平面向量与基本不等式
向量不等式知识点
向量和不等式1.零向量：长度为0的向量．2.单位向量：长度等于1个单位的向量．00||1||a a a a →→→→==单位向量，3.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．4.相等向量：长度相等且方向相同的向量．5.向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．6、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． 7、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． 8、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线．9、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）10、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，baC BAa b C C -=A -AB =B当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭． 11、平面向量的数量积：⑴()cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=．②当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-；22a a a a ⋅==或a a a =⋅．③ab a b ⋅≤． ⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅． 12.平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB x x y y =--. (4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5) 设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ⋅=+． (6)若(),a x y =，则222a x y =+，或2a x y =+(7)设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角，则121cos x x a b a bx θ⋅==+(8)向量的平行与垂直设()11,a x y =，()22,b x y =，则12120a b x x y y ⊥⇔+=． 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=. 1.不等式的基本性质①a b b a >⇔<；②,a b b c a c >>⇒>；③a b a c b c >⇒+>+；④,0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ac bc ><⇒<；⑤,a b c d a c b d >>⇒+>+； ⑥0,0a b c d ac bd >>>>⇒>；⑦()0,1nna b a b n n >>⇒>∈N >；⑧)0,1a b n n >>⇒>∈N >．2、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=，坐标平面内的点()00,x y P ． ①若0B >，000x y C A +B +>，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的上方． ②若0B >，000x y C A +B +<，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的下方．3、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=．①若0B >，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=上方的区域；0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=下方的区域．②若0B <，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=下方的区域；0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=上方的区域．4、线性约束条件：由x ，y 的不等式（或方程）组成的不等式组，是x ，y 的线性约束条件．目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的解析式． 线性目标函数：目标函数为x ，y 的一次解析式．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 可行解：满足线性约束条件的解(),x y ．可行域：所有可行解组成的集合．最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．()()5.0()f x a a g x >≠解分式不等式的一般步骤是什么？ 先移项通分标准化，则()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩6.设a 、b 是两个正数，则2a b+称为正数a 、b 称为正数a 、b 的几何平均数．7.均值不等式定理：若0a >，0b >，则a b +≥2a b+≥．（一正、二定、三相等） 8.常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈；②()22,2a b ab a b R +≤∈；③()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭；④()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭9、极值定理：设x 、y 都为正数，则有⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值24s ．⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值．10. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题） 如：恒成立的最小值a f x a f x <⇔<()() a f x a f x >⇔>()()恒成立的最大值 a f x a f x >⇔>()()能成立的最小值 附：重心：三角形三条中线交点. △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==. （2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅. （4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.。
考点10 平面向量(核心考点讲与练)-2023年高考数学核心考点讲与练(新高考专用)(解析版)
①数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.
②模：|a|＝ ＝ .
③夹角：cosθ＝ ＝ .
④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ · .
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
3.（2021年全国高考甲卷）若向量 满足 ，则 _________.
【答案】
【分析】根据题目条件，利用 模的平方可以得出答案
【详解】∵
∴
∴ .
故答案为： .
4.（2021年全国新高考Ⅰ卷）已知 为坐标原点，点 ， ， ， ，则（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
2.三个常用结论
(1)O为△ABC的重心的充要条件是 ＋ ＋ ＝0；
(2)四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，则 ＋ ＝2 ；
(3)对于平面上的任一点O， ， 不共线，满足 ＝x ＋y (x，y∈R)，则P，A，B共线⇔x＋y＝1.
注意向量共线与三点共线的区别.
3.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.
【答案】D
【分析】根据所给图形，由向量的线性运算，逐项计算判断即可得解.
