2019年动态规划所有点对的最短距离.ppt
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第七章---动态规划ppt课件
3
某些与时间无关的静态问题，可以根据问题的特点， 人为地赋予时间的概念，使其成为一个多阶段决策问题，再用动态规划方法处理。二、多阶段决策问题举例1.最短路线问题2.机器负荷问题3.资源分配问题4.生产计划问题
4
第二节 动态规划的基本概念和基本原理一、动态规划的基本概念用动态规划求解多阶段决策问题，首先要建立动态规划模型，模型中涉及是概念和符号有：1.阶段阶段变量k ，k = 1 ，2 ， … ，n2.状态和允许状态集合状态特指某阶段的初始状态。
※表示 “＋” 或“×” 。当 “＋” 时，边界条件等于0； 当 “×” 时，边界条件等于1。
u ∈ D
15
二、动态规划的求解逆序解法是求解线性规划问题的一般方法，即由k=n递推至k= 1得到问题的最优解。举例:
16
6
4.策略和允许策略集合k部子策略pk ，n (sk )pk ，n (sk ) = { uk (sk ) ， uk＋1 (sk＋1 ) ， … ， un (sn )}全过程策略p1 ，n (s1 )p1 ，n (s1 ) = { u1 (s1 ) ， u2 (s2 ) ， … ， un (sn )}允许策略集合Pk最优策略：使全过程达到最优效果的策略。
7
5.状态转移方程sk＋1 = Tk (sk ，uk )6.指标函数和最优指标函数过程指标函数： Vk ，n = Vk ，n ( sk ，uk ， sk＋1 ， …，sn＋1 )过程指标函数应具有可分离性，并满足递推关系，即：Vk ，n ( sk ，uk ， sk＋1 ， … ， sn＋1 ) = Ψk [ sk ，uk ， Vk ＋1 ，n ( sk＋1 ， … ， sn＋1 ) ]阶段指标函数： vk (sk ，uk )
11
第8章 动态规划《管理运筹学》PPT课件
Vk,n (sk , uk , , sn1) fk [sk , uk ,Vk 1,n (sk 1, uk 1, , 1)] ③函数 fk (sk , uk ,Vk 1,n ) 对于变量 Vk1,n 要严格单调。
8.2 动态规划模型建立
下面以投资问题为例介绍动态规划的建模条件。
【例8-2】 某公司现有资金20万元，若投资于三个
8.1 动态规划基础知识
（5）状态转移方程：状态转移方程是确定过程由一
个状态转移到另一个状态的演变过程。动态规划中某一状
态以及该状态下的决策，与下一状态之间具有一定的函数
关系，称这种函数关系的表达式为状态转移方程。如果第
k段的状态为 sk ，该阶段的决策为
的状态就可以用下式来表示：
uk
sk
，则第k+1段
阶段的指标函数，是该阶段最优的指标函数。
8.2 动态规划模型建立
建立动态规划模型，就是在分析实际问题的基础上建 立该问题的动态规划基本方程。成功地应用动态规划方法 的关键，在于识别问题的多阶段特征，将问题分解成为可 用递推关系式联系起来的若干子问题，或者说正确地建立 具体问题的基本方程，这需要经验与技巧。而正确建立基 本递推关系方程的关键又在于正确选择状态变量，保证各 阶段的状态变量具有递推的状态转移关系。
第8章 动态规划
动态规划(DYnamic Programming，缩写为DP)方法 ，是本世纪50年代初期由美国数学家贝尔曼(Richard E ，Bellman)等人提出，后来逐渐发展起来的数学分支， 它是一种解决多阶段决策过程最优化问题的数学规划法 。动态规划的数学模型和求解方法比较灵活，对于连续 的或离散的，线性的或非线性的，确定性的或随机性的 模型，只要能构成多阶段决策过程，便可用动态规划方 法求其最优解。因而在自然科学、社会科学、工程技术 等许多领域具有广泛的用途，甚至一定程度上比线性规 划（LP）、非线性规划（NLP）有成效，特别是对于某 些离散型问题，解析数学无法适用，动态规划方法就成 为非常有用的求解工具。
8.2 动态规划模型建立
下面以投资问题为例介绍动态规划的建模条件。
