第一型曲面积分.
第一型曲面积分
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一、有向曲面及曲面元素的投影
• 曲面分类 双侧曲面 单侧曲面
曲面分内侧和 外侧
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)
曲面分左侧和 右侧
曲面分上侧和 下侧
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思考: 思考 若 ∑ 是球面 出的上下两部分, 则 被平行平面 z =±h 截
z
0
)
dS ∫∫Σ z = (
Σ
h
y
dS a ∫∫Σ z = ( 4 π a ln h )
x
−h
Σ
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例2. 计算
其中∑ 是由平面
z
1
与
坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设 Σ1, Σ2, Σ3, Σ4 分别表示∑ 在平面 上的部分, 则 原式 = ∫∫ +∫∫
i=1
∑[
+ Q(ξi ,ηi ,ζ i )(∆Si )zx
n
则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积 分, 或第二类曲面积分. 记作
∫∫Σ Pdy d z + Qd z d x + Rdxdy
积分曲面. 积分曲面 P, Q, R 叫做被积函数 Σ 叫做积分曲面 被积函数; 被积函数
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λ→0i=1
n
+ R(ξi ,ηi ,ζi ) cosγ i ] ∆Si
= lim ∑
λ→0
i=1
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第一型曲面积分【高等数学PPT课件】
a2 h2
0
思考: 若 是球面
出的上下两部分, 则
dS z
(
0
)
dS z
(
4 a ln a
h
)
被平行平面 z =±h 截
z
h o
y x h
例2. 计算
其中 是由平面
与
坐标面所围成的四面体的表面.
z
解: 设 1, 2 , 3, 4分别表示 在平面 1
Σ
Σ
Ò x d S
x Σ
Ò d S
Σ
Dxz
一投： 将曲面 向 xoz 面投影，得 Dxz .
二代： f ( x, y, z) : y y( x, z) f ( x, y( x, z), z);
三换：
dS
1
y
2 x
(
x,
z
)
yz2( x, z)
dxdz;
3. 若曲面 ： x x( y, z) 则
f ( x, y, z)dS f [ x( y, z), y, z] 1 xy2 xz2 dydz.
上的部分, 则 o
原式 =
Σ1 Σ2 Σ3 Σ4
xyz dS
1 x
1y
x yz d S
Σ4
4 : z 1 x y,
(x,
y)
Dxy
:
0
0
y
x
1 1
x
1
1 x
3 x dx y(1 x y) dy
Σ
Σ1
• 线性性质.
第二章第二节第一型曲面积分doc
第18 章 曲面积分第二节 第一类型曲面积分1、 第一类型曲面积分的定义问题：设∑是3R 中一张有面积的曲面，∑上按面密度)(p ρρ=分布着某种物质，问如何求出分布在∑上物质的总质量？沿用以前用过的作法，将∑分成若干小块n S S S ,,,21 ，并在每一小块i S 上任意取定一点i p ，这时小块i S 上的质量)()(i i i S p m σρ≈，n i ,,2,1 =。
于是曲面片∑上的质量就近似地等于)()(1i ini S pσρ∑= 。
当我们把曲面片∑无限细分时，上面的和式的极限就可以定义为展布在曲面片∑上物质的质量M ，即)()(lim1i ini S pM σρ∑==。
以上的实例引导出下面的第一类型曲面积分的定义。
定义18.2 设∑是3R 中一张可求面积的曲面片，f 是定义在∑上的函数,分割T 把∑分成若干更小的曲面片n S S S ,,,21 。
定义分割T 的宽度为},,2,1,max{||||n i diamS T i ==，在每一小片i S 上任意取定一点i p ，如果和数)()(1i i ni S p f σ∑=当0||||→T 时有有限的极限，并且其极限值不依赖于分割及点ip 在iS上的选择，那么称这个极限值为函数f 沿曲面∑的第一型曲面积分，记作σd f ⎰∑，或dSf ⎰⎰∑。
2、 第一类型曲面积分的计算公式由曲面面积元素的表达式dudv r r d v u ||||⨯=σ，或从定义出发，求出右端的极限，便可得出第一型曲面积分的计算公式：（1） 设正则曲面∑有参数向量方程)),(),,(),,((),(v u z v u y v u x v u r r ==，∆∈),(v u ，f 是定义在∑上的连续函数，则σd f ⎰∑dudvr r v u z v u y v u x f v u ||||)),(),,(),,((⨯=⎰⎰∆dudvF EG v u z v u y v u x f ⎰⎰∆-=2)),(),,(),,((；（2） 当曲面∑是由显式D y x y x z ∈=),(),,(ϕ表达时，其中D 是有面积的平面区域，)(1D C ∈ϕ，f 是定义在∑上的连续函数，则有σd f ⎰∑dxdyzx y x y x f D⎰⎰∂∂+∂∂+=22)()(1)),(,,(ϕϕϕ。
第一型曲面积分
|| T || 为分割 T 的细度，即为诸
Si 中的最大直径.
