高考数学导数与函数单调性
高中数学专题 微专题4 导数的几何意义及函数的单调性
由 f(3x－2)<f(x2)可得x32x>－3x2－>02，， 解得23<x<1 或 x>2， 因此不等式 f(3x－2)<f(x2)的解集为23，1∪(2，＋∞).
跟踪训练3 (1)(2023·玉林模拟)设函数f(x)＝ex－e1x－2x，若f(a－3)＋ f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是
专题一 函数与导数
微专题4
导数的几何意义及函数的单调性
考情分析
1.此部分内容是高考命题的热点内容.在选择题、填空题中多考 查导数的计算、几何意义，难度较小. 2.应用导数研究函数的单调性多在选择题、填空题靠后的位置 考查，难度中等偏上，属综合性问题.
思维导图
内容索引
典型例题
热点突破
PART ONE
则 f(x)的单调递增区间为12，－1a，单调递减区间为0，12，－1a，＋∞. 2x－12
当 a＝－2 时，f′(x)＝－ x ≤0 恒成立， f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间. 当 a<－2 时，－1a<12， 由 f′(x)>0，得－1a<x<12；
由 f′(x)<0，得 0<x<－1a或 x>12，
则直线 l 的方程为 y－(3＋ln x2)＝x12(x－x2)， 即 y＝x12x＋ln x2＋2.
所以 ex1＝x12，且 x1ex1＋ex1＋1＝ln x2＋2，
消去x2得(x1－1)( ex1－1)＝0，
故x1＝1或x1＝0，
所以直线l的方程为y＝ex＋1或y＝x＋2.
跟踪训练1 (1)(2023·常德模拟)已知l为曲线y＝a＋xln x 在(1，a)处的切线，
高三复习：导数与函数的单调性、极值最值(含解析答案)
3.2导数与函数的单调性、极值、最值知识梳理：1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x) _____0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x) _____0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法：一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤：3．函数的最值试一试：1．函数f(x)＝x2－2ln x的单调减区间是________．2．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为________．考点一利用导数研究函数的单调性例1已知函数f(x)＝e x－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．考点二 利用导数求函数的极值例2 设f (x )＝e x 1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点； (2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．考点三 利用导数求函数的最值例3已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.71828…为自然对数的底数． 设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值．变式1 已知函数f (x )＝(x －k )e x . (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．考点4 含有参数的分类讨论例4：已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间； (2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．课堂练习：1．函数f (x )＝e x －x 的单调递增区间是________．2．(2014·扬州期末)已知函数f (x )＝ln x －mx (m ∈R )在区间[1，e]上取得最小值4，则m ＝________.3．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________． 4.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间； (3)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ，若函数g (x )在x ∈[－3，2]上单调递增，求实数c 的取值范围．导数与函数的单调性、极值、最值后作业1．函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是________．2．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________.3．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．4．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________．5．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．6．已知函数f (x )＝1x ＋ln x ，求函数f (x )的极值和单调区间．7．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意的x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集是________．8．设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．9．已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．10．设函数f (x )＝e x x 2－k (2x ＋ln x )(k 为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围．导数与函数的单调性、极值、最值教师版知识梳理 1．函数的单调性在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减． 2．函数的极值(1)判断f (x 0)是极值的方法：一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤： ①求f ′(x )；②求方程f ′(x )＝0的根；③检查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 3．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．(3)设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f (x )在(a ，b )内的极值；②将f (x )的各极值与f (a )，f (b )进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 试一试1．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调减区间是________． 答案 (0,1)解析 ∵f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x (x >0)．∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．答案(－1，＋∞)解析设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，∵m′(x)＝f′(x)－2>0，∴m(x)在R上是增函数．∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}，即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．考点一利用导数研究函数的单调性例1已知函数f(x)＝e x－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．思维点拨函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论．解f′(x)＝e x－a，(1)若a≤0，则f′(x)＝e x－a≥0，即f(x)在R上单调递增，若a>0，令e x－a≥0，则e x≥a，x≥ln a.因此当a≤0时，f(x)的单调增区间为R，当a>0时，f(x)的单调增区间为[ln a，＋∞)．(2)∵f′(x)＝e x－a≤0在(－2,3)上恒成立．∴a≥e x在x∈(－2,3)上恒成立．∴e－2<e x<e3，只需a≥e3.当a＝e3时，f′(x)＝e x－e3<0在x∈(－2,3)上恒成立，即f(x)在(－2,3)上为减函数，∴a≥e3.故存在实数a ≥e 3，使f (x )在(－2,3)上为减函数． 思维升华 (1)利用导数的符号来判断函数的单调性；(2)已知函数的单调性求参数范围可以转化为不等式恒成立问题；(3)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为零．应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解． 考点二 利用导数求函数的极值 例2设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 解 对f (x )求导得f ′(x )＝e x ·1＋ax 2－2ax(1＋ax 2)2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知所以x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，即Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1.所以a 的取值范围为{a |0<a ≤1}．(2014·福建三 利用导数求函数的最值例3已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.71828…为自然对数的底数． 设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值．解 由f (x )＝e x －ax 2－bx －1， 有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x －2a .因此，当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]． 当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0,1]上单调递增，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当12<a <e2时，令g ′(x )＝0得x ＝ln(2a )∈(0,1)， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减， 在区间[ln(2a )，1]上单调递增． 于是，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .思维升华 (1)求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在(a ，b )内所有使f ′(x )＝0的点，再计算(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况．变式已知函数f(x)＝(x－k)e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．解(1)由题意知f′(x)＝(x－k＋1)e x.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的情况如下：所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0<k－1<1，即1<k<2时，f(x)在[0，k－1]上单调递减，在[k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k－1≥1，即k≥2时，f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.综上，当k≤1时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当1<k<2时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k≥2时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.例4：已知函数f(x)＝ln x－ax (a∈R)．(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解区间，并注意定义域．(2)先研究f (x )在[1,2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值．(3)由于解析式中含有参数a ，要对参数a 进行分类讨论． 