【2013日照市一模】山东省日照市2013届高三第一次模拟考试 理科数学 Word版含答案

2013年高三模拟考试理科数学2013.03本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．第II 卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效。

4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第I 卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}{}lg 0,2,M x x N x x M N =>=≤⋂=则 A.(]1,2B.[)1,2C.()1,2D.[]1,22.在复平面内，复数1i z i=-所对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.若PQ 是圆229x y +=的弦，PQ 的中点是（1，2）则直线PQ 的方程是 A.250x y +-=B.230x y +-=C.240x y -+=D.20x y -=4.已知命题:p “1,,9b 成等比数列”，命题q ：“b=3”，那么p 成立是q 成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又非必要条件5.已知函数()sin 0y ax b a =+>的图象如右图所示，则函数()log a y x b =+的图象可能是6.已知函数()f x 是R 上的偶函数，若对于0x ≥，都有()()2,f x f x +=且[)()()20,2,l o g 1x f x x ∈=+当时，则()()20132012f f -+的值为A.2-B.1-C.1D.27.右图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为.则该几何体的表面积是A.20+B.24+C.8D.168.设321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为a ，则直线y ax =与曲线2y x =围成图形的面积为A.272B.9C.92D.2749.已知实数[]1,9x ∈，执行如右图所示的流程图，则输出的x 不小于55的概率为 A.58B.38C.23D.1310.实数,x y 满足1,21,.y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩如果目标函数z x y =-的最小值为2-，则实数m 的值为A.5B.6C.7D.8 11.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE=CD.若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中A P A B A E λμ=+，下列判断正确．．的是A.满足2λμ+=的点P 必为BC 的中点B.满足1λμ+=的点P 有且只有一个C.λμ+的最大值为3D.λμ+的最小值不存在12.定义域为R 的函数()f x 满足()()[)22,0,2fx f x x +=∈当时，()[)[)232,0,1,1,1,2,2x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩若[)4,2x ∈--时，()142t f x t≥-恒成立，则实数t 的取值范围是A.[)()2,00,1-⋃B.[)[)2,01,-⋃+∞C.[]2,1-D.(](],20,1-∞-⋃第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13.已知3sin 5α=，且α为第二象限角，则tan α的值为_____________.14.某商场在庆元宵促销活动中，对元宵节9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为_____万元.15.记123,1,2,3,k k k kk S n k =+++⋅⋅⋅+=当…时，观察下列 等式：2321211111,22326S n n S n n n =+=++，432543341111111,,42452330S n n n S n n n n =++=++-6542515,212S A n n n B n =+++⋅⋅⋅，可以推测，A B -=_______.16.给出下列四个命题： ①若0x >，且1x ≠则1lg 2lg x x+≥；②设,x y R ∈，命题“若220,0xy x y =+=则”的否命题是真命题；③若函数()y f x =的图象在点()()1,1M f 处的切线方程是122y x =+，则()()113f f '+=；④已知抛物线()240y px p =>的焦点F 与双曲线()222210,0x y a b ab-=>>的一个焦点重合，点A 是两曲线的交点，A F x ⊥轴，则双曲线的1+.其中所有真．．．命题的序号是________________. 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17.（本小题满分12分）在A B C∆中，角A ，B ，C所对的边分别为a,b,c,若向量()()1c o s,s i n ,c o s ,s i n ,.2m B C n C Bm n =-=--⋅=且 （I ）求角A 的大小；（II ）若4,b c ABC +=∆的面积S =a 的值.18.（本小题满分12分）某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品.