ＝CD ， ∴△MAD ≌△DOC （SAS ）∴AM ＝DO ，∠MAD ＝∠DOC ＝90°， ∴点M 坐标（﹣3，1），若点M 在CD 右侧，同理可求点M '（1，﹣1）； ②如图3，∵抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2﹣x +2＝﹣（x +1）2+；∴对称轴为：直线x ＝﹣1，∴点D在对称轴上，∵MD＝CD＝M'D，∠MDC＝∠M'DC＝90°，∴点D是MM'的中点，∵∠MCD＝∠M'CD＝45°，∴∠MCM'＝90°，∴点M，点C，点M'在以MM'为直径的圆上，当点N在以MM'为直径的圆上时，∠M'NC＝∠M'MC＝45°，符合题意，∵点C（0，2），点D（﹣1，0）∴DC＝，∴DN＝DN'＝，且点N在抛物线对称轴上，∴点N（﹣1，），点N'（﹣1，﹣）延长M'C交对称轴与N''，∵点M'（1，﹣1），点C（0，2），∴直线M'C解析式为：y＝﹣3x+2，∴当x＝﹣1时，y＝5，∴点N''的坐标（﹣1，5），∵点N''的坐标（﹣1，5），点M'（1，﹣1），点C（0，2），∴N''C＝＝M'C，且∠MCM'＝90°，∴MM'＝MN''，∴∠MM'C＝∠MN''C＝45°∴点N''（﹣1，5）符合题意，综上所述：点N的坐标为：（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，5）．4．解：（1）∵BO＝3AO＝3，∴点B（3，0），点A（﹣1，0），∴抛物线解析式为：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣x﹣，∴b＝﹣，c＝﹣；（2）如图1，过点D作DE⊥AB于E，∴CO∥DE，∴，∵BC＝CD，BO＝3，∴＝，∴OE＝，∴点D横坐标为﹣，∴点D坐标为（﹣，+1），设直线BD的函数解析式为：y＝kx+b，由题意可得：，解得：，∴直线BD的函数解析式为y＝﹣x+；（3）∵点B（3，0），点A（﹣1，0），点D（﹣，+1），∴AB＝4，AD＝2，BD＝2+2，对称轴为直线x＝1，∵直线BD：y＝﹣x+与y轴交于点C，∴点C（0，），∴OC＝，∵tan∠CBO＝＝，∴∠CBO＝30°，如图2，过点A作AK⊥BD于K，∴AK＝AB＝2，∴DK＝＝＝2，∴DK＝AK，∴∠ADB＝45°，如图，设对称轴与x轴的交点为N，即点N（1，0），若∠CBO＝∠PBO＝30°，∴BN＝PN＝2，BP＝2PN，∴PN＝，BP＝，当△BAD∽△BPQ，∴，∴BQ＝＝2+，∴点Q（1﹣，0）；当△BAD∽△BQP，∴，∴BQ＝＝4﹣，∴点Q（﹣1+，0）；若∠PBO＝∠ADB＝45°，∴BN＝PN＝2，BP＝BN＝2，当△DAB∽△BPQ，∴，∴，∴BQ＝2+2∴点Q（1﹣2，0）；当△BAD∽△PQB，∴，∴BQ＝＝2﹣2，∴点Q（5﹣2，0）；综上所述：满足条件的点Q的坐标为（1﹣，0）或（﹣1+，0）或（1﹣2，0）或（5﹣2，0）．5．解：（1）∵直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3），∴c＝3，﹣＝1，∴b＝2，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）①∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴点M（1，4），∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），∴0＝﹣x2+2x+3∴x1＝3，x2＝﹣1，∴点A（﹣1，0），点B（3，0），∵点M（1，4），点B（3，0）∴直线BM解析式为y＝﹣2x+6，∵点P在直线BM上，且PD⊥x轴于点D，PD＝m，∴点P（3﹣，m），∴S△PCD＝×PD×OD＝m×（3﹣）＝﹣m2+m，∵点P在线段BM上，且点M（1，4），点B（3，0），∴0＜m≤4∴S与m之间的函数关系式为S＝﹣m2+m（0＜m≤4）②∵S＝﹣m2+m＝﹣（m﹣3）2+，∴当m＝3时，S有最大值为，∴点P（，3）∵0＜m≤4时，S没有最小值，综上所述：当m＝3时，S有最大值为，此时点P（，3）；（3）存在，若PC＝PD＝m时，∵PD＝m，点P（3﹣，m），点C（0，3），∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝m2，∴m1＝18+6（舍去），m2＝18﹣6，∴点P（﹣6+3，18﹣6）；若DC＝PD＝m时，∴（3﹣﹣0）2+（﹣3）2＝m2，∴m3＝﹣2﹣2（舍去），m4＝﹣2+2，∴点P（4﹣，﹣2+2）；若DC＝PC时，∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝（3﹣﹣0）2+（﹣3）2，∴m5＝0（舍去），m6＝6（舍去）综上所述：当点P的坐标为：（﹣6+3，18﹣6）或（4﹣，﹣2+2）时，使△PCD为等腰三角形．6．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），∴，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）∵抛物线对称轴是线段AB的垂直平分线，∴AM＝BM，由三角形的三边关系，|BM﹣CM|＝|AM﹣CM|＜AC，∴点A、C、M三点共线时，|BM﹣CM|最大，设直线AC的解析式为y＝mx+n，则，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣3x+3，又∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，∴x＝2时，y＝﹣3×2+3＝﹣3，故，点M的坐标为（2，﹣3）；（3））∵OB＝OC＝3，OB⊥OC，∴△BOC是等腰直角三角形，∵EF∥y轴，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∴△DEF只要是直角三角形即可与△BOC相似，∵D（2，1），A（1，0），B（3，0），∴点D垂直平分AB且到点AB的距离等于AB，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠ADB ＝90°，如图，①点F 是直角顶点时，点F 的纵坐标与点D 的纵坐标相同，是1，∴x 2﹣4x +3＝1，整理得x 2﹣4x +2＝0，解得x ＝2±， 当x ＝2﹣时，y ＝﹣（2﹣）+3＝1+， 当x ＝2+时，y ＝﹣（2+）+3＝1﹣， ∴点E 1（2﹣，1+）E 2（2+，1﹣）， ②点D 是直角顶点时，易求直线AD 的解析式为y ＝x ﹣1，联立，解得，，当x ＝1时，y ＝﹣1+3＝2，当x ＝4时，y ＝﹣4+3＝﹣1，∴点E 3（1，2），E 4（4，﹣1），综上所述，存在点E 1（2﹣，1+）或E 2（2+，1﹣）或E 3（1，2）或E 4（4，﹣1），使以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似．