规范解答解 (1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，[2分]①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．[4分]②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x <0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤0，1a ， 单调递减区间为⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞.[6分] (2)①当1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln2－2a .[8分]②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .[10分]③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎡⎦⎤1a ，2上是减函数．[12分] 又f (2)－f (1)＝ln2－a ，所以当12<a <ln2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln2－2a .[14分] 综上可知，当0<a <ln2时，函数f (x )的最小值是－a ；当a ≥ln2时，函数f (x )的最小值是ln2－2a .[16分]1．函数f (x )＝e x －x 的单调递增区间是________． 解析：∵f (x )＝e x －x ，∴f ′(x )＝e x －1， 由f ′(x )>0，得e x －1>0，即x >0. 答案：(0，＋∞)2．(2014·扬州期末)已知函数f (x )＝ln x －mx (m ∈R )在区间[1，e]上取得最小值4，则m ＝________.解析：因为f (x )在区间[1，e]上取得最小值4，所以至少满足f (1)≥4，f (e)≥4，解得m ≤－3e.又f ′(x )＝x ＋mx 2，且x ∈[1，e]，所以f ′(x )<0, 即f (x )在[1，e]上单调递减，所以f (x )min ＝f (e)＝1－me＝4，即m ＝－3e. 答案：－3e3．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________． 解析：∵f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m .又∵f (x )在R 上是单调增函数， ∴Δ＝4－12 m ≤0，即m ≥13.答案：⎣⎡⎭⎫13，＋∞ 4.(创新题)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23. (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ，若函数g (x )在x ∈[－3，2]上单调递增，求实数c 的取值范围． 解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1.当x ＝23时，得a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23＝3×⎝⎛⎭⎫232＋2a ×⎝⎛⎭⎫23－1，解之，得a ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c . 则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝⎛⎭⎫x ＋13(x －1)， 列表如下：所以f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－13和(1，＋∞)； f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－13，1. (3)函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ＝(－x 2－x ＋c )·e x有g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x ＝(－x 2－3x ＋c －1)e x ，因为函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增，所以h (x )＝－x 2－3x ＋c －1≥0在x ∈[－3,2]上恒成立． 只要h (2)≥0，解得c ≥11，所以c 的取值范围是[11，＋∞)． 作业1．函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是________． 答案 (－3,1)解析 y ′＝－2x e x ＋(3－x 2)e x ＝e x (－x 2－2x ＋3)， 由y ′>0⇒x 2＋2x －3<0⇒－3<x <1，故函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是(－3,1)．2．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________.答案 3解析 因为f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2，因为函数f (x )在x ＝1处取得极大值，所以f ′(1)＝3－a4＝0，所以a ＝3.3．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案 1<a ≤2解析 ∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x(x >0)，当x －9x ≤0时，有0<x ≤3，即在(0,3]上原函数是减函数，∴a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.4．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________． 答案 －13解析 对函数f (x )求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ， 由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0， 即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ， 易知f (x )在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增， ∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4. 又∵f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下， 且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时， f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9. 故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13.5．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．答案 (0,1]解析 y ′＝x －1x ＝x 2－1x ＝(x －1)(x ＋1)x(x >0)．令y ′≤0，得0<x ≤1.∴函数的单调递减区间为(0,1]．6．已知函数f (x )＝1x ＋ln x ，求函数f (x )的极值和单调区间．解 因为f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2，令f ′(x )＝0，得x ＝1，又f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：所以x ＝1时，f (x )的极小值为1，无极大值． f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)， 单调递减区间为(0,1)．7．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意的x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集是________． 答案 {x |x >0}解析 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x －1，求导得到g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]． 由已知f (x )＋f ′(x )>1，可得到g ′(x )>0， 所以g (x )为R 上的增函数； 又g (0)＝e 0·f (0)－e 0－1＝0， 所以e x ·f (x )>e x ＋1， 即g (x )>0的解集为{x |x >0}．8．设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝x ＋e x －(e x ＋x e x )＝x (1－e x )． 若x <0，则1－e x >0，∴f ′(x )<0； 若x >0，则1－e x <0，∴f ′(x )<0； 若x ＝0，则f ′(x )＝0.∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数， 即f (x )的单调减区间为(－∞，＋∞)． (2)由(1)知f (x )在[－2,2]上单调递减， ∴[f (x )]min ＝f (2)＝2－e 2.∴当m <2－e 2时，不等式f (x )>m 恒成立． 即实数m 的取值范围为(－∞，2－e 2)．)9．(2013·福建)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x .(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为 y －1＝－(x －1)， 即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a . 又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0， 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．10．(2014·山东)设函数f (x )＝e x x 2－k (2x ＋ln x )(k 为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围． 解 (1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k (－2x 2＋1x ) ＝x e x －2e x x 3－k (x －2)x 2＝(x －2)(e x －kx )x 3.由k ≤0可得e x －kx >0，所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增． 所以f (x )的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)． (2)由(1)知，k ≤0时，函数f (x )在(0,2)内单调递减， 故f (x )在(0,2)内不存在极值点；当k >0时，设函数g (x )＝e x －kx ，x ∈(0，＋∞)． 所以g ′(x )＝e x －k ＝e x －e ln k ，当0<k ≤1时，当x ∈(0,2)时，g ′(x )＝e x －k >0，y ＝g (x )单调递增． 故f (x )在(0,2)内不存在两个极值点． 当k >1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )<0，函数y ＝g (x )单调递减； x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )>0，函数y ＝g (x )单调递增． 所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )． 函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧g (0)>0，g (ln k )<0，g (2)>0，0<ln k <2.解得e<k <e 22.。
高考数学导数与函数的单调性
[解析] f(x)=,f'(x)=,由f'(x)<0得x<0且x≠-1,所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(-1,0).故选D.
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(2)在下列区间中,函数y=xcos x-sin x单调递增的是( )A. B. C.(π,2π) D.(0,π)
C
[解析] ∵y=xcos x-sin x,∴y'=cos x-xsin x-cos x=-xsin x.对于A,当x∈时,sin x >0,y'<0,函数单调递减,故A不符合题意;对于B,当x∈时,sin x<0,y'<0,函数单调递减,故B不符合题意;对于C,当x∈(π,2π)时,sin x<0,y'>0,函数单调递增,故C符合题意;对于D,当x∈(0,π)时,sin x>0,y'<0,函数单调递减,故D不符合题意.故选C.
