泰勒公式word版
常用十个泰勒展开公式
常用十个泰勒绽开公式常用bai泰勒绽开公式如下：1、due^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……zhi+x^n/n!+……2、daoln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)3、sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。
(-∞<x<∞)4、cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+……(-∞<x<∞)5、arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)6、arccos x = π- ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……) (|x|<1)7、arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1)8、sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+……(-∞<x<∞)9、cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞<x<∞)10、arcsinh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - ……(|x|<1)11、arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|<1)扩展资料：数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其四周取值的公式。
假如函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的状况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。
泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。
20泰勒公式12页word
三、柯西中值定理上面已经指出，如果连续曲线AB 上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线，那么这段弧上至少有一点C ，使曲线在点C 处的切线平行于弦AB ．设曲线AB 由参数方程⎩⎨⎧==)(),(x f Y x g X （b x a ≤≤） 表示，其中x 为参数，那么点)(Y X ，处的切线斜率为)(')('x g x f dX dY =弦AB 的斜率为)()()()(a g b g a f b f --假定点C 对应于参数ξ=x ，曲线上点C 处的切线与弦AB 平行可表示为)(')(')()()()(ξξF f a F b F a f b f =-- 柯西中值定理 如果函数)(x f ，)(x g 满足 （１）在闭区间][b a ，上连续；（２）在开区间)(b a ，内可导，且0)('≠x g ． 则在开区间)(b a ，内至少存在一点ξ，使得)(')(')()()()(ξξg f a g b g a f b f =-- 证 根据结论，引进辅助函数)()]()([)()]()([)(x f a g b g x g a f b f x ---=ϕ)(x ϕ在][b a ，上连续，在)(b a ，内可导，且)()(b a ϕϕ=，由罗尔定理知，至少存在一点)(b a ，∈ξ，使得0)('=ξϕ，即)(')]()([)(')]()([ξξf a g b g g a f b f -=-由0)('≠x g ，可知0)()(0)('≠-≠a g b g g ，ξ，由上式可得)(')(')()()()(ξξg f a g b g a f b f =-- 显然，如取x x g =)(，柯西中值定理即为拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理中如果加上条件)()(b f a f =，则为罗尔定理．可见上面三个中值定理，柯西中值定理的结论最一般，拉格朗日中值定理次之，罗尔定理最特殊．例４ 设函数]1,0[)( C x f ∈，在)1,0( 内可导，证明至少存在一点)10( ，∈ξ，使得)]0()1([2)('f f f -=ξξ． 证 将上式改写为ξξ2)('01)0()1(f f f =-- 考虑到ξξ=x x 在是22处的导数，取2)(x x g =，且当)1,0( ∈x 时，0)('≠x g ，对)()(x g x f ，在]1,0[ 上应用柯西中值定理，有ξξ2)('01)0()1(f f f =-- 即 )]0()1([2)('f f f -=ξξ第六节 泰勒公式不论是进行近似计算还是理论分析，我们总希望用一些简单的函数来逼近复杂函数，用简单函数逼近（近似表示）复杂函数是数学中的一种基本思想方法。
