2015高考数学一轮复习单元检测： 函数(北师大版必修一)
北师大版高中数学必修一第二单元《函数》测试(含答案解析)
一、选择题1．若函数()22(3)8,1,1x a x x f x ax x ⎧-+--≤=⎨>⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4,⎡-⎣B ．4⎤⎦C ．[]3,4-D ．⎡⎣2．如果函数()()()2121f x a x b x =-+++（其中2b a -≥）在[]1,2上单调递减，则32a b +的最大值为（ ）A ．4B ．1-C ．23D ．63．定义{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，若函数{}2()min 33,|3|3f x x x x =-+--+，且()f x 在区间[,]m n 上的值域为37,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则区间[,]m n 长度的最大值为（ ） A ．1B ．74C ．114 D ．724．若()f x 是偶函数，其定义域为(,)-∞+∞，且在[0,)+∞上是减函数，则(1)f -与2(22)f a a ++的大小关系是（ ）A ． 2(1)(22)f f a a ->++B ．2(1)(22)f f a a -<++C ．2(1)(22)f f a a -≥++D ． 2(1)(22)f f a a -≤++5．已知定义在R 上的函数()2||·x f x x e =， (a f log =， 312b f log ⎛=⎫ ⎪⎝⎭，()ln3c f = ，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c a b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c b a >>6．如果()()211f x mx m x =+-+在区间(]1-∞，上为减函数，则m 的取值范围（ ） A ．103⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．103⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．103⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭，7．设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(2)0f -=，则()0f x x<的解集是（ ）A ．{2002}xx x -<<<<∣或 B ．{22}xx x <->∣或 C ．{202}xx x <-<<∣或 D ．{202}xx x -<<>∣或 8．已知53()1f x ax bx =++且(5)7,f =则(5)f -的值是（ ）A ．5-B ．7-C ．5D ．79．若函数()28,12,1ax x x f x a x x⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩为R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()4,+∞B ．[)4,+∞C ．[]4,6D ．()0,∞+10．若函数()y f x =为奇函数，且在(),0∞-上单调递增，若()20f =，则不等式()0f x >的解集为( )A ．()()2,02,∞-⋃+B ．()(),22,∞∞--⋃+C ．()(),20,2∞--⋃D ．()()2,00,2-⋃11．定义{},,max a b c 为,,a b c 中的最大值，设()28,,63⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭h x max x x x ，则()h x 的最小值为（ ） A ．1811B ．3C ．4811D ．412．已知函数()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，且()21f =，()()()f xy f x f y =+，则不等式()()23f x f x +-≤（ ）A ．()1,2B ．[)1,3C ．()2,4D ．(]2,4二、填空题13．函数()2f x x a =- 在区间[]1,1-上的最大值()M a 的最小值是__________．14．函数()()2325f x kx k x =+--在[)1+∞，上单调递增，则k 的取值范围是________. 15．若函数2(21)1,0()(2),0b x b x f x x b x x -+->⎧=⎨-+-≤⎩，满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-成立，那么b 的取值范围是_____．16．已知函数y ＝f (n)，满足f (1)＝2，且f (n+1)＝3f (n),n ∈N + .则f (3)＝____________.17．若函数()22()42221f x x p x p p =----+在区间[]1,1-上至少存在一个实数c ，使()0f c >，则实数p 的取值范围为________.18．如图，是某个函数的图象，则该函数的解析式y =__________；19．若函数()f x 满足()()1f x f x =-，()()13f x f x +=--当且仅当(]1,3x ∈时，()3log f x x =，则()57f =______．20．若函数()log (3)4,1(43)41,1a x x f x a x a x ++≥-⎧=⎨-+-<-⎩且满足对任意的实数m n ≠都有()()0f m f n m n-<-成立，则实数a 的取值范围____．三、解答题21．已知函数()x af x x+=（a 为常数），其中()0f x <的解集为()4,0-. （1）求实数a 的值；（2）设()()g x x f x =+，当()0x x >为何值时，()g x 取得最小值，并求出其最小值. 22．在①()()121f x f x x +=+-，②()()11f x f x +=-且()03f =，③()2f x ≥恒成立且()03f =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．问题：已知二次函数()f x 的图象经过点()1,2，_________． （1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 在[]1,4-上的值域．23．定义在[]1,1-上的奇函数()f x ，当10x -≤<时，23()6x x xf x +=.（1）求()f x 在[]1,1-上的解析式;（2）求()f x 的值域; （3）若实数a 满足1()()0a f f a a-+<，求实数a 的取值范围. 24．已知函数()21ax bf x x +=+（其中a >0）为奇函数． （1）求实数b 的值；（2）证明：()f x 在()01，上是增函数，在()1+∞，上是减函数；（3）若存在实数m ，n （0<m <n ），使得m ≤()f x ≤n 的解集为[]m n ，，求a 的取值范围．25．已知a R ∈，函数2()25f x x ax =-+．（1）若不等式()0f x >对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若1a >，且函数()f x 的定义域和值域都是[1,]a ，求实数a 的值； （3）函数()f x 在区间[1,1]a +的最大值为()g a ，求()g a 的表达式．26．已知函数2()3f x x ax a =++-，a R ∈.当[]0,2x ∈时，()f x 的最大值是关于a 的函数()M a .求函数()M a 的表达式及()M a 的最小值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】函数()f x 在R 上是增函数，则在两段上分别要单调递增，且在分界点处要满足2138a a -+--≤，从而得到答案.【详解】函数()22(3)8,1,1x a x x f x ax x ⎧-+--≤=⎨>⎩在R 上是增函数，则满足下列条件：（1）()2238y x a x =-+--在(],1-∞递增，2312a -≥，即a ≥a ≤（2）y ax =在()1,+∞递增，则0a >（3）当1x =时满足2138a a -+--≤，解得34a -≤≤综上可得函数()f x 在R 上是增函数，实数a 4a ≤≤ 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查根据分段函数的单调性求参数的范围，解答本题的关键是分段函数要在定义域内单调递增，则在两段上要分别单调递增，且在分界点出满足2138a a -+--≤，这也时容易出错的地方，属于中档题.2．C解析：C 【分析】分10a -=、10a -<、10a ->，根据题意可得出关于a 、b 的不等式组，由此可解得32a b +的最大值. 【详解】分以下几种情况讨论：（1）当10a -=时，即当1a =时，()()21f x b x =++在[]1,2上单调递减，可得20b +<，解得2b <-，12b a b -=-≥，可得3b ≥，不合乎题意； （2）当10a -<时，即当1a <时，由于函数()()()2121f x a x b x =-+++在[]1,2上单调递减，则()2121b a +-≤-，可得222b a +≤-，即20a b +≤，可得2b a ≤-，由2b a -≥，可得2a b ≤-， 所以，()()323222436a b b a a b +≤-+⨯-=-+-，当且仅当22b a a b =-⎧⎨=-⎩时，即当2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，则2423232333a b ⎛⎫+≤⨯-+⨯= ⎪⎝⎭； （3）当10a ->时，即当1a >时，由于函数()()()2121f x a x b x =-+++在[]1,2上单调递减，则()2221b a +-≥-，可得42a b +≤，即24b a ≤-，2b a -≥，即2b a ≥+，224a b a ∴+≤≤-，解得0a ≤，不合乎题意.综上所述，32a b +的最大值为23. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据首项系数为变数的二次函数在区间上的单调性求参数，要对首项系数的符号进行分类讨论，在首项系数不为零的前提下，要根据函数的单调性确定对称轴与区间的位置关系，构建不等式（组）求解.3．B解析：B 【分析】根据定义作出函数()f x 的解析式和图象，根据函数值域，求出对应点的坐标，利用数形结合进行判断即可． 【详解】其中(1,1)A ，(3,3)B ， 即()233,133313x x x f x x x x ⎧--=⎨-+⋅<<⎩或，当3()4f x =时，当3x 或1x 时，由33|3|4x --=，得9|3|4x -=，即34C x =或214G x =，当7()4f x =时，当13x <<时，由27334x x -+=，得52E x =，由图象知若()f x 在区间[m ，]n 上的值域为3[4，7]4，则区间[m ，]n 长度的最大值为537244E C x x -=-=，故选：B ． 【点睛】利用数形结合思想作出函数的图象，求解的关键是对最小值函数定义的理解. 4．C解析：C 【分析】由()f x 是偶函数，可知(1)(1)f f -=，故只需比较(1)f 与2(22)f a a ++的大小即可，而2222(1)11a a a ++=++≥，再结合函数()f x 的单调性，即可得(1)f 与2(22)f a a ++大小关系.【详解】因为()f x 是偶函数，所以(1)(1)f f -=，又2222(1)11a a a ++=++≥，()f x 在[0,)+∞上是减函数，所以2(22)(1)f a a f ++≤，即2(22)(1)f a a f ++≤-. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用函数的单调性比较大小，关键是借助函数的奇偶性，将要比较的函数值对应的自变量转化到同单调区间上，并且比较它们的大小，再利用单调性作5．A解析：A 【分析】可看出()f x 在(0,)+∞上单调递增，且得出3(log 2)b f =，并且可得出33ln 3log log 2>，根据增函数的定义即可得出a ，b ，c 的大小关系．【详解】0x >时，2()x f x x e =是增函数，且()()f x f x -=，33(log 2)(log 2)b f f ∴=-=，33330log 1log 2log log 31=<<<=，ln3ln 1e >=，∴33ln 3log log 2>>，∴33(ln 3)(log (log 2)f f f >>，c a b ∴>>． 故选：A ． 【点睛】解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.6．B解析：B 【分析】当m =0时，()f x =1x -，符合题意.当0m ≠时，由题意可得0112m m m>⎧⎪-⎨≥⎪⎩，求得m 的范围.综合可得m 的取值范围.【详解】当0m =时，()1f x x =-+，满足在区间(]1-∞，上为减函数； 当0m ≠时，由于()()211f x mx m x =+-+的对称轴为12mx m-=，且函数在区间(]1-∞，上为减函数， 则0112m m m>⎧⎪-⎨≥⎪⎩，解得103m <≤.综上可得，103m ≤≤. 故选：B要研究二次型函数单调区间有关问题，首先要注意二次项系数是否为零.当二次项系数不为零时，利用二次函数的对称轴来研究单调区间.7．A解析：A 【分析】由()0f x x <对0x >或0x <进行讨论，把不等式()0f x x<转化为()0f x >或()0f x <的问题解决，根据()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(2)0f -=，把函数值不等式转化为自变量不等式，求得结果． 【详解】 解：()f x 是R 上的奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，∴在(,0)-∞内()f x 也是增函数，又(2)0f -=，()20f ∴=，∴当(x ∈-∞，2)(0-⋃，2)时，()0f x <；当(2x ∈-，0)(2⋃，)+∞时，()0f x >；∴()0f x x <的解集是{|20x x -<<或02}x <<． 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，解决此类问题的关键是理解奇偶函数在关于原点对称的区间的单调性，奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；8．A解析：A 【解析】()()53531,1f x ax bx f x ax bx =++∴-=--+，()()()()2,552f x f x f f +-=∴+-=，()5275f -=-=-，故选A. 9．C解析：C 【分析】由题意可知二次函数282a y x x =-+在区间(],1-∞上为减函数，函数ay x =在区间()1,+∞上为减函数，且有92aa -≥，可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.由于函数()28,12,1ax x x f x a x x⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩为R 上的减函数，则二次函数282ay x x =-+在区间(],1-∞上为减函数，该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线4ax =，所以，14a ≥；函数ay x =在区间()1,+∞上为减函数，则0a >，且有92a a -≥.所以，14092a a a a ⎧≥⎪⎪>⎨⎪⎪-≥⎩，解得46a ≤≤.因此，实数a 的取值范围是[]4,6. 故选：C. 【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，要注意分析每支函数的单调性以及分界点处函数值的大小关系，考查计算能力，属于中等题.10．A解析：A 【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f （﹣2）=﹣f （2）=0，结合函数的单调性分析可得在区间（﹣∞，﹣2）上，f （x ）＜0，在（﹣2，0）上，f （x ）＞0，再结合函数的奇偶性可得在区间（0，2）上，f （x ）＜0，在（2，+∞）上，f （x ）＞0，综合即可得答案． 