7．解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 交x 轴于点A （1，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3；（2）∵抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴于A，B两点，∴点B（﹣3，0），∵点B（﹣3，0），点C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，如图1，当点D在点C上方时，∵∠DBC＝15°，∴∠OBD＝30°，∴tan∠DBO＝＝，∴OD＝×3＝，∴CD＝3﹣；若点D在点C下方时，∵∠DBC＝15°，∴∠OBD＝60°，∴tan∠DBO＝＝，∴OD＝3，∴DC＝3﹣3，综上所述：线段CD的长度为3﹣或3﹣3；（3）如图2，在BO上截取OE＝OA，连接CE，过点E作EF⊥AC，∵点A（1，0），点C（0，﹣3），∴OA＝1，OC＝3，∴AC＝＝＝，∵OE＝OA，∠COE＝∠COA＝90°，OC＝OC，∴△OCE≌△OCA（SAS），∴∠ACO＝∠ECO，CE＝AC＝，∴∠ECA＝2∠ACO，∵∠PAB＝2∠ACO，∴∠PAB＝∠ECA，＝AE×OC＝AC×EF，∵S△AEC∴EF＝＝，∴CF＝＝＝，∴tan∠ECA＝＝，如图2，当点P在AB的下方时，设AP与y轴交于点N，∵∠PAB＝∠ECA，∴tan∠ECA＝tan∠PAB＝＝，∴ON＝，∴点N（0，﹣），又∵点A（1，0），∴直线AP解析式为：y＝x﹣，联立方程组得：，解得：或，∴点P坐标为：（﹣，﹣），当点P在AB的上方时，同理可求直线AP解析式为：y＝﹣x+，联立方程组得：，解得：或，∴点P坐标为：（﹣，），综上所述：点P的坐标为（﹣，），（﹣，﹣）．8．解：（1）∵二次函数图象过点B（4，0），点A（﹣2，0），∴设二次函数的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），∵二次函数图象过点C（0，4），∴4＝a（0+2）（0﹣4），∴a＝﹣，∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+4；（2）存在，理由如下：如图1，取BC中点Q，连接MQ，∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点P是AC中点，点Q是BC中点，∴P（﹣1，2），点Q（2，2），BC＝＝4，设直线BP解析式为：y＝kx+b，由题意可得：，解得：∴直线BP的解析式为：y＝﹣x+，∵∠BMC＝90°∴点M在以BC为直径的圆上，∴设点M（c，﹣c+），∵点Q是Rt△BCM的中点，∴MQ＝BC＝2，∴MQ2＝8，∴（c﹣2）2+（﹣c+﹣2）2＝8，∴c＝4或﹣，当c＝4时，点B，点M重合，即c＝4，不合题意舍去，∴c＝﹣，则点M坐标（﹣，），故线段PB上存在点M（﹣，），使得∠BMC＝90°；（3）如图2，过点D作DE⊥BC于点E，设直线DK与BC交于点N，∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点D是AB中点，∴点D（1，0），OB＝OC＝4，AB＝6，BD＝3，∴∠OBC＝45°，∵DE⊥BC，∴∠EDB＝∠EBD＝45°，∴DE＝BE＝＝，∵点B（4，0），C（0，4），∴直线BC解析式为：y＝﹣x+4，设点E（n，﹣n+4），∴﹣n+4＝，∴n＝，∴点E（，），在Rt△DNE中，NE＝＝＝，①若DK与射线EC交于点N（m，4﹣m），∵NE＝BN﹣BE，∴＝（4﹣m）﹣，∴m＝，∴点N（，），∴直线DK解析式为：y＝4x﹣4，联立方程组可得：，解得：或，∴点K坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）；②若DK与射线EB交于N（m，4﹣m），∵NE＝BE﹣BN，∴＝﹣（4﹣m），∴m＝，∴点N（，），∴直线DK解析式为：y＝x﹣，联立方程组可得：，解得：或，∴点K坐标为（，）或（，），综上所述：点K的坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）或（，）或（，）．9．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），与x轴交于B（﹣3，0），∴∴∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x+2；（2）∵y＝x2﹣x+2＝﹣（x+1）2+，∴顶点D坐标（﹣1，）；（3）①∵抛物线y＝x2﹣x+2与x轴交于B（﹣3，0）、C两点，∴点C（1，0）设点E（m，m2﹣m+2），则点P（m，0），∵PE＝PC，∴m2﹣m+2＝1﹣m，∴m＝1（舍去），m＝﹣，∴点E（﹣，）②如图，连接AE交对称轴于点N，连接DE，作EH⊥DN于H，交y轴于点F，∵点A（0，2），点E（﹣，），∴直线AE解析式为y＝﹣x+2，∴点N坐标（﹣1，）∴DH＝＝，HN＝＝，∴DH＝NH，且EH⊥DN，∴∠DEH＝∠NEH，∴点F到AE，DE的距离相等，∴DN∥y轴，EH⊥DN，∴EH⊥y轴，∴EF＝；③在x轴正半轴取点H，使OH＝OA＝2，∵OH＝OA，∠AOP＝∠QOH＝90°，OP＝OQ，∴△AOP≌△HOQ（SAS）∴AP＝QH，∴AP+DQ＝DQ+QH≥DH，∴点Q在DH上时，DQ+AP有最小值，最小值为DH的长，∴AP+DQ的最小值＝＝．10．解：（1）对于抛物线y＝a（x+1）（x﹣3），令y＝0，得到a（x+1）（x﹣3）＝0，解得x＝﹣1或3，∴C（﹣1，0），A（3，0），∴OC＝1，∵OB＝2OC＝2，∴B（0，2），把B（0，2）代入y＝a（x+1）（x﹣3）中得：2＝﹣3a，a＝﹣∴二次函数解析式为＝；（2）设点M的坐标为（m，），则点N的坐标为（2﹣m，），MN＝m﹣2+m＝2m﹣2，GM＝矩形MNHG的周长C＝2MN+2GM＝2（2m﹣2）+2（）＝＝∴当时，C有最大值，最大值为；（3）∵A（3，0），B（0，2），∴OA＝3，OB＝2，由对称得：抛物线的对称轴是：x＝1，∴AE＝3﹣1＝2，设抛物线的对称轴与x轴相交于点E，当△ABP为直角三角形时，存在以下三种情况：①如图1，当∠BAP＝90°时，点P在AB的下方，∵∠PAE+∠BAO＝∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠PAE＝∠ABO，∵∠AOB＝∠AEP，∴△ABO∽△PAE，∴，即，∴PE＝3，∴P（1，﹣3）；②如图2，当∠PBA＝90°时，点P在AB的上方，过P作PF⊥y轴于F，同理得：△PFB∽△BOA，∴，即，∴BF＝，∴OF＝2+＝，∴P（1，）；③如图3，以AB为直径作圆与对称轴交于P1、P2，则∠AP1B＝∠AP2B＝90°，设P1（1，y），∵AB2＝22+32＝13，由勾股定理得：AB2＝P1B2+P1A2，∴12+（y﹣2）2+（3﹣1）2+y2＝13，解得：y＝1±，∴P（1，1+）或（1，1﹣），综上所述，点P的坐标为（1，﹣3）或（1，）或（1，1+）或（1，1﹣）。