泰勒公式大全
泰勒公式大全泰勒公式是微积分中的重要概念，它可以将一个函数在某一点附近展开成无限项的多项式，从而方便我们进行计算和研究。
本文将按照不同的类别介绍泰勒公式的各种形式和应用。
一、泰勒公式的基本形式泰勒公式的基本形式是：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$其中，$f(x)$是要展开的函数，$a$是展开点，$f^{(n)}(a)$表示$f(x)$在$a$处的$n$阶导数，$n!$表示$n$的阶乘。
二、泰勒公式的常用形式1. 麦克劳林公式当$a=0$时，泰勒公式就变成了麦克劳林公式：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$这个公式在计算中非常常用，因为它可以将很多函数展开成简单的多项式形式。
2. 带余项的泰勒公式在实际计算中，我们往往只需要保留泰勒公式的前几项，而不需要展开到无穷项。
这时，我们可以使用带余项的泰勒公式：$$f(x)=\sum_{n=0}^{m}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_m(x)$$其中，$m$表示展开的项数，$R_m(x)$表示余项，它的表达式为：$$R_m(x)=\frac{f^{(m+1)}(\xi)}{(m+1)!}(x-a)^{m+1}$$其中，$\xi$是$a$和$x$之间的某个值，$m+1$阶导数的值在$a$和$\xi$之间取值。
三、泰勒公式的应用1. 近似计算泰勒公式可以将一个复杂的函数近似成一个简单的多项式，从而方便我们进行计算。
比如，我们可以使用麦克劳林公式将$\sin x$和$\cos x$展开成多项式形式，从而计算它们的值。
2. 函数的性质研究泰勒公式可以帮助我们研究函数的性质，比如函数的最值、极值、拐点等。
通过对泰勒公式的各项系数进行分析，我们可以得到函数在展开点附近的一些性质。
3. 数值逼近泰勒公式可以用来进行数值逼近，比如我们可以使用带余项的泰勒公式来逼近函数的值。
常见函数泰勒公式展开式大全
常见函数泰勒公式展开式大全常见函数的泰勒公式展开式大全在数学中，泰勒公式是将一个函数在某一点附近展开成无穷级数的方法，它是微积分中的重要工具之一。
泰勒公式的展开可以帮助我们近似计算函数在某一点的值，进而研究函数的性质和行为。
下面是一些常见函数的泰勒公式展开式大全。
1.指数函数的泰勒公式展开式指数函数的泰勒公式展开式是：$$e^x = 1 + x + %frac{x^2}{2!} + %frac{x^3}{3!}+ %frac{x^4}{4!} + Íots$$这个展开式在$x=0$附近是收敛的，并且对于任意实数$x$都成立。
2.三角函数的泰勒公式展开式正弦函数的泰勒公式展开式是：$$%sin(x) = x - %frac{x^3}{3!} + %frac{x^5}{5!} -%frac{x^7}{7!} + Íots$$余弦函数的泰勒公式展开式是：$$%cos(x) = 1 - %frac{x^2}{2!} + %frac{x^4}{4!} -%frac{x^6}{6!} + Íots$$这两个展开式在$x=0$附近是收敛的，并且对于任意实数$x$都成立。
3.对数函数的泰勒公式展开式自然对数函数的泰勒公式展开式是：$$%ln(1+x) = x - %frac{x^2}{2} + %frac{x^3}{3} -%frac{x^4}{4} + Íots$$这个展开式在$x=0$附近是收敛的，并且对于$-1<x%leq 1$都成立。
4.幂函数的泰勒公式展开式幂函数的泰勒公式展开式是：$$(1+x)^a = 1 + ax + %frac{a(a-1)}{2!}x^2 + %frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3 + Íots$$这个展开式在$x=0$附近是收敛的，并且对于任意实数$a$和$-1<x%leq 1$都成立。
5.反正弦函数的泰勒公式展开式反正弦函数的泰勒公式展开式是：$$%arcsin(x) = x + %frac{x^3}{3}+ %frac{1}{2}Íot%frac{3}{4}Íot%frac{x^5}{5}+ %frac{1Íot3}{2Íot4}Íot%frac{3Íot5}{4Íot6}Íot%frac{x^7}{7} + Íots$$这个展开式在$x=-1$到$x=1$之间是收敛的，并且对于任意实数$x$都成立。
常见的泰勒公式
常见的泰勒公式泰勒公式是一种在数学、物理学和工程领域中广泛使用的分析方法。
它可以用来计算函数的近似值，其中某些函数是不可积分的。
它也可以用来近似解决复杂的微积分问题。
它是1815年由英国数学家威廉·泰勒所提出的。
泰勒公式为f(x)在x=a处的某个小区间内的展开式表达，它可以将复杂的函数表达为一系列简单的有限项。
该公式可以将函数表达成一个无穷级数，泰勒公式是一种极限形式，它表明f (x)在x = a处的无穷级数近似值。
