简单多面体外接球的课件
多面体的外接球和内切球(解析版)
多面体的外接球和内切球一、结论1、球与多面体的接、切定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。
定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。
球的内切问题(等体积法)例如：在四棱锥P -ABCD 中，内切球为球O ，求球半径r .方法如下：V P -ABCD =V O -ABCD +V O -PBC +V O -PCD +V O -PAD +V O -PAB即：V P -ABCD =13S ABCD ⋅r +13S PBC ⋅r +13S PCD ⋅r +13S PAD ⋅r +13S PAB ⋅r ，可求出r .球的外接问题1.公式法正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点2.补形法(补长方体或正方体)①墙角模型(三条线两个垂直)题设：三条棱两两垂直(重点考察三视图)②对棱相等模型(补形为长方体)题设：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径(AB =CD ，AD =BC ，AC =BD )3.单面定球心法(定+算)步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥P-ABC中，选中底面ΔABC，确定其外接圆圆心O1(正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2r=asin A)；②过外心O1做(找)底面ΔABC的垂线，如图中PO1⊥面ABC,则球心一定在直线(注意不一定在线段PO1上)PO1上；③计算求半径R:在直线PO1上任取一点O如图：则OP=OA=R，利用公式OA2=O1A2+OO12可计算出球半径R.4.双面定球心法(两次单面定球心)如图：在三棱锥P-ABC中：①选定底面ΔABC，定ΔABC外接圆圆心O1②选定面ΔPAB，定ΔPAB外接圆圆心O2③分别过O1做面ABC的垂线，和O2做面PAB的垂线，两垂线交点即为外接球球心O.二、典型例题1(2023春·湖南湘潭·高二统考期末)棱长为1的正方体的外接球的表面积为()A.3π4B.3πC.12πD.16π【答案】B【详解】解：易知，正方体的体对角线是其外接球的直径，设外接球的半径为R，则2R=12+12+12=3，故R=3 2．所以S=4πR2=4π×322=3π．故选：B．【反思】本例属于正方体外接球问题，其外接球半径公式可直接记忆.2(2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)在四面体PABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，∠BAC= 120°，AB=AC=AP=2，则该四面体的外接球的表面积为()A.12πB.16πC.18πD.20π【答案】D【详解】因为PA⊥AB，PA⊥AC，AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABC,所以PA⊥平面ABC.设底面△ABC的外心为G，外接球的球心为O，则OG⊥平面ABC，所以PA⎳OG.设D为PA的中点，因为OP=OA，所以DO⊥PA.因为PA⊥平面ABC，AG⊂平面ABC,所以PA⊥AG，所以OD⎳AG.因此四边形ODAG为平行四边形，所以OG=AD=12PA=1.因为∠BAC=120°，AB=AC=2，所以BC=AB2+AC2-2AB⋅AC cos∠BAC=4+4-2×2×2×-1 2=23,由正弦定理，得2AG=2332=4⇒AG=2.所以该外接球的半径R满足R2=OG2+AG2=5,故该外接球的表面积为S=4πR2=20π.故选:D.【反思】本例属于单面定球心问题①用正弦定理求出ΔABC外心G；②过G做平面ABC的垂线，则外接球球心O在此垂线上；③通过计算算出半径.3(2023秋·湖南娄底·高三校联考期末)《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图P-ABCD 是阳马，PA⊥平面ABCD，PA=5，AB=3，BC=4．则该阳马的外接球的表面积为()A.1252π3B.50π C.100π D.500π3【答案】B【详解】因PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，则PA⊥AB，PA⊥AD，又因四边形ABCD为矩形，则AB⊥AD.则阳马的外接球与以PA，AB，AD为长宽高的长方体的外接球相同.又PA=5，AB=3，AD=BC=4．则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半径为：R=PA 2+AB 2+AD 22=32+42+522=522，则外接球的表面积为：S =4πR 2=4π⋅504=50π.故选：B【反思】本例属于墙角型模型，通过补形，将原图形补成长方体模型，借助长方体模型求外接球半径.4(2023·全国·高三专题练习)已知菱形ABCD 的各边长为2,∠D =60°．