高等数学II练习册-第10章答案.
《高等数学教程》第十章多元函数微分法习题参考答案
《高等数学教程》第十章 多元函数微分法 习题参考答案10－1 (A)1.)()(y x xy +2.x xy xy y x 2)()(++5.(1)}012),({2>+-x y y x ; (2)}0,0),({>->+y x y x y x ; (3)}4,10),({222x y y x y x ≤<+<; (4)}0,0,0),,({>>>z y x z y x ; (5)},0,0),({2y x y x y x ≥≥≥; (6)}1,0,0),({22<+≥>-y x x x y y x ; (7)},),({+∞≤≤-∞+∞≤≤∞-y x y x ; (8)}2,0),({x y x y x π≤≠;(9)}),,({22222R z y x r z y x ≤++<; (10)}0,0),,({22222≠+≥-+y x z y x z y x .6.(1)2ln ; (2)0; (3)∞+;(4)41- (5)不存在； (6)0(7)0 (8)e 9.(1)在)0,0(点不连续(2)在0≠+y x 上所有),(y x 点均连续 (3) 在)0,0(点不连续10－1 (B)1．21x +2．1,22-+=+=x y z x x f3．yy x +-1)1(210－2 (A)1.(1)52(2)1,2ln 22+ (3)3334,3,2e e e2. 13.(1)x y x yz y y x x z 23323,3-=∂∂-=∂∂ (2)221,1vu u v s u v v u s -=∂∂-=∂∂ (3))ln(21,)ln(21xy y y z xy x x z =∂∂=∂∂ (4))]2sin()[cos()],2sin()[cos(xy xy x y z xy xy y x z -=∂∂-=∂∂ (5)y x yx y z y x y x z 2csc 2,csc 222-=∂∂=∂∂ (6)]1)1[ln()1(,1)1(2xyxy xy xy y z xy y xy x z y y++++=∂∂++=∂∂ (7)x x zy z u x z y u x z y x u z yz y y zln ,1,21⋅-=∂∂=∂∂=∂∂-(8)zz x z z z y x y x y x z u y x y x z y u y x y x z x u 22121)(1)ln()(,)(1)(,)(1)(-+--=∂∂-+--=∂∂-+-=∂∂-- 6.4π 7.6π 10.(1)2222812y x x z -=∂∂,2222812x y yz -=∂∂,xy y x z 162-=∂∂∂ (2)22222)(2y x xy x z +=∂∂,22222)(2y x xy y z +-=∂∂,2222222)(y x x y x z +-=∂∂ (3)y y x z x 222ln =∂∂,222)1(--=∂∂x y x x yz ,)ln 1(12y x y y x z x +=∂∂∂- (4))sin()cos(222y x x y x xz+-+=∂∂,)sin(22y x x yz+-=∂∂, )sin()cos(2y x x y x y x z +-+=∂∂∂. 11. 2;2;0;012.023=∂∂∂y x z ,2231y y x z -=∂∂∂.10－2 (B)2.74arctan , )74arctan(-.10－3 (A)1.(1)dy y x dx y y )11()1(2-++;(2))(1dy dx xye x x y--;(3)xdz yx xdy zx dx yzx yz yz yz ln ln 1⋅+⋅+- (4)])1()1[(22)(dy x yx dx y x y eyx x y -+-+- 2.(1)dy dx 3231+ (2)dy dx 5252-3. 0.25e4. (1)2.95 (2)0.005 (3)2.039 (4)0.50235. -5厘米6. 55.3立方厘米10－3 (B)1.xdy e ydx e du yxyx ⋅+⋅=--222210－4 (A)1.)sin (cos cos sin 32θθθθρ-=∂∂pz]cos )sin 2(cos sin )cos 2[(sin 223θθθθθθρθ-+-=∂∂z2.)]23ln(2233[22y x xy x x y x z ---=∂∂]23)23[ln(22yx y y x x y y z ---=∂∂ 3.]2[244)(22yx y x x e x z xyy x -+=∂∂+ ]2[244)(22xyx y y e y z xyy x -+=∂∂+ 4.])()(cos[])(3))((21[322xyz xz yz xy z y x yz xyz z y zx yz xy xu++++++⋅+++++=∂∂ ])()(cos[])(3))((21[322xyz xz yz xy z y x xz xyz z x zx yz xy yu++++++⋅+++++=∂∂ ])()(cos[])(3)(21[3222xyz xz yz xy z y x xy xyz zx yz xy zu++++++⋅++++=∂∂ 5.)6(cos 22sin 2t t e t t -- 6.232)43(1)41(3t t t ---7.xx e x x e 221)1(++ 8.11sin 2++⋅a a x e ax9.)ln 1(1x y x xzy x y +=∂∂-+,x x y z y x y 2ln +=∂∂ 11.(1)'2'12f ye xf xzxy +=∂∂,'2'12f xe yf y z xy +-=∂∂ (2)'11f y x u =∂∂,'2'121f z f y x y u +-=∂∂,'22f zy z u -=∂∂ (3)'3'2'1yzf yf f x u ++=∂∂,'3'2xzf xf y u +=∂∂,'3xyf zu=∂∂ (4))1('yz y f x u ++⋅=∂∂,)('xz x f x u +⋅=∂∂,xy f xu⋅=∂∂' 14.(1)''2'2242f x f x z +=∂∂,''24xyf y x z =∂∂∂,''2'2242f y f yz +=∂∂(2)''222''12''112212f yf y f x z ++=∂∂ '22''22''12221)1(f y f y f y x y x z -+-=∂∂∂ ''2242'23222f yx f y x y z +=∂∂ (3)''2222''123''114'222442f y x f xy f y yf xz +++=∂∂''1223''223''113'2'1252222f y x yf x f xy xf yf yx z ++++=∂∂∂ ''224''123''1122'122442f x yf x f y x xf yz +++=∂∂ (4)''33)(2''12''112'1'322cos 2cos sin f e xf e xf f x f e xz y x y x y x ++++++⋅-=∂∂''33)(2''32''13''12'32sin cos sin cos f e yf e xf e yf x f e yx z y x y x y x y x +++++-+-=∂∂∂ ''33)(2''23''222'2'322sin 2sin cos f e yf e yf f y f e y z y x y x y x ++++-+⋅-=∂∂10－4 (B)1. )1()()()(212122121ψψϕψϕϕψψϕψϕϕ'+'+'-'=∂∂'-'+'+'=∂∂xx y z x yy x z 2. vvuv uu xv xu v u v u x yf x f xy x xf f x xf xf f y x zyf f f x f x z2222)2(22)2(+++++++=∂∂∂+++=∂∂3. z t y f z f z u x t y f x y f x f x u ∂∂∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂ψϕψϕϕ.10－5 (A)1.xy y e y x 2cos 2--;2.-1;3.xxy x y xy y ln ln 22--. 4.xy xyz xyz yz x z --=∂∂,xyxyz xyzxz y z --=∂∂2 5.z x zx z +=∂∂,)(2z x y z y z +=∂∂ 6. zy y z zxe x z x cos 3,cos 252-=∂∂-=∂∂ 7.dy dx xee x dz xy z xy z ++-+=----1)1(1 8.322224)()2(xy z y x xyz z z ---⋅ 9.32232)(22xy e e z y z xy ze y z z z --- 10. 2 11. 2 12.(1))13(2)16(++-=z y z x dx dy ,13+=z x dx dz (2)y x z y dz dx --=, yx x z dz dy --= (3)y x u y x u -+-=∂∂, y x y v y u -+-=∂∂； y x x u x v -+=∂∂, yx xv y v -+=∂∂10－5 (B)5.32)()()(v u u vv v uv u uv v uu u v u v uu u uv F F F F F F F F F F F F F F F F F -⋅-⋅+⋅+⋅---⋅-⋅ 7.'1'2'2'1'1'2'2'1)12)(1()12(g f yvg xf g f yvg uf x u------=∂∂ '1'2'2'1'1'1'1)12)(1()1(g f yvg xf uf xf g x v----+=∂∂8.1)cos (sin sin +-=∂∂v v e v x u u ,1)cos (sin cos +--=∂∂v v e v y u u ]1)cos (sin [cos +--=∂∂v v e u e v x v u u ,]1)cos (sin [sin +-+=∂∂v v e u e v y v uu 10－61.321＋2.32 3.)(2122b a ab+ 4.2948 5. 5 6.14227.1412 8.202020000zy x z y x ++++9. }6,2,3{)0,0,0(--=gradf , }0,3,6{)1,1,1=（gradf10－71.切线方程：222111)12(-=-=--z y x π 法平面方程：422+=++πz y x2.切线方程：8142121-=--=-z y x 法平面方程：011682=-+-z y x 3.切线方程：000211z z z y m y y x x --=-=- 法平面方程:0)(21)()(00000=---+-z z z y y y m x x 4.切线方程：1191161--=-=-z y x 法平面方程:024916=--+z y x5.)1,1,1(1---P 及)271,91,31(2--P7.(1)切平面方程：042=-+y x法线方程：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-02112z y x(2)切平面方程:22π=+-z y x ， 法线方程:241111π-=--=-z y x(3)切平面方程:002002002202020)()()(1z z z c y y y b x x x a c z z b y y a x x -=-=-=++， 8.2112±=+-z y x 9.)3,1,3(--,133113-=+=+z y x 11.223cos =r10－8])4(21)4(22)[2sin()4(22222)2sin(.122ππηξπ-+-++--++=+y y x x y x y x其中 ).10()4(4<<-+==θπθπηθξy x ，])1(2)1(313)1[ln(!)2(!21.23322232y y x y x x y e y xy y z ηηηξξ+++-++++-+= 其中 ).10(,<<==θθηθξy x ，1021.1.3 10)!1()(!)(.4)(10<<++++=++=+∑θθy x n nk k yx e n y x k y x e10－9(A)1.(1)驻点)0,0(;极大点)0,0((2)驻点)2,2(),0,2(),2,0(),0,0(;极大点)0,0(;极小点(2,2).(3)驻点)0,2(),0,76(-;极大点)0,716(;极小点)0,2(-.2.(1)极小值：3231313),(a a a f =； (2)极小值：0)1,1(=-f ； (3)极大值：8)2,2(=-f ；(4)极小值：2)1,21(ef -=-.3.极大值：41)21,21(=z .4.当两边都是2e 时，可取得最大周界.5.当长、宽、都是32k ，而高为3221k 时，表面积最小. 6. 购买A 原料100吨, 购买B 原料25吨,可使生产量达到最大值. 7. 368. .3,521==D D 利润 125)3,5(=L 9.X=15(千克), Y=10(千克)10. （1） 当电台广告费用万元），(75.01=x 当报纸广告费用万元），(25.12=x 时可使利润最大。
高等数学训练教程第二版课后练习题含答案
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高等数学课后习题及参考答案(第十章)