2021届中考数学专题复习训练——二次函数 专题13.1二次函数综合之角度相等、45°角、二倍角
二次函数角度问题 （角相等，45°角，二倍角）【经典例题1——角度相等】通过平行线，等腰等角，相似求解抛物线y ＝ax 2＋c 与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，点P 为抛物线上，且位于x 轴下方．（1）如图1，若P (1，－3)、B (4，0)， ① 求该抛物线的解析式；② 若D 是抛物线上一点，满足∠DPO ＝∠POB ，求点D 的坐标；【解析】(1)①将P(1，−3)，B(4，0)代入y=ax 2+c ，得⎩⎨⎧-=+=+3016c a c a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==51651c a ，∴抛物线的解析式为y=51x 2−516；②如图1，当点D 在OP 左侧时，由∠DPO=∠POB ，得DP ∥OB ， ∴D 与P 关于y 轴对称，且P(1，−3)， ∴D(−1，−3)；当点D 在OP 右侧时，延长PD 交x 轴于点G. 作PH ⊥OB 于点H ，则OH=1，PH=3. ∵∠DPO=∠POB ， ∴PG=OG.设OG=x ，则PG=x ，HG=x −1.在Rt △PGH 中，由x 2=(x −1)2+32，得x =5. ∴点G(5，0).∴直线PG 的解析式为y=43x −415，∴MF=1，BF=2， ∴M （2，1）…（5分） ∵MN 是BC 的垂直平分线， ∴CN=BN ，设ON=x ，则CN=BN=4-x ， 在Rt △OCN 中，CN 2=OC 2+ON 2， ∴（4-x ）2=22+x 2，解得：x =23，∴N （23，0）．设直线DE 的解析式为y=kx +b ，依题意，得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02312b k b k ，解得：⎩⎨⎧-==32b k ．∴直线DE 的解析式为y=2x -3． 解法二：如图2，设BC 的垂直平分线DE 交BC 于M ，交x 轴于N ，连接CN ，过点C 作CF ∥x 轴交DE 于F ． ∵MN 是BC 的垂直平分线， ∴CN=BN ，CM=BM ． 设ON=x ，则CN=BN=4-x ， 在Rt △OCN 中，CN 2=OC 2+ON 2， ∴（4-x ）2=22+x 2，解得：x =23，∴N （23，0）． ∴BN=4-23=25．∵CF ∥x 轴，∴∠CFM=∠BNM ． ∵∠CMF=∠BMN ，∴△CMF ≌△BMN ．∴CF=BN ．∴F （25，2）．设直线DE 的解析式为y=kx +b ，得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02312b k b k ，解得：⎩⎨⎧-==32b k∴直线DE 的解析式为y=2x -3．（3）由（1）得抛物线解析式为y=21x 2-25x +2，【解析】(1)∵y=−x2+(a+1)x−a解得x 1=a ，x 2=1由图象知：a <0 ∴A(a ，0)，B(1，0) ∵S △ABC =6 ∴21(1−a )(−a )=6 解得：a =−3，(a =4舍去)； (2)如图①，∵A(−3，0)，C(0，3)， ∴OA=OC ，∴线段AC 的垂直平分线过原点， ∴线段AC 的垂直平分线解析式为：y=−x ， ∵由A(−3，0)，B(1，0)， ∴线段AB 的垂直平分线为x =−1 将x=−1代入y=−x ， 解得：y=1∴△ABC 外接圆圆心的坐标(−1，1)(3)如图②，作PM ⊥x 轴交x 轴于M ，则S △BAP =21AB ⋅PM=21×4d ∵S △PQB =S △PAB∴A 、Q 到PB 的距离相等， ∴AQ ∥PB设直线PB 解析式为：y=x +b ∵直线经过点B(1，0)所以：直线PB 的解析式为y=x −1 联立y=−x 2−2x +3；y=x −1. 解得：x =−4；y=−5. ∴点P 坐标为(−4，−5) 又∵∠PAQ=∠AQB ，∴∠BPA=∠PBQ ，∴AP=QB ， 在△PBQ 与△BPA 中，AP=QB ，∠BPA=∠PBQ ，PB=BP ， ∴△PBQ ≌△ABP(SAS)， ∴PQ=AB=4设Q(m ，m+3)由PQ=4得：(m+4)2+(m+3+5)2=42解得：m=−4，m=−8(当m=−8时，∠PAQ ≠∠AQB ，故应舍去) ∴Q 坐标为(−4，−1).练习1-1如下图，已知抛物线y＝ax2＋bx+5经过A(-5，0)，B(-4，-3)两点，与x 轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD.（1）求该抛物线的表达式.（2）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t.该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由练习1-2.如图，抛物线y=ax2＋bx+6与x轴交于点A（﹣2，0）、点B（6，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点D（4，m）在抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；练习1-3.(2019泰安)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴、y轴分别交于点A(3，0)、B(0，－2)，且过点C(2，－2)．(1)求二次函数解析式；(2)若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；(3)在抛物线上(AB下方)是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M 到y轴的距离；若不存在，请说明理由．练习1-4.抛物线322++-=x x y 与x 轴交于点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求直线BC 的解析式；（2）抛物线的对称轴上存在点P ，使∠APB=∠ABC ，利用图1求点P 的坐标； （3）点Q 在y 轴右侧的抛物线上，利用图2比较∠OCQ 与∠OCA 的大小，并说明理由．练习1-5如图(1)，直线y=−34x +n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C(0，4)，抛物线y=32x 2+bx +c 经过点A ，交y 轴于点B(0，−2).点P 为抛物线上一个动点，过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD ⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m. (1)求抛物线的解析式；(2)当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；(3)如图(2)，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD′P′，当旋转角∠PBP′=∠OAC ，且点P 的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标。
