精选最新2020高考数学《圆锥曲线方程》专题训练考核题(含答案)

2019年高中数学单元测试卷
圆锥曲线与方程
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
1．（2000上海春13）抛物线y =－x 2的焦点坐标为（ ） A ．（0，
4
1） B ．（0，－
41）C ．（4
1
，0） D ．（－
4
1
，0） 2．（2006）．过双曲线M ：12
22
=-
h y x 的左顶点A 作斜率为1的直线l,若l 与双曲线M 的
两条渐近线分别相交于点B 、C ，且BC AB =，则双曲线M 的离心率是（ ） A ．
25 B. 3
10 C. 5 D. 10 3．（2005全国卷2) 双曲线22
149
x y -=的渐近线方程是( )
A ． 2
3
y x =±
B ． 4
9
y x =±
C ． 3
2y x =±
D ． 9
4
y x =±
4．（2005浙江)函数y ＝ax 2
＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( )B A ．
18
B ．
4
1 C ．
2
1 D ．1
二、填空题
5．已知双曲线
22
14x y b
-=的右焦点为(3,0)，则该双曲线的渐近线方程为________. 6．如图，双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1， B 2，两焦点为
F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D ，则双曲线的离心率e ＝ ▲ .
7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线 x 2m －y 2
m 2＋4＝1的离心率
为5，则m 的值为 ▲ .
8．椭圆x 28＋y 2
4＝1的右准线方程是 ▲ ． 9．双曲线
-y 2
=1的虚轴端点与一个焦点连线的中点恰在双曲线的一条准线上,PQ 是双曲
线的一条垂直于实轴的弦,O 为坐标原点,则·等于
A.0
B.-1
C.1
D.与PQ 的位置及a 的值有关 【答案】
10．已知椭圆C 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为
3
2
，且椭圆C 上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆C 的方程为________________
11．（2013年高考湖南卷（理））设12,F F 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的两个
焦点,P 是C 上一点,若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30,则C 的离心率为___.
12．已知椭圆E ：2
214
x y +=，椭圆E 的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点（如图），则这个平行四边形面积的最大值是 ▲ ．
13．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的右顶点为A ，上顶点为
B ，M 为线段AB 的中点，若30o
MOA ∠=，则该椭圆的离心率的值为 。

14．若双曲线()22221,0x y a b a b -=>的离心率为2，则b
a
= ▲ . (江苏省苏州市2011
年
1月高三调研)
（第14题图）
15．已知椭圆,12
42
2=+y x A 、B 是其左右顶点，动点M 满足AB MB ⊥，连接AM 交椭圆于P ，在x 轴上有异于点A 、B 的定点Q ，以MP 为直径的圆经过直线BP 、MQ 的交点，则点Q 的坐标为 ▲
16．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为y x =，且该双曲线与椭圆13
62
2=+y x 有共同的焦点，则双曲线的方程为 ．
17．如图，点A 是椭圆 x 2a 2 ＋ y 2
b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点．过A 作斜率为1的直线交椭圆于另一点P ，点B 在y 轴上，且BP ∥x 轴，AB →·AP →
＝9，若B 点坐标为(0，1），则椭圆方程是 __________ ．
答案：x 212＋ y 2
4＝1．
18．直线y =x －1被抛物线y 2=4x 截得线段的中点坐标是_____.（2003上海春，4）
19．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的中心、右焦点、右顶点分别为O 、F 、A ，右准线与
x 轴的交点为H ，则FA
OH
的最大值为 三、解答题
20． 设椭圆E ：x 2a 2＋y 2
1－a 2＝1的焦点在x 轴上．
(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；
(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上．
21．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2
a2＋
y2
b2＝1（a＞b＞0
）的上顶点到焦点的距离为2
（1）求a，b的值．
（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点．
（ⅰ）若k＝1，求△OAB面积的最大值；
（ⅱ）若PA2＋PB2的值与点P的位置无关，求k的值．
22．我们把由半椭圆1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
(0)
x≥与半椭圆1
2
2
2
2
=
+
c
x
b
y
(0)
x≤合成的曲线称作“果圆”，其中2
2
2c
b
a+
=，0
>
a，0
>
>c
b．
如图，设点
F，
1
F，
2
F是相应椭圆的焦点，
1
A，
2
A和
1
B，
2
B是“果圆”与x，y轴
的交点，M是线段2
1
A
A的中点．
（1）若
012
F F F
△是边长为1的等边三角形，
（2）求该“果圆”的方程；
（2）设P是“果圆”的半椭圆1
2
2
2
2
=
+
c
x
b
y
(0)
x≤上任意一点．求
证：当PM取得最小值时，P在点
12
B B
，或
1
A处；
（3）若P是“果圆”上任意一点，求PM取得最小值时点P的横
1
坐标．
23．（2013年高考湖北卷（理））如图,已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ,长轴均为
MN 且在x 轴上,短轴长分别为2m ,2n ()m n >,过原点且不与x 轴重合的直线l 与
1C ,2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ,B ,C ,D .记m
n
λ=
,BDM ∆和ABN ∆的面积分别为1S 和2S .
(I)当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ的值;
(II)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=?并说明理由.
24．（16分）过抛物线y 2
=4x 的焦点F ,引倾斜角为3
π
的直线,交抛物线
于A 、B 两点.
（1）求AB 的中点M 到抛物线准线的距离 （2）如果O 是坐标原点,求△AOB 的面积.
25．已知椭圆 x 2
+y 2
3
=1(0＜b ＜1)的左焦点为F ，左、右顶点分别为A ，
C ，上顶点为B ，过F 、B 、C 作⊙P ，其中圆心P 的坐标为(m ,n )。

(1)当m +n ＞0时，求椭圆离心率的范围； (2)直线AB 与⊙P 能否相切？证明你的结论。

26．在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线2
:2(0)C x py p =>的焦点，M 是抛物线C
第21题图
上位于第一象限内的任意一点，过,,M F O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为
34
. （1）求抛物线C 的方程；
（2）是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.
27．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为2
2
，且过点)21,22(
P ，记椭圆的左顶 点为A 。

（1）求椭圆的方程；（2）设垂直于y 轴的直线l 交椭圆于B ，C 两点，试求ABC ∆面积的最大值；（3）过点A 作两条斜率分别为1k ，2k 的直线交椭圆于D ，E 两点，且
221=k k ，求证：直线DE 恒过一个定点。

28．已知双曲线的焦点12,F F 在y 轴上，且它与y 的交点,A B 在圆22
490x y x +--=上，若,A B 两点恰好将线段12F F 三等分，求双曲线的标准方程。

29．已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -，焦点在x 轴上，且右焦点到直线0x y -+=的距离为3，试求椭圆的标准方程。

30．设抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴.证明直线AC 经过原点O . （2001全国文20，理19）。