不等式期末复习资料
[高一数学]不等式知识点归纳与总结
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授课教案教学标题 期末复习（三） 教学目标 1 、不等式知识点归纳与总结 教学重难点重点：不等式基础知识点的熟练掌握难点：不等式在实际应用中的相互转换上次作业检查授课内容：一、数列章节知识点复习1 等差数列（1）性质：a n =an+b ，即a n 是n 的一次性函数，系数a 为等差数列的公差；（2） 等差{n a }前n 项和n d a n d Bn An S n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=22122 即S n 是n 的不含常数项的二次函数；若{a n }，{b n }均为等差数列，则{a n ±n n },{∑=k1i ka},{ka n +c}（k ，c 为常数）均为等差数列；当m+n=p+q 时，a m +a n =a p +a q ，特例：a 1+a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2=…；当2n=p+q 时，2a n =a p +a q ； ① 等差数列依次每k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k 2倍...,,232k k k k k S S S S S --； ② 若等差数列的项数为2()+∈N n n ，则，奇偶nd S S =-1+=n na a S S 偶奇；等差数列等比数列 定义 d a a n n =-+1)0(1≠=+q q a a nn 递推公式 d a a n n +=-1；()n m a a n m d =+-q a a n n 1-=；m n m n q a a -= 通项公式 d n a a n )1(1-+=11-=n n q a a （0,1≠q a ）中项2kn k n a a A +-+=（*,,0n k N n k ∈>>）)0( k n k n k n k n a a a a G +-+-±=（*,,0n k N n k ∈>>）前n 项和)(21n n a a nS +=d n n na S n 2)1(1-+=()⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(111)1(111q q qa a qq a q na S n n n 重要性质),,,,(*q p n m N q p n m a a a a qp n m +=+∈+=+),,,,(*q p n m N q p n m a a a a qp n m +=+∈⋅=⋅③ 若等差数列的项数为()+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=-，且n a S S =-偶奇， 1-=n n S S 偶奇 （4）常用公式：①1+2+3 …+n =()21+n n ②()()61213212222++=+++n n n n③()2213213333⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++n n n[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…110-=⇒n n a ； 5，55，555，…()11095-=⇒nna .2 等比数列 （1）性质当m+n=p+q 时，a m a n =a p a q ，特例：a 1a n =a 2a n-1=a 3a n-2=…，当2n=p+q 时，a n 2=a p a q ，数列{ka n }，{∑=k1i ia}成等比数列。
不等式复习资料
一、实数的大小实数可分为三类：正实数，零，负实数，如果a,b是两个实数，则a-b还是实数，所以它还是属于而且只属于以上三种之一，如果a-b，是一个正实数，则说明a>b；如果a-b是一个负实数，则说是a<b；如果a-b是零，则说a=b.由上可知，要判定两个实数a,b的大小时，只用判定a-b的符号就可以了例：1、∵5-0=5>0；-4-0=-4<0；∴5>0；-4<02、∵5-（-3）=8，∴5>-3二、不等式及其性质一、不等式表示不相等的式子，叫做不等式，例如：5<8，a+1>a等，都是不等式。
二、不等式的性质1、如果a>b，则b<a。
这个性质叫做不等式的对称性，它表明如果不等式的两边对调，不等式符号改变方向。
2、如果a>b，b>c，则a>c。
这个性质叫做不等式的传递性。
3、如果a>b，则a+c>b+c。
这个性质叫做加法的单调性。
它表明不等式的两边可以同时加上一个数，或同一个式子，不等号方向不变。
4、如果a>b，c>0，则ac>bc；如果a>b，c<0，则ac<bc。
这个性质表明不等式两边同时乘以（或除以）一个正数，不等号的方向不变，不等式两边同时乘以（或除以）一个负数，不等号的方向改变。
5、如果a>b，c>d,则a+c>b+d。
这个性质表明同向不等式各边相加，还是得同向不等式。
6、如果a>b，c<d，则a-c>b-d。
这个性质表明异向不等式两边分别相减，得一与被减式的同向不等式。
三、区间1、由数轴上两点间的一切实数所组成的集合叫做区间，其中，这两个点叫做区间端点。
2、不含端点的区间叫做开区间；含有两个端点的区间叫做闭区间；只含有左端点的区间叫做右半开区间；只含有右端点的区间叫做左半开区间。
3、有两个端点的区间叫做有限区间，只有一个端点的区间叫做无限区间。
不等式期末复习1
不等式期末复习例1、求实数m 的范围，使关于x 的方程x 2+2(m-1)x+2m+6=0(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；(2)有两个实根，且都比1大；(3)有两个实根α、β，且满足0<α<1<β<4;(4)至少有一个正根。
