无穷远点的留数
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留数计算规则
例3： 计算积分
c
z4
z
1
dz
，
C
为正向圆周
z
3
。
解：
f
(z)
z z4 1
四个一级极点 z1,2 1, z3,4 i 都在C 内，
由规则Ⅲ，
P zk Q zk
zk 4 zk 3
1 4zk 2
故由留数定理
c
z4
z
1
dz
2
i
1 4
1 4
解：
f
(z)
ez
z z 12
的一级极点z 0 二级极点 z 1 都在C 内
由规则Ⅰ，
Res
f
z,0
lim z z0
ez
z z 12
lim
z0
z
ez
12
1
由规则Ⅱ ，
Res
f
z,1
(2
1 lim 1)! z1
d dz
Res f
z, z0
1
m 1
lim ! zz0
d m1 dz m1
z z0 m
f
z
规则Ⅲ
设
f
z
=
P Q
z z
，其中 P(z，) Q(z)
在
z0
处解析， 且 P(z0 ) 0
，
Q(z0 ) 0, Q(z0 ) 0 即 z0 为 f (z)的一级极点， 那么
即 z0 为 f (z)的一级极点， 那么
留数的定义留数定理留数的计算规则无穷远点的留数
( g ( z ) ( z ) p( z ) 在z0解析, 且 g ( z0 ) 0 )
则z0为f ( z)的一级极点,由规则
Re s[ f ( z ), z0 ] lim ( z z0 ) f ( z )
z z0
Re s[ f ( z ), z0 ] lim ( z z0 ) f ( z )
(5)
事实上，由条件
f ( z ) cm ( z z0 ) m c2 ( z z0 ) 2 c1 ( z z0 ) 1 c0 c1 ( z z0 ) , (cm 0)
以( z z0 )m 乘上式两边 ,得
( z z0 ) m f ( z ) cm cm1 ( z z0 ) c1 ( z z0 ) m1 c0 ( z z0 ) m
当 m = 1时，式(5)即为式(4).
p( z ) , Q( z ) p( z ), Q( z )在z0 处解析,
规则III 设f ( z )
p( z0 ) 0 , Q( z0 ) 0 , Q' ( z0 ) 0，则
z0 是f ( z )的一级极点 ,且 p( z0 ) Re s[ f ( z ), z0 ] Q' ( z 0 ) ( 6)
c k 1
n
k
]
(3)
证明
用互不包含 , 互不相交的正向简单闭 曲线ck (k 1,2,n)，将 c内的弧立奇点zk 围绕,
由复合闭路定理得：
f ( z)dz
c
c1
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
c2 cn
第五章 留数
，即
R e s[ f ( z ), z 0 ] c 1
或 R e s [ f ( z ), z 0 ]
2 i
1
f ( z )d z
C
C是此圆环域内围绕 z 0 的任一条正向简单闭曲线.
2、留数的计算
(1) 如果 z 0 为 例如：
f (z)
的可去奇点, 则
R es[ f ( z ), z 0 ] 0 .
1、留数的定义
若z0 是 f (z)的孤立奇点，则 f (z) 在某圆环域
0 z z0
内可以展开为洛朗级数
f (z)
n
cn ( z z0 ) ,
n
上述展开式中负一次幂项的系数 c 1 称为
z0
f (z)
在
处的留数，记为
R e s f ( z ), z 0
1
f (z) ( z z0 )
n1
dz
( n 0 , 1, 2 , ),
C
c 1
2 i
1
f ( z )d z
C
C是此圆环域内围绕 z 0 的任一条正向简单闭曲线.
1、留数的定义
若z0 是 f (z)的孤立奇点，则 f (z) 在某圆环域
0 z z0
如果 z 0 为 f ( z ) 的 m 级极点, 则
1 lim d
m 1
R es[ f ( z ), z 0 ]
( m 1) ! z z 0 d z
[( z z 0 ) m 1
m
f ( z )].
说明
（1）当 m=1 时，上式即为
R e s [ f ( z ), z 0 ] lim ( z z 0 ) f ( z ).
留数
注 (1) 此类函数求留数，可考虑利用洛朗展式。
(非也!)
