上海交大中15学年度高三开学摸底考试卷
2021届上海市上海交通大学附属中学高三上学期开学摸底数学试题(解析版)
2021届上海市上海交通大学附属中学高三上学期开学摸底数学试题一、单选题1．函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在x π=处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-， 即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称， 据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．2．已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ） A ．64π B ．48πC ．36πD ．32π【答案】A【解析】由已知可得等边ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得出1OO 的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论. 【详解】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意， 得24,2r r ππ=∴=，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin 6023AB r =︒=，123OO AB ∴==，根据球的截面性质1OO ⊥平面ABC ，222211111,4OO O A R OA OO O A OO r ∴⊥==+=+=， ∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.3．若点00(,)P x y 00(0)x y ≠在函数()y f x =的图像上，1()y f x -=为函数()y f x =的反函数，设100(,)P y x 、200(,)P y x -、300(,)P y x -、400(,)P y x --，则有（ ） A ．点1234,,,P P P P 有可能都在函数1()y f x -=的图像上B ．只有点2P 不可能在函数1()y f x -=的图像上C ．只有点3P 不可能在函数1()y fx -=的图像上D ．点23,P P 都不可能在函数1()y f x -=的图像上 【答案】D【解析】根据反函数存在的条件是原函数必须是一一对应的，然后根据反函数的性质可判断点1234,,,P P P P 是否在函数1()y f x -=图像上.【详解】存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的,根据点00(,)P x y 00(0)x y ≠在函数()y f x =的图象上， 则100(,)P y x 在反函数1()y fx -=的图象若点100(,)P y x 与点300(,)P y x -都在反函数1()y fx -=的图象上，则相同的横坐标对应两个函数值，不符合一一对应；若点200(,)P y x -在反函数图象上则点00(,)x y -在函数()y f x =的图象上， 则相同的横坐标对应两个函数值，不符合一一对应； 故点23,P P 都不可能在函数1()y f x -=的图象上故选：D ． 【点睛】本题考查反函数存在的条件和函数的性质，同时考查分析问题的能力，属于基础题. 4．设集合S ，T ，S ⊆N ，T ⊆N ，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足： ①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ； 下列命题正确的是（ ）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素 【答案】A【解析】分别给出具体的集合S 和集合T ，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可. 【详解】首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8S T =，包含4个元素，排除选项 C ；若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32S T =，包含5个元素，排除选项D ；若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S T =，包含7个元素，排除选项B ； 下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈， 同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21p S p ∈， 若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =， 又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =， 故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍.若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p pp p p p ==即323121,p p p p ==， 又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =， 故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆. 若q T ∈， 则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i q p i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==， 即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =， 此时{}234456711111111,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确. 故选：A . 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.二、填空题5．已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____.【答案】{}0,2【解析】根据集合的交集即可计算. 【详解】∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B = ∴{}0,2AB =故答案为：{}0,2. 【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．6．已知i 是虚数单位，则复数()()12z i i =+-的虚部是________ 【答案】1【解析】利用复数的乘法运算，化简复数3i z =+,即可得答案； 【详解】2213z i i i =-++=+，∴复数z 的虚部是1，故答案为：1. 【点睛】本题考查复数虚部的概念，属于基础题.7．已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____. 【答案】2【解析】根据平均数的公式进行求解即可． 【详解】∵数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4∴4235620a a ++-++=，即2a =. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．8．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____. 【答案】19【解析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可． 【详解】根据题意可得基本事件数总为6636⨯=个.点数和为5的基本事件有()1,4，()4,1，()2,3，()3,2共4个. ∴出现向上的点数和为5的概率为41369P ==. 故答案为：19. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．25()()x x y xy ++的展开式中33x y 的系数为________【答案】15【解析】先把条件整理转化为求225()()x y x y ++展开式中43x y 的系数，再结合二项式的展开式的特点即可求解． 