【例8-2】 某公司现有资金20万元，若投资于三个
8.1 动态规划基础知识
（5）状态转移方程：状态转移方程是确定过程由一
个状态转移到另一个状态的演变过程。动态规划中某一状
态以及该状态下的决策，与下一状态之间具有一定的函数
关系，称这种函数关系的表达式为状态转移方程。如果第
k段的状态为 sk ，该阶段的决策为
的状态就可以用下式来表示：
uk
sk
，则第k+1段
阶段的指标函数，是该阶段最优的指标函数。
8.2 动态规划模型建立
建立动态规划模型，就是在分析实际问题的基础上建 立该问题的动态规划基本方程。成功地应用动态规划方法 的关键，在于识别问题的多阶段特征，将问题分解成为可 用递推关系式联系起来的若干子问题，或者说正确地建立 具体问题的基本方程，这需要经验与技巧。而正确建立基 本递推关系方程的关键又在于正确选择状态变量，保证各 阶段的状态变量具有递推的状态转移关系。
第8章 动态规划
动态规划(DYnamic Programming，缩写为DP)方法 ，是本世纪50年代初期由美国数学家贝尔曼(Richard E ，Bellman)等人提出，后来逐渐发展起来的数学分支， 它是一种解决多阶段决策过程最优化问题的数学规划法 。动态规划的数学模型和求解方法比较灵活，对于连续 的或离散的，线性的或非线性的，确定性的或随机性的 模型，只要能构成多阶段决策过程，便可用动态规划方 法求其最优解。因而在自然科学、社会科学、工程技术 等许多领域具有广泛的用途，甚至一定程度上比线性规 划（LP）、非线性规划（NLP）有成效，特别是对于某 些离散型问题，解析数学无法适用，动态规划方法就成 为非常有用的求解工具。
动态规划讲解+例子ppt课件
航天飞机飞行控制问题：由于航天飞机的运动的环境是不断变化的，因此就要 根据航天飞机飞行在不同环境中的情况，不断地决定航天飞机的飞行方向和速 度（状态），使之能最省燃料和完成飞行任务（如软着陆）。
5
多阶段决策过程的特点：
• 根据过程的特性可以将过程按空间、时间等标志分为若干个互相联系又
互相区别的阶段。
6 6
E3
F1 4
G 3 F2
4
5
63
背包问题 有一个徒步旅行者，其可携带物品重量的限度为a 公斤，设有n 种物品可供他选择装入包中。已知每种物品的重量及使用价值（作用），问此 人应如何选择携带的物品（各几件），使所起作用（使用价值）最大？
物品
12…j…n
重量（公斤/件） a1 a2 … aj … an 每件使用价值 c1 c2 … cj … cn
112
2
B1
10
14
A
5
B2 610
1
4
13
B3
12 11
C1 3
9 6
C2 5
8
C3 10
D1 5 E
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D2
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C1 3
9 6
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D1 5
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D2
解：整个计算过程分四个阶段，从最后一个阶段开始。
第四阶段（D →E）： D 有两条路线到终点E 。
学习动态规划，我们首先要了解多阶段决策问题。
2
最短路径问题：给定一个交通网络图如下，其中两点之间的数字表示距离 （或运费），试求从A点到G点的最短距离（总运输费用最小）。
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多阶段决策过程的特点：
• 根据过程的特性可以将过程按空间、时间等标志分为若干个互相联系又
互相区别的阶段。
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G 3 F2
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背包问题 有一个徒步旅行者，其可携带物品重量的限度为a 公斤，设有n 种物品可供他选择装入包中。已知每种物品的重量及使用价值（作用），问此 人应如何选择携带的物品（各几件），使所起作用（使用价值）最大？