【详解】根据题意，函数y=f （x ）为奇函数，且f （2）=0， 则f （﹣2）=﹣f （2）=0，又由f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，则在区间（﹣∞，﹣2）上，f （x ）＜0，在（﹣2，0）上，f （x ）＞0， 又由函数y=f （x ）为奇函数，则在区间（0，2）上，f （x ）＜0，在（2，+∞）上，f （x ）＞0， 综合可得：不等式f （x ）＞0的解集（﹣2，0）∪（2，+∞）； 故选A ． 【点睛】本题考查函数单调性奇偶性的应用，关键是掌握函数的奇偶性与单调性的定义，属于基础题．11．C解析：C 【分析】首先根据题意画出()h x 的图象，再根据图象即可得到()h x 的最小值. 【详解】 分别画出2yx ，83y x =，6y x =-的图象， 则函数()h x 的图象为图中实线部分.由图知：函数()h x 的最低点为A ，836y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，解得1848,1111⎛⎫⎪⎝⎭A .所以()h x 的最小值为4811. 故选：C. 【点睛】本题主要考查根据函数的图象求函数的最值，考查了数形结合的思想，属于中档题.12．D解析：D 【分析】根据()()()f xy f x f y =+且()21f =可得()42f =，83f ，则()()23f x f x +-≤可化为()()28f x x f -≤⎡⎤⎣⎦，然后根据单调性求解.【详解】根据()()()f xy f x f y =+可得，()()23f x f x +-≤可转化为()23f x x -≤⎡⎤⎣⎦， 又()()()()422222f f f f =+==，所以()()()842213f f f =+=+=，即()()28f x x f -≤⎡⎤⎣⎦，因为()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，所以只需满足()28020x x x x ⎧-≤⎪>⎨⎪->⎩，解得：24x <≤.故选：D. 【点睛】本题考查抽象函数的应用，考查利用函数的单调性解不等式，难度一般，根据题目条件将问题灵活转化是关键.二、填空题13．【分析】由题意函数为偶函数分和去掉绝对值然后根据单调性求出最大值再根据单调性求出的最小值【详解】解：由题意函数为偶函数①当时在上单调递增则；②当时当即时在上单调递减则；当即时在上单调递减在上单调递增 解析：12【分析】由题意，函数()2f x x a =-为偶函数，分0a ≤和0a >去掉绝对值，然后根据单调性求出最大值()M a ，再根据单调性求出()M a 的最小值． 【详解】解：由题意，函数()2f x x a =-为偶函数，①当0a ≤时，()2f x x a =-，()f x 在[]0,1上单调递增，则()()()111M a f f a ==-=-；②当0a >时，()22,,x a x x f x a x x ⎧-≤≥⎪=⎨-<<⎪⎩或1即1a ≥时，()f x 在[]0,1上单调递减，则()()0M a f a ==；1<即01a <<时，()f x在⎡⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∵()0f a =，()11f a =-， 由1a a 得112a <<，此时()M a a =； 由1a a ≤-得102a <≤，此时()1M a a =-；∴()11,21,2a a M a a a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，∴()min 1122M a M ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故答案为：12． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用函数的单调性求函数的最值，本题的关键在于分类讨论去掉绝对值，然后再根据单调性求出最值，属于中档题．14．【分析】根据函数的解析式分和两种情况讨论利用一次二次函数的性质即可求解【详解】由已知函数在上单调递增可得当时函数在上单调递减不满足题意；当时则满足解得综上所述实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题主解析：25⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 【分析】根据函数的解析式，分0k =和0k ≠两种情况讨论，利用一次、二次函数的性质，即可求解. 【详解】由已知函数()()2325f x kx k x =+--在[)1+∞，上单调递增可得， 当0k =时，函数()25f x x =--在[)1+∞，上单调递减，不满足题意； 当0k ≠时，则满足03212k k k >⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，解得25k ≥，综上所述，实数k 的取值范围是25⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，. 故答案为：25⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，. 【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用，其中解答中熟记一次函数、二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与计算能力，属于基础题.15．【分析】由已知得出单调增然后由及可得结论【详解】因为对任意都有成立所以为单调递增函数因此故答案为：【点睛】本题考查分段函数的单调性分段函数在定义域内单调需满足分段函数的所有段同单调及相邻段端点处的函 解析：[1,2]【分析】由已知1212()()0f x f x x x ->-得出单调增，然后由2210,02b b -->≥及10b -≥可得结论． 【详解】因为对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，所以()f x 为单调递增函数，因此21020210b b b ->⎧⎪-⎪≥⎨⎪-≥⎪⎩，12b ∴≤≤． 故答案为：[1,2]．. 【点睛】本题考查分段函数的单调性，分段函数在定义域内单调，需满足分段函数的所有段同单调及相邻段端点处的函数值满足相应的大小关系．16．18【分析】根据递推关系式依次求f(2)f(3)【详解】因为f(n+1)＝3f(n)所以【点睛】本题考查根据递推关系求函数值考查基本求解能力解析：18 【分析】根据递推关系式依次求f (2) ，f (3). 【详解】因为f (n+1)＝3f (n)，所以(2)3(1)6,(3)3(2)18.f f f f ==== 【点睛】本题考查根据递推关系求函数值，考查基本求解能力.17．【分析】直接计算需分多种情况讨论故先求题干的否定即对于区间上任意一个x 都有只需满足列出不等式组求解即可得答案【详解】函数在区间上至少存在一个实数使的否定为：对于区间上任意一个x 都有则即整理得解得或所解析：3(3,)2-【分析】直接计算，需分多种情况讨论，故先求题干的否定，即对于区间[]1,1-上任意一个x ，都有()0f x ≤，只需满足(1)0(1)0f f ≤⎧⎨-≤⎩，列出不等式组，求解即可得答案.【详解】函数()f x 在区间[]1,1-上至少存在一个实数c ，使()0f c >的否定为：对于区间[]1,1-上任意一个x ，都有()0f x ≤，则(1)0(1)0f f ≤⎧⎨-≤⎩，即2242(2)21042(2)210p p p p p p ⎧----+≤⎨+---+≤⎩，整理得222390210p p p p ⎧+-≥⎨--≥⎩，解得32p ≥或3p ≤-， 所以函数()f x 在区间[]1,1-上至少存在一个实数c ，使()0f c >的实数p 的取值范围是3(3,)2-.故答案为：3(3,)2- 【点睛】本题考查二次方程根的分布与系数的关系，解题的要点在于求解题干的否定，再求得答案，考查分析理解，求值计算的能力，属中档题.18．【分析】根据分段函数图象用待定系数法求解即可【详解】当时设函数为当时解得；当时设函数为当时时解得所以故答案为：【点睛】本题考查利用函数图象求解析式考查待定系数法是基础题解析：2,0139,1322x x y x x ≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩ 【分析】根据分段函数图象，用待定系数法求解即可. 【详解】当01x ≤<时，设函数为y kx =，当1x =时2y =，解得2k =； 当13x ≤≤时，设函数为y ax b =+， 当1x =时3y =，3x =时0y =，解得32a =-，92b =. 所以2,0139,1322x x y x x ≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩. 故答案为：2,0139,1322x x y x x ≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩ 【点睛】本题考查利用函数图象求解析式，考查待定系数法，是基础题.19．2【分析】根据函数满足的关系可得是以6最小正周期的周期函数根据代入解析式即可【详解】根据已知条件进而有于是显然则是以6最小正周期的周期函数∵当时则故答案为：2【点睛】本题以抽象函数为载体研究抽象函数解析：2【分析】根据函数满足的关系可得()f x 是以6最小正周期的周期函数，根据()()573f f =代入解析式即可. 【详解】 根据已知条件()()()()113f x f x f x f x ⎧=-⎪⎨+=--⎪⎩， 进而有()()()()()1133f x f x f x f x f x =-=+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦---=-+， 于是()()3+=-f x f x ，显然()()()()()6333f x f x f x f x f x +=++=-⎡⎤⎡⎤+=--⎦⎦=⎣⎣， 则()f x 是以6最小正周期的周期函数， ∵当(]1,3x ∈时()f x x =，则()()()57693332f f f =⨯+===．故答案为：2. 【点睛】本题以抽象函数为载体，研究抽象函数的结构特征，且挖掘暗含条件，巧妙地对复合函数的连续变形，体现了数学抽象，数学化归等关键能力与学科素，属于中档题.20．【分析】根据对任意实数都有成立得出在R 上单调递减从而得出解出a 的范围即可【详解】函数对任意的实数都有成立得在R 上单调递减∴故答案为：【点睛】关键点点睛：依函数单调性的定义得函数在R 上单调递减利用分段34a ≤<. 【分析】根据对任意实数m n ≠，都有()()0f m f n m n-<-成立，得出()f x 在R 上单调递减，从而得出()()()4300143141log 134a a a a a ⎧-<⎪<<⎨⎪-⋅-+-≥-++⎩，解出a 的范围即可．【详解】函数()f x 对任意的实数m n ≠，都有()()0f m f n m n-<-成立，得()f x 在R 上单调递减，∴()()()4300143141log 134a a a a a ⎧-<⎪<<⎨⎪-⋅-+-≥-++⎩34301242a a a a ⎧<⎪⎪⎪⇒<<⇒≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩.故答案为：324a ≤<. 【点睛】关键点点睛：依函数单调性的定义得函数在R 上单调递减，利用分段函数的单调性求解.三、解答题21．（1）4a =；（2）当2x =时，()g x 取得最小值为5. 【分析】（1）利用不等式的解集，推出对应方程的根，然后求解a ． （2）化简函数的解析式，利用基本不等式转化求解函数的最值即可． 【详解】（1）因为()00x af x x+<⇔<的解集为()4,0-， 故()0x af x x+==一个根为-4， 404a-+=- 得4a =（2）()()441x g x x f x x x x x+=+=+=++因为0x >，所以4115x x ++≥=， 当且仅当4x x=，即2x =时取等号； 所以当2x =时，()g x 取得最小值为5. 【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误. 22．（1）()223x x x f =-+；（2）[]2,11.【分析】（1）若选①：利用待定系数法并结合()f x 的图象经过点()1,2求解二次函数()f x 的解析式；若选②：根据对称轴方程以及()03f =并结合()f x 的图象经过点()1,2求解二次函数()f x 的解析式；若选③：根据已知条件判断出()1,2为图象的最低点，由此分析出对称轴，则二次函数的解析式可求;（2）根据（1）得到()f x 的解析式，然后利用配方法和整体替换的方法求解出()212x -+的取值范围，则()f x 在[]1,4-上的值域可求.【详解】 解：若选①，（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，则()()()()221112f x a x b x c ax a b x a b c +=++++=+++++． 因为()()121f x f x x +=+-，所以()22221ax a b x a b c ax bx c x +++++=+++-，所以221a a b =⎧⎨+=-⎩，解得1a =，2b =-．因为()f x 的图象经过点()1,2，所以()1122f a b c c =++=-+=，所以3c =． 故()223x x x f =-+．若选②，（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，则()f x 图象的对称轴方程为2bx a=-． 由题意可得()()120312b a fc f a b c ⎧-=⎪⎪==⎨⎪=++=⎪⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩．故()223x x x f =-+．若选③，（1）()()20f x ax bx c a =++≠．因为()03f =，所以3c =．因为()()21f x f ≥=，所以()13212f a b b a ⎧=++=⎪⎨-=⎪⎩，解得1a =，2b =-．故()223x x x f =-+．（2）由（1）可知()()222312f x x x x =-+=-+． 因为14x -≤≤，所以213x -≤-≤，所以()2019x ≤-≤，所以()221211x ≤-+≤．即()f x 在[]1,4-上的值域为[]2,11． 【点睛】方法点睛：求解函数解析式常用的方法有：（1）换元法：适用于求解已知()()f g x 的解析式求解()f x 的解析式的类型； （2）待定系数法：适用于已知函数的类型求解函数解析式，如已知函数为一次函数可设()()0f x kx b k =+≠或已知函数为二次函数可设()()20f x ax bx c a =++≠；（3）方程组法：适用于已知()(),f x f x -组成的方程求解()f x 的解析式或已知()1,f x f x ⎛⎫⎪⎝⎭组成的方程求解()f x 的解析式的类型.23．（1）23,106()0,0(23),01x xxx x x f x x x ⎧+-≤<⎪⎪⎪==⎨⎪-+<≤⎪⎪⎩；（2） [){}(]5,202,5--；（3）⎤⎥⎝⎦. 【分析】（1）利用函数为奇函数有()()f x f x -=-求(0,1]x ∈上的解析式，且(0)0f =即可得()f x 的解析式；（2）根据（1）所得解析式及对应定义域即可求其值域；（3）讨论10a -≤<、01a <<、1a =时不等式成立，结合()f x 的区间单调性即可求得a 的取值范围.【详解】（1）由题意，令(0,1]x ∈，则[1,0)x -∈-，即23()236x x x x xf x ---+-==+， 又∵()()f x f x -=-，有(0,1]x ∈时，()(23)x xf x =-+，∴23,106()0,0(23),01x xxx x x f x x x ⎧+-≤<⎪⎪⎪==⎨⎪-+<≤⎪⎪⎩.（2）由（1）解析式知：()f x 在[1,0)-和(0,1]上递减，对应值域分别为(2,5]、[5,2)--，则有：()f x 的值域[){}(]5,202,5--.