高等数学课后习题及参考答案（第十章）习题 10-11. 设在xOy 面内有一分布着质量的曲线弧L , 在点(x , y )处它的线密度为μ(x , y ), 用对弧长的曲线积分分别表达:(1)这曲线弧对x 轴、对y 轴的转动惯量I x , I y ; (2)这曲线弧的重心坐标x , y .解 在曲线弧L 上任取一长度很短的小弧段ds (它的长度也记做ds ), 设(x , y )为小弧段ds 上任一点.曲线L 对于x 轴和y 轴的转动惯量元素分别为 dI x =y 2μ(x , y )ds , dI y =x 2μ(x , y )ds . 曲线L 对于x 轴和y 轴的转动惯量分别为 ⎰=Lx ds y x y I ),(2μ, ⎰=Ly ds y x x I ),(2μ.曲线L 对于x 轴和y 轴的静矩元素分别为 dM x =y μ(x , y )ds , dM y =x μ(x , y )ds . 曲线L 的重心坐标为⎰⎰==L L y dsy x ds y x x M M x ),(),(μμ, ⎰⎰==LL x ds y x dsy x y M M y ),(),(μμ. 2. 利用对弧长的曲线积分的定义证明: 如果曲线弧L 分为两段光滑曲线L 1和L 2, 则⎰⎰⎰+=12),(),(),(LL L ds y x f ds y x f ds y x f .证明 划分L , 使得L 1和L 2的连接点永远作为一个分点, 则∑∑∑+===∆+∆=∆111111),(),(),(n n i i i i ni n i i i i i i i s f s f s f ηξηξηξ.令λ=max{∆s i }→0, 上式两边同时取极限∑∑∑+=→=→=→∆+∆=∆nn i i i i n i i i i ni i i i s f s f s f 111011),(lim),(lim ),(lim ηξηξηξλλλ,即得⎰⎰⎰+=12),(),(),(LL L ds y x f ds y x f ds y x f .3. 计算下列对弧长的曲线积分:(1)⎰+Ln ds y x )(22, 其中L 为圆周x =a cos t , y =a sin t (0≤t ≤2π);解⎰+L nds y x)(22⎰+-+=π20222222)cos ()sin ()sin cos (dt t a t a t a t a n=⎰+-+π20222222)cos ()sin ()sin cos (dt t a t a t a t a n ⎰++==ππ2012122n n a dt a .(2)⎰+Lds y x )(, 其中L 为连接(1, 0)及(0, 1)两点的直线段;解 L 的方程为y =1-x (0≤x ≤1);⎰⎰'-+-+=+102])1[(1)1()(dx x x x ds y x L22)1(1=-+=⎰dx x x .(3)xdx L⎰, 其中L 为由直线y =x 及抛物线y =x 2所围成的区域的整个边界; 解 L 1: y =x 2(0≤x ≤1), L 2: y =x (0≤x ≤1) .xdx L ⎰xdx xdx LL ⎰⎰+=21⎰⎰'++'+=102122)(1])[(1dx x x dx x x⎰⎰++=10102241xdx dx x x )12655(121-+=.(4)ds ey x L22+⎰, 其中L 为圆周x 2+y 2=a 2, 直线y =x 及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界; 解 L =L 1+L 2+L 3, 其中 L 1: x =x , y =0(0≤x ≤a ),L 2: x =a cos t , y =a sin t )40(π≤≤t ,L 3: x =x , y =x )220(a x ≤≤,因而ds eds eds eds ey x L y x L y x L y x L22322222122++++⎰⎰⎰⎰++=,⎰⎰⎰+++-++=axa ax dx e dt t a t a e dx e 220222402202211)cos ()sin (01π2)42(-+=a e a π.(5)⎰Γ++ds z y x 2221, 其中Γ为曲线x =e t cos t , y =e t sin t , z =e t 上相应于t 从0变到2的这段弧;解 dt dtdz dt dydt dx ds 222)()()(++=dt e t e t e t e t e t t t t t 222)cos sin ()sin cos (+++-=dt e t 3=,⎰⎰++=++Γ20222222223sin cos 11dt e et e t e ds z y x t t t t ⎰----=-==2220)1(23]23[23e e dt e t t .(6)⎰Γyzds x 2, 其中Γ为折线ABCD , 这里A 、B 、C 、D 依次为点(0, 0, 0)、 (0, 0, 2)、(1, 0, 2)、(1, 3, 2); 解 Γ=AB +BC +CD , 其中 AB : x =0, y =0, z =t (0≤t ≤1), BC : x =t , y =0, z =2(0≤t ≤3), CD : x =1, y =t , z =2(0≤t ≤3), 故yzds x yzds x yzds x yzds x CD BC AB 2222⎰⎰⎰⎰++=Γ9010200322231=++++=⎰⎰⎰dt t dt dt .(7)⎰Lds y 2, 其中L 为摆线的一拱x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )(0≤t ≤2π);解⎰⎰'+'--=L dt t a t t a t a ds y π2022222])(cos [])sin ([)cos 1(⎰--=π2023cos 1)cos 1(2dt t t a 315256a =.(8)⎰+Lds y x )(22, 其中L 为曲线x =a (cos t +t sin t ), y =a (sin t -t cos t )(0≤t ≤2π).解 dt dtdydt dx ds 22)()(+=atdt dt t at t at =+=22)sin ()cos (atdt t t t a t t t a ds y x L ])cos (sin )sin (cos [)(22202222-++=+⎰⎰π⎰+=+=πππ2023223)21(2)1(a tdt t a .4. 求半径为a , 中心角为2ϕ的均匀圆弧(线密度μ=1)的重心. 解 建立坐标系如图10-4所示, 由对称性可知0=y , 又 ⎰==L x xds a M M x ϕ21⎰-⋅=ϕϕθθϕad a a cos 21ϕϕsin a =, 所以圆弧的重心为)0 ,sin (ϕϕa5. 设螺旋形弹簧一圈的方程为x =a cos t , y =a sin t , z =kt , 其中0≤1≤2π, 它的线密度ρ(x , y , z )=x 2+y 2+z 2, 求:(1)它关于z 轴的转动惯量I z ; (2)它的重心. 解 dt t z t y t x ds )()()(222'+'+'=dt k a 22+=. (1)⎰+=Lz ds z y x y x I ),,()(22ρds z y x y x L))((22222+++=⎰dt k a t k a a ⎰++=π20222222)()43(32222222k a k a a ππ++=. (2)⎰⎰++==LLds z y x ds z y x M )(),,(222ρ⎰++=π2022222)(dt k a t k a)43(3222222k a k a ππ++=, ds z y x x M x L)(1222⎰++=⎰++=π2022222)(cos 1dt k a t k a t a M2222436k a ak ππ+=, ds z y x y M y L)(1222⎰++=⎰++=π2022222)(sin 1dt k a t k a t a M2222436k a ak ππ+-=, ds z y x z M z L)(1222⎰++=⎰++=π2022222)(1dt k a t k a kt M22222243)2(3k a k a k πππ++=,故重心坐标为)43)2(3 ,436 ,436(22222222222222k a k a k k a ak k a ak πππππππ+++-+.习题 10-21. 设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段, 证明:⎰=L dx y x P 0),(.证明 设L 是直线x =a 上由(a , b 1)到(a , b 2)的一段, 则L : x =a , y =t , t 从b 1变到b 2. 于是00) ,())( ,(),(2121⎰⎰⎰=⋅==b b b b L dt t a P dt dtda t a P dx y x P . 2. 设L 为xOy 面内x 轴上从点(a , 0)到(b , 0)的一段直线, 证明⎰⎰=Lbadx x P dx y x P )0 ,(),(.证明L : x =x , y =0, t 从a 变到b , 所以⎰⎰⎰='=baL b adx x P dx x x P dx y x P )0 ,())(0 ,(),(.3. 计算下列对坐标的曲线积分:(1)⎰-Ldx y x )(22, 其中L 是抛物线y =x 2上从点(0, 0)到点(2, 4)的一段弧;解 L : y =x 2, x 从0变到2, 所以⎰⎰-=-=-L dx x x dx y x2042221556)()(.(2)⎰Lxydx , 其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2(a >0)及x 轴所围成的在第 一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行); 解 L =L 1+L 2, 其中L 1: x =a +a cos t , y =a sin t , t 从0变到π, L 2: x =x , y =0, x 从0变到2a , 因此⎰⎰⎰+=21L L L xydx xydx xydx⎰⎰+'++=adx dt t a a t a t a 200)cos (sin )cos 1(π3020232)sin sin sin (a t td tdt a πππ-=+-=⎰⎰.(3)⎰+Lxdy ydx , 其中L 为圆周x =R cos t , y =R sin t 上对应t 从0到2π的一段弧;解 ⎰⎰+-=+L dt t tR R t R t R xdy ydx ]cos cos )sin (sin [20π⎰==20202cos πtdt R .(4)⎰+--+L y x dy y x dx y x 22)()(, 其中L 为圆周x 2+y 2=a 2(按逆时针方向绕行);解 圆周的参数方程为: x =a cos t , y =a sin t , t 从0变到2π, 所以⎰+--+L yx dyy x dx y x 22)()( ⎰---+=π202)]cos )(sin cos ()sin )(sin cos [(1dt t a t a t a t a t a t a a ⎰-=-=ππ202221dt a a .(5)ydz zdy dx x -+⎰Γ2, 其中Γ为曲线x =k θ, y =a cos θ, z =a sin θ上对应θ从0到π的一段弧; 解⎰⎰--+=-+Γπθθθθθθ022]cos cos )sin (sin )[(d a a a a k k ydz zdy dx x233220331)(a k d a k ππθθπ-=-=⎰.(6)dz y x ydy xdx )1(-+++⎰Γ, 其中Γ是从点(1, 1, 1)到点(2, 3, 4)的一段直线;解 Γ的参数方程为x =1+t , y =1+2t , z =1+3t , t 从0变到1.⎰Γ-+++dz y x ydy xdx )1(⎰-+++++++=1)]1211(3)21(2)1[(dt t t t t⎰=+=1013)146(dt t .(7)⎰Γ+-ydz dy dx , 其中Γ为有向闭折线ABCA , 这里的A , B , C依次为点(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1); 解 Γ=AB +BC +CA , 其中AB : x =x , y =1-x , z =0, x 从1变到0, BC : x =0, y =1-z , z =z , z 从0变到1, CA : x =x , y =0, z =1-x , x 从0变到1, 故ydz dy dx ydz dy dx ydz dy dx ydz dy dx CA BC AB +-++-++-=+-⎰⎰⎰⎰Γ⎰⎰⎰+-+'--+'--=101010)]1()1([])1(1[dx dt z z dx x 21=.(8)dy xy y dx xy x L)2()2(22-+-⎰, 其中L 是抛物线y =x 2上从(-1, 1)到(1, 1)的一段弧.解 L : x =x , y =x 2, x 从-1变到1, 故⎰-+-L dy xy y dx xy x )2()2(22⎰--+-=113432]2)2()2[(dx x x x x x 1514)4(21042-=-=⎰dx x x 4. 计算⎰-++Ldy x y dx y x )()(, 其中L 是:(1)抛物线y =x 2上从点(1, 1)到点(4, 2)的一段弧; 解 L : x =y 2, y =y , y 从1变到2, 故⎰-++L dy x y dx y x )()(⎰=⋅-+⋅+=2122334]1)(2)[(dy y y y y y . (2)从点(1, 1)到点(4, 2)的直线段; 解 L : x =3y -2, y =y , y 从1变到2, 故⎰-++L dy x y dx y x )()(11]1)23()23[(21=⋅+-+⋅+-=⎰dy y y y y y(3)先沿直线从点(1, 1)到(1, 2), 然后再沿直线到点(4, 2)的折线; 解 L =L 1+L 2, 其中L 1: x =1, y =y , y 从1变到2, L 2: x =x , y =2, x 从1变到4, 故⎰-++L dy x y dx y x )()(dy x y dx y x dy x y dx y x L L )()()()(21-+++-++=⎰⎰14)2()1(4121=++-=⎰⎰dx x dy y .(4)沿曲线x =2t 2+t +1, y =t 2+1上从点(1, 1)到(4, 2)的一段弧. 解 L : x =2t 2+t +1, y =t 2+1, t 从0变到1, 故⎰-++L dy x y dx y x )()(332]2)()14)(23[(1022=⋅--++++=⎰dt t t t t t t .5. 一力场由沿横轴正方向的常力F 所构成, 试求当一质量为m 的质点沿圆周x 2+y 2=R 2按逆时针方向移过位于第一象限的那一段时 场力所作的功.解 已知场力为F =(|F |, 0), 曲线L 的参数方程为 x =R cos θ, y =R sin θ,θ从0变到2π, 于是场力所作的功为R F d R F dx F d W LL||)sin (||||20-=-⋅==⋅=⎰⎰⎰πθθr F .6. 设z 轴与力方向一致, 求质量为m 的质点从位置(x 1, y 1, z 1) 沿直线移到(x 2, y 2, z 2)时重力作的功.解 已知F =(0, 0, mg ). 设Γ为从(x 1, y 1, z 1)到(x 2, y 2, z 2)的直线, 则重力所作的功为⎰⎰⎰ΓΓ-==++=⋅=21)(0012z z z z mg dz mg mgdz dy dx d W r F .7. 把对坐标的曲线积分⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(化成对弧长的曲线积分, 其中L 为:(1)在xOy 面内沿直线从点(0, 0)到(1, 1); 解 L 的方向余弦214cos cos cos ===πβα,故⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(ds y x Q y x P L]cos ),(cos ),([βα+=⎰⎰+=L ds y x Q y x P 2),(),(.(2)沿抛物线y =x 2从点(0, 0)到(1, 1);解 曲线L 上点(x , y )处的切向量为τ=(1, 2x ), 单位切向量为 )412,411()cos ,(cos 22x x x ++==τβαe ,故⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(ds y x Q y x P L ]cos ),(cos ),([βα+=⎰⎰++=L ds xy x xQ y x P 241),(2),(. (3)沿上半圆周x 2+y 2=2x 从点(0, 0)到(1, 1). 