商不变的规律说课.ppt
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《商不变的规律》PPT课件
探究新知
交流：计算并观察下面的题。你发现了什么规律？
6 ÷ 3=
2
60 ÷ 30 = 2
600 ÷ 300 = 2
6000 ÷ 3000 = 2
探究新知
从上往下进行观察：
×10 6 ×100 60
÷ ÷
330==××10100
2 2
×1000 600 ÷ 300 = ×1000 2
商 不 变
6000 ÷ 3000 =
任何数乘以0都得0。 0不可以做除数。 所以，同乘或同除以的这个数不能是0。
探究新知 交流：你能举例验证这些规律吗？
除数不变，被除数乘几(除几)，商也乘几(除几)。
400 ÷ 4 ＝ 100
÷5
×5
÷5
×5
80 ÷ 4 ＝
20
探究新知 交流：你能举例验证这些规律吗？
被除数不变，除数除以几(乘几)，商反而乘几(除以几)。
课堂练习 下面（ A ）里哪个算式的结果与32÷16的商相等。
A.（32÷4）÷（16÷4） B.（32×5）÷（ 16÷5） C.（32×3）÷（ 16÷3） D.（32÷4）÷（ 16÷3）
课堂练习 填写下表。
被除数和除数依次同时乘2
被除数 56 112 224 672 1344
除数
4
8 16 48 96
40
5
探究新知 从上往下进行观察：
（1） ×10 ×20 ×2
16
2
160 ÷8＝ 20
320
40
不变
×10 ×20 ×2
除数不变，被除数乘几，商也乘几。
探究新知
从下往上进行观察：
（1） ÷10 ÷20 ÷2
《商不变的规律》ppt
的商相同。
问题二
解决方法
学生在计算过程中可能 出现错误，影响实验结
果。
教师需提醒学生仔细进 行计算，并核对计算结 果是否与预期商值一致。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
具体来说，如果有一个除法运算 a ÷ b = c，那么当被除数 a 和除数 b 同时扩 大或缩小 k 倍时，新的除法运算 (a × k) ÷ (b × k) 的结果仍然是 c。
性质
01
02
03
普遍性
商不变的规律适用于任何 形式的除法运算，无论是 整数、小数、分数还是代 数表达式。
双向性
被除数和除数同时扩大或 缩小相同的倍数时，商保 持不变。
稳定性
无论被除数和除数扩大或 缩小的倍数是多少，只要 倍数相同，商始终保持不 变。
商不变的规律在数学中的地位和作用
基础性
商不变的规律是数学中除 法运算的基础，是学习其 他代数知识和解决数学问 题的重要基础。
应用性
商不变的规律在数学中有 广泛的应用，如简化计算、 证明代数恒等式、解决方 程和不等式问题等。
商不变的规律的推广
商不变的规律在乘法中的推广
虽然商不变的规律原本是用于除法的，但也可以推广到乘法中。当两个数同时扩大或缩小相同的倍数时，它们的 乘积也保持不变。
商不变的规律在其他数学领域的应用
商不变的规律不仅在算术中有应用，还可以推广到其他数学领域，如代数、几何等。例如，在几何图形变换中， 图形的大小变化不会影响其形状和比例。
在计算几何形状的面积和周长时 ，可以利用商不变规律来简化计 算过程。
图形变换
在图形变换中，可以利用商不变 规律来研究图形之间的变换关系 ，例如相似、位似等。
问题二
解决方法
学生在计算过程中可能 出现错误，影响实验结
果。
教师需提醒学生仔细进 行计算，并核对计算结 果是否与预期商值一致。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
具体来说，如果有一个除法运算 a ÷ b = c，那么当被除数 a 和除数 b 同时扩 大或缩小 k 倍时，新的除法运算 (a × k) ÷ (b × k) 的结果仍然是 c。