2021年北京市中考数学专题练习：二次函数的综合应用
二次函数的综合应用类型一对称性、增减性问题1.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－6x＋5与y轴交于点A，直线l：y＝kx＋b(k≠0)经过点A.(1)求抛物线的对称轴及b的值；(2)点M(x1，y1)为抛物线在x轴下方的图象上一点，过点M作平行于x轴的直线交抛物线于点N(x2，y2)，其中x1≠x2，直线l与线段MN交于点P(x3，y3)．若x1＋x2＋x3＝9，求k的取值范围．2.抛物线C1：y＝ax2＋bx－3，以x＝1为对称轴，图象经过A(－1，0)．(1)求抛物线C1的解析式；(2)将抛物线C1在y轴左侧的图象沿y轴翻折，并将翻折至y轴右侧的部分图象称作图形G，若直线y＝5与抛物线C1交于点P(x1，5)和Q(x2，5)，与图形G交于点M(x3，5)，且x1＜x3＜x2.①求x2－x3的值；②当抛物线C1沿x轴向右平移n个单位(n＞0)，请结合图象，确定3≤x2－x3≤5时，求n 的取值范围．3.已知抛物线y＝ax2－2ax＋3(a≠0)(1)求抛物线的对称轴；(2)若抛物线与x 轴交于P ，Q 两点，且PQ ＝4， ①求抛物线的表达式；②将该抛物线在0≤x ≤4之间的部分记为图象G ，将图象G 在直线y ＝t (上方的部分沿y ＝t 翻折，其余部分保持不变，得到个新函数的图象，记这个函数的最大值为M ，最小值为m ，若M －m ≤6，求t 的取值范围．4. (2018朝阳区二模)已知二次函数y ＝ax 2－2ax －2(a ≠0)． (1)求该二次函数图象的对称轴；(2)若该二次函数的图象开口向上，当－1≤x ≤5时，函数图象的最高点为M ，最低点为N ，点M 的纵坐标为112，求点M 和点N 的坐标；(3)对于该二次函数图象上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)设t ≤x 1≤t ＋1，当x 2≥3时，均有y 1≥y 2，请结合图象，直接写出t 的取值范围．类型二公共点问题5. (2020人大附中模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－2x＋a－3，当a＝0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B.(1)求点B的坐标；(2)将抛物线在直线y＝a上方的部分沿直线y＝a翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M，若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．6. (2020朝阳区二模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋a2x＋c与y轴交于点(0，2)．(1)求c的值；(2)当a＝2时，求抛物线顶点的坐标；(3)已知点A(－2，0)，B(1，0)，若抛物线y＝ax2＋a2x＋c与线段AB有两个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．和点B(点A在点B的左侧)．(1)若抛物线的对称轴是直线x＝1，求出点A和点B的坐标，并画出此时函数的图象；(2)当已知点P(m，2)，Q(－m，2m－1)．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．8. (2020石景山区期末)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－4ax＋c(a≠0)与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B.直线y＝35x－3与x轴，y轴分别交于点C，D.(1)求抛物线的对称轴；(2)若点A与点D关于x轴对称，①求点B的坐标：②若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．A.(1)求点A的坐标(用含a的式子表示)；(2)求抛物线的对称轴；(3)已知点M(－2，－a－2)，N(0，a)，若抛物线与线段MN恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．10.(2020清华附中模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2a2x(a≠0)的对称轴与x轴交于点P.(1)求点P的坐标(用含a的代数式表示)；(2)记函数y＝－x＋2(－1≤x≤2)的图象为图形M，若抛物线与图形M恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．第10题图类型三整点问题11. (2020房山区一模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx－1交y轴于点P.(1)过点P作与x轴平行的直线，交抛物线于点Q，PQ＝4，求ba的值；(2)横纵坐标都是整数的点叫做整点. 在(1)的条件下，记抛物线与x轴所围成的封闭区域(不含边界)为W. 若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求a的取值范围．12. (2019丰台区一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c过原点和点A(－2，0)．(1)求抛物线的对称轴；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，已知点B(0，32)，记抛物线与直线AB围成的封闭区域(不含边界)为W.①当a＝1时，求出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有3个整点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．