巧解线性规划中最优解的问题
求线性规划问题的最优解
求线性规划问题的最优解：121212123max 2322124 16.. 5 15,,0z x x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩ 方法1：图解法。
（P15 图1-3）方法2：求出所有的基可行解，然后比较目标值的大小得到最优解。
（P14表1-1）方法3：单纯形法。
第一步，将模型转化为标准型。
12345123142512345max 2300022 12 (1)4 16 (2).. 5 15 (3),,,,0z x x x x x x x x x x s t x x x x x x x =++++++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥⎩ 221004001005001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭秩A=3 第二步，求初始基可行解。
取()345100 010001B P P P ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭作为初始基矩阵，345, , x x x 为基变量，12, x x 为非基变量，令12=0,x x =得到初始基可行解()(0)0,0,12,16,15X =，目标值(0)0.z =第三步，对初始基可行解()(0)0,0,12,16,15X =进行最优性检验。
基可行解()(0)0,0,12,16,15X =对应的目标值为(0)0z =，因为12023z x x =++，只要1>0x 或者2 0x >，目标值都会比(0)0z =大，即12or x x 之一作为基变量，目标值都会增大，故初始基可行解()(0)0,0,12,16,15X=不是最优解。
第四步，作基变换，求目标值比(0)0z =更大的基可行解。
① 确定换入基变量。
由第三步可知，12, x x 都可作为换入基变量，一般地，{}121122*********, 0,0. max ,z x x x x σσσσσσσ=++=++≥≥=。
2 x 作为换入基变量。
这里12,σσ称为基可行解(0)X 非基变量12, x x 的检验数。
线性规划解决最优化问题的数学方法
线性规划解决最优化问题的数学方法线性规划是一种常见的数学方法，用来解决最优化问题。
它能够帮助我们在给定一组线性约束条件下，找到最优的目标函数值。
在实际应用中，线性规划方法被广泛用于制定优化决策、资源配置、生产计划等领域。
本文将介绍线性规划的基本概念、公式以及解决最优化问题的具体步骤。
一、线性规划的基本概念与公式线性规划的目标是在给定约束条件下，找到使目标函数（也称为优化函数）取得最大或最小值的解。
它包含三个基本要素：决策变量、约束条件和目标函数。
1. 决策变量：决策变量是问题中需要确定的变量，它们可以是实数、整数或布尔变量。
决策变量的取值范围和类型由问题的实际情况决定。
2. 约束条件：约束条件是对决策变量的限制条件，它们可以是线性等式或不等式。
约束条件用于描述问题的限制条件，例如资源约束、技术限制等。
3. 目标函数：目标函数是求解问题的目标，它可以是最小化或最大化一个线性函数。
目标函数的形式通常是关于决策变量的线性组合。
线性规划问题可以用如下的标准形式表示：最小化 Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ非负约束：x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, ... , xₙ ≥ 0其中，Z为目标函数值，c₁, c₂, ... , cₙ为目标函数的系数，aᵢₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ... , bₙ为约束条件的常数项，x₁, x₂, ... , xₙ为决策变量。
二、线性规划的解决步骤解决线性规划问题一般可以遵循以下步骤：1. 定义问题：明确问题的目标函数、约束条件和决策变量，并将其转化为标准形式。
2. 建立数学模型：根据问题的实际情况，根据标准形式建立数学模型，将问题转化为求解目标函数最大或最小值的数学问题。
线性规划问题的解法
线性规划问题的解法线性规划（Linear Programming，LP）是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最大化或最小化目标函数的问题。