定义1 设 S 是空间中可求面积的曲面,
f 为( x, y, z)
定义在 S 上的函数. 对曲面 S 作分割 T, 它把 S 分成
n 个小曲面块 Si (i 1, 2, L , n), 以 Si 记小曲面块
Si 的面积, 分割 T 的细度
D
其中
E xu2 yu2 zu2 , F xu xv yu yv zuzv , G xv2 yv2 zv2 .
例2 计算
I z dS , 其中 S 为 S
螺旋面(图22-3)的一部分:
z
x ucos v,
S
:
y
u sin
v,
(u,v)
D
,
2
z v,
O
(a, 0, 0)
I f ( x, y, z)dS .
(1)
S
于是, 前述曲面块的质量可由第一型曲面积表示为:
特别地, 当
块 S 的面积.
m ( x, y, z)dS . S
f ( x, y, z) 1 时,曲面积分
dS 就是曲面
S
二、第一型曲面积分的计算
第一型曲面积分需要化为二重积分来计算.
定理 22.1
z
例1 计算
S z dS , 其中 S
h
是球面 x2 y2 z2 a2 被
平面 z h (0 h a) 所截
O
a
x
y
得的顶部 (图22-1).
图 22 1
解 曲面 S 的方程为 z a2 x2 y2 , 定义域 D 为
圆域 x2 y2 a2 h2 . 由于
1 zx2 zy2
第一型曲面积分
二、第一型曲面积分的计算
第一型曲面积分需要化为二重积分来计算.
定理22.1 设有光滑曲面
S : z z( x , y ) , ( x , y ) D ,
f ( x , y , z ) 为 S 上的连续函数, 则
S
2 f ( x , y , z )dS f ( x , y , z ( x , y )) 1 z x z 2 dxdy . y D
(2)
( 定理证明与曲线积分的定理20.1相仿, 不再详述. )
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例1 计算
S
1 dS , 其中 S z
a
x
z
h
是球面 x 2 y 2 z 2 a 2 被
O
平面 z h (0 h a ) 所截 得的顶部 (图22-1).
2
y
图 22 1
2 2
解 曲面 S 的方程为 z a x y , 定义域 D 为
a 2 h2
0
a r dr 2 2 a r r dr 2 2 a r
2 a 2 h2 0
πa ln(a r )
2
a 2aπ ln . h
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例2 计算
( xy zx yz )dS ,
S
z
其中 S 为圆锥面 z
x2 y2
O
被圆柱面 x 2 y 2 2ax 所割 下的部分 (图22-2). 解 对于圆锥面 z 有
EG F 2 1 u 2 .
然后由公式 (3) 求得:
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I v 1 u dudv vdv
2 0 D
4 第一型曲面积分
第一型曲面积分的概念 第一型曲面积分的计算
一 第一型曲面积分的概念
实例
是光滑的, 若曲面 Σ 是光滑的 , 它的面密度为连续
求它的质量. 函数ρ( x , y , z ) , 求它的质量.
所谓曲面光滑即曲 面上各点处都有切 平面, 平面,且当点在曲面 上连续移动时, 上连续移动时,切平 面也连续转动. 面也连续转动.
1. 若 面Σ: 曲
则
Σ
z = z(x, y)
∫∫ f ( x , y , z )dS
=
∫∫
D xy
′x 2 + z′y 2 dxdy; f [ x , y , z ( x , y )] 1 + z
定理: 定理 设有光滑曲面 f (x, y, z) 在 ∑ 上连续 则曲面积分 上连续,
z
Σ
o x Dxy
Σ
y + z = 5 被柱面 x + y = 25 所截得的部分.
2 2
解 积分曲面 Σ：z = 5 − y ,
投影域 ： Dxy = {( x , y ) | x 2 + y 2 ≤ 25}
2 2
与上半球面 z = a2 − x2 − y2 的 解: 锥面 z = x + y 交线为 为上半球面夹于锥面间的部分, 设∑1 为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的 投影域为 Dxy = { ( x, y) x2 + y2 ≤ 1 a2 }, 则 2
I = ∫∫ (x2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ y2 ) dS
∑1
I = ∫∫ (x2 + y2) dS
∑1
= ∫∫
Dx y
(x + y )
第四节第一类曲面积分
)
（1）确定 的方程: z z(x, y);
（2）确定在xoy 面上的投影区域 Dx y
（3）将曲面方程 z z(x, y) 及
dS
1
zx2
(
x,
y)
z
2 y
(
x,
y)
d
xd
y
代入 f (x, y, z) d S中即可。 一投、二代、三换
说明: 1) 如果曲面方程为 x x( y, z), ( y, z) Dyz
1
z
2 x
z
2 y
d
xd
y
2d xd y,
Dx2y {( x, y) | x2 y2 1}, xdS x 2d xd y 0,
2
Dx2 y
例5. 计算 xdS , 其中是圆柱面 x2 y2 1,
平面 z x 2 及 z 0 所围成的空间立体的表面.