泰勒公式的一般形式为：f (x) = f (a) + f'(a)(x-a) + f''(a) ( (x-a)^2 )/2! + f'''(a) ( (x-a)^3 )/3! + … +f^(n) (x-a)^n / n! +……其中，f(x) 是要进行展开的函数；a 是函数的某个取值，即展开的中心点；n 表示要展开的次数；f'(a),f''(a),f'''(a),…,f^(n) (x) 分别代表函数 f(x) 在 x=a 处的一阶导数、二阶导数、三阶导数，…，n 阶导数。
根据泰勒公式，可知，函数f (x) 的小区间[a,x]内的展开式，可以根据函数f (x) 在x = a处的n 阶导数来计算，而这些n 阶导数都可以根据f (x) 的初始函数来求得。
也就是说，只要知道函数f (x) 的表达式，就可以通过求函数f (x) 的n 阶导数，然后通过泰勒公式求出f (x) 在[a,x]小区间内的展开式。
虽然泰勒公式是一种比较常用的分析方法，但它的应用也存在一定的局限性：1. 无法精确给出函数的展开式，只能求出函数的近似值。
2. 对于函数的极值点，泰勒公式可能会出现极大的偏差。
3. 泰勒公式只能对可积分的函数求解，不可积分的函数将无法求解。
4. 对于函数的复杂度较大的情况，泰勒公式需要计算更高阶的导数，这会增加计算的难度。
20泰勒公式-11页word资料
三、柯西中值定理上面已经指出，如果连续曲线AB 上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线，那么这段弧上至少有一点C ，使曲线在点C 处的切线平行于弦AB ．设曲线AB 由参数方程⎩⎨⎧==)(),(x f Y x g X （b x a ≤≤） 表示，其中x 为参数，那么点)(Y X ，处的切线斜率为)(')('x g x f dX dY =弦AB 的斜率为)()()()(a g b g a f b f --假定点C 对应于参数ξ=x ，曲线上点C 处的切线与弦AB 平行可表示为)(')(')()()()(ξξF f a F b F a f b f =-- 柯西中值定理 如果函数)(x f ，)(x g 满足 （１）在闭区间][b a ，上连续；（２）在开区间)(b a ，内可导，且0)('≠x g ． 则在开区间)(b a ，内至少存在一点ξ，使得)(')(')()()()(ξξg f a g b g a f b f =-- 证 根据结论，引进辅助函数)()]()([)()]()([)(x f a g b g x g a f b f x ---=ϕ)(x ϕ在][b a ，上连续，在)(b a ，内可导，且)()(b a ϕϕ=，由罗尔定理知，至少存在一点)(b a ，∈ξ，使得0)('=ξϕ，即)(')]()([)(')]()([ξξf a g b g g a f b f -=-由0)('≠x g ，可知0)()(0)('≠-≠a g b g g ，ξ，由上式可得)(')(')()()()(ξξg f a g b g a f b f =-- 显然，如取x x g =)(，柯西中值定理即为拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理中如果加上条件)()(b f a f =，则为罗尔定理．可见上面三个中值定理，柯西中值定理的结论最一般，拉格朗日中值定理次之，罗尔定理最特殊．例４ 设函数]1,0[)( C x f ∈，在)1,0( 内可导，证明至少存在一点)10( ，∈ξ，使得)]0()1([2)('f f f -=ξξ．证 将上式改写为ξξ2)('01)0()1(f f f =-- 考虑到ξξ=x x 在是22处的导数，取2)(x x g =，且当)1,0( ∈x 时，0)('≠x g ，对)()(x g x f ，在]1,0[ 上应用柯西中值定理，有ξξ2)('01)0()1(f f f =-- 即)]0()1([2)('f f f -=ξξ第六节 泰勒公式不论是进行近似计算还是理论分析，我们总希望用一些简单的函数来逼近复杂函数，用简单函数逼近（近似表示）复杂函数是数学中的一种基本思想方法。
常用的泰勒公式
常用的泰勒公式泰勒公式是数学中经常使用的一种近似计算方法。
它可以将一个函数在某个点附近用其在该点的导数值来表示，从而简化计算。
泰勒公式由英国数学家布鲁赛尔·泰勒于18世纪提出，至今在科学和工程领域中广泛应用。
泰勒公式的一般形式如下：设函数f(x)在x=a处具有n阶导数，那么在x=a附近的点x，函数f(x)可以通过泰勒展开式来近似表示：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! +f'''(a)(x-a)³/3! + ... + fⁿ(a)(x-a)ⁿ/n! + Rⁿ(x)其中，f'(a)，f''(a)，f'''(a)，...，fⁿ(a)分别表示函数f(x)在x=a处的一阶、二阶、三阶，...，n阶导数的值，Rⁿ(x)为拉格朗日余项。
泰勒公式的应用有很多，下面将介绍几个常见的应用场景：1. 函数的近似计算：通过泰勒公式，可以将函数在某一点的值通过导数值的近似表示来计算。
这在科学计算中经常使用，特别是在计算机程序中，可以通过泰勒公式来实现复杂函数的近似计算。