线性规划问题在经济学、管理学、工程学等领域都具有广泛的应用，其求解方法也十分成熟。
本文将介绍线性规划问题的常用解法，包括单纯形法和内点法。
一、单纯形法单纯形法是解决线性规划问题最常用的方法之一。
它通过在可行解空间中不断移动，直到找到目标函数的最优解。
单纯形法的基本步骤如下：1. 标准化问题：将线性规划问题转化为标准形式，即将目标函数转化为最小化形式，所有约束条件均为等式形式，且变量的取值范围为非负数。
2. 初始可行解：选择一个初始可行解，可以通过人工选取或者其他启发式算法得到。
3. 进行迭代：通过不断移动至更优解来逼近最优解。
首先选择一个非基变量进行入基操作，然后选取一个基变量进行出基操作，使目标函数值更小。
通过迭代进行入基和出基操作，直到无法找到更优解为止。
4. 结束条件：判断迭代是否结束，即目标函数是否达到最小值或最大值，以及约束条件是否满足。
单纯形法的优点是易于理解和实现，而且在实际应用中通常具有较好的性能。
但是，对于某些问题，单纯形法可能会陷入循环或者运算效率较低。
二、内点法内点法是一种相对较新的线性规划求解方法，它通过在可行解空间的内部搜索来逼近最优解。
与单纯形法相比，内点法具有更好的数值稳定性和运算效率。
内点法的基本思想是通过将问题转化为求解一系列等价的非线性方程组来求解最优解。
首先，将线性规划问题转化为等价的非线性优化问题，然后通过迭代求解非线性方程组。
每次迭代时，内点法通过在可行解空间的内部搜索来逼近最优解，直到找到满足停止条件的解。
内点法的优点是在计算过程中不需要基变量和非基变量的切换，因此可以避免单纯形法中可能出现的循环问题。
此外，内点法还可以求解非线性约束条件下的最优解，具有更广泛的适用性。
三、其他方法除了单纯形法和内点法，还有一些其他的线性规划求解方法，如对偶方法、割平面法等。
线性规划与最优化问题的解法
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求解方法：使用 单纯形法、椭球 法等算法求解线 性规划问题
线性规划的几何解释
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线性规划问题可以看作是在多维空间中寻找一条直 线，使得该直线在满足一系列约束条件下，最大化 或最小化某个目标函数。
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线性规划的基本概念包括决策变量、目标函数 和约束条件。决策变量是问题中需要求解的未 知数，目标函数是希望最大化或最小化的函数， 约束条件是限制决策变量取值的条件。
解决方案：运输问题的解决方案通常包括 确定最优的运输路线和数量，以最小化运 输成本或最大化运输效益。
分配问题
简介：线性规划与最优化问题的实际应用之一是解决分配问题，通过合理分配资源，实 现最大化效益。
实例：如将有限的生产任务分配给不同的生产部门，以最小化生产成本或最大化总产量。
解决方法：利用线性规划模型描述问题，通过求解得到最优解，实现资源的最优分配。
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在几何解释中，决策变量可以看作是坐标轴上 的点，目标函数可以看作是该点所在的高或低。 通过移动坐标轴上的点，可以找到使目标函数 取得最大值或最小值的点，即最优解。
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线性规划的几何解释有助于直观地理解问题，并快 速找到最优解。在实际应用中，线性规划可以用于 资源分配、生产计划、运输问题等领域。
数。
线性规划问题 在现实生活中 应用广泛，如 生产计划、资 源分配和运输
问题等。
线性规划的基 本概念包括变 量、约束条件 和目标函数。
线性规划问题 通常在凸集上 进行，这使得 问题具有全局
最优解。
线性规划的数学模型
目标函数：要求 最大或最小化的 线性函数
约束条件：决策 变量的限制条件
线性规划中的最优解问题
线性规划中的最优解问题教案：线性规划中的最优解问题引言：线性规划是一种优化方法，用于解决一系列约束条件下的最优决策问题。
通过数学模型的构建和数学方法的运用，可以找到问题的最佳解。
本教案将介绍线性规划中的最优解问题，并帮助学生理解和应用这一概念。
一、最优解问题的定义与举例在线性规划中，最优解是指在满足一组约束条件下使目标函数取得最大（或最小）值的决策变量取值。
最优解问题的一般形式为：Maximize（或Minimize）目标函数Subject to 约束条件例如：假设一个公司生产两种产品A和产品B，在资源有限的情况下，公司想要最大化利润。