如图所示，将ΔACD 沿AC 折起，使得点D 到达点S 的位置，连接SB ，得到三棱锥S -ABC ，此时SB =3．E 是线段SA 的中点，点F 在三棱锥S -ABC 的外接球上运动，且始终保持EF ⊥AC ，则点F 的轨迹的周长为()A.233π B.433π C.533π D.2213π【答案】C【详解】取AC 中点M ，则AC ⊥BM ,AC ⊥SM ,BM ∩SM =M ，∴AC ⊥平面SMB ，SM =MB =3，又SB =3，∴∠SBM =∠MSB =30°，作EH ⊥AC 于H ，设点F 轨迹所在平面为α，则平面α经过点H 且AC ⊥α，设三棱锥S -ABC 外接球的球心为O ,△SAC ,△BAC 的中心分别为O 1,O 2，易知OO 1⊥平面SAC ,OO 2⊥平面BAC ，且O ,O 1,O 2,M 四点共面，由题可得∠OMO 1=12∠O 1MO 2=60°，O 1M =13SM =33，解Rt △OO 1M ，得OO 1=3O 1M =1，又O 1S =23SM =233，则三棱锥S -ABC 外接球半径r =OO 21+O 1S 2=73，易知O 到平面α的距离d =MH =12，故平面α截外接球所得截面圆的半径为r 1=r 2-d 2=73-14=536，∴截面圆的周长为l =2πr 1=533π，即点F 轨迹的周长为533π．故选：C 【反思】此题典型的双面定球心。
球专题几何体的外接球与内切球问题(教学课件)——高中数学人教A版(2019)必修第二册
请同学回顾球的表面积与体积公式
(1)设球的半径为 R,则球的表面积 S=4πR 2 .
(2)设球的半径为 R,则球的体积 V= πR 3 .
例题解析
1
球的截面问题
用一个平面去截球，截面一定是圆面.
截面过球心，圆为球的大圆(如地球仪上
的赤道圈)；截面不过球心，圆为球的小
圆
例题解析
所以球的表面积
为2，求球的表面积.
解：如图所示，作出轴截面，因为ΔABC为正三角形，
练习巩固
练习巩固
练习3:已知OA为球O的半径,过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面
得到圆M.若圆M的面积为3π,则球O的表面积等于
解析:由题意得圆 M 的半径 r=
由勾股定理得 R2=r2+
答案:16π
,解得
,又球心到圆
1
球的截面问题
练习巩固
1
球的截面问题
练习： 过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离是球
半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球的表面积是多少？
课堂探究
2
球与几何体外接、内切问题
解决与球有关的外接、内切问题的关键
1、确定球心位置
重
要！
2、构造直角三角形，确定球的半径
球与多面体
1、多面体外接球：多面体顶点均在球面上；球心到各顶点距离为R
2、多面体内切球：多面体各面均与球面相切；球心到各面距离为R
球与旋转体
旋转体的外接球与内切球：球心都在旋转轴上
球与旋转体
①长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；
②正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点.
例题解析
2
几何体外接球和内接球半径几种求法课件
目录
CONTENTS
• 几何体外接球和内接球的基本概念 • 几何体外接球的求法 • 几何体内接球的求法 • 几何体外接球和内接球的典型例题解析 • 几何体外接球和内接球的注意事项
01
CHAPTER
几何体外接球和内接球的基 本概念
定义与性质
外接球
对于一个多面体，外接球是指包 含该多面体的所有顶点的球体。
单位要统一
在计算过程中，所有的长度单位必须 统一，否则会导致计算错误。
精度问题
在计算过程中，需要注意精度问题， 以避免舍入误差导致的结果偏差。可 以使用高精度的数学库或工具进行计 算，以确保结果的准确性。
THANKS
谢谢
详细描述
首先，设长方体的三个边分别为a、b、c，然后利用勾股定理 计算其对角线的长度。这个对角线的长度就是外接球的直径 ，因此，通过除以2即可得到外接球的半径。
利用向量求外接球半径
总结词
利用向量求外接球半径是一种基于向量的方法。通过向量的运算和性质，结合几 何体的特征，可以求出外接球的半径。
详细描述
几何体外接球和内接球的半径公式
对于正四面体，外接球的半径 $R = frac{sqrt{6}}{4}a$，其中 $a$ 是正四面体的边长；内接球
的半径 $r = frac{sqrt{6}}{12}a$。
对于正六面体，外接球的半径 $R = frac{sqrt{3}}{2}a$，其中 $a$ 是正六面体的边长；内接球 的半径 $r = frac{a}{2sqrt{3}}$
05
CHAPTER
几何体外接球和内接球的注 意事项
确定几何体的外心和内心
确定外心
外心是外接圆的圆心，也是三条垂直平分线 的交点。对于三角形，外心是三条垂直平分 线的交点；对于矩形，外心是两条对角线中 点连线的交点；对于正四面体，外心是三条 高线与底面交点的连线的交点。
课件高中数学必修外接球问题常见解法PPT课件_优秀版
C
求该三棱锥外接球的表面积.
