高等数学2第十一章答案

合集下载

高等数学：第11章无穷级数自测题答案

《高等数学》单元自测题答案第十一章无穷级数一．选择题：1.B ；2. D ；3.A ；4.B ；5.B ；6.B ；7. C ；8.C .二．填空题：1. ()∑∞=-021n n n x ，()1,1-∈x ；2. ()x +1ln ； 3. [)6,0； 4. 2k . 三．判断题：1. 解因为02121lim ≠=+∞→n n n ，故级数发散. 2. 解因为n n n n n n n 1)3(3)3(32=++>++，而∑∞=11n n发散，故原级数发散. 3. 解设n n n n u )13(+=，因为13113lim lim <=+=∞→∞→n n u n n n n ，故级数收敛. 4. 解因为()∑∞=-+1212n n n ∑∑∞=∞=--+=111)21()21(n n n n ,并且级数∑∑∞=∞=--111)21()21(n n n n 和均收敛,故级数()∑∞=-+1212n n n收敛. 四．判断题：1. 解()∑∑∞=-∞=--=-11111221n n n n n nn ，因为12121lim 221lim lim 11<=+=⋅+=∞→-∞→+∞→n n n n u u n n n n n n n 故∑∞=-112n n n 收敛，从而()∑∞=---11121n n n n 绝对收敛.2. 解 ∑∞=-+-=++-+++-1212221)1(14413312221n n n n ， ∑∑∞=∞=-+=+-1212111)1(n n n n n n n ，因为11lim 11lim 222=+=+∞→∞→n n nn nn n ，而级数∑∞=11n n发散，故绝对值级数∑∞=-+-1211)1(n n n n 发散，因此所给级数不是绝对收敛的.由于所给级数是交错级数，且满足1)1(11,01lim222+++>+=+∞→n n n n n n n ，据莱布尼兹判别法知，所给级数收敛，且为条件收敛.五．求幂级数的收敛半径和收敛域1. 解 3313lim lim 11=⋅+=+∞→+∞→n n n nn n n n a a ，故收敛半径为31R =, 当31=x 时，幂级数化为∑∞=11n n ，该级数发散.当31-=x 时，幂级数化为∑∞=-11)1(n nn，其为交错级数，据莱布尼兹判别法知，该级数收敛.故所给幂级数的收敛域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-3131，. 2. 解 n n n n n n n n n n a a n n n n n n n n nn n nn n 1)1(lim 1)1(lim )1(lim 1)1(1lim lim 111111⋅+=⋅+=+=+=+∞→++∞→+∞→+∞→+∞→ 001lim )111(lim 11=⋅=⋅+-=-∞→+∞→e n n n n n ，故收敛半径为∞=R ,收敛域为()∞+∞-，. 3. 解 ∞=+=+=∞→∞→+∞→)1(lim !)!1(lim lim 1n n n a a n n nn n ，故收敛半径为0R =,收敛域为0=x . 六. 解：由于()x x f 2-=是奇函数，故0=n a ， ,2,1,0=n ()⎰--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---==ππππππx n nx x n ntdt t b n sin 1cos 12sin 21 ()nn 41-= ∴()()nx nx f n n sin 141∑∞=-=。

高数下册第11章解析

则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1时失效.
(5) 根值审敛法 (柯西判别法)
设 un 是正项级数,
n1
如果lim n n
un
(为数或 ),
则 1时级数收敛; 1时级数发散; 1时失效.
3、交错级数及其审敛法
定义正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1un或 (1)nun (其中un 0)
如果级数 an x n 在x x0处发散,则它在满足
n0
不等式 x x0 的一切x 处发散.
推论
如果幂级数 an x n 不是仅在x 0 一点收敛,也
n0
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定
的正数 R 存在,它具有下列性质:
当 x R时,幂级数绝对收敛;
当 x R时,幂级数发散;
函数
1、常数项级数
定义
un u1 u2 u3 un
n1
n
级数的部分和 sn u1 u2 un ui
i 1
级数的收敛与发散
常数项级数收敛(发散)
lim
n
sn
存在(不存在).
收敛级数的基本性质
性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.
性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
(2)
讨论
lim
n
Rn
0
或
f
(n) ( x)
M,
则级数在收敛区间内收敛于 f ( x).
b.间接法根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式.
(4) 常见函数展开式
e x 1 x 1 x2 1 xn x (,)