【详解】 ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0，A正确；
＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝0，B正确；
＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ，C正确；
＋ ＋ ＝ ＋0＝ ＝ ≠ ，D错误，
故选：D．
2.（2020内蒙古鄂尔多斯市第一中学）下列结论正确的是
A．若向量 ， 共线，则向量 ， 的方向相同
平面 向量基本定理
平面向量基本定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：平面向量基本定理是解析几何中的一个重要定理，它是平面向量运算的基础，也是矢量分析的核心概念之一。
在平面几何中，研究平面向量的性质和应用是非常重要的，通过掌握平面向量基本定理，可以更好地理解和解决平面几何中的各种问题。
平面向量基本定理是指，在平面直角坐标系中，两个不共线的向量可以唯一确定一个平面，并且这个平面也能确定这两个向量。
换句话说，如果在平面直角坐标系中给定两个不共线的向量a和b，那么这两个向量确定的平面就是以这两个向量为基底的平面，任意一个平面向量都可以唯一地表示为这两个向量的线性组合。
下面我们来详细解释一下平面向量基本定理的内容和应用。
我们知道，在平面直角坐标系中，每个向量都可以表示为一个有序对(a,b)，其中a和b分别是向量在坐标系的x轴和y轴上的分量。
向量a可以表示为(a1,a2)，向量b可以表示为(b1,b2)。
两个向量的和是它们对应分量的和，两个向量的数量积是它们对应分量的乘积之和。
根据向量的加法和数量积的定义，我们可以得出平面向量加法的交换律和结合律，即a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)，以及数量积的分配律，即a*(b+c)=a*b+a*c。
这些性质是平面向量基本定理的重要基础。
根据平面向量基本定理，我们可以推导出平行向量的性质。
如果两个向量a和b平行，那么它们的数量积等于它们的模长乘积。
即a·b=|a|*|b|*cosθ，其中θ是a和b之间的夹角。
这个公式是计算两个向量夹角的重要方法之一，也是解决平面向量问题的关键步骤之一。
根据平面向量基本定理，我们还可以推导出向量的线性相关性和线性无关性的概念。
如果两个向量a和b线性相关，那么存在不全为零的实数k，使得a=k*b或者b=k*a。
反之，如果不存在这样的实数k，那么向量a和b就是线性无关的。
通过判断向量的线性相关性和线性无关性，我们可以确定向量组的秩，从而求解平面向量的线性组合问题。
向量与不等式
向量与不等式一，平面向量（1）线性运算：向量相加连首尾，同起点向量相减后指前（2）数形结合①基本定理：三点共线时两侧向量比例和为1，比例与对边相同（三点不共线时按原比例放缩，基底不为两侧时用基本定理后移项）②四心判断：重心为中线，垂心为高，外心为中垂线，内心为角分线（判断四心时按等腰直角三角形建模）③四边形对角线：共起点向量加减为四边形两条对角线（对角线相等为矩形，对角线垂直为菱形）④直径圆：（-）（-）=0，若a，b，c起点相同，则c在a，b终点为直径的圆上（锐角圆外，钝角圆内）（3）代数运算①模长计数：单模，复合膜，夹角三者，知二求一（复合膜乘积=展开后单模与单模数量积=复合膜长乘复合膜夹角）②共起点数量积：=|AM|2-|BM|2（M为BC中点）③坐标运算：坐标后减前，平行比例等，数量积相乘再相加二，不等式（1）不等式解法①二次不等式与绝对值不等式：大于取两边，小于取中间②分式不等式：移项通分，除变乘③指对不等式：转化同形式（取对数），利用单调性，构造新不等式④高次不等式：单调增右上，单调减右下，寄穿偶不穿（2）线性规划①区域画法：找两坐标轴截距，代入原点检验②截距式：求三交点，代入求最值，另一不等式检验区域③斜率式（反斜率式）：目标点为（-a，-b）④距离式：不含根号即为距离平方（3）均值不等式①最值公式：a+b≥2ab，a2+b2≥2ab，ab≤（a+b）2/4②单变量最值：通过配凑使变量消去③乘积与和混用：求谁留谁④整分混用：通过常数代换，整体相乘并消参⑤二次方程法：目标最值设为k，转化为二次函数求最值⑥轮换对称法：多变量完全等价，则变量相等时取最值。
21 平面向量中最值、范围问题-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板含解析
【高考地位】平面向量中的最值和范围问题,是一个热点问题，也是难点问题,这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围,如:向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题. 【方法点评】方法一 利用基本不等式求平面向量的最值使用情景：一般平面向量求最值问题解题模板:第一步 利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系；第二步 运用基本不等式求其最值问题; 第三步 得出结论。
