卷积积分及零状态响应的卷积计算法.
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信号与系统教学课件-§2.6 卷积及其性质和计算
r(t) e u h t u t d
0 t 0
0 t
rt0tehtd
X
二、卷积的性质
一、代数性质 • 分配律
对于函数f1t,f2t,f3t,存在 f 1 t f 2 t f 3 t f 1 t f 2 t f 1 t f 3 t
根据卷积的定义
推论
ft t ft d ftd
f t
1 . f( t) ( t t0 ) f( t t0 )
2 . f ( t t 1 ) ( t t 2 ) f ( t t 1 t 2 )
X
二、卷积的性质
三、δ(t)的卷积特性 • δ(t)的微分和积分特性
微分特性
f(t) (t) f'(t) (t)
f 1 t f 2 t f 3 t f 1 f 2 t f 3 t d
f 1 f 2 t d f 1 f 3 t d
f 1 t f 2 t f 1 t f 3 t
X
二、卷积的性质
一、代数性质 • 分配律
对于函数f1t,f2t,f3t,存在
信号与系统
§2.6 卷积及其性质和计算
北京航空航天大学电子信息学院 2020/4/19
一、卷积的定义
卷积运算的定义为，对于函数x(t)和y(t) ，则
st xytd
称为函数 x(t)和y(t)的卷积积分，简称卷积。
通常表示为
stxtyt
或
stxtyt
X
一、利用卷积计算系统零状态响应
对于激励信号e(t)，根据信号的时间轴分解，可得
f 1 t f 2 t f 3 t f 1 t f 2 t f 1 t f 3 t
h1 t
e(t )
h2 t
卷积计算(图解法)
Байду номын сангаас
an4 a7
1 a
,
6 n 10
2021/3/11
0,
10 n 8
(4)相加：把所有的乘积累加起来，即得y(n)。
2021/3/11
1
计算卷积时，一般要分几个区间分别加以 考虑，下面举例说明。
例 已知x(n)和h(n)分别为：
1, 0 n 4 x(n) 0, 其它
an , 0 n 6
和 h(n)
0,
其它
a为常数，且1<a，试求x(n)和h(n)的卷积。
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5
x(m)
(3)在4<n≤6区间上
4
y(n) x(m)h(n m)
m0
m 04
h(n-m)
4
4
1 anm an am
m0
m0
m
n-6 0
46 n
an 1 a(14) an4 a1n
1 a1
1 a
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6
x(m)
(4)在6<n≤10区间上
n
y(n) x(m)h(n m)
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2
解 参看图，分段考虑如下：
x(m)
n 04
h(m)
n 06
h(n-m)
(1)对于n<0；
n-6 n
(2)对于0≤n≤4；
(3)对于n>4，且n-6≤0，即4<n≤6；
(4)对于n>6，且n-6≤4，即6<n≤10；
(5)对于(n-6)>4，即n>10。
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m
3
(1) n<0
an4 a7
1 a
,
6 n 10
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0,
10 n 8
(4)相加：把所有的乘积累加起来，即得y(n)。
2021/3/11
1
计算卷积时，一般要分几个区间分别加以 考虑，下面举例说明。
例 已知x(n)和h(n)分别为：
1, 0 n 4 x(n) 0, 其它
an , 0 n 6
和 h(n)
0,
其它
a为常数，且1<a，试求x(n)和h(n)的卷积。
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5
x(m)
(3)在4<n≤6区间上
4
y(n) x(m)h(n m)
m0
m 04
h(n-m)
4
4
1 anm an am
m0
m0
m
n-6 0
46 n
an 1 a(14) an4 a1n
1 a1
1 a
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6
x(m)
(4)在6<n≤10区间上
n
y(n) x(m)h(n m)
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2
解 参看图，分段考虑如下：
x(m)
n 04
h(m)
n 06
h(n-m)