高等数学科学出版社下册课后答案第十一章习题答案简答

习题11-11.答案：略.2.答案：略.3. 答案(1)．发散,(2) 收敛,(3) 收敛, (4) 收敛．4.答案（1）发散（2）发散（3）收敛 (4）发散（5）发散（6）收敛（7）发散（8）发散5.证略.习题 11-21． (1)收敛(2)收敛（3）发散（4）收敛（5）发散（6）收敛（7）收敛（8）当1≤a 时，发散；当1>a 时收敛2．（1）收敛（2）收敛（3）发散（4）收敛（5）收敛（6）收敛（7）发散（8）收敛3． (1) 收敛(2) 收敛(3) 收敛（4）当1<a b ，收敛；当1>a b ，发散；1=ab ，即a b =时，可能收敛也可能发散.4. (1)．绝对收敛;(2)．条件收敛;(3) 绝对收敛;(4)．条件收敛;(5)绝对收敛．(6)发散．（7）绝对收敛.(8) 条件收敛;．5． [1,1)-.6．当1p ≤时，原级数条件收敛, 当1p >时，原级数绝对收敛.习题11.3一、(1）22<≤-x （2）0≠x （3）2121≤≤-x （4）2121<<-x （5）e x e <<-（6）2=x （7）02≤≤-x （8）02≤<-x （9）) , (∞+∞-二、（1）.()()2111x x x x f -='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，1||<x . （2）.)1ln()1(11x n x n n n +=-∑∞=-).11(≤<-x （3）.1221(1)2arctan ln(1)(21)n n n x x x x n n -∞=-=-+-∑(||1).x <（4）.3)1(1)(x x x s -+=).1||(<x 三、（1）92 ;（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛311ln 31s .23ln = （3）2711 ;（4）12. 习题11-41.（1）x 2sin ),(,)!2(2)2()1(121∞+-∞∈-=∑∞=-x n x n n n （2）]1,1(,)1()1()1ln()1(111-∈+-+=++∑∞=++x x n n x x x n n n（3）=+21x x ∑∞=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11222)!()!2(2)1(n n n x n n x ，)1,1(-∈x（4）)3,3(,3)1()(21211-∈-=-ℵ=-∑x x x f n n n n 2.（1）=3x 2220)1()!)(2)(1(2)!2(3)1()1(231++∞=-++⋅-+-+∑n n n n x n n n n x ，]2,0[∈x （2）=x lg ∑∞=+∈-+-01]2,0(,)1(11)1(10ln 1n n n x x n 3. =x cos ∑∞=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛π+++⎪⎭⎫ ⎝⎛π+-01223)!12(33)!2(1)1(21n n n n x n x n ，),(∞+-∞∈x 4.（1）1101111()(1)()(1),(13)1223n n n n n f x x x x x ∞++==-=----<<++∑ (2）21(1)21ln(23)ln 22ln3[()](3),(15)92n n n n n x x x x n ∞=-+-=+++-<≤∑习题 11-5答案:1. ︒9sin 000646.0157080.0-≈,156434.0≈其误差不超过.105-2. .9926.22405≈3 .⎰10sin dx x x !551!3311⋅+⋅-≈.9461.0≈ 4．据欧拉公式有i e π=-1 .习题11-61．答案:略2. (1) ∑∞=+-+=12122cos )1(11211)(n n x n n x f ππ, x ∈(-∞, +∞). (2) }sin 2cos 21cos ]2sin 2)1(1{[41)(1x n n n x n n n n x f n n πππππ-++--+-=∑∞= (x ≠2k , 212+≠k x , k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅). 3．（1）．()∑∞=+--+=12114cos 1422cos n n n nx x ππ，()ππ≤≤-x 。

高等数学习题解答习题11解答

高等数学习题解答(上海交大)习题11解答(共21页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-第11章级数1．写出下列级数的前5项：(1) 11(1)3n nn -∞=-∑；(2) 113(21)242n n n ∞=⨯-⨯∑；(3) 21(ln )n n n ∞=∑；(4) 1!n n n n ∞=∑ 解答：(1) 23451111133333-+-+-；(2) 1131351357135792242462468246810••••••••••+++++••••••••••；(3)2345611111(ln 2)(ln 3)(ln 4)(ln 5)(ln 6)+++++； (4) 234511212312341234512345••••••••••+++++。

所属章节：第十一章第一节难度：一级2．写出下列级数的通项：(1) 2341357++++；+；(3)22242462468x x ++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯解答：(1) 21nn -； (2) (1)n --；(3)2242n xn•。

所属章节：第十一章第一节难度：一级3．已知级数的部分和S n ，写出该级数，并求和：(1) 1n n S n +=；(2) 212n n n S -=；解答：(1) 一般项为111121u S +===，111,2,3,1(1)n n n n n u S S n n n n n -+-=-=-==--，故该级数为212(1)n n n∞=--∑，该级数的和为1lim lim1n n n n S n →∞→∞+==； (2) 一般项为1112u S ==，11121211,2,3,222n n n n n n n n u S S n -----=-=-==，故该级数为112n n ∞=∑，该级数的和为21lim lim 12n n n n n S →∞→∞-== 。

