5.3解析函数在无穷远点的性质
解析函数在无穷远点的性质
解析函数在无穷远点的性质摘要:无穷远点作为解析函数的奇点的分类及其判定方法,给出含无穷远点的区域的柯西积分定理、积分公式,为下一步讨论函数在无穷远点处的留数计算做准备.关键词:解析函数无穷远点奇点1问题的提出无穷远点是解析函数的孤立奇点时,它的分类及其类型判定为函数在无穷远点处的留数计算提供了理论依据,而无穷远点处的留数计算及其相关定理是解决复变函数“大范围”的积分计算的有力工具。
所以,本文研究解析函数在无穷远点的性质及其分类。
2解析函数的定义2.1 解析函数的定义定义2.1[1]如果函数在区域内可微,则称为区域内的解析函数,或称在区域内解析.2.2 奇点的定义定义2.2[2]若函数在点不解析,但在的任一邻域内总有的解析点,则称为函数的奇点.奇点分为孤立奇点和非孤立奇点两类,而孤立奇点根据函数在奇点去心邻域内洛朗展式主要部分的项数又可以分为三类:可去奇点(主要部分为0);极点(主要部分为有限多项);本质奇点(主要部分为无限多项).例2.1判定函数的奇点及其类型.解在平面上只有为孤立奇点,在其去心邻域内的洛朗展式为,因其主要部分为0,故为的可去奇点.3 解析函数在无穷远点的性质3.1 无穷远点的引入在复分析中,我们讨论的函数在自变量趋于一个定点时,函数值可能趋于无穷大.为了讨论这种情况,我们在复数域中引入符号表示无穷大,并且约定.同时规定它和有限数的运算关系如下:(加减法) ,(乘法) ,(除法),,在此定义下无意义.由于在复平面上没有对应无穷远点的位置,因此在复平面上引入一个“理想点”与无穷大对应,称之为无穷远点,仍记为,且把复平面加上点后称为扩充复平面,常记作.另外扩充复平面的几何模型是复球面,且北极与复平面上的无穷远点相对应.性质: 的实部﹑虚部及辐角都无意义, ;复平面上每一条直线都通过点,同时没有一个半平面包含点.3.2 无穷远点作为奇点的分类由于任一函数在处无意义,所以点总是的奇点.定义3.1 [3] 设函数在无穷远点的去心邻域内解析,则称为的一个孤立奇点,否则为非孤立奇点.若在平面上有一列趋于无穷远点的奇点,则为的非孤立奇点.例3.1讨论的奇点的类型.解:此函数因分母不能为0,故有奇点和.由于有限奇点(它们各为一阶极点)以为极限,故为此函数的非孤立奇点.设为的孤立奇点, 在无穷远点的去心邻域内的洛朗展式为,在式中正幂部分称为在的主要部分,非正幂部分称为在的正则部分.定义3.2设为函数的孤立奇点.若在点的主要部分为零,则称为的可去奇点;若在点的主要部分为有限多项,设为,则称为的阶极点;若在点的主要部分有无限多项,则称为的本质奇点.注: 若为的可去奇点,我们定义,则在处解析.3.3 解析函数在无穷远点的性质根据定义3.2,不难得到定理3.1函数的孤立奇点为可去奇点的充要条件是下列条件之一成立: ;令, 为的可去奇点;在的某去心邻域内有界.例如, ,所以为函数的可去奇点.定理3.2函数的孤立奇点为阶极点的充要条件是下列条件之一成立: 令, 为的阶极点;在的某去心邻域内能表成,其中在的邻域内解析,且;以为阶零点(只要令).注:为的极点的充要条件是.例3.2试确定函数的奇点的类型.解:由,设,因在的邻域内解析且,所以为阶极点.定理3.3函数的孤立奇点为本质奇点的充要条件是下列条件之一成立:不存在;令, 为的本质奇点.例3.3试确定函数的奇点的类型.解:令,其在的空心邻域内的展式为,它的主要部分为无穷多项,故为的本质奇点.定理 3.4 (含点的区域的柯西积分定理)设是一条周线,区域是的外部(含点), 在内解析且连续到;又设,则,这里及是在无穷远点去心邻域内的洛朗展式的系数.证明:由已知有在解析,又,所以为可去奇点;设充分大,使及其内部全含于圆周的内部(图1),则得点的去心邻域: 在其内展成洛朗级数,设为( 可为0).因,所以.再就复围线(图1)应用柯西积分定理有:,,.定理3.5 (含点的区域的柯西积分公式)假设条件同定理3.4,则这里表示的方向,含点的区域恰在一人沿它前进的方向.证明:1)设,以为心作充分大的圆周,使及其内部全含于的内部(图2), 构成一复围线.则应用有界区域的柯西积分公式,.在(这里以为中心的点的去心邻域)内的洛朗展式可设为( 可为0),由此可得.当,有,所以.2) (即在图2中的阴影部分),有,所以.参考文献:[1]钟玉泉.复变函数论[M].北京:高等教育出版社,2005年版.[2]陈广锋.无穷远点作为解析函数奇点时的讨论[J].西安教育学院学报,2000(3).。