（3）1()()0a f f a a -+<，即1()(1)f a f a<-，有[1,0)(0,1]a ∈-， ∴当10a -≤<时，11a a >-，解得12a +<-或12a >，无解； 当01a <<时，11a a >-，解得a <a >1a <<； 当1a =时，1()(1)5(1)(0)0f a f f f a==-<-==成立； ∴综上有a ∈. 【点睛】关键点点睛：首先利用函数奇偶性求函数解析式，并依据所得解析式和定义域求值域，再由函数不等式，结合区间单调性，在区间[1,0)(0,1]-⋃上讨论参数使不等式成立，求参数范围.24．（1）0；（2）证明见解析；（3）（1，2）． 【分析】（1）依题意可得()00f =，即可求出参数b 的值，（2）利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（3）依题意结合（2）中函数的单调性，即可得到方程组，即可求出参数的取值范围； 【详解】解：（1）由题意可知函数()21ax bf x x +=+的定义域为R ，且为奇函数，所以()00f b ==，经检验满足题意，所以b =0； （2）证明：由（1）知b =0，所以()211ax af x x x x==++，则任取12x x <，则12110x x ->，因为12x x <，所以当()01x ∈，时，210x x ->，12110x x -<，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，则()f x 在()01，上是增函数；当()1x ∈+∞，时，210x x ->，()()1f x +∞，，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，[]m n ，上是减函数，综上：()f x 在()01，上是增函数，在()1+∞，上是减函数； （3）由（2）知()f x 在()01，上是增函数，在()1+∞，上是减函数，又存在实数m ，n（0<m <n ），使得m ≤()f x ≤n 的解集为()221112amm m an m n a f n ⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=≤⎪⎩，则221112a m a n a n ⎧=+⎪⎪=+⎨⎪≤⎪⎩，化简得221112a m a n a n⎧=+⎪⎪=+⎨⎪≤⎪⎩，因为0<m <n ，所以1<a <2，所以a 的取值范围为（1，2）．【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 25．（1）(a ∈；（2）2；（3）()g a 262,26,2a a a a ->⎧=⎨-⎩． 【分析】（1）利用二次函数的性质列出关系式求解即可．（2）根据二次函数定义域和值域之间的关系进行判断即可． （3）对对称轴分类讨论，得到最大值． 【详解】解：（1）a R ∈，函数2()25f x x ax =-+．开口向上，不等式()0f x >对任意的x ∈R 恒成立，可得：24200a -<，解得(a ∈．（2）函数2()25f x x ax =-+的对称轴为x a =，则函数在[1,]a 上为减函数，函数的值域为[1,]a ，∴()1f a =，即22251a a -+=，即24a =， 解得2a =-（舍)或2a =．（3）函数2()25f x x ax =-+的对称轴为x a =，开口向上，①当12a a +，即2a 时，()f x 在区间[1，1]a +上的最大值为2(1)6f a a +=-； ②2a >时，()f x 在区间[1，1]a +上的最大值为(1)f 62a =-．所以()g a 262,26,2a a a a ->⎧=⎨-⎩． 【点睛】方法点睛：求二次函数的最值或值域时，关键在于确定二次函数的对称轴与所求的区间的关系，也即是二次函数在所求区间上的单调性，利用单调性求得值域．26．7,2()5,23,2a a M a a a a +>-⎧⎪==-⎨⎪-<-⎩，5.【分析】 讨论对称轴2a x =-和定义域的关系，分三种情况得到函数()M a ，根据分段函数求()M a 的最小值.【详解】函数()f x 的对称轴为2a x =-，[]0,2x ∈，不确定区间与对称轴的关系，分三类进行讨论：（1）当12a -<时，2a >-，()(2)7M a f a ==+； （2）当12a -=时，2a =-，()(0)(2)M a f f f ===； （3）当12a ->时，2a <-，()(0)3M a f a ==-. 所以，7,2()5,23,2a a M a a a a +>-⎧⎪==-⎨⎪-<-⎩．当2a >-时，()5M a >，2a <-时，()5M a >，所以当2a =-时，()M a 有最小值5.【点睛】思路点睛：含参二次函数求最值，当不能确定对称轴是否属于区间[],m n ，则需分类讨论，以对称轴与区间的关系确定讨论的标准.。
2015高考数学一轮复习单元检测：集合、函数(北师大版必修一)
2015高考数学一轮复习单元检测：集合、函数本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M＝{x|－2<x<3}，则下列结论正确的是( )A．2.5∈M B．0⊆MC．∅∈M D．集合M是有限集[答案] A[解析] 因为－2<2.5<3，所以2.5是集合M中的元素，即2.5∈M.2．(2014·山东文，2)设集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|1≤x≤4}，则A∩B＝( ) A．(0,2] B．(1,2)C．[1,2) D．(1,4)[答案] C[解析] A＝{x|x2－2x<0}＝{x|0<x<2}，B＝{x|1≤x≤4}，∴A∩B＝{x|1≤x≤2}，故选C.3．下面四个结论：①偶函数的图像一定与y轴相交；②奇函数的图像一定经过原点；③偶函数的图像关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)．其中正确命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4[答案] A[解析] 偶函数的图像关于y轴对称，但不一定与y轴相交．反例：y＝x0，故①错误，③正确．奇函数的图像关于原点对称，但不一定经过原点．反例：y＝x－1，故②错误．若y＝f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)＝0，但未必x∈R.反例：f(x)＝1－x2＋x2－1，其定义域为{－1,1}，故④错误．∴选A.4．已知函数f (x )＝1＋x21－x 2，则( )A ．f (x )是奇函数且f (1x )＝－f (x )B ．f (x )是奇函数且f (1x )＝f (x ) C ．f (x )是偶函数且f (1x )＝－f (x ) D ．f (x )是偶函数且f (1x)＝f (x ) [答案] C[解析] f (－x )＝1＋－x21－－x 2＝1＋x 21－x2＝f (x )， 又f (1x )＝1＋1x 21－1x2＝－(1＋x 21－x 2)＝－f (x )．故选C.5．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，|x |≥1，1－x 2，|x |<1，f (33)的值为( ) A ．－23B ．13 C.23 D ．43[答案] C [解析] ∵|33|<1，则应代入f (x )＝1－x 2， 即f (33)＝1－13＝23. 6．若f [g (x )]＝6x ＋3，且g (x )＝2x ＋1，则f (x )＝( ) A ．3 B ．3x C ．6x ＋3 D ．6x ＋1[答案] B[解析] 由f [g (x )]＝f (2x ＋1)＝6x ＋3＝3(2x ＋1)，知f (x )＝3x .7．(2013·浙江高考)设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( )A ．(－2,1]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)[答案] C[解析] 本题考查集合的运算，由条件易知∁R S ＝{x |x ≤－2}，T ＝{x |－4≤x ≤1}，所以∁R S ∪T ＝{x |x ≤1}．8．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f x x －1的定义域是( )A ．[0,1)B ．[0,1]C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)[答案] A[解析] 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2x ≠1∴0≤x <1，故函数定义域为[0,1)．9．已知定义在R 上的奇函数f (x )，在[0，＋∞)上单调递减，且f (2－a )＋f (1－a )<0，则实数a 的取值范围是( )A ．(32，2]B ．(32，＋∞)C ．[1，32)D ．(－∞，32)[答案] D[解析] ∵f (x )在[0，＋∞)单调递减且f (x )为奇函数，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，从而f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，∴f (2－a )<f (a －1)，∴2－a >a －1，∴a <32，故选D.10．如果奇函数y ＝f (x )(x ≠0)在x ∈(0，＋∞)上，满足f (x )＝x －1，那么使f (x －1)<0成立的x 的取值范围是( )A ．x <0B ．1<x <2C ．x <2且x ≠0D ．x <0或1<x <2[答案] D[解析] x <0时，－x >0.由题设f (－x )＝－x －1. 又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝x ＋1.∴函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 x x －1x，∴不等式f (x －1)<0化为⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0x <0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0x －2<0.∴x <0或1<x <2.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11．若⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x －y －3＝0⊆{(x ，y )|y ＝ax 2＋1}，则a ＝________. [答案] －12[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x －y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1，由题意知，－1＝4a ＋1， ∴a ＝－12.12．已知f (x )为偶函数，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 －1≤x ≤0， 0≤x ≤1.[答案] 1－x[解析] 当x ∈[0,1]时，－x ∈[－1,0]，f (－x )＝－x ＋1，又f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝1－x .13．若已知A ∩{－1,0,1}＝{0,1}，且A ∪{－2,0,2}＝{－2,0,1,2}，则满足上述条件的集合A 共有________个．[答案] 4[解析] ∵A ∩{－1,0,1}＝{0,1}， ∴0,1∈A 且－1∉A .又∵A ∪{－2,0,2}＝{－2,0,1,2}， ∴1∈A 且至多－2,0,2∈A . 故0,1∈A 且至多－2,2∈A .∴满足条件的A 只能为：{0,1}，{0,1,2}，{0,1，－2}，{0,1，－2,2}，共有4个． 14．函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A ，且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数，下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原像；④函数f (x )在某区间上具有单调性，则f (x )一定是单函数． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号) [答案] ②③[解析] 当f (x )＝x 2时，不妨设f (x 1)＝f (x 2)＝4，有x 1＝2，x 2＝－2，此时x 1≠x 2，故①不正确；由f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2可知，当x 1≠x 2时，f (x 1)≠f (x 2)，故②正确；若b ∈B ，b 有两个原像时，不妨设为a 1，a 2，可知a 1≠a 2，但f (a 1)＝f (a 2)，与题中条件矛盾，故③正确；函数f (x )在某区间上具有单调性时在整定义域上不一定单调，因而f (x )不一定是单函数，故④不正确．故答案为②③.15．函数f (x )对任意正整数a ，b 满足条件f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，且f (1)＝2，则ff＋f f＋f f＋…＋f f的值是________．[答案] 2016[解析] ∵函数f (x )对任意正整数a ，b 都满足f (a ＋b )＝f (a )·f (b )， ∴令a ＝n ，b ＝1(n ∈N ＋)，得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)， 即f n ＋f n＝f (1)．由n 的任意性得 f f＝f f＝f f＝…＝f f ＝f (1)． 故f f ＋f f ＋f f＋…＋f f＝1008f (1)＝1008×2＝2016.三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)设全集为R ，集合A ＝{x |3≤x <6}，B ＝{x |2<x <9}． (1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知C ＝{x |a <x <a ＋1}，若C ⊆B ，求实数a 取值构成的集合． [解析] (1)A ∩B ＝{x |3≤x <6}． ∵∁R B ＝{x |x ≤2，或x ≥9}，∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2或3≤x <6，或x ≥9}． (2)∵C ⊆B ，如图所示：∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2a ＋1≤9，解得2≤a ≤8，∴所求集合为{a |2≤a ≤8}．17．(本小题满分12分)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1,1]时，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． [解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ， 则f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c .从而，f (x ＋1)－f (x )＝[a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ]－(ax 2＋bx ＋c )＝2ax ＋a ＋b ， 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1又f (0)＝c ＝1，∴f (x )＝x 2－x ＋1. (2)由(1)及f (x )>2x ＋m ⇒m <x 2－3x ＋1，令g (x )＝x 2－3x ＋1，x ∈[－1,1]，则当x ∈[－1,1]时，g (x )＝x 2－3x ＋1为减函数， ∴当x ＝1时，g (x )min ＝g (1)＝－1，从而要使不等式m <x 2－3x ＋1恒成立，则m <－1. 18．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x ∈R |x 2＋(p ＋2)x ＋1＝0}，若A ∩R ＋＝∅，求实数p 的取值范围．(其中R ＋＝{x ∈R |x >0})．