所属章节：第十一章第一节难度：一级4．根据定义求出下列级数的和：(1) 1326n nnn ∞=+∑；(2) 11(2)n n n ∞=+∑；(3) 1(1)(2)(3)n n n n n ∞=+++∑；(4) 1n ∞=∑解答：(1) 111113211332()()1162321123nnn n n n n n ∞∞∞===+=+=+=--∑∑∑； (2) 1111111111113()(1)(2)222324354n n n n nn ∞∞===-=-+-+-+=++∑∑； (3) 111123111111[()]()()2(1)(2)(3)2122322334n n nn n n n n n∞∞===-+-⋅=-++⨯=++++++∑∑；(4) 11n n∞∞===-∑∑1n ∞==∑1==所属章节：第十一章第一节难度：一级5．证明下列级数发散：(1) 121n n n ∞=+∑；(2) 12n n n ∞=∑；(3) 11nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑；(4) 111n nnn n n n +∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 解答：(1) 由于10212n n u n =→≠+，所以级数121n nn ∞=+∑发散； (2) 由于20n n u n =→+∞≠，所以级数12nn n∞=∑发散；(3) 由于1()01n n n u n e =→≠+，所以级数11nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑发散； (4) 由于1111011(1)()(1)n n nn nn n nn nn n u n e n nn ++=≥=→≠+++，所以级数111n nnn nn n +∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑发散。

高等数学测试及答案(第十一章)

高等数学测试（第十一章）一. 选择题（每题3分，共30分） 1.下列级数收敛的是（）A.135(21)25(31)n n n ∞=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-∑ B. 212n n n ∞=+∑ C. 1πsin n n ∞=∑D. n ∞= 2.下列级数条件收敛的是（）A.15(1)4nn n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑B. 1(1)n n ∞=-∑C.13(1)5n n n ∞=-∑D. 1(1)n n ∞=-∑3.设a为常数，则级数21sin n a n ∞=⎛ ⎝∑（）A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.收敛性与a 无关4．下列命题正确的是 ( ) A.lim 0n n u →∞=，则1nn u∞=∑必发散 B.lim 0n n u →∞≠，则1nn u∞=∑必发散 C.lim 0n n u →∞=，则1nn u∞=∑必收敛 D.lim 0n n u →∞≠，则1nn u∞=∑必收敛5.若级数1n n u ∞=∑收敛，则级数（）A. 1n n u ∞=∑收敛 B. 1(1)nn n u ∞=-∑收敛 C. 11n n n u u ∞+=∑收敛 D. 112n n n u u ∞+=+∑收敛 6.设0n u >，若1nn u∞=∑发散，1(1)nnn u∞=-∑收敛，则下列结论正确的是（）A. 211n n u∞-=∑收敛，21nn u∞=∑发散 B.211n n u∞-=∑发散，21nn u∞=∑收敛C.2121()n n n uu ∞-=+∑收敛 D. 2121()n n n u u ∞-=-∑收敛7.设10(1,2,)n u n n ≤≤=，则下列级数中一定收敛的是（）A. 1n n u ∞=∑ B. 1(1)n n n u ∞=-∑C.n ∞=D. 21(1)n n n u ∞=-∑8.若幂级数∑∞=-1)1(n n nx a在1-=x 处收敛,则该级数在点3=x 处（）A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 一定发散D. 可能收敛也可能发散 9. 设幂级数∑∞=+0)1(n n nx a在2-=x 处条件收敛，则它在2=x 处（）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.收敛性不确定 10. 级数13nn n a ∞=∑收敛，则级数1(1)2n nn n a ∞=-∑（） A.发散 B.条件收敛 C.绝对收敛 D.收敛性不确定二. 填空题（每题4分，共20分）11.级数0(ln3)2n nn ∞=∑的和为___________. 12.若lim n n u →∞=∞，则1111n n n u u ∞=+⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑ .13.幂级数1(1)nn n x∞=+∑的和函数为________________.14.函数112x +展开式为x 的幂级数为________________. 15.幂级数2024n nn x n ∞=+∑收敛区间为________.三.计算题（每题10分，共50分）16. 求幂级数()()n n x n n 202!!2∑∞=的收敛区间. 17. 求幂级数21(2)4nn n x n ∞=-∑的收敛域. （不考虑端点情况）18.求()x x f arctan =的麦克劳林展开式. 19.将函数1()(3)f x x x =+展开成2x -的幂级数,并写出收敛域.20.将()x x f 3=展开为2-x 的幂级数，并指出收敛区间.答案：一.选择题1—5 A B C B D 6—10 D D D A C二. 填空题11. 3ln 22-. 12. 11u . 13. ()2212x x x --. 14. ()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛<<--0212121n n n n x x . 15. 11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 三.计算题16. 求幂级数()()n n x n n 202!!2∑∞=的收敛区间（不考虑端点情况）. 【解析】因为()()()()()()()()22221221411n 22lim !!2!1!12lim lim x x n x n n x n n u u l n n n n nn n =++=++==∞→+∞→+∞→. 当142<=x l ，即21<x 时级数()()n n x n n 202!!2∑∞=绝对收敛；当142>=x l ，即21>x 时级数()()n n x n n 202!!2∑∞=发散；故级数()()n n x n n 202!!2∑∞=的收敛区间为2121<<-x .17. 求幂级数21(2)4nnn x n ∞=-∑的收敛域. 【解析】令2x t -=级数化为214n n n t n ∞=∑，这是缺项幂级数，讨论正项级数21||4nnn t n ∞=∑，而222112||41lim lim (1)4||4n n n n n n n nu t n l t u n t +++→∞→∞==⨯=+，当211,4l t =<即||2t <时级数214nn n t n ∞=∑绝对收敛；当211,4l t =>即||2t >时级数214nn n t n ∞=∑发散；当211,4l t ==即2t =±时级数化为11n n∞=∑是发散的；故级数214n n n t n ∞=∑收敛域为(2,2)-，由2x t -=得级数21(2)4nnn x n ∞=-∑收敛域为(0,4). 18.求()x x f arctan =的麦克劳林展开式.【解析】()()()()()()∑∑∞=∞=<<--=-=+='='0202211,1111arctan n n nn nn x x x x x x f .则()()()()()1,121111200200020<+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-='=+∞=∞=∞=∑⎰∑⎰∑⎰x x n dt t dt t dt t f x f n n nx nn n xn n n x. 19.将函数1()(3)f x x x =+展开成2x -的幂级数,并写出收敛域.【解析】令2x t -=，则2x t =+，11111111()(2)(5)3256151125f x t tt t t t ⎛⎫==-=- ⎪++++⎝⎭++；又因01()1nn x x ∞==-+∑，所以001()(1)(22)2212n n n n n n t t t ∞∞===-=--<<+∑∑； 001()(1)(55)5515n n n n n n t t t t ∞∞===-=--<<+∑∑；故0011()(1)(1)62155n nn n n n n n t t f x ∞∞===---∑∑ 11011(1)(22)3235n n n n n t t ∞++=⎡⎤=---<<⎢⎥⋅⋅⎣⎦∑ 11011(1)(2)(04)3235n n n n n x x ∞++=⎡⎤=---<<⎢⎥⋅⋅⎣⎦∑. 20.将()x x f 3=展开为2-x 的幂级数，并指出收敛区间. 【解析】令t x =-2，则()3ln 29393t t t ex f ⋅=⋅==+.而()+∞∞-∈=∑∞=,,!0x n x e n nx.所以()()()()()()()()()+∞∞-∈-=-=+∞∞-∈===∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=,,2!3ln 92!3ln 9,,!3ln 9!3ln 930x x n x n t t n n t x f n n n n n n n n n n nx.。