产品A的利润为3万元/单位，产品B的利润为4万元/单位。
产品A每单位需要消耗2小时的人工时间和1千克的原材料，产品B每单位需要消耗1小时的人工时间和2千克的原材料。
公司每天的人工时间和原材料都有限，分别为8小时和10千克。
现在我们要决定生产多少单位的产品A和产品B，以实现最大利润。
二、线性规划模型的建立1.确定决策变量：设产品A的产量为x单位，产品B的产量为y单位。
2.目标函数的建立：最大化利润Maximize Z = 3x + 4y3.约束条件的建立：2x + y ≤ 8x + 2y ≤ 10（x，y ≥ 0）三、图像表示与解的求解我们可以将约束条件绘制在坐标系中，形成一个可行域。
然后，通过目标函数的等高线绘制，找到该函数在可行域上的最大（或最小）值。
四、解的分析与最优解求解经过分析，我们可以发现：当x=2，y=3时，目标函数取得最大值 Z = 18 万元。
五、应用实例此节可以选取一个实际的应用例子，引导学生将所学知识应用于实际情境中，并讨论如何优化问题的操作。
六、总结与拓展通过本教案，学生初步了解了线性规划中的最优解问题及其求解方法。
线性规划在许多实际问题中都有广泛的应用，例如生产计划、资源分配等。
而在实际问题中，有些约束条件可能是非线性的，这时需要使用非线性规划等其他方法进行求解。
线性规划问题的解法与最优解分析
线性规划问题的解法与最优解分析线性规划是一种数学建模方法，用于解决最优化问题。
它在工程、经济学、管理学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍线性规划问题的解法和最优解分析。
一、线性规划问题的定义线性规划问题是指在一定的约束条件下，求解一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。
线性规划问题的数学模型可以表示为：max/min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject toa₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，Z表示目标函数的值，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数中的系数，a₁₁,a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件中的常数，x₁,x₂, ..., xₙ为决策变量。
二、线性规划问题的解法线性规划问题的解法主要有两种：图形法和单纯形法。
1. 图形法图形法适用于二维或三维的线性规划问题。
它通过绘制约束条件的直线或平面以及目标函数的等高线或等高面，来确定最优解。
首先，将约束条件转化为不等式，并将其绘制在坐标系上。
然后，确定目标函数的等高线或等高面，并绘制在坐标系上。
最后，通过观察等高线或等高面与约束条件的交点，找到最优解。
图形法简单直观，但只适用于低维的线性规划问题。
2. 单纯形法单纯形法是一种迭代的求解方法，适用于高维的线性规划问题。
它通过在可行域内不断移动，直到找到最优解。
单纯形法的基本思想是从初始可行解开始，每次通过找到一个更优的可行解来逼近最优解。
它通过选择一个基本变量和非基本变量，来构造一个新的可行解。
然后，通过计算目标函数的值来判断是否找到了最优解。
如果没有找到最优解，则继续迭代，直到找到最优解为止。
单纯形法是一种高效的求解线性规划问题的方法，但对于大规模的问题，计算量会很大。
线性规划问题的最优解
线性规划问题的最优解引言线性规划是运筹学的一个基本分支，其应用极其广泛，其作用以为越来越多的人所重视。
线性规划主要就实际问题抽象成数学形式，即求一组变量的值，在满足一定的约束条件下，是某个目标达到最小或最大，而这些约束条件用可以用一组线性不等式或线性方程来表示。
而求得目标函数的最优解尤为重要，本文就线性规划问题的最优解求解方法作出阐述，并举出实例加以强化，同时也指出了线性规划问题应用于生产与运作管理的重要性。
1.线性规划问题的最优解探讨1.1线性规划问题的提出考虑下面的线性规划问题的标准型： 目标函数：CX Z =min (1)约束条件：⎩⎨⎧≥=0X b AX (2)其中，),,,(21n c c c C =,T n x x x X ),,,(21 =,T m b b b b ),,,(21 =,n m ij a A ⨯=)(阶矩阵。