(2)[2021·河北秦皇岛二模] 已知函数f(x)=ln x-x2+2ax+1,x∈(0,+∞),求函数f(x)的单调区间.
[总结反思](1)利用导数讨论函数单调性的关键是确定导数的符号.对于含有参数的导数符号判定问题,应就参数的范围讨论导数大于(或小于)零的不等式的解.(2)所有求解和讨论都必须在函数的定义域内,不要超出定义域的范围.
A
[总结反思]确定函数f(x)单调区间的步骤:(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求f'(x).(3)解不等式f'(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;解不等式f'(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.
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变式题 (1)函数f(x)=的单调递减区间为( )A.(-∞,0) B.(0,+∞),(-1,0) C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(-∞,-1),(-1,0)
高考复习-利用导数研究函数的单调性及极值和最值
利用导数研究函数的单调性及极值和最值知识集结知识元利用导数研究函数的单调性问题知识讲解1．利用导数研究函数的单调性【知识点的知识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【典型例题分析】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：．解：（Ⅰ）（2分）当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（10分）（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴∴【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．例题精讲利用导数研究函数的单调性问题例1.函数f（x）=e x-3x+2的单调减区间为__________．例2.若函数y=-x3+ax在[1，+∞）上是单调函数，则a的最大值是___．例3.函数f（x）=sin x-x，x∈（0，）的单调递增区间是_______．利用导数研究函数的极值与最值问题知识讲解1．利用导数研究函数的极值【知识点的知识】1、极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f （x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f （x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．2、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．4、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f （x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．2．利用导数研究函数的最值【利用导数求函数的最大值与最小值】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f （x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．例题精讲利用导数研究函数的极值与最值问题例1.函数y=lnx-e x在[1，e]最大值为（）A．1-e e B．C．-eD．例2.己知定义域为（1，+∞）的函数f（x）=e x+a-ax，若f（x）>0恒成立，则正实数a的取值范围为（）A．（0，e2]B．（0，e2）C．[1，e2]D．（1，e2）例3.函数f（x）=x2-lnx的最小值为（）A．1+ln2B．1-ln2C．D．当堂练习单选题练习1.定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且，若存在实数x使不等式f（x）≤m2-am-3对于a∈[0，2]恒成立，则实数m的取值范围为（）A．（-∞，-2]∪[2，+∞）B．C．D．练习2.若函数f（x）与g（x）满足：存在实数t，使得f（t）=g'（t），则称函数g（x）为f（x）的“友导”函数．已知函数为函数f（x）=x2lnx+x的“友导”函数，则k的取值范围是（）A．（-∞，1）B．（-∞，2]C．（1，+∞）D．[2，+∞）练习3.函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）为其导函数，若xf'（x）+f（x）=e x（x-2）且f（3）=0，则不等式f（x）<0的解集为（）A．（0，2）B．（0，3）C．（2，3）D．（3，+∞）练习4.已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f′（x），f（x）>0且f（e）=1，若xf′（x）lnx+f（x）>0对任意x∈（0，+∞）恒成立，则不等式<lnx的解集为（）A．{x|0<x<1}B．{x|x>1}C．{x|x>e}D．{x|0<x<e}练习5.已知函数f（x）=x3-x2+ax-a存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，x1+2x0=（）A．3B．2C．1D．0练习6.若函数f（x）=e x+axlnx（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（-∞，-e）B．（-∞，-2e）C．（e，+∞）D．（2e，+∞）填空题练习1.已知函数f（x）=，若∃，使得f（f（x0））=x0，则m的取值范围是_________练习2.设函数f（x）=e x（2x-1）-2ax+2a，其中a<1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）<0，则a的取值范围是_______．练习3.已知函数，若当x1，x2∈[1，3]时，都有f（x1）<2f（x2），则a的取值范围为______________．练习4.若函数f（x）=e-x（x2+ax-a）在R上单调递减，则实数a的值为____．练习5.已知函数，g（x）=|x-t|，t∈（0，+∞）．若h（x）=min{f（x），g （x）}在[-1，3]上的最大值为2，则t的值为___．练习6.已知函数f（x）=x3-ax2在（-1，1）上没有最小值，则a的取值范围是_________．解答题练习1.'已知函数f（x）=e x-a（x+1），其中a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若a>0时，函数f（x）恰有一个零点，求实数a的值．（3）已知数列{a n}满足a n=，其前n项和为S n，求证S n>ln（n+1）（其中n∈N）．'练习2.'已知函数f（x）=（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是函数f（x）图象的不同两点，其中0<x1<1，x2>1，是否存在实数a，使得OP⊥OQ，且函数f（x）在点Q切线的斜率为f′（x1-），若存在，请求出a的范围；若不存在，请说明理由．'练习3.'已知函数f（x）=x2+ax-alnx（1）若函数f（x）在上递减，在上递增，求实数a的值．（2）若函数f（x）在定义域上不单调，求实数a的取值范围．（3）若方程x-lnx-m=0有两个不等实数根x1，x2，求实数m的取值范围，并证明x1x2<1．'练习4.'已知函数f（x）=xlnx-x2-ax+1，a>0，函数g（x）=f′（x）．（1）若a=ln2，求g（x）的最大值；（2）证明：f（x）有且仅有一个零点．'练习5.'已知函数f（x）=e x-ax-b．（其中e为自然对数的底数）（Ⅰ）若f（x）≥0恒成立，求ab的最大值；（Ⅱ）设g（x）=lnx+1，若F（x）=g（x）-f（x）存在唯一的零点，且对满足条件的a，b不等式m（a-e+1）≥b恒成立，求实数m的取值集合．'。
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《导数与函数的单调性》课件
探究核心题型
第三部分
课时精练
第
一 部 分
落实主干知识
知识梳理
1.函数的单调性与导数的关系
条件
函数y＝f(x)在区间 (a，b)上可导
恒有 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)＝0
结论 f(x)在区间(a，b)上_单__调__递__增__ f(x)在区间(a，b)上_单__调__递__减__ f(x)在区间(a，b)上是_常__数__函__数__
题型二 含参数的函数的单调性
例2 已知函数f(x)＝(2－a)x－ln x－1，a∈R. (1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的单调递增区间；
当 a＝1 时，f(x)＝x－ln x－1，则 f′(x)＝1－1x＝x－x 1(x>0)， 当x>1时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递增区间为(1，＋∞).