例1.已知点A 在线段BC 上（不含端点），O 是直线BC 外一点,且20OA aOB bOC --=，则221a ba b b+++的最小值是___________ 【答案】222例2 如右图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,N M 两点，且,AM x AB AN y AC ==，则2x y +的最小值为( ）A ．2B ．13C ．3223+ D ．34【答案】C【变式演练1】如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,M N 两点，且,AM x AB AN y AC ==,则x y +的最小值为( ）A ．2B ．13C ．43D ．34【答案】CMNA BGQ考点：向量共线，基本不等式求最值【变式演练2】已知点A（1, 1)，B(4,0），C（2，2）．平面区域D由所有满足AP AB ACλμ=+(1≤≤a，1≤≤b）的点P（x，y)组成的区域．若区域D的面积为8,则a+b的最小值为．【答案】4考点:1、平面向量的线性运算；2、基本不等式． 【变式演练3】平行四边形ABCD 中，60,1,2,BAD AB AD P ∠===为平行四边形内一点,且22AP =，若),(R AD AB AP ∈+=μλμλ,则2u λ+的最大值为 ． 6【解析】试题分析：对),(R AD AB AP ∈+=μλμλ两边平方可得()()22AP AB AD λμ=+可化为222222APAB AB AD ADλλμμ=+⋅⋅+,据已知条件可得22122λμ=+≥,即λμ≤，又()22212223λλμ=++=+≤，则λ+≤. 考点：向量的数量积运算；基本不等式方法二 利用向量的数量积m n m n ⋅≤求最值或取值范围使用情景：涉及数量积求平面向量最值问题解题模板：第一步 运用向量的加减法用已知向量表示未知向量；第二步 运用向量的数量积的性质求解； 第三步 得出结论。
基本不等式的向量形式
基本不等式的向量形式[思维扩展]波利亚有句名言：“类比是伟大的引路人”．这句话言简意赅地阐明了类比在数学发现中的地位．我们知道，a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)以及a ＋b2≥ab (a ，b ∈R ＋)是两个应用广泛的基本不等式，一种有趣的想法是：这两个不等式可以类比到向量中去吗？由(a －b )2＝|a －b |2≥0不难得到a 2＋b 2≥2a ·b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．但将a ＋b2≥ab (a ，b ∈R ＋)简单地类比为a ＋b2≥a ·b 就不行了，由于该不等式左边为向量，右边为数量，故其无意义，因此我们需要调整角度，看能否获得有用的结果．注意到a ＋b2≥ab (a ，b ∈R ＋)⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ＋)，而不等式⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥a ·b 左右两边都是数量，因而可以比较大小．事实上，由(a ＋b )2＝(a －b )2＋4a ·b ＝|a －b |2＋4a ·b ≥4a ·b可得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥a ·b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．这样，我们就得到如下两个结论：定理1 设a ，b 是两个向量，则a 2＋b 2≥2a ·b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．定理2 设a ，b 是两个向量，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥a ·b ，当且仅当a ＝b时等号成立．例1 若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值是________． 答案 －98解析 方法一 由定理1得 32≥|2a －b |2＝(2a －b )2 ＝(－2a )2＋b 2－4a ·b≥2·(－2a ·b )－4a ·b ＝－8a ·b ，所以a ·b ≥－98，当且仅当b ＝－2a 时等号成立，故a ·b 的最小值是－98.方法二 由定理2得2a ·(－b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －b 22＝|2a －b |24≤94， 则a ·b ≥－98，当且仅当b ＝－2a 时等号成立．故a ·b 的最小值是－98.说明 本题可推广至一般形式：若平面向量a ，b 满足：|λa ＋b |≤m (m >0)，则当λ>0时，a ·b 的最大值为m 24λ；当λ<0时，a ·b 的最小值为m 24λ.例2 已知a ，b 满足|a |＝1，(a ＋b )·(a －2b )＝0，则|b |的最小值为________．分析 此题有一定难度．普通学生难以想到．事实上，利用定理1此题极易作答，过程如下．答案 12解析 引入正参数λ，由(a ＋b )·(a －2b )＝0得a 2－a ·b －2b 2＝0，又|a |＝1，则1－2b 2＝a ·b ，1－2b 2＝a ·b ≤12⎝⎛⎭⎪⎫λa 2＋1λb 2＝12(λ＋1λb 2)， 当且仅当λa 2＝1λb 2，即b 2＝λ2时等号成立．所以1－2λ2＝a ·b ≤12⎝⎛⎭⎪⎫λa 2＋1λb 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋1λ·λ2，解得λ＝|b |≥12，故|b |的最小值为12.例3 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，求|c |的最大值． 解 由(a －c )·(b －c )＝0得c 2＝c ·(a ＋b )， 由定理1及已知条件得 c 2＝c ·(a ＋b )≤12[c 2＋(a ＋b )2]＝12(c 2＋a 2＋b 2)＝12(c 2＋2)， 解得|c |2≤2，故|c|的最大值是 2.拓展1 已知a ，b 是平面内夹角为θ的两个单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是1cosθ2.拓展2 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的向量，且|a |＝m ，|b |＝n ，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是m 2＋n 2. 