【详解】解：因为22255()()()()y x y x y x x y x x++++=； 要求展开式中33x y 的系数即为求225()()x y x y ++展开式中43x y 的系数；展开式含43x y 的项为：2223244435515x C x y y C x y x y +=；故25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为15；故答案为：15.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．10．如果方程2lg (lg 6)lg lg 2lg 30x x ++⋅=的两个根为1x 、2x ，那么12x x ⋅的值为________ 【答案】16【解析】先对方程进行因式分解变形得(lg lg 2)(lg lg3)0x x ++=，求出12,x x 的值，即可得答案； 【详解】(lg lg 2)(lg lg3)0x x ++=， ∴lg lg 2x =-或lg lg3x =-，∴121123x x ==，，∴1216x x =，故答案为：16.【点睛】本题考查对数的运算，考查运算求解能力，属于基础题.11．设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______． 【答案】4【解析】结合等差数列和等比数列前n 项和公式的特点，分别求得{}{},n n a b 的公差和公比，由此求得d q +. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据题意1q ≠. 等差数列{}n a 的前n 项和公式为()2111222n n n d d P na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， 等比数列{}n b 的前n 项和公式为()1111111n n n b q b bQ q qq q-==-+---，依题意nn n S P Q =+，即22111212211nn b b d d n n n a n q q q ⎛⎫-+-=+--+ ⎪--⎝⎭， 通过对比系数可知111212211dd a q b q⎧=⎪⎪⎪-=-⎪⎨⎪=⎪⎪=-⎪-⎩⇒112021d a q b =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，故4d q +=. 故答案为：4 【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前n 项和公式，属于中档题.12．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半径为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.【答案】1232π【解析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果. 【详解】正六棱柱体积为23622=1234⨯⨯ 圆柱体积为21()222ππ⋅=所求几何体体积为1232π故答案为： 1232π【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.13．将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____. 【答案】524x π=-【解析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果. 【详解】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=-72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈当1k =-时524x π=-故答案为：524x π=-【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.14．已知22451x y y +=（,x y R ∈），则22xy +的最小值是________【答案】45【解析】由已知求得2x ，代入所求式子，整理后，运用基本不等式可得所求最小值； 【详解】解：由22451x y y +=，可得42215y x y -=，由20x ，可得2(0y ∈，1]，则44222222211411(4)555y y x y y y y y y-++=+==+ 221142455y y =，当且仅当212y =，2310x =，可得22xy +的最小值为45； 故答案为：45. 【点睛】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查转化思想和化简运算能力，属于中档题. 15．在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185【解析】根据题设条件可设()0PA PD λλ=>，结合32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭与,,B D C 三点共线，可求得λ，再根据勾股定理求出BC ，然后根据余弦定理即可求解. 【详解】∵,,A D P 三点共线， ∴可设()0PA PD λλ=>， ∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+， 若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线， ∴321m m λλ⎛⎫-⎪⎝⎭+=，即32λ=， ∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒， ∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-. ∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185. 当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185.【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出()0PA PD λλ=>．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知0)P ，,A B 是221:()362C x y +-=上的两个不同的动点，满足PA PB =，且PA PB a ⋅<恒成立，则实数a 最小值是________ 【答案】49【解析】因为PA PB =，可知PC 是AB 的垂直平分线，1PC =，设CE x =，PA 、PB 、AB 的长即可用x 表示，再利用余弦定理表示cos APB ∠，利用数量积的定义将PA PB ⋅用x 表示，()maxa PA PB>⋅，利用函数求出()max6PA PB⋅<，即得a 最小值.【详解】如图圆心10,2C ⎛⎫⎪⎝⎭，1PC =，因为PA PB =，所以PC 是AB 的垂直平分线，设PC 与AB 相交于点E ，则点E 是AB 的中点， 设CE x =，则2236AE x =-，()22436AB x=-，()2222221237AP BP AE EP AE x x ==+=++=+PA PB a ⋅<恒成立，所以()maxa PA PB>⋅cos PA PB PA PB APB ⋅=∠，在APB △中，由余弦定理得：222222cos 22AP BP AB AP AB APB AP BP AP BP +--∠==⨯⨯， 所以222222cos 22AP AB AP AB PA PB PA PB APB PA PB AP BP --⋅=∠=⨯=⨯， ()()22222323743652x x x x +--==+-，因为06x <<，所以6x =时，22235236123549x x +-<⨯+-=， 即()max49PA PB⋅<所以6a ≥，故实数a 最小值是49，故答案为：49【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的定义，余弦定理，勾股定理，恒成立问题，求二次函数的最值，属于综合性题目，属于中档题.三、解答题17．在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=5,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=14BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．