参考答案 1. 解：(1)抛物线的对称轴为直线x ＝－－62＝3，与y 轴的交点为A (0，5)， ∵直线l 经过点A (0，5)， ∴b ＝5；(2)∵抛物线的对称轴为直线x ＝3，∴x 1＋x 2＝2×3＝6， ∵x 1＋x 2＋x 3＝9， ∴x 3＝3.∴点P 为线段MN 的中点，∴当点P 过抛物线的顶点(3，－4)时， 解得k ＝－3， 当点P 过(3，0)时， 解得k ＝－53.∴当x 1＋x 2＋x 3＝9时，k 的取值范围为－3＜k ＜－53. 2. 解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝1a －b －3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1b ＝－2，∴抛物线C 1的解析式为y ＝x 2－2x －3； (2)①当y ＝5时，x 2－2x －3＝5， 解得x 1＝－2，x 2＝4.∵P (x 1，5)和M (x 3，5)关于y 轴对称， ∴x 3＝2， ∴x 2－x 3＝2；②根据平移的性质可知：x 1＝－2＋n ，x 2＝4＋n . ∵P (x 1，5)和M (x 3，5)关于y 轴对称， ∴x 3＝2－n ， ∴x 2－x 3＝2＋2n . ∵3≤x 2－x 3≤5，∴⎩⎨⎧2＋2n ≥32＋2n ≤5， ∴12≤n ≤32.第2题解图3. 解：(1)抛物线的对称轴为直线x ＝－－2a2a ＝1；(2)①∵抛物线对称轴为x ＝1，且与x 轴交点P 、Q 之间的距离为4. ∴与x 轴的交点分别为(－1，0)，(3，0)将(－1，0)代入抛物线解析式， 解得a ＝－1，故抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3；②图象在0≤x ≤4之间的部分翻折前后如解图所示，第3题解图设抛物线顶点坐标为T ， ∴T (1，4)．设y ＝t 与抛物线的对称轴交于点S .则ST ＝4－t ，则点T ′纵坐标为t －(4－t )＝2t －4， 当点T ′在点H 上方时，(与点H 可重合) 即2t －4≥－5，即t ≥－12， 此时M ＝t ，m ＝－5， t ＋5≤6，解得t ≤1，即－12≤t ≤1； 当点T ′在点H 下方时， t ＜－12，此时，M ＝t ，m ＝2t －4， 则t －2t ＋4≤6，解得t ≥－2， 即－2≤t ＜－12；∴t 的取值范围为－2≤t ≤1.4. 解：(1)该二次函数图象的对称轴为直线x ＝－－2a2a ＝1； (2)∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x ＝1，－1≤x ≤5， ∴当x ＝5时，y 取得最大值，即M (5，112)， ∴112＝a ×52－2a ×5－2，解得a ＝12，∴该二次函数的表达式为y ＝ax 2－2ax －2＝a (x －1)2－a －2＝12(x －1)2－52，即点N 的坐标为(1，－52)； (3)－1≤t ≤2.【解法提示】当a ＞0时，该函数的图象开口向上，对称轴为直线x ＝1，无法保证t ≤x 1≤t ＋1，当x 2≥3时，具有y 1≥y 2；当a ＜0时，该函数的图象开口向下，对称轴为直线x ＝1，∵t ≤x 1≤t ＋1，当x 2≥3时，具有y 1≥y 2，点A (x 1，y 1)B (x 2，y 2)在该函数图象上， ∴⎩⎨⎧t ＋1≤3t ≥1－（3－1）， ∴－1≤t ≤2.5. 解：(1)当a ＝0时，抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3 ∴A (0，－3)，∵将点A 向右平移4个单位长度，得到点B. ∴B (4，－3)；(2)当函数经过点A时，a＝0，有三个交点．∵图形M与线段AB恰有两个公共点，∴直线y＝a要在AB线段的上方，∴a＞－3，∴－3＜a＜0，当a＝1时，y＝x2－2x＋a－3沿着直线y＝1翻折，此时，图形M与线段AB恰有两个公共点．综上所述，－3＜a＜0或a＝1.6.解：(1)∵抛物线y＝ax2＋a2x＋c与y轴交于点(0，2)，∴c＝2；(2)当a＝2时，抛物线为y＝2x2＋4x＋2＝2(x＋1)2.∴顶点坐标为(－1，0)；(3)当a＞0时，①由(2)可得当a＝2时，如解图①，抛物线与线段AB只有一个公共点；②当抛物线过点A(－2，0)时，解得a＝1＋2(负值已舍)，如解图②，此时抛物线与线段AB有两个公共点．图①图②第6题解图结合函数图象可得2＜a≤1＋ 2.∵抛物线不过点B，∴当a<0时，抛物线与线段AB只有一个或没有公共点．综上所述，a的取值范围是2<a≤1＋ 2.7.解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x＝－b2a＝－m2·（－1）＝1∴m＝2，∴抛物线为y＝－x2＋2x＋3，将y＝0代入，得0＝－x2＋2x＋3，解得x1＝－1，x2＝3，∴点A坐标为(－1，0)，点B坐标为(3，0)，图象如解图①：第7题解图①(2)∵抛物线对称轴为x＝m2，且过(0，3)，∴抛物线恒过点(m，3)．∴点P(m，2)始终在抛物线下方．当抛物线y＝－x2＋mx＋3过点Q(－m，2m－1)时，即m2＋m－2＝0，解得m＝－2或m＝1，此时点Q坐标为(2，－5)或(－1，1)当m＞－2时，－m＜2，2m－1＞－5，抛物线与线段PQ无公共点，∴当m≤－2时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，同理m≥1时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点．综上所述，m的取值范围是m≤－2或m≥1.8.解：(1)∵y＝ax2－4ax＋c＝a(x－2)2－4a＋c，∴抛物线的对称轴是直线x＝2；(2)①∵直线y＝35x－3与x轴，y轴分别交于点C、D，∴点C的坐标为(5，0)，点D的坐标为(0，－3)．∵抛物线与y轴的交点A与点D关于x轴对称，∴点A的坐标为(0，3)．c＝3∵将点A向右平移2个单位长度，得到点B，∴点B的坐标为(2，3)．②抛物线顶点为P(2，3－4a)．(ⅰ)当a＞0时，如解图①.令x＝5，得y＝25a－20a＋3＝5a＋3＞0，即点C(5，0)总在抛物线上的点E(5，5a＋3)的下方．∵y P＜y B，∴点B(2，3)总在抛物线顶点P的上方，结合函数图象，可知当a＞0时，抛物线与线段BC恰有一个公共点．图①图②第8题解图(ⅱ)当a＜0时，如解图②.当抛物线过点C(5，0)时，25a －20a ＋3＝0，解得a ＝－35.结合函数图象，可得a ≤－35时，抛物线与线段BC 恰有一个公共点． 综上所述，a 的取值范围是a ≤－35或a ＞0.9. 解：(1)∵抛物线y ＝ax 2－3ax ＋a ＋1与y 轴交于点A ， 令x ＝0，得y ＝a ＋1. ∴A (0，a ＋1)．