高数答案第11章

D. j V/Jl +=J &卜扫+Jyds =4J 4第十一章曲线积分与曲面积分(09级下学期用)§ 1对弧长的曲线积分1设厶关于x 轴对称，厶表示丄在x 轴上侧的部分，当/(x,y)关于y 是偶函数时, 如(B)L2J/(x,y)ds C. -2jf(x,y)ds 都不对厶厶2、设厶是以点A(l,0> 3(0.1), C(70)Q(0.-l)为顶点的正方形边界，则f 尚 =(C )A. 4 直 4^2 D. 2^22 3— 3、有物质沿曲线厶：x = f,y = ?,z = 】(0GSl)分布，其线密度为“=庙「贝9它3的质量〃心(A )1 ___________ 1 ___________________ 1 _________________[A IJrVl + /2 ^t 4dt B. J/2\/l + /2 ^t 4dt C ・ J J1 + , +/% 0 0 0 4・求卜血其中/.为由y =x,y = x 2所围区域的整个边界解：L5. J \y\ds,其中 L 为双纽线(x 2+y 2)2 = a 2(x 2-y 2)(a>0)L 解：原积分=4j 厶6. [ y]x 2 + y 2ds,其中[为x 2 + y 2 = ax (ci > 0)Ln2 原积分=2j a\cost\adt = 2a 2 o7. \x 2ds,其中L 为球面，+y2 +才与平面x_y = 0的交线解：将代入方程*+护+/=/得2X2+Z2=“2于是L 的参数方程: cos/, y = 乂 ds=—\e‘ co sine'di =二,/ = J"原积分T 分S2"d,于8、求均匀弧x = e l cosr, y = R sin r,z = e z (- oo < r < 0)的重心坐标o ds = W ，dt 、M =、忑e'dr = J^, -X §2对坐标的曲线积分一. 选择题1•设厶关于X 轴对称，b 表示L 在X 轴上侧的部分，当p(x,y)关于y 是偶函数时，J P(x, y)dx = ( D) B. 2 J P(x, y)dx C. - 2 J P(x, y\ix []都不对L 厶厶2. 设厶为|时+卜| =]的正向，则{器畔字=(A) D .4 C1111 { H+|y| u3. L 为宀尸―的正向，{(-吧7「'M V =(B )”国2兀D.”二、计算1. j(x 2 + y 2 (^r 2 -y 2)dy ,其中厶由曲线y = l-|l-x|(0<x<2)从 L• ••4(2,0)到 0(0,0)方向角乍:8(1」)AB : y = 2-A ;x : 2 ―> 1; BO : y = x,x : 1 ―> 0/ = | + | = |(.¥2 +(2-x))ix4-(.r 2 -(2-A )2)(-1}/^+j(A 2 +x 2\ix = --— — *> I 3AB BO -2. J yjx 2 +y 2dx + y[(xy + ln(x + ^x 1 +y 2 )|/y 其中厶是正向圆周曲线L 「「0 9 9JC + y- =a_解：由奇偶对称性 f Jx 2 + y2= 0 T L : x = acos/,y = asinf, f :-龙―>龙L4 sin 2 /cos' idu' sin t cos /ln(n(l + cosr))rfr = Jn 4 sin 2 /cos' tdt = — n-疗3・\xdx+ydy^x+y-｛）clz.其中为从点A（l,l,l）到〃（2,3,4）的有向线段一、选择题1•若厶是 "，取顺时针方向侧氏-如(C)四、空间每一点处P(x,)\z)有力7(儿y,z),其大小与p(x,y,z)到z 轴的距离成反比，方向垂直指向z 轴,试求当质点沿圆周x = cos/,v = l,z = sin/从点M (1,1,0)到N(0丄1)时，力F(x, y 9 z)所作的功解：由已知％」z)={斗笃,尹亍0}五、将积分LP(x 」)dx + Q(x,y)dy 化为对弧长的积分，其中L 沿上半圆周 x 2 + y 2 -2x = 0 从0(0,0)到3(2,0).§3格林公式及其应用3. 设厶为曲线 x 2+y 2 =9 的正向，则 f （2小-2y]dx+[x 2 -4x ）dy = （ B ）三、过0(0,0)和Ago)的曲线族y = asin X(d >0),求曲线L 使沿该曲线从o(o.o)到人(龙,0)的积分j (l + y 3加+(2x + y)cly 的值最小/ (n) = 4(«2 - 1)=0.=>^ = 1=> / (1) = 8>0 o n = L /(a)最小，11士时 y = sinx二、计算题3.求/ =「x = rcQst. y = rsin rj:0-9 2龙原积分为JJ = jj Qdxdy + f 所以ydx- xdy 2 ~ 4、验证(y 2如1. 设厶是圆* + ),2 + 2x = 1取逆时针方向，贝艸1衣；£”+八心=\ 广+〉匸+2.{解：将方程代入被积函数再山格林公式得原式=f In (1 - 2x\lx + e 〉dy = JJ Odxcly = 0L D2.j(2AT 3 - y 3 cos"/x + (1 - 2ysin x + 3x 2y 2 加,其中 L 为点 0(0.0倒的抛物线 L y 2=-x 的弧段。