[解析] ∵A ∩R ＋＝∅，R ＋＝{x ∈R |x >0}，A ＝{x ∈R |x 2＋(p ＋2)x ＋1＝0}， ∴方程x 2＋(p ＋2)x ＋1＝0没有正实数根，∴Δ＝(p ＋2)2－4<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝p ＋2－4≥0－p ＋，即p (p ＋4)<0或⎩⎪⎨⎪⎧p p ＋，p >－2.解得－4<p <0或p ≥0， ∴实数p 的取值范围是p >－4.19．(本小题满分12分)设函数f (x )为奇函数，对任意x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x >0时，f (x )<0，f (1)＝－2.求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．[解析] 设－3≤x 1<x 2≤3，则x 2－x 1>0， ∵f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )<0， ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)<0， ∴f (x 2)<f (x 1)．∴f (x )在[－3,3]上是减函数．故f (x )max ＝f (－3)＝－f (3)＝－[f (1)＋f (2)]＝－[f (1)＋f (1)＋f (1)]＝6，f (x )min ＝f (3)＝－f (－3)＝－6.20．(本小题满分13分)已知定义在R 上的函数f (x )满足： ①对任意的x ，y ∈R ，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )； ②当x >1时，f (x )>0.求证： (1)f (1)＝0；(2)对任意的x ∈R ，都有f (1x)＝－f (x )；(3)判断f (x )在(－∞，0)上的单调性． [解析] (1)证明：令x ＝y ＝1，则有f (1)＝f (1)＋f (1)⇒f (1)＝0.(2)对任意x >0，用1x代替y ，有f (x )＋f (1x )＝f (x ·1x)＝f (1)＝0，∴f (1x)＝－f (x )．(3)f (x )在(－∞，0)上是减函数． 取x 1<x 2<0，则x 1x 2>1，∴f (x 1x 2)>0， ∵f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (1x 2)＝f (x 1x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(－∞，0)上为减函数．21．(本小题满分14分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)(a ，b ，c ∈R )，且同时满足下列条件：①f (－1)＝0；②对任意实数x ，都有f (x )－x ≥0；③当x ∈(0,2)时，有f (x )≤(x ＋12)2.(1)求f (1)； (2)求a ，b ，c 的值；(3)当x ∈[－1,1]时，函数g (x )＝f (x )－mx (m ∈R )是单调函数，求m 的取值范围． [解析] (1)由f (－1)＝0，得a －b ＋c ＝0， ①令x ＝1，有f (1)－1≥0和f (1)≤(1＋12)2＝1，∴f (1)＝1.(2)由f (1)＝1得a ＋b ＋c ＝1 ②联立①②可得b ＝a ＋c ＝12，由题意知，对任意实数x ，都有f (x )－x ≥0，即ax 2＋(a ＋c )x ＋c －x ≥0， 即ax 2－12x ＋c ≥0对任意实数x 恒成立，于是⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ≤0即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，14－4ac ≤0.∵c ＝12－a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >014－2a ＋4a 2≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0a －122≤0⇒a ＝14，∴a ＝c ＝14，b ＝12.(3)由(2)得：g (x )＝f (x )－mx ＝14x 2＋12x ＋14－mx ＝14[x 2＋(2－4m )x ＋1]∵x ∈[－1,1]时，g (x )是单调的， ∴|－2－4m2|≥1，解得m ≤0或m ≥1.∴m 的取值范围是(－∞，0]∪[1，＋∞)．。
【高三复习】2015高考数学(北师大版)一轮训练：第2篇 第11讲 导数在研究函数中的应用
第11讲导数在研究函数中的应用.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()．A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)解析f′(x)＝e x(x－2)，令f′(x)＞0得x＞2.∴f(x)的单调增区间是(2，＋∞)．答案 D2．(2013·浙江卷)已知函数y＝f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y＝f′(x)的图像如右图所示，则该函数的图像是()．解析由y＝f′(x)的图像知，y＝f(x)的图像为增函数，且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1)上增长速度越来越慢．答案 B3．(2014·宝鸡模拟)函数y＝x e x的最小值是()．A．－1B．－eC ．－1eD ．不存在解析 y ′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ，令y ′＝0，则x ＝－1，因为x ＜－1时，y ′＜0，x ＞－1时，y ′＞0，所以x ＝－1时，y min ＝－1e .答案 C4．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )． A ．a ＜－1 B ．a ＞－1 C ．a ＞－1eD ．a ＜－1e解析 ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a . ∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点， 则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解， ∵x ＞0时，－e x ＜－1，∴a ＝－e x ＜－1. 答案 A5．(2013·福建卷)设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( )．A ．任意x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．－x 0是f (－x )的极小值点C ．－x 0是－f (x )的极小值点D ．－x 0是－f (－x )的极小值点解析 A 错，因为极大值未必是最大值；B 错，因为函数y ＝f (x )与函数y ＝f (－x )的图像关于y 轴对称，－x 0应是f (－x )的极大值点；C 错，函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图像关于x 轴对称，x 0应为－f (x )的极小值点；D 正确，函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图像关于原点对称，－x 0应为y ＝－f (－x )的极小值点．答案 D 二、填空题6．(2013·威海期末考试)函数y ＝ln x －x 2的极值点为________．解析 函数的定义域为(0，＋∞)，函数的导数为y ′＝1x －2x ＝1－2x 2x ，令y ′＝1－2x 2x ＝0，解得x ＝22，当x ＞22时，y ′＜0，当0＜x ＜22时，y ′＞0，所以当x ＝22时，函数取得极大值，故函数的极值点为22.答案 227．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．解析 由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－(x －1)(x －3)x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3.答案 (0,1)∪(2,3)8．(2014·南昌模拟)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2，在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________.解析 由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则⎩⎨⎧ a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝9，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值，而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7.答案 －7 三、解答题9．(2014·绍兴模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0.① 当x ＝23时，y ＝f (x )有极值， 则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0.②由①②，解得a ＝2，b ＝－4.由于切点的横坐标为x ＝1，所以f (1)＝4. 所以1＋a ＋b ＋c ＝4，所以c ＝5. (2)由(1)，可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5， 所以f ′(x )＝3x 2＋4x －4. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－2或23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示：所以y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.10．(2013·宜川模拟)已知函数f (x )＝(ax 2＋x －1)e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)若a ＝1，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若a ＜0，求f (x )的单调区间． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝(x 2＋x －1)e x ，所以f ′(x )＝(2x ＋1)e x ＋(x 2＋x －1)e x ＝(x 2＋3x )e x ，所以曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为k ＝f ′(1)＝4e ，又因为f (1)＝e ，所以所求切线方程为y －e ＝4e(x －1)，即4e x －y －3e ＝0.(2)f ′(x )＝(2ax ＋1)e x ＋(ax 2＋x －1)e x ＝[ax 2＋(2a ＋1)x ]e x ，①若－12＜a ＜0，当x ＜0或x ＞－2a ＋1a 时，f ′(x )＜0； 当0＜x ＜－2a ＋1a 时，f ′(x )＞0.所以f (x )的单调递减区间为(－∞，0]，⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2a ＋1a ，＋∞；单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，－2a ＋1a .②若a ＝－12，f ′(x )＝－12x 2e x≤0，所以f (x )的单调递减区间为(－∞，＋∞)． ③若a ＜－12，当x ＜－2a ＋1a 或x ＞0时，f ′(x )＜0； 当－2a ＋1a ＜x ＜0时，f ′(x )＞0.所以f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－2a ＋1a ，[0，＋∞)； 单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2a ＋1a ，0.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定( )．A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析 由函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，可得a <1，又g (x )＝f (x )x ＝x ＋a x －2a ，则g ′(x )＝1－ax 2，易知在x ∈(1，＋∞)上g ′(x )>0，所以g (x )在(1，＋∞)上为增函数．答案 D2．(2013·临沂模拟)若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )．A ．2B ．3C ．6D ．9解析 ∵f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， Δ＝4a 2＋96b ＞0，又x ＝1是极值点， ∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，即a ＋b ＝6，∴ab ≤(a ＋b )24＝9，当且仅当a ＝b 时“＝”成立，所以ab 的最大值为9.答案 D 二、填空题3．(2014·宁波调研)设函数f(x)＝ln x－12ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为________．解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－ax－b，由f′(1)＝0，得b＝1－a.∴f′(x)＝1x－ax＋a－1＝－(ax＋1)(x－1)x.①若a≥0，当0<x<1时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减；所以x＝1是f(x)的极大值点．②若a<0，由f′(x)＝0，得x＝1或－1 a.因为x＝1是f(x)的极大值点，所以－1a>1，解得－1<a<0.综合①②得a的取值范围是a>－1. 答案(－1，＋∞)三、解答题4．(2014·黄冈模拟)已知函数f(x)＝13x3－ax＋1.(1)当x＝1时，f(x)取得极值，求a的值；(2)求f(x)在[0,1]上的最小值．解因为f′(x)＝x2－a，(1)当x＝1时，f(x)取得极值，所以f′(1)＝1－a＝0，a＝1，又当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在x＝1处取得极小值，即a＝1时符合题意．(2)①当a≤0时，f′(x)＞0对x∈(0,1)恒成立，所以f(x)在(0,1)上单调递增，f(x)在x＝0处取得最小值f(0)＝1.②当a＞0时，令f′(x)＝x2－a＝0，解得x＝－a或a.ⅰ.当0＜a＜1时，a＜1，当x∈(0，a)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(a，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝a处取得最小值f(a)＝1－2a a 3.ⅱ.当a≥1时，a≥1.x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝43－a.综上所述，当a≤0时，f(x)在x＝0处取得最小值f(0)＝1，当0＜a＜1时，f(x)在x＝a处取得最小值f(a)＝1－2a a3，当a≥1时，f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝43－a.。
2015高考数学(文)一轮复习质量检测 三角函数、解三角形、平面向量 (北师大版)
