2017年中科院数学分析考研试题
中科大历年考研数学真题
则向量组 α1 + α2, α2 + α3, α3 + α4, α4 + α1 的秩等于
.
5. 在 3 维实向量空间 R3 中，设 α1 = (−1, 1, 1)T , α2 = (1, −1, 0)T , α3 = (1, 0, −1)T , β =
(−4, 3, 4)T , 则 beta在基 α1, α2, α3 下的坐标是
1.4 中科大 2012 年研究生入学考试试题线性代数与解析几何
–6–
1.4 中科大 2012 年研究生入学考试试题线性代数与解 析几何
一. 填空题 (每题 5 分)
1. 在 R3 中，直线 x = y = z 与平面 z = x − y 的夹角的余弦值等于
2. 在 R3 中, 方程 xy − yz + zx = 1 所表示的二次曲面类型为
−2
x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 5 5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x4 − x5
=
0
1.2 中科大 2010 年研究生入学考试试题线性代数与解析几何
–3–
2.
设空间上有直线 l1
:
x−1 3
=
y 1
=
z 0
和 l2 √
: (x, y, z) = (3 + 2t, t, 3t − 3). 设平面 π 与
为 α1 = (1, 0, −1), α2 = (?, ?, ?), 求矩阵 A 以及使 A 对角化的矩阵 P 7. A 是复方阵，线性变换 T → AX + XA, 证明：如果 A 可对角化，那么 T 也可以对
角化。 8. A 是复方阵，定义 eA = ∑ +∞ Ak ，证明：det(eA) = etr(A)
中国科学技术大学2017年线性代数与解析几何考研试题及解答
2.
设直线
l:
1−x 3
=y+1=
3−z 2
在平面
x−y+z
=2
上的投影为
l1,
则
l1
的方程为
,l
绕 l1 旋转所得的曲面方程是 .
101
3. 矩阵 1 1 = −1 1
3 + a1b1 a1b2
,
行列式
det
a2b1
3 + a2b2
a1b3
a2b3
=
.
a3b1
a3b2 3 + a3b3
3 −2 1
2. (15分) 考虑二阶复方阵 M (C) 组成的复线性空间, 方阵 A = 7 2 以及线性变换 B : 37
M2(C) → M2(C) 满足 B(X) = AX − XA, 其中 X 为任意 2 阶方阵, 试证明: B 是可对角 化的线性变换.
3. (20分) 设 V 是由次数不超过 3 的实系数多项式组成的线性空间. 对于任意的 f (x), g(x) ∈
解得
a
=
3 5
.
2. 设 l 与平面的交点为 (1 − 3t, t − 1, 3 − 2t), 由交点在平面上得 1 − 3t − t + 1 + 3 − 2t = 2, 解得
t
=
1 2
,
于是交点为
−
1 2
,
−
1 2
,
2
. l1 的一个方向向量为 (−3, 1, −2) × (1, −1, 1) × (1, −1, 1) =
就马上得到结论. 至于上面例题的证明可以翻书查阅, 书上给了两种证明, 第二种证明与证 明惯性定理类似.
考研数学二真题及答案分析精选文档
证明：
若 ，求方程组 的通解。
【答案】（I）略；（II）通解为
【解析】
（I）证明：由 可得 ，即 线性相关，
因此， ，即A的特征值必有0。
又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0.
且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为
（15）（本题满分10分）求极限
【答案】
【解析】 ，令 ，则有
（16）（本题满分10分）设函数 具有2阶连续偏导数， ，求 ，
【答案】
【解析】
结论：
（17）（本题满分10分）求
【答案】
【解析】
（18）（本题满分10分）已知函数 由方程 确定，求 的极值
【答案】极大值为 ，极小值为
【解析】
两边求导得：【答案】 Nhomakorabea【解析】
(11) _______
【答案】1
【解析】
(12)设函数 具有一阶连续偏导数，且 ， ，则
【答案】
【解析】 故
，
因此 ，即 ，再由 ，可得
【答案】
【解析】
（13）
【答案】 .
【解析】交换积分次序：
.
（14）设矩阵 的一个特征向量为 ，则
【答案】-1
【解析】设 ，由题设知 ，故
故 .
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【解析】 在 处连续 选A.
（2）设二阶可导函数 满足 且 ，则（）
【答案】B
【解析】
为偶函数时满足题设条件，此时 ，排除C,D.
取 满足条件，则 ，选B.