2. 极限计算：通过泰勒公式，可以将复杂的极限计算转化为对函数在某一点的导数值的计算。
这样可以简化极限计算过程，提高计算效率。
3. 误差分析：在实际应用中，我们常常需要对测量数据进行处理和分析。
泰勒公式可以用于对测量数据进行近似处理，计算近似值与真实值之间的误差范围。
4. 函数图像的绘制：通过泰勒公式，可以对函数的局部形态进行描述，从而更好地理解函数的性质和行为。
这对于绘制函数图像有很大的帮助。
总之，泰勒公式是数学中一种重要的近似计算方法，广泛应用于科学和工程领域。
它简化了复杂函数的计算和分析过程，提高了计算效率和准确性。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择适合的泰勒展开项，以满足计算的需求。
8个泰勒公式常用公式
8个泰勒公式常用公式泰勒公式是一种在微积分中非常重要的工具，它可以利用函数在其中一点的导数来近似地表示函数在该点附近的取值。
在数学和物理等领域，泰勒公式广泛应用于函数的近似计算和数值求解等问题。
下面我们介绍一些常用的泰勒公式及其应用。
1.一阶泰勒公式一阶泰勒公式也称为泰勒展开式，用于近似地表示函数在其中一点附近的取值。
设函数$f(x)$在$x=a$处可导，则函数$f(x)$在$x=a$处的一阶泰勒公式为$$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)$$其中$f'(a)$表示函数$f(x)$在$x=a$处的导数。
一阶泰勒公式常用于近似计算和数值求解等问题中。
2.二阶泰勒公式二阶泰勒公式是泰勒展开式的推广，用于更精确地近似表示函数在其中一点附近的取值。
设函数$f(x)$在$x=a$处二阶可导，则函数$f(x)$在$x=a$处的二阶泰勒公式为$$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2$$其中$f''(a)$表示函数$f(x)$在$x=a$处的二阶导数。
二阶泰勒公式在高精度数值求解和近似计算等问题中广泛应用。
3.泰勒级数泰勒级数是将一个函数在其中一点处展开成无穷级数的形式，用于表示函数在该点附近的取值。
设函数$f(x)$在$x=a$处具有无限阶导数，则函数$f(x)$在$x=a$处的泰勒级数为$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+...$$泰勒级数是一种非常重要的数学工具，能够用无穷阶导数展开的形式表示函数，具有广泛的应用价值。
4.泰勒多项式泰勒多项式是将函数在其中一点处展开成有限项多项式的形式，用于近似地表示函数在该点附近的取值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三节 泰勒公式
教学目的：使学生了解泰勒公式，并会求简单函数的泰勒展开式。
教学重点：函数的泰勒展开式 教学过程：
多项式是函数中最简单的一种，用多项式近似表达函数是近似计算中的一个重要内容，在§2、8中，我们已见过：x n
x x e x x x
x
1
1)1(,1,sin 1+
≈++≈≈ 等近似计算公式，就是多项式表示函数的一个特殊情形，下面我们将推广到一个更广泛的、更高精度的近似公式。
设)(x f 在0x 的某一开区间内具有直到)1(+n 阶导数，试求一个多项式
n n n x x a x x a x x a a x P )()()()(0202010-++-+-+= (1)
来近似表达)(x f ，并且)(x P n 和)(x f 在0x 点有相同的函数值和直到n 阶导数的各阶
导数，即：)()(,),()(),()(),()(0)(0)
(000000x f x P x f x P x f x P x f x P n n n n n n =''="'='= 。
下面确定)(0x P n 的系数n a a a ,,10，通过求导，不难得到
)
(!),(321),(21),(1),(0)
(03020100x f
n a x f a x f a x f a x f a n n =⋅'''=⋅⋅⋅''=⋅⋅'=⋅=
⇒
n n n x x n x f x x x f x x x f x f x P )(!
)()(!2)())(()()(00)(200000-++-''+-'+= (2)
这个)(x P n 即为所求。
Taylor 中值定理：如果函数)(x f 在0x 的某区间),(b a 内具有直到)1(+n 阶的导数，则当),(b a x ∈时，)(x f 可表示为)(0x x -的一个多项式)(x P n 和一个余项)(x R n 之和：
)
()(!
)()(!2)())(()()(00)(2
00000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+=
(3)
其中10)1()()!
1()
()(++-+=
n n n x x n f x R ξ （ξ介于0x 与x 之间） 证明：令)()()(x P x f x R n n -=， 下证ξ∃在0x 与x 之间，使得：
10)1()()!