例2、若关于m 的不等式2(21)10mx m x m -++-≥的解集为空集，求m 的取值范围.变式1、解集非空变式2、解集为一切实数例3、如果不等式)1(12->-x m x 对于[]2,2-∈x 成立,求m 的取值范围变1：如果不等式)1(12->-x m x 对于[]2,2-∈m 成立,求x 的取值范围变2：如果不等式)1(122->-x m x 对于R x ∈成立,求m 的取值范围变3：如果不等式)1(122->-x m x 对于[]2,2-∈m 成立,求x 的取值范围例4、（1）已知1x >-，求2311x x y x -+=+的最值及相应的x 的值。
（2）当x ≥0时，求函数11)(22+++=x x x x f 的值域例5、已知正数b a ,满足3++=b a ab ，求b a +的最小值变1：若,,A B C 为ABC △的三个内角，则41A B C++的最小值为 ． 变2：若bb a a b a )2(4,022-+>>求的最小值 .变3：已知1422=++xy y x ，求y x 2+的最值课后作业1、不等式022≥+--x x 的解集为 ( ) A.{}12≥-≤x x x 或 B.{}12<<-x x C.{}12≤≤-x x D. Φ2、若0<a <1，则不等式1()()0x a x a--<的解是（ ） A.1a x a << B.1x a a << C. 1x x a a ><或 D. 1x a x a ><或 3、知点()3,1--和()4,6-在直线320x y a --=的两侧，则a 的取值范围是（ ）A ．()24,7-B ．()7,24-C ．()(),724,-∞-+∞D ．()(),247,-∞-+∞4、有如下几个命题：①如果x 1, x 2是方程ax 2+bx +c =0的两个实根且x 1<x 2，那么不等式ax 2+bx +c ＜0的解集为{x ∣x 1＜x ＜x 2};②当Δ＝b 2－4ac <0时，二次不等式 ax 2+bx +c ＞0的解集为∅; ③0x a x b-≤-与不等式(x －a )(x －b )≤0的解集相同；④2231x x x -<-与x 2－2x ＜3(x －1)的解集相同. 其中正确命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．05、函数)0,(1)(≠∈+=x R x x x x f 的值域是( ) A.),2[+∞ B.),2(+∞ C.R D.),2[]2,(+∞--∞6、下列不等式中，与不等式x x --23≥0同解的是( )A.)2)(3(x x --≥0B.0)2)(3(>--x xC.32--x x ≥0D.)2lg(-x ≤0 7、已知不等式052>+-b x ax 的解集是}23|{-<<-x x ，则不等式052>+-a x bx 的解是( )A.3-<x 或2->xB.21-<x 或31->xC.3121-<<-xD.23-<<-x8、下列函数中，最小值是2的是（ ）A ．1y x x =+B ．1lg (110)lg y x x x=+<< C ．33x x y -=+ D ．1sin (0)sin 2y x x x π=+<< 9、不等式03221<-+-x x 的解集为( )A.)1,(--∞B.)0,1(-C.),1(+∞D.)1,0(10、α和β是关于x 的方程x 2－(k －2)x +k 2+3k +5=0的两个实根,则α2+β2的最大值为 .11、若实数0,0x y >>，且3412x y +=，则lg lg x y +的最大值是_______________．12、已知a 、b ∈R ,a+b+a 2+b 2＝24,则a+b 的取值范围是_________________.13、设x>y>z ,n ∈N,且zx n z y y x -≥-+-11恒成立，则n 的最大值是 . 14、若x ，y 满足约束条件03003x y x y x +⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≤≤，则2z x y =-的最大值为 ．15、若关于x 的不等式22440x x m -+-≤在[－1，3]上恒成立，求实数m 的取值范围.16、（1）若14<<-x ，求22222-+-x x x 的最大值 （2）求函数11)(22+++=x x x x f 的值域17、已知集合{}2230,A x x x x R =--≤∈，{}22240,,B x x mx m x R m R =-+-≤∈∈. （Ⅰ）若[]0,3AB =，求实数m 的值；（Ⅱ）若BC A R ⊆，求实数m 的取值范围.18、在ABC ∆中，已知9=⋅，C A B sin cos sin ⋅=，6=∆ABC S ，P 为线段AB 上的一点，且x =||||CB y CA +y x 11+的最小值。
不等式专题(期末复习完整绝密版)(含具体解析)
不等式专题(期末复习完整绝密版)1）【答案】C 【解析】试题分析：根据条件，作出可行域，如图所示，联立方程组，解得A(0，3),B(0，1),点到AB 的距离d=1，所以故选 D.考点：线性规划.2）A【答案】D 【解析】x,y 的取值范围如图所示.所以所求的概率为故选D. 考点：1.线性规划.2.几何概型.3取值范围是【答案】B 【解析】试题分析：分别把原点和点代入直线得到不等式组B考点：点位于直线两侧的充要条件4( )【答案】A【解析】考点：考查线性规划知识.5．已知点(-2,1)和点(1,1),则a 的取值范围是（ ） A ．),1()8,(+∞--∞B ．(-1,8)C ．(-8,1)D【答案】C【解析】试题分析：因为点(-2,1)和点(1,1),所以考点：本小题主要考查点与直线的位置关系.点评：点在直线上，则点的坐标适合直线方程，如果点不在直线上，则点的坐标代入方程可得大于或小于零.6．(理)AC【答案】C 【解析】所以考点：本小题考查了一元二次不等式表示的平面区域．点评：关键是利用特殊点定出可行域对应的不等式是解决此类问题的关键． 7．(文)点(3,1)和点(-4,6)ABC【答案】D 【解析】考点：考查二元一次不等式表示平面区域．点评：知识直线同侧的点不等式的符号相同，在直线两侧的点，不等式的符号异号．8）ABCD【答案】B 【解析】9．7ABC D 【答案】Ｄ【解析】10的取值范围是（ ）ABCD【答案】D-4 2，故选D11．如果实数x、y）A、【答案】B3,0）为圆心，1P的直线与圆相切时，斜率取最值；设直线方程为B12．已知x、y( )A. －15B. －20C. －25D. －30【答案】A-15，故选A13．C.16D.64【答案】BR3时，8，故选B14()A．3 B．．9【答案】DD。