(1)对于n<0；
n-6 n
(2)对于0≤n≤4；
(3)对于n>4，且n-6≤0，即4<n≤6；
(4)对于n>6，且n-6≤4，即6<n≤10；
(5)对于(n-6)>4，即n>10。
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m
3
(1) n<0
卷积的几种计算方法以及程序实现FFT算法
e ( t 1) )u(t 2)
Made by 霏烟似雨
数字信号处理
ht 1
e
t 2
u (t ) u (t 2)
e t 1
e t u (t )
O
t
波形
O
2
t
2. 今有一输油管道，长 12 米，请用数字信号处理的方法探测管道内部的损伤，管道的损伤可能为焊 缝，腐蚀。叙述你的探测原理，方法与结果。 （不是很清楚） 探测原理：因为输油管道不是很长，可以考虑设计滤波器器通过信号测量来测试管道的损伤，当有 焊缝时，所接受的信号会有所损失，当管道式腐蚀时，由于管壁变得不再是平滑的时候，信号的频率 就会有所改变。
rk r ( k N / 2)
，则后半段的 DFT 值表达式：
X 1[
N N / 2 1 N / 2 1 r ( k ) N N rk k ] x1[r ]WN / 22 x1[r ]WN ， k ] X 2 [k ] （ k=0,1, … ,N/2-1 ） / 2 X 1[ k ] ，同样， X 2 [ 2 2 r 0 r 0
d it L Ri t et dt
t
t 2
u(t ) u(
i(t )
L 1H
2) 冲激响应为 h(t ) e u(t ) 3)
i(t ) e( ) h(t ) d
程序： function test x = rand(1 , 2 .^ 13) ; tic X1 = fft(x) ; toc tic X2 = dit2(x) ; toc tic X3 = dif2(x) ; toc tic X4 = real_fft(x) ; toc max(abs(X1 - X2)) max(abs(X1 - X3)) max(abs(X1 - X4)) return ; function X = dit2(x) N = length(x) ; if N == 1 X=x; else X1 = dit2(x(1:2:(N-1))) ; X2 = dit2(x(2:2:N)) ; W = exp(-1i * 2 * pi / N * (0:(N/2-1))) ; X = [X1 + W .* X2 , X1 - W .* X2] ; end return ;
《信号与系统教学课件》§2.6 卷积及其性质和计算
将卷积的微分性质和积分性质加以推广，可以得到
s
t
nm
f (n) 1
t
f (m) 2
t
f (m) 1
t
f (n) 2
t
X
二、卷积的性质
注意函数的积分和微分并不是一个严格的可逆关系， 因为函数加上任意常数后的微分与原函数的微分是相 同的。因此，对于等式
f1 t
f2 t
f1' t
k
d
k
f
3
t
d
令w k
f1
k
f2
w f3
t
k
w d w d k
令st f2t f3t
f1 k s t k d k
f1 t st
f1 t
f2 t
f3 t
f 1
t f2 t
f3 t
X
二、卷积的性质
一、代数性质 • 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
h2 t
r(t)
h1 t
图2.6.2 卷积交换律的系统意义
X
二、卷积的性质
一、代数性质
• 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f3 t
根据卷积的定义
f1 t
f2
t
f3
t
f1
k
f2
X
三、卷积的计算
根据卷积的定义，卷积计算是由若干基本的信号运算组成的， 对于
s
t
f1
f2
t
d
第一步 反褶：将 f1 t 反褶运算，得到 f1
信号第二章3卷积
若将此信号作用到冲激信号为h(t)的线性时不 变系统，则系统的响应为
r (t ) H [e(t )] H [ e( ) (t )d ]
e( ) H [ (t )]d
e( )h(t )d
零状态响应：rzs (t ) e( )h(t )d h(t ) e(t )
def
2.算子符号基本规则
(1)算子多项式可以进行因式分解 ( p 2)( p 3) p 2 5 p 6 例如： (2)等式两端的算子符合因式不能相消 ( p 2) r (t ) ( p 1) e(t ) ( p 2)( p 3) r (t ) ( p 2 4 p 3) e(t ) 不能简化为： (3)算子的乘除顺序不能随意颠倒
（3）结合律： f1(t) f2 (t) f3 (t) f1(t) f2 (t) f3 (t)
e(t)
h1(t)
h2(t)
r(t)
串联系统 r (t ) e(t ) h1 (t ) h2 (t )