(2) 若此类函数求闭路积分，则可考虑利用高阶导公式，
而不一定非得使用下面即将介绍的留数定理。
16
三、留数定理
定理 设 f ( z ) 在区域 D 内除有限个孤立奇点 z1 , z2 , , zn 外
P113 定理 5.7
处处解析，在边界 C 上连续， 则
C
f ( z ) d z 2π i Res [ f ( z ) , zk ] .
k 1
n
z1
C
c1
D
c2 z 2
…
证明 如图，将孤立奇点用含于 D 内且 互不重叠的圆圈包围起来，根据复合闭路定理有
zn c1
C
f (z) d z
c k 1
n
k
f ( z ) dz 2π i Res [ f ( z ) , z k ] .
sin z 1 2 sin z lim Res [ f 2 ( z ) , 0 ] lim z 3 z 0 z 0 4 z 1! 4z
z cos z sin z sin z lim lim ( 罗比达法则 ) 0. 2 z 0 z 0 8 4z
§5.2 留数
一、留数的概念 二、留数的计算方法 三、留数定理 四、函数在无穷远点的留数
1
一、留数的概念
定义 设 z0 为函数 f ( z ) 的孤立奇点， 将 f ( z ) 在 z0 的去心邻域
P112 定义 5.4
内展开成洛朗级数：
a 1 a0 a1 ( z z0 ) , f ( z ) a n ( z z0 ) z z0 n
(非也!)
(2) 若此类函数求闭路积分，则可考虑利用高阶导公式，
而不一定非得使用下面即将介绍的留数定理。
16
三、留数定理
定理 设 f ( z ) 在区域 D 内除有限个孤立奇点 z1 , z2 , , zn 外
P113 定理 5.7
处处解析，在边界 C 上连续， 则
C
f ( z ) d z 2π i Res [ f ( z ) , zk ] .
k 1
n
z1
C
c1
D
c2 z 2
…
证明 如图，将孤立奇点用含于 D 内且 互不重叠的圆圈包围起来，根据复合闭路定理有
zn c1
C
f (z) d z
c k 1
n
k
f ( z ) dz 2π i Res [ f ( z ) , z k ] .
sin z 1 2 sin z lim Res [ f 2 ( z ) , 0 ] lim z 3 z 0 z 0 4 z 1! 4z
z cos z sin z sin z lim lim ( 罗比达法则 ) 0. 2 z 0 z 0 8 4z
§5.2 留数
一、留数的概念 二、留数的计算方法 三、留数定理 四、函数在无穷远点的留数
1
一、留数的概念
定义 设 z0 为函数 f ( z ) 的孤立奇点， 将 f ( z ) 在 z0 的去心邻域
P112 定义 5.4
内展开成洛朗级数：
a 1 a0 a1 ( z z0 ) , f ( z ) a n ( z z0 ) z z0 n
第一节留数定理
-1 l
后,两端沿l逐项积分, 右端各项积分除留下 a -1 (z-z0 ) 的一项等于 2 ia-1 外, 其余各项积分都等于零, 所以
-1
f ( z) d z 2 π ia
l
-1
.
其中a-1就称为f(z)在z0的留数, 记作Resf(z0), 即 1
Res f ( z0 )
f ( z) d z 2i
P(z),Q(z) 在 z 0 点是解析的，
P ( z 0 )≠ 0
Q( z 0 )=0, Q ' ( z 0 ) ≠ 0,
罗毕达法则
则有： P( z 0 ) P ( z0 ) = ( z - z 0 ) f ( z ) = lim ( z - z0 ) Re sf ( z0 ) zlim z0 z z0 Q( z 0 ) Q ' ( z0 )
6
如果f(z)只有有限个奇点,则所有有限远奇点必在某个圆的内部
z R, 在环域 R z
l
内任取一个回路l,则由留数定理得
f ( z )dz 2i f z 在所有有限远点的留数
(1)+(2)可得
之和 (2)
0 2if z 在所有各点的留数之和
即函数在全平面上所有各点的留数之和为零,这里所有的点
13
1 d2 3 1 d2 1 Re sf (0) lim 2 z f ( z ) lim 2 z 0 2! dz z 0 2! dz z - 2i 1 1 i lim 3 z 0 z - 2i 8 8i dz • (0 1) 例4 计算沿单位圆|z|=1的回路积分 z 2 2 z • | z| 1 1 的分母为零,可以得到 解 令被积函数 f ( z ) 2 z 2 z 2 1 1 二次代数方程 z 2 2 z 0 其两根为 z
后,两端沿l逐项积分, 右端各项积分除留下 a -1 (z-z0 ) 的一项等于 2 ia-1 外, 其余各项积分都等于零, 所以
-1
f ( z) d z 2 π ia
l
-1
.