物品
12…j…n
重量（公斤/件） a1 a2 … aj … an 每件使用价值 c1 c2 … cj … cn
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解：整个计算过程分四个阶段，从最后一个阶段开始。
第四阶段（D →E）： D 有两条路线到终点E 。
学习动态规划，我们首先要了解多阶段决策问题。
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最短路径问题：给定一个交通网络图如下，其中两点之间的数字表示距离 （或运费），试求从A点到G点的最短距离（总运输费用最小）。
动态规划专题讲义课件
VS
状态转移方程是动态规划中的重要概念，它描述了状态之间的转移关系。在求解问题时，通过状态转移方程可以将一个状态转移到另一个状态，从而逐步求解出问题的最优解。
状态转移方程的建立需要通过对问题进行深入分析，找出状态之间的依赖关系，并建立数学模型。在应用状态转移方程时，需要注意状态的初始状态和终止状态，以及状态转移过程中的约束条件。
02
动态规划的基本概念
最优化原理是动态规划的核心思想，它认为一个问题的最优解可以通过子问题的最优解来构建。在解决复杂问题时，将问题分解为若干个子问题，分别求解子问题的最优解，再利用子问题的最优解来求解原问题的最优解。
最优化原理的应用范围很广，包括计算机科学、运筹学、经济学等领域。通过将问题分解为子问题，可以降低问题的复杂度，提高求解效率。
自顶向下策略
自底向上策略
分支定界法：通过将问题分解为多个分支来解决问题，同时使用界限来排除不可能的解。与动态规划结合，可以更有效地处理具有大量状态和决策的问题。
THANK YOU
感谢各位观看
排班问题
如求解最优的排班方案，使得员工的工作计划合理且满足各种约束条件。
03
递推关系
建立子问题的解之间的递推关系，通过这种关系逐步求解更大规模的问题，直到达到原问题的解。
01
将原问题分解为子问题
将原问题分解为若干个子问题，这些子问题是原问题的较小规模或部分问题的解。
02
存储子问题的解
将已解决的子问题的解存储起来，以便在求解更大规模的问题时重复使用，避免重复计算。
03
动态规划的算法实现
状态空间法是动态规划的基本方法，通过构建状态转移方程来求解最优化问题。
状态转移方程描述了从状态转移至其他状态的过程，通过迭代更新状态变量的值，最终得到最优解。
TSP问题之动态规划法PPT课件
序号 ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７
集合表示 000 001 002 003 012 013 023 123
.
11
动态规划法（一）
动态规划法： 定义：将每个子问题只求解一次，并将其解保存在一个表格中，当需要再次
求解此子问题时，只是简单地通过查表获得该子问题的解，从而避免了大量 的重复计算。 特点：最优子结构、自底向递归、子问题相互重叠。
d(0, {1, 2, 3})=min{
C01+ d(1, { 2, 3}),
3 6 7
C02+ d(2, {1, 3}), C03+ d(3, {1, 2}) }
C
(
ci j
)
这是最后一个阶段的决策，它必须依据d(1, { 2, 3})、
5 6 3
4 7
2 5
3
2
d(2, {1, 3})和d(3, {1, 2})的计算结果，而：
d(1, {2, 3})=min{C12+d(2, {3}), C13+ d(3, {2})} d(2, {1, 3})=min{C21+d(1, {3}), C23+ d(3, {1})} d(3, {1, 2})=min{C31+d(1, {2}), C32+ d(2, {1})}
继续写下去： d(1, {2})= C12+d(2, {}) d(1, {3})= C13+d(3, {})
动态规划法使用的条件：问题符合最优性原理
.