2.卷积的微分与积分
d f1 (t ) f 2 (t ) df 2 (t ) （4）微分性： f1 (t ) dt dt df1 (t ) (适于高阶微分） f 2 (t ) dt
r (t ) e( )h(t )d
1 (a) t 2
e(t ) * h(t ) 0
h(t )
e( )
1
1 2
t 2
(b)
0
1 t 1 2
相乘
t
1
1 t 1 2 t 1 e(t ) * h(t ) 1 1 (t )d 2 2 t2 t 1 4 4 16 (b)
离散系统的零状态响应
k
对比 : g (t ) h( )d
t
2. 已知g (k )求h(k ) :
(k ) (k ) (k 1) h(k ) g (k ) g (k 1)
X
例题（书P127例5－9）(自学，不要求)
求离散系统 y k 4 y k 1 3 y k 2 2 k y 1 1, y( 2) 1 的单位响应 (其中k 0)
(k ) (k j ) (k ) (k 1) (k j )
第 7 页
由于 (k ) h(k )根据LTI性质
g ( k ) h( k j )
j 0 i
j 0
i
(i)
k
h(i)
单位序列响应的初值h1 (0),1h1 (1), h(2)可由下式递推得到
h1 (k ) (k ) a1h1 (k 1) an 1h1 (k n 1) anh1 (k n)
h(k ) b0 h1 (k ) b1h1 (k－1) bm 1h (k m 1) bmh1 (k m)
ik 6 4
k i 0
i
k-6
k 0
y (k ) 0
k i a
3.k 4
k-6 k
k 6 0
k
4.k 6 0 k 6 4
4
i0
k-6
5.k 6 4即 : k 10
k-6
k
y(k) 0
X
1.k 0, y (k ) 0
2.0 k 4 y (k ) a
设系统激励仅在是δ(k) →h1(k),此时系统差分方程变为:
卷积积分介绍
h(t)
(1) 1
O
(1) t
g(t)
1
O12 1
g(t)f(1)(t)h(1)(t)
t 3 2t
t 3
0t 1 1t 2 2t 3
3 t
注意
28
注意
当f1(t)
t df1(t)dt时, dt
f 1 ( t) f 2 ( t) f 1 ( t) f 2 ( 1 )( t)
例 sg t： n t
系统并联运算
3．结合律
f ( t ) f 1 ( t ) f 2 ( t ) f ( t ) [ f 1 ( t ) f 2 ( t )]
系统级联运算
22
系统并联
f 1 ( t ) [ f 2 ( t ) f 3 ( t ) f ] 1 ( t ) f 2 ( t ) f 1 ( t ) f 3 ( t ) 系统并联，框图表示：
一般数学表示： g(t) f1()f2(t)d 信号无起因时： g(t) f()h(t)d
(4)卷积是数学方法，也可运用于其他学科 。
(5)积分限由 f1(t),f2(t)存在的区间决定，即由
f1()f2(t)0的范围决定。
20
总结
求解响应的方法： 时域经典法： 完全解=齐次解 + 特解 双零法：
: 信号作用的时刻，积分变量
从因果关系看，必定有 t
(2)分析信号是手段，卷积中没有冲激形式，但有其内容；
f() 是h(t-)的加权，求和
即d f() 是h(t-)的加权，积分
(t-)的响应
19
(3)卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应h(t)建 立了响应r(t)与激励e(t)之间的关系。
零输入响应：解齐次方程，用初（起）始条件求系数；
计算卷积的方法
f (t1)
f(t1t1) f (0)
t1
t1
u(t) g(t) DaHlantrem gra
*.Duharmal integral
t
r(t) e(0)g(t) e' ( )g(t )d
0
d(g t)
r(t)e(t)h(t)e(t)
dt
de(t) *g(t)
dt
e(t)e(t)u(t)
f(t)
h1 (t ) y1(t)
f2 (t) h2 (t)
y(t)
解:1当 . 输入f(t) (t)时,子系统h1(t)的输出为
cost
y 1 ( t ) f ( t ) h 1 ( t ) ( t ) u ( t ) u ( t )
由图,子 可系 知 h2(统 t)的输入 f2 (t)为 y 1 (t)cto csto ( u t)s
*.表达式的推导
t t j
1.将被卷积的两个函数f(t)和 h(t)都表示成单位阶跃u(t)移
位加权之和. p
f(t) fi(t)u(tti)......1 .... i1 q
h(t) hj(t)u(ttj)....2 .. j1
其中fi(t)和hj(t)分别是f(t)的第i段和h(t)的第j段数学表达
式.ti和tj分别是fi(t)和hj(t)的起点.