其中a-1就称为f(z)在z0的留数, 记作Resf(z0), 即 1
Res f ( z0 )
f ( z) d z 2i
P(z),Q(z) 在 z 0 点是解析的，
P ( z 0 )≠ 0
Q( z 0 )=0, Q ' ( z 0 ) ≠ 0,
罗毕达法则
则有： P( z 0 ) P ( z0 ) = ( z - z 0 ) f ( z ) = lim ( z - z0 ) Re sf ( z0 ) zlim z0 z z0 Q( z 0 ) Q ' ( z0 )
6
如果f(z)只有有限个奇点,则所有有限远奇点必在某个圆的内部
z R, 在环域 R z
l
内任取一个回路l,则由留数定理得
f ( z )dz 2i f z 在所有有限远点的留数
(1)+(2)可得
之和 (2)
0 2if z 在所有各点的留数之和
即函数在全平面上所有各点的留数之和为零,这里所有的点
13
1 d2 3 1 d2 1 Re sf (0) lim 2 z f ( z ) lim 2 z 0 2! dz z 0 2! dz z - 2i 1 1 i lim 3 z 0 z - 2i 8 8i dz • (0 1) 例4 计算沿单位圆|z|=1的回路积分 z 2 2 z • | z| 1 1 的分母为零,可以得到 解 令被积函数 f ( z ) 2 z 2 z 2 1 1 二次代数方程 z 2 2 z 0 其两根为 z
留数的定义留数定理留数的计算规则无穷远点的留数
§2
留数(Residue)
1. 留数的定义
2. 留数定理
3. 留数的计算规则
4. 无穷远点的留数
1. 留数的定义
定义 设 z0为f (z)的孤立奇点， f (z)在 z0邻域内的 洛朗级数中负幂次项 (z- z0)–1 的系数 c–1 称为f (z)在 z0 的留数(Residue)， 记作 Res[f (z), z0] 或 Res f (z0)。 由留数定义, Res[f (z), z0]= c–1
注：c 为 R z 内任意绕原点的闭简单 曲线 （沿负方向）
(1) 由闭路变形原理知上积 分与c的形状无关 一般地 1 Re s[ f ( z ), ] f ( z )dz ， : z R 2i
1 （2） Re s[ f ( z ), ] f ( z )dz c1 2i
利用定理简化计算： 由于 z i 为 f ( z)的10级极点，计算留数很繁！！ 原式 2iRe s[ f ( z ),i] Re s[ f ( z ) , 1] 2iRe s[ f ( z ) , 3] Re s[ f ( z ) , ]
(ii) 若z z0为本性奇点
f ( z)
展开 n c ( z z ) Re s[ f ( z), z0 ] c1 n 0
(iii) 若z z0为极点时，求Re s[ f ( z), z0 ]有以下几条规则
规则I
若z0是f ( z)的一级极点 ,则
z z0
n n c ( z z ) n 0
(1)
设f ( z )
( z0是f ( z )的弧立奇点 , c包含z0在其内部 )
设f ( z )
留数(Residue)
1. 留数的定义
2. 留数定理
3. 留数的计算规则
4. 无穷远点的留数
1. 留数的定义
定义 设 z0为f (z)的孤立奇点， f (z)在 z0邻域内的 洛朗级数中负幂次项 (z- z0)–1 的系数 c–1 称为f (z)在 z0 的留数(Residue)， 记作 Res[f (z), z0] 或 Res f (z0)。 由留数定义, Res[f (z), z0]= c–1
注：c 为 R z 内任意绕原点的闭简单 曲线 （沿负方向）
(1) 由闭路变形原理知上积 分与c的形状无关 一般地 1 Re s[ f ( z ), ] f ( z )dz ， : z R 2i
1 （2） Re s[ f ( z ), ] f ( z )dz c1 2i
利用定理简化计算： 由于 z i 为 f ( z)的10级极点，计算留数很繁！！ 原式 2iRe s[ f ( z ),i] Re s[ f ( z ) , 1] 2iRe s[ f ( z ) , 3] Re s[ f ( z ) , ]
(ii) 若z z0为本性奇点
f ( z)
展开 n c ( z z ) Re s[ f ( z), z0 ] c1 n 0
(iii) 若z z0为极点时，求Re s[ f ( z), z0 ]有以下几条规则
规则I
若z0是f ( z)的一级极点 ,则
z z0
n n c ( z z ) n 0
(1)
设f ( z )
( z0是f ( z )的弧立奇点 , c包含z0在其内部 )
设f ( z )
留数及其应用对数留数与辐角原理
以(z - z0 )m 乘上式两边, 得 (z - z0 )m f (z) c-m c-m1(z - z0 ) c-1(z - z0 )m-1
c0(z - z0 )m
两边求m - 1阶导数得
d m-1 dzm-1
{(z
-
z0 )m
f
(z)}
(m
- 1)!c-1
m!(z
-
z0 )
d m-1
1
d m-1
Re
s[
f
( z ),
z0 ]
(m
-
1)!