【答案】（115（2239【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.【详解】（1）连,CO BC CD BO OD CO BD ==∴⊥以,,OB OC OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,0)(0,1,1)A B C D E -∴15(1,0,2),(1,1,1)cos ,1553AB DE AB DE ∴=-=∴<>==- 从而直线AB 与DE 所成角的余弦值为1515（2）设平面DEC 一个法向量为1(,,),n x y z =11200(1,2,0),00x y n DC DC x y z n DE ⎧+=⋅=⎧⎪=∴⎨⎨++=⋅=⎪⎩⎩令112,1(2,1,1)y x z n =∴=-=∴=- 设平面DEF 一个法向量为2111(,,),n x y z =11221117100171(,,0),4244200x y n DF DF DB BF DB BC n DE x y z ⎧⎧+=⋅=⎪⎪=+=+=∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪++=⎩令111272,5(2,7,5)y x z n =-∴==∴=-12cos ,67813n n ∴<>== 因此12239sin 13θ== 【点睛】本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题.18．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且2sin 0b A =． （I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．【答案】（I ）3B π=；（II）32⎤⎥⎝⎦【解析】（I ）首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定∠B 的大小；（II ）结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有∠A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定∠A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围.【详解】（I）由2sin b A =结合正弦定理可得：2sin sin ,sin 2B A A B =∴= △ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）结合(1)的结论有：12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos sin 222A A A =-++11cos 222A A =++ 1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则sin 32A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，113sin ,2232A π⎛⎤⎛⎫++∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是13,22⎛⎤⎥ ⎝⎦.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.19．已知函数()|31|2|1|f x x x=+--.（1）画出()y f x=的图像；（2）求不等式()(1)f x f x>+的解集；（3）若不等式22()3f x t at≥-+-，对于任意的x∈R，任意的[1,1]a∈-恒成立，求实数t的取值范围.【答案】（1）图像见解析；（2）7(,)6-∞-；（3）2t≤-或2t≥.【解析】（1）根据绝对值定义去掉绝对值符号化函数为函数形式，然后可分段作出函数图象；（2）把函数()y f x=的图像向左平移1个单位长度后得到函数(1)y f x=+的图像，由图象可得不等式的解；（3）首先由()f x图象得()f x的最小值83-，然后问题转化为282,33t at-≥-+-对任意[]1,1a∈-恒成立，引入函数()g a=223t at-+-，这是关于a的一次函数，由一次函数性质易得结论．【详解】（1）由题设知13,,31()51,1,33, 1.x xf x x xx x⎧--≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪+>⎪⎪⎩()y f x=的图像如图所示.（2）函数()y f x =的图像向左平移1个单位长度后得到函数(1)y f x =+的图像，()y f x =的图像与(1)y f x =+的图像的交点坐标为711(,)66--，由图像可知当且仅当76x <-时，()y f x =的图像在(1)y f x =+的图像上方， ∴不等式()(1)f x f x >+的解集为7(,)6-∞-．（3）由函数图像性质可知，当13x =-时，()f x 取得最小值83-， 则原问题转化为282,33t at -≥-+- 对任意[]1,1a ∈-恒成立，即220t at --≥对任意[]1,1a ∈-恒成立，记函数()22g a ta t =-+-，要使()0g a ≥对任意[]1,1a ∈-恒成立，只需()()1010g g ⎧≥⎪⎨-≥⎪⎩，即222020t t t a ⎧--≥⎨+-≥⎩，解得：2,t ≤-或2t ≥.【点睛】本题考查作含绝对值函数图象，用图象解不等式，考查不等式恒成立问题，不等式恒成立问题的关键是转化，一是转化为求出函数的最小值，二是转化为与一次函数有关的不等关系．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，直线1AF 与椭圆E 相交于另一点B .（1）求12AF F ∆的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB 与MAB △的面积分别为12,S S ，若213S S =，求点M 的坐标.【答案】（1）6；（2）4- ；（3）M 点坐标为(2,0)或212(,)77-- .【解析】（1）由椭圆标准方程可知a ，b ，c 的值，根据椭圆的定义可得12AF F △的周长22a c =+，代入计算即可．（2）由椭圆方程得3(1,)2A ，设(,0)P t ，进而由点斜式写出直线AP 方程，再结合椭圆的右准线为：4x =，得点Q 为34(4,)21tt--，再由向量数量积计算最小值即可．（3）在计算OAB ∆与MAB ∆的面积时，AB 可以最为同底，所以若213S S =，则O 到直线AB 距离1d 与M 到直线AB 距离2d ，之间的关系为213d d =，根据点到直线距离公式可得135d =，295d =，所以题意可以转化为M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点，设平行于AB 的直线l 为340x y m -+=，与直线AB 的距离为95，根据两平行直线距离公式可得，6m =-或12，然后在分两种情况算出M 点的坐标即可． 【详解】（1）由椭圆的标准方程可知，24a =，23b =，2221c a b =-=， 所以△12AF F 的周长226a c =+=．（2）由椭圆方程得3(1,)2A ，设(,0)P t ，则直线AP 方程为32()1y x t t=--，椭圆的右准线为：24a x c==，所以直线AP 与右准线的交点为34(4,)21tQ t--，(OP QP t =，0)(4t -，22340)4(2)4421tt t t t--=-=----，当2t =时，()4min OP QP =-．（3）若213S S =，设O 到直线AB 距离1d ，M 到直线AB 距离2d ，则2111||||22AB d AB d ⨯⨯=⨯⨯，即213d d =， 3(1,)2A ，1(1,0)F -，可得直线AB 方程为3(1)4y x =+，即3430x y -+=，所以135d =，295d =，由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点，设平行于AB的直线l 为340x y m -+=，与直线AB 的距离为95，95=，即6m =-或12，当6m =-时，直线l 为3460x y --=，即3(2)4y x =-， 联立223(2)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得(2)(72)0x x -+=，即20M N x y =⎧⎨=⎩或27127M Mx y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以(2,0)M 或2(7-，12)7-．