解: xdS xdS xdS
f (x, y, z) d S f [x( y, z), y, z] 1 xy2 xz2 d y d z
或
Dyz
y y(x, z), (x, z) Dxz
f (x, y, z) d S f [x, y(x, z), z] 1 yx2 yz2 d x d z
Dxz
2）若 是 xoy 面上的一个闭区域 D 时，则
: x2 y2 z2 a2
2
d
1 2
2a
0
0
a r 2 r dr a2 r2
1 a4 (8 5
6
2)
思考: 若例3 中被积函数改为
计算结果如何 ?
例4. 计算| xyz | d S 为抛物面 z x2 y2（ 0 z 1）.
第一型曲面积分.
并 作 和 f ( i , i , i ) S i , 如 果 当 各 小 块 曲 面
i 1
的 直 径 的 最 大 值 0时 , 这 和 式 的 极 限 存 在 , 则 称 此 极 限 为 函 数 f (x, y,z)在 曲 面 上 对 面 积
的曲面积分或第一类曲面积分.
© Copyright NJAUMATH 2009
DEPARTMENT OF APPLIED MATHEMATICS
2) 若曲面 : y y(x, z)
则 f ( x, y, z)dS
f [ x, y( x, z), z] 1 yx2 yz2dxdz;
Dxz
3) 若曲面： x x( y, z)
则 f ( x, y, z)dS
f [ x( y, z), y, z] 1 xy2 xz2dydz.
n
（3）求和 M (i ,i , i ) si .
i 1
n
（4）取极限
M
lim 0 i1
(i ,i , i ) si .
© Copyright NJAUMATH 2009
DEPARTMENT OF APPLIED MATHEMATICS
二 对面积的曲面积分的定义
1 定义 设曲面 是光滑的, 函数 f ( x, y, z) 在 上有界, 把 分成n 小块Si （Si 同时也表示 第i 小块曲面的面积）,设点(i ,i , i ) 为Si 上任 意取定的点,作乘积 f (i ,i , i ) Si ,
dS 1 zx2 zy2dxdy 1 0 (1)2dxdy 2dxdy,
故 ( x y z)ds
2 ( x y 5 y)dxdy 2 (5 x)dxdy
Dxy
§6.5第一型曲面积分的计算
记d max 1 k n
的直径
k
，k的面积记为Ak .
如果不论将如何分割，点M
k
如何选取，
k
n
当d 0时， f (Mk )Ak有确定的极限，则称 k 1
函数f 在曲面上可积，极限值为f 在上的
第一型曲面积分,即
n
f
( x,
y, z)dA
lim
d 0
k 1
f (k ,k , k )Ak
( x, y) Dx y
A Dxy
Fx2 Fy2 Fz2 dxdy. Fz
例1.求球面 x2 y2 z2 a2在 z b部分的面积(a b 0).
az
S
b
y
x
二. 第一型曲面积分的概念
定义 设是一个分片光滑曲面，函数f 在上有定义.
将任意分割成n个小部分（k k 1,2,L ,n),
'(面积A')
的一个法向量：{0, 0,1}
'的一个法向量：{zx , zy ,1}
| cos |
1
1
z
2 x
z
2 y
x
dAA 11zzx2x2zz2y2yd
o
y
Dxy
P(x, y)
曲面的面积元素
结论： 1.设光滑曲面 的方程为 z z( x, y)，Dxy是在 xy平面上的投影区域， 的面积为A，则
y
x
Dxy
例3.计算 ( x2 y2 z2 )dA,其中是由 x 0, y 0, x2 y2 z2 1 ( x 0, y 0)所围成的闭曲面.