(2)由抛物线y ＝ax 2－3ax ＋a ＋1可知其对称轴为直线x ＝－－3a 2a ＝32. ∴抛物线的对称轴为直线x ＝32. (3)对于任意的实数a ，都有a ＋1＞a . 可知点A 总在点N 的上方． 令抛物线上的点C (－2，y C )． ∴y C ＝11a ＋1.①如解图①，当a ＞0时，y C ＞－a －2， ∴点C 在点M 的上方．结合函数图象，可知抛物线与线段MN 没有公共点．第9题解图①②当a ＜0时，(ⅰ)如解图②，当抛物线经过点M 时，y C ＝－a －2. 即－a －2＝11a ＋1， ∴a ＝－14.结合函数图象，可知抛物线与线段MN 恰有一个公共点M .第9题解图②(ⅱ)当－14＜a＜0时，可知抛物线与线段MN没有公共点．(ⅲ)如解图③，当a＜－14时，y C＜－a－2.∴点C在点M的下方．结合函数图象，可知抛物线与线段MN恰有一个公共点．综上所述，a的取值范围是a≤－1 4.第9题解图③10.解：(1)∵抛物线y＝ax2－2a2x的对称轴是直线x＝－－2a22a＝a，∴点P的坐标是(a，0)；(2)当a＞0时，①如解图①，取特殊值a＝1，作出函数图象，与图形M有2个交点，不符合题意，②如解图②，a>1，对称轴右移，N(2a，0)在(2，0)的右边，抛物线开口变小，过原点，对称轴左侧部分与图形M有1个交点，符合题意，③如解图③，0<a<1，对称轴左移，N(2a，0)在(2，0)的左边，开口变大，过原点，对称轴右侧部分与图形M有1个交点，符合题意．图①图②图③第10题解图当a＜0时，①如解图④，取特殊值a＝－1，无交点，不符合题意，②如解图⑤，－1<a<0，对称轴右移，开口变大，过原点，与图形M无交点，不符合题意，图④图⑤第10题解图③如解图⑥到解图⑧，a<－1，对称轴左移，开口变小，过原点，会与图形M产生交点，如解图⑦，抛物线过点(－1，3)，易求得a＝－3 2，如解图⑧，a<－32，抛物线在对称轴右侧的部分与图形M有1个交点，符合题意．∴综上所述，a≤－32或0＜a＜1或a＞1.图⑥图⑦图⑧第10题解图11.解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx－1交y轴于点P，∴点P(0，－1)，∵PQ＝4，PQ∥x轴，∴点Q(4，－1)，(－4，－1)，当点Q为(4，－1)，∴－1＝16a＋4b－1，∴ba＝－4，当点Q(－4，－1)，∴－1＝16a－4b－1，∴ba＝4；(2)当a＞0时，如解图①，第11题解图①当抛物线过点(2，－2)时，a＝1 4，当抛物线过点(1，－2)时，a＝1 3，∴14＜a≤13；当a＜0时，如解图②，第11题解图②当抛物线过点(2，2)时，a＝－3 4，当抛物线过点(2，3)时，a＝－1，∴－1≤a＜－3 4，综上所述，14＜a≤13或－1≤a＜－34.12.解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过原点(0，0)和点A(－2，0)，∴抛物线的对称轴为x＝－1；(2)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过原点(0，0)和点A(－2，0)，∴c＝0，b＝2a，∴抛物线解析式可化为y＝ax2＋2ax.①a＝1时，抛物线的解析式为y＝x2＋2x.如解图①，结合函数图象，区域W内的整点个数为2；第12题解图①②13≤a＜23或1＜a≤2或－4≤a＜－3.【解法提示】①当a＞0时，如解图②，当抛物线顶点的纵坐标大于等于－2且小于－1时，区域W内有3个整点，∵抛物线顶点的纵坐标＝－a，∴－2≤－a＜－1.即1＜a≤2；如解图③，当抛物线过点(1，1)，但不过点(1，2)时，区域W内有3个整点，分别把点(1，1)，(1，2)代入抛物线的解析式y＝ax2＋2ax，可得a＝13或a＝23，即13≤a＜23；②当a＜0时，如解图④，当抛物线顶点的纵坐标大于3且小于等于4时，区域W内有3个整点，∴3＜－a≤4.即－4≤a＜－3；综上所述，a的取值范围为13≤a＜23或1＜a≤2或－4≤a＜－3.图②图③图④第12题解图。
2021届中考数学专题复习训练——二次函数 专题13.1二次函数综合之角度相等、45°角、二倍角
二次函数角度问题 （角相等，45°角，二倍角）【经典例题1——角度相等】通过平行线，等腰等角，相似求解抛物线y ＝ax 2＋c 与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，点P 为抛物线上，且位于x 轴下方．（1）如图1，若P (1，－3)、B (4，0)， ① 求该抛物线的解析式；② 若D 是抛物线上一点，满足∠DPO ＝∠POB ，求点D 的坐标；【解析】(1)①将P(1，−3)，B(4，0)代入y=ax 2+c ，得⎩⎨⎧-=+=+3016c a c a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==51651c a ，∴抛物线的解析式为y=51x 2−516；②如图1，当点D 在OP 左侧时，由∠DPO=∠POB ，得DP ∥OB ， ∴D 与P 关于y 轴对称，且P(1，−3)， ∴D(−1，−3)；当点D 在OP 右侧时，延长PD 交x 轴于点G. 作PH ⊥OB 于点H ，则OH=1，PH=3. ∵∠DPO=∠POB ， ∴PG=OG.设OG=x ，则PG=x ，HG=x −1.在Rt △PGH 中，由x 2=(x −1)2+32，得x =5. ∴点G(5，0).∴直线PG 的解析式为y=43x −415，∴MF=1，BF=2， ∴M （2，1）…（5分） ∵MN 是BC 的垂直平分线， ∴CN=BN ，设ON=x ，则CN=BN=4-x ， 在Rt △OCN 中，CN 2=OC 2+ON 2， ∴（4-x ）2=22+x 2，解得：x =23，∴N （23，0）．设直线DE 的解析式为y=kx +b ，依题意，得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02312b k b k ，解得：⎩⎨⎧-==32b k ．∴直线DE 的解析式为y=2x -3． 解法二：如图2，设BC 的垂直平分线DE 交BC 于M ，交x 轴于N ，连接CN ，过点C 作CF ∥x 轴交DE 于F ． ∵MN 是BC 的垂直平分线， ∴CN=BN ，CM=BM ． 设ON=x ，则CN=BN=4-x ， 在Rt △OCN 中，CN 2=OC 2+ON 2， ∴（4-x ）2=22+x 2，解得：x =23，∴N （23，0）． ∴BN=4-23=25．∵CF ∥x 轴，∴∠CFM=∠BNM ． ∵∠CMF=∠BMN ，∴△CMF ≌△BMN ．∴CF=BN ．∴F （25，2）．设直线DE 的解析式为y=kx +b ，得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02312b k b k ，解得：⎩⎨⎧-==32b k∴直线DE 的解析式为y=2x -3．