解 L 的方程为22x x y -=, 其上任一点的切向量为 )21 ,1(2x x x --=τ, 单位切向量为)1 ,2()cos ,(cos 2x x x --==τβαe ,故⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(ds y x Q y x P L ]cos ),(cos ),([βα+=⎰⎰-+-=Lds y x Q x y x P x x )],()1(),(2[2.8. 设Γ为曲线x =t , y =t 2, z =t 3上相应于t 从0变到1的曲线弧,把对坐标的曲线积分⎰Γ++Rdz Qdy Pdx 化成对弧长的曲线积分.解 曲线Γ上任一点的切向量为 τ=(1, 2t , 3t 2)=(1, 2x , 3y ), 单位切向量为)3 ,2 ,1(9211)cos ,cos ,(cos 22y x yx ++==τγβαe ,ds R Q P Rdz Qdy Pdx L ]cos cos cos [γβα++=++⎰⎰Γ⎰++++=L ds y x yRxQ P 2294132.习题 10-31. 计算下列曲线积分, 并验证格林公式的正确性:(1)⎰++-ldy y x dx x xy )()2(22, 其中L 是由抛物线y =x 2及y 2=x 所围成的区域的正向边界曲线; 解 L =L 1+L 2, 故⎰++-L dy y x dx x xy )()2(22⎰⎰++-+++-=21)()2()()2(2222L L dy y x dx x xy dy y x dx x xy⎰⎰++-+++-=112243423)](2)2[(]2)()2[(dy y y y y y dx x x x x x301)242()22(1010245235=++--++=⎰⎰dy y y y dx x x x ,而dxdy x dxdy yPx Q DD)21()(-=∂∂-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=102)21(y y dx x dy301)(42121=+--=⎰dy y y y y , 所以⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂l DQdy Pdx dxdy yPx Q )(.(2)⎰-+-ldy xy y dx xy x )2()(232, 其中L 是四个顶点分别为(0, 0)、 (2, 0)、(2, 2)、和(0, 2)的正方形区域的正向边界.解 L =L 1+L 2+L 3+L 4, 故⎰-+-L dy xy y dx xy x )2()(232dy xy y dx xy x L L L L )2())((2324321-+-+++=⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰⎰+-+-+=202002022222)8()4(dy y dx x x dy y y dx x 8482020=-+=⎰⎰ydy xdx , 而 dxdy xy y dxdy y P x Q DD )32()(2+-=∂∂-∂∂⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰+-=20220)32(dy xy y dx 8)48(20=-=⎰dx x , 所以 ⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂l D Qdy Pdx dxdy yP x Q )(. 2. 利用曲线积分, 求下列曲线所围成的图形的面积:(1)星形线x =a cos 3t , y =a sin 3t ;解 ⎰⎰-⋅⋅-=-=L dt t t a t a ydx A π2023)sin (cos 3sin ⎰==ππ20224283cos sin 3a tdt t a . (2)椭圆9x 2+16y 2=144;解 椭圆9x 2+16y 2 =144的参数方程为x =4cos θ, y =3sin θ, 0≤θ≤2π, 故⎰-=Lydx xdy A 21 ⎰-⋅-⋅=πθθθθθ20)]sin 4(sin 3cos 3cos 4[21d ⎰==ππθ20126d . (3)圆x 2+y 2=2ax .解 圆x 2+y 2=2ax 的参数方程为x =a +a cos θ, y =a sin θ, 0≤θ≤2π,故 ⎰-=Lydx xdy A 21 ⎰-⋅-⋅+=πθθθθθ20)]sin (sin cos )cos 1([21d a a a a 2202)cos 1(2a d a ⎰=+=ππθθ.3. 计算曲线积分⎰+-L y x xdy ydx )(222, 其中L 为圆周(x -1)2+y 2=2, L 的方 向为逆时针方向.解 )(222y x y P +=, )(222y x x Q +-=. 当x 2+y 2≠0时 y P x Q ∂∂=∂∂0)(2)(22222222222=+--+-=y x y x y x y x . 在L 内作逆时针方向的ε小圆周l : x =εcos θ, y =εsin θ(0≤θ≤2π),在以L 和l 为边界的闭区域D ε上利用格林公式得0)(=∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰-+dxdy y P x Q Qdy Pdx D l L ε, 即 ⎰⎰⎰+=+-=+-lL l dy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx . 因此 ⎰⎰+-=+-l L y x xdy ydx y x xdy ydx )(2)(22222⎰--=πθεθεθε20222222cos sin d ⎰-=-=ππθ2021d .4. 证明下列曲线积分在整个xOy 面内与路径无关, 并计算积分值:(1)⎰-++)3 ,2()1 ,1()()(dy y x dx y x ;解 P =x +y , Q =x -y , 显然P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏 导数, 而且1=∂∂=∂∂xQ y P , 故在整个xOy 面内, 积分与路径无关.取L 为点(1, 1)到(2, 3)的直线y =2x -1, x 从1变到2, 则⎰⎰-+-=-++)3 ,2()1 ,1(21)]1(2)13[()()(dx x x dy y x dx y x ⎰=+=2125)1(dx x . (2)⎰-+-)4 ,3()2 ,1(2232)36()6(dy xy y x dx y xy ;解 P =6xy 2-y 3, Q =6x 2y -3xy 2, 显然P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏导数, 并且2312y xy xQ y P -=∂∂=∂∂, 故积分与路径无关, 取路径 (1, 2)→(1, 4)→(3, 4)的折线, 则⎰-+-)4 ,3()2 ,1(2232)36()6(dy xy y x dx y xy236)6496()3642312=-+-=⎰⎰dx x dy y y .(3)⎰-++-)1 ,2()0 ,1(324)4()32(dy xy x dx y xy .解 P =2xy -y 4+3, Q =x 2-4xy 3, 显然P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏导数, 并且342y x xQ y P -=∂∂=∂∂, 所以在整个xOy 面内积分与 路径无关, 选取路径为从(1, 0)→(1, 2)→(2, 1)的折线, 则⎰-++-)1 ,2()0 ,1(324)4()32(dy xy x dx y xy⎰⎰=++-=102135)1(2)41(dx x dy y .5. 利用格林公式, 计算下列曲线积分:(1)⎰-+++-Ldy x y dx y x )635()42(, 其中L 为三顶点分别为(0, 0)、 (3, 0)和(3, 2)的三角形正向边界;解 L 所围区域D 如图所示, P =2x -y +4, Q =5y +3x -6,4)1(3=--=∂∂-∂∂yP x Q , 故由格林公式,得⎰-+++-L dy x y dx y x )6315()42(dxdy y P x Q D)(∂∂-∂∂=⎰⎰ 124==⎰⎰dxdy D.(2)⎰-+-+Lx x dy ye x x dx e y x xy x y x )2sin ()sin 2cos (222, 其中L 为正 向星形线323232a y x =+(a >0);解 x e y x xy x y x P 22sin 2cos -+=, x ye x x Q 2sin 2-=,0)2cos sin 2()2cos sin 2(22=-+--+=∂∂-∂∂x x ye x x x x ye x x x x yP x Q , 由格林公式⎰-+-+L x x dy ye x x dx e y x xy x y x )2sin ()sin 2cos (2220)(=∂∂-∂∂=⎰⎰dxdy yP x Q D . (3)⎰+-+-Ldy y x x y dx x y xy )3sin 21()cos 2(2223, 其中L 为在抛物线 2x =πy 2上由点(0, 0)到)1 ,2(π的一段弧; 解 x y xy P cos 223-=, 223sin 21y x x y Q +-=,0)cos 26()6cos 2(22=--+-=∂∂-∂∂x y xy xy x y yP x Q , 所以由格林公式0)(=∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰++-dxdy yP x Q Qdy Pdx D OB OA L , 其中L 、OA 、OB 、及D 如图所示.故 ⎰⎰++=+AB OA L Qdy Pdx Qdy Pdx4)4321(02201022πππ=+-+=⎰⎰dy y y dx . (4)⎰+--L dy y x dx y x )sin ()(22, 其中L 是在圆周22x x y -=上由点(0, 0)到点(1, 1)的一段弧.解 P =x 2-y , Q =-x -sin 2y ,0)1(1=---=∂∂-∂∂y P x Q , 由格林公式有0)(=∂∂-∂∂-=+⎰⎰⎰++dxdy y P x Q Qdy Pdx DBO AB L , 其中L 、AB 、BO 及D 如图所示.故 ⎰⎰++--=+--L OB BA dy y x dx y x dy y x dx y x )sin ()()sin ()(22222sin 4167)sin 1(102102+-=++-=⎰⎰dx x dy y .6. 验证下列P (x , y )dx +Q (x , y )dy 在整个xOy 平面内是某一函数u (x , y )的全微分, 并求这样的一个u (x , y ):(1)(x +2y )dx +(2x +y )dy ;证明 因为yP x Q ∂∂==∂∂2, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某个定义在整 个xOy 面内的函数u (x , y )的全微分.⎰++++=),()0,0()2()2(),(y x C dy y x dx y x y x u C y xy x +++=22222. (2)2xydx +x 2dy ;解 因为y P x x Q ∂∂==∂∂2, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某个定义在整个 xOy 面内的函数u (x , y )的全微分.⎰++=),()0,0(22),(y x C dy x xydx y x u ⎰⎰+=++=y yC y x C xydx dy 00220. (3)4sin x sin3y cos xdx –3cos3y cos2xdy解 因为yP x y x Q ∂∂==∂∂2sin 3cos 6, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某个 定义在整个xOy 平面内的函数u (x , y )的全微分.⎰+-=),()0,0(2cos 3cos 3cos 3sin sin 4),(y x C xdy y xdx y x y x u C y x C xdy y dx xy +-=+-+=⎰⎰3sin 2cos 2cos 3cos 3000. (4)dy ye y x x dx xy y x y )128()83(2322++++解 因为yP xy x x Q ∂∂=+=∂∂1632, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某个定 义在整个xOy 平面内的函数u (x , y )的全微分. ⎰+++++=),()0,0(232)128()823(),(y x y C dy ye y x x dx xy iy xh y x u C dx xy y x dy ye yx y +++=⎰⎰0022)83(12C e ye y x y x y y +-++=)(124223.(5)dy y x x y dx x y y x )sin sin 2()cos cos 2(22-++解 因为yP y x x y x Q ∂∂=-=∂∂sin 2cos 2, 所以P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是 某个函数u (x , y )的全微分 ⎰⎰+-+=x y C dy y x x y xdx y x u 002)sin sin 2(2),( C y x x y ++=cos sin 22.7. 设有一变力在坐标轴上的投影为X =x +y 2, Y =2xy -8, 这变力确 定了一个力场, 证明质点在此场内移动时, 场力所做的功与路径无关. 解 场力所作的功为⎰Γ-++=dy xy dx y x W )82()(2. 由于yX y x Y ∂∂==∂∂2, 故以上曲线积分与路径无关, 即场力所作的功 与路径无关.习题10-41. 设有一分布着质量的曲面∑, 在点(x , y , z )处它的面密度为μ(x , y , z ), 用对面积的曲面积分表达这曲面对于x 轴的转动惯量.解. 假设μ(x , y , z )在曲面∑上连续, 应用元素法, 在曲面∑上任意一点(x , y , z )处取包含该点的一直径很小的曲面块dS (它的面积也记做dS ), 则对于x 轴的转动惯量元素为dI x =(y 2+z 2)μ(x , y , z )dS ,对于x 轴的转动惯量为dS z y x z y I x ),,()(22μ+=∑⎰⎰.2. 按对面积的曲面积分的定义证明公式dS z y x f dS z y x f dS z y x f ),,(),,(),,(21∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=,其中∑是由∑1和∑2组成的.