性质
01
02
03
普遍性
商不变的规律适用于任何 形式的除法运算，无论是 整数、小数、分数还是代 数表达式。
双向性
被除数和除数同时扩大或 缩小相同的倍数时，商保 持不变。
稳定性
无论被除数和除数扩大或 缩小的倍数是多少，只要 倍数相同，商始终保持不 变。
商不变的规律在数学中的地位和作用
基础性
商不变的规律是数学中除 法运算的基础，是学习其 他代数知识和解决数学问 题的重要基础。
应用性
商不变的规律在数学中有 广泛的应用，如简化计算、 证明代数恒等式、解决方 程和不等式问题等。
商不变的规律的推广
商不变的规律在乘法中的推广
虽然商不变的规律原本是用于除法的，但也可以推广到乘法中。当两个数同时扩大或缩小相同的倍数时，它们的 乘积也保持不变。
商不变的规律在其他数学领域的应用
商不变的规律不仅在算术中有应用，还可以推广到其他数学领域，如代数、几何等。例如，在几何图形变换中， 图形的大小变化不会影响其形状和比例。
在计算几何形状的面积和周长时 ，可以利用商不变规律来简化计 算过程。
图形变换
在图形变换中，可以利用商不变 规律来研究图形之间的变换关系 ，例如相似、位似等。
《商不变的规律》PPT课件
你能用这个 方法计算下 面各题吗？
800 ÷ 25
9000 ÷ 125
课堂小结 本节课你学到了什么？ 有什么收获？
下列说法对不对？
（1）被除数24扩大2倍，除数4缩小2 倍，商不变。 ( )
（2）被除数24扩大100倍，除数4扩大 100倍，商不变。 ( ) （3）被除数24增加10，除数4增加10， 商不变。 ( )
(4) (18 × 2)÷(6 × 3)=3
(
)
(5) (18 × 2)÷(6 ÷ 3)=3
(
)
(6)在除法算式中，被除数和除数同时 乘以（或除以）一个相同的数，商不 变。( )
填空 (1) 24 ÷4=6,被除数扩大100倍，要想使 商不变除数也应该 （ 扩大100 ）倍。
试一试
950÷50= 19
19 50 ）950 50 45 0 450 0
19 50 ）950 5 45 45 为什么可以 0 这样做呢？
（18 × 3） ÷（6 × 3）= 3
你能接着往下写吗？
（1）18÷6=3 （18 ×2）÷（6 × 2）= 3
（18 ×3）÷（6 × 3）= 3
（18 × ）÷（6 × ）=
（2）480 ÷10=48
48 （480 ÷ 5） ÷（10 ÷ 5）= 48
（480 ÷ 2）÷（10 ÷ 2）=
从上往下看， 被除数和除数 同时…
8÷2=4
80 ÷20=4
800 ÷200= 4 8000 ÷2000= 4
从下往上看， 被除数和除 数同时…
在除法里，被除数和除数同时乘或 除以（零除外）一个相同的数， 商不变。
商不变的规律
你能直接写出得数吗？
（1）18÷6=3 （18×2）÷（6 × 2）= 3
800 ÷ 25
9000 ÷ 125
课堂小结 本节课你学到了什么？ 有什么收获？
下列说法对不对？
（1）被除数24扩大2倍，除数4缩小2 倍，商不变。 ( )
（2）被除数24扩大100倍，除数4扩大 100倍，商不变。 ( ) （3）被除数24增加10，除数4增加10， 商不变。 ( )
(4) (18 × 2)÷(6 × 3)=3
(
)
(5) (18 × 2)÷(6 ÷ 3)=3
(
)
(6)在除法算式中，被除数和除数同时 乘以（或除以）一个相同的数，商不 变。( )
填空 (1) 24 ÷4=6,被除数扩大100倍，要想使 商不变除数也应该 （ 扩大100 ）倍。
试一试
950÷50= 19
19 50 ）950 50 45 0 450 0
19 50 ）950 5 45 45 为什么可以 0 这样做呢？