z
2 1
y
x 3
§6.5 第一型曲面积分的计算
一.曲面的面积
(完整版)(整理)第一类曲面积分
第四节 对面积的曲面积分(第一类曲面积分)曲面积分有两种一种是对坐标的曲面积分，一种是对面积的曲面积分． 一 对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的基本概念与性质设有一曲面型构件∑的物体，在点(,,)x y z 处的密度为()z y x f ,,，求此物体的质量． 求解的方法是, 将曲面∑分为若干个小块i ∆∑(1,2,i n =)，其面积分别记为i S ∆(1,2,i n =)，在小块曲面i ∆∑上任意取一点()i i i M ςηξ,,，若密度函数()z y x f ,,是连续变化的则可以用点()i i i M ςηξ,,处的密度近似小块i S ∆上的密度．于是小块i ∆∑的质量为()i i i f ςηξ,,i S ∆，将所有这样的小块的面积加起来，就是物体的质量的近似值．即()∑=∆≈ni i i i i S f m 1,,ςηξ当n 个小的曲面的直径的最大值0→λ时，上面的式子右端的极限值如果存在，则将此极限值定义为曲面的质量．即()∑=→∆=ni i i i i S f m 1,,lim ςηξλ．总之, 以上解决问题的方法就是: 先把它分成一些小片,估计每一小片上的质量并相加,最后取极限以获得精确值. 这同积分思想相一致. 为此我们定义对面积的曲面积分．定义13.3 设函数()z y x f ,,是定义在光滑曲面(或分片光滑曲面)∑上的有界函数．将曲面分为若干个小块i ∆∑(1,2,,i n =)，其面积分别记为()n i S i ,...,2,1=∆，在小块曲面i∆∑上任意取一点()i i i M ςηξ,,，若极限()∑=→∆ni i i i i S f 1,,lim ςηξλ存在，则称此极限值为函数()z y x f ,,在曲面∑上对面积的曲面积分(或称第一类曲面积分)．记为()⎰⎰∑ds z y x f ,,．即()⎰⎰∑ds z y x f ,,=()∑=→∆ni iiiiS f 1,,lim ςηξλ．其中λ表示所有小曲面i ∆∑的最大直径, ()z y x f ,,称为被积函数, ∑称为积分曲面．对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分具有相似的性质．如1) ()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑±=±ds z y x g ds z y x f ds z y x g z y x f ,,,,,,,,；2) ()()⎰⎰⎰⎰∑∑=ds z y x f k ds z y x kf ,,,,；3)()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+∑+=2121,,,,,,ds z y x f ds z y x f ds z y x f ．二 对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的计算设积分曲面由单值函数()y x z z ,=确定，曲面在坐标面xoy 上的投影为xy D ，函数()y x z z ,=在xy D 具有连续偏导数（即曲面∑是光滑曲面）．按照对面积的曲面积分的定义有()()iiiini S f dS z y x f ∆=∑⎰⎰=→∑ςηξλ,,lim ,,1． 设对曲面∑的第i 块i ∆∑在坐标面xoy 上的投影为()i σ∆，则i S ∆可以表示为下面的二重积分：()()()⎰⎰∆++=∆idxdy z y x f z y x f S y x i σ,,,,122有二重积分的中值定理有()()i i i i y i i i xi z z S σςηξςηξ∆++=∆,,,,122其中()i i i ςηξ,,是小曲面i S ∆上的任意一点，()i i ηξ,为()i σ∆内任意一点，所以()()i i i ni f dS z y x f ςηξλ,,lim ,,1∑⎰⎰=→∑=()()i i i i y i i i xz z σςηξςηξ∆++,,,,122 注意到()i i i z ηξς,=，从而得到二重积分的计算公式()()()()()⎰⎰⎰⎰++=∑xyD y xdxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f ,,1,,,,,22． 这个公式是很容易理解和记忆的，因为曲面∑的方程是()y x z z ,=，曲面的面积元素为dxdy z z dS y x 221++=，曲面在坐标面XOY 上的投影是xy D ，于是对面积的曲面积分就化为二重积分了．将这个过程简单归纳如下：1) 用y x ,的函数()y x z z ,=代替z ； 2) 用dxdy z z y x 221++换dS ；3) 将曲面投影到坐标面XOY 上得到投影xy D ．简单地说就是“一代二换三投影”．例13.16 计算曲面积分dSz ∑⎰⎰，其中曲面∑是由平面()a h h z <<=0截球面 2222a z y x =++的顶部．图13-16 解： 曲面∑的方程为222y x a z --=，它在坐标面xoy 上的投影为圆形的闭区域：2222h a y x -≤+．