期末复习 专题6 不等式讲义教师

1 专题六 不等式 第一节不等关系与不等式 1．设a，b，c∈R，且a>b，则( D )

A．ac>bc B.1a<1b C．a2>b2 D. a3>b3

2.若00，则b＋ca＋c与a＋cb＋c的大小关系为___b＋ca＋c>a＋cb＋c_____． 考点一 比较两个数(式)的大小 1.已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( B ) A．MN C．M＝N D．不确定

2．若实数a≠1，比较a＋2与31－a的大小．

解：a＋2－31－a＝－a2－a－11－a＝a2＋a＋1a－1 ∴当a>1时，a＋2>31－a；当a<1时，a＋2<31－a. 3. 设0a，0b，且ab，试比较abab与baab的大小.． 考点二 不等式的性质

(1) “a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的( D ) A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分必要条件 D．必要不充分条件

(2)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc；②ad＋bc＜0；③a－c＞b－d；④a·(d－c)＞b(d－c)中成立的个数是( C ) A．1 B．2 C．3 D．4 （3）若a>b>0，则下列不等式不成立的是( C )

A.1a<1b B．|a|>|b| C．a＋b<2ab D.12a<12b 考点三 不等式性质的应用 [典例] 已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围．[5,10] 若本例中条件变为：已知函数f(x)＝ax2＋bx，且11)≤2,2≤f(1)<4，求f(－2)的取值范围. (5,10) [针对训练] 2

若α，β满足 －1≤α＋β ≤1，1≤α＋2β ≤3，试求α＋3β的取值范围．[1,7] 第二节一元二次不等式及其解法 1．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁RS)∪T＝( C ) A．(－2,1] B．(－∞，－4] C．(－∞，1] D．[1，＋∞)

2．不等式ax2＋bx＋2>0的解集是－12，13，则a＋b的值是( D ) A．10 B．－10 C．14 D．－14 3．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是__(－∞，－4)∪(4，＋∞)__ 4.若不等式mx2＋2mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围是__[0,1)______． 考点一 一元二次不等式的解法 [典例] 解下列不等式： (1)0＜x2－x－2≤4； {}x|－2≤x＜－1或2＜x≤3

(2)x2－4ax－5a2＞0(a≠0)． a＜0时，解集为{}x|x＜5a或x＞－a；a＞0时，解集为{}x|x＞5a或x＜－a

(3)－3x2－2x＋8≥0；x

 －2≤x≤

4

3

(4)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．

当0＜a＜1时，不等式的解集为x 1＜x＜1a；当a＝1时，不等式的解集为∅；

当a＞1时，不等式的解集为x 1a＜x＜1. 考点二 一元二次不等式恒成立问题

角度一 形如f(x)≥0(x∈R)确定参数的范围 1． 设0≤α≤π，不等式8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为

06，∪56， 角度二 形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围 2．对任意x∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，求a的取值范围．a<1 角度三 形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围 3

3．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，求x的取值范围． 第三节绝对值不等式(选修4－5) [试一试] 1．不等式|x2－2|<2的解集是( D ) A．(－1,1) B．(－2,2) C．(－1,0)∪(0,1) D．(－2,0)∪(0,2) 2．不等式|x－2|－|x－1|>0的解集为( A )

A.－∞，32 B.－∞，－32 C.32，＋∞ D.－32，＋∞ 3．已知不等式|2x－t|＋t－1<0的解集为(－12，12)，则t＝( B ) A．－1 B．0 C．1 D．2 4．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是_[－2,4] 考点一 绝对值不等式的解法

1．在实数范围内，不等式|x－12|＋|x＋12|≤3的解集为____x|－32≤x≤32________． 2．若关于x的不等式|x－a|<1的解集为(1,3)，则实数a的值为___2_____． 3．如果关于x的不等式|x－3|－|x－4|[类题通法] 利用零点分类讨论法解绝对值不等式时，注意分类讨论时要不重不漏． 考点二 绝对值不等式的证明 [典例] 已知f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，不等式f(x)<4的解集为M. (1)求M； (2)当a，b∈M时，证明：2|a＋b|<|4＋ab|.

[解] (1)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|＝ －2x，x<－1，2，－1≤x≤1，2x，x>1， 当x<－1时，由－2x<4，得－2当－1≤x≤1时，f(x)＝2<4，∴－1≤x≤1； 当x>1时，由2x<4，得1(2)证明：a，b∈M即－2＋a2b2)＝(a2－4)·(4－b2)<0，∴4(a＋b)2<(4＋ab)2，∴2|a＋b|<|4＋ab|. 4

本例中f(x)若变为“f(x)＝|x＋1|＋|x－1|－a”且f(x)≥0对x∈R恒成立，求a的取值范围. (2，＋∞) [针对训练] 设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|. (1)求证：f(x)≥1；

(2)若f(x)＝a2＋2a2＋1成立，求x的取值范围． 解：(1)证明：f(x)＝|x－1|＋|x－2|≥|(x－1)－(x－2)|＝1. (2)∵a2＋2a2＋1＝a2＋1＋1a2＋1＝a2＋1＋1a2＋1≥2，

∴要使f(x)＝a2＋2a2＋1成立，需且只需|x－1|＋|x－2|≥2， 即 x<1，1－x＋2－x≥2或 1≤x<2，x－1＋2－x≥2或 x≥2，x－1＋x－2≥2， 解得x≤12或x≥52， 故x的取值范围是－∞，12∪52，＋∞. 考点三 绝对值不等式的综合应用 [典例] (2013·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3. (1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；

(2)设a＞－1，且当x∈－a2，12时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围． [针对训练]已知f(x)＝|x＋a|＋|x－2|. (1)当a＝－1时，解关于x的不等式f(x)>5； (2)已知关于x的不等式f(x)＋a<2 014(a是常数)的解集是非空集合，求实数a的取值范围． 解：(1)构造函数g(x)＝|x－1|＋|x－2|－5，

则g(x)＝ －2x－2x≤1，－41令g(x)>0，则x<－1或x>4， ∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)． 5

(2)∵f(x)＋a＝|x＋a|＋|x－2|＋a≥|a＋2|＋a， 又关于x的不等式f(x)＋a<2 014的解集是非空集合， ∴|a＋2|＋a<2 014，解得a<1 006. 第四节基本不等式 [试一试]

1．“a>0且b>0”是“a＋b2≥ab”成立的( A ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知0

A.13 B.12 C.34 D.23

3．已知x2＋y2＝10，则3x＋4y的最大值为( A ) A．510 B．410 C．310 D．210 4若x>1，则x＋4x－1的最小值为____5____．

5若正数ba,满足3baab，则ab的取值范围是 [9，＋∞) 考点一 利用基本不等式求最值 [典例] (1)已知函数f(x)＝4x＋ax(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝_36___ (2)若两个正实数x，y满足2x＋1y＝1，并且x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是(－4,2) (3)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则zxy的最小值为_____1___． 在(3)的条件中，当zxy取最小值时，求x＋2y－z的最大值.

[针对训练] (1)当x＞0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为____1____． (2)已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为____18____． (3)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是___10_____． 考点二 基本不等式的实际应用 [典例] 某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产