高中不等式例题(超全超经典)

解题技巧：
技巧一：凑项例1：已知 ，求函数 的最大值。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数
例1.当 时，求 的最大值。
技巧三：分离例3.求 的值域。
技巧四：换元
解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。
当 ,即t= 时, （当t=2即x＝1时取“＝”号）。
提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为__________（答：（－1,2））
例2.(1)求函数 的最大和最小值；
(2)设 ，函数 .
若 ，求 的最大值
1．不等式的性质：
二．不等式大小比较的常用方法：
1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化；
6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
三．重要不等式
7．含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.如
（1）若 ，则 的取值范围是__________（答： 或 ）；
（2）解不等式
（答： 时， ； 时， 或 ； 时， 或 ）
1.一元一次不等式的解法。2.一元二次不等式的解法
3.简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现 的符号变化规律，写出不等式的解集。如
1.（1）若 ，则 (2)若 ，则 （当且仅当 时取“=”）
2. (1)若 ，则 (2)若 ，则 （当且仅当 时取“=”）
(3)若 ，则 (当且仅当 时取“=”）
3.若 ，则 (当且仅当 时取“=”）;
若 ，则 (当且仅当 时取“=”）
若 ，则 (当且仅当 时取“=”）
4.若 ，则 （当且仅当 时取“=”）
例3.两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路牌的第10km和第20km处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次.要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？
七．证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).
（答： ）.
5.指数和对数不等式。
6．绝对值不等式的解法：
（1）含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集
（2）|ax+b|≤c(c＞0)和|ax+b|≥c(c＞0)型不等式的解法
①|ax+b|≤c -c≤ax+b≤c;
②| ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤-c.
（3）|x-a|+|x-b|≥c(c＞0)和|x-a|+|x-b|≤c(c＞0)型不等式的解法
常用的放缩技巧有：
如（1）已知 ，求证： ；
(2)已知 ，求证： ；
（3）已知 ，且 ，求证： ；
(4)若a、b、c是不全相等的正数，求证： ；
（5）已知 ，求证： ；
(6)若 ，求证： ；
(7)已知 ，求证： ；
（8）求证： 。
八．不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）
若在区间 上存在实数 使不等式 成立,则等价于在区间 上的 .如
已知不等式 在实数集 上的解集不是空集，求实数 的取值范围____
（答： ）
3).恰成立问题
若不等式 在区间 上恰成立,则等价于不等式 的解集为 ；
若不等式 在区间 上恰成立,则等价于不等式 的解集为 .
例：若不等变 恰有一解，求实数a的值
技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数 的单调性。例：求函数 的值域。
解：令 ，则
因 ，但 解得 不在区间 ，故等号不成立，考虑单调性。
因为 在区间 单调递增，所以在其子区间 为单调递增函数，故 。
所以，所求函数的值域为 。
2．已知 ，求函数 的最大值.；3． ，求函数 的最大值.
解： a、b、c ， 。 。同理 ， 。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得
。当且仅当 时取等号。
应用三：基本不等式与恒成立问题
例：已知 且 ，求使不等式 恒成立的实数 的取值范围。
解：令 ，
。 ，
应用四：均值定理在比较大小中的应用：
例：若 ，则 的大小关系是.
分析：∵ ∴ （
∴R>Q
四．不等式的解法.
（答： ）
4．分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如
（1）解不等式
（答： ）；
（2）关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为____________
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。
方法四：两边平方。
例1：解下列不等式：
【解析】：（1）解法一（公式法）
原不等式等价于x2-2x>x或x2-2x<-x解得x>3或x<0或0<x<1
（1）解不等式 。
（答： 或 ）；
（2）不等式 的解集是____
（答： 或 ）；
（3）设函数 、 的定义域都是R，且 的解集为 ， 的解集为 ，则不等式 的解集为______
（答： ）；
（4）要使满足关于 的不等式 （解集非空）的每一个 的值至少满足不等式 中的一个，则实数 的取值范围是______.
注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．
≤ ≤ ≤
应用一：求最值
例1：求下列函数的值域（1）y＝3x2＋ （2）y＝x＋
1).恒成立问题
若不等式 在区间 上恒成立,则等价于在区间 上
若不等式 在区间 上恒成立,则等价于在区间 上
如（1）设实数 满足 ，当 时， 的取值范围是______
（答： ）；
（2）不等式 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围_____
（答： ）；
（3）若不等式 对满足 的所有 都成立，则 的取值范围_____
引导分析：此题若解不等式组，就特别麻烦了。结合二次函数的图形就会容易得多。
图解：
由图象易知：a=2或者a=-2
九．线性规划
易知解集为
例3： 。
【解法1】令
令 ，分别作出函数g(x)和h(x)的图象，知原不等式的解集为
【解法2】原不等式等价于
令
分别作出函数g(x)和h(x)的图象，易求出g（x）和h（x）的图象的交点坐标为
所以不等式 的解集为
【解法3】由 的几何意义可设Ｆ1（－１，０），Ｆ２（１，０），Ｍ（x，y），若 ，可知Ｍ的轨迹是以Ｆ1、Ｆ2为焦点的双曲线的右支，其中右顶点为（ ，０），由双曲线的图象和｜x+1｜－｜x-1｜≥ 知x≥ .
∴原不等式的解集为﹛x︱x<0或0<x<1或x>3﹜
解法2（数形结合法）
作出示意图，易观察原不等式的解集为﹛x︱x<0或0<x<1或x>3﹜
第（1）题图第（2）题图
【解析】：此题若直接求解分式不等式组，略显复杂，且容易解答错误；若能结合反比例函数图象，则解集为 ,结果一目了然。
例2：解不等式：
【解析】作出函数f(x)=|x|和函数g(x)= 的图象，
条件求最值
1.若实数满足 ，则 的最小值是.
分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且 定值，因此考虑利用均值定理求最小值，
解： 都是正数， ≥
当 时等号成立，由 及 得 即当 时， 的最小值是6．
变式：若 ，求 的最小值.并求x,y的值
技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。
2：已知 ，且 ，求 的最小值。
应用二：利用基本不等式证明不等式
1．已知 为两两不相等的实数，求证：
1）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc
例6：已知a、b、c ，且 。求证：
分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又 ，可由此变形入手。
（答：（ , ））；
（4）若不等式 对于任意正）；
（5）若不等式 对 的所有实数 都成立，求 的取值范围.
⑹若不等式 恒成立，则实数a的取值范围是
此题直接求解无从着手，结合函数
易知，a只需满足条件：