222221yx a a z z y x --=++，所以dS z ∑⎰⎰＝222xyD adxdy a x y --⎰⎰ 利用极坐标计算上面的积分，得到()2222222220022012ln 2ln2xya h D a h dS ardrd ardrd d z a r a r aa a r a hπθθθππ-∑-==--⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰例13.17 计算曲面积分()⎰⎰∑++21y x dS，其中曲面∑是由平面1=++z y x 以及三个坐标面所围成的四面体的表面．图13-17解：如上图，曲面∑由曲面4321,,,∑∑∑∑组成，其中4321,,,∑∑∑∑分别是平面1=++z y x ，0,0,0===z y x 上的部分．()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++=++⎰⎰⎰⎰-∑212ln 31311021021xy x dydx y x dS；()()2ln 1111021022-=+=++⎰⎰⎰⎰-∑zy dydz y x dS；()()2ln 1111021023-=+=++⎰⎰⎰⎰-∑zx dxdz y x dS；()()212ln 11102124-=++=++⎰⎰⎰⎰-∑xy x dydx y x dS． 所以()()()()2ln 13233212ln 3212ln 2ln 12ln 112-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-=++⎰⎰∑y x dS习题13.41. 计算()x y z dS ∑++⎰⎰. 其中∑为上半球面222z a x y =--. 2. 计算||I xyz dS ∑=⎰⎰. 其中∑为曲面22z x y =+介于二平面0,1z z ==之间的部分. 3. 计算22()x y dS ∑+⎰⎰. 其中∑是锥面22z x y =+及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面. 4. 求抛物面壳221()2z x y =+(01)z ≤≤的质量, 此壳的面密度的大小为z ρ=.5. 求面密度为0ρ的均匀半球壳2222x y z a ++=(0)z ≥对于z 轴的转动惯量. 6. 计算21(1)dS x y ∑++⎰⎰. 其中∑为四面体1x y z ++≤, 0x ≥, 0y ≥及0z ≥的边界面.参考答案1. 3a π2.3.4.21)15π 5. 4043a πρ6.1)ln 2+. 第五节 对坐标的曲面积分一 对坐标的曲面积分的概念和性质为了讨论对坐标的曲面积分，首先要对曲面作一些说明． 1. 曲面的侧在曲面∑上的任意一点P 处作曲面的法线向量，有两个方向，取定其中的一个方向n ，当点P 在曲面上不越过边界连续运动时，法线向量n 也随着连续变动，这种连续变动又回到P 时，法线向量n 总是不改变方向，则称曲面∑是双侧的，否则，称曲面是单侧的．如著名的M o bius 带就是单侧曲面.今后我们只讨论曲面是双侧的. 例如曲面()y x z z ,=，如果z 轴的正方向是竖直向上的，则有上侧和下侧．又如空间中的闭曲面有内侧和外侧之分．我们可以通过曲面上的法向量的指定来确定曲面的侧．例如对于曲面()y x z z ,=，若取定的法向量n 是朝上的，那么实际上就是取定曲面为上侧；对于封闭曲面，若取定的法向量n 是由内指向外的，则取定的曲面是外侧．选定了曲面的侧的曲面称为有向曲面． 2. 流向曲面一侧的流量设稳定的不可压缩的液体以速度()()()k z y x R j z y x Q i z y x P v ,,,,,,++=流向有向曲面∑，求液体在单位时刻内流过曲面指定侧的流量．其中函数()()()z y x R z y x Q z y x P ,,,,,,,,都是曲面∑上的连续函数．如果流体流过平面上的一个面积为A 的闭区域，且流体在闭区域上各点处的流速为常向量v ，又设n 是该平面上的单位法向量，那么在单位时间内流过这个闭区域的流体组成一个底面积为A ，斜高为||v 的斜柱体，其体积即流量为n v A v A V ⋅==θcos这就是通过闭区域A 流向n 所指的一侧的流量．对于一般的曲面∑，我们可以将它划分为若干个小块i ∆∑，在∑是光滑的和v 是连续的前提下，只要i ∆∑的直径很小，我们就可以用i ∆∑上任意一点()i i i ςηξ,,处的流速()()()()k R j Q i P v v i i i i i i i i i i i i i ςηξςηξςηξςηξ,,,,,,,,++==近似替代i ∆∑上各点处的流速，以此点处的曲面∑的单位法向量k j i n i i i γβαcos cos cos ++=代替i ∆∑上各点处的单位向量，从而得到通过i ∆∑流向指定侧的流量的近似值为i i i S n v ∆⋅()n i ,...,2,1=，（i S ∆为i ∆∑的面积） 于是通过曲面∑指定侧的流量近似地为()()()ii i i i ni ii i i i i i i ini i i S R Q P S n v ∆++=∆⋅≈Φ∑∑==]cos ,,cos ,,cos ,,[11γςηξβςηξαςηξ注意到()yz i i i S S ∆=∆αcos ；()zx i i i S S ∆=∆βcos ；()xy i i i S S ∆=∆λcos ．因此上式可以写为()()()()()()],,,,,,[1xy i i i i ni xz i i i i yz i i i i S R S Q S P ∆+∆+∆=Φ∑=ςηξςηξςηξ当所有小块的直径的最大值0→λ时，上面和的极限就是流量Φ的精确值．在实际问题中还有很多的类似的极限，由此我们可以得到对坐标的曲面积分的定义． 3. 