当12m =时，直线l 为34120x y -+=，即3(4)4y x =+， 联立223(4)4143y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得221182404x x ++=，△9(3656)0=⨯-<，所以无解， 综上所述，M 点坐标为(2,0)或2(7-，12)7-．【点睛】本题考查椭圆的定义，向量的数量积，直线与椭圆相交问题，解题过程中注意转化思想的应用，属于中档题．21．已知数列{}n a （*n ∈N ）的首项11a =，前n 项和为n S ，设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k k n n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“~k λ”数列.（1）若等差数列{}n a 是“~1λ”数列，求λ的值； （2）若数列{}n a 是”数列，且0n a >，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“~3λ”数列，且0n a ≥？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）1λ=；（2）()()211342n n n a n -⎧=⎪=⎨⨯≥⎪⎩；（3）存在，01λ<<. 【解析】（1）根据新定义，即由11n n n S S a λ++-=，求λ，此式变形为1(1)0n a λ+-=，分析后可得．（2=11n n n a S S ++=-转化为{}n S 的递推关系，令n b =，得{}n b 的递推关系，求得n b ，从而可得n S ，n a ．（3）类似（2）的转化，令n c，则1 1)n n c c -=≥，即333(1)(1)( 1)n n n c c c λ-=-≥．（），分析此式中n c 的解的情况，注意到321(1)(1)n n n n c c c c -=-++，210n n c c ++>，在0λ≤或1λ=时，（）只有一解1n c =，对应{}n a 只有一个， 在1λ>时，同样得出{}n a 只有一个，在01λ<<时，（）有三个解，一个在(0,1)上，一个是1，一个在(1,)+∞上，即有两个不小于1的解，设在(1,)+∞上的解为t ，则1n n S S +=或31n n S t S +=，这样对数列{}n S ，由其中任一项n S 求其后一项1n S +时都有两种个解，这样所得数列{}n S 会有无数个，从而得{}n a 有无数个．由此可得结论． 【详解】（1）∵等差数列{}n a 是“λ～1”数列，则11n n n S S a λ++-=，即11n n a a λ++=， 也即1(1)0n a λ+-=，此式对一切正整数n 均成立，若1λ≠，则10n a +=恒成立，∴320a a -=，而211a a -=-，这与{}n a 是等差数列矛盾，∴1λ=．（此时，任意首项为1的等差数列都是“1～1”数列） （2）∵数列*{}()n a n ∈N 是”数列，∵0n a >，∴10n n S S +>>1=，n b =，则1n b -=221(1)(1)(1)3n n n b b b -=->， 解得：2n b =2=，也即14n nS S +=，∴数列{}n S 是公比为4的等比数列， ∵111S a ==，∴14n n S -=．2n ≥时，12214434n n n n n n a S S ----=-=-=⨯，∴21(1),34(2).n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩（3）设各项非负的数列*{}()n a n ∈N 为“~3λ”数列， 则11133311n n n S S a λ++-== ∵0n a ≥，而11a =，∴10n n S S +≥>1=n c，则1 1)n n c c -=≥，即333(1)(1)( 1)n n n c c c λ-=-≥．（） ①若0λ≤或=1λ，则（）只有一解为=1n c ，即符合条件的数列{}n a 只有一个；（此数列为1，0，0，0，…）②若1λ>，则（）化为3232(1)(1)01n nnc c c λλ+-++=-， ∵1n c ≥，∴3232101n nc c λλ+++>-，则（）只有一解为=1n c ， 即符合条件的数列{}n a 只有一个；（此数列为1，0，0，0，…）③若01λ<<，则3232101nnc c λλ+++=-的两根分别在（0，1）与（1，+∞）内， 则方程（）有两个大于或等于1的解：其中一个为1，另一个大于1（记此解为t ）， ∴1n n S S +=或31n n S t S +=，由于数列{}n S 从任何一项求其后一项均有两种不同结果，努力的你，未来可期!精品 ∴这样的数列{}n S 有无数多个，则对应的{}n a 有无数多个； 综上：能存在三个各项非负的数列{}n a 为“~3λ”数列，λ的取值范围是01λ<<．【点睛】本题考查数列新定义，解题是把新定义进行转化，本题就是转化为已知11111k k k n n n S S a λ++-=求n a ，这样只要利用n S 与n a 的关系进行转化．考查了学生分析问题、解决问题的能力，转化与化归能力，本题属于难题．。
上海交通大学附属中学2014-2015学年上学期高三数学摸底考试卷
上海交通大学附属中学2014-2015学年高三上学期数学摸底考试卷（满分150分，120分钟完成，答案一律写在答题纸上）一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）1．函数的反函数________________．答案：解：∵，∴，由得，故2. 函数的最小值_________答案：3. 若，则的取值范围是___________答案：4．若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的最小值为．答案：-1解：因为对任意正实数，不等式恒成立，所以，因此5．同时满足（1）答案：156．集合，．若“a＝1”是“”的充分条件，则实数b的取值范围是．答案：解：“a＝1”是“”的充分条件的意思是说当时，，现在，，由得或，即或，所以的范围是. 7．已知，则．答案：解：由可得，所以8．方程有解，则________答案：9. 如果答案：10．函数图像的对称中心是．答案：解：因为函数为奇函数，对称中心是，因此函数图像的对称中心是.11.答案：12.答案：13. 关于函数必定是的整数倍；（2）的表达式可改写为；（4）____________答案：（2），（3）14.已知等比数列的首项为，公比为，其前项和记为，又设，的所有非空子集中的最小元素的和为，则的最小正整数为．答案:45解：由题意有，对于和，我们首先把中的元素按从小到大顺序排列，当时，，对于中的任一元素，比它大的有个，这个元素组成的集合的所有子集有个，把加进这些子集形成新的集合，每个都是以为最小元素的的子集，而最小元素为的的子集也只有这些，故在中出现次，所以，时，适合上式，时，．当，不成立，当时，，，由于，，，所以，最小的为．二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）15．下列说法正确的是（）A．命题“若，则”的否命题是“若，则”B．“”是“”的必要不充分条件C．命题“若，则”的逆否命题是真命题D．“”是“”的充分不必要条件答案：C解：中，否命题应该是“若，则”，错；中时，有，故至少是充分的，错；中“若，则”是真命题，因此其逆否命题也是真命题，选，而应该是必要不充分条件．16. 若是的最小值，则的取值范围为（）.(A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D)答案：D解：由于当时，在时取得最小值，由题意当时，应该是递减的，则，此时最小值为，因此，解得，选D．17.如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（）A ．和都是锐角三角形B ．和都是钝角三角形C ．是钝角三角形，是锐角三角形D ．是锐角三角形，是钝角三角形答案：D解： 是锐角三角形如果是锐角三角形，则，，，不可能成立；如果是直角三角形，不妨设，则，A 1=0不合题意；所以是钝角三角形。
2022届上海市交通大学附属中学高三上学期开学摸底考数学试题(word版)
①若 为锐角三角形，且满足 ，则
②在 的二项展开式中， 项的系数为
③函数 与函数 关于直线 对称
④设等差数列 前n项和为 ，若 ，则
⑤函数 的最小值为2
11.已知有限集 ，如果A中元素 满足： ，就称A为n元“均衡集”．若 是二元“均衡集”，则 的取值范围是__．
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在， .