1()
()(++-+=
n n n x x n f x R ξ 由于)(x f 有直到)1(+n 阶导数，)(x P n 为多项式，故)(x R n 在),(b a 内有直到)1(+n 阶导
数，并且0)()()()(0)
(000=="='=x R x R x R x R n n n n n 。
现对函数)(x R n 和10)(+-n x x 在以0x 和x 为端点的区间上应用Cauchy 中值定理，
n
n n n n n n n x n R x x x x x R x R x x x R ))(1()
()()()()()()(01110010010-+'
=----=-+++ξξ （1ξ在0x 与x 之间） 1
022*********)()1()
())(1())(1()()())(1()(--+"
=-+--+'-'=-+'n n n n n n n n x n n R x x n x n x R R x n R ξξξξξξ
（2ξ介于1ξ与0x 之间）
如此继续下去，经过)1(+n 次后，∃一个1+n ξ介于n ξ与0x 之间，使得
)!1()
()()(1)
1(10+=
-+++n R x x x R n n n n n ξ ， 显然1+n ξ介于0x 与x 之间。
一般地，记号 )!1()
()
()()
1(1
01
+=-⇒=+++n R x x x R n n n n n ξξξ 又因为 )()()(x P x f x R n n -= 而)(x P n 为n 次多项式，故当 ⇒≡⇒
≡+++)
()(0)()1()
1()
1(x f x R x P n n n
n n
)!1()
()
()()1(1
0+=-++n f x x x R n n n ξ 或 10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ （ξ介于0x 与x 之间）。
注1：（3）式称为)(x f 按)(0x x -的幂展开到n 阶的Taylor 公式，)(x R n 的表达式（4）称为Lagrange 型余项；
2：当0=n 时（3）变为：))(()()(00x x f x f x f -'+=ξ （ξ介于0x 与x 之间），这就是Lagrange 公式；
3：从（3）式可看出：用（2）式的多项式)(x P n 来近似表达)(x f ，所产生的误差为)(x R n ，再由（4）式，不难看出：若在),(b a 上，有M x f n ≤+)()1(，则有：
10)()!1()(+-+≤
n n x x n M x R ，此时0)()(lim 0
0=-→n n x x x x x R ，即)())(()(00x x x x x R n
n →-=ο
4：若特别地，取00=x ，这时（3）式变为：
)(!
)0(!2)0()0()0()()(2x R x n f x f f f x f n n
n +++''+'+= (5)
这里1
)1()!
1()()(+++=n n n x n f x R ξ （ξ介于0与x 之间），我们称（5）为)(x f 的
Maclourin 公式。
【例1】 求x e x f =)(的Maclourin 公式。
解： ⇒===''='=x n e x f x f x f x f )()()()()(
1)0()0()0()0()(===''='=n f f f f ， 又x n e x f
=+)()
1(
所以 )10()!
1()()(1
)
1(<<+=⇒=++θϑθθn x
n x
n x n e x R e
x f
，
令代入（5）式得：
)10()!
1(!!211
2<<++++++=+θθn x
n x
x n e n x x x e 。
【例2】 求x x f sin )(=的Maclaurin 公式。
解 2
sin
)0()2
sin()()()(ππ
πk f k x f n n =⇒
+=， 当=n 1，5，9，13，……时1)0()(=n f ， 当=n 2，6，10，14，……时0)0()(=n f ， 按（15）式，得：
)()!
12()1(!5!3sin 2121
53x R m x x x x x m m m +--+-+-=-+
其中：)10()!
12()2)12(sin()!12()()(1
21
2)12(2<<⋅+++
=⋅+=
+++θπ
θθm m m m x m m x x m x f x R 。
注：)()()
()(122122x R x R x P x P m m m m --==。
同理有：)()!
2()1(!4!21cos 12242x R m x x x x m m
m ++-+-+-
= ， 其中：)10()!
22())1(cos()(2
212<<⋅+++=
++θπθm m x
m m x x R 。
【例3】求α)1(x +的Maclourin 公式。
解
：
)
(!
)1()2)(1(!3)2)(1(!2)1(1)1(32x R x n n x x x x n n
++---++--+-++=+ααααααααααα 其中：11)1()!
1()
()2)(1()(--+++---=
n n n x x n n x R αθαααα ， （10<<θ）
【例4】求)1ln(x +的Maclourin 公式。
解：)()1(32)1ln(132x R n
x x x x x n n n +-+-+-=+-
1
1
1
)1(11)1()!
1()1(!)1()(+++++-=++-=
n n
n n n
n x
x n n x x n x R θθ。
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
请预览后才下载，期待您的好评与关注！）。