对坐标的曲面积分的定义定义13.4 设∑是逐片光滑的有向曲面，函数()z y x R ,,在曲面∑上有界，将∑划分为若干个小块i ∆∑，i ∆∑在坐标面xoy 上的投影为()xy i S ∆，取i ∆∑中的任意一点(,,)i i i ξηζ，若各个小块的直径的最大值0λ→时，极限()()∑=→∆ni xy i i i i S R 1,,lim ςηξλ存在，称此极限为函数()z y x R ,,在曲面∑上对坐标y x ,的曲面积分（或第二类曲面积分）．记为()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,，即()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,＝()()∑=→∆ni xyi iiiS R 1,,lim ςηξλ．类似地，可以定义函数()z y x P ,,在曲面∑上对坐标z y ,的曲面积分（或第二类曲面积分）()⎰⎰∑dydz z y x P ,,，以及函数()z y x Q ,,在曲面∑上对坐标z x ,的曲面积分（或第二类曲面积分）()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,如下：()⎰⎰∑dydz z y x P ,,＝()()∑=→∆ni yziiiiS P 10,,lim ςηξλ；()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,＝()()∑=→∆ni zxi iiiS Q 1,,lim ςηξλ．在应用中通常是上面三种积分的和，即()⎰⎰∑dydz z y x P ,,＋()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,＋()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,，简记为()()()⎰⎰∑++dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,．如果∑是有向封闭曲面，通常记为()()()⎰⎰∑++dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,，并规定取曲面的外侧．4.性质1) 对坐标的曲面积分与对坐标的曲线积分具有类似的性质:()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+∑+++++=++1221.,,,,,,Pdxdy Qdxdz Pdydz Pdxdy Qdxdz Pdydz dxdyz y x P dxdz z y x Q dydz z y x P2) 设∑时有向曲面,∑-表示与∑取相反侧的曲面,则有()()()()()()⎰⎰⎰⎰∑∑-++-=++dxdyz y x P dxdz z y x Q dydz z y x P dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,,,,,,,二 对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)的计算方法 下面以计算曲面积分()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,为例来说明如何计算对坐标的曲面积分.取曲面∑的上侧,且曲面由方程()y x z z ,=给出,那么曲面∑的法向量n 与z 轴的正方向的夹角为锐角，曲面∑的面积元素dS 在坐标面xoy 上的投影dxdy 为正值．若xy D 为曲面∑在坐标面xoy 上的投影区域．由对坐标的曲面积分的定义()()()xy i iiini S R dxdy z y x R ∆=∑⎰⎰=→∑ςηξλ,,lim ,,1可以得到()()()⎰⎰⎰⎰=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R ,,,,,．如果积分曲面取∑的下侧，那么曲面∑的法向量n 与z 轴的正方向的夹角为钝角，所以曲面∑在坐标面xoy 上的投影dxdy 为负值，从而有()()()⎰⎰⎰⎰-=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R ,,,,,．类似地，如曲面∑由方程()z y x x ,=给出，则有()()(),,,,,yzD P x y z dzdy P x y z y z dzdy ∑=±⎰⎰⎰⎰；等式右边的符号这样决定：如积分曲面∑时方程()z y x x ,=所给出的曲面的前侧，则取正号；如果是后侧，则取负号．如曲面∑由方程()z x y y ,=给出，则有()()()⎰⎰⎰⎰±=∑xzD dzdx z z x y x P dxdz z y x Q ,,,,,．等式右边的符号这样决定：如积分曲面∑时方程()z x y y ,=所给出的曲面的右侧，则取正号；如果是左侧，则取负号．对于曲面积分()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,的计算，我们可以简单的归纳出如下的计算步骤：a) 用y x ,的函数()y x z z ,=来代替z ； b) 将曲面∑投影到坐标面xoy 上，得到xy D ；c) 对曲面∑定向从而确定符号，上侧取正号，下侧取负号． 简称为“一代二投三定向”，将曲面积分化为二重积分计算． 例13.18 计算曲面积分⎰⎰∑++zdxdyydzdx xdydz ，其中∑是半球面1222=++z y x ，0≥z 的上侧．