高等数学重大版教材答案

高等数学重大版教材答案**注意：本文仅提供高等数学重大版教材答案，不含任何解题思路和详细解释。

**第一章：函数与极限1.1 函数概念及表示法1.2 映射与初等函数1.3 函数的极限与连续第二章：导数与微分2.1 导数的概念2.2 基本微分法与常见初等函数的导数2.3 高阶导数与隐函数及参数方程的导数2.4 微分中值定理与导数的应用第三章：不定积分3.1 不定积分的概念与性质3.2 基本积分公式与常用积分法3.3 有理函数的积分法3.4 特殊函数的积分法第四章：定积分4.1 定积分的概念与性质4.2 牛顿-莱布尼茨公式4.3 定积分的计算方法4.4 定积分的应用第五章：定积分的应用5.1 几何应用5.2 物理应用5.3 统计应用第六章：多元函数微分学6.1 二元函数及其表示6.2 偏导数与全微分6.3 隐函数及参数方程的偏导数6.4 多元函数的极值与最值第七章：多元函数积分学7.1 二重积分的概念与性质7.2 二重积分的计算方法7.3 三重积分的概念与性质7.4 三重积分的计算方法第八章：无穷级数8.1 无穷数列8.2 无穷级数8.3 幂级数8.4 函数项级数第九章：常微分方程9.1 一阶微分方程9.2 高阶微分方程9.3 变量可分离的方程9.4 齐次方程第十章：向量代数与空间解析几何10.1 向量的表示与运算10.2 空间直线与平面的方程10.3 空间曲线与曲面的方程10.4 空间曲线与曲面的切线与法线第十一章：多元函数积分学的应用11.1 二重积分的应用11.2 三重积分的应用第十二章：常系数线性微分方程12.1 齐次线性微分方程12.2 非齐次线性微分方程12.3 常系数高阶线性微分方程第十三章：傅里叶级数13.1 傅里叶级数的定义与性质13.2 傅里叶级数的计算13.3 奇偶函数的傅里叶级数13.4 周期函数的傅里叶级数第十四章：拉普拉斯变换14.1 拉普拉斯变换的定义与性质14.2 拉普拉斯变换的计算14.3 拉普拉斯逆变换与初值问题14.4 拉普拉斯变换的应用第十五章：曲线积分与曲面积分15.1 曲线积分15.2 曲面积分第十六章：无穷级数的收敛与发散16.1 正项级数与一般级数16.2 收敛级数的性质16.3 判别级数敛散的方法总结- 文章连接思路清晰，按照教材章节顺序排布，每章标题精确对应教材内容。