知识梳理
2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的 定义域 ； 第2步，求出导数f′(x)的 零点 ； 第 3 步 ， 用 f′(x) 的 零 点 将 f(x) 的 定 义 域 划 分 为 若 干 个 区 间 ， 列 表 给 出 f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
综上，当－2<a<0 时，g(x)的单调递减区间为0，12，－1a，＋∞， 单调递增区间为12，－1a； 当a＝－2时，g(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间； 当 a<－2 时，g(x)的单调递减区间为0，－1a，12，＋∞，单调递增 区间为－1a，12.
思维升华
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进 行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数 为零的点和函数的间断点.
高考数学复习考点知识专题讲解课件16---导数与函数的单调性
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新高考 大一轮复习 · 数学 题型三 函数单调性的应用 命题点 1 比较大小或解不等式 例 2 (1)已知定义在 R 上的函数 f(x)，g(x)满足：对任意 x∈R，都有 f(x)＞0，g(x) ＞0，且 f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＜0.若 a，b∈R＋且 a≠b，则有( ) A．fa＋2 bga＋2 b＞f( ab)g( ab) B．fa＋2 bga＋2 b＜f( ab)g( ab)
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②当 a＞2 时，令 f′(x)＝0，
得 x＝a－
2a2－4或 x＝a＋
a2－4 2.
当 x∈0，a－ 2a2－4∪a＋ 2a2－4，＋∞时，f′(x)＜0；
当 x∈a－
2a2－4，a＋
2a2－4时，f′(x)＞0.
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所以
f(x)
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新高考 大一轮复习 · 数学 2．函数的极值与导数
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3.函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a) 为函数的最小值， f(b)为函数的最大值； 若函数 f(x)在[a，b]上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b) 为函数的最小值．
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高考数学之利用导数研究函数单调性
高考数学之利用导数研究函数单调性一．知识点睛1.函数的导数与单调性之间的联系：①一般地，设函数y=f （x ）在某个区间内可导，如果在这个区间内有f ′(x)＞0，那么函数y=f （x ）为这个区间内的增函数；如果在这个区间内f ′(x)＜0，那么函数y=f （x ）为这个区间内的减函数。
②反过来，如果可导函数y=f （x ）在某个区间内单调递增，则在这个区间内f ′(x)≥0恒成立；如单调递减，则在这个区间内f ′(x)≤0恒成立2.利用导数研究函数的单调性步骤：1.求定义域2.求导3.令f ′(x)＞0，解不等式得增区间；令f ′(x)＜0解不等式求得减区间，注意函数如果有几个单调增（减）区间，中间只能用，不能用∪连接。
二．方法点拨1.已知具体的函数确定它的单调区间，直接求导解不等式，确定单调区间2.已知含参数的函数单调性，求参数的值或参数范围，处理方法有：①分离参数，转化为 f ′(x)≥（≤0）恒成立问题②导数含参分类讨论3.已知含参数的函数，确定单调性，需要对参数范围进行分类讨论，分类讨论的4个标准：①二次项系数的正负②f ′(x)=0根的个数③f ′(x)=0根的大小④f ′(x)=0的根与给定区间的位置关系，另外需要优先判断能否利用因式分解法求出根4.已知函数有n 个单调区间，求参数范围，等同于方程f ′(x)=0在此区间上有n -1个根，并且根不是重根。
5.已知函数在给定区间上不单调 f ′(x)在此区间上有异号零点 f ′(x)=0有根（且根不是重根）6.已知函数在给定区间上有单调区间，等同于f ′(x) ＞0或f ′(x) ＜ 0在给定区间上有解 常考题型：⑴利用导数研究已知函数的单调性⑵导数含参求单调区间⑶已知含参函数单调性求参数范围⑷函数有几个单调区间的问题三．跟踪练习1.已知函数f （x ）=kx 3+3（k -1）x 2-k 2+1（k ＞0）的单调减区间是（0,4），则k 的值是 .2.（2016全国卷Ⅰ）若函数f （x ）=x -31sin2x+asinx 在（-∞，+∞）单调递增，则a 的取值范围是A.[-1，1]B.[-1，31]C.[-31，31]D.[-1，-31] 3.(2015四川)如果函数f （x ）=21（m -2）x 2+（n -8）x+1（m ≥0，n ≥0）在区间[21,2]上单调递减，那么mn 的最大值为A.16B.18C.25D.281 4.（2014新课标全国Ⅱ）若函数f （x ）=kx -lnx 在区间（1，+∞）单调递增，则k 的取值范围是A.(-∞，-2]B.(-∞，-1]C.[2，+∞)D.[1，+∞]5.(2016全国卷⒈第一小题)已知函数f （x ）=（x -2）e x +a （x -1）2，讨论函数f （x ）的单调性.6.设函数f （x)=ax 2+bx+k(k ＞0)在x=0处取得极值，且曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线垂直于直线x+2y+1=0.（Ⅰ）求a ，b 的值（Ⅱ）若函数g （x ）=)(x f xe ，讨论g （x ）的单调性. 7.已知函数f （x ）=x 3+（1-a ）x 2-a （a+2）x+b （a ，b ∈R ）（Ⅰ）若函数f （x ）的图像过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a ，b 的值. （Ⅱ）若函数f （x ）在区间（-1,1）上不单调，求a 的取值范围.8.设a 为实数，函数f （x ）=ax 3-ax 2+（a 2-1）x 在（-∞，0）和（1，+∞）都是增函数，求a 的取值范围.9. 设f （x ）=ax 3+x 恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求出这3个单调区间.10.已知函数f （x ）=x+alnx 在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g （x ）=f(x)+21x 2-bx (1).求实数a 的值(2).若函数g(x)存在单调递减区间，求实数b 的取值范围(3).设x 1，x 2（x 1＜ x 2）是函数 g （x ）的两个极值点，若b ≥27，求g （x 1）-g （x 2）的最小值。
备战高考数学复习考点知识与题型讲解20---导数与函数的单调性
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第20讲导数与函数的单调性考向预测核心素养考查函数的单调性，利用函数单调性解不等式，求参数范围，题型以解答题为主，中高档难度.逻辑推理、数学运算一、知识梳理1．函数单调性与导数符号的关系在某个区间(a，b)上，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减．2．函数值的变化快慢与导数的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”．3．判断函数y＝f(x)的单调性的步骤第1步：确定函数的定义域．第2步：求出导数f′(x)的零点．第3步：用f′(x)的零点将函数的定义域分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．常用结论1．“在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)”是“函数f(x)在此区间上单调递增(减)”的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒为零．二、教材衍化1．(人A 选择性必修第二册P 86例2改编)如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下面判断正确的是( )A ．在区间(－2，1)上，f (x )单调递增B ．在区间(1，3)上，f (x )单调递减C ．在区间(4，5)上，f (x )单调递增D ．在区间(3，5)上，f (x )单调递增解析：选C.在区间(4，5)上，f ′(x )>0恒成立， 所以f (x )在区间(4，5)上单调递增．2．(人A 选择性必修第二册P 97习题5.3 T 1(2)改编)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则函数f (x )的单调递增区间是________．解析：f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，即函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )≥0，则f (x )在此区间内单调递增．( )(2)在(a ，b )内f ′(x )≤0且f ′(x )＝0的根有有限个，则f (x )在(a ，b )内是减函数．( )(3)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内不具有单调性．( )答案：(1)×(2)√(3)√二、易错纠偏1．(求单调区间忽视定义域致误)函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为( ) A．(0，1) B.(0，＋∞)C．(1，＋∞) D.(－∞，0)，(1，＋∞)解析：选A.