15．已知实数x，y 满足线性约束条件则的最大值为(A) －3(D)3【答案】D2zx=3，故选D16a的取值范围是（）.【答案】C【解析】考点：二元一次不等式（组）与平面区域.17）A【答案】C.【解析】考点：二元一次方程与平面区域.18．） A【答案】C(9-2+a)(-12-12+a)<0，解得为-7<a<24,选C.19( )BC D【答案】A【解析】略20．已知且，则的取值范围是…………………………… （ ）A、【答案】C 【解析】略21（ ） ACD【答案】D【解析】略22．设x 、yA.B.C. [1，5]【答案】C 【解析】略23．设x，y）A【答案】D【解析】略24）AB．3 CD．4【答案】B【解析】25）AD【答案】B【解析】的距离2，故选B。
复习不等式(学)
不等式一元二次不等式及其解法含参不等式例1 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)．在本例中，把a >0改成a ∈R ，解不等式．跟踪训练1 (1)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________．(2)解不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )．命题点1在R上的恒成立问题例2对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2) B．(－∞，2]C．(－2,2) D．(－2,2]命题点2在给定区间上的恒成立问题例3已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为________．命题点3给定参数范围的恒成立问题例4若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，则实数x的取值范围为________．跟踪训练2函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)若当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(2)若当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(3)若当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．例5（1）已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0有一正根和一负根，求实数m的取值范围．（2）已知方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有两个不等正实根，求实数m的取值范围．（3）已知二次函数f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围．基本不等式利用基本不等式求最值命题点1 配凑法例6 (1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．(3)已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则( ) A ．f (x )有最小值4 B ．f (x )有最小值－4C ．f (x )有最大值4D ．f (x )有最大值－4命题点2 常数代换法例7 若正数m ，n 满足2m ＋n ＝1，则1m ＋1n的最小值为( ) A ．3＋2 2 B ．3＋2C ．2＋2 2D ．3命题点3 消元法例8 已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．跟踪训练3 (1)(天津)设x >0，y >0，x ＋2y ＝5，则(x ＋1)(2y ＋1)xy的最小值为________．(2)(天津模拟)已知a >0，b >0，c >0，若点P (a ，b )在直线x ＋y ＋c ＝2上，则4a ＋b＋a ＋b c 的最小值为________．基本不等式的实际应用例9 2020年受疫情影响，全球经济均受到不同程度的冲击.为稳妥有序地推进复工复产，2月11日晚，郑州市相关政府部门印发了《郑州市关于应对新型冠状病毒肺炎疫情促进经济平稳健康发展的若干举措》的通知，并出台多条举措促进全市经济平稳健康发展.某工厂为拓宽市场，计划生产某种热销产品，经调查，该产品一旦投入市场就能全部售出.若不举行促销活动，该产品的年销售量为28万件，若举行促销活动，年销售量y (单位；万件)与年促销费用()0x x ≥(单位；万元)满足3010(k y k x =-+为常数).已知生产该产品的固定成本为80万元，每生产1万件该产品需要再投入生产成本160万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定成本和生产成本，不包括促销成本).（1）求k 的值，并写出该产品的利润L (单位:万元)与促销费用x (单位:万元)的函数关系﹔（2）该工厂计划投入促销费用多少万元，才能获得最大利润?