证明 划分∑1为m 部分, ∆S 1, ∆S 2, ⋅⋅⋅, ∆S m ;划分∑2为n 部分, ∆S m +1, ∆S m +2, ⋅⋅⋅, ∆S m +n ,则∆S 1, ⋅⋅⋅, ∆S m , ∆S m +1, ⋅⋅⋅, ∆S m +n 为∑的一个划分, 并且i i i i nm m i i i i i m i i i i i n m i S f S f S f ∆∑+∆∑=∆∑++==+=),,(),,(),,(111ζηξζηξζηξ. 令}{max 11i mi S ∆=≤≤λ, }{max 12i n m i m S ∆=+≤≤+λ, } ,max{21λλλ=, 则当 λ→0时, 有dS z y x f dS z y x f dS z y x f ),,(),,(),,(21∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=.3. 当∑是xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分dSz y x f ),,(∑⎰⎰与二重积分有什么关系？解 ∑的方程为z =0, (x , y )∈D ,dxdy dxdy z z dS y x=++=221, 故 dxdy z y x f dS z y x f D),,(),,(⎰⎰⎰⎰=∑.4. 计算曲面积分dS z y x f ),,(∑⎰⎰, 其中∑为抛物面z =2-(x 2+y 2)在xOy 面上方的部分, f (x , y , z )分别如下:(1) f (x , y , z )=1;解 ∑: z =2-(x 2+y 2), D xy : x 2+y 2≤2,dxdy y x dxdy z z dS y x22224411++=++=. 因此 dxdy y x dS z y x f xyD 22441),,(++=⎰⎰⎰⎰∑ ⎰⎰+=πθ2020241rdr r d ππ313])41(121[2202/32=+=r . (2) f (x , y , z )=x 2+y 2;解 ∑: z =2-(x 2+y 2), D xy : x 2+y 2≤2, dxdy y x dxdy z z dS y x22224411++=++=. 因此 dxdy y x y x dS z y x f xyD 2222441)(),,(+++=⎰⎰⎰⎰∑ ⎰⎰+=πθ2020241rdr r d ππ301494122022=+=⎰rdr r r . (3) f (x , y , z )=3z .解 ∑: z =2-(x 2+y 2), D xy : x 2+y 2≤2,dxdy y x dxdy z z dS y x22224411++=++=. 因此 dS z y x f ),,(∑⎰⎰dxdy y x y x xyD 2222441)](2[3+++-=⎰⎰⎰⎰+-=πθ20202241)2(3rdr r r d ππ1011141)2(62022=+-=⎰rdr r r . 5. 计算dS y x )(22+∑⎰⎰, 其中∑是: (1)锥面22y x z +=及平面z =1所围成的区域的整个边界曲面;解 将∑分解为∑=∑1+∑2, 其中∑1: z =1 , D 1: x 2+y 2≤1, dS =dxdy ;∑1:22y x z +=, D 2: x 2+y 2≤1, dxdy dxdy z z dS y x2122=++=. dS y x dS y x dS y x )()()(22222221+++=+∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰ dxdy y x dxdy y x D D )()(222221+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰=πθ20103dr r d +⎰⎰πθ201032dr r d πππ221222+=+=. 提示: dxdy dxdy yx y y x x dS 21222222=++++=.(2)锥面z 2=3(x 2+y 2)被平面z =0及z =3所截得的部分. 解 ∑:223y x z +=, D xy : x 2+y 2≤3,dxdy dxdy z z dS y x2122=++=, 因而 πθπ922)()(302202222==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑rdr r d dxdy y x dS y x xy D . 提示: dxdy dxdy y x y y x x dS 2])(326[])(326[1222222=++++=.6. 计算下面对面积的曲面积分:(1)dS y x z )342(++∑⎰⎰, 其中∑为平面1432=++z y x 在第一象限中的部分;解 y x z 3424:--=∑, x y x D xy 2310 ,20 :-≤≤≤≤, dxdy z z dS y x 221++=dxdy 361=, 61436143614)342(==⋅=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑dxdy dxdy dS y x z xy xyD D . (2)dS z x x xy )22(2+--∑⎰⎰, 其中∑为平面2x +2y +z =6在第一象限中的部分;解 ∑: z =6-2x -2y , D xy : 0≤y ≤3-x , 0≤x ≤3,dxdy dxdy z z dS y x3122=++=, dS z x x xy )22(2+--∑⎰⎰ dxdy y x x x xy xyD 3)22622(2--+--=⎰⎰⎰⎰--+--=x dy y xy x x dx 30230)22236(3 427)9103(33023-=+-=⎰dx x x . (3)dS z y x )(++∑⎰⎰, 其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2上z ≥h (0<h <a )的部分;解 ∑:222y x a z --=, D xy : x 2+y 2≤a 2-h 2,dxdy z z dS y x 221++=dxdy y x a a 222--=,dxdy yx a a y x a y x dS z y x xy D 222222)()(----++=++⎰⎰⎰⎰∑ )(||22h a a D a adxdy xy D xy-===⎰⎰π(根据区域的对称性及函数的奇偶性).提示: dxdy yx a y y x a x dS 22222222)()(1+--++--+=dxdy y x a a 222--=, (4)dS zx yz xy )(++∑⎰⎰, 其中∑为锥面22y x z +=被x 2+y 2=2ax所截得的有限部分.解 ∑: 22y x z +=, D xy : x 2+y 2≤2ax ,dxdy dxdy z z dS y x2122=++=, dxdy y x y x xy dS zx yz xy xyD ])([2)(22+++=++⎰⎰⎰⎰∑ ⎰⎰++=-θππθθθθcos 202222)]sin (cos cos sin [2a rdr q r r dθθθθθθππd a )cos sin cos cos (sin 24422554⎰-++= 421564a =. 提示: dxdy yx y y x x dS 2222221++++=. 7. 求抛物面壳)10)((2122≤≤+=z y x z 的质量, 此壳的面密度为μ=z .解 ∑: )(2122y x z +=, D xy : x 2+y 2≤2, dxdy y x dxdy z z dS y x222211++=++=.故 dxdy y x y x zdS M xyD 22221)(21+++==⎰⎰⎰⎰∑ ⎰⎰+=πθ202022121rdr r r d )136(152+=π. 8. 求面密度为μ0的均匀半球壳x 2+y 2+z 2=a 2(z ≥0)对于z 轴的转动惯量. 解 ∑: 222y x a z --=, D xy : x 2+y 2≤a 2,dxdy z z dS y x 221++=dxdy yx a a 222--=, dxdy y x a a y x dS y x I z 222022022)()(--+=+=∑∑⎰⎰⎰⎰μμ ⎰⎰-=a dr ya r d a 0223200πθμ 4034a πμ=.提示:dxdy yx a y y x a x dS 22222222)()(1---+---+=dxdy y x a a 222--=.习题10-51. 按对坐标的曲面积分的定义证明公式:dydz z y x P z y x P )],,(),,([21±∑⎰⎰dydz z y x P dydz z y x P )],,(),,(21∑∑⎰⎰⎰⎰±=.解 证明把∑分成n 块小曲面∆S i (∆S i 同时又表示第i 块小曲面的面 积), ∆S i 在yOz 面上的投影为(∆S i )yz , (ξi , ηi ,ζi )是∆S i 上任意取定的一点, λ是各小块曲面的直径的最大值, 则dydzz y x P z y x P )],,(),,([21±∑⎰⎰ yz i i i i i i i n i S P P ))](,(),([lim ,2,110∆±==→∑ζηξζηξλyz i i i i ni yz i i i i n i S P S P ))(,(lim ))(,(lim ,210,110∆±∆==→=→∑∑ζηξζηξλλ dydz z y x P dydz z y x P )],,(),,(21∑∑⎰⎰⎰⎰±=.2. 当∑为xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分dxdy z y x R ),,(∑⎰⎰与二重积分有什么关系？解 因为∑: z =0, (x , y )∈D xy , 故dxdy z y x R dxdy z y x R xyD ),,(),,(⎰⎰⎰⎰±=∑,当∑取的是上侧时为正号, ∑取的是下侧时为负号.3. 计算下列对坐标的曲面积分:(1)zdxdy y x 22∑⎰⎰其中∑是球面x 2+y 2+z 2=R 2的下半部分的下侧;解 ∑的方程为222y x R z ---=, D xy : x 2+y 2≤R , 于是zdxdy y x 22∑⎰⎰dxdy y x R y x xyD )(22222----=⎰⎰ ⎰⎰⋅-⋅⋅=πθθθ20222202sin cos rdr r R r r d R⎰⎰-=πθθ20052222sin 41R dr r r R d 71052R π=. (2)ydzdx xdydz zdxdy ++∑⎰⎰, 其中z 是柱面x 2+y 2=1被平面z =0及z =3所截得的第一卦限内的部分的前侧;解 ∑在xOy 面的投影为零, 故0=∑⎰⎰zdxdy .∑可表示为21y x -=, (y , z )∈D yz ={(y , z )|0≤y ≤1, 0≤z ≤3}, 故 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-=∑3010102221311dy y dy y dz dydz y xdyz yz D ∑可表示为21x y -=, (z , x )∈D zx ={(z , x )|0≤z ≤3, 0≤x ≤1}, 故dzdx x ydzdx zx D 21-=⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰⎰-=-=30101022131dx x dx x dz . 因此 ydzdx xdydz zdxdy ++∑⎰⎰)13(2102dx x ⎰-=ππ2346=⨯=. 解法二 ∑前侧的法向量为n =(2x , 2y , 0), 单位法向量为)0 , ,(1)cos ,cos ,(cos 22y x y x +=γβα, 由两种曲面积分之间的关系,dS z y x ydzdx xdydz zdxdy )cos cos cos (γβα++=++∑∑⎰⎰⎰⎰π23)(222222==+=+⋅++⋅=∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰dS dS y x dS y x y y y x x x . 提示: dS ∑⎰⎰表示曲面的面积.(3)dxdy z z y x f dzdx y z y x f dydz x z y x f ]),,([]),,(2[]),,([+++++∑⎰⎰, 其中f (x , y , z )为连续函数, ∑是平面x -y +z =1在第四卦限部分的上侧; 解 曲面∑可表示为z =1-x +y , (x , y )∈D xy ={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤x -1}, ∑上侧的法向量为n =(1, -1, 1), 单位法向量为)31 ,31 ,31()cos ,cos ,(cos -=γβα, 由两类曲面积分之间的联系可得dxdy z z y x f dzdx y z y x f dydz x z y x f ]),,([]),,(2[]),,([+++++∑⎰⎰dS z f y f x f ]cos )(cos )2(cos )[(γβα+++++=∑⎰⎰dS z f y f x f ]31)()31()2(31)(⋅++-⋅++⋅+=∑⎰⎰ 2131)(31===+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑dxdy dS dS z y x xyD .(4)⎰⎰∑++yzdzdx xydydz xzdxdy , 其中∑是平面x =0, y =0, z =0, x +y +z =1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.解 ∑=∑1+∑2+∑3+∑4, 其中∑1: x =0, D yz : 0≤y ≤1, 0≤z ≤1-y ,∑2: y =0, D zx : 0≤z 1, 0≤x ≤1-z ,∑3: z =0, D xy : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x ,∑4: z =1-x -y , D xy : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x ,于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∑∑+++=4321xzdxdy xzdxdy 4000∑⎰⎰+++= dxdy y x x xy D )1(--=⎰⎰⎰⎰-=--=1010241)1(x dy y x xdx . 由积分变元的轮换对称性可知241⎰⎰⎰⎰∑∑==yzdzdx xydydz . 因此⎰⎰∑=⨯=++812413yzdzdx xydydz xzdxdy .解 ∑=∑1+∑2+∑3+∑4, 其中∑1、∑2、∑3是位于坐标面上的三块; ∑4: z =1-x -y , D xy : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x .