高数第11章自测题答案

第十一章参考答案一 1(先表示.)2cos :,02sin 2x t L t y tπ=⎧≤≤⎨=⎩.(再求)Lxds ⎰=222cos 4sin t tππ⋅==⎰4;解1 (先表示.)2cos :,:02sin 2x t L t y tπ=⎧→⎨=⎩.(再求)Ldx dy +⎰22cos sin (cos sin )11d t d t t t ππ=+=+=-=⎰0.解2 因为P Qy x∂∂=∂∂在D 内恒成立,所以1001L dx dy dx dy +=+⎰⎰⎰=0;:z ∑=∑在xOy 面上的投影区域22:4,0,0xy D x y x y +≤≥≥.dS ===12244xyD dxdy π∑==⨯⨯=⎰⎰2π;解1xyD dxdy dxdy π∑=-=-⎰⎰⎰⎰ ,由于积分变量的对称性知dydz dzdx dxdy ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,所以dydz dzdx dxdy ∑++⎰⎰=-3π;解2 利用高斯公式法补充:221:0,4z x y ∑=+≤取下侧; 222:0,4x y z ∑=+≤取后侧; 223:0,4y x z ∑=+≤取左侧.12300dydz dzdx dxdy dxdydz -∑+∑+∑+∑Ω++==⎰⎰⎰⎰⎰ ,1xyD dydz dzdx dxdy dxdy π∑++=-=-⎰⎰⎰⎰,同理23dydz dzdx dxdy dydz dzdx dxdy π∑∑++=++=-⎰⎰⎰⎰所以03()3dydz dzdx dxdy ππ-∑++=--=⎰⎰,而dydz dzdx dxdy ∑++⎰⎰=-3π;2.22()LLx y ds ds L +==⎰⎰ 的弧长=2π.3.路径为:(0,0)(1,0)(1,1)→→(1,1)(0,0)y d x x d y +⎰110dx dy =+=⎰⎰1;4. 利用格林公式,L -为逆时针方向.Ly d x x d y --⎰2xyD dxdy =-⎰⎰=-2π,所以Lydx xdy -⎰ =2π;5. 利用高斯公式x d y d zy d z d xz d x ∑++⎰⎰ 1333dxdydz πΩ==⨯=⎰⎰⎰ π二 1.因为dS =,所以22xyD dS x dS ∑=⎰⎰. B 与C 相同,而C与D 不同,所以选D;2.由格林公式知,应选B三 1. 第一类曲线积分,曲线方程化为参数方程:cos :,021sin x tL t y tπ=⎧≤≤⎨=-+⎩22()Lx y ds +⎰202(1sin )t dt π=--+=⎰4π;2.(空间曲线)线段AB:(0,0,1),0,1,,:01s x y z t t ====→112ABxdx ydy zdz tdt ++==⎰⎰.类似线段BC:(1,1,1),,1,1,:01s x t y t z t t ===+=+→13(23)22BC xdx ydy zdz t dt ++=+=+⎰⎰. 线段CA:(1,1,2),,1,2,:10s x t y t z t t =---=-=-=--→1(61)4CAxdx ydy zdz t dt -++=-=-⎰⎰. 所以0Lxdx ydy zdz ++=⎰3. 第二类曲线积分,曲线方程化为参数方程: 2cos :,:02sin x tL t y tπ=⎧→⎨=⎩224L ydx xdyx y -++⎰ 22202cos 2sin 4t t dt π+==⎰π; 4. 第一类曲面积分. ∑:1()z x y =-+;;:1,0,0xy dS D x y x y =+≤≥≥xzdS ∑⎰⎰110(1xdx x x y -=--=⎰⎰;5. 第二类曲面积分. ∑:z =下侧; 222:xy D x y R +≤zdxdy ∑⎰⎰20xyD d d πθρ=-=⎰⎰⎰⎰=323R π; 6. 解1 因为y P Q e y x∂∂==∂∂在xOy 面恒成立,所以()(2)y y L e x dx xe y dy ++-⎰与路径无关,于是选(0,0)(2,0)O A →直线段,则()(2)y y Le x dx xe y dy ++-⎰2(1)4x dx =+=⎰.解2 用参数方程表示L :1cos ,:0sin x tt y t π=+⎧→⎨=⎩.()(2)y y Le x dx xe y dy ++-⎰=0sin sin {(1cos )(sin )[(1cos )2sin ]cos }t t e t t t e t t dt π++-++-⎰ =sin 2sin sin [(sin cos )sin 3cos sin cos ]t t t te te t t t te dt π-+--+⎰=sin 2sin 03[cos cos sin ]42tt tet t e π+-+=.7. 解1 因为324P Q x y y x∂∂==-∂∂在xOy 面恒成立,所以 423(23)(4)Lxy y dx x xy dy -++-⎰与路径无关,于是选(1,0)(2,0)(2,1)A C B →→路径,423(23)(4)L xy ydx x xy dy -++-⎰21313(48)dx y dy =+-⎰⎰=5.解2 以x 作参数,L :2(1),:12y x x =-→423(23)(4)Lxy y dx x xy dy -++-⎰8. 利用高斯公式 ,0,P x y Q R x y ===-,()x y dxdy xydydz ∑-+⎰⎰0ydv Ω==⎰⎰⎰(因为y 是奇函数,且Ω关于xOz 面对称).9. 补221:0,(1)z x y ∑=+≤,下侧,利用高斯公式12221(2)()()I yx dydz z y dzdx x z dxdy ∑+∑=++-+-⎰⎰ =012222(2)()()I y x dydz z y dzdx x z dxdy∑=++-+-⎰⎰212220cos 4xyD x dxdy d d ππθρθρρ=-=-=-⎰⎰⎰⎰.222(2)()()yx dydz z y dzdx x z dxdy ∑++-+-⎰⎰12I I =-=π/4。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