2015高考数学（文）一轮复习质量检测 三角函数、解三角形、平面向量(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（2014·龙岩质检）已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(1,2)，向量c 满足(c ＋b )⊥a ，(c－a )∥b ，则c ＝( )A. (2,1)B. (1,0)C. (32，12)D. (0，－1)解析：设c ＝(x ，y )，则c ＋b ＝(x ＋1，y ＋2)，c －a ＝(x －1，y ＋1)．由(c ＋b )⊥a ，(c －a )∥b 可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y －2＝0y ＋1＝x －，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1，因此c ＝(2,1)．答案：A2．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是CD ，BC 的中点，那么EF →＝ A.12AB →＋12AD → B ．－12AB →－12AD → C ．－12AB →＋12AD → D.12AB →－12AD →解析：在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →，因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 的中点，所以CF →＝12CB →.所以EF →＝12DC →＋12CB →＝12AB →＋12DA →＝12AB →－12AD →.故选D.答案：D3．已知|a |＝2，b 是单位向量，且a 与b 的夹角为60°，则a ·(a ·b )等于( ) A ．1 B ．2－ 3 C ．3D ．4－ 3解析：依题意得a ·(a －b )＝a 2－ab ＝22－2×1×cos 60°＝3，故选C. 答案：C4．在△ABC 中，角A ，B 均为锐角，且cos A >sin B ，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：cos A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A >sin B ，π2－A ，B 都是锐角，则π2－A >B ，A ＋B <π2，C >π2. 答案：C5．计算tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1，选D.答案：D6．(2013年唐山月考)将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝π9 B ．x ＝π8 C ．x ＝π2D ．x ＝π解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3――→横坐标伸长到原来的2倍y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，则其对称轴为x 2－π4＝kπ，x ＝2kπ＋π2(x ∈Z )．∴x ＝π2是其中一条对称轴．答案：C7．已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →) A ．最大值为8 B ．最小值为2 C ．是定值6D ．与P 的位置有关解析：设BP →＝λBC →，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋λBC →.∴AP →·(AB →＋AC →)＝(AB →＋λBC →)(AB →＋AC →)＝AB →2＋λBC →·AB →＋AB →·AC →＋λBC →·AC →＝22＋λ×2×2×cos 120°＋2×2×cos 60°＋λ×2×2×cos 60°＝4－2λ＋2＋2λ＝6.答案：C8．函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)的图象如图所示，其中A >0，ω>0，|φ|<π2.则下列关于函数f (x )的说法中，正确的是( )A ．对称轴方程是x ＝π3＋2kπ(k ∈Z ) B ．φ＝－π6 C ．最小正周期是πD ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－5π6上单调递减解析：由图象可得A ＝1，因为T 2＝πω＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，所以ω＝1，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，0代入得56π＋φ＝2kπ＋π，所以φ＝2kπ＋π6.又|φ|<π2，所以φ＝π6，故B ，C 错；由解析式可得对称轴方程为x ＝π3＋kπ(k ∈Z )，故A 错；又函数f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2kπ＋π3，2kπ＋4π3， 当k ＝－1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－5π6⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π3，－2π3，答案选D.答案：D9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若b 2＋c 2－bc ＝a 2，且ab ＝3，则角B 的值为( )A ．30°B ．45°C ．90°D ．120°解析：b 2＋c 2－bc ＝a 2，则cos A ＝12，A ＝60°，a b ＝3，sin A sin B ＝3，则sin B＝12，又可知b <a ，故B 为锐角，B ＝30°.答案：A10．(2013年冀州中学期中)已知钝角三角形ABC 的最长边的长为2，其余两边长为a ，b ，则集合P ＝{(x ，y )|x ＝a ，y ＝b }所表示的平面图形的面积是( )A ．2B ．4C ．π－2D ．4π－2解析：根据三角形两边之和大于第三边，有a ＋b >2，由余弦定理可知cos C <0，这样可知a 2＋b 2<4，作出图象可知其面积为π－2，选C.答案：C11．若函数f (x )＝－2cos (ωx －φ)(0<φ<π)的图象关于原点对称，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4时，f (x )单调递减且最小值是－1，那么ω＝( )A ．－23 B.23 C.43D.103解析：由函数f (x )＝－2cos (ωx －φ)(0<φ<π)的图象关于原点对称，得函数f (x )是奇函数，所以φ＝kπ＋π2(k ∈Z )．又因为0<φ<π，所以φ＝π2，所以f (x )＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2＝－2sin ωx .因为当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4时，f (x )单调递减且最小值是－1，所以ω>0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－2sin π4ω＝－1，π4≤T 4＝π2ω，解得ω≤2，且ω＝8k ＋23或ω＝8k ＋103(k∈Z )，故ω＝23.答案：B12．已知平面向量a 、b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与向量a ＋b 的夹角为( )A.π2B.π3C.π6D ．π解析：|2a ＋b |2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝7，∴a ·b ＝0，则a ⊥b . 从而|a ＋b |＝2，设a 与a ＋b 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·(a ＋b )|a |·|a ＋b |＝12，则θ＝π3.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13，π3<α<π，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝______.解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13>0，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π，α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，7π6，∴π2<α＋π6<π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－223，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝22×⎝⎛⎭⎪⎫－223－22×13＝－(4＋2)6.答案：－4＋2614．如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m ＝________.解析：因为AN →＝13NC →，AP →＝mAB →＋811AN →，可得m ＋811＝1，所以实数m 的值为311.答案：31115．（2014·南通学情调研）“温馨花园”为了美化小区，给居民提供更好的生活环境，在小区内如图的一块三角形空地上种植草皮(单位：m)，已知这种草皮的价格是120元/m 2，则购买这种草皮需要______元．解析：三角形空地的面积S ＝12×123×25×sin120°＝225，故共需225×120＝27000元．答案：2700016．在△ABC 中，A ＝30°，BC ＝25，D 是边AB 上的一点，CD ＝2，△BCD 的面积为4，则AC 的长为________．解析：过点C 作CE ⊥AB ，垂足为点E .因为S △DCB ＝12CD ·BC ·sin ∠DCB ＝4，所以sin ∠DCB ＝845＝255.当∠DCB 为锐角时，cos ∠DCB ＝55，所以BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠DCB ＝16，解得BD ＝4.又S △DCB ＝12BD ·CE ＝4，所以CE ＝2.又CE ⊥AE ，∠CAE ＝30°，所以AC ＝2CE ＝4；当∠DCB 为钝角时，cos ∠DCB ＝－55，所以BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠DCB ＝32，解得BD ＝4 2.又S △DCB ＝12BD ·CE ＝4，所以CE ＝ 2.又CE ⊥AE ，∠CAE ＝30°，所以AC ＝2CE ＝2 2. 答案：22或4三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9的值；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＋π4＝2，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值．解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝tan π3＋tan π41－tan π3tan π4＝3＋11－3＝－2－ 3. (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π4＋π4＝tan(α＋π)＝tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sinα＝2cos α.①因为sin 2α＋cos 2α＝1②由①②联立，解得cos 2α＝15.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以cos α＝－55，sin α＝－255，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝－55×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－255×22＝－31010.18．已知函数f (x )＝sin 2x cos 2x －3sin 22x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的取值范围．解：(1)因为f (x )＝sin 2x cos 2x －3sin 22x ＝12sin 4x －3·1－cos 4x 2 ＝12sin 4x ＋32cos 4x －32 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3－32，所以函数f (x )的最小正周期为π2. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3－32.因为0≤x ≤π4， 所以π3≤4x ＋π3≤43π. 所以－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3≤1.所以－3≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3－32≤1－32.所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，1－32.19．在△ABC 中，AB →·AC →＝0，|AB →|＝8，|AC →|＝6，l 为线段BC 的垂直平分线，l 与BC 交于点D ，E 为l 上异于D 的任意一点，(1)求AD →·CB →的值．(2)判断AE →·CB →的值是否为一个常数，并说明理由． 解：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图，由题意可知A (0,0)，B (8,0)，C (0,6)．(1)∵D 为BC 中点，∴D 点坐标为(4,3)， ∵AD →＝(4,3)，CB →＝(8，－6)， ∴AD →·CB →＝4×8＋3×(－6)＝14. (2)设E 点坐标为(x ，y )，其中x ≠4. 由DE ⊥BC ，得DE →·BC →＝0， ∴(x －4，y －3)·(－8,6)＝0， ∴4x －3y －7＝0.∴AE →·CB →＝(x ，y )·(8，－6) ＝8x －6y ＝2(4x －3y )＝14， 故AE →·CB →的值为常数14.20．(2012年东北四校质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＋b ＝5，c ＝7，且4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72.(1)求角C 的大小； (2)求△ABC 的面积．解：(1)因为A ＋B ＋C ＝180°，由4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，得4cos 2C2－cos 2C＝72，所以4·1＋cos C 2－(2cos 2C －1)＝72.整理得4cos 2C －4cos C ＋1＝0，解得cos C ＝12. 因为0°<C <180°，所以C ＝60°.(2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即7＝a 2＋b 2－2ab ×12，所以7＝(a ＋b )2－3ab ＝25－3ab ，解得ab ＝6.所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.21．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2cos C2，－sin C )，n ＝(cos C2，2sin C )，且m ⊥n .(1)求角C 的大小；(2)若a 2＝2b 2＋c 2，求tan A 的值．解：(1)因为m ⊥n ，所以m ·n ＝0.则2cos 2C2－2sin 2C ＝0.因为C ∈(0，π)，所以cos C 2>0，sin C >0，所以cos C 2＝sin C ，则sin C 2＝12.又C 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以C 2＝π6.则C ＝π3.(2)因为C ＝π3，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－ab . 又因为a 2＝2b 2＋c 2，所以a 2＝2b 2＋a 2＋b 2－ab ， 解得a ＝3b .由正弦定理，得sin A ＝3sin B . 因为C ＝π3，所以sin A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A .即sin A ＝－33cos A .因为cos A ＝0上式不成立，即cos A ≠0， 所以tan A ＝－3 3.22．(2012年浙江六校联考)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2－a 2－c 2ac＝cos (A ＋C )sin A cos A .第 11 页 共 11 页 (1)求角A ；(2)若a ＝2，求bc 的取值范围．解：(1)∵b 2－a 2－c 2ac ＝cos (A ＋C )sin A cos A ，∴－2ac cos B ac ＝－cos Bsin A cos A ，∵△ABC 为锐角三角形，∴cos B ≠0，∴2sin A cos A ＝1，即sin 2A ＝1， ∴2A ＝π2，A ＝π4.(2)根据正弦定理可得：a sin A ＝b sin B ＝csin C ，∴bc ＝4sin B sin C ，又C ＝3π4－B ，∴bc ＝4sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－B ＝4sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos B ＋22sinB ＝2sin 2B ＋2(1－cos 2B )⇒bc ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π4＋ 2.又△ABC 为锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0<B <π2，0<3π4－B <π2，得到B 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.∴2B －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，则bc 的范围为(22，2＋2]．。