函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－1x＝x－1x，令f′(x)<0，得0<x<1，故f(x)的单调递减区间为(0，1)．2．(求参数范围忽视等号成立致误)若y＝x＋a2x(a>0)在[2，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________．解析：由y′＝1－a2x2≥0，得x≤－a或x≥a.所以y＝x＋a2x的单调递增区间为(－∞，－a]，[a，＋∞)．因为函数在[2，＋∞)上单调递增，所以[2，＋∞)⊆[a，＋∞)，所以a≤2.又a>0，所以0<a≤2.答案：(0，2]考点一不含参数的函数的单调性(自主练透) 复习指导：直接利用导函数的符号求函数的单调区间．1．当x>0时，f(x)＝x＋4x的单调递减区间是( )A．(2，＋∞) B.(0，2) C．(2，＋∞) D.(0，2)解析：选 B.令f ′(x )＝1－4x 2＝（x －2）（x ＋2）x2<0，则－2<x <2，且x ≠0.因为x >0，所以x ∈(0，2)，故选B.2．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B.(0，3) C ．(1，4)D.(2，＋∞)解析：选 D.f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，解得x >2，故选D.3．函数f (x )＝x ＋21－x 的单调递增区间是________；单调递减区间是________．解析：f (x )的定义域为{x |x ≤1}，f ′(x )＝1－11－x. 令f ′(x )＝0，得x ＝0. 当0<x <1时，f ′(x )<0. 当x <0时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递增区间是(－∞，0)，单调递减区间是(0，1)． 答案：(－∞，0) (0，1)4．已知函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln 2x ，则f (x )的单调递增区间为________． 解析：f ′(x )＝2x －5＋2x ＝（2x －1）（x －2）x(x ＞0)．由f ′(x )>0可得(2x －1)(x －2)>0， 所以x >2或0<x <12，即f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，(2，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，(2，＋∞)利用导函数求函数单调区间的注意点(1)当f ′(x )＝0无解时，可根据f ′(x )的结构特征确定f ′(x )的符号． (2)所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”及“和”隔开．考点二 含参数的函数的单调性(综合研析)复习指导：含参数的函数，要根据f ′(x )的形式讨论f ′(x )的符号，确定函数的单调性．已知函数f (x )＝e x (ax 2－2x ＋2)(a >0)．试讨论f (x )的单调性． 【解】 由题意得f ′(x )＝e x[ax 2＋(2a －2)x ](a >0)， 令f ′(x )＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2－2aa.①当0<a <1时，令f ′(x )>0，得x <0或x >2－2aa ，令f ′(x )<0，得0<x <2－2aa；②当a ＝1时，f ′(x )≥0在R 上恒成立； ③当a >1时，令f ′(x )>0， 得x >0或x <2－2aa，令f ′(x )<0，得2－2aa<x <0.综上所述，当0<a <1时，f (x )在(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫0，2－2a a 上单调递减；当a ＝1时，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a >1时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2－2a a 和(0，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，0上单调递减．(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论；划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．(2)对参数的分类讨论要明确标准，不重不漏，体现了逻辑推理的核心素养．|跟踪训练|(2022·辽宁省辽西联合校测试)讨论函数f (x )＝x 3－a ln x (a ∈R )的单调性． 解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝3x 2－a x ＝3x 3－ax(x >0)，①若a ≤0时，f ′(x )>0，此时函数在(0，＋∞)上单调递增；②若a >0时，令f ′(x )>0，可得x >3a 3，f ′(x )<0，可得0<x <3a 3，所以函数在⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，3a 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3a3，＋∞上单调递增． 考点三 函数单调性的应用(多维探究)复习指导：利用导数与函数的单调性可以比较大小、求参数的范围等，其关键是明确函数的单调性．角度1 比较大小或解不等式(1)(2021·新高考八省联考模考)已知a <5且a e 5＝5e a ，b <4且b e 4＝4e b ，c <3且c e 3＝3e c ，则( )A ．c <b <a B.b <c <a C ．a <c <bD.a <b <c(2)(2022·南昌摸底调研)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，设函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意x >0都有2f (x )＋xf ′(x )>0成立，则( )A．4f(－2)<9f(3) B.4f(－2)>9f(3)C．2f(3)>3f(－2) D.3f(－3)<2f(－2)(3)(2022·沈阳一模)函数f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且满足f′(x)＋2xf(x)＞0，则不等式（x＋2 023）f（x＋2 023）3＜3f（3）x＋2 023的解集为( )A．{x|x＞－2 020} B.{x|x＜－2 020}C．{x|－2 023＜x＜0} D.{x|－2 023＜x＜－2 020} 【解析】(1)由题意得0<a<5，0<b<4，0<c<3.令f(x)＝e xx(x>0)，则f′(x)＝e x（x－1）x2，当0<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，因为a e5＝5e a，所以e55＝e aa，即f(5)＝f(a)，而0<a<5，故0<a<1.同理0<b<1，0<c<1，f(4)＝f(b)，f(3)＝f(c)．因为f(5)>f(4)>f(3)，所以f(a)>f(b)>f(c)，所以0<a<b<c<1.故选D.(2)根据题意，令g(x)＝x2f(x)，其导数g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，由题意可知，当x>0时，有g′(x)＝x(2f(x)＋xf′(x))>0恒成立，即函数g(x)在(0，＋∞)上为增函数，又由函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(－x)＝f(x)，则有g(－x)＝(－x)2f(－x)＝x2f(x)＝g(x)，即函数g(x)也为偶函数，则有g(－2)＝g(2)，且g(2)<g(3)，则有g(－2)<g(3)，即有4f(－2)<9f(3)．故选A.(3)根据题意，设g(x)＝x2f(x)(x＞0)，则导函数g′(x)＝x2f′(x)＋2xf(x)．函数f(x)在区间(0，＋∞)上，满足f′(x)＋2xf(x)＞0，则有x 2f ′(x )＋2xf (x )＞0，所以g ′(x )＞0，即函数g (x )在区间(0，＋∞)上为增函数．（x ＋2 023）f （x ＋2 023）3＜3f （3）x ＋2 023⇒(x ＋2 023)2f (x ＋2 023)＜32f (3)⇒g (x ＋2023)＜g (3)，则有0＜x ＋2 023＜3， 解得－2 023＜x ＜－2 020，即此不等式的解集为{x |－2 023＜x ＜－2 020}． 【答案】 (1)D (2)A (3)D角度2 已知函数单调性求参数的取值范围(链接常用结论2)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)．(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求a 的取值范围． 【解】 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x－ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∈(0，＋∞)时，1x－ax －2<0有解．即a ＞1x 2－2x有解，设G (x )＝1x 2－2x，所以只要a ＞G (x )min 即可．而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a ＞－1，因为a ≠0，所以a 的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞)．(2)由题意得，当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x恒成立．所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以当x ＝4时，G (x )max ＝－716， 所以a ≥－716，因为a ≠0，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，0∪(0，＋∞)．1．