解：球面上点()z y x ,,处的单位法线向量为},,{z y x n =，速度},,{z y x v =，所以()222{,,}{,,}2xdydz ydzdx zdxdy x y z x y z dSx y z dS π∑∑∑++=⋅=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰例13.19 计算曲面积分⎰⎰∑xyzdxdy ，其中∑是球面1222=++z y x外侧在0,0≥≥y x 的部分．解：将曲面∑分为21,∑∑两部分，1∑的方程为2211y x z ---=；2∑的方程为2221y x z --=．2xyD xyzdxdy ∑=⎰⎰⎰⎰(1xy xyD D xyzdxdy xy dxdy∑=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以15212sin 21cos sin 212102320222=-=-=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑dr r r d rdrd r r r dxdy y x xy xyzdxdy xyxyD D πθθθθθ习题13.51. 计算2xz dydz ∑⎰⎰. 其中∑是上半球面z =. 2. 计算zdxdy xdydz ydzdx ∑++⎰⎰. 其中∑为柱面221x y +=被平面0z =及3z =所截部分的外侧. 3. 计算2(1)()z x y dxdy ∑++⎰⎰. 其中∑为半球面2221xy z ++=(0)y ≥朝y 轴正向的一侧.4. 求矢量场F xyi yz j xzk =++穿过在第一卦限中的球面2221x y z ++=外侧的通量.5. 计算22x y zdxdy ∑⎰⎰. 其中∑是球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧.参考答案 1. 5215R π 2. 6π 3. 415π 4. 316π 5.72105R π 第六节 两类曲面积分之间的联系设有向曲面∑有方程()y x z z ,=给出，∑在坐标面xoy 上地投影区域为xy D ，函数()y x z z ,=在区域xy D 上具有连续的一阶偏导数，()z y x R ,,是曲面∑上的连续函数。
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例5・ 设有空间闭区域仏={（x 』,z ）|L 十b + z*炉,z"}, 。
2 ={（*』，Z ）|x2 + y' + z* 炉,xno 』no,zno},则有（「） (A) Jff= 4fJf xdva\口 2 (C) JjJ 皿=4jJJz 加2n 2解：由对称性， JJj xdv = 0, JJJ xdv JJf ydv = 0, JJf ydv 工•n. «2 Jjj xyzdv = 0, JJJ xyzdv□门23.含绝对值函数的二重积分的计算例1计算血-兀2|db ・其中6-1 W0""解 先去掉绝对值符号，如图 川y_p|dbD=jj (x 2-j)da + JJ(y-x 2)da Di 4-D JD 、訂:时:（宀刃与+匸时:0-兀湎=*・(B) |JJ ydv = 4jjjydv4、交换积分次序的方法1.计算fdxfxb - dy 解由于卜一心堤无法积出类型，则需交换积分次序，y \ /歹=x V D： O^x<l,x^ 1 ~y/D可改写为：分， 1 _____° r i 匚则J；dxf f叽"讼=“J •卜好岭抑* •血2 =-£〔皿$ =-也2|：一2询2) T『+[e、上)=卜£.2 •二次积分匚山：匸〉(工』山改变积牙次序后为卜(A)J^dyJ^/(x,jXix;(刚。
叭；/(x,j)dx; (C)J'djj f(x,y)dx・(D)J 'dyj、' /(x,j)dx;3./ = J；djJ(「/(x』)dLr + f dyj： "/(x』)dx,则交换积分次序后为(C)M；肛J：v/(匕〉殛力J； dx J「/(x,y)dj;Cj：dx『/(*,y府;D.j^dxJ * /(x,yXlj.4.设P = {(X.y) X + y* R\y » 0},则在极坐标系中二重积分JJ/X + bxMy可表示为(C)(A) rdeCf(r2)dr (B) JV町:八宀弘JU JO 2(c)j?可:(D) j>e£7(a5 •设D:1<X2+J2<4 ,则JJ y]x2 -^y2dxdy = (C )6.将J；®]'i f(x,y)dx化为极坐标系下的二次积分第二十二章曲面积分§ 1 第一型曲面积分一、第一型曲面积分的概念二. 第一型曲面积分的计算一、第一型曲面积分的概念 引例：设曲面形构件具有连续面密度0（七夕工）,求质 量M.类似求平面薄板质量的思想，采用 彳（厲,依,口） “大化小，常代变，近似和，求极限" 的方法，可得nM =lim 工0 © 叽37几->0R = 1其中，九表示n 小块曲面的直径的 最大值（曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者）.定义1设S 是空间中可求面积的曲面，f （x 9y 9z ）为 定义在S 上的函数•对曲面S 作分割7；它把S 分成 n 个小曲面块S,（I = 1, 2, • ••,/>）,以AS,记小曲面块 S ：的面积，分割T 的细度II T 11= max{5z 的直径},在 S ：上任取一点（釦久,厶）（心1，2「・・』），若存在极限H盘吧工八釦％GA5严人1=1且与分割卩及（£则£）的取法无关,则称此极限为 f （x 9y 9z ）在S 上的第一型曲面积分，记作JuyI = JJ/(x,j,z)dS ・(1)s于是，前述曲面块的质量由第一型曲面积分表示为：m = JJp（x,j,z）dS ・特别地，当/(x,j,z)-l时，曲面积分口dS就是曲面块S的面积.