跟踪训练4 某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4 800 m 3，深度为3 m ．如果池底每1 m 2的造价为150元，池壁每1 m 2的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为________ m.课时精练1．(2020·廊坊调研)已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集为(－1,3)，那么不等式f (－2x )<0的解集为( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－32，12 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－12，322．若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，那么不等式a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c >2ax 的解集为( )A ．{x |－2<x <1}B ．{x |x <－2或x >1}C ．{x |0<x <3}D ．{x |x <0或x >3}3．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－2354．若对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(2,3)D ．(3，＋∞)5．(如皋期末)若实数x ，y 满足xy ＋6x ＝4⎝⎛⎭⎫0<x <23，则4x ＋1y的最小值为( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．326．设x ，y 均为正数，且xy ＋x －y －10＝0，则x ＋y 的最小值是________．7一元二次方程x 2－(k －2)x ＋k ＋1＝0有一正一负实数根，则k 的取值范围是________．8．(天津)若a，b∈R，ab>0，则a4＋4b4＋1ab的最小值为________．9．已知关于x的不等式－x2＋ax＋b>0.(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a，b的值；(2)若b＝a＋1，求此不等式的解集．10．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；(2)求1x＋1y的最小值．11.网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x＝3－2t＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元．12．已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)．(1)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )>0，f (x ＋k )<0的正整数解只有一个，求实数k 的取值范围； (2)若对于任意x ∈[－1,1]，不等式t ·f (x )≤2恒成立，求t 的取值范围．。
不等式知识点总结
不等式知识点总结一、不等式的基本概念。
1. 不等式的定义。
- 用不等号（＞、≥、＜、≤、≠）表示不等关系的式子叫做不等式。
例如：3x + 2>5，x - 1≤slant2x等。
2. 不等式的解与解集。
- 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
例如对于不等式x+1 > 0，x = 1是它的一个解，因为1 + 1>0成立。
- 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
例如不等式x - 2>0的解集是x>2，这表示所有大于2的数都是这个不等式的解。
3. 解不等式。
- 求不等式解集的过程叫做解不等式。
例如解不等式2x+3 < 7，通过移项可得2x<7 - 3，即2x<4，再两边同时除以2得到x < 2，这个过程就是解不等式。
二、不等式的基本性质。
1. 性质1（对称性）- 如果a>b，那么b < a；如果b < a，那么a>b。
例如5>3，那么3 < 5。
2. 性质2（传递性）- 如果a>b，b>c，那么a>c。
例如7>5，5>3，那么7>3。
3. 性质3（加法法则）- 如果a>b，那么a + c>b + c。
例如3>1，那么3+2>1 + 2，即5>3。
- 推论：如果a>b，c>d，那么a + c>b + d。
例如4>2，3>1，那么4 + 3>2+1，即7>3。
4. 性质4（乘法法则）- 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c < 0，那么ac < bc。
例如2>1，当c = 3时，2×3>1×3，即6>3；当c=-1时，2×(-1)<1×(-1)，即-2 < - 1。
不等式复习
4．用基本不等式求最值应注意：一“正”、二“定”、三 “相等”三个条件．一“正”是指函数式中，各项（必要时， 还要考虑常数项）必须都是正数，如不是，则进行变号转换； 二“定”是指函数式中，含变量的各项和或积必须是常数， 才能利用基本不等式求最值；如不是，则进行拆项或分解， 务必使不等式的一端的和或积为常数；三“相等”是指函数 式中，含变量的各项相等，才能利用基本不等式求最值．即 相等时，变量字母有实数解，且解在定义域内．否则说明拆 项、分解不当，应重新拆项、分解或改用其他方法．
(x 2)(3 x) 0
6、求不等式组 x 4 0
的解集.