本例条件变为：若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递增，求a 的取值范围．解：由h (x )在[1，4]上单调递增得，当x ∈[1，4]时，h ′(x )≥0恒成立，所以当x ∈[1，4]时，a ≤1x 2－2x恒成立，又当x ∈[1，4]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－2x min ＝－1，所以a ≤－1，即a 的取值范围是(－∞，－1]．2．若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上存在单调递减区间，求a 的取值范围． 解：h (x )在[1，4]上存在单调递减区间， 则h ′(x )<0在[1，4]上有解， 所以当x ∈[1，4]时，a >1x 2－2x有解，又当x ∈[1，4]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－2x min＝－1，所以a >－1，因为a ≠0，所以a 的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞)．根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)f (x )在区间(a ，b )上为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．|跟踪训练|1．(多选)已知定义在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，且恒有cosxf ′(x )＋sin xf (x )＜0成立，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 B.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 D.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4解析：选CD.根据题意，令g (x )＝f （x ）cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则g ′(x )＝f ′（x ）cos x ＋sin xf （x ）cos 2x ，又由x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且恒有cos xf ′(x )＋sin xf (x )＜0，则有g ′(x )＜0，即函数g (x )为减函数．由π6＜π3，则有g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6cosπ6＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3，分析可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3；又由π6＜π4，则有g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6cos π6＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cosπ4，分析可得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4.2．若f (x )＝x 2－a ln x 在(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，1) B.(－∞，1] C ．(－∞，2)D.(－∞，2]解析：选D.由f (x )＝x 2－a ln x ， 得f ′(x )＝2x －a x，因为f (x )在(1，＋∞)上单调递增， 所以2x －a x≥0在(1，＋∞)上恒成立， 即a ≤2x 2在(1，＋∞)上恒成立， 因为当x ∈(1，＋∞)时，2x 2>2， 所以a ≤2.3．(2022·宁波市北仑中学期中测试)函数f (x )＝x 22－ln x 在其定义域内的一个子区间[k －1，k ＋1]内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．解析：函数f (x )＝x 22－ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x.令f ′(x )＝0，因为x >0，可得x ＝1，列表如下：所以，函数f (x )在x ＝1处取得极小值，由于函数f (x )＝x 22－ln x 在其定义域内的一个子区间[k －1，k ＋1]内不是单调函数，则1∈(k －1，k ＋1)，由题意可得⎩⎨⎧k －1<1，k ＋1>1，k －1>0，解得1<k <2.因此，实数k 的取值范围是(1，2)． 答案：(1，2)[A 基础达标]1．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是() A ．(0，1) B.(1，＋∞) C ．(－∞，1)D.(－1，1)解析：选A.因为f ′(x )＝2x －2x ＝2（x ＋1）（x －1）x(x >0)，令f ′(x )<0得0<x <1，所以函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是(0，1)． 2．函数f (x )＝e xx的图象大致为()解析：选B.函数f (x )＝e xx的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，当x >0时，函数f ′(x )＝x e x －e xx 2，可得函数的极值点为x ＝1，当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，函数f (x )是减函数，当x >1时，f ′(x )＞0，函数f (x )是增函数，并且f (x )>0，选项B ，D 满足题意．当x <0时，函数f (x )＝exx<0，选项D 不正确，选项B 正确．3．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，f (1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3的大小关系为()A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5B ．f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5>f (1)解析：选A.f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x sin x ＝f (x )， 所以函数f (x )是偶函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.又当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0， 所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5.4．(2022·天津市高三模拟)函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调递增区间为() A.⎝⎛⎭⎪⎫0，1a B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞ C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1aD.(－∞，a )解析：选A.函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f ′(x )＝1x －a >0，得0<x <1a.所以f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1a .5．已知函数f (x )＝x 2＋ax，若函数f (x )在[2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为()A ．(－∞，8) B.(－∞，－8)∪(8，＋∞) C ．(－∞，16]D.(－∞，－16]∪[16，＋∞)解析：选C.由题意得f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax 2≥0在[2，＋∞)上恒成立，则a ≤2x 3在[2，＋∞)上恒成立， 所以a ≤16.6．函数f (x )＝x 4＋54x －ln x 的单调递减区间是________．解析：由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝14－54x 2－1x ＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜5，所以函数f (x )的单调递减区间为(0，5)． 答案：(0，5)7．f (x )是定义在R 上的偶函数，当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，且f (－4)＝0，则不等式xf (x )>0的解集为________．解析：构造F (x )＝xf (x )，则F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， 当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，可以推出当x <0时，F ′(x )<0，F (x )在(－∞，0)上单调递减． 因为f (x )为偶函数，y ＝x 为奇函数， 所以F (x )为奇函数，所以F (x )在(0，＋∞)上也单调递减，根据f (－4)＝0可得F (－4)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知xf (x )>0的解集为(－∞，－4)∪(0，4)．答案：(－∞，－4)∪(0，4)8．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则不等式xf ′(x )≥0的解集为________．