习题11-1 对弧长的曲线积分1.计算下列对弧长的曲线积分：（1）22()nLx y ds +⎰Ñ，其中L 为圆周cos x a t =，sin y a t = (02)t π≤≤；（2）Lxds ⎰Ñ，其中L 为由直线y x =及抛物线2y x=所围成的区域的整个边界；（3）L⎰Ñ，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；（4）2x yzds Γ⎰，其中Γ为折线ABCD ，这里A 、B 、C 、D 依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2)；（5）2Ly ds ⎰，其中L 为摆线的一拱(sin )x a t t =-，(1cos )y a t =-(02)t π≤≤.2.有一段铁丝成半圆形y =，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求其质量。

解曲线L 的参数方程为()cos ,sin 0x a y a ϕϕϕπ==≤≤ds ad ϕϕ==依题意(),x y y ρ=，所求质量220sin 2LM yds a d a πϕϕ===⎰⎰习题11-2 对坐标的曲线积分1.计算下列对坐标的曲线积分：（1）22()Lx y dx -⎰，其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；（2）22()()Lx y dx x y dy x y +--+⎰Ñ，其中L 为圆周222x y a +=（按逆时针方向绕行）；（3）(1)xdx ydy x y dz Γ+++-⎰，其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线；（4）dx dy ydz Γ-+⎰Ñ，其中Γ为有向闭折线ABCA ，这里A 、B 、C 依次为点(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)；2.计算()()Lx y dx y x dy ++-⎰，其中L 是：（1）抛物线2y x =上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；（2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；（3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到(4,2)的折线；（4）曲线221x t t =++，21y t =+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧。

3.把对坐标的曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰化成对弧长的曲线积分，其中L 为：（1）在xOy 面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)；（2）沿抛物线2y x =从点(0,0)到点(1,1)；（3）沿上半圆周222x y x +=从点(0,0)到点(1,1).4.设Γ为曲线x t =，2y t =，3z t =上相应于t 从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分LPdx Qdy Rdz ++⎰化成对弧长的曲线积分。

习题11-3 格林公式及其应用1. 利用曲线积分，求星形线3cos x a t =，3sin y a t =所围成的图形的面积。

2.计算曲线积分222()L ydx xdy x y -+⎰Ñ，其中L 为圆周22(1)2x y -+=，L 的方向为逆时针方向。

3. 证明曲线积分(2,1)423(1,0)(23)(4)xy y dx x xy dy -++-⎰在整个xOy 面内与路径无关，并计算积分值。

.4.利用格林公式，计算下列曲线积分：（1）(24)(536)Lx y dx y x dy -+++-⎰Ñ，其中L 为三顶点分别为(0,0)、(3,0)和(3,2)的三角形正向边界；（2）22()(sin )Lx y dx x y dy --+⎰，其中L 是在圆周y =上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧。

5.验证下列(,)(,)P x y dx Q x y dy +在整个xOy 平面内是某一函数(,)u x y 的全微分，并求这样的一个(,)u x y ：（1）22xydx x dy +；（2）22(2cos cos )(2sin sin )x y y x dx y x x y dy ++-6.计算224(2)()Lx xy dx x y dy +++⎰，其中L 为由点()0,0O 到点()1,1B 的曲线弧sin2xy π=解2,2P Q P Q x x y x y x∂∂∂∂==⇒=∂∂∂∂ 原积分与路径无关，()1,0A 故原式()()2242OA ABxxy dx x y dy +=+++⎰r r()11240023115x dx y dy =++=⎰⎰习题11-4 对面积的曲面积分1. 计算曲面积分3∑⎰⎰zdS ，其中∑为抛物面222()z x y =-+在xOy 面上方的部分。

3=zdS ∑⎰⎰223[2(xyD xy -+⎰⎰2232d d πθρρ=-⎰()()()1222201614]141432d πρρρ=⨯-+++()()35222232[61414165πρρ=+-+ ()()3532111[63131]16510ππ=---=2. 计算22()x y dS ∑+⎰⎰，其中∑是锥面2223()z x y =+被平面0z =和3z =所截得的部分。