现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下：（I ）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；（II ）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元.在（I ）的前提下，（i ）记X 为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望； （ii ）求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率. 19.（本小题满分12分）如图，PDCE 为矩形，ABCD 为梯形，平面P D C E ⊥平面ABCD，190,,.2BAD AD C AB AD C D a PD ∠=∠=====（I ）若M 为PA 中点，求证：AC//平面MDE ； （II ）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小. 20.（本小题满分12分）若数列{}n b ：对于n N *∈，都有2n n b b d +-=（常数），则称数列{}n b 是公差为d 的准等差数列.如：若{}41,;49,.n n n n c c n n -⎧=⎨+⎩当为奇数时则当为偶数时是公差为8的准等差数列. （I ）设数列{}n a 满足：1a a =，对于n N *∈，都有12n n a a n ++=.求证：{}n a 为准等差数列，并求其通项公式：（II ）设（I ）中的数列{}n a 的前n 项和为n S ，试研究：是否存在实数a ，使得数列n S 有连续的两项都等于50.若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由. 21.（本小题满分13分）已知长方形ABCD ，3AB BC ==以AB 的中点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系xOy . （I ）求以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的椭圆P 的标准方程；（II ）已知定点E （—1，0），直线y kx t =+与椭圆P 交于M 、N 相异两点，证明：对作意的0t >，都存在实数k ，使得以线段MN 为直径的圆过E 点. 22.（本小题满分13分） 已知函数()()(),ln x g x fx g x ax x==-.（I ）求函数()g x 的单调区间；（II ）若函数()()1,f x +∞在上是减函数，求实数a 的最小值；（III ）若212,,x x e e ⎡⎤∃∈⎣⎦，使()()12f x f x a '≤+成立，求实数a 的取值范围.2013届高三模拟考试理科数学参考答案及评分标准 2013.3说明：本标准中的解答题只给出一种解法，考生若用其它方法解答，只要步骤合理，结果正确，均应参照本标准相应评分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1—5 ABABC 6—10CACBD 11—12CD(1)解析：答案A. {lg 0}{1}M x x x x =>=>,{}{|||2}{22}N x x x x x =≤=-≤≤，所以{12}M N x x =<≤ ,选A.(2)解析:答案B. i i(1i)1i 1i(1i)(1i)2z +-+===--+,其对应点11(,)22-为第二象限点.选B. (3)解析:答案 A.因为弦的中垂线过圆心，故(1,2)在直线PQ 上，故排除,B C ,又OP PQ ⊥,O P 的斜率为2，PQ 的斜率为12-，排除D,选A.(4) 解析：答案B. 1,,9b 成等比数列,则有29b =，所以3b =±，所以p 成立是q成立的不y y 充分条件.当=3b 时，1,,9b 成等比数列，所以p 成立是q 成立必要不充分，选B. (5)解析:答案 C.由函数s i n (0y a x b a =+>的图像可知，01b <<且函数s i n (0y a x b a =+>的周期大于2π，因此01a <<.易知选C . (6) 解析:答案 C.由函数()f x 是R 上的偶函数及0x ≥时(2()f x fx +=）得22(2013)(2012)(2013)(0)(1)(0)log 2log 1 1.f f f f f f -+=+=+=+=故选C.(7)解析：答案A.则该几何体为一个三棱柱，根据三视图的性质， 俯视图的矩形宽为由面积4，则1+2=2+224+22S S S =⨯⨯⨯侧底（）2=2820+.选A.(8)解析:答案C.∵x x231()+的展开式中的常数项为23C ,即3a =.解2,3,y x y x ⎧=⎨=⎩得0x =或3x =，由定积分的几何意义知，直线3y x =与曲线2y x =围成图形的面积为323()d x x x -⎰=233303127992322xx-=-=.选C.(9)解析:答案B .由551]1)12(2[2=+++x ,得6=x ,由几何概型知，输出的x 不小于55的概率为831969=--.选B.(10)解析:答案D .先做出⎩⎨⎧-≤≥12,1x y y 的区域如图,可知在三角形A B C 区域内，由z x y =-得y x z =-可知，直线的截距最大时，z 取得最小值，此时直线为(2)2y x x =--=+，作出直线2y x =+，交2y x =-于A 点，由图象可知，目标函数在该点取得最小值，所以直线x y m +=也过A 点，由212y x y x =-⎧⎨=+⎩，得=35x y ⎧⎨=⎩，代入x y m +=得，358m =+=.选D.(11) 解析：答案C.由题意可知，0,0λμ≥≥，当0==μλ时,λμ+的最小值为0,此时P 点与A 点重合,故D 错误.当1,1λμ==时，P 点也可以在D 点处，故A 错误.