【高考核动力】高考数学 2-2函数的单调性与最值配套作业 北师大版

【高考核动力】2014届高考数学 2-2函数的单调性与最值配套作业 北师大版1．下列函数在(0,1)上是减函数的是( ) A ．y ＝log 0.5(1－x ) B ．y ＝x 0.5C ．y ＝0.51－xD ．y ＝12(1－x 2)【解析】 y ＝log 0.5(1－x )在(0,1)上为增函数；y ＝x 0.5在(0,1)上是增函数；函数y ＝12(1－x 2)在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数，∴函数y ＝12(1－x 2)在(0,1)上是减函数．【答案】 D2．若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是( ) A ．[－5，－1] B ．[－2,0] C ．[－6，－2]D ．[1,3]【解析】 ∵1≤f (x )≤3，∴1≤f (x ＋3)≤3， ∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2，∴－5≤F (x )≤－1. 【答案】 A3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋5，x ≤12ax，x ＞1，是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,3]C ．(0,2)D ．(0,2]【解析】 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －3＜02a ＞0a －＋5≥2a1解得0＜a ≤2.【答案】 D4．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是________．【解析】 函数f (x )的定义域是(－1,4)，u (x )＝－x 2＋3x ＋4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋254的减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4. ∵e ＞1，∴函数f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4. 【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4 5．已知函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，当x >1时，f (x )>0，且f (x ·y )＝f (x )＋f (y )． (1)求f (1)；(2)证明f (x )在定义域上是增函数；(3)如果f (13)＝－1，求满足不等式f (x )－f (1x －2)≥2的x 的取值范围．【解】 (1)令x ＝y ＝1，得f (1)＝2f (1)，故f (1)＝0. (2)证明：令y ＝1x ，得f (1)＝f (x )＋f (1x)＝0，故f (1x)＝－f (x )．任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (1x 1)＝f (x 2x 1)．由于x 2x 1>1，故f (x 2x 1)>0，从而f (x 2)>f (x 1)． ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)由于f (13)＝－1，而f (13)＝－f (3)，故f (3)＝1.在f (x ·y )＝f (x )＋f (y )中，令x ＝y ＝3，得f (9)＝f (3)＋f (3)＝2. 又－f (1x －2)＝f (x －2)，故所给不等式可化为 f (x )＋f (x －2)≥f (9)，即f [x (x －2)]≥f (9)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －2>0，x x －解得x ≥1＋10.∴x 的取值范围是[1＋10，＋∞)．课时作业【考点排查表】1．(2013·山东省实验中学模拟)下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝－xC ．f (x )＝2－x－2xD ．f (x )＝tan x【解析】 f (x )＝1x是奇函数，但在定义域上不单调，f (x )＝－x 为非奇非偶函数．f (x )＝－tan x 在定义域上是奇函数，但不单调，故A 、B 、D 均不正确．【答案】 C2．若函数y ＝f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，则函数F (x )＝f (x )＋1f x 的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，103 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，103 【解析】 令t ＝f (x )，则12≤t ≤3，则函数g (t )＝t ＋1t 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是减函数，在[1,3]上是增函数，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝52，g (1)＝2，g (3)＝103，故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103.【答案】 B 3．函数y ＝13＋2x －x2的单调递增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)D ．(1,3)【解析】 依题意3＋2x －x 2＞0，即－1＜x ＜3. ∴函数的定义域为(－1,3)．又函数y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4在(1,3)上单调递减，所以原函数的单调递增区间是(1,3)．【答案】 D4．(2013·海淀模拟)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)单调增加，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 【解析】 f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称， ∴f (2x －1)＝f (|2x －1|)．又f (x )在[0，＋∞)上递增， ∴f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13⇔|2x －1|＜13⇔13＜x ＜23. 【答案】 A5．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ，在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f xx在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数【解析】 f (x )在(－∞，1)上有最小值，对称轴x ＝a ≤1. 又g ′(x )＝xfx －f x x 2＝x 2－a x 2＝1－ax2，当x >1时，g ′(x )>0，∴g (x )在(1，＋∞)上是增函数，故选D.【答案】 D6．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【解析】由f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)画出图象，最大值在A 处取到．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝10－x ，得y ＝6. 【答案】 C 二、填空题7.