2017年考研数学三真题与解析
2017年考研数学三真题与解析2017年考研数学三真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1．若函数1cos 0(),0xx f x b x ->=⎪≤⎩在0x =处连续，则（A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab = 【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x xx f x ax ax a+++→→→-===，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =⇒=．所以应该选（A ） 2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ）（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,)【详解】2(3)32zy x y xy y xy y x∂=---=--∂，232z x xxyy ∂=--∂，2222222,2,32z z z zy x x x y x y y x∂∂∂∂=-=-==-∂∂∂∂∂∂解方程组22320320zy xy y x zx x xy y∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩，得四个驻点．对每个驻点验证2AC B -，发现只有在点11(,)处满足230AC B-=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ） 3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <-【详解】设2()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2()f x 是单调增加函数．也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-，所以应该选（C ）4． 若级数211sin ln(1)n k n n ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑收敛，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1-（D ）2- 【详解】ivn →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k =-时，级数的一般项是关于1n 的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C ）． 5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（A ）TE αα-不可逆 （B ）TE αα+不可逆（C ）2TE αα+不可逆 （D ）2TE αα-不可逆【详解】矩阵Tαα的特征值为1和1n -个，从而,,2,2T T T TE E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1L ；2,1,1,,1L ；1,1,1,,1-L ；3,1,1,,1L ．显然只有TE αα-存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）． 6．已知矩阵200021001A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，则（A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似（C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况． 对于矩阵A ，0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪⎪⎝⎭，秩等于 1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ． 对于矩阵B ，010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪⎪⎝⎭，秩等于 2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．7．设,A B ，C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A B U 与C 相互独立的充分必要条件是（ ）（A ）,A B 相互独立 （B ）,A B 互不相容 （C ）,AB C 相互独立 （D ）,AB C 互不相容 【详解】(())()()()()()()()()()P A B C P AC AB P AC P BC P ABC P A P C P B P C P ABC =+=+-=+-U()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+-U显然，A B U 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =，所以选择（C ）．8．设12,,,(2)nX X Xn ≥L 为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若11nii X X n ==∑，则下列结论中不正确的是（ ）（A ）21()ni i Xμ=-∑服从2χ分布 （B ）()212n XX -服从2χ分布（C ）21()nii XX =-∑服从2χ分布 （D ）2()n X μ-服从2χ分布解：（1）显然22()~(0,1)()~(1),1,2,ii X N X i nμμχ-⇒-=L 且相互独立，所以21()nii Xμ=-∑服从2()n χ分布，也就是（A ）结论是正确的；（2）222221(1)()(1)~(1)n ii n S XX n S n χσ=--=-=-∑，所以（C ）结论也是正确的；（3）注意221~(,)()~(0,1)()~(1)X N n X N n X n μμμχ⇒-⇒-，所以（D ）结论也是正确的； （4）对于选项（B）：221111()~(0,2)~(0,1)()~(1)22n n n X X N N X X χ-⇒⇒-，所以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．322(sin )x x dx πππ-+-=⎰ ．解：由对称性知332222(sin )22x x dx x dx ππππππ--=-=⎰⎰．10．差分方程122tt t y y +-=的通解为 ．【详解】齐次差分方程120t t yy +-=的通解为2xy C =；设122tt t yy +-=的特解为2ttyat =，代入方程，得12a =； 所以差分方程122tt t yy +-=的通解为12 2.2tty C t =+11．设生产某产品的平均成本()1QC Q e -=+，其中产量为Q ，则边际成本为 . 【详解】答案为1(1)QQ e -+-．平均成本()1QC Q e -=+，则总成本为()()QC Q QC Q Q Qe -==+，从而边际成本为()1(1).Q C Q Q e -'=+-12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)y y df x y ye dx x y e dy=++，(0,0)0f =，则(,)f x y =【详解】(,)(1)()y yydf x y ye dx x y e dy d xye =++=，所以(,)yf x y xyeC=+，由(0,0)0f =，得0C =，所以(,)yf x y xye =．13．设矩阵101112011A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，123,,ααα为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A ααα的秩为 ． 【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，知矩阵A 的秩为2，由于123,,ααα为线性无关，所以向量组123,,A A A ααα的秩为2．14．设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=，{}1P X a ==，{}3P X b==，若0EX =，则DX = ．【详解】显然由概率分布的性质，知112a b ++= 12133102EX a b a b =-⨯+⨯+⨯=+-=，解得11,44a b == 29292EX a b =++=，229()2DX EXE X =-=．三、解答题15．（本题满分10分） 求极限03lim t x x te dt x+→-⎰【详解】令x t u -=，则,t x u dt du =-=-，0tx u x te dt ue du--=⎰⎰33300002limlim limlim 332t x u u x x x x x x te dt e ue du ue du xe xxxx ++++---→→→→-====⎰⎰⎰16．（本题满分10分） 计算积分3242(1)Dy dxdy x y ++⎰⎰，其中D 是第一象限中以曲线y x=与x 轴为边界的无界区域． 