解析：由f (x )图象特征可得，f ′(x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12和[2，＋∞)上大于0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2上小于0，所以xf ′(x )≥0⇔⎩⎨⎧x ≥0，f ′（x ）≥0或⎩⎨⎧x ≤0，f ′（x ）≤0⇔0≤x ≤12或x ≥2，所以xf ′(x )≥0的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)9．已知函数f (x )＝a ln x －x －a ＋1x (a ∈R )．求函数f (x )的单调区间．解：由题知，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x －1＋1＋a x 2＝－（x ＋1）[x －（1＋a ）]x 2，①当a ＋1>0，即a >－1时，在(0，1＋a )上f ′(x )>0，在(1＋a ，＋∞)上，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间是(0，1＋a )，单调递减区间是(1＋a ，＋∞)； ②当1＋a ≤0，即a ≤－1时，在(0，＋∞)上，f ′(x )<0， 所以函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)，无单调递增区间． 10．已知函数f (x )＝x ＋ax＋b (x ≠0)，其中a ，b ∈R . (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在(1，2)上为单调函数，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax2.当a ≤0时，显然f ′(x )>0(x ≠0)，这时f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数；当a >0时，f ′(x )＝（x ＋a ）（x －a ）x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝±a ，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在(－∞，－a )和(a ，＋∞)上是增函数， 在(－a ，0)和(0，a )上是减函数． (2)因为函数f (x )在(1，2)上为单调函数， 若f (x )在(1，2)上为单调递增函数， 则f ′(x )≥0在x ∈(1，2)时恒成立，所以x 2－a ≥0，即a ≤x 2在x ∈(1，2)时恒成立， 所以a ≤1.若f (x )在(1，2)上为单调递减函数， 则f ′(x )≤0在x ∈(1，2)时恒成立，所以x 2－a ≤0，即a ≥x 2在x ∈(1，2)时恒成立， 所以a ≥4.综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，1]∪[4，＋∞)．[B 综合应用]11．(多选)定义在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数f (x )，已知f ′(x )是它的导函数，且恒有cosx ·f ′(x )＋sin x ·f (x )<0成立，则有()A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 B.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 D.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 解析：选CD.构造函数g (x )＝f （x ）cos x ⎝⎛⎭⎪⎫0<x <π2，则g ′(x )＝f ′（x ）cos x ＋f （x ）sin x（cos x ）2<0， 即函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，同理，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4.故选CD.12．(多选)(2022·辽宁压轴试题)已知正数α，β满足e α＋12β＋sin β>e β＋12α＋sin α，则()A ．2α－β＋1>2 B.ln α＋α<ln β＋βC.1α＋1β>4α＋β D.1e α＋1α<1e β＋1β 解析：选ACD.由题意，得e α－12α＋sin α>e β－12β＋sin β，构造函数f (x )＝e x －12x ＋sin x，x >0，令g (x )＝2x ＋sin x ，则g ′(x )＝2＋cos x >0恒成立， 所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性可知－12x ＋sin x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )＝e x －12x ＋sin x在(0，＋∞)上单调递增，由f (α)>f (β)，可得α>β>0，对于A ，由α>β，可得α－β＋1>1，所以2α－β＋1>2，故A 正确；对于B ，由α>β>0，可得ln α>ln β，则ln α＋α>ln β＋β，故B 错误； 对于C ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1α＋1β(α＋β)＝2＋αβ＋βα>2＋2αβ·βα＝4，所以1α＋1β>4α＋β，故C 正确；对于D ，由α>β>0，可得e α>e β>0，1α<1β，所以1e α<1e β，所以1e α＋1α<1e β＋1β，故D 正确．13．已知g (x )＝2x＋x 2＋2a ln x 在[1，2]上是减函数，则实数a 的取值范围为________．解析：g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2ax，由已知得g ′(x )≤0在[1，2]上恒成立， 可得a ≤1x－x 2在[1，2]上恒成立．又当x ∈[1，2]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x 2min ＝12－4＝－72.所以a ≤－72.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－7214．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x＝－（x －1）（x －3）x，由f ′(x )＝0，得函数f (x )的两个极值点为1和3， 则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内， 函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调， 由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3. 答案：(0，1)∪(2，3)[C 素养提升]15．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .由题意知，f ′(x )>0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上有解，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时， f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a . 令29＋2a >0，解得a >－19， 所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞16．(2022·北京高三一模)已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋m 2在区间(t ，3)上总不是单调函数，求m 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝a （1－x ）x， 当a >0时，f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)； 当a <0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)； 当a ＝0时，f (x )为常数函数，没有单调区间． (2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，所以f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x.所以g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x ，所以g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.因为g (x )在区间(t ，3)上总不是单调函数， 即g ′(x )在区间(t ，3)上有变号零点． 由于g ′(0)＝－2，所以⎩⎨⎧g ′（t ）<0，g ′（3）>0.当g ′(t )<0时，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0对任意的t ∈[1，2]恒成立， 由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0， 即m <－5且m <－9，即m <－9； 由g ′(3)>0，即m >－373.所以－373<m <－9.21 / 21 即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.。
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理数
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导数课与标函版数的单调性
教材研读
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函数的导数与单调性的关系 函数y=f(x)在某个区间内可导, (1)若f '(x)>0在该区间内恒成立,则f(x)在这个区间内① 单调递增 ; (2)若f '(x)<0在该区间内恒成立,则f(x)在这个区间内② 单调递减 ; (3)若f '(x)=0在该区间内恒成立,则f(x)在这个区间内是③ 常数函数 .