显然在∑1、∑2、∑3上的曲面积分均为零, 于是⎰⎰∑++yzdzdx xydydz xzdxdyyzdzdx xydydz xzdxdy ++=∑⎰⎰4dS xz yz xy )cos cos cos (4γβα++=∑⎰⎰dS xz yz xy )(34++=∑⎰⎰81)]1)(([3=--++=⎰⎰dxdy y x y x xy xyD . 4. 把对坐标的曲面积分dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(++∑⎰⎰化成对面积的曲面积分:(1)∑为平面63223=++z y x 在第一卦限的部分的上侧;解 令63223),,(-++=z y x z y x F , ∑上侧的法向量为:)32 ,2 ,3(),,(==z y x F F F n ,单位法向量为)32 ,2 ,3(51)cos ,cos ,(cos =γβα, 于是 Rdxdy Qdzdx Pdydz ++∑⎰⎰dS R Q P )cos cos cos (γβα++=∑⎰⎰dS R Q P )3223(51++=∑⎰⎰. (2)∑是抛物面z =8-(x 2+y 2)在xOy 面上方的部分的上侧.解 令F (x , y , z )=z +x 2+y 2-8, ∑上侧的法向量n =(F x , F y , F z )=(2x , 2y , 1),单位法向量为)1 ,2 ,2(4411)cos ,cos ,(cos 22y x y x ++=γβα, 于是 Rdxdy Qdzdx Pdydz ++∑⎰⎰dS R Q P )cos cos cos (γβα++=∑⎰⎰dS R yQ xP yx )22(441122++++=∑⎰⎰.10-61. 利用高斯公式计算曲面积分:(1)⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222, 其中∑为平面x =0, y =0, z =0, x =a ,y =a , z =a 所围成的立体的表面的外侧;解 由高斯公式原式dv z y x dv z R y Q x P )(2)(++=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰⎰⎰⎰===Ωaa a a dz dy xdx xdv 0400366(这里用了对称性).(2)⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 333, 其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2的外侧;解 由高斯公式原式dv z y x dv z R y Q x P )(3)(222++=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰=ππϕϕθ20004sin 3a dr r d d 5512a π=. (3)⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322, 其中∑为上半球体 x 2+y 2≤a 2, 2220y x a z --≤≤的表面外侧;解 由高斯公式原式dv y x z d z R y Q x P )()(222++=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰=ππϕϕθ2020022sin a dr r r d d 552a π=. (4)⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz 其中∑界于z =0和z =3之间的圆柱体x 2+y 2≤9的整个表面的外侧;解 由高斯公式原式π813)(==∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰dv dv z R y Q x P . (5)⎰⎰∑+-yzdxdy dzdx y xzdydz 24,其中∑为平面x =0, y =0, z =0, x =1,y =1, z =1所围成的立体的全表面的外侧.解 由高斯公式原式dv y y z dv z R y Q x P )24()(+-=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰=-=10101023)4(dz y z dy dx . 2. 求下列向量A 穿过曲面∑流向指定侧的通量: (1)A =yz i +xz j +xy k , ∑为圆柱x +y 2≤a 2(0≤z ≤h )的全表面, 流向外侧; 解 P =yz , Q =xz , R =xy ,⎰⎰∑++=Φxydxdy xzdzdx yzdydzdv z xy y xz x yz ))()()((∂∂+∂∂+∂∂=Ω⎰⎰⎰00==Ω⎰⎰⎰dv . (2)A =(2x -z )i +x 2y j - xz 2k , ∑为立方体0≤x ≤a , 0≤y ≤a , 0≤z ≤a ,的全表面, 流向外侧;解 P =2x -z , Q =x 2y , R =-xz 2,⎰⎰∑++=ΦRdxdy Qdzdx Pdydzdv xz x dv z r y Q x P )22()(2-+=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰-=-+=a a a a a dz xz x dy dx 023200)62()22(. (3)A =(2x +3z )i -(xz +y )j +(y 2+2z )k , ∑是以点(3, -1, 2)为球心, 半径R =3的球面, 流向外侧.解 P =2x +3z , Q =-(xz +y ), R =y 2+2z ,⎰⎰∑++=ΦRdxdy Qdzdx Pdydzdv dv z R y Q x P )212()(+-=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰π1083==Ω⎰⎰⎰dv . 3. 求下列向量A 的散度:(1)A =(x 2+yz )i +(y 2+xz )j +(z 2+xy )k ;解 P =x 2+yz , Q =y 2+xz , R =-z 2+xy ,)(2222div z y x z y x zR y Q x P ++=++=∂∂+∂∂+∂∂=A . (2)A =e xy i +cos(xy )j +cos(xz 2)k ;解 P =e xy , Q =cos(xy ), R =cos(xz 2),)sin(2sin div 2xz xz xy x ye zR y Q x P xy --=∂∂+∂∂+∂∂=A . (3)A =y 2z i +xy j +xz k ;解 P =y 2, Q =xy , R =xz ,x x x zR y Q x P 20div =++=∂∂+∂∂+∂∂=A . 4. 设u (x , y , z )、v (x , y , z )是两个定义在闭区域Ω上的具有二阶连续 偏导数的函数, n u ∂∂, nv ∂∂依次表示u (x , y , z )、v (x , y , z )沿∑的外法线方向 的方向导数. 证明dS n u v n v u dxdydz u v v u )()∂∂-∂∂=∆-∆⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω, 其中∑是空间闭区间Ω的整个边界曲面, 这个公式叫作林第二公式. 证明 由第一格林公式(见书中例3)知dxdydz z v y v x v u )(222222∂∂+∂∂+∂∂Ω⎰⎰⎰ dxdydz z v z u y v y u x v x u dS n v u )(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω, dxdydz z u y u x u v )(222222∂∂+∂∂+∂∂Ω⎰⎰⎰dxdydz z v z u y v y u x v x u dS n u v )(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω. 将上面两个式子相减, 即得dxdyd z u y u x u v z v y v x v u )]()([222222222222∂∂+∂∂+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂Ω⎰⎰⎰ ⎰⎰∑∂∂-∂∂=dS n u v n v u )(. 5. 利用高斯公式推证阿基米德原理: 浸没在液体中所受液体的压力 的合力(即浮力)的方向铅直向上, 大小等于这物体所排开的液体的重力. 证明 取液面为xOy 面, z 轴沿铅直向下, 设液体的密度为ρ, 在物 体表面∑上取元素dS 上一点, 并设∑在点(x , y , z )处的外法线的方向余 弦为cos α, cos β, cos γ, 则dS 所受液体的压力在坐标轴x , y , z 上的分量 分别为-ρz cos αdS , -ρz cos β dS , -ρz cos γ dS ,∑所受的压力利用高斯公式进行计算得00cos ==-=Ω∑⎰⎰⎰⎰⎰dv dS z F x αρ,00cos ==-=Ω∑⎰⎰⎰⎰⎰dv dS z F y βρ,||cos Ω-=-=-=-=ΩΩ∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ρρργρdv dv dS z F z ,其中|Ω|为物体的体积. 因此在液体中的物体所受液体的压力的合力, 其方向铅直向上, 大小等于这物体所排开的液体所受的重力, 即阿基 米德原理得证.习题10-71. 利用斯托克斯公式, 计算下列曲线积分:(1)⎰Γ++xdz zdy ydx , 其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2=a 2, , 若从z 轴 的正向看去, 这圆周取逆时针方向;解 设∑为平面x +y +z =0上Γ所围成的部分, 则∑上侧的单位法向量为)31,31,31()cos ,cos ,(cos ==γβαn .于是 ⎰Γ++xdz zdy ydx dS x z y zy x ∂∂∂∂∂∂=∑⎰⎰γβαcos cos cos 2333)cos cos cos (a dS dS πγβα-=-=---=∑∑⎰⎰⎰⎰.提示:dS ∑⎰⎰表示∑的面积, ∑是半径为a 的圆.(2)⎰Γ-+-+-dz y x dy x z dz z y )()()(, 其中Γ为椭圆x 2+y 2=a 2, 1=+b z a x(a >0, b >0), 若从x 轴正向看去, 这椭圆取逆时针方向;解 设∑为平面1=+b z a x 上Γ所围成的部分, 则∑上侧的单位法向量为) ,0 ,()cos ,cos ,(cos 2222b a b b a b ++==γβαn . 于是 ⎰Γ-+-+-dz y x dy x z dx z y )()()(dS y x x z z y zy x ---∂∂∂∂∂∂=∑⎰⎰γβαcos cos cos dS b a b a dS ∑∑⎰⎰⎰⎰++-=---=22)(2)cos 2cos 2cos 2(γβα)(2)(2)(22222b a a dxdy a b a dxdy a b a b a b a xyxyD D +-=+-=+++-=⎰⎰⎰⎰π.提示: ∑(即x ab b z -=)的面积元素为dxdy a b a dxdy a b dS 222)(1+=+=.(3)⎰Γ+-dz yz xzdy ydx 23, 其中Γ为圆周x 2+y 2=2z , z =2, 若从z 轴的正向看去, 这圆周是取逆时针方向;解 设∑为平面z =2上Γ所围成的部分的上侧, 则⎰Γ+-dz yz xzdy ydx 2323yz xz y zy x dxdydzdx dydz -∂∂∂∂∂∂=∑⎰⎰ ππ2025)3()(22-=⨯-=+-+=∑⎰⎰dxdy z dydz x z .(4)⎰Γ-+dz z xdy ydx 232, 其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2=9, z =0, 若从z 轴的正向看去, 这圆周是取逆时针方向.解 设∑为xOy 面上的圆x 2+y 2≤9的上侧, 则⎰Γ-+dz z xdy ydx 232232z x y zy x dxdydzdx dydz -∂∂∂∂∂∂=∑⎰⎰ π9===⎰⎰⎰⎰∑dxdy dxdy xyD .2. 求下列向量场A 的旋度: (1)A =(2z -3y )i +(3x -z )j +(-2x )k ;解 k j i kj i A 6422332++=---∂∂∂∂∂∂=x y z x y z z y x rot . (2)A =(sin y )i -(z -x cos y )k ;解 j i kji A +=--+∂∂∂∂∂∂=0)cos (sin y x z y z z yx rot . (3)A =x 2sin y i +y 2sin(xz )j +xy sin(cos z )k .解 )sin(cos )sin(sin 22z xy xz y y x z y x ∂∂∂∂∂∂=kj i A rot=[x sin(cos z )-xy 2cos(xz )]i -y sin(cos z )j +[y 2z cos(xz )-x 2cos y ]k . 3. 利用斯托克斯公式把曲面积分dS n A ⋅∑⎰⎰rot 化为曲线积分, 并计算积分值,其中A 、∑及n 分别如下:(1)A =y 2i +xy j +xz k , ∑为上半球面221y x z --=, 的上侧, n 是∑的 单位法向量;解 设∑的边界Γ : x 2+y 2=1, z =0, 取逆时针方向, 其参数方程为 x =cos θ, y =sin θ, z =0(0≤θ≤2π, 由托斯公式dS n A ⋅∑⎰⎰rot ⎰Γ++=Rdz Qdy Pdx ⎰Γ++=xzdz xydy dx y 2⎰=+-=πθθθθθ20220]sin cos )sin ([sin d .(2)A =(y -z )i +yz j -xz k , ∑为立方体0≤x ≤2, 0≤y ≤2, 0≤z ≤2的表面外侧 去掉xOy 面上的那个底面, n 是∑的单位法向量. 解dS n A ⋅∑⎰⎰rot ⎰Γ++=Rdz Qdy Pdx⎰Γ-++-=dz xz yzdy dx x y )()(⎰⎰Γ-===0242dx ydx .4. 求下列向量场A 沿闭曲线Γ(从z 轴正向看依逆时针方向)的环流量: (1)A =-y i +x j +c k (c 为常量), Γ为圆周x 2+y 2=1, z =0; 解θθθθθπd cdz xdy ydx L ]cos cos )sin ()(sin [(20+--=++-⎰⎰⎰==ππθ202d .(2)A =(x -z )i +(x 3+yz )j -3xy 2k , 其中Γ为圆周222y x z +-=, z =0. 解 有向闭曲线Γ的参数方程为x =2cos θ, y =2sin θ, z =0(0≤π≤2π). 向量场A 沿闭曲线Γ的环流量为⎰⎰-++-=++LL dz xy dy yz x dx z x Rdz Qdy Pdx 223)()(。
(完整word版)高等数学第10章课后习题答案(科学出版社)
于是所求的曲面积分为
.