第五章 洛朗级数
第五章 洛朗级数 第一节 洛朗展式双边幂级数设级数()()() +-++-+=-∑∞=n n n n n a z c a z c c a z c 100 （1*）它在收敛圆R a z <-)0(+∞≤<R 内绝对且内闭一致收敛到解析函数()z f 1；考虑函数项级数()() +-++-----n n a z c a z c 11 （2*） 作代换az -=1ξ 则（2*）即为 +++--n n c c ξξ1，它在收敛圆⎪⎭⎫⎝⎛+∞≤<<rr 101ξ内绝对且内闭一致收敛到解析函数()z f 2，从而（2*）在区域()+∞<≤>-r r a z 0内绝对且内闭一致收敛到解析函数()z f 2；当且仅当R r <时，（1*）（2*）有共同的收敛区域()+∞≤<≤<-<R r R a z r H 0:，此时，称()∑∞=-0n n n a z c 为双边幂级数。
关于双边幂级数的性质，见p185 定理1.5 定理1 （洛朗定理）设函数f (z )在圆环：)0(||:+∞≤<≤<-<R r R a z r H 内解析，那么在H 内,)()(∑+∞-∞=-=n n na z cz f其中，,...)2,1,0(,)()(211±±=-=⎰+τζζζπn d a f i c n n τ是圆ρρ,||=-a z 是一个满足R r <<ρ的任何数，并且展式是唯一的。
证明：H z ∈∀，作圆周11:ρτ=-a z 和22:ρτ=-a z 使z 含于圆环21':ρρ<-<a z H 内，于是()z f 在圆环'H 内解析。
由柯西积分公式()()ζζζπττd zf i z f ⎰-+-=1221 ()()nn n a z c d z f i -=-∑⎰+∞=0221ζζζπτ，其中()()ζζζπτd a f i c n n ⎰+-=2121 () ,1,1,0-=n 现考虑()()ζζζπζζζπττd z f i d z f i ⎰⎰-=--112121 ()()az aaz f z f ----=-ζζζζ11而沿1τ，1<--az a ζ，nn a z a az a ∑∞+=⎪⎭⎫⎝⎛--=---∴011ζζ（在1τ上一致收敛）由于函数()ζζ-z f 沿1τ有界，所以()()()()n nn a z a a z f z f ---=-∑∞+=ζζζζ0 ∴()()()()∑⎰⎰+∞=----=-01112121n nn d a f i a z d z f i ττζζζπζζζπ ()()()ζζζπτd a f i a z n n n∑⎰-∞-=+--=11121故当H z ∈：()()∑+∞-∞=-=n nna z c z f ，其中()()ζζζπρτd a f i c n n ⎰+-=121() ,1,0±=n 展式的唯一性：设()()∑+∞-∞=-=n nna z c z f '任意取某正整数m ，在ρτ上有界，()()()∑+∞-∞=--+-=-∴n m n n m a z c a z z f 1'1()()()∑⎰⎰+∞-∞=--+⋅=-=-n m m n nm c i dz a z c dz a z z f '1'12ρρττπ()()⎰+-=∴ρτπdz a z z f i c m m 1'21() ,1,0±=m ，故() ,1,0'±==n c c n n，展式唯一。
1函数的极限
x从右侧无限趋近 x0 , 记作x x0 0, 或x x0 .
17
函数的极限
左极限 0, 0, 当 x0 x x0 时，
恒有 f (x) A .
记作 lim f ( x) A
x x0
或 f ( x0 0) A
右极限 0, 0, 当 x0 x x0 时，
x x0
左右极限均存在, 且 f ( x0 0) f ( x0 0) A 常用于判断分段函数当 x 趋近于分段点时的极限.
19
函数的极限
例
试证函数
f
(x)
x
sin x
当x 1时,无极限.
x 1, x1
证
lim f ( x) lim
x 1
x1
x 1
(3) 不要求最大的 , 只要求 存在即可.