3.计算下列对面积的曲面积分：（1）4(2)3z x y dS ∑++⎰⎰，其中∑为平面1234x y z++=在第一卦限中的部分；（2）()x y z dS ∑++⎰⎰，其中∑为球面2222x y z a ++=上z h ≥(0)h a <<的部分；4.求抛物面壳221()2z x y =+(01)z ≤≤的质量，此壳的面密度为z μ=.5.计算22()x y dS ∑+⎰⎰，其中∑为锥面z =及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面。

解 12∑=∑+∑， 1:z ∑=1∑上，ds =，1∑在xoy 面的投影为22:1xy D x y +≤在2∑上，ds dxdy =，2∑在xoy 面的投影为22:1xy D x y +≤())()222222xyxyD D x y ds x y dxdy x y dxdy ∑∴+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰)2120112d r rdr πθπ=⋅⋅=⎰⎰ 习题11-5 对坐标的曲面积分1.计算下列对坐标的曲面积分：（1）22x y zdxdy ∑⎰⎰，其中∑为球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧：（2）[(,,)][2(,,)][(,,)]f x y z x dydz f x y z y dzdx f x y z z dxdy ∑+++++⎰⎰，其中(,,)f x y z 为连续函数，∑是平面1x y z -+=在第四卦限部分的上侧；2.把对坐标的曲面积分(,,)(,,)(,,)P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ∑++⎰⎰化成对面积的曲面积分，其中（1）∑是平面326x y ++=在第一卦限的部分的上侧；（2）∑是抛物面228()z x y =-+在xOy 面上方的部分的上侧； 3.计算222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑为球面2222x y z R ++=在第一挂限部分曲面块的上侧，R 为正数。

解由对称性，222x dydz y dzdx z dxdy ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑在xoy 面上的投影域为222:0,0,D x y x y R ≥≥+≤ 所以222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰()222233z dxdy R x y dxdy ∑∑==--⎰⎰⎰⎰ ()22420338R d R r rdr R ππθ=-=⎰⎰习题11-6 高斯公式1.利用高斯公式计算曲面积分：（1）222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰Ò，其中∑为平面0x =，0y =，0z =，x a =，y a =，z a =所围成的立体的表面的外侧；（2）xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰Ò，其中∑是界于0z =和3z =之间的圆柱体229x y +≤的整个表面的外侧；（3）24xzdydz y dzdx yzdxdy ∑-+⎰⎰Ò，其中∑为平面0x =，0y =，0z =，1x =，1y =，1z =所围成的立方体的全表面的外侧；2.计算曲面积分()2I z x dydz zdxdy ∑=++⎰⎰，其中∑是曲面()2201z xy z =+≤≤的外侧.解添加平面()221:11z x y ∑=+≤，取上侧，使1∑+∑构成封闭，应用高斯公式地()2112112132xyrD I dv dxdy d rdr dz ππθπ∑+∑∑Ω=-=+-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ò习题11-7 斯托克斯公式1.利用斯托克公式，计算下列曲线积分：（1）ydx zdy xdz Γ++⎰Ñ，其中Γ为圆周2222x y z a ++=，0x y z ++=，若从x 轴的正向看去，这圆周是取逆时针方向；（2）23ydx xzdy yz dz Γ-+⎰Ñ，其中Γ为圆周222xy z +=，2z =，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向；（3）223ydx xdy z dz Γ+-⎰Ñ，其中Γ为圆周2229x y z ++=，0z =，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向；复习题十一1.计算下列曲线积分：（1）⎰，其中L 为圆周22x y ax +=；（2）(2)La y dx xdy -+⎰，其中L 为摆线(sin )x a t t =-，(1cos )y a t =-上对应t 从0到2π的一段弧；（3）(sin 2)(cos 2)x xLe y y dx e y dy -+-⎰，其中L 为上半圆周222()x a y a -+=，0y ≥沿逆时针方向；2.计算下列曲面积分：（1）222dS x y z ∑++⎰⎰，其中∑是界于平面0z =及z H =之间的圆柱面222x y R +=；（2）222()()()yz dydz z x dzdx x y dxdy ∑-+-+-⎰⎰，其中∑为锥面z =(0)z h ≤≤的外侧；（3）xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为半球面z =上侧；3.证明：22xdx ydyx y ++在整个xOy 平面除去y 的负半轴及原点的区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数。

4. 计算曲线积分22()()Lx y dx x y dyx y -+++⎰Ñ，其中L 是边长为4，原点为中心的正方形边界，方向为逆时针方向。

解法一2222,x y x yP Q x y x y -+==++222222()Q P y x xyx y x y ∂∂--==∂∂+ 在L 内作一圆Γ：221x y +=，方向逆时针由格林公式有22L xdy ydx x y -+⎰Ñ=22xdy ydxx y Γ-+⎰Ñ Γ：cos sin x t y t=⎧⎨=⎩22222220()()cos sin 2cos sin Lx y dx x y dyt tdt x y t tππ-+++==++⎰⎰Ñ法二: 由参数法将得积分代入四部分之和 5．计算 222I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰，其中∑为锥面2222xy z +=介于平面0z =及1z =之间部分的上侧。