（18 × 3） ÷（6 × 3）= 3
你能接着往下写吗？
（1）18÷6=3 （18 ×2）÷（6 × 2）= 3
（18 ×3）÷（6 × 3）= 3
（18 × ）÷（6 × ）=
（2）480 ÷10=48
48 （480 ÷ 5） ÷（10 ÷ 5）= 48
（480 ÷ 2）÷（10 ÷ 2）=
从上往下看， 被除数和除数 同时…
8÷2=4
80 ÷20=4
800 ÷200= 4 8000 ÷2000= 4
从下往上看， 被除数和除 数同时…
在除法里，被除数和除数同时乘或 除以（零除外）一个相同的数， 商不变。
商不变的规律
你能直接写出得数吗？
（1）18÷6=3 （18×2）÷（6 × 2）= 3
商不变的规律ppt
与其他数学知识的结合
乘法分配律
商不变的规律可以与乘法分配律结合使用，例如在解决某些数 学问题时，可以利用商不变的规律简化计算。
除法性质
商不变的规律与除法的性质有关，例如在计算两个数相除的结 果时，可以利用商不变的规律简化计算。
分数
商不变的规律可以应用于分数的计算，例如在计算两个分数相 除的结果时，可以利用商不变的规律简化计算。
性质
商不变的规律是一种数学运算规律，它具有普遍性和可传递 性。这意味着，如果满足商不变的规律，任何两个数的除法 运算都可以得到相同的商。
商不变规律的应用范围
整数除法
商不变的规律可以应用于整数除法，无论被除数和除数是大是小，只要它们满足相同的倍 数关系，就可以通过应用该规律简化计算。
小数除法
在小数除法中，虽然不能直接应用商不变的规律，但可以通过小数点的移动来实现类似的 效果。例如，可以将除数和被除数都乘以10或100等，使得计算更简便。
在化学工程中，商不变的规律可以应用于某些化学反应的计算，例如在计算两个浓度相除 的结果时，可以利用商不变的规律简化计算。
05
总结与展望
总结商不变规律的研究成果
商不变规律是数学中一个非常重要的规律，它描述了两个数 相除时，如果被除数和除数同时乘以或除以同一个数，商值 不会改变。这个规律在数学中有着广泛的应用。
03
商不变的规律的应用
在简化运算中的应用
总结词
简化运算，提高计算效率
详细描述
商不变的规律可以用于简化运算，特别是在进行大量除法计算时，可以避免反复 计算除数和被除数，只需确定商即可。这种方法可以大大提高计算效率，减少计 算错误。
在解方程中的应用
总结词
解方程的技巧和方法
《商不变的规律》ppt
运用“商不变的规律”
下面的说法对吗？对的在（ ）里 画“√”。
（1）一个除法算式，被除数乘15，
要使商不变，除数也要乘15。（√ ）
（2）两个数的商是8，如果被除数除
以4，除数乘4，商不变。（ ）×
（3）一个除法算式的被除数、除数都
除以3以后，商是20，那么原来的商是60。
（× ）
（1）800÷25＝（800×4）÷（25×4） （2）48÷24＝（48÷4）÷（24÷2） （3）32800÷400＝328÷4 （4）30×4＝（30÷2）×（4÷2）
郭建英
10 ÷2 5 ÷1 20 ÷4 100 ÷20 30 ÷6 40 ÷8 200 ÷40 50 ÷10 60 ÷12
50 ÷10 25 ÷5 15 ÷3 500 ÷100
被除数和除数分别是怎样变化的？ 商有没有变化？
5 ÷1=5
5÷
1
＝5
×20
×20
×2 100 ÷ ×2 20 ＝ 5
×4
商 不变 。
被除数和除数同时 乘 相同的数 ，商不变。 被除数和除数同时除以相同的数 ，商不变。
你能把这两种情况用一句话概 括出来吗？
被除数和除数同时乘 或除以相同的数几个例子，算一算， 比一比，看看是不是都有同样的规 律。
举例验证 汇报验证情况
P23 被除数和除数同时乘或除以 相同的数（0除外），商不变。
（80×0）÷（20×0）＝4