设B 是A 中m 个线性无关的列向量构成的一个基，m m ij a B ⨯=)( 阶矩阵，这样将矩阵A 分成两个部分，即A=),(N B ,X=),(N B X X ,C=()N B C C ,,B X ,B C 为基B 对应的非基变量和系数，N X ,N X 为N 对应的非基变量和系数，这样将线性规划问题改写为：minZ ()N B C C ,=⎥⎦⎤⎢⎣⎡B B X X (3)约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0),(NB N B X X bX X N B (4)经过矩阵变换，得出关于基B 的标准型如下：1min -=B C Z B +(N C -1-B C B N)N X (5)约束条件：⎩⎨⎧≥=+--0,11NB N B X X bB NX B X (6)T m b b b b B ),,,(''21'1 =-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++++++-mnmm mm nm m n m m a a a a a a a a a N B2122212121111 将（5）（6）展开为：=Z min '1i mi i b c ∑=+∑+=nm j 1('1ij mi i j a c c ∑=-)j x (7)约束条件：i nm j j iji b x ax '1'=+∑+= ,m i ,,2,1 = (8)0≥j x ,n j ,,2,1 = (9)令 '10i mi i b c Z ∑== , =j σ'1ij mi i j a c c ∑=- ,n m m j ,,2,1 ++= ,称j σ为检验数。
线性规划中的最优解求解
线性规划中的最优解求解线性规划是一种在运筹学和数学中广泛应用的数学建模技术，通过确定一组线性约束条件下的最优解，以实现目标最大化或最小化。
最优解是指在满足给定约束条件的前提下，能使目标函数达到最优值的解。
在线性规划问题中，最优解的求解有多种方法。
本文将介绍线性规划中的两种主要方法：图解法和单纯形法。
一、图解法图解法是一种简单直观的方法，适用于只有两个变量的问题。
它通过在平面坐标系上画出约束条件的图形，找到可行域（满足所有约束条件的解集），并在可行域内寻找使目标函数达到最优值的点。
具体步骤如下：1. 绘制坐标系，并画出约束条件的直线或曲线。
每个约束条件都会限制变量的取值范围，在平面上形成一条直线或曲线。
2. 标出可行域。
根据所有约束条件的交集，确定满足所有约束条件的解的集合，即可行域。
可行域通常是一个多边形区域。
3. 确定目标函数。
根据问题的要求确定目标函数，并将其表示为直线或曲线。
4. 在可行域内寻找最优解。
通过平行于目标函数的线，将其移动至与可行域相切，并找到使目标函数取得最优值的点。
图解法的优点是简单易懂，能够提供初步的解决方案。
然而，对于复杂问题和具有多个变量的大规模问题，图解法可能不适用。
二、单纯形法单纯形法是一种基于矩阵运算的高效方法，适用于多变量和大规模问题。
它通过不断进行迭代计算，寻找最优解。
具体步骤如下：1. 将线性规划问题转化为标准形式。
标准形式要求目标函数为最小化问题，并且所有约束条件均为等式形式。
如果原问题不符合标准形式，可以进行线性变换进行转化。
2. 构建初始单纯形表。
将原问题的线性规划模型表示为矩阵形式，并构建单纯形表，包括目标函数系数、基变量和非基变量等信息。
3. 迭代计算。
根据单纯形表中的信息，进行迭代计算，通过选择合适的主元（即最大系数法则）和更新各个单元的值，逐步接近最优解。
4. 判断终止条件。
在每一次迭代计算后，判断是否满足终止条件，即目标函数是否达到最优解。
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且｛一 ３ ０ 则Ｚ ２ 的 小 于 【 ２＋ ≥ ， ＝ ＋ 最 值等
Ｙ≥Ｘ
直 线 Ｙ＝一 ＋ ｚ应 与 边 界 线 Ａ Ｂ或 Ａ Ｃ或 Ｂ 重 Ｃ
ｍ ｍ
Ａ．２
Ｂ． ３
Ｃ． ５
Ｄ． ９
合 ． 要使 目标 函数取得 最小值 ，只 能与直 线 Ａ 而 Ｃ重
２ １ 年第 ｌ 期 ００ ２
福建 中学数 学
３ ５
又 由 ． 关于直 线 Ｘ＝７对称 ， 厂 ） （
可得 ｆ ７ ） （ 一Ｘ ＝ｆ（ ＋Ｘ 化 为 ／（ ：ｆ（４一ｔ ， ７ ）， ｆ ） １ ） 故有 ｆ １ 一 ） ｆ ６ ｆ ， （４ ｆ＝一 （ 一 ） 可化 为 ｆ ｔ １） 厂 ｆ ， （＋ ６ ＝＿ ） （ 即得 ｌ 是 ｆ ｘ 的一个 周期 ． ６ （）
１ １
解析 本题是线性规划 的最优解 问题最典 型的 形 式 ．易 知 ：目标 函数 的最 优解 个 数为 一个 ，其可 行 域 有 三 条 边 界 线 ， ① Ｘ＝１，② Ｘ ２ ＋３ 一 ｙ ＝０，