球的体积公式：
1
球的截面圆圆心与球心的位置特点
球的D表面积公式：
R
2
O R= 6
R
2
B
P
D
2
2
方法介绍 法三： 向量法
z A（0,0,2）
P （0,0,0） B （1,0,0）
设外接球的球心坐标为：O(x,y,z)
由 | OP || OA || OB || OC |可得：
2、过底面的外心作底面的垂线；
由
可得：
球的截面圆圆心与球心的位置特点
3、外接球的球心必在该垂线上，
利用轴截面计算出球心的位置。 练习2 、 如图，在四面体ABCD中，
练三习棱3锥、的如外图接，球已半知径三的棱常锥见P解-AAB法C中: ，PA⊥底面ABC，PA=AB=AC=2，∠BAC=120。
求该三棱锥外接球的表面积.
练习巩固
练习1 已知三棱锥的各条棱长均为1，求其外 接球的表面积.
D
法一：补形法
法二：构造直角三角形法
法三：向量法
A
C
B
练习巩固
练习2 、 如图，在四面体ABCD中，
AB DC 10 ，AD BC 5,BD AC 13 ，
求其外接球的表面积.
A 5D
10
10
13 13
C
A
5
D
10
10
外接球半径等于长方体的体对角线的一半 球的截面圆圆心与球心的位置特点
注意：图中三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球。
2、构造直角三角形法 求该三棱锥外接球的表面积.
注意：图中三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球。 关键是求出外接球的半径R
高三二轮专题多面体的外接球(三)课件(19张ppt)
D
F
x2
•O
C
r
E4 B
高三二轮专题多面体的外接球（三） 课件(19 张ppt)
01
找多面体外接球心的基本方法
是什么？
• O •O2
外心投影法
•O1
02
找多面体外接球心的本质方法
是什么？
找一点，这点到几何体的各个顶点的距离相等。 （球心到球面上的点距离相等）
高三二轮专题多面体的外接球（三） 课件(19 张ppt)
三角形,其中 SA=1，AB=1.则球 O 的表面积为
.
3、【衡水模拟三 16 题】已知三棱锥 P-ABC 中，每个面都是两条边长为 2 5 ，一条边长为 2 2
的三角形，则其外接球半径为____________
高三二轮专题多面体的外接球（三） 课件(19 张ppt)
高三二轮专题多面体的外接球（三） 课件(19 张ppt)
少？
高三二轮专题多面体的外接球（三） 课件(19 张ppt)
高三二轮专题多面体的外接球（三） 课件(19 张ppt)
例 1 【2017 哈三中一模 11 题】已知四棱锥 P ABCD 的底面为矩形，△ PBC 为等边三角 形，平面 PBC ⊥平面 ABCD , AB 6 ，BC 3 ，则四棱锥 P ABCD 外接球半径是多
形，平面 PBC ⊥平面 ABCD , AB 6 ，BC 3 ，则四棱锥 P ABCD 外接球半径是多
少？
高三二轮专题多面体的外接球（三） 课件(19 张ppt)
例 1 【2017 哈三中一模 11 题】已知四棱锥 P ABCD 的底面为矩形，△ PBC 为等边三角 形，平面 PBC ⊥平面 ABCD , AB 6 ，BC 3 ，则四棱锥 P ABCD 外接球半径是多
简单多面体的外接球问题 解析版共37页
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
简单多面体的外接球问题 解析版
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
外接球、内切球模型总结专题课件-高三数学二轮复习备考课件
把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球
其直径为 =
=
1
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2
2
=
1
2 + 2 + 2 =
2
1
2 + 2 + 2
半径为
6
2
4
球 = ×
找三条两两垂直的线段，直接用公式 2
即2 = 2 + 2 + 2 ，求出
2
= 2 + 2 + 2 ，
例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的
表面积是( C )
B. 20
A.16
C. 24
D. 32
= 2 ℎ = 16
则该四面体的外接球的表面积为( D )
A. 11
B. 7
1
C.