“商不变的规律”
（80÷0）÷（20÷0）＝4
那现在你看看“商不变的规律”，你认为 哪几个词特别重要？
被除数和除数同时乘或除 以相同的数（0除外），商不 变。
“商不变的规律”，你认为哪几个词特别 重要？
商不变的规律四年级上册PPT课件
1.练一练
根据 280 ÷ 70 = 4，直接写出下面各题的商 28 ÷ 7 = 140 ÷ 35 = 2800 ÷ 700 =
4
4
4
2.抢答：ຫໍສະໝຸດ 根据 48 ÷ 24 ＝ 2，填空
①（48× 4） ÷（24× ）=2
②（48÷ ）÷（24÷ 6 ）=2
③（48÷ ） ÷（24÷ ）=2
4
④（48× ） ÷（24× ）=2
600 2400 40 80
800 56000
6 24
48
8 560
96000 …… 0÷48000 …… 0=( )
100个0
99个0
动脑筋 20
结语
谢谢大家！
商不变的规律四年级 上册PPT课件
本节课我们主要来学习商不变的规律，同学们要结合日常生活中的实际例子理解并掌 握商不变的规律，能应用商不变的规律解决相关的实际问题。
猜想： 在12÷6=2，这个除法算式中，被除数、除数变了，商会变吗？
猜想： 被除数和除数按什么规律变化，商不变？
在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。
⑤（20 + 4）÷（10 + 2 ）= 6
3.游戏
被除数
除数
商
×2
×2
÷3
×3
÷4
÷4
×a
×a
不变 变
不变 无法确定
4.应用 *
15÷3=
5 150 ÷30= 5 1500 ÷ 300= 5 15000 ÷ 3000= 5
后三题求商时都可以把它们看作：（ ）÷（ ）
15
3
** 同时划去（ ）个０，看作（ ）÷（ ）
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◆ 说设计理念 ◆ 说自主合作 ◆ 说练习设计
◆设计理念：
传统教学模式
教案
小组合作模式 导学案
自合展
精 心
主 学
作 探
示 交
练 习
设 计 的
习究流
有 效
高效课堂
1 自主探究，发现规律 2 合作交流，思维碰撞 3 展示提升，精当点拨 4 知识生成，能力提升三、在有效练习中体现思的价值课前听算 课堂检测
（2）强化练习，举一反三。
比一比，想一想：精挑细选来填空：
（1）(200×4)÷(40 □)＝5 （2）(360 □)÷(90÷3)＝4 （3）(□×100)÷(□×100)=8 （4）400÷25=(400 □)÷(25
□)＝□
（3）口算竞赛，开放灵活。
240÷60= 440÷20= 3600÷90= 700÷25= 2000÷125= 8400…0 ÷ 400…0=
8÷4 =2 24÷12=2 48÷24=2 160÷80=2
2、课堂检测： 形式多样，举一反三,
体现思维的价值。
（1）基础练习，理解规律： （2）强化练习，举一反三。 （3）口算竞赛，开放灵活。 （4）对比练习，强化认知。
（1）基础练习，理解规律：
已知48÷12=4，判断下列各式是否成立。
①（48÷4）÷（12÷4）=4……（ ） ②（48×5）÷（12×4）=4……（ ） ③（48÷3）÷（12×3）=4……（ ） ④（48×0）÷（12×0）=4……（ ） ⑤（48 -8）÷（12 -8）=4……（ ）
课后拓展
为了更有效的促进数 学课堂的大容量，高效率， 加强练习的有效性设计也 是十分必要的。我在采取 小组合作的同时，更是精 心设计每一道练习题，力 争让练习精致而有效，从 而体现出数学课堂的思维 价值。
三、在有效练习中体现思维的价值
1、课前听算： 开启学生思维的起点