12
动态规划法（二）
最优性原理：
对于一个具有n个输入的最优化问题，其求解过程往往可以划分 为若干个阶段，每一阶段的决策仅依赖于前一阶段的状态，由决策所 采取的动作使状态发生转移，成为下一阶段决策的依据。
第10章动态规划PPT教案
决策，例如在表10-6中可知当s3 =4时，有r3(4,4) 12; 有
f3(4) 12, 此时x*3 4 ，即当 s3 4 时，此时取x3 4 （把4台设备分配给第3厂）是最优决策，此时阶段指标值 （盈利）为12，最优3子过程最优指标值也为12。
第二阶段：
厂时，当则把对s2每(s个2 s
0,1,2,3,4,5) 台设备分配给第2工厂和第3工 2 值，有一种最优分配方案，使最大盈利
即最优2子过程最优指标函数值为
f2 (s2 )
max x2
[r2
(
s2
,
x2
)
f3 (s3 )]
第15页/共75页
16
§3 动态规划的应用(1)
因为s3 s2 x2, 上式也可写成
f2 (s2 )
max x2
r2 (s2 , x2 )
f3 (s2
x2 )
其数值计算如表10－7所示。
s2 x2
二、基本方程：
opt 最优指标函f k数(fsk(ksk))：从x状k 态Dks(ks出k )发{V，k 对,n (所s有k ,的P策k ,略n )P}k,n，过程
指
第8页/共75页
标Vk,n的最优值，即
9
§2 基本概念、基本方程与最优化原理
对于可加性指标函数，上式可以写为
opt fk (sk )
( s3 ,
s3
)
由于第3阶段是最后的阶段，故有
f3
(s3
)
max x3
r3
(s3
,
x3
)
r3
(s3
,
s3
).
其中x3 可取值为0,1,2,3,4,5。其数值计算见表10－6。
f3(4) 12, 此时x*3 4 ，即当 s3 4 时，此时取x3 4 （把4台设备分配给第3厂）是最优决策，此时阶段指标值 （盈利）为12，最优3子过程最优指标值也为12。
第二阶段：
厂时，当则把对s2每(s个2 s
0,1,2,3,4,5) 台设备分配给第2工厂和第3工 2 值，有一种最优分配方案，使最大盈利
即最优2子过程最优指标函数值为
f2 (s2 )
max x2
[r2
(
s2
,
x2
)
f3 (s3 )]
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§3 动态规划的应用(1)
因为s3 s2 x2, 上式也可写成
f2 (s2 )
max x2
r2 (s2 , x2 )
f3 (s2
x2 )
其数值计算如表10－7所示。
s2 x2
二、基本方程：
opt 最优指标函f k数(fsk(ksk))：从x状k 态Dks(ks出k )发{V，k 对,n (所s有k ,的P策k ,略n )P}k,n，过程
指
第8页/共75页
标Vk,n的最优值，即
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§2 基本概念、基本方程与最优化原理
对于可加性指标函数，上式可以写为
opt fk (sk )
( s3 ,
s3
)
由于第3阶段是最后的阶段，故有
f3
(s3
)
max x3
r3
(s3
,
x3
)
r3
(s3
,
s3
).
其中x3 可取值为0,1,2,3,4,5。其数值计算见表10－6。
动态规划讲解例子课件
解：整个计算过程分四个阶段，从最后一个阶段开始。
第四阶段（D →E）： D 有两条路线到终点E 。
显然有 f4(D1 ) 5;
f4(D2 ) 2
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B1
10
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C1 3
9
D1 5
6
A
5 B2 10
1
4
13
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C2 5
8
2
E
D2
B3
12 11
C3 10
第三阶段（C →D）： C 到D 有 6 条路线。
系统所处的状态和时刻是进行决策的重要因素； 即在系统发展的不同时刻（或阶段）根据系统所处的状 态，不断地做出决策；
找到不同时刻的最优决策以及整个过程的最优策略。
17
动态规划方法的关键：在于正确地写出基本的递 推关系式和恰当的边界条件（简称基本方程）。
要做到这一点，就必须将问题的过程分成几个相 互联系的阶段，恰当的选取状态变量和决策变量及定义最 优值函数，从而把一个大问题转化成一组同类型的子问题， 然后逐个求解。
6
A
5 B2 10
1
4
13
6
C2 5
8
2
E
D2
B3
12 11
C3 10
考虑经过 C3 的两条路线
f3(C3 )
d mind
(C (C
3 3
, ,
D1 ) D2 )
f4(D1 ) f4(D2 )
8 5 min10 2
12
(最短路线 C3 D2 E
最优策略 0 10 20 30 40 50 60
第二阶段：求 f2(x)。此时需考虑第一、第二个工厂如何进