当1,0λμ==，1λμ+=时,P 点在B 处，当P 点在线段AD 中点时12λμ==，亦有1λμ+=.所以B 错误.(12) 解析:答案D.当[42)x ,∈--，则4[0,2)x +∈，所以11()(2)(4)24f x f x f x =+=+24 1.51[(4)(4)],[4,3)4=1(0.5),[3,2)4x x x x x +-⎧+-+∈--⎪⎪⎨⎪-∈--⎪⎩ 2 2.51(712),[4,3)4=1(0.5),[3,2)4x x x x x +⎧++∈--⎪⎪⎨⎪-∈--⎪⎩，当[4,3)x ∈--时，221171()=(712)[()]4424f x x x x ++=+-的对称轴为7=2x -，∴当[4,3)x ∈--时，最小值为71()=216f --；当[3,2)x ∈--时， 2.51()=(0.5)4x f x +-， 当 2.5x =-时，取最小值，最小值为14-；所以当[42)x ,∈--时，函数()f x 的最小值为14-，即11442t t-≥-，即220t t t+-≤，所以不等式等价于2020t t t >⎧⎨+-≤⎩或2020t t t <⎧⎨+-≥⎩，解得01t <≤或2t ≤-，即t 的取值范围是(,2](0,1]-∞- ，选D.二、本大题共4小题，每小题4分，共16分.(13) 34-; (14)10; (15) 41; (16)②③④.(13) 解析：答案34-.因为α为第二象限角，所以4sin 3cos ,tan 5cos 4αααα=-==-. (14) 解析:答案10.2.50.4100.1⋅＝（万元）(15)解析：答案14.根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为1；最高次项的系数为该项次数的倒数.∴16A =,151212A B +++=,解得112B =-，所以A B -=14.(16) 解析：答案②③④.易知①错误，②正确；对于③，221+=x y 即51(1)22y x -=-，所以5(1)f =，1'(1)f =，3)1(')1(=+f f 故③正确；，∴双曲线22221x y ab-=的焦距2||2c FF p '==，实轴2||||a AF AF '=-=21)p ,由此可得离心率为： 22c c e aa===1=.故④正确.三、解答题：本大题共6小题，共74分. (17)解析：(Ⅰ)∵12⋅=m n ，∴1cos cos sin sin 2B C B C ⋅-⋅=， ………………2分即1cos()2B C +=，∴1cos(π)2A -=， …………………………4分∴1cos 2A =-．又(0,π)A ∈，∴2π3A =． …………………………6分（Ⅱ）1sin 2A B C S bc A ∆=⋅12πsin23bc =⋅=∴4bc =． …………………………8分又由余弦定理得2222π2cos3a b c bc =+-22b c bc =++， ………………10分∴22()16412a b c bc =+-=-=，a = …………………………12分(18)解析：（Ⅰ）芯片甲为合格品的概率约为4032841005++=,芯片乙为合格品的概率约为4029631004++=． ………………3分（Ⅱ）（ⅰ）随机变量X 的所有取值为90,45,30,15-．433(90)545P X ==⨯=； 133(45)5420P X ==⨯=； 411(30)545P X ==⨯=； 111(15)5420P X =-=⨯=．所以，随机变量X 的分布列为:904530(15)66520520E X =⨯+⨯+⨯+-⨯=． ………………8分（ⅱ）设生产的5件芯片乙中合格品有n 件，则次品有5n -件. 依题意，得 5010(5)140n n --≥， 解得 196n ≥．所以 4n =，或5n =．设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元”为事件A ，则 445531381()C ()()444128P A =⨯+=． ………………12分 (19)解析：(Ⅰ)连结P C ,交D E 与N ,连结M N ，∵P A C ∆中，,M N 分别为两腰,PA PC 的中点 ,∴MN AC ………………2分因为M N ⊂面M D C ,又A C ⊄面M D C ，所以AC 平面M D C ……4分 （Ⅱ）∵90o ADC ∠=,∴AD D C ⊥,又AD ⊂平面A B C D ，平面P D C E ^平面A B C D ，∴AD ⊥平面P D C E ，又PD ⊂平面P D C E ，∴AD PD ⊥.………………6分 以D 为空间坐标系的原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,),(,,0),(0,2,0)P B a a C a ，(,,),(,,0)PB a a BC a a =-,设平面PAD 的单位法向量为1n ，则可设1(0,1,0)=n ………………8分设面PBC 的法向量2(,,1)n x y =，应有22(,,1)(,,)0,(,,1)(,,0)0,P B x y a a B C x y a a ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩ n n即：0,0,ax ay ax ay ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩解得：22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以2,,1)22=n ………………………………11分 设平面PAD 与PBC 所成锐二面角的大小为θ，∴1212|1cos ,|||2||θ⋅===⋅n n n n∴.3πθ=…………………12分(20)解析：(Ⅰ) n a a n n 21=++ （N n *∈）①)1(221+=+++n a a n n ②②-①得22=-+n n a a （N n *∈）． 