10
3
D.
40
3
在
��
2 = 2 + 2 − 2 ⋅ ⋅ cos120∘
=7
= 7
中
的外接球直径为
7 2 7
=
2 =
=
sin∠
3
3
2
∵ ⊥平面 ∴ ⊥ ∴ ∆是直角三角形
是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.
专题12 多面体的外接球和内切球
专题12 多面体的外接球和内切球一、结论1．球与多面体的接、切定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。
定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。
类型一 球的内切问题（等体积法）例如：在四棱锥P ABCD −中，内切球为球O ，求球半径r .方法如下：P ABCD O ABCD O PBC O PCD O PAD O PAB V V V V V V −−−−−−=++++即：1111133333P ABCD ABCD PBC PCD PAD PAB V S r S r S r S r S r −=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅，可求出r .类型二 球的外接问题 1、公式法正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点 2、补形法（补长方体或正方体） ①墙角模型（三条线两个垂直）题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）②对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CD AB =，BC AD =，BD AC =） 3、单面定球心法（定+算）步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥P ABC −中，选中底面ABC ∆，确定其外接圆圆心1O （正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2sin ar A=）； 图2图3②过外心1O 做（找）底面ABC ∆的垂线，如图中1PO ⊥面ABC ,则球心一定在直线（注意不一定在线段1PO 上）1PO 上；③计算求半径R :在直线1PO 上任取一点O 如图：则OP OA R ==，利用公式22211OA O A OO =+可计算出球半径R .4、双面定球心法（两次单面定球心） 如图：在三棱锥P ABC −中：①选定底面ABC ∆，定ABC ∆外接圆圆心1O ②选定面PAB ∆，定PAB ∆外接圆圆心2O③分别过1O 做面ABC 的垂线，和2O 做面PAB 的垂线，两垂线交点即为外接球球心O .二、典型例题1．（2022·山西吕梁·一模（文））在《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，1AB BC CD ===，BC CD ⊥，则鳖臑ABCD 内切球的表面积为（ ） A ．3π B．(3π− C ．12π D．(3π+【答案】B 【解析】解：因为四面体ABCD 四个面都为直角三角形，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，所以AB BD ⊥，AB BC ⊥，BC CD ⊥，AC CD ⊥，设四面体ABCD 内切球的球心为O ，则()13ABCD O ABC O ABD O ACD O BCD ABC ABD ACD BCD V V V V V r S S S S −−−−=+++=+++△△△△内，所以3ABCDVr S =内， 因为四面体ABCD的表面积为1ABCD ABC ABD ACD BCD S S S S S =+++=△△△△又因为四面体ABCD 的体积16ABCD V =，所以312V r S ==内，所以24(3S r ππ==−球， 故选：B【反思】本例中涉及到求内切球问题，典型的等体积法.2．（2021·四川省南充高级中学高二期中（文））在三棱锥P －ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，1PA =，2PB =，3PC =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．494π B ．56πC D ．14π【答案】D【解析】将三棱锥P －ABC 补全为长方体，则长方体的外接球就是所求的外接球，设球半径为R ，则()222224214R R PA PB PC ==++=，所以球的表面积为2414S R ππ==．