（3）由（1）得抛物线解析式为y=21x 2-25x +2，【解析】(1)∵y=−x2+(a+1)x−a解得x 1=a ，x 2=1由图象知：a <0 ∴A(a ，0)，B(1，0) ∵S △ABC =6 ∴21(1−a )(−a )=6 解得：a =−3，(a =4舍去)； (2)如图①，∵A(−3，0)，C(0，3)， ∴OA=OC ，∴线段AC 的垂直平分线过原点， ∴线段AC 的垂直平分线解析式为：y=−x ， ∵由A(−3，0)，B(1，0)， ∴线段AB 的垂直平分线为x =−1 将x=−1代入y=−x ， 解得：y=1∴△ABC 外接圆圆心的坐标(−1，1)(3)如图②，作PM ⊥x 轴交x 轴于M ，则S △BAP =21AB ⋅PM=21×4d ∵S △PQB =S △PAB∴A 、Q 到PB 的距离相等， ∴AQ ∥PB设直线PB 解析式为：y=x +b ∵直线经过点B(1，0)所以：直线PB 的解析式为y=x −1 联立y=−x 2−2x +3；y=x −1. 解得：x =−4；y=−5. ∴点P 坐标为(−4，−5) 又∵∠PAQ=∠AQB ，∴∠BPA=∠PBQ ，∴AP=QB ， 在△PBQ 与△BPA 中，AP=QB ，∠BPA=∠PBQ ，PB=BP ， ∴△PBQ ≌△ABP(SAS)， ∴PQ=AB=4设Q(m ，m+3)由PQ=4得：(m+4)2+(m+3+5)2=42解得：m=−4，m=−8(当m=−8时，∠PAQ ≠∠AQB ，故应舍去) ∴Q 坐标为(−4，−1).练习1-1如下图，已知抛物线y＝ax2＋bx+5经过A(-5，0)，B(-4，-3)两点，与x 轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD.（1）求该抛物线的表达式.（2）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t.该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由练习1-2.如图，抛物线y=ax2＋bx+6与x轴交于点A（﹣2，0）、点B（6，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点D（4，m）在抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；练习1-3.(2019泰安)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴、y轴分别交于点A(3，0)、B(0，－2)，且过点C(2，－2)．(1)求二次函数解析式；(2)若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；(3)在抛物线上(AB下方)是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M 到y轴的距离；若不存在，请说明理由．练习1-4.抛物线322++-=x x y 与x 轴交于点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求直线BC 的解析式；（2）抛物线的对称轴上存在点P ，使∠APB=∠ABC ，利用图1求点P 的坐标； （3）点Q 在y 轴右侧的抛物线上，利用图2比较∠OCQ 与∠OCA 的大小，并说明理由．练习1-5如图(1)，直线y=−34x +n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C(0，4)，抛物线y=32x 2+bx +c 经过点A ，交y 轴于点B(0，−2).点P 为抛物线上一个动点，过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD ⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m. (1)求抛物线的解析式；(2)当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；(3)如图(2)，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD′P′，当旋转角∠PBP′=∠OAC ，且点P 的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标。
中考数学总复习课时训练(专题(13)二次函数的图象与性质(一)附详细解析参考答案
课时训练(十三)二次函数的图象与性质(一)[限时:分钟]夯实基础1.抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是()A.(-2,5)B.(-2,-5)C.(2,5)D.(2,-5)2.下列二次函数中,图象以直线x=2为对称轴,且经过点(0,1)的是()A.y=(x-2)2+1B.y=(x+2)2+1C.y=(x-2)2-3D.y=(x+2)2-33.[2018·河西区结课考]已知函数y=(x-1)2,下列结论正确的是()A.当x>0时,y随x的增大而减小B.当x<0时,y随x的增大而增大C.当x<1时,y随x的增大而减小D.当x<-1时,y随x的增大而增大4.[2021·绍兴]关于二次函数y=2(x-4)2+6的最大值或最小值,下列说法正确的是()A.有最大值4B.有最小值4C.有最大值6D.有最小值65.[2021·上海]将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移两个单位,以下说法错误的是()A.开口方向不变B.对称轴不变C.y随x的变化情况不变D.与y轴的交点不变6.[2021·泰安]将抛物线y=-x2-2x+3的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过点()A.(-2,2)B.(-1,1)C.(0,6)D.(1,-3)7.[2021·陕西]下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值:x…-2 0 1 3 …y… 6 -4 -6 -4 …下列各选项中,正确的是()A.这个函数的图象开口向下B.这个函数的图象与x轴无交点C.这个函数的最小值小于-6D.当x>1时,y的值随x值的增大而增大8.对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1,0),(3,0)两点,则它的对称轴为.9.已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点,该抛物线的顶点坐标是.10.