2.将(1)和(2)代入卷积公式:
f h [ pfi( ) u ( t ti) ] qh [ j( t ) u ( t tj)d ]
i 1
j 1
p q
fi(t)h j(t)u [ ( ti)u (t tj)d ]
i 1j 1
2 .当系 f(统 t')(t)， 输子 入 h 1(t)的 系输 统出为
f(t1t1) f (0)
t1
t1
u(t) g(t) DaHlantrem gra
*.Duharmal integral
t
r(t) e(0)g(t) e' ( )g(t )d
0
d(g t)
r(t)e(t)h(t)e(t)
dt
de(t) *g(t)
dt
e(t)e(t)u(t)
f(t)
h1 (t ) y1(t)
f2 (t) h2 (t)
y(t)
解:1当 . 输入f(t) (t)时,子系统h1(t)的输出为
cost
y 1 ( t ) f ( t ) h 1 ( t ) ( t ) u ( t ) u ( t )
由图,子 可系 知 h2(统 t)的输入 f2 (t)为 y 1 (t)cto csto ( u t)s
*.表达式的推导
t t j
1.将被卷积的两个函数f(t)和 h(t)都表示成单位阶跃u(t)移
位加权之和. p
f(t) fi(t)u(tti)......1 .... i1 q
h(t) hj(t)u(ttj)....2 .. j1
其中fi(t)和hj(t)分别是f(t)的第i段和h(t)的第j段数学表达
式.ti和tj分别是fi(t)和hj(t)的起点.
2.将(1)和(2)代入卷积公式:
f h [ pfi( ) u ( t ti) ] qh [ j( t ) u ( t tj)d ]
i 1
j 1
p q
fi(t)h j(t)u [ ( ti)u (t tj)d ]
i 1j 1
2 .当系 f(统 t')(t)， 输子 入 h 1(t)的 系输 统出为
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t
e RC
RCT
T RC t
e RCT 0
RC T RC
(t 0)
u0T T RC
e
t T
t
e RC
ε(t)
➢卷积积分的图解
求f(t)与h(t)的卷积，实质上是求一个新函数
f()h(t)在 由0到t的区间内的定积分。根据定积分的 几何意义，函数在0到t区间内的定积分值，决定于被积 函数f()h(t)的曲线在该区间内与 轴之间所限定的面
§4-6 卷积积分及零状态响 应的卷积计算法
➢ 卷积积分的推导
激励函数的 近似表示
f (t) fa (t) f (0)ε(t) ε(t )
f ( )ε(t ) ε(t 2 )
f (2 )ε(t 2 ) ε(t 3 )
f (n 1) ε(t (n 1) ) ε(t n )
解： [e tε(t)] ε(t) t e ε( )ε(t )d 0
t ed 0
1 e t
0
(t 0)
(t 0)
1 1 e t ε(t)
例2 设图示RC串联电路中电压源的电压
t
u(t) u0e T ε(t)
求零状态响应电压uC(t)。
解： 用卷积积分公式求uC(t)，应先求冲激响应
如按
t
r(t) h( ) f (t ) d h(t) f (t)
0
当 0<t <1 时
计算。
r(t ) te ε( )d t e d 1 et
0
0
当 t >1时
r(t ) t e ε( )d t 1
t e d e(t1) et t 1 返回
注意ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分上、下限
r(t) f (t) h(t)
t
0
f
ht
d
rt ht f t
t
0
h
f
t
d
rt ht f t f tht
δt
f
t
t
0
δ
f
t
d
0δ f 0
t d
f
t
δt f t f t
f tδt f t
δt
t0
f
t
t
0
δ
t 0
f
t
d
δ t0
t0
t0
f
t
d
f t t0
例1 求卷积 [e tε(t)] ε(t)
因为
1
uC (0 ) C
0 1 δ(t )dt 1
0 R
RC
所以，冲激响应
h(t)
1
t
e RC ε(t )
RC
零状态响应电压为
t
uC (t)
u( )h(t ) d
0
t 0
u0e T
ε(
)
1 RC
t
e RC
ε(t
)
d
u0
t
e RC
t T RC
e RCT d
RC
0
(t 0)
u0
积。
设 f (t) ε(t)
h(t ) etε(t )
如按式
t
r(t)
f (t) h(t) 0
f ( )h(t ) d
计算。
如按式
t
r(t) 0 h( ) f (t ) d h(t) f (t)
计算。
例3 图示某电路的激励函数与冲激响应。求电路的零状态响应。
如按
t
r(t) f (t) h(t) 0 f ( )h(t ) d
n1
f (k )ε(t k ) ε(t (k 1) ) k0
f (t) fa(t)
n1 k0
f
(k )ε(t
k )
ε(t
(k
1)
)
n1
f (t) fa (t) f (k )δ(t k ) k0
零状态响应的近似解
n1
r(t) f (k ) h(t k ) k0
准确解 r(t) t f h(t )d 0
计算。
解： 当 0<t <1 时
r(t ) te(t )ε(t )d 0 t e(t )d 1 et 0
当 t >1 时
r(t ) e1 (t )ε(t )d 0 1 e(t )d e(t1) et 0
注意：积分上下限应由被 积函数存在的时域范围的 上下限确定，用作图的方 法可方便地确定出积分上 下限。