2015高考数学一轮复习单元检测：函数(北师大版必修一)
2015高考数学一轮复习单元检测：函数本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若log x 7y ＝z ，则x ，y ，z 之间满足( ) A ．y 7＝x z B ．y ＝x 7z C ．y ＝7x z D ．y ＝z x[答案] B[解析] log x y 17 ＝z ，17log x y ＝z ，y ＝x 7z .2．设集合M ＝{x |x ≤m }，N ＝{y |y ＝3－x ，x ∈R }，若M ∩N ≠∅，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥0B ．m >0C ．m ≤0D ．m <0[答案] B[解析] N ＝(0，＋∞)，要使M ∩N ≠∅，利用数轴易知m >0. 3．设f (x )＝3x －x 2，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是( )A ．[0,1]B ．[1,2]C ．[－2，－1]D ．[－1,0][答案] D[解析] ∵f (－1)＝3－1－(－1)2＝13－1＝－23<0，f (0)＝30－02＝1>0，∴f (－1)·f (0)<0， ∴有零点的区间是[－1,0]． 4．函数f (x )＝x ＋1x的零点是( )A ．1B ．－1C ．±1D ．不存在[答案] D[解析] 由f (x )＝0知f (x )不存在零点．5．(2013·陕西高考)设a ，b ，c 均不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A ．log a b ·log c b ＝log c aB ．log a b ·log c a ＝log c bC ．log a (bc )＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c[答案] B[解析] 由换底公式得log a b ·log c a ＝lg b lg a ·lg a lg c ＝lg blg c＝log c b ，B 正确．6．若a 14>a 23，则a 的范围是( )A ．a >1B ．0<a <1 C.14<a <23 D ．a >23[答案] B[解析] ∵14<23，a 14>a 23，∴y ＝a x 在(0，＋∞)上是减函数． ∴0<a <1，故选B.7．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则( )A ．f (x )与g (x )均为偶函数B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数C ．f (x )与g (x )均为奇函数D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数 [答案] B[解析] f (x )＝3x ＋3－x 且定义域为R ，则f (－x )＝3－x ＋3x ，∴f (x )＝f (－x )，∴f (x )为偶函数．同理得g (－x )＝－g (x )，∴g (x )为奇函数．故选B. 8．(23)23 ，(25)23 ，(23)13 的大小关系为( )A ．(23)13 >(25)23 >(23)23B ．(25)23 >(23)13 >(23)23C ．(23)23 >(23)13 >(25)23D ．(23)13 >(23)23 >(25)23[答案] D[解析] ∵y ＝(23)x 为减函数，13<23，∴(23)13 >(23)23 .又∵y ＝x 23 在(0，＋∞)上为增函数，且23>25，∴(23)23 >(25)23 ， ∴(23)13 >(23)23 >(25)23 .故选D. 9．生物学中指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约只有10%～20%的能量能够流动到下一个营养级，在H 1→H 2→H 3→H 4→H 5→H 6这条生物链中，若能使H 6获得10kJ 的能量，则需要H 1最多提供的能量是( )A ．107kJB ．106kJC ．105kJD ．104kJ[答案] B[解析] 设H 1最多提供的能量为x kJ ，则x ·(110)5＝10，即x ＝106.10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ， x >0，log 12－x ， x <0.若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) [答案] C[解析] 解法1：由图像变换知函数f (x )图像如图，且f (－x )＝－f (x )，即f (x )为奇函数， ∴f (a )>f (－a )化为f (a )>0，∴当x ∈(－1,0)∪(1，＋∞)时，f (a )>f (－a )，故选C.解法2：①若a >0，则－a <0，∴log 2a >log 12 a ⇒log 2a >log 21a ⇒a >1a ⇒a >1. ②若a <0，则－a >0， log 12 (－a )>log 2(－a )⇒log 2(－1a )>log 2(－a )⇒－1a>－a⇒a 2<1⇒a ∈(－1,1)． 又∵a <0，∴－1<a <0.由①②可知a ∈(－1,0)∪(1，＋∞)． 故选C.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11．已知函数y ＝f (2x )定义域为[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域为__________．[答案] [2，4][解析] ∵函数y ＝f (2x )的定义域为[－1,1]，∴－1≤x ≤1，∴12≤2x ≤2，∴函数y ＝f (log 2x )中，12≤log 2x ≤2，∴2≤x ≤4，∴函数y ＝f (log 2x )的定义域为[2，4]．12．若函数y ＝mx 2＋x －2没有零点，则实数m 的取值范围是________．[答案] (－∞，－18)[解析] 当m ＝0时，函数有零点，所以应有⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0Δ＝1＋8m <0，解得m <－18.13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ＋xlog 13x 3x ，则f [f (73)]的值是__________．[答案] －3[解析] ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋ xlog 13x 3x ，∴f [f (73)]＝f [log 2(3×73＋1)]＝f (log 28)＝f (3)＝log 13 33＝3log 133＝－3.14．某类产品按质量可分10个档次(第1档次为最低档次，第10档次为最高档次)，最低档次的产品，每件利润为8元，如果产品每提高一个档次，则每件利润增加2元；最低档次产品每天可生产60件，用同样的工时，每提高一个档次将少生产3件产品，则生产第__________档次的产品，所获利润最大．[答案] 9[解析] 设生产第x 档次的产品获利为y 元，则y ＝[8＋2×(x －1)][60－3(x －1)]＝(6＋2x )(63－3x )＝6(x ＋3)(21－x )＝6(－x 2＋18x ＋63)＝－6(x －9)2＋864.∴当x ＝9时，y 取最大值，即获利最大．15．给出以下结论，其中正确结论的序号是________． ①函数图像通过零点时，函数值一定变号 ②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号③函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，若满足f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上一定有实根④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效 [答案] ②③[解析] 零点有变号零点与不变号零点，故①不对；“二分法”针对的是连续不断的函数的变号零点，故④不对．据零点的性质知②③都正确．三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)(1)计算：(279)12 ＋(lg5)0＋(2764)－13 ；(2)解方程：log 3(6x －9)＝3.[解析] (1)原式＝(259)12 ＋(lg5)0＋[(34)3] －13 ＝53＋1＋43＝4.(2)由方程log 3(6x －9)＝3得 6x －9＝33＝27， ∴6x ＝36＝62，∴x ＝2. 经检验，x ＝2是原方程的解． ∴原方程的解为x ＝2.17．(本小题满分12分)已知函数y ＝log 4(2x ＋3－x 2)， (1)求函数的定义域；(2)求y 的最大值，并求取得最大值时的x 值． [解析] (1)由真数2x ＋3－x 2>0，解得－1<x <3， 所以函数的定义域为{x |－1<x <3}；(2)将原函数分解为y ＝log 4u ，u ＝2x ＋3－x 2两个函数．因为u ＝2x ＋3－x 2＝－(x －1)2＋4≤4，所以y ＝log 4(2x ＋3－x 2)≤log 44＝1.所以当x ＝1时，u 取得最大值4，又y ＝log 4u 为单调增函数，所以y 的最大值为y ＝log 44＝1，此时x ＝1.18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ∈[1，＋，x 2－2x ，x ∈－∞，，求函数g (x )＝f (x )－14的零点．[解析] 求函数g (x )＝f (x )－14的零点，即求方程f (x )－14＝0的根．当x ≥1时，由2x －2－14＝0得x ＝98；当x <1时，由x 2－2x －14＝0得x ＝2＋52(舍去)或x ＝2－52.∴函数g (x )＝f (x )－14的零点是98或2－52.19．(本小题满分12分)已知函数y ＝a 2x ＋2a x ＋3(a >0，a ≠1)在区间[－1,1]上有最大值11，试求a 的值．[解析] y ＝a 2x ＋2a x ＋3＝(a x )2＋2a x ＋3 ＝(a x ＋1)2＋2，令a x ＝t ，则y ＝(t ＋1)2＋2，当a >1时，因为－1≤x ≤1，所以1a≤a x ≤a ，即1a≤t ≤a .因为函数的对称轴为t ＝－1，所以当t ＝a 时函数取最大值，所以(a ＋1)2＋2＝11，所以a ＝2；当0<a <1时，因为－1≤x ≤1，所以a ≤a x≤1a，即a ≤t ≤1a ，所以当t ＝1a时函数取最大值，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12＋2＝11，所以a ＝12.综上所述，a 的值是2或12.20．(本小题满分13分)已知f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (1－x )(其中a >0且a ≠1)．(1)求f (x )＋g (x )的定义域；(2)判断f (x )＋g (x )的奇偶性并说明理由； (3)求使f (x )＋g (x )<0成立的x 的集合．[解析] (1)f (x )＋g (x )的定义域需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，∴－1<x <1， ∴定义域为(－1,1)． (2)f (x )＋g (x )为偶函数 设F (x )＝f (x )＋g (x )，则F (－x )＝log a (－x ＋1)＋log a (1＋x )＝F (x )，又因为F (x )的定义域为(－1,1)关于原点对称， 所以f (x )＋g (x )为偶函数． (3)由f (x )＋g (x )<0得 log a (x ＋1)＋log a (1－x )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，log a －x 2，当a >1时⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x <1，0<1－x 2<1，得x ∈(－1,0)∪(0,1)；当0<a <1时⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，1－x 2>1，解集为空集．综上所述当a >1时，使f (x )＋g (x )<0成立的x 的集合为(－1,0)∪(0,1)；当0<a <1时使f (x )＋g (x )<0成立的x 的集合为∅.21．(本小题满分14分)已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x 之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f (x )＝a 1x 2＋b 1x ＋6，g (x )＝a 23x ＋b 2(a 1，a 2，b 1，b 2∈R )．(1)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；第 11 页 共 11 页(2)在同一直角坐标系下画出函数f (x )与g (x )的草图，并根据草图比较今年甲、乙两个工厂的利润的大小情况．[解析](1)依题意：由⎩⎪⎨⎪⎧f（1）＝6f （2）＝14，有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋b 1＝04a 1＋2b 1＝8，解得：a 1＝4，b 1＝－4，∴f (x )＝4x 2－4x ＋6.由⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝6g （）＝8，有⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋b 2＝69a 2＋b 2＝8，解得a 2＝13，b 2＝5，∴g (x )＝13×3x ＋5＝3x －1＋5.所以甲厂在今年5月份的利润为f (5)＝86万元，乙厂在今年5月份的利润为g (5)＝86万元，故有f (5)＝g (5)，即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等．(2)作函数图像如下：从图中可以看出今年甲、乙两个工厂的利润： 当x ＝1或x ＝5时，有f (x )＝g (x )； 当1<x <5时，有f (x )>g (x )； 当5<x ≤12时，有f (x )<g (x )．。
2015届高考数学一轮复习单元检测：集合、函数(北师大版必修一)