[2018·河西区一模]请写出一个二次函数的解析式,满足其图象过点(1,0),且与x轴有两个不同的交点:.11.[2021·广东]把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的解析式为.12.(1)已知二次函数y=ax2+bx+1的图象经过点(1,3)和(3,-5),求a,b的值.(2)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为1和2.求这个二次函数的表达式.13.[2021·宁波]如图K13-1,二次函数y=(x-1)(x-a )(a 为常数)的图象的对称轴为直线x=2. (1)求a 的值;(2)向下平移该二次函数的图象,使其经过原点,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.图K13-1能力提升14.[2019·河西区二模]已知抛物线y=x 2+2mx-3m (m 是常数),且无论m 取何值,该抛物线都经过某定点H ,则点H 的坐标为 ( ) A .-32,1B .-32,-1C .32,94D .-32,9415.[2021·福建]二次函数y=ax 2-2ax+c (a>0)的图象过A (-3,y 1),B (-1,y 2),C (2,y 3),D (4,y 4)四个点,下列说法一定正确的是( ) A .若y 1y 2>0,则y 3y 4>0 B .若y 1y 4>0,则y 2y 3>0 C .若y 2y 4<0,则y 1y 3<0D .若y 3y 4<0,则y 1y 2<016.如图K13-2,抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴相交于点A ,B (m+2,0),与y 轴相交于点C ,点D 在该抛物线上,坐标为(m ,c ),则点A 的坐标是 .图K13-217.[2021·北京]在平面直角坐标系xOy 中,点(1,m )和点(3,n )在抛物线y=ax 2+bx (a>0)上. (1)若m=3,n=15,求该抛物线的对称轴.(2)已知点(-1,y 1),(2,y 2),(4,y 3)在该抛物线上.若mn<0,比较y 1,y 2,y 3的大小,并说明理由.【参考答案】1.C2.C3.C4.D5.D [解析] 将二次函数图象向下平移,不改变开口方向,故A 正确; 将二次函数图象向下平移,不改变对称轴,故B 正确; 将二次函数图象向下平移,不改变函数的增减性,故C 正确;抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)与y 轴的交点坐标为(0,c ),将二次函数的图象向下平移两个单位,与y 轴的交点坐标为(0,c-2),改变,故D 错误.6.B [解析] y=-x 2-2x+3=-(x 2+2x )+3=-[(x+1)2-1]+3=-(x+1)2+4, ∵将抛物线y=-x 2-2x+3向右平移1个单位,再向下平移2个单位, ∴得到的抛物线的解析式为y=-x 2+2.将选项中的四个坐标代入可知,只有B 选项中的坐标符合题意.7.C [解析] 设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ,由题知{6=a ×(-2)2+b ×(-2)+c ,-4=c ,-6=a +b +c ,解得{a =1,b =-3,c =-4,∴二次函数的解析式为y=x 2-3x-4=(x-4)(x+1)=x-322-254,∴函数图象开口向上,∴A 错误;∵图象与x 轴的交点为(4,0)和(-1,0),∴B 错误;∵当x=32时,函数有最小值为-254,∴C 正确;∵函数图象的对称轴为直线x=32,根据图象可知当x>32时,y 的值随x 值的增大而增大,∴D 错误. 8.直线x=2 9.(1,4)10.y=x 2-3x+2(答案不唯一) [解析] ∵抛物线过点(1,0),∴设抛物线的解析式为y=a (x-1)(x-m ). ∵抛物线与x 轴有两个不同的交点,∴m ≠1,取a=1,m=2,则抛物线的解析式为y=(x-1)(x-2)=x 2-3x+2. 11.y=2x 2+4x12.解:(1)将(1,3)和(3,-5)分别代入y=ax 2+bx+1, 得:{a +b +1=3,9a +3b +1=-5,解得:{a =-2,b =4.∴a 的值为-2,b 的值为4.(2)由题意得,二次函数的图象经过点(1,0)和(2,0), 将(1,0)和(2,0)分别代入y=-x 2+bx+c , 得{-1+b +c =0,-4+2b +c =0,解得{b =3,c =-2, ∴这个二次函数的表达式为y=-x 2+3x-2.13.解:(1)由二次函数y=(x-1)(x-a )(a 为常数)知,该抛物线与x 轴的交点坐标是(1,0)和(a ,0). ∵对称轴为直线x=2,∴1+a 2=2.解得a=3.(2)由(1)知a=3,则该抛物线解析式是:y=x 2-4x+3,由抛物线向下平移3个单位后经过原点,得平移后图象所对应的二次函数的表达式是y=x 2-4x. 14.C [解析] 由y=x 2+2mx-3m=x 2+m (2x-3)可知当x=32时,无论m 取何值y 都等于94,∴点H 的坐标为32,94.15.C [解析] ∵y=ax 2-2ax+c=a (x-1)2-a+c ,∴抛物线的对称轴为直线x=1,∴四点中距离对称轴远近关系从远到近排列为:A ,D ,B ,C ,当y 2y 4<0时,一定是y 2<0,y 4>0,根据对称性判断y 3<0,y 1>0,∴y 1y 3<0,因此本题选C .16.(-2,0) [解析] 由C (0,c ),D (m ,c ),得函数图象的对称轴是直线x=m2,设A 点坐标为(x ,0),由A ,B 关于对称轴x=m2对称可得x+m+22=m 2,解得x=-2,即A 点坐标为(-2,0).17.解:(1)∵m=3,n=15, ∴点(1,3),(3,15)在抛物线上,将(1,3),(3,15)的坐标代入y=ax 2+bx 得: {3=a +b ,15=9a +3b ,解得{a =1,b =2,∴y=x 2+2x=(x+1)2-1, ∴抛物线对称轴为直线x=-1.(2)由题意得:抛物线y=ax 2+bx (a>0)始终过定点(0,0),则由mn<0可得:①当m>0,n<0时,由抛物线y=ax 2+bx (a>0)始终过定点(0,0)可得此时的抛物线开口向下,即a<0,与a>0矛盾; ②当m<0,n>0时,∵抛物线y=ax 2+bx (a>0)始终过定点(0,0), ∴此时抛物线的对称轴的范围为12<-b2a <32, ∵点(-1,y 1),(2,y 2),(4,y 3)在该抛物线上,∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为32<-b2a-(-1)<52,12<2--b2a<32,52<4--b2a<72,∵a>0,开口向上,∴由抛物线的性质可知离对称轴越近y 越小, ∴y 2<y 1<y 3.。