（1）∵函数y＝f（x）满足f（3x）＝3f（x），
又∵当x∈[1，3]时，函数y＝f（x）的图象与x轴所围成的图形面积：
，
∴当x∈[31，32]时，函数y＝f（x）的图象与x轴所围成的图形面积：
，
当x∈[32，33]时，函数y＝f（x）的图象与x轴所围成的图形面积：
，…
当x∈[3n﹣1，3n]时，函数y＝f（x）的图象与x轴所围成的图形面积：
，
此时函数y＝f（x）的图象与x轴所围成的图形面积S＝S1+S2+S3+…+Sn﹣1＝ ；
（2）当 时， ， ，
由 可得，
当 时， 时取 ，
当 时， 时取 ，
当 ， 时取 ，
经计算可知 ，且 ，
所以当 时，函数 的最大值为：
【答案】（1） ；（2）不存在，理由见解析.
解：（1）数列 为“ 数列”，则 ，
所以 ，两式相减得： ，又 时， ，所以 ，
故 对任意的 恒成立，即 ，故数列 为等比数列，其通项公式为 ．
（2）假设存在这样的数列 ，则有 ，故有 ，
两式相减得， ，则又 ．
同理，由 是“ 数列”可得， ，
所以 对任意的 恒成立，
（1）设 ，将y表示成 的函数关系式，并指出 的范围；
上海市交大附中2024学年数学高三上期末调研试题含解析
上海市交大附中2024学年数学高三上期末调研试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π.正确命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||z z z+=（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+3．在一个数列中，如果*n N ∀∈，都有12n n n a a a k ++=（k 为常数），那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积.已知数列{}n a 是等积数列，且11a =，22a =，公积为8，则122020a a a ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．4711B ．4712C ．4713D ．47154．已知集合2{|23}A x y x x ==-++，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A ．AB A =B ．A B B ⋃=C ．()UA B =∅ D ．UB A ⊆5．在平面直角坐标系xOy 中，已知角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线2y x =上，则3sin 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．45 B ．45-C ．35D ．356．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5、0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（ ）A ．0.18B ．0.3C ．0.24D ．0.368．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也.合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形ABCD 为朱方，正方形BEFG 为青方”，则在五边形AGFID 内随机取一个点，此点取自朱方的概率为（ ）A ．1637B ．949C ．937D ．3119．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，5PA =E 为PC 的中点，则异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为（ ） A ．13 B 13 C ．15D 15 10．已知实数0a >，1a ≠，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12a <≤B ．5a <C ．35a <<D ．25a ≤≤11．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立.记()23m n +的最小值为(),F m n ，则(),F m n 的最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．21eD ．31e 12．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（ ）．A ．26B ．4C ．23D ．22二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2015-2016年上海市交大附中高三下开学考
上海交大附中高三开学摸底考数学试卷2016.02一. 填空题1. 设集合{|||4}A x x =<，2{|430}B x x x =-+>，则集合{|x x A ∈且()}x A B ∉=； 2. 若10112z ii-=+，则复数z =；3. 函数22()log (1)f x x =+(0)x <的反函数1()f x -=；4. 2222lim (1)n n nn C C n -→∞+=+； 5. 设12322()log (1)2x e x f x x x -⎧<=⎨-≥⎩，则不等式()2f x >的解集为； 6. 已知平面向量α、β，||2α=，||3β=，α、β的夹角为60°，则|2|αβ-=； 7. 已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为；（结果保留π）8. 以双曲线221416x y -=的右焦点为圆心，且被其渐近线截得的弦长为6的圆的方程是； 9. 设抛物线24x y =的焦点为F ，经过点(1,4)P 的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，且点P 恰为AB 的中点，则||||AF BF +=；10. 某中学在高一年级开设了4门选修课，每名学生必须参加这4门选修课中的一门，对于该年级的甲乙2名学生，这2名学生选择的选修课相同的概率是； 11. 各项为正数的无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1l i m1nn n S S →∞+=，则其公比q 的取值 范围是；12. 已知实数x 、y 满足222log (23)1log log x y x y ++=++，则xy 的最小值是；13. 已知函数()||f x x x =，当[,1]x a a ∈+时，不等式(2)4()f x a f x +>恒成立，则实数a 的取值范围是；14.（理）对任意x R ∈，函数1(1)2f x +=，设2[()]()n a f n f n =-（*n N ∈），数列{}n a 的前15项的和为3116-，则(15)f =； （文）已知数列{}n a 满足1(22()nn n n n a a a a n a +⎧⎪=⎨⎪-⎩为偶数)为奇数，若31a =，则1a 的所有可能的取值为；二. 选择题 15.在24上的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有（） A.3项 B.4项C.5项D. 6项16. 已知a 、b 为实数，命题甲：2ab b >，命题乙：110b a<<，则甲是乙的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件17. △ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且20OA AB AC ++=，||||OA AB =，则CA CB ⋅等于（）A.3218.