湖北省武汉市2014届高三11月调考数学(文)试题

武汉市2014届高三11月调研测试数 学（文科）2013.11.15一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1，0，1，2，3}，则M ∩N ＝A ．{0，1，2}B ．{－1，0，1，2}C ．{－1，0，2，3}D ．{0，1，2，3} 2．已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝A ．－2B ．0C ．1D ．23．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是4．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差5．如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则→OP ＋→OQ ＝A ．→OHB ．→OGC ．→EOD ．→FO6．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)（ω＞0，－π2＜φ＜π2）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π37．给定两个命题p ，q ．若﹁p 是q 的必要而不充分条件，则p 是﹁q 的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)．若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝A ．14B ．12C ．1D ．29．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝110．设函数f (x )＝x 3－4x ＋a ，0＜a ＜2．若f (x )的三个零点为x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则 A ．x 1＞－1 B ．x 2＜0 C ．x 2＞0 D ．x 3＞2二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．设z ＝(2－i)2（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ．12．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1＞0”发生的概率为 ． 13．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ．14．直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于 ．15．为组织好“市九运会”，组委会征集了800名志愿者，现对他们的年龄抽样统计后，得到如图所示的频率分布直方图，但是年龄在[25，30)内的数据不慎丢失，依据此图可得： （Ⅰ）年龄在[25，30)内对应小长方形的高度为 ； （Ⅱ）这800名志愿者中年龄在[25，35)内的人数为 ．16．如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为对角线BD 1的三等分点，则P 到各顶点的距离的不同取值有 个．17．挪威数学家阿贝尔曾经根据阶梯形图形的两种不同分割（如下图），利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式——阿贝尔公式：a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n b n ＝L 1(b 1－b 2)＋L 2(b 2－b 3)＋L 3(b 3－b 4)＋…＋L n －1(b n －1－b n )＋L n b n ，其中L 1＝a 1，则（Ⅰ）L 3＝ ；（Ⅱ）L n ＝ ．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分12分）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ． （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若sin A sin C ＝3－14，求C ．19．（本小题满分12分）在等差数列{a n }中，a 2＋a 7＝－23，a 3＋a 8＝－29． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为c 的等比数列，求数列{b n }的前n 项和S n ． 20．（本小题满分13分） 如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA 1＝3，D 是BC 的中点，点E 在棱BB 1上运动．（Ⅰ）证明：AD ⊥C 1E ；（Ⅱ）当异面直线AC ，C 1E 所成的角为60°时，求三棱锥C 1-A 1B 1E 的体积．21．（本小题满分14分）设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R ． （Ⅰ）求f (x )的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当a ＞ln2－1且x ＞0时，e x ＞x 2－2ax ＋1． 22．（本小题满分14分）已知平面内一动点P 到点F (1，0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求→AD ·→EB 的最小值．武汉市2014届高三11月调研测试 数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题1．A 2．A 3．D 4．C 5．D 6．A 7．A 8．B 9．D 10．C 二、填空题11．5 12．23 13．1321 14．45 15．（Ⅰ）0.04；（Ⅱ）44016．4 17．（Ⅰ）a 1＋a 2＋a 3；（Ⅱ）a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n三、解答题 18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac ．由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12，因此B ＝120°．……………………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知A ＋C ＝60°，所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sin A sin C＝cos(A ＋C )＋2sin A sin C＝12＋2×3－14＝32， 故A －C ＝30°或A －C ＝－30°，因此C ＝15°或C ＝45°．…………………………………………………………12分19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋7d ＝－23，2a 1＋9d ＝－29．解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝－3．∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋2．…………………………………………4分 （Ⅱ）∵数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为c 的等比数列，∴a n ＋b n ＝c n －1，即－3n ＋2＋b n ＝c n －1，∴b n ＝3n －2＋c n －1．∴S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋c ＋c 2＋…＋c n －1)＝n (3n －1)2＋(1＋c ＋c 2＋…＋c n －1)． 当c ＝1时，S n ＝n (3n －1)2＋n ＝3n 2＋n2；当c ≠1时，S n ＝n (3n －1)2＋1－c n1－c．……………………………………………12分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ． ①又在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，而AD ⊂平面ABC ， ∴AD ⊥BB 1． ② 由①，②得AD ⊥平面BB 1C 1C ．由点E 在棱BB 1上运动，得C 1E ⊂平面BB 1C 1C ，∴AD ⊥C 1E ．………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）∵AC ∥A 1C 1，∴∠A 1C 1E 是异面直线AC ，C 1E 所成的角，由题设，∠A 1C 1E ＝60°． ∵∠B 1A 1C 1＝∠BAC ＝90°， ∴A 1C 1⊥A 1B 1，又AA 1⊥A 1C 1，从而A 1C 1⊥平面A 1ABB 1，于是A 1C 1⊥A 1E ．故C 1E ＝A 1C 1cos60°＝22，又B 1C 1＝A 1C 12＋A 1B 12＝2，∴B 1E ＝C 1E 2－B 1C 12＝2．从而V 三棱锥C 1-A 1B 1E ＝13S △A 1B 1E ×A 1C 1＝13×12×2×2×2＝23．…………………13分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －2，x ∈R ．令f ′(x )＝0，得x ＝ln2．于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，f (x )在x ＝ln2处取得极小值，极小值为f (ln2)＝e ln2－2ln2＋2a ＝2(1－ln2＋a )．……………6分 （Ⅱ）设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ．于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R ．由（Ⅰ）知，当a ＞ln2－1时，g ′(x )的最小值为g ′(ln2)＝2(1－ln2＋a )＞0． 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )＞0， ∴g (x )在R 内单调递增．于是当a ＞ln2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )＞g (0)． 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )＞0．即e x －x 2＋2ax －1＞0，故e x ＞x 2－2ax ＋1．……………………………………14分22．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有 (x －1)2＋y 2－|x |＝1，化简，得y 2＝2x ＋2|x |．当x ≥0时，y 2＝4x ；当x ＜0时，y ＝0．∴动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x （x ≥0）和y ＝0（x ＜0）．………………6分 （Ⅱ）由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ．得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1．∵l 1⊥l 2，∴l 2的斜率为－1k．设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1．故→AD ·→EB ＝(→AF ＋→FD )·(→EF ＋→FB )＝→AF ·→EF ＋→AF ·→FB ＋→FD ·→EF ＋→FD ·→FB＝|→AF ||→FB |＋|→FD ||→EF |＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1 ＝1＋(2＋4k 2)＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1＝8＋4(k 2＋1k2)≥8＋4×2k 2·1k2＝16．当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，→AD ·→EB 取最小值16．………………………14分。