江西省新余市第四中学2021届高三上学期第四次考试数学(理)试卷 Word版含答案

2021届上学期高三第四次考试数学（理）试卷一、选择题(每小题5分,共60分)1．设集合{1,2,5}A =，{2,4}B =，{|15}C x R x =∈-≤<，则()A B C ⋃⋂=（ ） A ．{1,2,4,6}B ．{|15}x R x ∈-≤≤C ．{2}D ．{1,2,4}2．已知i 是虚数单位，设iiz +-=11，则复数2z +对应的点位于复平面（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1112n n a S a +＝，＝， 则n S ＝( )A ．12n -B ． 13()2n -C ．12()3n - D ．112n - 4．已知锐角α满足2sin 21cos2 ,αα=-则tan α=（ ） A ．12B ．1C ．2D ．45.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6．已知向量(1,2)a =，(2,3)b =-，(4,5)c =，若()a b c λ+⊥，则实数λ=（ ）A ．12- B ．12 C ．2- D ．27．已知正实数a 、b 满足2a b +=，则141a b ++最小值为（ ）A ．33 B ．4 C ．22D ．38．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们．定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个整数中能被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，那么此数列的项数为（ ）A ．133B ．134C ．135D ．1369．如图，已知圆O 中，弦AB 的长为3，圆上的点C 满足0OA OB OC ++=，那么AC 在OA 方向上的投影为（ ）A.12B ．12-C ．32D ．32-10．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()lg g x x =，则函数()()()h x f x g x =-的零点的的个数是（ ） A ．9 B ．10 C ．11D ．1211．设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知函数()2sin ln 6xf x a x x a π⎛⎫=+-⎪⎝⎭（0a >，1a ≠），对任意[]120,1x x ∈，，不等式()()212f x f x a -≤-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)2,e ⎡+∞⎣ B ．[),e +∞ C ．2,e e ⎡⎤⎣⎦D ．()2,e e二、填空题(每小题5分, 共20分) 13．若1tan 20201tan αα+=-，则1tan 2cos 2αα+=____________.15．已知函数2()cos ()1(0,0,0)2πf x A ωx φA ωφ=++>><<的最大值为3，()f x 的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则(1)(2)f f +=_____．16．若数列{}n a 满足12a =，1441n n n a a a +=++，则使得22020n a ≥成立的最小正整数n的值是______.三、解答题(共6小题,17题10分,18-22每小题12分,共70分) 17．已知a ，b ，c 为正数，()||||||f x x a x b x c =++++-.（1）若1a b c ===，求函数()f x 的最小值；（2）若()01f =且a ，b ，c 不全相等，求证：333b c c a a b abc ++>.19．在ABC ∆中，设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3c =.（1）若a ，b ，c 成等比数列，求证：60B ≤︒； （2）若1cos23A =-（A 为锐角），1sin 3C =.求ABC ∆中AB 边上的高h . 20.21..22．已知函数()ln f x x ax =-（a 为常数）.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若0a >，求不等式()20f x f x a ⎛⎫-->⎪⎝⎭的解集； （Ⅲ）若存在两个不相等的整数1x ，2x 满足()()12f x f x =，求证：122x x a+>.高三第四次考试数学(理)参考答案1【答案】D 【解析】集合A ={1,2,5},B ={2,4}，C ={x ∈R |−1⩽x <5}，则A ∪B ={1,2,4,5}，∴(A ∪B )∩C ={1,2,4}. 故选D. 2【答案】A 【详解】 由已知i i i i i z -=-+--=)1)(1()1)(1(，222z i i +=-+=+，对应点为(2,1)，在第一象限．故选：A ． 3【答案】B 【详解】由已知1112n n a S a +==，，1n n n a S S -=- 得()12n n n S S S -=-，即11323,2n n n n S S S S ++==， 而111S a ==，所以13()2n n S -=.故选B. 4【答案】C 【详解】由已知，24sin cos 2sin ααα=，因α为锐角，所以sin 0α≠，2cos sin αα=，即tan α=2. 故选：C.5.【答案】B 必要性：()()121122+>++=+>b b b b a当 a=3 b=1时 充分性不成立。

6【答案】C 【详解】因为(1,2)a =，(2,3)b =-，所以()12,23λλλ-+a +b =，又()a b c λ+⊥，(4,5)c =， 所以()0a b c λ+=，即()()4125230+=λλ-+，解得2λ-= .故选：C . 7【答案】D 【详解】∵2a b +=，则13a b ++=，于是整合得1414133243311a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++++-≥=+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b ==时取等号，于是141a b ++的最小值为3．故选:D ． 8【答案】C 【详解】由数能被3除余2且被5除余2的数就是能被15除余2的数， 故()21151513n a n n =+-=-， 由15132020n a n =-≤，得813515n ≤+，*n ∈N ， 故此数列的项数为：135． 故选:C ． 9【答案】D 【分析】由0OA OB OC ++=得O 为ABC 的重心，A ，B ，C 三点均匀分布在圆周上，ABC 为正三角形，根据向量的投影的定义可得选项. 【详解】连接BC ，由0OA OB OC ++=得O 为ABC 的重心，A ，B ，C 三点均匀分布在圆周上，ABC 为正三角形，所以30OAC ︒∠=，弦AB 的长为3，所以AC 在OA 方向上的投影为33cos15032AC ︒⎛⎫=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭∣∣， 故选：D. 10【答案】C 【详解】由于()()11f x f x -=+，所以，函数()y f x =的周期为2，且函数()y f x =为偶函数， 由()0h x =，得出()()f x g x =，问题转化为函数()y f x =与函数()y g x =图象的交点个数，作出函数()y f x =与函数()y g x =的图象如下图所示，由图象可知，()01f x ≤≤，当10x >时，()lg 1g x x =>， 则函数()y f x =与函数()y g x =在()10,+∞上没有交点，结合图像可知，函数()y f x =与函数()y g x =图象共有11个交点，故选C. 11【答案】A 【详解】 解：设，则，∵，，∴，∴是上的增函数，又，∴的解集为， 即不等式的解集为.