2.2.3圆周角PPT

思考：∠A+∠C=? B
A
D
O
·
C
能用圆周角定理证明你的结论吗？
圆内接四边形的性质定理：
圆内接四边形的对角互补. 如图：圆内接四边形ABCD中，
∴∠A＋∠ C＝ 180°
同理∠B＋∠D＝180°
推论：
圆内接四边形任意一个外角 都等于它的内对角.
思考：延长BC到E，∠DCE 与 ∠A的数量关系？
∠DCE＋∠1 ＝ 180° A
D
求证：CE∥DF
C E O1
A 1 O 2 B F
连结AB ABFD是⊙O1 ABEC是⊙O2 的内接四边形 的内接四边形 ∠F＋∠1＝180°、∠1＝∠E ∠E＋∠F＝180°
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A 1 D
CE∥DF
O 1
E B
O 2
F
内容小结：
(1)一个概念（圆周角） (2)一个定理：一条弧所对的圆周角等于
O C
3.四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=100° 则∠B=______∠D=______ 4.四边形ABCD内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3,则∠A=_____,
已知：如图，四边形ABCD是 圆的内接四边形并且ABCD是 平行四边形。 求证：四边形ABCD 是矩形。 A
O
B
D
C
• .如图，AB是⊙O的直径，∠A＝ 80°．求∠ABC的度数．
C B
C
B
C
圆心在 圆周角内部
圆心在 圆周角外部
C
1、已知∠AOB＝75°，
C
O A B
求：∠ACB= 2、已知∠AOB＝120°， 求： ∠ACB =
3、已知∠ACD＝30°，
O A
B
C O D A
求：∠AOB =
4、已知∠AOB＝110°，
B
求：∠ACB =
O
B
A
C
思考：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相 等，它们所对弧一定相等吗？为什么？
证明： 以AB为直径作⊙O，
1 ∵AO=BO， CO= AB, 2
A
· O
B
∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上. 又∵AB为直径, 1 ∴∠ACB= ×180°= 90°. 2 ∴ △ABC 为直角三角形.
练习：判断正误： 1.同弧或等弧所对的圆周角相等（ √ ） 2.相等的圆周角所对的弧相等（ × ） 3.90°圆周角所对的弦是直径（ √ ） 4.直径所对的角等于90°（ × ） 5.长等于半径的弦所对的圆周角等于3（ × ）
填空：1.梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC, ∠B=750,则
∠C=_____ 圆的内接梯形一定是＿＿梯形。
A
D O
C
B
2.四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=______ ∠B+∠ADC=_______;若∠B=80°，则∠ADC=____ ∠CDE=______
A
D E
A
100
D
80
B C B
推论1 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等， 它们所对弧一定相等． 因为，在同圆或等圆中， 如果圆周角相等，那么它所 对的圆心角也相等，因此它 所对的弧也相等．
A
O
C
F G
·
E
B
90度 1.如图,AB是直径,则∠ACB=＿＿
2.若∠ACB= 90 0 ，弦AB是直径吗？
A O
C
B
推论2: 半圆（或直径）所对的圆周角是90°； 90°的圆周角所对的弦是直径。
解 ：∵ AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=900 ∴ ∠ ABC＝180°－∠A－ ∠ACB ＝180°－80°－ 90° ＝10°． ∴ ∠ABC的度数是10°．
图
例 如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点， 经过点A的直线CD与⊙O1 交于点C，与 ⊙O2 交于点D。经过点B的直线EF与⊙O1 交于点E，与⊙O2 交于点F。
2 2 2 2
A
O
B
∵CD平分∠ACB，
ACD BCD.
∴AD=BD. 又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
D
2 2 AD BD AB 10 5 2(cm) 2 2
推论3
如果三角形一边上的中线等于这 条边的一半，那么这个三角形是直角三 角形。
C
∵在△ABC中
该弧所对的圆心角的一半；
(3)四个推论： 同圆内，同弧或等弧所对的圆周角 相等；相等的圆周角所对的弧相等。 半圆或直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。
∵ AB是直径,
∴∠ACB=900
∵ ∠ACB= 90 0 ，
∴弦AB是直径
三.圆内接多边形
若一个多边形各顶点都在同一个圆上， 那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这 个圆叫做这个多边形的外接圆。
D E C B
O
B
C
A
A
O
D E
F
如图，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形， ⊙O是四边形 ABCD的外接圆。
CD=AD=BD
A D
B
∴∠ACB=90°.
直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？ 求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.） 1 已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线， 且CO= AB 2 求证： △ABC 为直角三角形.
C
邵阳县十一中
辩一辩 图中的∠CDE是圆周角吗?
C C
E D D E D C E
D
E
C
两边都和圆相交。 圆周角：顶点在圆上 __________，并且角的______________ 圆心角: 顶点在圆心 ___________ 的角.
如图， ⊙O中，同弧所对的圆心 角和圆周角情况： A
A O B 圆心在圆 周角一边上 O A O
D
又 ∠A ＋∠1＝ 180° ∠ A 与∠ DCE 所以∠A＝∠DCE 为内对角
O
1
B
C
E
四、例题
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平 分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长． 解：∵AB是直径， C ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°． 在Rt△ABC中，
BC AB AC 10 6 8