规律 ４ 奇偶性 加奇 偶性 可推 出新 的奇偶 性 由于 奇偶 性 从 图象 角度 看 其实 就 是对 称 性 ，故
此规 律也 可说成 两个 对称 性可推 出新 的对 称性 ．
例 ５ （０ ９年高考 全 国卷 Ｉ・ ｌ 题 改 编） 函 ２０ 理 １ 数 ｆ ｘ 的 定义 域 为 Ｒ ，若 ｆ ｘ ） ｆｘ ） （） （＋１与 （一１都是 奇
多结 论 ． 有 关 函数 奇偶 性 、 对 称性 和 周期 性 之 间 的规 律
还 有 不少 ，但 这 里 已经 没 有 必要 一 一 罗列 了 ．正 所
谓“ 人 以鱼 不 如授人 以渔 ” 只要 能做 到恰 当地表 达 授 ， 已知条 件 ，并且 在 它们 之 间架起 一道 桥 梁 ，那么 新 的性 质 也 就应 运 而 生 了 ．掌握 了这种 通 性通 法 ，我 们甚 至可 以不 必记住 那 些具 体 的定理 和规律 ． 最 后再举 一高 考题 作为 应用 ． 已 知 定 义 在 Ｒ 上 的 函 数 Ｙ＝ｆ（）满 足 条 件 ｘ
一
个 或无 数个 ．一般 地有 ：
例 １ （００年 高考 福建 卷 ・ ５ ２１ 文 ）若 ， Ｙ∈Ｒ ，
（）最优解 个数 为一 个 时 ，可在 可行 域 的边界 １
３ ６
ｆ Ｘ≥１
福建 中学数学
２ １ 年第 ｌ ００ ２期
意义 ． 为使 目标 函数 Ｚ ＋ ｙ的最 优解有 无数 多个 ， ： ｍ
化 为 ｆ ｔ＝一 （２ ） （ ） ＿ 一 一ｔ ， 厂
③ 函数 ｆｘ 是偶 函数 ； （） ④ 函数 ｆｘ 在 Ｒ 上是单 调 函数 ． （） 在上 述 四个命题 中 ，真命 题 的序号 是— — 解 ． 容 易 看 出 ①② 正 确 ， 由 第 二 个 条 件
故 有 一 ２ ｔ＝一 一 一 ） ｆ（ 一 ） 厂（２ ｆ ，易 得 ｆ ｔ ４ ＝ｆ ｔ （＋ ） （ ）． 因此 ４是 ｆｘ 的一 个周期 ． （） 这 是第一 个结 论 ，也是规 律 ３的体 现 ． 继 续 寻 找 结 论 ， 由 － 一 １… ｆ ｘ ） ４ 是 厂 一 ） （ （ １和 ｆ ｘ 的一 个周 期 ，可 得 ＿ 一 一１ ） ｆ ｘ ＋ ） （） 厂 Ｘ ＋４ … （ １ ４ ， （
说 明④ 错 ． 即得 答 案 ：① ②③ ．
巧 解 线 性 规 划 中最优（６ １０ ３２ ０ ） 交点 处取得 ； （）最优解 个 数为无 数个 时 ，可 在可 行域 的一 ２ 条 边 界 上取 得 ，此 时 目标 函数 所对 应 的直 线 与这 条
②函数ｆｘ 的图象关于点（÷ ０对称； （ ） 一， ）
斗
解 由－Ｊ ） 奇 函数得 ／ 一 ＋１＝ － ＋）， 厂ｆ 为 （＋１ （ ） 一 １ 厂
化 为 ／ ，＝－ （ 一 ） （ ） ｆ ２ ｔ， 又 由 ｆ ｘ １为奇 函数 得 ， －（Ｘ １… ｆ ｘ ） （一） 厂一 — ） （ １ ，
Ｙ Ｉ 一 是奇 函 数 可得 ／（ ） ／ 一 ，为 厂 ） 一 一 ＝一 ）
１
了能和第一个条件联立， 将其化为一 （ ＝ （ 一 ） ｆｘ ／ 三 ， ）
Ｚ
联立得／一 一 ） 厂 ， （ 为偶函数， （ 丢＝ （＋ ） 故ｆｘ ） 同时
Ｚ
即 ＿一 ＋３＝一 （ ３ ，因此 第 二 个 结论 为 ＿ ３ 厂 ｘ ） ｌ ＋ ） （ 厂 厂 ＋） （ 是奇 函数 或者 说 ｆｘ 关于 点 （，） 称 ． （） ３ ０对 继 续利用 这种“ 二为一 ” 合 的推 导方法 ， 得到 更 可
在线 性 规 划 问题 中 ，线 性 约束 条 件 所确 定 的 可
利 用 以 上两 个 结论 来 处理 近 年 高考 题 中的线 性
规 划客 观 题 ，简洁 明快 ，达 到化 繁 为 简 的 目的 ，下 面举 例说 明 ．
行 域包 括 其边 界 ，则 目标 函数 的最 优 解 个数 往 往 是
边 界重合 ．
近 几 年来 ，在各 省 高 考试 卷 中 ，线 性 规划 问题
以选 择题 或填 空 题 的形 式 出现 ，而线 性 目标 函数 的
最优解是考查 的重点 ．此类问题的常规解法是借助 图形 平移 直线 求 最值 ， 因而需 要 严格 作 图 ，否 则 很 容易 导致错 误 的结果 ．
函数 ，则 有何结 论？
ｆ ＋ ）一（ ， ＝ 一 ） （ 要＝厂 ） 且Ｙ ／ 是奇函 给出 ｘ 数， 以
‘ ｔ
分 析 从 以上 问题 的解 决不 难发 现 ，不 管条件 如
何奇 特 ，只要 有针 对 性地 将 两 个条 件合 二为 一 ，即
可破解 ．
下 四个命 题 ： ① 函数 ｆｘ 是 周期 函数 ； （）