故选：D ．【反思】由题意PA ，PB ，PC 两两垂直，可直接用补形法，补成长方体，利用长方体求外接球.3．（2021·全国·高一课时练习）已知三棱锥P ABC −，在底面ABC 中，30A =，1BC =，PA ⊥面ABC ，PA = ）A ．163πB ．C ．323πD ．16π【答案】D 【解析】设ABC 的外接圆半径为R ，因为30A =，1BC =，由正弦定理得：122sin sin 30BC R A ===︒，所以ABC 的外接圆半径为1，设ABC 的外接圆圆心为D ，过点D 做PA 的平行线，则球心一定在该直线上，设为O ，因为PA ⊥面ABC ，PA =由于OP OA R ==，故12OD PA =2OA =，即此三棱锥的外接球的半径为2，故外接球表面积为24π216π⨯=.故选：D【反思】此题典型的单面定球心求外接球的问题，先确定ABC 的外接圆圆心D ，再过D 做PA 的平行线，则可确定球心O 在该直线上，进而通过计算求出外接球半径R . 4.三棱锥ABC P −中，平面PAB ⊥平面ABC ，PAB ∆和ABC ∆均为边长为2的正三角形，则三棱锥ABC P −外接球的半径为 .【解析】:由于ABC ∆是正三角形，并且边长为2，所以ABC ∆的外接圆圆心为1O ,则1HO =,1O C =同理可得PAB ∆的外接圆圆心为2O，可得到23HO =，23O P =,分别过1O 做面ABC 的垂线，过2O 做面PAB 的垂线交于O ，因为平面PAB ⊥平面ABC ，所以四边形12HO OO 为正方形，且OC R =,利用勾股定理：2222221153OC OO OC R =+⇒=+=，所以R =【反思】此题典型的双面定球心，由于选定的面ABC ∆，PAB ∆都是正三角形，故其外心都是中心，如果是普通三角形，可以采用正弦定理定外心.三、针对训练 举一反三一、单选题1．（2021·湖北黄冈·高一期末）若圆锥的内切球(球面与圆锥的侧面以及底面都相切)的半径为1，当该圆锥体积是球体积两倍时，该圆锥的高为（ ） A ．2 B ．4CD．2．（2021·青海·海南藏族自治州高级中学高三开学考试（理））如图正四棱柱1111ABCD A B C D −中，底面面积为36，11A BC V 的面积为111B A B C −的外接球的表面积为（ ）A ．68πB ．C ．172πD ．3．（2022·全国·高三专题练习）已知四面体P ABC −中，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，BC 3tan 2ABC ∠=，则四面体P ABC −的外接球的表面积为（ ） A ．15πB ．17πC ．18πD ．20π4．（2021·江苏·金陵中学高一期末）前一段时间，高一年级的同学们参加了几何模型的制作比赛，大家的作品在展览中获得了一致好评．其中一位同学的作品是在球当中放置了一个圆锥，于是就产生了这样一个有趣的问题：已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O 面上，若圆锥的侧面展开图的圆心角为23π，面积为3π，则球O 的表面积等于（ ） A ．818πB ．812πC ．1218πD ．1212π5．（2021·云南·弥勒市一中高二阶段练习）设直三棱柱111ABC A B C −的所有顶点都在一1AB AC AA ==，120BAC ∠=︒，则此直三棱柱的高是（ ）A ．1B ．2C ．D ．46．（2021·重庆·西南大学附中高一期末）已知正方形ABCD 中，2AB =，E 是CD 边的中点，现以AE 为折痕将ADE 折起，当三棱锥D ABE −的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．525π48B ．5π4C ．25π4D ．25π7．（2021·广西·柳铁一中高三阶段练习（理））在三棱锥A BCD −中，3AB AD BC ===，5CD =，4BD =，AC =（ ） A ．63π10B ．64π5C ．128π5D ．126π58．（2021·江西省南丰县第二中学高一学业考试）已知四棱锥S ABCD −，SA ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，BCD DAB π∠+∠=，2SA =，BC =S BC A −−的大小为3π.若四面体S ACD −的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ）A B ．C ．10πD ．323π 二、填空题9．（2022·河南焦作·一模（理））已知三棱锥P ABC −的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且ABC 是底边长为积为___________.10．