2015届高考数学一轮复习单元检测：集合、函数本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝( ) A ．{1,4} B ．{2,3} C ．{9,16} D ．{1,2}[答案] A[解析] 先求集合B ，再进行交集运算． ∵A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }， ∴B ＝{1,4,9,16}，∴A ∩B ＝{1,4}．2．(2013·大纲高考题)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1)B ．(－1，－12)C ．(－1,0)D ．(12，1)[答案] B[解析] 本题考查复合函数定义域的求法．f (x )的定义域为(－1,0)∴－1<2x ＋1<0，∴－1<x <－12.3．在下列四组函数中，f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x －1，g (x )＝x －1x －1B ．f (x )＝|x ＋1|，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥－1－x －1，x <－1C ．f (x )＝x ＋2，x ∈R ，g (x )＝x ＋2，x ∈ZD ．f (x )＝x 2，g (x )＝x |x | [答案] B[解析] 若两个函数表示同一函数，则它们的解析式、定义域必须相同，A 中g (x )要求x ≠1.C 选项定义域不同，D 选项对应法则不同．故选B.4．(2014·北京理，2)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1)[答案] A[解析] ∵y ＝x ＋1在[－1，＋∞)上是增函数， ∴y ＝x ＋1在(0，＋∞)上为增函数．5．函数y ＝ln x ＋2x －6的零点，必定位于如下哪一个区间( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5)[答案] B[解析] 令f (x )＝ln x ＋2x －6，设f (x 0)＝0， ∵f (1)＝－4<0，f (3)＝ln3>0， 又f (2)＝ln2－2<0，f (2)·f (3)<0， ∴x 0∈(2,3)．6．已知f (x )是定义域在(0，＋∞)上的单调增函数，若f (x )>f (2－x )，则x 的取值范围是( )A ．x >1B ．x <1C ．0<x <2D ．1<x <2 [答案] D[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x >02－x >0x >2－x⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >0x <2x >1，∴x ∈(1,2)，故选D.7． (2014·济南模拟)已知幂函数y ＝f(x)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 4f(2)的值为( )．A.14 B ．－14 C ．2 D ．－2 [答案] A[解析] 设f(x)＝x α，由图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22＝1212⎛⎫⎪⎝⎭ ,α＝12，log 4f(2)＝4log 12＝14.8．设0<a <1，函数f (x )＝log a (a 2x －2a x－2)，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，log a 3)D ．(log a 3，＋∞)[答案] C[解析] 利用指数、对数函数性质．考查简单的指数、对数不等式． 由a 2x－2a x －2>1得a x>3，∴x <log a 3.9．若函数f (x )、g (x )分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x，则有( ) A ．f (2)<f (3)<g (0) B ．g (0)<f (3)<f (2) C ．f (2)<g (0)<f (3) D ．g (0)<f (2)<f (3) [答案] D[解析] 考查函数的奇偶性、单调性和方程的思想． ∵f (x )－g (x )＝e x，(x ∈R )①f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，∴f (－x )－g (－x )＝e －x. 即－f (x )－g (x )＝e －x， ②由①、②得f (x )＝12(e x －e －x)，g (x )＝－12(e x ＋e －x )，∴g (0)＝－1.又f (x )为增函数，∴0<f (2)<f (3)， ∴g (0)<f (2)<f (3)．10．如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点，那么称这个点为“好点”，在下面的五个点M (1,1)，N (1,2)，P (2,1)，Q (2,2)，G (2，12)中，“好点”的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] ∵指数函数过定点(0,1)，对数函数过定点(1,0)且都与y ＝x 没有交点， ∴指数函数不过(1,1)，(2,1)点，对数函数不过点(1,2)，∴点M 、N 、P 一定不是好点．可验证：点Q (2,2)是指数函数y ＝(2)x和对数函数y ＝log 2x 的交点，点G (2，12)在指数函数y ＝(22)x上，且在对数函数y ＝log 4x 上．故选C.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．(2013·湖南高考)已知集合U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，B ＝{2,6,8}，则(∁U A )∩B ＝________.[答案] {6,8}[解析] 本题考查的是集合的运算．由条件知∁U A ＝{6,8}，B ＝{2,6,8}，∴(∁U A )∩B ＝{6,8}．12．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥12x ，x <1的值域为________．[答案] (－∞，2)[解析] 可利用指数函数、对数函数的性质求解． 当x ≥1时，log 12 x ≤log 12 1＝0. ∴当x ≥1时，f (x )≤0当x <1时，0<2x <21，即0<f (x )<2， 因此函数f (x )的值域为(－∞，2)．13．用二分法求方程x 3＋4＝6x 2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0,1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．[答案] (12，1)[解析] 设f (x )＝x 3－6x 2＋4， 显然f (0)>0，f (1)<0， 又f (12)＝(12)3－6×(12)2＋4>0，∴下一步可断定方程的根所在的区间为(12，1)．14．(2014·广东六校教研协作体联考)已知函数f(x)＝x 2－2x ，g(x)＝a x＋2(a ＞0)，对任意的x1∈[－1,2]都存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，则实数a 的取值范围是________．[答案] ⎝⎛⎦⎥⎤0，12[解析] 当x 0∈[－1,2]时，由f(x)＝x 2－2x 得f(x 0)∈[－1,3]，又对任意的x 1∈[－1,2]都存在x 0∈[－1,2]，使得g(x 1)＝f(x 0)，∴当x1∈[－1,2]时，g(x 1)∈[－1,3]．当a＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2≥－1，2a ＋2≤3，解得a≤12.综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，12. 15．已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，常数a ∈R )，若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，则a 的取值范围为________．[答案] (－∞，16][解析] 任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x 2＝x 1－x 2x 1x 2[x 1x 2(x 1＋x 2)－a ]，要使函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，需使f (x 1)－f (x 2)<0恒成立． ∵x 1－x 2<0，x 1x 2>4>0， ∴a <x 1x 2(x 1＋x 2)恒成立．又∵x 1＋x 2>4，∴x 1x 2(x 1＋x 2)>16，∴a ≤16， 即a 的取值范围是(－∞，16]．三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)设全集U 为R ，A ＝{x |x 2＋px ＋12＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0}，若(∁U A )∩B ＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，求A ∪B .[解析] ∵(∁U A )∩B ＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}， ∴2∈B,2∉A,4∈A,4∉B ，根据元素与集合的关系，可得⎩⎪⎨⎪⎧42＋4p ＋12＝022－10＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－7，q ＝6.∴A ＝{x |x 2－7x ＋12＝0}＝{3,4}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，经检验符合题意． ∴A ∪B ＝{2,3,4}．17．(本小题满分12分)(1)不用计算器计算：log 327＋lg25＋lg4＋7log 72＋(－9.8)0(2)如果f (x －1x )＝(x ＋1x)2，求f (x ＋1)．[解析] (1)原式＝log 3332 ＋lg(25×4)＋2＋1＝32＋2＋3＝132. (2)∵f (x －1x )＝(x ＋1x)2＝x 2＋1x 2＋2＝(x 2＋1x2－2)＋4＝(x －1x)2＋4∴f (x )＝x 2＋4 ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2＋4 ＝x 2＋2x ＋5.18．(本小题满分12分)(1)定义在(－1,1)上的奇函数f (x )为减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)>0，求实数a 的取值范围．(2)定义在[－2,2]上的偶函数g (x )，当x ≥0时，g (x )为减函数，若g (1－m )<g (m )成立，求m 的取值范围．[解析] (1)∵f (1－a )＋f (1－a 2)>0， ∴f (1－a )>－f (1－a 2)． ∵f (x )是奇函数， ∴f (1－a )>f (a 2－1)．又∵f (x )在(－1,1)上为减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a <a 2－1，－1<1－a <1，－1<1－a 2<1，解得1<a < 2.(2)因为函数g (x )在[－2,2]上是偶函数， 则由g (1－m )<g (m )可得g (|1－m |)<g (|m |)． 又当x ≥0时，g (x )为减函数，得到 ⎩⎪⎨⎪⎧ |1－m |≤2，|m |≤2，|1－m |>|m |，即⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m ≤3，－2≤m ≤2，－m 2>m 2，解之得－1≤m <12.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，并且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2x.(1)求f (log 213)的值；(2)求f (x )的解析式．[解析] (1)因为f (x )为奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2x， 所以f (log 213)＝f (－log 23)＝－f (log 23)＝－2log 23＝－3.(2)设任意的x ∈(－∞，0)，则－x ∈(0，＋∞)， 因为当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2x ，所以f (－x )＝2－x， 又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )＝－f (－x )＝－2－x， 即当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－2－x； 又因为f (0)＝－f (0)，所以f (0)＝0， 综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >00，x ＝0－2－x ，x <0.20．(本小题满分13分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)和一次函数g (x )＝－bx (b ≠0)，其中a ，b ，c 满足a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R )．(1)求证：两函数的图像交于不同的两点；(2)求证：方程f (x )－g (x )＝0的两个实数根都小于2. [解析] (1)若f (x )－g (x )＝0，则ax 2＋2bx ＋c ＝0， ∵Δ＝4b 2－4ac ＝4(－a －c )2－4ac＝4[(a －c 2)2＋34c 2]>0，故两函数的图像交于不同的两点．(2)设h (x )＝f (x )－g (x )＝ax 2＋2bx ＋c ，令h (x )＝0可得ax 2＋2bx ＋c ＝0.由(1)可知，Δ>0.∵a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R )，∴a >0，c <0， ∴h (2)＝4a ＋4b ＋c ＝4(－b －c )＋4b ＋c ＝－3c >0， －2b 2a ＝－b a ＝a ＋c a ＝1＋ca<2， 即有⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0a >0h－2b 2a <2，结合二次函数的图像可知，方程f (x )－g (x )＝0的两个实数根都小于2.21．(2014·郑州模拟)已知函数f(x ＋1)是偶函数，当1＜x1＜x2时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＞0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f(2)，c ＝f(3)，试比较a ，b ，c 的大小关系。
新北师大版高中数学必修一第二单元《函数》测试题(有答案解析)(4)