10、对于任意实数x，不等式(a-2)x2 -2(a-2)x-4<0 恒成立，则实数a的取值范围是__________。
11、解关于x的不等式： (x+a)(x-2a+1)<0
5、求不等式 3(x 2 1) 10 x 的正整数解集；
a b a b 0； a b a b 0； a b a b 0
（2）作差比较法是比较两个实数（代数式）大小的基本 方法，它的一般步骤是：①作差；②变形；③判断．
4．用不等式的性质求变量的范围时，是通过同向不等式相 加或相乘来完成的．如果是有等号的，还应注意两端能否取 “=”．
一、不等式的基本性质
1、若a＜b＜0，则下列不等式中，不能成立的是 （）
（A）1＞
1
（B）
1 ＞ （C）|a|＞|b|（D）a2＞b2
a b ab
2、已知
a、b、c、d均为实数，且ab 0， c d ab
则下列不等式中成立的是（ ）
1．不等式的性质是进行不等式的证明和解不等式的依据，它 们都是不等式同解变形的基础．
不等式复习资料
1. 了解不等式的意义与掌握不等式的基本性质。
2. 会解一元一次不等式并在数轴上表示出解集。
3. 会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并用数轴确定解集。
【知识梳理】1. 不等式（组）的有关概念：1） 用符号＜,≤,＞,≥,≠连接而成的数学式子,叫做不等式.2） 不等号的两边都是 ，而且只含有 ，未知数的最高次数是 ，这样的不等式叫做一元一次不等式。
3）类似于方程组，把两个含有相同未知数的 合起来，就组成了一元一次不等式组。
2.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，一元一次不等式的解集：只含有一个未知数的不等式的所有解一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分 具体四种情况：若a.>b ,请写出以下不等式组的解集1)⎩⎨⎧>>b x a x ,2)⎩⎨⎧<<b x a x ,3)⎩⎨⎧<>b x a x ,4)⎩⎨⎧><b x a x 3.不等式的基本性质：1）不等式的两边同加（或减）同一个数（式子），不等号的方向 。
2）不等式的两边同乘（或除）同一个 ，不等号的方向不变。
3）不等式的两边同乘（或除）同一个 ，不等号的方向 。
【课前复习】1.下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）A ．x ≥5xB ．2x >1-x 2C ．x +2y <1D ．2x +1≤3x 2.用不等号填空：若,5______5;4______4;_____33a b a b a b a b >----则 3. 不等式)1(395+≤-x x 的解集是 4. 把不等式组1020x x +≥⎧⎨->⎩的解集表示在数轴上，正确的是( )5.如图1，在数轴上表示某不等式组中的两个不等式的解集，则该不等式组的解集为（ ）A 、x ＜4B 、x ＜2C 、2＜x ＜4D 、x ＞20 2 4-2 (图1)类型一：不等式的基本性质例1：1）如果b a <，那么下列不等式中成立的是（ ）A 、11-<-b aB 、b a -<-C 、33b a > D 、bc ac < 2）若不等式1)1(->-a x a 的解集为1<x ，则a 的取值范围是 类型二：求一元一次不等式的解例2：解不等式 :312-≥x x类型三：求一元一次不等式组的解例3：解不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧-≥+>+3122423x x x x 的自然数解类型四：一元一次不等式（组）解的应用例4：1）不等式64-x ≥157-x 的正整数解是 .2）不等式－1≤x 23-＜6的所有整数解的和是 。
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ab
当且仅当b a，即a b 1时，等号成立．
ab
2
所以原不等式成立．
2因为a 0，b 0，且a b 1，
所以原不等式 ( a 1 b 1 )2 4
2
2
a b 1 2 a 1 b 1 4 22
2 2 a 1 b 1 4 22
a 1 b 1 1 22
2．不等式的性质
1定理1：(对称性或反身性)a b ⑦ __________； 2定理2：(传递性)a b，b c ⑧ _________； 3定理3：(可加性)a b a c ⑨ __________，
此法则又称为移项法则．
推论：(同向可相加)a b，c d a c ⑩ __________ .