12
函数的极限
2. lim f ( x) A的几何意义 x x0
0, 0,当 0 x x0 , f ( x) A
y
0, 带形区域
A
A y A
A
A
必存在x0的去心邻域
例
limsin x,
x
lim x2
x
不存在.
5
函数的极限
3. lim f ( x) A的几何意义 x y y f (x)
A
X O X
0,X 0,
当 | x | X时,有
| f ( x) A |
A f (x) A
x
f ( x) A 表示 f ( x)无限接近A; x X 表示 x 的过程.
5.4皮卡定理与解析函数在无穷远的性质
无穷远点是可去奇点的特征
定理5.3' 如果∞为函数 f(z) 的孤立奇 定理 则下列三条是等价的.它们中的任何 点，则下列三条是等价的 它们中的任何 一条都是可去奇点的特征. 一条都是可去奇点的特征 1. f(z) 在点∞的主要部分为零 的主要部分为零. 2. lim f ( z ) = b ( ≠ ∞ ) z→∞ 3. f(z) 在点 ∞ 的某去心领域内有界 的某去心领域内有界.
故 ϕ (ζ ) = e(1 − 2ζ + 6ζ + ⋯)
2
2 6 故 f ( z ) = e (1 − + 2 + ⋯) z z
(2 <| z |≤ ∞ )
1 (| ζ |< ) 2
在点z=∞的去心邻域内将函数 例5.13 在点 的去心邻域内将函数
f (z) = e
展成洛朗级数. 展成洛朗级数.
{zn} ，使得
lim f ( zn ) = ∞ = A. zn → a 一个收敛于a （2）当A≠∞时，若存在一个收敛于 的点列 ） 时 f ( zn ) = A. {zn} ，使得
则定理已经得证. 则定理已经得证 的某去心邻域K-{a}内 （3）相反的情形是 ）相反的情形是: 在a的某去心邻域 的某去心邻域 内 f(z) ≠A, 则 a 必为函数 ϕ(z) = 1 的本质奇点 的本质奇点.
一个收敛于a 故存在一个收敛于 的点列 {zn} ，使得 1 lim ϕ ( z n ) = lim = ∞ , 即 lim f ( z n ) = A. zn → a zn → a f ( z ) − A zn → a n
f (z) − A
例 5.9
i 1.若 A = ∞ ， 取 z n = 即 可 . n −n n
留数第5章
n =0
为f(z)在点z0的主要部分.
分类
设z0为f(z)的孤立奇点. (1)如果f(z)在点z0的主要部分为零,则称z0为 可去奇点. f(z)的可去奇点 可去奇点 (2)如果f(z)在点z0的主要部分为有限多项,
a−(m−1) a−m a−1 + +⋅⋅⋅ + (a−m ≠ 0), 设为 m m−1 (z − z0 ) (z − z0 ) z − z0
等于f(z)在点∞的罗朗展式中1/z这一项的系数反号. 因此，即使∞为函数 的可去奇点,未必有 z = 为函数f(z)的可去奇点 因此，即使 为函数 的可去奇点 未必有 Re∞s f ( z ) = 0
例 设f(z)=z5/(1+z6), 求 Re s f ( z )
z =∞
解:
z 1 f (z) = = 6 z 1+ z
sin z z
性质
定理5.1.3 f(z)的孤立奇点 0为极点的充要 的孤立奇点z 定理 的孤立奇点 条件是 zlim f ( z ) = ∞ →z
0
sin z 例如，0是 z 2
的单极点。
定理5.1.4 f(z)的孤立奇点z0为本性奇点⇔
b(有限数 ) lim f ( z ) ≠ ，即 lim f ( z )广义不存在. z → z0 z → z0 ∞
ϕ (ζ )
的可去奇点(解析点),
m级极点或本性奇点,则我们相应地称z=∞为 f(z)的可去奇点(解析点),m级极点或本性奇点. 设在去心邻域K-{0}:0<|ζ|<1/r内将 ϕ (ζ ) 展成罗
令ζ=1/z, 则有
ϕ (ζ ) =
其中 an = c− n (n = 0,±1,⋅ ⋅ ⋅). f(z)在无穷远点去心邻域N-{∞}:∞ 0≤r<|z|<+∞内的罗朗展式.对应 ∑ a − n z 的解析部分,我们称 ∑ a − n z
解析函数的主要性质综述
解析函数的主要性质综述作者：安辉燕来源：《科学导报》2017年第75期一、导引解析函数是一类具有某种特性的可微函数，它将我们所熟悉的数学分析中的一些内容推广到复数域上并研究其性质。