2
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②若a>- e ,则ln(-2a)<1,故当x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)时, f '(x)>0;当x∈
2
(ln(-2a),1)时, f '(x)<0.所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)单调递增,在(ln(-2a),1)
单调递减.
③若a<- e ,则ln(-2a)>1,故当x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时, f '(x)>0;当x∈(1,
.
2
答案 (0,1]
解析 由题意知函数的定义域为(0,+∞),由y'=x- 1 ≤0(x>0),解得0<x≤1,
x
所以函数的单调递减区间为(0,1].
4.已知f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是增函数,则a的最大值是
.
答案 3
解析 f '(x)=3x2-a,由题意知在[1,+∞)上, f '(x)≥0,
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考点一 利用导数求函数的单调区间 典例2 (2016天津,20,14分)设函数f(x)=x3-ax-b,x∈R,其中a,b∈R.求f(x) 的单调区间. 解析 由f(x)=x3-ax-b,可得f '(x)=3x2-a. 下面分两种情况讨论: (i)当a≤0时,有f '(x)=3x2-a≥0恒成立,所以f(x)的单调递增区间为(-∞, +∞).
[提醒] 研究含参数的函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式
解集的影响进行分类讨论.
1-1 (2015重庆,19,12分)已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=- 4处取得极值
3
.
(1)确定a的值;
(2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.
解析 (1)对f(x)求导得f '(x)=3ax2+2x,
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判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f '(x)>0. (×) (2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f '(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调 性. (√) (3)在(a,b)内f '(x)≤0且f '(x)=0的根有有限个,则f(x)在(a,b)内是减函数. (√)
即a≤3x2,
又x∈[1,+∞)时,3x2≥3,
∴a≤3,即a的最大值是3.
考点突破
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考点一 利用导数判断或证明函数的单调性 典例1 (2016课标全国Ⅰ,21,12分)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.讨论f(x) 的单调性. 解析 f '(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a). (i)设a≥0,则当x∈(-∞,1)时, f '(x)<0;当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在 (-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增. (ii)设a<0,由f '(x)=0得x=1或x=ln(-2a). ①若a=- e ,则f ' (x)=(x-1)(ex-e),所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增.
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因为f(x)在x=-
4 3
处取得极值,所以f
'
4 3
=0,
即3a·16
9
+2×
4 3
16a
=
3
8
-
3
=0,解得a=1
2
.
(2)由(1)得g(x)=
1 2
x3
x2
ex,
故g'(x)=
3 2
x2
2x
ex+
1 2
x3
x2
ex
=
1 2
x3
5 2
x2
2x
ex=
1 2
x(x+1)(x+4)ex.
(ii)当a>0时,令f '(x)=0,解得x= 3a ,或x=- 3a .
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1.函数f(x)=cos x-x在(0,π)上的单调性是 ( ) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增 D.单调递减 答案 D ∵在(0,π)上, f '(x)=-sin x-1<0,∴f(x)在(0,π)上单调递减,故 选D.
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2.(2016课标全国Ⅰ,12,5分)若函数f(x)=x- 1 sin 2x+asin x在(-∞,+∞)单调
3
- 4 t2+at+ 5 ≥0在[-1,1]上恒成立,即4t2-3at-5≤0在[-1,1]上恒成立,令g(t)=4
3
3
t2-3at-5,则
g g
(1) (1)
4
4
3a 3a
5
5
0, 0,
解得-
1 3
≤a≤
1 3
,故选C.
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3.函数y= 1 x2-ln x的单调递减区间为
2
ln(-2a))时, f '(x)<0.所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)单调递增,在(1,ln(-2a))
单调递减.
方法技巧 用导数法判断函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤
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①求f '(x).
②确定f '(x)在(a,b)内的符号.
③作出结论,依据是f '(x)>0时为增函数; f '(x)<0时为减函数.
3
递增,则a的取值范围是 ( )
A.[-1,1]
B.
1,
1 3
C.
1 3
,
'(x)=1- 2 cos 2x+acos x=1- 2 (2cos2x-1)+acos x=-4 cos2x+acos x
3
3
3
+ 5 , f(x)在R上单调递增,则f '(x)≥0在R上恒成立,令cos x=t,则t∈[-1,1],则
令g'(x)=0,解得x=0或x=-1或x=-4.
当x<-4时,g‘(x)<0,故g(x)为减函数;当-4<x<-1时,g'(x)>0,故g(x)为增函数;
当-1<x<0时,g'(x)<0,故g(x)为减函数;当x>0时,g'(x)>0,故g(x)为增函数.
综上知g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+∞)内为增函数.