（理）下列命题：①函数3sin(25)y x θ=+的图像关于y 轴对称的充要条件是2510k ππθ=+，k Z ∈； ②已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若75S S >，则93S S >； ③函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-的图像关于直线1x =对称；④对于任意两条异面直线，都存在无穷多个平面与这两条异面直线所成的角相等； 其中正确的命题有（）A.1个B.2个C.3个D.4个（文）设()f x 和()g x 是定义在同一个区间[,]a b 上的两个函数，若对于任意的[,]x a b ∈， 都有|()()|1f x g x -≤，则称()f x 与()g x 是在[,]a b 上的“密切函数”，[,]a b 称为“密 切区间”，设2()34f x x x =-+与()23g x x =-是在[,]a b 上的“密切函数”，则它的密切 区间可以是（）A.[1,4]B.[2,3]C.[3,4]D.[2,4]三. 解答题19. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等比数列，且3cos 4B =； （1）求cot cot AC +的值；（2）设32BA BC ⋅=，求a c +的值；20.（文）如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是0.85米，底面的边长是1.5米；（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积； （2）制造这个水塔的侧面需要多少平方米钢板？ （结果精确到0.01米）（理）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ︒∠=，4AB BC ==，13BB =，M 、N 分别是11B C 和AC 的中点；（1）求异面直线1AB 与1C N 所成的角； （2）求三棱锥1M C CN -的体积；21. 已知函数()||()f x x x a =-，a 为实数；（1）讨论()f x 在R 上的奇偶性；（只要写出结论，不需要证明） （2）当0a ≤时，求函数()f x 的单调区间；（3）当2a ≤-时，求函数()y f x =在1[1,]2-上的最大值；22.（1）若动点P 到定点F 的距离与到定直线:l x = 证：动点P 的轨迹是椭圆；（2）设（1）中的椭圆短轴的上顶点为A ，试找出一个以点A 为直角顶点的等腰直角三角 形ABC ，并使得B 、C 两点也在椭圆上，并求出△ABC 的面积；（3）对于椭圆2221x y a+=（常数1a >），设椭圆短轴的上顶点为A ，试问：以点A 为直角顶点，且B 、C 两点也在椭圆上的等腰直角三角形ABC 有几个？23.（理）已知数列{}n a *()n N ∈的前n 项和为n S ，数列{}n S n 是首项为0，公差为12的等 差数列；（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设4(2)15n a n b =⋅-*()n N ∈，对任意的正整数k ，将集合21221{,,}k k k b b b -+中的三个元 素排成一个递增的等差数列，其公差为k d ，求证：数列{}k d 为等比数列； （3）对（2）中的k d ，求集合1{|,}k k x d x d x Z +<<∈的元素个数；（文）已知数列{}n a *()n N ∈的前n 项和为n S ，数列{}n S n 是首项为0，公差为12的等 差数列；（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设4(2)15n a n b =⋅-*()n N ∈，对任意的正整数k ，将集合21221{,,}k k k b b b -+中的三个元 素排成一个递增的等差数列，其公差为k d ，求k d ；（3）对（2）中的k d ，设1(1,5)A d ，2(2,5)B d ，动点M 、N 满足MN AB =，点N 的 轨迹是函数()y g x =的图像，其中()g x 是以3为周期的周期函数，且当(0,3]x ∈时，()lg g x x =，动点M 的轨迹是函数()f x 的图像，求()f x ；上海交大附中高三开学摸底考数学试卷参考答案2016.02一. 填空题1. (4,4)A =-，(,1)(3,)B =-∞+∞，∴答案[1,3]；2. (12)(1)z i i +=-，∴1131255i z i i -==--+； 3. 221y x =-，∵0x <，∴1()f x -=(0)x >；4. 22222233lim lim (1)(1)2n n n n n n C C C n n -→∞→∞+==++； 5. 分类讨论，解集为(1,2)(10,)+∞；6. 2|2|1691213αβ-=+-=，∴|2|13αβ-=7. 底面半径为3，高为4，12V π=；8. 圆心为，圆心到渐近线距离为4，∴半径为5，∴22(25x y -+=； 9. 12||||42210AF BF y y p +=++=⨯+=； 10. 41444P ==⨯； 11. 分类讨论，1q =符合，1q ≠时，111lim lim 11nn n n n n S q S q +→∞→∞+-==-，01q <<，∴(0,1]q ∈；12. 2323x y xy ++=≥3， 4.5xy ≥，即最小值为4.5； 13. 22x a x +>，2x a <恒成立，即12a a +<，∴1a >14.（理）根据已知条件得221()(1)()(1)4f x f x f x f x ++=+++，∴1215...a a a +++= 2731(15)(15)416f f --=-，解得3(15)4f =； （文）31a =，∴22a =或5，∴14a =或7或10；二. 选择题 15. 15112243622424()()rrrrr C x x C x---=，0,6,12,18,24r =，选C ；16. 选B ；17. 根据题意，1AB =，AC =2BC =，∴3CA CB ⋅=，选C ； 18.（理）②④正确，选B ；（文）2|()()|571f x g x x x -=-+≤，解得[2,3]x ∈，选B ；三. 解答题 19.（1）cos cos sin 1sin sin sin sin sin A C B A C A C B +===；（2）2ac =，223cos 24a c ac B ac +-==，∴3a c +=；20.（文）（1）2311511.50.853380V Sh m ==⨯⨯=；（2）2144 1.5 3.402S S m ∆==⨯⨯≈（理）（1）取11AC 中点E ，连AE 、1B E ，sin θ=θ=或（2）111132233M C CN N C CM V V Sh --===⨯⨯=；21.（1）0a =时，奇函数；0a ≠时，非奇非偶函数；（2）0a =时，()f x 递增；0a <时，在(,)2a-∞和(0,)+∞上递增，在(,0)2a 上递减； （3）结合单调性可知1()2f 或(1)f -最大，分类讨论；当5(,]2a ∈-∞-，max ()f x =(1)1f a -=--；当5(,2]2a ∈--，max 11()()242af x f ==-；22.