本文通过搜集材料，系统总结了解析函数的几个主要性质：解析函数的唯一性、零点的孤立性、零点的分布问题、解析函数在无穷远点的性质、解析变换的特征及解析函数、共轭解析函数和复调和函数之间的关系，并通过举例进行了深入、详细的分析。
二、预备知识1.定义如果函数在区域D内是可微的，则称为区域D内的解析函数。
复变函数中解析函数的充要条件有多种形式，最常见的有以下几种。
2.定理函数在区域D内解析的充要条件：A（1）二元函数在区域D内可微；（2）在D内满足方程。
B（3）在D内连续；（4）在D内满足方程。
C 在D内任意一点的邻域内可以展成的幂级数，也就是泰勒级数。
D C为D内任意一条周线，则。
三、解析函数的主要性质1.解析函数的唯一性定理（解析函数的唯一性）如果函数在区域D内解析，是D内彼此不同的点，并且点列的极限点，若有，则在D内必有。
根据定理我们可得到以下结论：推论1 如果函数在区域D内解析，且在区域内某点的邻域内有，则在D内必有。
推论2 如果函数在区域D内解析，且在区域D内某一曲线上有，则在内必有。
2.解析函数零点的孤立性定理如果在内的解析函数不恒为零，是的一个零点，则必存在的一个邻域使得在其中无其他零点。
（即：不恒为零的解析函数的零点具有孤立性）此性质是解析函数的特殊性质，实函数不具有此性质。
3. 解析函数零点的分布问题解析函数的零点的分布问题是复变函数论中的一个重要问题，一下就复多项式的零点可以全部分布在一个指定的区域内这个问题进行讨论。
定理1若复平面上多项式在虚轴上无零点，则它的零点全分布在右半平面上的充要条件为。
定理2若复平面上多项式在实轴上无零点，则它的零点全分布在上半平面的充要条件为。
四、解析变换的特性解析函数的特性是从几何的角度对解析函数的性质和应用进行讨论。
一、函数在无限远处的极限
n→∞
lim xn = a
x → +∞
lim f ( x) = A
函数
定义域
自变量变化趋势
y = xn
y = f (x)
（a,+∞） x → +∞ f ( x) → A
N
n→∞
函数值变化趋势
xn → a
n
定义
Yunnan University
∀ε > 0, ∃N，当 n > N时， ∀ε > 0, ∃X > 0，当x > X时， 有 f ( x) − A < ε 有 x − a < ε,
Yunnan University
§2. 函数的极限
理解“ 的含义。 （2）理解“ 0 < x − x0 < δ ”的含义。
0 （ i） < x − x 0 < δ ⇔ x 0 − δ < x < x 0 + δ , 且 x ≠ x 0
（去心邻域） 去心邻域）
⇔ x ∈ O（x0，δ） {x0} −
仅有两种： 仅有两种： A = f ( a ) or
A ≠ f ( a ).
总之， 总之， f ( x )在 x 0的极限仅与 f ( x )在 x 0的附近的 x 的函数
的变化有关， 的情况无关。 值 f ( x )的变化有关，而与 f ( x )在 x 0的情况无关。
Yunnan University
x→∞ x → +∞ x → −∞
ex : 写出本节三个函数极限 定义的邻域叙述及否定 叙述。 叙述。
x → +∞
lim f ( x ) ≠ A ⇔ ∃ ε 0 > 0，对 ∀ X > 0， ∃ 某个 x0 > X ,
第一讲 孤立奇点
内解析，那么 z 0 是 f(z) 的本性奇点的充分必 lim f ( z ).不存在也不为 要条件是： z z
0
综上所述: 如果z0为f ( z )的可去奇点 lim f ( z )存在且有限;
z z0
如果z0为f ( z )的极点 lim f ( z ) ;
z z0 z z0
1 例3 设f z , zn n 1,2, 1 n si n z 是它的孤立奇点
1
但 z 0 是奇点而不是孤立奇点。换句话说, 在z 0 不论怎样小的去心领域内总有 f z 的奇点 存在.
将函数 f z 在它的孤立奇点 z0 的去心邻域 0 z z0 内展开成洛朗级数.
si nz 所以z=0是函数 z
的可去奇点。
学生课堂练习 例5.5 研究函数
f z 1 z 1z 22
的孤立奇点的类型。
例5.6 研究函数 f z e
1 z 1
的孤立奇点的类型。
三、函数的零点与极点的关系
定义5.2 若f (z) = (zz0) m (z), 其中 (z)在z0解析且
(z0) 0, m为某一正整数, 则称z0为f (z)的m阶零点.