【详解】33242242002424200220(1)(1)1(1)4(1)11121411282x Dx y y dxdy dx dy x y x y d x y dx x y dx x x π+∞+∞+∞=++++++=++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰17．（本题满分10分）求21lim ln 1nn k k k n n→∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx nn n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰18．（本题满分10分）已知方程11ln(1)k x x-=+在区间(0,1)内有实根，确定常数k 的取值范围．【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x =-∈+，则 22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x f x x x x x x x ++-'=-+=++++令22()(1)ln (1)g x x x x =++-，则2(0)0,(1)2ln21g g ==-2()ln (1)2ln(1)2,(0)0g x x x x g ''=+-+-=2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-''=<∈+，所以()g x '在(0,1)上单调减少，由于(0)0g '=，所以当(0,1)x ∈时，()0)0g x g ''<=，也就是()g x ()g x '在(0,1)上单调减少，当(0,1)x ∈时，()(0)0g x g <=，进一步得到当(0,1)x ∈时，()0f x '<，也就是()f x 在(0,1)上单调减少．00011ln(1)1lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++→→→⎛⎫-+=-== ⎪++⎝⎭，1(1)1ln 2f =-，也就是得到111ln 22k -<<．19．（本题满分10分）设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+L ，()S x 为幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数（1）证明0n n n a x ∞=∑的收敛半径不小于1．（2）证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-，并求出和函数的表达式． 【详解】（1）由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+⇒+=++也就得到11(1)()()n n n n n aa a a +-+-=--，也就得到111,1,2,1n n n n aa n aa n +--=-=-+L1112110112101(1)(1)!nn n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a n ++--------=⨯⨯⨯=-----+L也就得到111(1),1,2,(1)!n n n aa n n ++-=-=+L111121121()()()(1)!nk n n n n n k a a a a a a a a k +++-==-+-++-+=-∑L111lim12!3!!nnnn n n n a e n ρ→∞=≤+++≤=L ，所以收敛半径1R ≥（2）所以对于幂级数0nn n a x ∞=∑， 由和函数的性质，可得11()n n n S x na x ∞-='=∑，所以11111101111111(1)()(1)(1)((1))()n n nn n n n n n nnn n n n nn n n nn n n n n n n n x S x x na xna xna x n a x na x a n a na x a x a xx a x xS x ∞∞∞--===∞∞+==∞+=∞∞∞+-==='-=-=-=+-=++-====∑∑∑∑∑∑∑∑∑也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-．解微分方程(1)()()0x S x xS x '--=，得()1xCe S x x-=-，由于0(0)1S a==，得1C =所以()1xe S x x-=-．20．（本题满分11分）设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+（1）证明：()2r A =； （2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥．假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ≥，又因为31220ααα-+=，也就是123,,ααα线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220ααα-+=，所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭；又由123,βααα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数．21．（本题满分11分） 设二次型222123123121323(,,)2282f x x x xx ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122yy λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ．【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a =114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==．通过分别解方程组()0iE A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量11131ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，属于特征值特征值26λ=的特征向量21021ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，3λ=的特征向量31261ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，所以()123326,,036326Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵．22．（本题满分11分） 设随机变量,X Y相互独立，且X的概率分布为{}10{2}2P X P X ====，Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他． （1）求概率P Y EY ≤（）；（2）求Z X Y =+的概率密度． 【详解】（1）1202()2.3Y EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰（2）Z X Y =+的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=≤+≤-=+-故Z X Y =+的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==+-≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他23．（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n 次测量结果12,,,nX X X L 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)ii ZX i n μ=-=L ，利用12,,,nZ Z Z L 估计参数σ．（1）求iZ 的概率密度；（2）利用一阶矩求σ的矩估计量； （3）求参数σ最大似然估计量． 【详解】（1）先求iZ 的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσσ⎧-⎫=≤=-≤=≤⎨⎬⎩⎭当0z <时，显然()0ZF z =；当0z ≥时，{}{}()21i Z i i X z zF z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭；所以iZ 的概率密度为222,0()()20,0z Z Z z f z F z z σπσ-⎧≥⎪'==⎨⎪<⎩． （2）数学期望2220()22z iEZ z f z dz ze dz σπσπ-+∞+∞===⎰⎰令11nii EZ Z Z n ===∑，解得σ的矩估计量122ni i Z Z ππσ===．（3）设12,,,nZ Z Z L 的观测值为12,,,nz z z L ．当0,1,2,iz i n>=L 时似然函数为221121()(,)(2)ni i n nz i ni L f z σσσπσ=-=∑==∏，取对数得：2211ln ()ln 2ln(2)ln 22ni i n L n n z σπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑，得参数σ最大似然估计量为211n i i z n σ==∑。
中科大数学分析历年期末考试卷
:
(3)
2
1
大学生数学竞赛及考研：122307834
7.