lim
z z0
dz m -1
(z - z0 )m
f (z)
(5)
证明：由条件
f (z) c-m (z - z0 )-m c-2(z - z0 )-2 c-1(z - z0 )-1 c0 c1(z - z0 ) , (c-m 0)
f
( z )]
lim
z0
-
e-z
-1
例
函数
f(z)
1
e iz z
2在极点处的留数
解：因为函数 且
f (z)
e iz 1 z2
,有两个一阶极点
z
i
，
P(z) 1 eiz , Q'(z) 2z
有Res[ f z, i] eiz
- i
2z zi
2e
Res[ f z,-i] eiz
i e.
2z z-i 2
2z
5
-
1 10
Res[
f
z ,2]
lim( z
z2
-
2)
f
(z)
lim
z2
第三讲 无穷远点
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1 1 Re s[ f ( z ), ] Re s[ f ( ) 2 ,0] z z 1 2 z2 1 lim [ z e 2 ] 0 1! z 0 z z17 2) f (z) 2 ( z 2) 3 ( z 3 3)4 1 1 1 f( ) 2 z z z(1 2 z 2 )2 (1 3 z 3 )4 1 1 Re s[ f ( z ), ] Re s[ f ( ) 2 ,0] z z 1 lim z 1 2 3 3 4 z 0 z(1 z ) (1 z )
3) 函数sin z 的展开式：
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2 n 1 z3 z5 z sin z z ( 1)n 3! 5! ( 2n 1)! 含有无穷多的正幂项， 所以 是它的本性奇点。
强调：对 的奇点分类是以 处洛朗展式的正幂项为 判断依据的，这与有限点处不一样！
n
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z 例 5 计算积分 4 dz, C 为正向圆周： z 2. Cz 1
z 在 z 2 的外部，除 点外没有其他 解： 函数 4 z 1 奇点。 因此根据定理 2 与规则 4， 1 1 z 4 dz 2i Re s[ f ( z ), ] 2iRes[ f ( ) 2 ,0] z z Cz 1 z 2iRes[ 4 ,0] 0 1-z 例 6 计算积分，其中C 为正向圆周： z 2. dz , 10 C ( z i ) ( z 1)( z 3)
i)可去奇点； ii)m级极点；
iii)本性奇点。
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利用函数在有限点的奇点等价性质和上述定义可得： 孤立奇点 为 f ( z ) 的
1） 可去奇点，2）极点，3）本性奇点 的充分必要条件分别是 1） lim f ( z ) a ( ) ； 2） lim f ( z ) ；
1 1 Re s[ f ( z ), ] Re s[ f ( ) 2 ,0] z z 1 2 z2 1 lim [ z e 2 ] 0 1! z 0 z z17 2) f (z) 2 ( z 2) 3 ( z 3 3)4 1 1 1 f( ) 2 z z z(1 2 z 2 )2 (1 3 z 3 )4 1 1 Re s[ f ( z ), ] Re s[ f ( ) 2 ,0] z z 1 lim z 1 2 3 3 4 z 0 z(1 z ) (1 z )
3) 函数sin z 的展开式：
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2 n 1 z3 z5 z sin z z ( 1)n 3! 5! ( 2n 1)! 含有无穷多的正幂项， 所以 是它的本性奇点。
强调：对 的奇点分类是以 处洛朗展式的正幂项为 判断依据的，这与有限点处不一样！
n
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z 例 5 计算积分 4 dz, C 为正向圆周： z 2. Cz 1
z 在 z 2 的外部，除 点外没有其他 解： 函数 4 z 1 奇点。 因此根据定理 2 与规则 4， 1 1 z 4 dz 2i Re s[ f ( z ), ] 2iRes[ f ( ) 2 ,0] z z Cz 1 z 2iRes[ 4 ,0] 0 1-z 例 6 计算积分，其中C 为正向圆周： z 2. dz , 10 C ( z i ) ( z 1)( z 3)
i)可去奇点； ii)m级极点；
iii)本性奇点。
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利用函数在有限点的奇点等价性质和上述定义可得： 孤立奇点 为 f ( z ) 的
1） 可去奇点，2）极点，3）本性奇点 的充分必要条件分别是 1） lim f ( z ) a ( ) ； 2） lim f ( z ) ；