例4 平面上三点A ，B ，C 满足AB →·BC →>0，求AC →2＋1AB →·BC→的最小值．解 由定理2得0<AB →·BC →≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋BC →22＝14AC →2， 则 AC →2＋1AB →·BC →≥AC →2＋4AC →2＝|AC →|2＋4|AC →|2≥2·|AC →|·2|AC →|＝4，故当且仅当AB →＝BC →，且|AC →|＝2时，AC →2＋1AB →·BC →取得最小值4.例5 设a ，b 满足a 2＋a ·b ＋b 2＝3，求a 2－a ·b ＋b 2的取值范围． 解 由定理1得a ·b ≤a 2＋b 22，所以a ·b ≤3－a ·b2，解得a ·b ≤1.又由定理1得(－a )·b ≤－a 2＋b 22，所以a ·b ≥－a 2＋b 22＝－3－a ·b 2，解得a ·b ≥－3.所以－3≤a ·b ≤1.因为a2－a·b＋b2＝(3－a·b)－a·b＝3－2a·b，所以1≤a2－a·b ＋b2≤9.以上五道例题从不同角度为我们初步展示了定理1、定理2的魅力，它们微小平凡，对破解难题却极其有效．不过，追求它们更广泛的应用前景固然让人心动，但更有价值的则是获得它们的思维过程．类比是打开发现之门的金钥匙，但如何用好这把钥匙却值得我们长久的思考．。
平面向量问题的类型与解法
平面向量问题的类型与解法大家知道，平面向量问题是近几年高考的热点问题之一，每年高考必有一个五分小题，有时在大题中也会涉及到平面向量的内容。
从题型上，以选择题或填空题为主，难度系数为低档或中档，但近几年有向高档题目发展的趋势。
纵观近几年高考试题，归结起来平面向量问题主要包括：①平面向量几何运算问题；②平面向量坐标运算问题；③平面向量数量积的问题等几种类型。
各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也各不相同。
那么在实际解答平面向量问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析，来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：1、在∆ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB u u u r =（ ）A 34AB u u u r - 14AC u u u r B 14AB u u u r - 34AC u u u r C 34AB u u u r + 14AC u u u rD 14AB u u u r +34AC u u u r 【解析】【知识点】①平面向量几何运算的法则与基本方法；②向量共线的充分必要条件；③三角形一边上中线的定义与性质。
【解题思路】运用向量几何运算的基本方法和三角形一边上中线的性质，结合问题条件求出向量EB u u u r 关于向量AB u u u r ，AC u u u r 的式子就可得出选项。
A【详细解答】如图，Q ∆ABC 中，AD 为BC 边上的中线，BC uuu r =AC u u u r -AB u u u r ，∴AD u u u r =AC u u u r -DC u u u r =AC u u u r -12 E BC uuu r =12AC u u u r +12AB u u u r ，Q E 为AD 的中点，∴AE u u u r B D C =12AD u u u r =14AC u u u r +14AB u u u r ，⇒EB u u u r =AB u u u r -AE u u u r =AB u u u r - 14AC u u u r -14AB u u u r =34AB u u u r - 14AC u u u r , ⇒A 正确，∴选A 。
高中数学平面向量知识及注意事项
高中数学平面向量知识及注意事项一、向量基础知识1、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么(1)结合律：λ(μa )=(λμ) a ；(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ；(3)第二分配律：λ(a +b)=λa +λb .2、向量的数量积的运算律：(1) a ·b = b ·a（交换律）；注:c b a c b a )()(∙≠∙(2)（λa ）·b = λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）；(3)（a ＋b ）·c = a ·c +b ·c .3、平面向量基本定理：如果1e 、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a =λ11e +λ22e ．不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．4、投影：向量b 在向量a方向上的投影为|b |cos θ。
5、a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ．6、a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．