（2） ，其中 为旋转抛物面 介于 之间部分的下侧。
解由两类曲面积分之间的联系，可得
，
在曲面 上，有
。
故
。
再依对坐标的曲面积分的计算方法，得
。
注意到
，
故
。
（3） ，其中 为 ， 的上侧；
解 在 面上的投影为半圆域 ， ，
=
= =
由对称性 = ， =
∴原式= =
（4） ，其中 是由平面 ， ， ， 所围成的四面体的表面的外侧。
，
其中 为上半球面 ， ， ，故
，
其中 是 在 坐标面上的投影区域，利用极坐标计算此二重积分，于是得
= ，
是一个无界函数的反常积分，按反常积分的计算方法可得
，
故
。
解法2设球面方程为 ，定直径在 轴上，依题意得球面上点 的密度为 ，从而得球面的质量为 ，由轮换对称性可知： ，故有
．
2设某流体的流速为 ，求单位时间内从圆柱 ： （ ）的内部流向外侧的流量（通量）。
，其中 从 变到 ，
故
。
解法2作有向线段 ，其方程为
，其中 从 变到 ，
则有向曲线 与有向线段 构成一条分段光滑的有向闭曲线，设它所围成的闭区域为 ，由格林公式，有
，
即
，
而
，
故
。
3．计算 ,其中 为平面 在第一卦限中的部分；
解 将曲面 投影到 面上，得投影区域为 ，此时曲面方程可表示为
，
于是
，
。
4. 计算 ,其中 是球面 的上半部分并取外侧；
解如右图所示，因为闭曲面取外侧，所以 取下侧， 取后侧， 取左侧， 取上侧。于是
《高等数学》同步练习册（下）新答案
参考答案与提示第7章 多元函数微分学及其应用7.1 多元函数的概念1、(1) }1,),{(22y x x y y x -≤>(2)}0,),,({22222≠+≥+y x z y x z y x (3)不存在 (4)连续 3、(1) 0 (2) 07.2 偏导数与全微分1、(1))sin(xy y - (2)yx xyy x x +++)ln( (3))cos()sin(xy ye xy (4) 223yx x + (5) )2(2x y x e xy -- (6) dy xe dx xe y y----2)232( (7) dx 2 (8) 0.25e 2、(1) 11+-=z y x y x f 1ln -+=z y z y y zy x x y x f y y x f z y z ln =(2)xyy xy z yx ++=1)1(2]1)1[l n()1(xy xy xy xy z y y ++++= 3、023=∂∂∂yx z 2231y y x z -=∂∂∂ 7.3 多元复合函数求导法1、(1) z xy xyf 2)(2或 (2) 212f xe f y xy '+'- (3) 12+'ϕx(4) t t t 232423-+ (5) xx e x x e 221)1(++(6) dy xy x dx y xy )2()2(22-+-2、(1) 321f yz f y f u x '+'+'= 32f xz f x u y '+'= 3f xy u z '=(2) 223221111f yx f y f xy f ''-'-''+' (3) f x f ''+'242 f xy ''4 (4) )cos ()(cos sin 333132321y x y x y x e f f x f e f e f x y +++''+''+'+''+''- 7.4 隐函数求导法1、2)cos()cos(2x xy x xy y xy -- 2、z x 2sin 2sin - zy 2s i n 2s i n -3、3232)1(22---z x z z z 4、)(211F F z F x '+'' )(212F F z F y '+'' 5、(1) )31(2)61(z y z x ++- z x31+(2))21)(1()12(21122112g yv f x g f g yv f u g f '-'--''-''+'' )21)(1()1(2112111g yv f x g f f u f x g '-'--'''-'-'7.5 多元函数微分学的几何应用1、(1) 213141-=-=-z y x (2) 422+=++πz y x (3) 223 (4) 12124433-=-=-z y x 2、2164±=++z y x 3、46281272-=-=+z y x 4、2,5-=-=b a7.6 方向导数与梯度1、(1)32 (2) 21(3) 5 (4) }2,2,1{92-2、)(2122b a ab + 3、3 4、}1,4,2{211- 217.7 多元函数极值及其求法1、极小值：2)21,41(21--=--ef2、最大值4)1,2(=z ，最小值64)2,4(-=z 。
高等数学2_习题集(含答案)
《高等数学2》课程习题集【说明】：本课程《高等数学2》（编号为01011）共有计算题1,计算题2等多种试题类型，其中，本习题集中有[]等试题类型未进入。
一、计算题11. 计算 行列式6142302151032121----=D 的值。
2. 计算行列式5241421318320521------=D 的值。
3.用范德蒙行列式计算4阶行列式12534327641549916573411114--=D 的值。
4. 已知2333231232221131211=a a a a a a a a a ， 计算：333231232221131211101010a a a a a a a a a 的值。
5.计算行列式 0111101111011110=D 的值。
6. 计算行列式199819981997199619951994199319921991 的值．7. 计算行列式50007061102948023---=D 的值． 8. 计算行列式3214214314324321=D 的值。
9. 已知10333222111=c b a c b a c b a ，求222111333c b a c b a c b a 的值． 10. 计算行列式xa a a x a a a xD n=的值。
11.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2100430000350023A ，求1-A 。
12.求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=311121111A 的逆．13.设n 阶方阵A 可逆，试证明A 的伴随矩阵A *可逆，并求1*)(-A 。
14. 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1100210000120025A 的逆。
15. 求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=461351341A 的逆矩阵。
16. 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2300120000230014A 的逆。
17. 求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=232311111A 的逆矩阵。
18.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=101012211A 的逆．19. 求矩阵112235324-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A 的逆。
高等数学第十章答案
高等数学第十章答案【篇一：高等数学2第十章答案_62010】=txt>1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1）成；2223d与，其中积分区域是圆周(x?2)?(y?1)?2所围(x?y)d?(x?y)d????? dd（2）??ln(x?y)d?与??[ln(x?y)]d?，其中d是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)，dd2(1,1)，(2,0)；2.利用二重积分的性质估计下列积分的值：（1）i?22sinxsinyd?，其中d?{(x,y)|0?x??,0?y??}；??d（2）i?2222，其中d?{(x,y)|x?y?4}.(x?4y?9)d???d（3）.i?d，其中d?{(x,y)|0?x?1,0?y?2}解f?x,y??，积分区域的面积等于2，在d上f?x,y?的最大值1m?11?x?y?0?，最小值m???x?1,y?2? 45故0.4?i?0.5习题10-2二重积分的计算法1.计算下列二重积分：（1）22(x?y)d?，其中d?{(x,y)||x|?1,|y|?1}；??d（2）??xcos(x?y)d?，其中d是顶点分别为(0,0)，(?,0)和(?,?)的三角形闭区域。
d2.画出积分区域，并计算下列二重积分：（1）x?ye??d?，其中d?{(x,y)||x|?y?1}d2（2）??(xd2?y2?x)d?，其中d是由直线y?2，y?x及y?2x所围成的闭区域。
3.化二重积分i???f(x,y)d?为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次d积分），其中积分区域d是：2（1）由直线y?x及抛物线y?4x所围成的闭区域；（2）由直线y?x，x?2及双曲线y?1(x?0)所围成的闭区域。
x34.求由曲面z?x2?2y2及z?6?2x2?y2所围成的立体的体积。
5.画出积分区域，把积分22其中积分区域d是： ??f(x,y)dxdy表示为极坐标形式的二次积分， d（1）{(x,y)|x?y?2x}；4（2）{(x,y)|0?y?1?x,0?x?1}6.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：（1）?2dxxfdy；5【篇二：高等数学课后习题答案第十章】重积分性质，比较??dln(x?y)d?与??d[ln(x?y)]d?2的大小，其中：（1）d表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形；（2）d表示矩形区域{(x,y)|3?x?5,0?y?2}.解：（1）区域d如图10-1所示，由于区域d夹在直线x+y=1与x+y=2之间，显然有图10-11?x?y?2从而0?lnx(?y?)12故有ln(x?y)?[lnx(?y )]d所以 ??ln(x?y)?d???[lxn?(y2?)]d时，有（2）区域d如图10-2所示.显然，当(x,y)?dx?y?3.图10-2 从而 ln(x+y)1 故有ln(x?y)?[lnx(?y )]d2??所以（1）（2）（3）ln(x?y)?d???d[lxn?(y2?)]d2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： i?i?i???????d?,d?{(x,y)|0?x?2,0?y?2}22;;d(x,y)?d0?y?2时，有0?x?2,2222.解：（1）因为当因而0?xy?4.从而2??2d??故??即而d??d????d?2??d??d??d??d?d??dd???得8???d2??2(2) 因为0?sinx?1,0?siny?1，从而 220?sinxsiny?1故即??d0d????dsinxsinyd??222??d1d?0???dsinxsinyd????dd???2所以0???d22222（3）因为当2(x,y)?d20?x?y?4所以时，229?x?4y?9?4(x?y)?9?25故 ??即d9d??2??d(x?4y?9)d??222??d25d?9????d(x?4y?9)d??25?2所以??d223. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：??（1）（2）d(a??,d?{(x,y)|x?y?a};d?{(x,y)|x?y?a}.222222??d?,(a?解：（1）??d?,在几何上表示以d为底，以z轴为轴，以（0，0，a）为顶点的圆锥的体积，所以d(a???133??（2）d?在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以a为半径的上半球的体积，故??d??233lim4. 设f(x，y)为连续函数，求2r?0??df(x,y)d?,d?{(x,y)|(x?x0)?(y?y0)?r}222.解：因为f(x，y)为连续函数，由二重积分的中值定理得，?(?,?)?d,使得??d2(?,?)?(x0,y0),又由于d是以（x0，y0）为圆心，r为半径的圆盘，所以当r?0时，lim2r?0??df(x,y)d??lim2r?0r?02于是：5. 画出积分区域，把（1）(?,?)?(x0,y0)limf(?,?)?f(x0,y0)??df(x,y)d?化为累次积分：;d?{(x,y)|x?y?1,y?x?1,y?0}2(2)d?{(x,y)|y?x?2,x?y}2xd?{(x,y)|y?(3),y?2x,x?2}解：（1）区域d如图10-3所示，d亦可表示为y?1?x?1?y,0?y?1.??所以2df(x,y)d???10dy?1?yy?1f(x,y)dx(2) 区域d如图10-4所示，直线y=x-2与抛物线x=y2的交点为（1，-1），（4，2），区域d可表示为y?x?y?2,?1?y?2图10-3 图10-4??所以df(x,y)d???2?1dy?y?2y2f(x,y)dxy?（3）区域d如图10-5所示，直线y=2x与曲线 2x的交点(1，2)，与x=2的交点为(2，4),曲线 y?2x与2x=2的交点为（2，1），区域d可表示为x ?y?2x,1?x?2.