②第一类曲面积分的性质(假定下面的面积分都存在)(1)设为常数，则（兀,y,z） +阳（x,y,z）]dS = aJJ/（x』,z）dS+0]Jg（x』,z）dS・E E E(2)可加性：若曲面E可分为两片光滑曲面乙和爲,则JJ/（x』,Z）dS = JJ/Cr』,z）dS + JJ/（x』,z）dS・Z El⑶若在曲面X上，f(x.y.z)<^g(x.y,z).则JJ/（x』,z）d S g（x,y,z）d S. E £(4)积分区域的对称性及变量的轮换对称性结论1 JJ/U,j,Z)dS 珂雪------------ E IS = Ej u刀2，刀|与关于xoy(或yoz,或zox)对称，2ff/(x,j,z)dS, /关于(或"或刃是偶函数,j//(x,j,z)dS =0, 于关于Z (或T,或y)是奇函数.结论2如果积分曲面》关于平面J = x对称(轮换对称性)则JJ7(x*,z)dS = D/(),x,z)dS=¥[J“(x*,Z)d5+jJ/(”x,z)dS] I £2 L E例1.设为工在第卦限中的部分，则有(C)・(4) JJ严£=4口严头(B)心dS=4jQdS;(C)|| zdS=4|J zdS;(巧= 4jJ^jrjzdjS ■、第一型曲面积分的计算第一型曲面积分需要化为二重积分来计算.定理22.1设有光滑曲面S :z =z(x,j) eP ,f（x,y,z）为S上的连续函数，则= JJJl +z； +z：dxdy ・所以(X)E：z =z(x,y\(x.y)^D x>,jj f(x,y,z)ds = ff f[x9y,Z(X?y)]Jl + Z；'+Z；'dxdy ・类似的有1(2)Z:j = y(x,z)，gz) efj/(x,j,z)d£= fl J'lx,y(x,z),z]Jl + y：'+X(Lrdz・(3)S:x = x(y9z)9(y9z)e D%JJ/(x,j,z)dS_= fJ/[ x(y,z\y,z]卜囁尸 +(寻恤曲・温馨提示：E向哪个坐标面投影，由所给积分曲面方程的形式决定.注意：对面积的曲面积分的计算步骤如下：⑴画出曲面£写出2并由刀的方程的卿选定公式;(2)由£的方穗求出曲面的微元dS；如：dS=Jl + z；2⑶计算E在投影面化上的二重积分, _______JJ f(x,y9z)dS = ff f[x.y.z(x,y)] Jl + 叩 + 叮dxdy.简述为：一代、二换、三投塞代：将曲面的方程代入被积函数换：换面积元dS 投影：将曲面投影到坐标面得投影区域平面z=h(O<h<a)所截得的顶部(图22・1)・图22"解曲面S的方程为Z = _兀2一,2 9定义域£)为因此由公式(2)求得J? z-x -yr In /• \/a 2-h 2Q =f d&f —__ rdr Jo Jo a 2 _r 2如2 一方2=2an\n —. h\ 11、、、Iz = 0dS=Jl+z ：2 +z ；'drdy = V2drdy, 原式=jjg + «yj=V2J ； dsin&COS0 + //sin 0+” cos 0)pdQ° 64例2•求JJ(xj+zx + yz)dS,其中E 为锥 面z = Jp +b 被曲面X ， 所割下的部分.+ y“ =2兀 解 1 ： S ： z = yjx 2 +y 29 £＞：x 2 + j 2 + x7x 2+j 2)V2drdj °匚「= 4\/2j \ (cos5 ^sin 0 4-cos4 OsinG+cos*5 0)d0=二近.J~215例2•求jj(xy+ zx +jz)dS 淇中:S 为锥 £ 厂十面乙=J 宀被曲ffix 2 + j 2 =2x [所割下的部分.解2:利用对称性 由于2关于mz 面对称,、 则 JJ (xy + jz)dS = 0,£ ______________________________________则原式=JJ MdS =jjx+ h • Vidxdy =2\/2 J 2 d &J )6p 2 cos & ・pdp例3•计算xyzdS,其中刀是由平面x + y + z = l 与 坐标面所围成的四面体的表面. | c 解：设工i ，》2,工3,工4分别表示刀在平面 x = 0?y = 0,z = 0, x4-y4-z = l 上的部分，则/\o 原式= (ifs, +JL 呱 +JLj xyz d5"""_ 呱5 d SS 4：z = l-x-y, (x, y) e D xy : |=^Jo xdx ir W 一 _ 刃 dy = <3i 20曲叱8妊詈・1 4x2x3xl例4・求半径为/?的均匀半球壳工的重心.解：设 S 的方程为 z=、］ R 2 _X 》—y 2D X y 利用对称性可知重心的坐标x=y = 0,而2TV R 2说明：第一类曲面积分的简化计算方法(1)曲面积分与曲线积分一样，可用积分曲面的方程代入被积表达式化简被积函数.(2) 利用曲面积分的几何意义简化计算曲面积分.曲面刀的面积=JJdS, V如：Jj(x 2 + j 2 +z 2)d S = R 2 -4^/f 2(E: X 2 + J 2 +Z 2 = K 2) £(3) 利用积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性简化 计算曲面积分；或用轮换对称性.作业：P282:l(l)(3)(4) 3dxdv J。