7、平面向量的坐标运算：(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212x x y y +.8、两向量的夹角公式：121222221122cos x x y y x y x y θ+=+⋅+(a=11(,)x y ,b =22(,)x y ).9、向量的模与平面两点间的距离公式：|a |22x y =+,A B d =||AB AB AB =⋅ 222121()()x x y y =-+-(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).10、两个非零向量的共线与垂直的充要条件：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a ∥b ⇔b =λa12210x y x y ⇔-=.a ⊥b (a ≠0 )⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.11、三角形的重心坐标公式：△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.G G GC 0A B＋＋＝ 二、向量中需要注意的问题1、向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量起点、终点及其坐标的特征.2、几个概念：零向量、单位向量(与AB 共线的单位向量是||ABAB ± ，平行(共线)向量(无传递性，是因为有0 )、相等向量(有传递性)、相反向量、向量垂直、以及一个向量在另一向量方向上的投影（a 在b上的投影是cos ,a ba ab b⋅=<>=∈R).3、两非零向量．．．．共线的充要条件：//a b a b λ⇔= cos ,1a b ⇔<>=± 12210x y x y ⇔-=. 两个非零向量．．．．垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=- 12120x x y y ⇔+=. 特别：零向量和任何向量共线和垂直. b a λ=是向量平行的充分不必要条件!4、三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；向量 PA PB PC、、中三终点A B C 、、共线⇔存在实数αβ、使得：PA PB PC αβ=+且1αβ+=.5、向量的数量积：22||()a a a a ==⋅ ，1212||||cos a b a b x x y y θ⋅==+，121222221122cos ||||x x y y a b a b x y x y θ+⋅==++ ，12122222||cos ,||x x y y a b a b a a b b x y +⋅=<>==+在上的投影. 注意：,a b <> 为锐角⇔0a b ⋅> 且 a b 、不同向；,a b <>为直角⇔0a b ⋅= 且 0a b ≠ 、； ,a b <> 为钝角⇔0a b ⋅< 且 a b 、不反向,0a b ⋅< 是,a b <> 为钝角的必要非充分条件.6、一个重要的不等式：||||||||||||a b a b a b -≤±≤+注意： a b 、同向或有0⇔||||||a b a b +=+ ≥||||||||a b a b -=- ； a b 、反向或有0 ⇔||||||a b a b -=+ ≥||||||||a b a b -=+； a b、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+ .(这些和实数集中类似)7、中点坐标公式1212,22x x y y x y ++==，122MP MP MP P +=⇔为12PP 的中点.。
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一：选择题 1. 在中，点在线段上，且则的最小值为（ ）
A.8
B.16
C.24
D.32
2. 在△ABC所在平面上有一点P，满足，则△PBC与△ABC面积之比
是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.已知两个非零向量a＝（m－1，n－1），b＝（m－3，n－3），且a与b 的夹角是钝角或直角，则m＋n的取值范围是（ ）
10.已知为由不等式组所确定的平面区域上的动点，若点，则的最大值 为
A．（
，3
）
B．（2，6）
C．[
，3
]
D．[2，6]
4.,点在内，且，设，，则等于（ ）
A． B．3 C． D．
5.若两个正实数满足，且不等式 有解，则实数的取值范围是（ ）
A.
B
.
C.
D.
6.已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A．2
B．
C．1
D．
7.已知点是边长为1的正方形的对角线上的任意一点,于,于,则等于 （ ）
11.定义域为的函数图像的两个端点为A，B，是图像上任意一点，其中.
已知向量，若不等式恒成立，则称函数在上“阶线性近似”.若函数在
上“阶线性近似”，则实数的取值范围为 （ ）
A.
B.
C.
D.
12.所在平面内一点满足则为（ ） A. B. C. D.
13.如图，为直线外一点，若中任意相邻两点的距离相等，设用表示， 其结果为
A. Байду номын сангаас. C. D.
14.已知点是边长为1的正方形的对角线上任意一点，于点 于,则等于（）
A.1
B.
C.
D.0
二：填空题
1. 已知是的外接圆圆心，且若存在实数使得,且则
2. 已知是等差数列，若存在两项使得则的最小值为
3.已知向量、满足，则
.
4.已知正三角形ABC的边长为2，点D，E分别在边AB，AC上，且 =l ， =l ．若点F为线段BE的中点，点O为△ADE的重心，则 • =．
A.1
B.
C.
D.
8.在△ABC中，若2＝·＋·＋·，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三 角形
9.点P是单位正方体ABCD－A1B1C1D1中异于A的一个顶点，则·的值为（
）
( )．
A．0
B．1
C．0或1 D．任意实数
10.如图，四面体的体积为，且满足，则四面体中最长的棱长为（ ） A. B.2 C. D.3
5.的外接圆半径为1，圆心为，且，则的值为 6.已知点是内一点，且若的面积之比是则
7.设点是函数的图像上任意一点，过点分别向直线和轴作垂线，垂足分 别为则
8. 设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋ －的最大值为________．
9. 已知均为单位向量，且夹角为若，则实数