（1）椭圆第二定义，证明略；（2）椭圆方程2219x y +=，(0,1)A ，设:1AB y kx =+，∴2221891(,)9191k k B k k --+++，根据题意，1B C y x -=，即22291181919k k k k -+-=++，解得1k =或4k =1k =，8125S =；4k =2211881(29140S k ==+；∴8125S =或8140； （3）椭圆方程2221x y a +=，(0,1)A ，设:1AB y kx =+，∴222222221(,)11a k a k B a k a k --+++，同 理，1B C y x -=，即22222221211a k a k a k a k-+-=++，解得1k =或22(1)10k a k +-+=；当22(1)40a ∆=-->时，即)a ∈+∞时，k 有三解，即这样的三角形有3个；当0∆≤时，即(1a ∈时，k 只有一解，即这样的三角形有1个； 23.（理）（1）1122n S n n =-，21122n S n n =-，1n a n =-； （2）45kk d =，为等比数列；（3）分奇偶找规律，k 为奇数，2169k k e e +=-；k 为偶数，2169k k e e +=+；待定系数法求出两种情况下的通项公式，综合为13[4(1)]5kk k e +=+-；（文）（1）1n a n =-；（2）45kk d =；（3）()lg(3)g x x k =-，(3,33]x k k ∈+；()lg(31)12f x x k =-+-，(31,32]x k k ∈-+；。
(交大附中)2021-2022学年上海新高三入学摸底英语测试卷十一(学生版)
2021-2022学年上海新高三入学摸底英语测试卷十一（模拟交大附中入学摸底卷）第I卷（选择题）一、完形填空（每小题1分，共20分）Mark is leaving, and I’m feeling kind of sad. He’s been the heart and soul of the office for a couple of years, 1 good professional skills with a sweet and 2 personality.And now he’s moving on to an exciting new professional 3 . It sounds like it could be the chance of a lifetime, and we’re 4 pleased for him. But that doesn’t make it any 5 to say goodbye to a dear friend and trusted 6 .Life has a way of throwing these curve (曲线) balls 7 us. Just when we start to get8 with a person, a place or a situation, something comes along to change the recipe.Our ability to cope with 9 determines happiness in life. But how do we do that? Afri end of mine reminds us that “survivability depends upon 10 .” And then there’s Chris the California surfer, who once told me that the answer to life’s problems can be summed up in four words: “Go with the flow.”I think life is a series of 11 - both good and bad. No matter how excellent your organizational skills, there will always be life-influencing factors over which you have no12 . The truly successful person is prepared to 13 adjustments should the need arise.That doesn’t mean you don’t keep trying to make all your 14 come true. It just means when things come up that aren’t 15 in your plan, you work around them - and then you move on.“Change, indeed, is painful, 16 ever needful.” said philosopher Thomas Carlyle. “And if memory has its force and worth, so has hope.” We’re going to 17 Mark. But rather than stay on the 18 of our parting, we’ll focus on our hopes for a brighter future - for him, and for us. And then we’ll go out and 19 everything we can to make that future happen 20 our plans change again.1．A．associating B．comparing C．combining D．replacing 2．A．fragile B．gentle C．special D．split 3．A．separation B．destination C．expectation D．opportunity4．A．sincerely B．ridiculously C．absolutely D．secretly 5．A．nobler B．ruder C．easier D．fairer 6．A．colleague B．roommate C．teacher D．leader7．A．on B．with C．in D．at 8．A．autonomous B．sunburnt C．comfortable D．dynamic 9．A．change B．challenge C．choice D．chance 10．A．adaptability B．confidence C．accommodation D．competence 11．A．accidents B．barriers C．events D．records 12．A．control B．access C．advantage D．priority 13．A．take B．make C．get D．have 14．A．decisions B．promises C．dreams D．solutions 15．A．mostly B．accidentally C．eventually D．exactly 16．A．yet B．also C．even D．still 17．A．assist B．accompany C．miss D．forgive 18．A．complaint B．attention C．sadness D．sympathy 19．A．do B．demand C．face D．seize20．A．if B．until C．when D．after第II卷（非选择题）二、选用适当的单词或短语补全短文（每小题2分，共10分）根据句意，选择单词或短语并以其适当形式填空。
2015届上海高三第一学期开学摸底考试化学试卷
2014学年第一学期高三开学摸底考试化学试卷（考试时间120分钟，试卷满分150分）相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Na-23 Cu-64 Sn-119一、选择题（每题只有1个选项符合题意。