（2022·河南驻马店·高三期末（文））在三棱锥P ABC −中，底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，4AB =，PA PB PC ==P ABC −外接球的表面积为______．11．（2022·全国·模拟预测（理））已知A 、B 、C 、D 为空间不共面的四个点，且2BC BD AB ===A BCD −体积最大时，其外接球的表面积为______．12．（2022·安徽马鞍山·一模（理））三棱锥-P ABC 中，PAC △是边长为角形，2AB BC ==，平面PAC ⊥平面ABC ，则该三棱锥的外接球的体积为______13．（2021·湖北荆州·高一期中）如图，在一个底面边长为2锥P ABCD −中，大球1O 内切于该四棱锥，小球2O 与大球1O 及四棱锥的四个侧面相切，则小球2O 的表面积为______．。
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• 高考地位：
几何体与球有关的组合问题，一种是外接，
一种是内切。纵观这几年高考题，这种特 殊的位置关系在高考中既是考查的热点， 也是考查的难点。这类问题很受命题者青 睐，因为它能很好的考查学生的空间想象 能力和化归能力。简单多面体外接球问题 本质上是解决球的半径和确定球心的位置 问题，要解决这类问题可以从解决球心位 置和球半径两方面入手。本节课就常见简 单多面体外接球问题进行分析。
1、三棱锥
S S
C
A
B
C
A
B
例1：（19年3月湖北八校第二次联考）已知三ຫໍສະໝຸດ 锥的三视图如图所示，且各个顶点都在
同一个球上，则该球的表面积是___1_2_p__
例2：（金太阳信息卷）如图，边长为2的正 方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点， 将 、 分别沿DE、EF、DF折起，是A、B、C三 点重合于点 ，若四面体 的的四个顶点在同一
二、轴截面法
例7：（小题大做）设三棱柱的侧棱垂直 于底面，所有棱长为a，顶点都在一个球 面上，则该球的表面积为______7 _p_a2__。
3
例8：（19年武昌区元月调考）已知正三棱 锥S-ABC的所有顶点都在球O上，棱锥的底 面是边长为 的正三角形，侧棱为 ，则球的
表面积为___2_5_p____
常用结论：
1、长（正）方体的外接球的球心是对角 线的中点，对角线是球的直径；
2、n棱锥外接球的球心在过底面多边形 的外心且垂直于底面的直线上，具体 位置只能通过计算后准确找到
3、直棱柱的外接球的球心是上下两个 底面多边形外接圆圆心连线的中点。
一、补形法
补形法是根据几何体的结构特征，补形 成正方体或长方体。以下是采用补形法的 几种常见几何体。
个球上，则球的表面积为___6_p___。
A
D
A'
D
E
E
B
F
C
F
2、四棱锥
例3：（湖北八市3月联考）《九章算术》中 将 底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四 棱锥称之为“阳马”，现有一阳马，其正视图 和侧视图是如图所示的直角三角形，若该阳马 的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为 ____6p____。
1
1
正视图
2
侧视图
例4：（19年湖北七市州3月联考）某几 何体的三视图如图所示，则几何体的外 接球的体积为______3_p__
2
S
D A
C B
3、正四面体
常用结论：在棱长外a的正四面体中， （1）高为_____6_a___。 （（23））体外积接为球_的__半3 __径_1_2为2 _a3__。____46__a __。
S A
C B
例5：（高三单元卷）在正四面体ABCD中E是AD的中点，P是AC上一动点， 且BP+PE的最小值为 7，则正四面体ABCD的外接球体积为_____6p____。
A
PE
B
D
C
例6：(小题大做)在如图所示的几何体 中，四边形ABCD是边长为 2 的正方形， 矩形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD， 且AF=2，则该几何体ABCD-EF的外接球 的体积是_____8_32_p__。
例9：（高三单元卷）如图正方体
ABCD-A’B’C’D’ 的棱长为1，E为B’C的
中点，则三棱锥A-DED’ 的外接球的体 积为__9_p______。
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三、小结
1、知识方面 2、思想方面