15
a, b ax, −π < x < 0; bx, 0 ≤ x < π.
f (x) =
(1) (2)
f (x) f (x) (a)
Fourier Fourier
∞ ∑ (−1)n , 2 n + 1 n=0
(b)
∞ ∑ n=0
0 0
π 2 π 2
n=1 n = 1.
3.
x = sin t. ∫ 1 √ ∫ 2 2 x 1 − x dx = 2
−1
1
x
π 2
2
sin2 t cos2 t dt
1 = 2 4. ∫
0 +∞ √
∫
0
0
1 sin 2t dt = 4
2
1 (1 − cos 4t) dt = . 8 ∫ +
e dt − x
n+1
n→+∞ n
sin x dx x
n→+∞ 0
e x dx
x n
n→∞
lim
1 1 1 + + ··· + n+1 n+2 n+n
)
n→∞
lim ∫
n! n ( 5 ) 2. ∫ 1− x2 dx (x + y )dx + xdy = 0.
∞ ∑ (√ n=1
√
1
∫
x ln x dx
3.
ex xn ≤ exn , x ∈ [0, 1],
n→∞ 0
∫1 e 0 ≤ 0 ex xn dx ≤ n+1 . ∫ 1 lim ex xn dx = 0.
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析 .doc
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）（1）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,,0,cos 1)(x b x axxx f 在0=x 处连续，则（ ） )(A 21=ab 。
)(B 21-=ab 。
)(C 0=ab 。
D (2=ab 。
【答案】)(A【解】aax x f x 21cos 1lim)00(0=-=++→，b f f =-=)00()0(，因为)(x f 在0=x 处连续，所以)00()0()00(-==+f f f ，从而21=ab ，应选)(A 。
（2）二原函数)3(y x xy z--=的极值点为（ ）)(A )0,0(。
)(B )3,0(。
)(C )0,3(。
)(D )1,1(。
【答案】)(D【解】由⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--='023,02322x xy x z y xy y z yx 得⎩⎨⎧==0,0y x ⎩⎨⎧==1,1y x ⎩⎨⎧==3,0y x ⎩⎨⎧==0,3y x y z xx 2-=''，y x z xy 223--=''，x z yy 2-=''，当)0,0(),(=y x 时，092<-=-B AC ，则)0,0(不是极值点；当)1,1(),(=y x 时，032>=-B AC 且02<-=A ，则)1,1(为极大点，应选)(D 。
（3）设函数)(x f 可导，且0)()(>'⋅x f x f ，则（ ）)(A )1()1(->f f 。
)(B )1()1(-<f f 。
)(C |)1(||)1(|->f f 。
)(D |)1(||)1(|-<f f 。
【答案】)(C 【解】若0)(>x f ，则0)(>'x f ，从而0)1()1(>->f f ；若0)(<x f ，则0)(<'x f ，从而0)1()1(<-<f f ，故|)1(||)1(|->f f ，应选)(C 。
中国科学院数学研究院数学分析试题及答案
中国科学院数学与系统科学研究院20XX 年硕士研究生招生初试试题参考解答数学分析1、求a,b 使下列函数在x=0处可导:2,1,ax b y x +≥⎧=⎨+⎩当x 0;当x<0.解：由于函数在x=0处可导，从而连续，由(00),(00)1f b f +=-=，得到b=1;又由(0),(0)0f a f +-==，得到a=0.即得。
2、 1110,,.1n n n a ∞∞==>+∑∑n n 1已知级数发散求证级数也发散a a 证明: 用反证法。
由0n a >知，1n ∞=∑n 1级数a ，111n ∞=+∑na 均为正项级数。
假设级数111n ∞=+∑n a 收敛，则1lim 01n →∞=+n a ，于是有11lim lim lim 1111111n n n n n n a a a →∞→∞→∞===-+++n n 1a a ， 从而由正项级数的比较判别法知级数1n ∞=∑n1a 收敛，矛盾，从而得证。
3、 1(1).nx dx ≥-⎰m设m,n 0为整数,求积分x 的值解：1(1),nx dx -⎰m 设I(m,n)=x 则由分部积分法有11111n101I(m,n)=(1-x)(1)|(1)(1)0111m m m n n x x x d x n x dx m m m +++-=----+++⎰⎰(1,1)1nI m n m =+-+， 从而1(,)(1,1)(2,2)112n n n I m n I m n I m n m m m -=+-=+-+++11(,0)12n n I m n m m m n -==++++!1!!()!1(1)!!n m n m n m n m n m ==+++++，即得解。