故选A. 12【答案】A 【详解】解：结合题意，显然2a ≥，()()1ln cos 36xf x a a x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭'， 由[0x ∈，1]，2a ≥，得ln 0a >，10x a -≥，cos()036x ππ>， 故()0f x '>，()f x 在[0，1]递增，故()max f x f =（1）1ln a a =+-，()(0)1min f x f ==， 对任意1x ，2[0x ∈，1]，不等式21|()()|2f x f x a -≤-恒成立， 即()()2max min f x f x a -≤-，1ln 12a a a ∴+---，即ln 2a ≥，解得：2a e ≥，故选：A ． 13【答案】2020 【详解】因为1tan 20201tan αα+=-，解得2019tan 2021α=，所以222222221cos sin 2tan 1tan 2tan tan 2cos 2cos sin 1tan 1tan 1tan αααααααααααα+++=+=+---- 2220191(1tan )1tan 2021=202020191tan 1tan 12021αααα+++===---， 故答案为：202014.【答案】 415【答案】3 【详解】21cos(22)()cos ()11cos(22)1222ωx φA Af x A ωx φA ωx φ++=++=⋅+=+++，因为函数()f x 的最大值为3，所以1322A A++=，所以2A =，由函数()f x 相邻两条对称轴间的距离为2，可得周期4T =，所以222T ππω==，所以4πω=, 所以()cos(2)22πf x x φ=++，又()f x 的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，所以cos 222ϕ+=，所以cos20ϕ=，又02πϕ<<，所以=4πϕ，所以()cos()2sin 2222πππf x x x =++=-+，所以(1)(2)sin 2sin 2120232πf f π+=-+-+=-+-+=.故答案为：316【答案】11 【详解】()214411n n n n a a a a +=+=，121n n a a +∴=，()1121n n a a +=，∴数列{}1n a 1121a =为首项，2为公比的等比数列，)1112n-=⨯，)1121n-=⨯-，由22020na≥2020≥，即)1220211837n-≥=⨯≈，92512=，1021024=且n*∈N，∴满足题意的最小正整数11n=.故答案为：11.17【答案】（1）最小值2（2）见解析【详解】解：（1）因为1a b c===，所以()||||||2|1||1|f x x a x b x c x x=++++-=++-法1：由上可得：31,1,()3,11,31,1,x xf x x xx x--≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪+≥⎩所以，当1x=-时，函数()f x的最小值为2法2：()|||||||1||1||1|f x x a x b x c x x x=++++-=++++-|1||11|2|1|2x x x x≥+++-+=++≥当且仅当(1)(1)010x xx+-≤⎧⎨+=⎩，即1x=-时取得最小值2（2）证明：因为a，b，c为正数，所以要证333b c c a a b abc++>即证明2221b c aa b c++>就行了因为222222b c a b c aa b c a b ca b c a b c+++++=+++++2()a b c≥=++（当且仅当a b c==时取等号）又因为(0)1f=即1a b c++=且a，b，c不全相等，所以2221b c aa b c++>即333b c c a a b abc ++>19【答案】（1）见解析（2）563解：（1）证明：因为a ，b ，c 成等比数列，所以2b ac =而22222cos 22a c b a c ac B ac ac+-+-==11122a c c a ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭（当且仅当a c =时取等号） 又因为B 为三角形的内角，所以60B ≤︒（2）在ABC 中，因为21cos 212sin 3A A =-=-，所以6sin A =又因为3c =1sin 3C =， 所以由正弦定理sin sin a cA C=，解得32a = 法1：由6sin 3A =，02A π<<得3cos 3A =. 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得22150b b --=. 解得5b =或3b =-（舍） 所以AB 边上的高656sin 533h b A ==⋅=.21.详解：22【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）12,a a ⎛⎫⎪⎝⎭；（Ⅲ）证明见解析. 【详解】（Ⅰ）()f x 的定义域为()0,∞+，()11ax f x a x x-'=-=， （1）当0a ≤时，恒有()0f x '>，故()f x 在()0,∞+上单调递增； （2）当0a >时，由()0f x '>，得10x a<<， 故()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 综上（1）（2）可知：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+； 当0a >时，()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）()f x 的定义域为()0,∞+，所以0x >，且20x a ->，而0a >，20x a<<； 设()()2222ln ln ln ln 22F x f x f x x ax x a x x x ax a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=---+-==--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()21202a x a F x x x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=≥⎛⎫- ⎪⎝⎭，且当且仅当1x a =时取等号，所以()F x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，又因为1x a =时，()10F x F a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0F x <，当12,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0F x >， 故()20f x f x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解集为12,a a ⎛⎫⎪⎝⎭； （Ⅲ）由（Ⅰ）知0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增，若()()12f x f x =， 则12x x =不合题意；故0a >，而()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，若存在两个不相等的正数1x ，2x 满足()()12f x f x =， 则1x ，2x 必有一个在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，另一个在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 不妨设1210x x a <<<，则121,x a a ⎛⎫-∈+∞ ⎪⎝⎭，又由（Ⅱ）知10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0F x <，即()20f x f x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭， 所以()112f x f x a ⎛⎫<-⎪⎝⎭， 因为()()12f x f x =，所以()212f x f x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，又因为()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以212x x a >-，即122x x a+>.。