例5.7 当 f (z)=z(z1)3时, z=0与z=1是它的一阶与三阶零点.
根据这个定义, 我们可以得到以下结论:
定理5.4 若f (z)在z0解析, 则z0是 f (z)的m阶零点的充
要条件是 f (n)(z0)=0, (n=0,1,2,...,m1), f (m)(z0)0 .
( z) 在z0解析, 且 ( z0 ) 0 .
1 1 1 当z z0时 ，f ( z ) h( z ) m m ( z z0 ) ( z ) ( z z0 )
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定理5.4/ (对应于定理5.4)f(z)的孤立奇点z=∞为m级 极点的充要条件是下列三条中的任何一条成立:
(1) f(z)在 z=∞的主要部分为
b1z b2 z 2 bm z m (bm 0);
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1
(z 1)( z 2)
g(z) (z 1)( z 2) z 2 1 1 1 2 z z
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铃
补充例 2：求出下列函数的 奇点，并确定他们的类 型（对于极点，要指出它们的 级），对于无穷远点 也要加以讨论。
(1)
f
(z)
z6 z(z2
例4
问函数
1 sec
z 1
在z＝1的去心邻域内能否展开为洛朗级数.
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例5 设f(z)在0<|z-a|<R内解析，且不恒为零；又 若f(z)有一列异于a但却以a为聚点的零点。试证 a必为f(z)的本性奇点。
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定理5.6’(对应于定理5.6) f(z)的孤立奇点∞为本 性奇点的充要条件是下列任何一条成立: (1)f(z)在z=∞的主要部分有无穷多项正幂
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不等于零; (2) lim f (z) 广义不存在(即当z趋向于∞
z
时f(z)不趋向于任何(有限或无穷)极限).
例1 f (z)
5.3解析函数在无穷远点的性质
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定义5.4 设函数f(z)在无穷远点(去心)邻域 N-{∞}:+∞>|z|>r≥0
内解析,则称点∞为f(z)的一个孤立奇点.
如果点∞是f(z)的奇点的聚点，就是非孤立奇点.
设点∞为f(z)的孤立奇点,利用变换z/=1/z,
于是 (z') f ( 1 ) f (z)
z'
(5.12)
在去心邻域:
K {0}: 0 | z'| 1 (如r 0规定1 )内解析
r
r
z 0就为(z)之一孤立点.我们还看出:
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(1)对于扩充z平面上无穷远点的去心邻域 N-{∞},有扩充z/平面上的原点的去心邻域;
(2)在对应点z与z/上,函数 f (z) (z')
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铃
(2)f(z)在z=∞的某去心邻域N-{∞}内能表成
f (z) zm (z),
其中(z) 在z=∞的邻域N内解析,且 ( 0);
(3)g(z)=1/f(z)以z=∞为m级零点(只要令g(z)=0).
定理5.5’(对应于定理5.5) f(z)的孤立奇点∞为
极点的充要条件是 lim f (z) . z
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铃
令z/=1/z,根据(5.12),则有 (z') f ( 1 ) f (z)
z'
(z) cnzn f (z) bn z n (5.13)
n
n
其中 bn cn (n 0,1,).
(5.13)为f(z)在无穷远点去心邻域N-{∞}: 0≤r<|z|<+∞内的罗朗展式.对应 (z')在z’=0
的主要部分,我们称 bn z n 为f(z)在z=∞ n
的主要部分.
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定理5.3/ (对应于定理5.3)f(z)的孤立奇点z=∞为可去奇 点的充要条件是下列三条中的任何一条成立:
(1)f(z)在 z 的主要部分为零;
(2) lim f (z) b( ); z
(3) lim f (z) lim(z'), 或两个极限都不存在.
z
z0
定义5.5 若z/=0为 (z') 的可去奇点(解析点),
m级极点或本性奇点,则我们相应地称z=∞为 f(z)的可去奇点(解析点),m级极点或本性奇点.
设在去心邻域K-{0}:0<|z’|<1/r内将 ( z ' ) 展成罗朗级数: (z') cn z'n n
1 1) 2
; (2)
f
(z)
z5 (1 z)2
(3) f (z) 1 1 ;(4) f (z) sin z z ;
z2 z3
z3
(5)
f
(z)
e
z
1
1
.
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铃
例3 求出函数
f (z) tan(z 1) z 1
的全部奇点(含∞点),并判断其类型.