图10-5??所以df(x,y)d???21dx?2f(x,y)dyx2x.6. 画出积分区域，改变累次积分的积分次序： ?（1）?(3)1020dy?2yyf(x,y)dx; (2) ?edx?lnx0f(x,y)dy;dy3?2yf(x,y)dx; (4)33?y0?dx?sinx?sinx2f(x,y)dy;(5) ?1dy?2y0f(x,y)dy??1dy?f(x,y)dx.0?y?2,解：（1）相应二重保健的积分区域为d：y?x?2y.如图10-6所示.2图10-60?x?4,d亦可表示为：202yy2x24所以?dy?f(x,y)dx??dxxf(x,y)dy.2(2) 相应二重积分的积分区域d： 1?x?e,0?y?lnx.如图10-7所示.图10-70?y?1,d亦可表示为：e?x?e, 10y所以?e1dx?lnx0f(x,y)dy??dy?eeyf(x,y)dx(3) 相应二重积分的积分区域d 为：0?y?1,?x?3?2y,如图10-8所示.图10-8d亦可看成d1与d2的和，其中 0?x?1,d1：1?x?3,d2：103?2y0?y?x, 0?y?12(3?x).10x022?所以dyf(x,y)dx??dx?f(x,y)dy??311dx?x220(3?x)f(x,y)dy.(4) 相应二重积分的积分区域d为：?sin?y?sinx.如图10-9所示.图10-9d亦可看成由d1与d2两部分之和，其中 d1：d2：?1?y?0,0?y?1,【篇三：高等数学第十章测试练习】基础练习题一、选择题（共5题，每题4分，共20分）1.下列方程中，是一阶齐次微分方程的为（ b ） a．xy?ylny b. y? yydy(1?ln) c．y?2y d．?10x?y xxdx2.一阶线性微分方程y?p(x)y?q(x)的积分因子为（ a ） a．e?p(x)dxb.??p(x)dxp(x)dx c． d．??p(x)dx e?3.微分方程y?6y?9y?0的通解为（ b ） a．(c2?c1x)e b.(c2?c1x)e?3xc．(c2?x)e1 d．(c2?c1x)ecx3x4.下列方程中，线性微分方程有（ c ） a．y?yy(1?ln)b.yy?(y)2 xxc．y?8y?25y?0 d．(1?y2)dx?(arctany?x)dy5.设y1,y2是ay?by?cy?f(x)的两个特解，则下列说法正确的是（ c ） a．y1?y2仍为该方程的特解b.y1?y2仍为该方程的特解c．y?y1?y2?y1为该方程的特解d． y?c1y1?c2y2为该方程的通解二、填空题（共5题，每题4分，共20分） 1.设曲线上任意点p(x,y)处的切线的斜率为x，且曲线经过点(?2,1)，则该曲线的方程为 yy2?x2?3?0 。
高等数学第二版上册课后答案
高等数学第二版上册课后答案【篇一：《高等数学》详细上册答案(一--七)】lass=txt>《高等数学》上册（一----七）第一单元、函数极限连续使用教材：同济大学数学系编；《高等数学》；高等教育出版社；第六版；同济大学数学系编；《高等数学习题全解指南》；高等教育出版社；第六版；核心掌握知识点：1. 函数的概念及表示方法；2. 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3. 复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；4. 基本初等函数的性质及其图形；5. 极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；6. 极限的性质及四则运算法则；7. 极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法；8. 无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限； 9. 函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型；10. 连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用这些性质.学习任务巩固练习阶段：（本阶段是复习能力提升的关键阶段，高钻学员一定要有认真吃透本章节内所有习题）第二单、元函数微分学计划对应教材：高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版本单元中我们应当学习——1. 导数和微分的概念、关系，导数的几何意义、物理意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，函数的可导性与连续性之间的关系；2. 导数和微分的四则运算法则，复合函数的求导法则，基本初等函数的导数公式，一阶微分形式的不变性；3. 高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数；4. 会求以下函数的导数：分段函数、隐函数、由参数方程所确定的函数、反函数；5. 罗尔(rolle)定理、拉格朗日(lagrange)中值定理、泰勒(taylor)定理、柯西(cauchy)中值定理，会用这四个定理证明；6. 会用洛必达法则求未定式的极限；7. 函数极值的概念，用导数判断函数的单调性，用导数求函数的极值，会求函数的最大值和最小值；8. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求函数的水平、铅直和斜渐近线；9. 曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．【篇二：高数第二册习题及答案】class=txt>系班姓名学号第一节对弧长的曲线积分一．选择题1．设l是连接a(?1,0)，b(0,1)，c(1,0)的折线，则?l(x?y)ds? [ b]（a）0 （b）2 （c）22 （d）2x2y2d ] ?l43（a）s（b）6s（c）12s（d）24s二．填空题1．设平面曲线l为下半圆周y???x2，则曲线积分?l(x2?y2)ds?2．设l是由点o(0,0)经过点a(1,0) 到点b(0,1)的折线，则曲线积分三．计算题 1．?l(x?y)ds? 1?22??l(x2?y2)nds，其中l为圆周x?acost，y?asint（0?t?2?）.解：原式??2?a2?a2n?1?2?dt?2??a 2．2n?1??l，其中l为圆周x2?y2?a2，直线y?x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.解：设圆周与x轴和直线y?x的交点分别为a和b，于是原式???oa????abbo?在直线oa上y?0,ds?dx得?oa??exdx0aa?e?1在圆周ab上令x?acos?,y?asin?,0????4得?ab??4ea?a?ea??4在直线bo上y?x,ds?2dx得?bo?adx?e?1所以原式?(2?3．a?)ea?2 4?ly2ds，其中l为摆线的一拱x?a(t?sint)，y?a(1?cost)（0?t?2?）. 2解：原式?2a??(1?cost)3???(1?cost)dt52256a3?15或原式?a2?2?03(1?cost)????2?02?(1?cost)dt (1?cost)dt5252333?2?t(2sin)2dt222?ttttdt??16a3?(1?2cos2?cos4)dcos022425?8a?2?sin5256a3?15高等数学练习题第十章曲线积分与曲面积分系班姓名学号第二节对坐标的曲线积分一．选择题1．设l以(1,1)，(?1,1)，(?1,?1)，(1,?1)为顶点的正方形周边，为逆时针方向，则?lx2dy?y2dx?[ d ]（a）1（b）2（c）4（d）0 2．设l是抛物线y?x2(?1?x?1),x增加的方向为正向，则（a）0,?lxds和?xdy?ydx?[ a ]l2525（b）0,0 （c）,（d）,0 3838二．填空题1．设设l是由原点o沿y?x2到点a(1,1)，则曲线积分?l(x?y)dy? 16232．设l是由点a(1,?1)到b(1,1)的线段，则三．计算题?l(x2?2xy)dx?(y2?2xy)dy= 1．设l为取正向圆周x2?y2?a2，求曲线积分??l(2xy?2y)dx?(x2?4x)dy.解：将圆周写成参数形式x?acos?,y?asin?,(0???2?)，于是原式??{(2a2cos?sin??2asin?)?(?asin?)?(a2cos2??4acos?)?acos? }d?2???2?{(?2a3cos?sin2??2a2sin2?)?(a3cos3??4a2cos2?)}d???2a2?22．设l是由原点o沿y?x到点a(1,1)，再由点a沿直线y?x到原点的闭曲线，求??larctanydy?dx x解：i1??arctan?dx ?oax?(2xarctanx?1)dx1?[x2arctanx?x?arctanx?x]10?i2???2?2yarctan?dx ?aox?1(arctan1?1)dx?1?? 4所以原式?i1?i2? ? 3．计算?24?2?1??1?4??l(x?y)dx?(y?x)dy，其中l是：2（1）抛物线y?x上从点（1，1）到点（4，2）的一段弧；（2）从点（1，1）到点（4，2）的直线段；（3）先沿直线从点（1，1）到点（1，2），然后再沿直线到点（4，2）的折线. 解：（1）原式? ? ??2121{(y2?y)?2y?(y?y2)}dy(2y3?y2?y)dy343（2）过（1，1），（4，2）的直线方程为x?3y?2,dx?3dy 所以原式? ??21{3(4y?2)?(2?2y)}dy?21(10y?4)dy?11（3）过（1，1），（1，2）的直线方程为x?1,dx?0,1?y?2所以 i1??21(y?1)dy?1 2（3）过（1，2），（4，2）的直线方程为y?2,dy?0,1?x?4所以 i2??41(x?2)dx?272于是原式?i1?i2?14 4．求?l(y2?z2)dx?2yzdyxdz?2,其中l为曲线x?t,y?t2,z?t3(0?t?1)按参数增加的方向进行.解：由题意，原式? ? ?高等数学练习题第十章曲线积分与曲面积分系班姓名学号第三节格林公式及其应用一．选择题 1．设曲线积分?{(t01014?t6)?4t6?3t4}dt?(3t6?2t4)dt1 35?l(x4?4xyp)dx?(6xp?1y2?5y4)dy与路径无关，则p? [ c]（a）1 （b）2 （c）3（d）4 2．已知(x?ay)dx?ydy为某函数的全微分，则a?[ d] 2(x?y)（a）?1 （b）0（c）1 （d）212xx223．设l为从a(1,)沿曲线2y?x到点b(2,2)的弧段，则曲线积分?dx?2dy= [ d]ly2y（a）?3 （b）3（c）3（d）0 2【篇三：高等数学(上)第二章练习题】txt>一. 填空题1．设f(x)在x?x0处可导，且x0?0，则limx?x?02．设f(x)在x处可导，则limf2(x?h)?f2(x?2h) h?02h?______________3．设f(x)???axx?0ex?1x?0在x?0处可导，则常数a?______?4．已知f?(x)?sinxx?5．曲线y?x?lnxx上横坐标为x?1的点的切线方程是 6．设y?xxsinx ，则y??7．设y?e?2x，则dyx??x0?0.1?8．若f(x)为可导的偶函数，且f?(x0)?5，则f?(?x0)?二. 单项选择题9．函数f(x)在x?x0处可微是f(x)在x?x0处连续的【】a．必要非充分条件b．充分非必要条件c．充分必要条件 d．无关条件10. 设limf(x)?f(a)x?a(x?a)2?l，其中l为有限值，则在f(x)在x?a处【】a．可导且f?(a)?0 b．可导且f?(a)?0c．不一定可导d．一定不可导11．若f(x)?max(2x,x2)，x?(0,4)，且f?(a)不存在，a?(0,4)，则必有【a．a?1 b.a?2 c．a?3 d． a?1212．函数f(x)?x在x?0处【】a．不连续b．连续但不可导c．可导且导数为零 d．可导但导数不为零?2213．设f(x)???3xx?1，则f(x)在x?1处【】??x2x?1a．左、右导数都存在b．左导数存在但右导数不存在c．右导数存在但左导数不存在 d．左、右导数都不存在14．设f(x)?3x3?x2|x|，使f(n)(0)存在的最高阶数n为【】a．0 b. 1 c．2 d． 315．设f(u)可导，而y?f(ex)ef(x)，则y??【】a．ef(x)[f?(x)f(ex)?exf?(ex)]b． ef(x)[f?(x)f(ex)?f?(ex)]c．ef(x)f?(ex)?ef?(x)f(ex) d． exef(x)f?(ex)?ef?(x)f(ex)16．函数f(x)?(x2?x?2)|x3?x|不可导点的个数是【】a．3 b. 2 c．1 d． 0】17．设f(x)可导，f(x)?f(x)(1?|sinx|)，要使f(x)在x?0处可导，则必有【】a．f(0)?0b．f?(0)?0c．f(0)?f?(0)?0 d．f(0)?f?(0)?018．已知直线y?x与y?logax相切，则a?【】a．e b． e c．ee d．e19．已知f(x)?x(1?x)(2?x)?(100?x)，且f?(a)?2?(98)!，则a?【】 a．0 b．1 c．2 d．3 ?1?1e1，则当?x?0时，在x?x0处dy是【】 3a．比?x高阶的无穷小b．比?x低阶的无穷小c．与?x等价的无穷小d．