(3)对于基本不等式，不仅要记住原始公式，而 且还要掌握它的几种常见的变形形式及公式的 逆运用等．如
2ab ab a b a2 b2 (a 0，b 0)．
ab
2
2
题型四 利用基本不等式证明不等式
例4.(2010 铜陵模拟)已知a 0，b 0，且a b 1，
求证：1 1 1 4；
ab
2 a 1 b 1 2.
2
2
分析：条件不等式，关键要尽快恰当使用条件， 构造基本不等式，利用基本不等式证明．要注意 考察等号成立的条件．
证明 1因为a 0，b 0，且a b 1，
所以 1 + 1 a b(1 1) 2 b a 2 2 b a 4.
ab
ab
ab
4定理4：(可乘性)a b，c 0 ac ⑪__________；
a b，c 0 ac ⑫__________ . 推论1：(正数同向可相乘)a b 0，c d 0 ac⑬________ bd. 推论2：(乘方法则)a b 0(n N *) an⑭________ bn.
a
c
b
d；
③
a c
d d
ac
bd；
④
a c
b
0
ac
bc；
⑤ac bc a b；
⑥a b ac2 bc2.
其中命题正确的是
(填入所有正确命题的序号)．
题型二 比较数(式)的大小
例2.若x y 0，试比较 x2 y2 x y与 x2 y2 x y的大小．
(a 1)(b 1) 1 22
ab 1 a b 1 1
2
4
ab ´1 1 1 1 ab 1 .
24
4
因为a 0，b 0，所以1 a b 2 ab
(当且仅当a b 1 时取等号)． 2
“a c b d”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C ．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3已知 8 x 2， 32 y 4，则 y 的取值范围
x 是 ____________．
分析：不等式性质就其逻辑关系而言，可分为推出 关系(充分条件)和等价关系(充要条件)，要深刻理解 不等式性质，把握其逻辑关系．
评析：利用不等式性质时，要注意性质中 条件是否为充要条件，不能用充分不必要条件 解不等式．
素材1：1已知非零实数a、b满足a b，则下
列不等式中成立的是
A. a2 b2 C. a2b ab2
B. 1 1 ab
D. a b b2 a2
2
①
a c
b d
a
c
b
d；②
a c
b d
xy
评析：(1)合理拆分或配凑因式是常用的技 巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项 为正值，必要时需出现积为定值或和为定值． (2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次 是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条 件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本 不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅 是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有 误的一种方法．
分析：由差值比较法，a b 0 a b
评析：多项式、对数式比较大小，一般均 用作差法．幂指函数比较大小常用作商法比较 大小．
题型三 利用基本不等式求最值
例3.(2010 宿州月考)
1设0 x 2，求函数y 3x8 3x的最大值； 2求 3 a的取值范围；
a4
3已知x 0，y 0，且x y 1，求 8 2的最小值．
2 基本(均值)不等式：如果a，b
R，那么
a
2
b
⑲__________(当且仅当a b取“=”)．
注：基本(均值)不等式可以用来求最值(积定和小，
和定积大)，特别要注意条件需满足：
⑳_______________ .
推广1：a b __________ ab 0(当且仅当a b
ba 时取“”)；
下列命题：
①若ab 0，bc ad 0，则 c d 0； ab
②若ab 0，c d 0，则bc ad 0； ab
③若bc ad 0，c d 0，则ab 0. ab
其中正确命题的个数是( )
A. 0 B 1
C. 2
D. 3
2已知a，b，c，d为实数，且c d，则“a b”是
推广2：a，b R， a2
b2 2
__________
__________
1
2
1
(当且仅当仅当a
b时取“ ”)
ab
即平方平均数 算术平均数 几何平均数
调和平均数．
注意关于ab的两种变形ab a2 b2 ，ab ( a b )2.
2
2
题型一 不等式性质的应用
例1.1(2a b 0(n N，n 2) n a⑮
________ n b. 推论：(倒数法则)a b，ab 0 1 ⑯__________ .
a
3．基本(均值)不等式
1如果a，b为实数，，那么a2 b2 ⑰__________，
注意也可写成a2 b2 ⑱__________ .
1. 比较两数的大小
1差值比较法：a b ① __________ 0；a b
② ______ 0；a b ③ _______ 0.
2商值比较法：若a 0，b 0，则a b a ④
b
___ ，a b a ⑤ _____，a b a ⑥ ____
b
b
____ .