4 、0().a aa dx f x dx -=⎰⎰xf(x)设a>0,f(x)是定义在[-a,a]上的连续的偶函数,则1+e 证明：由f(x)是定义在[-a,a]上的连续的偶函数知()()f x f x -=,从而令x t =-有 ()()()11a aat t t aa af t e f t dx dt dt e e -----=-=++⎰⎰⎰xf(x)1+e 从而1()1()()212aaaat t a a aae f t dx dx dt f x dx e ----=+=+⎰⎰⎰⎰x x f(x)f(x)1+e 1+e 0000011[()()][()()]()22aaaaa f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰， 得证。
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及解析
【解析】
为偶函数时满足题设条件，此时 ，排除C,D.
取 满足条件，则 ，选B.
（3）设数列 收敛，则（）
当 时， 当 时，
当 时， 当 时，
【答案】D
【解析】特值法：（A）取 ，有 ，A错；
取 ，排除B,C.所以选D.
（4）微分方程的特解可设为
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C
【解析】特征方程为：
故特解为： 选C.
（5）设 具有一阶偏导数，且对任意的 ，都有 ，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】 是关于 的单调递增函数，是关于 的单调递减函数，
所以有 ，故答案选D.
（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线 （单位： ），虚线表示乙的速度曲线 ，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为 （单位：s），则（）
（1）
令 得
对（1）式两边关于x求导得 （2）
将 代入原题给的等式中，得 ，
将 代入（2）得
将 代入（2）得
故 为极大值点， ； 为极小值点，
（19）（本题满分10分）设函数 在区间 上具有2阶导数，且 ，证明：
方程 在区间 内至少存在一个实根；
方程 在区间 内至少存在两个不同实根。
【答案】
【解析】
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
（1）若函数 在x=0连续，则
(A) (B) (C) (D)
（2）设二阶可到函数 满足 且 ，则
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中国科学院大学
2017年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：数学分析
考生须知：
1.本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟；
2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
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1.(10分)计算极限lim x !1
x 32
(p 2+x 2p 1+x +p x ):2.(10分)已知a n +1(a n +1)=1;a 0=0,证明数列的极限存在,并且求出极限值.
3.(15分)f (x )三次连续可微,令u (x;y;z )=f (xyz ),求 (t )=@3u @x@y@z
的具体表达式,其中t =xyz .
4.(15分)求Z dx 1+x 4
:5.(15分)已知f (x )在[0;1]上二阶连续可微,并且j f (x )j Äa ,j f 00(x )j Äb ,证明f 0(x )Ä
2a +b 2
.6.(15分)已知f (x )有界且可微,假设lim x !1f 0(x )存在,求证lim x !1
f 0(x )=0.7.(15分)求二重积分“
D j x 2+y 2 1j dxdy ,其中D =f (x;y )j 0Äx Ä1;0Äy Ä1g .
8.(15分)已知a n =n X k =1
ln (k +1),证明1X n =11a n 发散.9.(15分)已知n 为整数,a 为常数,I n (a )=Z
10dx 1+nx a
.(1)试讨论a 对敛散性的影响;
(2)当a 在使积分收敛的情况下,求lim n !1
I n (a ).10.(15分)在[a;b ]上(0<a <b ),证明下面的不等式成立
Z
b a (x 2+1)e x 2dx e a 2 e b 2
:11.(10分)求f (x )=e x +e x +2cos x 的极值.
考试科目：数学分析整理人：Xiongge ，思念第1页共1页。