9 ÷ 3=3 90 ÷ 30 = 3 900÷300 = 3 9000÷3000= 3
︸︸ 10个0 10个0
（4）对比练习，强化认知。
19 50 ）950
50
淘气：
可以 450
这样 450
做
0
笑笑： 还可以 这样做
19 50 ）950
5 45 45
0
3、课后拓展：在趣味与挑战中升华新知。
智慧乐园：
2 60 1 7 0
12
5
古时候，有一个贪财的地 主到了给长工们发工钱的时候， 他对长工们说:“你们的工钱 一共是170两银子，60个长工 平均分，每人应得2两，还余
下5两。我就请大家去喝杯茶
吧！”
你能识破地主的阴谋吗？
本节课中，我通过设计一系列充满思维价 值的练习题，让学生在练习中生疑，在对比中 发现，在交流中收获，在趣味中提升研究数学 的方法，并获得知识、技能、情感的培养，让 我们的小组合作课堂真正达到高效、实效。在 层层深入的样化练习中，商不变的规律不断得 到强化，举一反三的思维能力逐渐形成，开放 的数学思想在练习中体现的淋漓尽致。
◆设计理念：
传统教学模式
教案
小组合作模式 导学案
自合展
精 心
主 学
作 探
示 交
练 习
设 计 的
习究流
有 效
高效课堂
1 自主探究，发现规律 2 合作交流，思维碰撞 3 展示提升，精当点拨 4 知识生成，能力提升三、在有效练习中体现思的价值课前听算 课堂检测
（2）强化练习，举一反三。
比一比，想一想：精挑细选来填空：
（1）(200×4)÷(40 □)＝5 （2）(360 □)÷(90÷3)＝4 （3）(□×100)÷(□×100)=8 （4）400÷25=(400 □)÷(25
□)＝□
（3）口算竞赛，开放灵活。
240÷60= 440÷20= 3600÷90= 700÷25= 2000÷125= 8400…0 ÷ 400…0=
8÷4 =2 24÷12=2 48÷24=2 160÷80=2
2、课堂检测： 形式多样，举一反三,
体现思维的价值。
（1）基础练习，理解规律： （2）强化练习，举一反三。 （3）口算竞赛，开放灵活。 （4）对比练习，强化认知。
（1）基础练习，理解规律：
已知48÷12=4，判断下列各式是否成立。
①（48÷4）÷（12÷4）=4……（ ） ②（48×5）÷（12×4）=4……（ ） ③（48÷3）÷（12×3）=4……（ ） ④（48×0）÷（12×0）=4……（ ） ⑤（48 -8）÷（12 -8）=4……（ ）
课后拓展
为了更有效的促进数 学课堂的大容量，高效率， 加强练习的有效性设计也 是十分必要的。我在采取 小组合作的同时，更是精 心设计每一道练习题，力 争让练习精致而有效，从 而体现出数学课堂的思维 价值。
三、在有效练习中体现思维的价值
1、课前听算： 开启学生思维的起点
9 ÷ 3=3 90 ÷ 30 = 3 900÷300 = 3 9000÷3000= 3
︸︸ 10个0 10个0
（4）对比练习，强化认知。
19 50 ）950
50
淘气：
可以 450
这样 450
做
0
笑笑： 还可以 这样做
19 50 ）950
5 45 45
0
3、课后拓展：在趣味与挑战中升华新知。
智慧乐园：
2 60 1 7 0
12
5
古时候，有一个贪财的地 主到了给长工们发工钱的时候， 他对长工们说:“你们的工钱 一共是170两银子，60个长工 平均分，每人应得2两，还余
下5两。我就请大家去喝杯茶
吧！”
你能识破地主的阴谋吗？
本节课中，我通过设计一系列充满思维价 值的练习题，让学生在练习中生疑，在对比中 发现，在交流中收获，在趣味中提升研究数学 的方法，并获得知识、技能、情感的培养，让 我们的小组合作课堂真正达到高效、实效。在 层层深入的样化练习中，商不变的规律不断得 到强化，举一反三的思维能力逐渐形成，开放 的数学思想在练习中体现的淋漓尽致。