与?x同阶但非等价的无穷小221．质点作曲线运动，其位置与时间t的关系为x?t?t?2，y?3t2?2t?1，则当t?1时，质点的速度大小等于【】 20．已知f?(x0)?a．3 b．4 c．7 d．5三. 解答下列各题22．设f(x)?(x?a)?(x)，?(x)在x?a连续，求f?(a)23．y?esin24．y?2(1?2x) ，求dy x2arcsin，求y?? 2d2y325．若f(u)二阶可导，y?f(x)，求2 dx?1??，求y?(1) ?x??x?ln(1?t2)dyd2y27．若? ，求与2 dxdx?y?t?arctant28．y?(x2?1)e?x，求y(24)29．y?arctanx，求y(n)(0) 26．设y??1?1x?x2?xx?0?30．已知f(x)??ax3?bx2?cx?d0?x?1_在(??,??)内连续且可导，?2x?xx?1?求a，b，c，d的值xy31．求曲线e?2x?y?3上纵坐标为y?0的点处的切线方程?x?t(1?t)?032．求曲线?y 上对应t?0处的法线方程 ?te?y?1?0233．过原点o向抛物线y?x?1作切线，求切线方程?34．顶角为60底圆半径为a的圆锥形漏斗盛满了水，下接底圆半径为b（b?a）的圆柱形水桶，当漏斗水面下降的速度与水桶中水面上升的速度相等时，漏斗中水面的高度是多少？35．已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x?0的某个邻域内满足关系式f(1?sinx)?3f(1?sinx)?8x??(x)，其中，?(x)是当x?0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x?1处可导，求曲线y?f(x)在点(6,f(6))处的切线方程习题答案及提示5. y?x x 6．x[(1?lnx)sinx?cosx]7. ?0.2 8. ?5 一． 1．?(x0) 2. 3f(x)f?(x) 3. 1 4二. 9. b 10. a 11. b 12. c 13. b 14. c 15. a16. b 17. a 18. c 19. c 20. d 21. d三. 22. 提示：用导数定义 f?(a)??(a) 23.dy??2esin2(1?2x)sin(2?4x)dxd2y343 24. y??? 25. 2?6xf?(x)?9xf(x) dxdytd2y1? ，2?(t?t?1) 26. y?(1)?1?2ln2 27. dx2dx428. y(24)?e?x[x2?48x?551]12x??y??29．由y?(x)? 1?x2(1?x2)2由(1?x2)y?(x)?1 两边求n阶导数，_利用莱布尼兹公式，代入x?0，得递推公式，y(n?1)(0)??n(n?1)y(n?1)(0)__利用y?(0)?1和y??(0)?0 ?(?1)k(2k)!n?2k?1 k?0,1,2,? y(0)??0n?2k?2?30. 提示：讨论分段点x?0与x?1处连续性与可导性a?2， b??3， c?1 ， d?031. x?y?1?032. ex?y?1?0(n)33.y??2x35. 提示：关系式两边取x?0的极限，得f(1)?0limx?0f(1?sinx)?3f(1?sinx)?8x?(x)sinx??lim???8 ?x?0sinxxx? ?sinx而 f(1?sinx)?3f(1?sinx)f(1?t)?3f(1?t)?limx?0t?0sinxtf(1?t)?f(1)f(1?t)?f(1)???lim??3?4f?(1)?t?0t?t??得f?(1)?2，由周期性f(6)?f(1)?0f(x)?f(6)f?(6)?lim 令x?5?t 由周期性得 x?6x?6f(t)?f(1)?lim?2 t?1t?1切线方程y?2(x?6) lim。
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习题10-1 二重积分的概念与性质1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： （1）2()D x y d σ+⎰⎰与3()Dx y d σ+⎰⎰，其中积分区域D 是圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成；（2）ln()Dx y d σ+⎰⎰与2[ln()]Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)，(1,1)，(2,0)；2.利用二重积分的性质估计下列积分的值： （1）22sin sin DI x yd σ=⎰⎰，其中{(,)|0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤；（2）22(49)DI x y d σ=++⎰⎰，其中22{(,)|4}D x y x y =+≤.（3）.DI =，其中{(,)|01,02}D x y x y =≤≤≤≤解 (),f x y =Q 2，在D 上(),f x y 的最大值()14M x y ===，最小值()11,25m x y ====故0.40.5I ≤≤习题10-2 二重积分的计算法1.计算下列二重积分： （1）22()Dx y d σ+⎰⎰，其中{(,)|||1,||1}D x y x y =≤≤；（2）cos()Dx x y d σ+⎰⎰，其中D 是顶点分别为(0,0)，(,0)π和(,)ππ的三角形闭区域。
2.画出积分区域，并计算下列二重积分： （1）x y De d σ+⎰⎰，其中{(,)|||1}D x y x y =+≤（2）22()Dxy x d σ+-⎰⎰，其中D 是由直线2y =，y x =及2y x =所围成的闭区域。
3.化二重积分(,)DI f x y d σ=⎰⎰为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域D 是：（1）由直线y x =及抛物线24y x =所围成的闭区域；（2）由直线y x =，2x =及双曲线1(0)y x x=>所围成的闭区域。
4.求由曲面222z x y =+及2262z x y =--所围成的立体的体积。
5.画出积分区域，把积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D 是： （1）22{(,)|2}x y x y x +≤；（2）{(,)|01,01}x y y x x ≤≤-≤≤6.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分： （1）23220()xxdx f x y dy +⎰；（2）21101(,)xxdx f x y dy--⎰⎰7.把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：（1）2222200)a ax xdx x y dy-+⎰；（2）211222()xxdx x y dy -+⎰⎰8.利用极坐标计算下列各题： （1）22x y De d σ+⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域。
（2）22ln(1)Dx y d σ++⎰⎰，其中D 是由圆周221x y +=及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域。
9.选用适当的坐标计算下列各题： （1）22()Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是由直线y x =，y x a =+，y a =，3y a =(0)a >所围成的闭区域。
（2）22Dx y d σ+，其中D 是圆环形闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤.（3）计算积分112111224y y yy xxyI dy e dx dy e dx =+⎰⎰⎰解 ()21111223182y xx xxe I dx e dy x e e dx e ==-=-⎰⎰⎰ 习题10-3 三重积分1.化三重积分(,,)I f x y z dxdydz Ω=⎰⎰⎰为三次积分，其中积分区域Ω分别是：（1）由曲面22z x y =+及平面1z =所围成的闭区域；（2）由曲面222z x y =+及22z x =-所围成的闭区域；2.计算23xy z dxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面z xy =及平面y x =，1x =和0z =所围成的闭区域。
3.计算xyzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω为球面2221x y z ++=及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域。
4.计算zdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由锥面z =z h =(0,0)R h >>所围成的闭区域。
5.利用柱面坐标计算下列三重积分：（1）zdv Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面z =及22z x y =+所围成的闭区域；（2）22()x y dv Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面222x y z +=及平面2z =所围成的闭区域；6.选用适当的坐标计算下列三重积分： （1）xydv Ω⎰⎰⎰，其中Ω是柱面221x y +=及平面1z =，0z =，0x =，0y =所围成的在第一卦限内的闭区域；（2）22()x y dv Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域；7.计算()x y z dv Ω++⎰⎰⎰，其中Ω是由222,0x y z z h +≤≤≤所围成。
解 由于Ω关于,yoz xoz 坐标面都对称，故0xdv ydv ΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式2220xyh h hx y D zdv dxdy zdz d d zdz πρθρρ+Ω===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()222340011224h h h d h d h πρρρπρρρπ=-⋅=-=⎰⎰8.求上、下分别为球面2222x y z ++=和抛物面22z x y =+所围成立体的体积。
习题10-4 重积分的应用1.求球面2222x y z a ++=含在圆柱面22x y ax +=内部的那部分面积。
2.设薄片所占的闭区域D 是介于两个圆cos a ρθ=，cos b ρθ=(0)a b <<之间的闭区域，求均匀薄片的质心：3.已知均匀矩形板（面密度为常量μ）的长和宽分别为b 和h ，计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量。
4.设均匀柱体密度为ρ，占有闭区域222{(,,)|,0}x y z x y R z h Ω=+≤≤≤，求它对于位于点0(0,0,)M a ()a h >处的单位质量的质点的引力。
复习题十1.计算下列二重积分： （1）(1)sin Dx yd σ+⎰⎰，其中D 是顶点分别为(0,0)，(1,0)，(1,2)和(0,1)的梯形闭区域；（2）Dσ，其中D 是圆周22x y Rx +=所围成的闭区域；（3）2(369)Dy x y d σ+-+⎰⎰，其中222{(,)|}D x y x y R =+≤.2.交换下列二次积分的次序： （1）123301(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰；（2）21110(,)x xdx f x y dy +-⎰⎰.3.把积分(,)Df x y dxdy⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域2{(,)|1,11}D x y x y x =≤≤-≤≤.4.计算下列三重积分： （1）2z dxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是两个球：2222x y z R ++≤和2222x y z Rz ++≤(0)R >的公共部分；（2）222222ln(1)1z x y z dv x y z Ω++++++⎰⎰⎰，其中Ω是由球面2221x y z ++=所围成的闭区域；5.求平面1x y za b c++=被三坐标面所割出的有限部分的面积。
6.计算积分⎰⎰⎰Ω+zdv y x )(22，其中Ω为由222,2z x y z =+=所围的区域. 解 由222224,2,2,z x y x y z z ⎧⎧=++=⇒⎨⎨==⎩⎩ 积分区域Ω在xoy 坐标面上的投影区域4:22≤+y x D xy ，用柱面坐标20,20,22:2≤≤≤≤≤≤Ωr z r πθ ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+Ωπθ202022/3222)(r zdz dr r d zdv y x⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=2043844212ππdr r r。