所以，{}n a 为公差为2的准等差数列． …………3分 当n 为偶数时，a n na a n -=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2122， 当n 为奇数时，12121-+=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-++=a n n a a n ； ⎩⎨⎧--+=∴为偶数）　（为奇数）（n a n n a n a n ,,1…………6分 （Ⅱ）当n 为偶数时，()2212212222221222n n n n a n n n a S n =⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅=；当n 为奇数时，()2212121212221212121⨯⎪⎭⎫⎝⎛---+-⋅-+⨯⎪⎭⎫⎝⎛-++++⋅=n n n a n n n a S n21212-+=a n ． …………9分当k 为偶数时，50212==kS k ，得10=k ． 由题意，有10502192129=⇒=-+⨯=a a S ； 或1050211121211-=⇒=-+⨯=a a S ．当10a =时，910,S S 两项等于50;当10a =-时，1011,S S 两项等于50;所以，10±=a ． …………12分 (21)解析：（Ⅰ）由题意可得点A ，B ，C的坐标分别为(，，3设椭圆的标准方程是22221(0),x y a b ab+=>>则2a A C B C =+=2,a >∴=2221b a c ∴=-=.∴椭圆的标准方程是2213xy +=. ……………………5分（Ⅱ）将t kx y +=代入椭圆方程，得0336)31(222=-+++t ktx x k ，由直线与椭圆有两个交点，所以0)1)(31(12)6(222>-+-=∆t k kt ，解得3122->t k.设11(,)M x y 、22(,)N x y ，则221316kkt x x +-=+，222131)1(3kt x x +-=⋅，…………8分因为以M N 为直径的圆过E 点，所以0EM EN ⋅=，即0)1)(1(2121=+++y y x x ，而))((2121t kx t kx y y ++==221212)(t x x tk x x k +++，所以01316)1(31)1(3)1(22222=++++-+-+t kkt tk kt k ，解得tt k 3122-=. ………………11分如果3122->t k对任意的0>t 都成立，则存在k ，使得以线段M N 为直径的圆过E 点．09)1(31)312(2222222>+-=---ttt t tt ，即3122->t k．所以，对任意的0>t ，都存在k ，使得以线段M N 为直径的圆过E 点． ………………………………13分(22)解析：由已知函数)(),(x f x g 的定义域均为),1()1,0(+∞ ,且ax xx x f -=ln )(. ……1分（Ⅰ）函数22)(ln 1ln )(ln 1ln )(x x x x x x x g -=⋅-=',当e 0<<x 且1≠x 时,0)(<'x g ;当e >x 时,0)(>'x g .所以函数)(x g 的单调减区间是)e ,1(),1,0(,增区间是),e (+∞. ………………3分（Ⅱ）因f (x )在(1,)+∞上为减函数，故2ln 1()0(ln )x f x a x -'=-≤在(1,)+∞上恒成立． 所以当(1,)x ∈+∞时，max ()0f x '≤． 又()22ln 111()ln ln (ln )x f x a a x x x -'=-=-+-()2111ln 24a x =--+-， 故当11ln 2x=，即2e x =时，max 1()4f x a '=-．所以10,4a -≤于是14a ≥，故a 的最小值为14． ………………………………6分（Ⅲ）命题“若212,[e,e ],x x ∃∈使()12()f x f x a '≤+成立”等价于 “当2[e,e ]x ∈时，有()min max ()f x f x a '≤+”．由（Ⅱ），当2[e,e ]x ∈时，max 1()4f x a '=-，∴()max 14f x a '+=．问题等价于：“当2[e,e ]x ∈时，有min 1()4f x ≤”． ………………………………8分1当14a ≥时，由（Ⅱ），()f x 在2[e,e ]上为减函数，则min ()f x =222e 1(e )e 24f a =-≤，故21124ea ≥-．2当14a <时，由于()f x '()2111ln 24a x =--+-在2[e,e ]上为增函数， 故()f x '的值域为2[(e),(e )]f f ''，即1[,]4a a --．(i )若0a -≥，即0a ≤，()0f x '≥在2[e,e ]恒成立，故()f x 在2[e,e ]上为增函数， 于是，min ()f x =1(e)e e e>4f a =-≥，不合题意． ……………………10分(ii )若0a -<，即104a <<，由()f x '的单调性和值域知，∃唯一20(e,e )x ∈，使0()0f x '=，且满足：当0(e,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数；当20(,e )x x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数； 所以，min ()f x =00001()ln 4x f x ax x =-≤，20(e,e )x ∈．所以，201111111ln 44e244ln ea x x ≥->->-=，与104a <<矛盾，不合题意．综上，得21124ea ≥-． …………………………………13分。