每小题2分，满分10分。
） 1．下列说法正确的是A ．质子数相同的粒子其化学性质相同B ．1s 、2s 、3s 、4s 原子能级不同，电子云轮廓图形状相同C ．轨道表示式，是对原子核外电子运动状态最完美的描述D ．所有元素原子的最外层电子数都等于该元素的最高化合价 2．长期放置的浓硝酸常显黄色，消除其中的黄色最好的方法是A ．在光亮处放置B ．加入足量水C ．通入适量的空气D ．加入漂白粉 3．下列叙述中，正确的是A ．在船舶的外壳装上铜块可防止其发生电化学腐蚀B ．FeCl 3溶液和Fe 2(SO 4)3溶液加热蒸干、灼烧都得到Fe 2O 3C ．电解法精炼粗铜，用纯铜作阴极；在镀件上电镀锌，用锌作阳极D ．用惰性电极分别电解CuCl 2溶液和MgCl 2溶液分别得到单质Cu 和Mg4．已知ZnO(s)+ H 2SO 4(aq)→ZnSO 4(aq)+ H 2O(g)＋Q kJ(Q ＞0，其中“aq ”表示“溶液”)，关于该反应的叙述错误的是A ．该反应的化学能可以直接转化为电能B ．反应物的总能量高于生成物的总能量C ．该反应的Q 值与实际反应中反应物用量无关D ．若其它条件不变，上述反应生成液态水时，放出的反应热将大于Q kJ5．Na 2O 2是一种淡黄色固体，常用作潜水艇的供氧剂。
下列关于Na 2O 2的描述正确的是 A ．Na 2O 2晶体中阴阳离子个数之比为1:1 B ．Na 2O 2晶体中既有离子键又有非极性共价键 C ．Na 2O 2在空气中加热可以得到更稳定的Na 2O D ．Na 2O 2长期露置于空气中最终转变成NaOH二、选择题（每题只有1个选项符合题意。
每小题3分，满分36分。
【VIP专享】上海市交大附中2015届高三上学期摸底考试数学试题 Word版含答案
上海交通大学附属中学2014-2015学年度一学期高三数学摸底考试卷（满分150分，120分钟完成，答案一律写在答题纸上）一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）1．函数的反函数________________．答案：解：∵，∴，由得，故2. 函数的最小值_________答案：3. 若，则的取值范围是___________答案：4．若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的最小值为．答案：-1解：因为对任意正实数，不等式恒成立，所以，因此5．同时满足（1）答案：156．集合，．若“a＝1”是“”的充分条件，则实数b的取值范围是．答案：解：“a＝1”是“”的充分条件的意思是说当时，，现在，，由得或，即或，所以的范围是.7．已知，则．答案：解：由可得，所以8．方程有解，则________答案：9. 如果答案：10．函数图像的对称中心是．答案：解：因为函数为奇函数，对称中心是，因此函数图像的对称中心是.11.答案：12.答案：13. 关于函数必定是的整数倍；（2）的表达式可改写为；（4）____________答案：（2），（3）14.已知等比数列的首项为，公比为，其前项和记为，又设，的所有非空子集中的最小元素的和为，则的最小正整数为．答案:45解：由题意有，对于和，我们首先把中的元素按从小到大顺序排列，当时，，对于中的任一元素，比它大的有个，这个元素组成的集合的所有子集有个，把加进这些子集形成新的集合，每个都是以为最小元素的的子集，而最小元素为的的子集也只有这些，故在中出现次，所以，时，适合上式，时，．当，不成立，当时，，，由于，，，所以，最小的为．二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）15．下列说法正确的是（）A．命题“若，则”的否命题是“若，则”B．“”是“”的必要不充分条件C．命题“若，则”的逆否命题是真命题D．“”是“”的充分不必要条件答案：C解：中，否命题应该是“若，则”，错；中时，有，故至少是充分的，错；中“若，则”是真命题，因此其逆否命题也是真命题，选，而应该是必要不充分条件．16. 若是的最小值，则的取值范围为（）.(A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D)答案：D解：由于当时，在时取得最小值，由题意当时，应该是递减的，则，此时最小值为，因此，解得，选D．17.如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（）A ．和都是锐角三角形B ．和都是钝角三角形C ．是钝角三角形，是锐角三角形D ．是锐角三角形，是钝角三角形答案：D解： 是锐角三角形如果是锐角三角形，则，，，不可能成立；如果是直角三角形，不妨设，则，A 1=0不合题意；所以是钝角三角形。
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上海交通大学附属中学2014-2015学年度第一学期
高三数学开学摸底考试卷
（满分150分，120分钟完成）
一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）
1．函数的反函数________________．
2. 函数的最小值_________
3. 若，则的取值范围是___________
4．若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的最小值为．
5．同时满足（1）
6．集合，．若“a＝1”是“”的充分条件，则实数b的取值范围是．
7．已知，则．
8．方程有解，则________
9. 如果
10．函数图像的对称中心是．
11.
12.
13. 关于函数必定是
的整数倍；（2）的表达式可改写为；
（4）
____________
14.已知等比数列的首项为，公比为，其前项和记为，又设
，的所有非空子集中的最小元素的和为，则的最小正整数为．二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）
15．下列说法正确的是（）
A．命题“若，则”的否命题是“若，则”
B．“”是“”的必要不充分条件
C．命题“若，则”的逆否命题是真命题
D．“”是“”的充分不必要条件
16. 若是的最小值，则的取值范围为（）.
(A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D)
17. 如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（）
A ．和都是锐角三角形
B ．和都是钝角三角形
C ．是钝角三角形，是锐角三角形
D ．是锐角三角形，是钝角三角形
18. 定义一种新运算：，已知函数，若函数
恰有两个零点，则的取值范围为（）.
A.(1,2]
B.．
C.
D.
三、解答题(本大题共5题，满分74分12’+14’+14’+16’+18’=74’)
19. 解关于x的不等式：
20．在中，角所对的边分别为，已知，（1）求的大小；
（2）若，求的取值范围.
21．数列的首项,
(1) 求数列的通项公式；
(2) 设的前项和为,若的最小值为，求的取值范围？
22．阅读：
已知、，，求的最小值.
解法如下：，
当且仅当，即时取到等号，
则的最小值为.
应用上述解法，求解下列问题：
（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；
（3）已知正数、、，，
求证：.
23．已知函数满足2+，对x≠0恒成立，在数列{a n}、{b n}中，a1=1，b1=1，对任意x∈N+，，。
（1）求函数解析式；
（2）求数列{a n}、{b n}的通项公式；
（3）若对任意实数,总存在自然数k,当n≥k时,恒成立，求k的最小值。