函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则函数g (x )＝f (log 12x )是单调增区间是________．【解析】 设g (x )＝f (u )，u ＝log 12x ，∵u ＝log 12x 在(0，＋∞)上是减函数，且g (x )＝f (log 12x )是单调增函数，则g ＝f (x )应为减函数，则－12≤log 12x ≤0，∴1≤x ≤ 2.∴单调增区间为[1，2]． 【答案】 [1，2]8．已知y ＝f (x )是定义在(－2,2)上的增函数，若f (m －1)＜f (1－2m )，则m 的取值范围是________．【解析】 依题意，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧－2＜m －1＜2－2＜1－2m ＜2m －1＜1－2m⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1＜m ＜3－12＜m ＜32m ＜23⇔－12＜m ＜23.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，239．已知函数f (x )＝1－1－x 2，x ∈[0,1]，对于满足0＜x 1＜x 2＜1的任意x 1、x 2，给出下列结论：①(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]＜0；②x 2f (x 1)＜x 1f (x 2)； ③f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1；④f x 1＋f x 22＞f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.其中正确结论的序号是________．【解析】 函数f (x )＝1－1－x 2，x ∈[0,1]的图象如图所示，命题①可等价为⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x 1＞0f x 2＜f x 1，即f (x )在x ∈[0,1]上是单调递减函数，命题①错误；对于命题②，作差即可知其正确；命题③可变形为f x 2－f x 1x 2－x 1＞1，不等式左端的几何意义是图象上任意两点连线的斜率，由图象知斜率不都大于1，命题③错误；对于命题④，因为图象是凹函数，满足f x 1＋f x 22＞f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，所以命题④正确．【答案】 ②④ 三、解答题 10．判断函数f (x )＝axx ＋1在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．【证明】 当a ＞0时，函数y ＝f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．当a ＜0时，函数y ＝f (x )在(－1，＋∞)上单调递减． 设任意的－1＜x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 1＋1－ax 2x 2＋1＝ax 1x 2＋－ax 2x 1＋x 1＋x 2＋＝a x 1－x 2x 1＋x 2＋.∵－1＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1＋1＞0，x 2＋1＞0.∴当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， ∴函数y ＝f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．同理当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)， ∴函数y ＝f (x )在(－1，＋∞)上单调递减．11．已知函数f (x )＝log 3mx 2＋8x ＋n x 2＋1的定义域为R ，值域为[0,2]，求m 与n 的值．【解】 若m ＝0时，则f (x )＝log 38x ＋n x 2＋1的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－n 8，＋∞，与题设矛盾，故m ≠0.于是由f (x )的定义域为R ，有mx 2＋8x ＋n ＞0恒成立，故m ＞0且Δ＝64－4mn ＜0.令y ＝mx 2＋8x ＋nx 2＋1，①则应有1≤y ≤9，即题设条件转化为x ∈R 时，y ＝mx 2＋8x ＋nx ＋1的值域为[1,9]．由①式变形得(m －y )x 2＋8x ＋(n －y )＝0.当m ≠y 时，∵x ∈R ，∴Δ＝64－4(m －y )(n －y )≥0，整理得y 2－(m ＋n )y ＋mn －16≤0，由题意⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1＋9，mn －16＝1×9，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝5.当m ＝y 时，②式可化为8x ＋n －m ＝0，这时m ＝n ＝5满足条件．∴m ＝5，n ＝5.12．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围． 【解】 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，设1≤x 1＜x 2，Δx ＝x 2－x 1＞0，则Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝(x 2－x 1)(1－12x 1x 2)．∵1≤x 1＜x 2，∴1－12x 1x 2＞0，∴Δy ＞0，∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴f (x )的最小值为f (1)＝72.(2)在区间[1，＋∞)上f (x )＞0恒成立， 即x 2＋2x ＋a ＞0恒成立，设g (x )＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)，则g (x )＝(x ＋1)2＋a －1在区间[1，＋∞)上是增函数， ∴当x ＝1时，g (x )min ＝3＋a ，故当3＋a ＞0即a ＞－3时，f (x )＞0恒成立． 故a 的取值范围为a ＞－3. 四、选做题13．已知函数f (x )＝a ·2x＋b ·3x，其中常数a ，b 满足a ·b ＞0. (1)若a ·b ＞0，判断函数f (x )的单调性；(2)若a ·b ＜0，求f (x ＋1)＞f (x )时的x 的取值范围． 【解】 (1)当a ＞0，b ＞0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝a (2x 1－2x 2)＋b (3x 1－3x 2) ∵2x 1＜2x 2，a ＞0⇒a (2x 1－2x 2)＜0， 3x 1＜3x 2，b ＞0⇒b (3x 1－3x 2)＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，函数f (x )在R 上是增函数． 当a ＜0，b ＜0时，同理函数f (x )在R 上是减函数．(2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x＞0，当a ＜0，b ＞0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＞－a 2b ，则x ＞log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ；当a ＞0，b ＜0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＜－a 2b ，则x ＜log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b .。