一、选择题1．函数25,1(),1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩满足对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是（ ） A ．30a -≤<B ．32a --≤≤C ．2a ≤-D ．0a <2．若函数()22(3)8,1,1x a x x f x ax x ⎧-+--≤=⎨>⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A．4,⎡-⎣B．4⎤⎦C ．[]3,4-D．⎡⎣3．对二次函数()2f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）． A ．1-是()0f x =的一个解 B ．直线1x =是()f x 的对称轴 C ．3是()f x 的最大值或最小值D ．点()2,8在()f x 的图象上4．已知,a t 为正实数，函数()22f x x x a =-+，且对任意[]0,x t ∈，都有()f x a ≤成立.若对每一个正实数a ，记t 的最大值为()g a ，若函数()g a 的值域记为B ，则下列关系正确的是（ ） A ．2B ∈B ．12B ∉C ．3B ∈D ．13B ∉5．已知的2()(1)()f x x x x ax b =+++图象关于直线1x =对称，则()f x 的值域为（ ） A ．[]4,-+∞B ．9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．9,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,46．符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3π=，[]1.082-=-，定义函数{}[]x x x =-．给出下列结论：①函数{}x 的定义域是R ，值域为0,1；②方程{}12x =有无数个解；③函数{}x 是增函数；④函数{}x 为奇函数，其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．已知函数224()3f x x x=-+，()2g x kx =+，若对任意的1[1,2]x ∈-，总存在2[1x ∈，使得12()()g x f x >，则实数k 的取值范围是（ ）．A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D ．以上都不对8．设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(2)0f -=，则()0f x x<的解集是（ ）A ．{2002}xx x -<<<<∣或 B ．{22}xx x <->∣或 C ．{202}xx x <-<<∣或 D ．{202}xx x -<<>∣或 9．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：()()1122120x f x x f x x x -<-且()24f =，则不等式()80f x x->的解集为（ ） A ．(2,)+∞ B ． ()0,2C ．(0,4)D ．(,2)-∞10．若函数()y f x =为奇函数，且在(),0∞-上单调递增，若()20f =，则不等式()0f x >的解集为( )A ．()()2,02,∞-⋃+B ．()(),22,∞∞--⋃+C ．()(),20,2∞--⋃D ．()()2,00,2-⋃11．已知偶函数()f x 在 [0,)+∞上是增函数，且(2)0f =，则不等式 (1)0f x +<的解集是（ ） A ．[0,2)B ．[]3,1-C ．(1,3)-D ．(2,2)-12．定义{},,max a b c 为,,a b c 中的最大值，设()28,,63⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭h x max x x x ，则()h x 的最小值为（ ）A ．1811B ．3C ．4811D ．4二、填空题13．已知定义在 +R 上的函数 ()f x 同时满足下列三个条件：① ()31f =-；②对任意x y +∈R ， 都有 ()()()f xy f x f y =+；③ 1x > 时 ()0f x <，则不等式()()612f x f x <-- 的解集为___________．14．已知函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=-，若()113f =- ，则()2019f = _________.15．设函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈R 都有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则f (－3)与f (－π)的大小关系是________．16．对于任意的1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式224t mt m +>+恒成立，则实数t 的取值范围是________________.17．已知集合{1,A B ==2，3}，f ：A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有______种.18．如图，是某个函数的图象，则该函数的解析式y =__________；19．已知函数()4f x x a a x=-++，若当[]1,4x ∈时，()5f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围是______． 20．函数()()122x x f x x N +⎡⎤⎡⎤=-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域为_______（其中[]x 表示不大于x 的最大整数）三、解答题21．已知函数1()(1)1x x a f x a a -=>+，求：（1）判断函数的奇偶性；（2）证明()f x 是R 上的增函数； （3）求该函数的值域.22．对于区间[,]a b 和函数()y f x =，若同时满足：①()f x 在[,]a b 上是单调函数；②函数(),[,]y f x x a b =∈的值域还是[,]a b ，则称区间[,]a b 为函数()f x 的“不变”区间.（1）求函数2(0)y x x =≥的所有“不变”区间；（2）函数2(0)y x m x =+≥是否存在“不变”区间？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由. 23．（1）已知函数15()xf x +-=，求()f x 的定义域； （2）已知函数1()2f x x x=-+，依据函数单调性的定义证明()f x 在(0,)+∞上单调递减，并求该函数在[1,3]上的值域. 24．已知函数()24f x x ax =-.（1）当1a =时，求函数()f x 的值域；（2）解关于x 的不等式()230f x a +>；（3）若对于任意的[)2,x ∈+∞，()21f x x >-均成立，求a 的取值范围.25．已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）的图象过()0,1A ，()1,5B 两点，且它的对称轴的方程为12x =-.（1）求该二次函数的表达式；（2）当26x ≤≤时，函数()22y ax b m x c =+-+的最大值为()G m ，最小值为()H m ，令()()()h m G m H m =-，求()h m 的表达式.26．已知二次函数2()23=-+f x x x ． （Ⅰ）求函数()2log 2y f x =+，1,44x ⎛⎤∈⎥⎝⎦的值域； （Ⅱ）若对任意互不相同的21,(2,4)x x ∈，都有()()1212f x f x k x x -<-成立，求实数k 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由题得函数在定义域上单增，列出不等式组得解. 【详解】因为对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-，所以函数在定义域R 上单增，01215a a a a <⎧⎪⎪-≥⎨⎪≥---⎪⎩ 解得32a --≤≤ 故选：B 【点睛】分段函数在R 上单增，关键抓住函数在端点处右侧的函数值大于等于左侧的函数值是解题关键.2．B解析：B【分析】函数()f x 在R 上是增函数，则在两段上分别要单调递增，且在分界点处要满足2138a a -+--≤，从而得到答案.【详解】函数()22(3)8,1,1x a x x f x ax x ⎧-+--≤=⎨>⎩在R 上是增函数，则满足下列条件：（1）()2238y x a x =-+--在(],1-∞递增，2312a -≥，即a ≥a ≤（2）y ax =在()1,+∞递增，则0a >（3）当1x =时满足2138a a -+--≤，解得34a -≤≤综上可得函数()f x 在R 上是增函数，实数a4a ≤≤ 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查根据分段函数的单调性求参数的范围，解答本题的关键是分段函数要在定义域内单调递增，则在两段上要分别单调递增，且在分界点出满足2138a a -+--≤，这也时容易出错的地方，属于中档题.3．A解析：A 【分析】可采取排除法，分别考虑A 、B 、C 、D 中有一个错误，通过解方程求得a ，判断a 是否为非零整数，即可得出结论. 【详解】①若A 错，则B 、C 、D 正确，直线1x =是()f x 的对称轴，则12ba-=， 3是()f x 的最大值或最小值，则2434ac b a-=，点()2,8在()f x 的图象上，则()2428f a b c =++=，可得212434428b a ac baa b c ⎧-=⎪⎪-⎪=⎨⎪++=⎪⎪⎩，解得5108a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，合乎题意； ②若B 错，则A 、C 、D 正确，1-是()0f x =的一个解，则()10f a b c -=-+=，3是()f x 的最大值或最小值，则2434ac b a-=，点()2,8在()f x 的图象上，则()2428f a b c =++=，可得20434428a b c ac b a a b c -+=⎧⎪-⎪=⎨⎪++=⎪⎩，该方程组无解，不合乎题意； ③若C 错误，则A 、B 、D 正确，1-是()0f x =的一个解，则()10f a b c -=-+=， 直线1x =是()f x 的对称轴，则12ba-=， 点()2,8在()f x 的图象上，则()2428f a b c =++=，可得012428a b c b a a b c -+=⎧⎪⎪-=⎨⎪++=⎪⎩，解得831638a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，不合乎题意；④若D 错误，则A 、B 、C 正确，1-是()0f x =的一个解，则()10f a b c -=-+=， 直线1x =是()f x 的对称轴，则12ba-=， 3是()f x 的最大值或最小值，则2434ac b a-=，可得2012434a b c b a ac b a⎧⎪-+=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得343294a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，不合乎题意. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用二次函数的基本性质求解参数，解本题的关键就是根据已知信息列出关于a 、b 、c 的方程组，解出参数的值，再逐一判断.4．A解析：A 【分析】根据函数的特征，要对t 进行分类讨论，求出t 的最大值，再根据a 是正实数，求出()g a 的值域即可判断答案． 【详解】 解：2()2f x x x a =-+∴函数()f x 的图象开口向上，对称轴为1x =①01t <时，()f x 在[0，]t 上为减函数，()(0)max f x f a ==，2()()2min f x f t t t a ==-+ 对任意的[0x ∈，]t ，都有()[f x a ∈-，]a ． 22a t t a ∴-≤-+，即2220t t a -+≥，当()()22424120a a ∆=--⨯=-≤，即12a ≥时，01t <，当()()22424120a a ∆=--⨯=->，即102a <<时，11t ≤ ②1t >时，()f x 在[0，1]上为减函数，在[1，]t 上为增函数，则()()11min f x f a a ==-≥-，2(){(0),()}{,2}max f x max f f t max a t t a a ==-+≤，12a ∴≥，且22t t a a -+，即12t < t 的最大值为()g a综上可得，当12a ≥时(]0,2t ∈ 当102a <<时，()0,1t ∈ ∴函数()g a 的值域为(]0,2故选：A ． 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．5．B解析：B 【分析】结合函数对称性与解析式可知1,0-是零点，则2,3也是零点，由对应关系求出解析式，利用换元法和二次函数性质即可求解 【详解】因为函数()()()21f x x x x ax b =+++有两个零点1-，0，又因为其图象关于直线1x =对称，所以2，3也是函数()f x 的两个零点，即()()()()123f x x x x x =+⋅--，所以()()()22223f x x x x x =---，令()222111t x x x =-=--≥-，则()()223933124y t t t t t t ⎛⎫=-=-=--- ⎭≥⎪⎝，所以94y ≥-，即()f x 的值域为9,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭.故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查函数对称性的应用，换元法的应用，函数值域的求解，解题关键在于：（1）若函数对称轴为x a =，则有()()f a x f a x +=-； （2）换元法求解函数值域必须注意新元取值范围.6．B解析：B 【分析】根据函数性质判断[]x 是一个常见的新定义的形式，按照新定义，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，由此可以得到函数的性质，又定义函数{}[]x x x =-，当0x ≥时，表示x 的小数部分，由于①③是错误的，举例可判断②，根据单调性定义可判断④. 【详解】①函数{}x 的定义域是R ,但[]01x x ≤-<，其值域为)01⎡⎣，，故错误； ②由{}[]12x x x =-=，可得[]12x x =+，则 1.52.5x =，……都是方程的解，故正确； ③由②可得{}11.52=，{}12.52=……当 1.52.5x =，……时，函数{}x 的值都为12，故不是增函数，故错误； ④函数{}x 的定义域是R ,而{}[]{}x x x x -=---≠-，故函数不是奇函数，故错误；综上，故正确的是②. 故选：B. 【点睛】本题以新定义函数{}[]x x x =-的意义为载体，考查了分段函数和函数的值域、单调性等性质得综合类问题，在解答的过程中体现了分类讨论和数形结合的思想，还可以利用函数的图象进行解题．7．C解析：C 【分析】根据题意得1min 2min ()()g x f x >，再分别求函数的最小值即可得答案. 【详解】解：∵x ∈，∴2[1,3]x ∈， ∴224()3[1,2]f x x x =-∈+． 当0k >时，()[2,22]g x k k ∈-++，所以只需满足：12k <-+，解得01k <<； 当0k =时，()2g x =．满足题意．当0k <时，()[22,2]g x k k ∈-++，所以只需满足：122k <+，解得102k >>-． ∴1,12k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．故选：C ． 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．8．A解析：A 【分析】由()0f x x <对0x >或0x <进行讨论，把不等式()0f x x<转化为()0f x >或()0f x <的问题解决，根据()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(2)0f -=，把函数值不等式转化为自变量不等式，求得结果． 【详解】 解：()f x 是R 上的奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，∴在(,0)-∞内()f x 也是增函数，又(2)0f -=，()20f ∴=，∴当(x ∈-∞，2)(0-⋃，2)时，()0f x <；当(2x ∈-，0)(2⋃，)+∞时，()0f x >；∴()0f x x <的解集是{|20x x -<<或02}x <<． 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，解决此类问题的关键是理解奇偶函数在关于原点对称的区间的单调性，奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；9．B解析：B【分析】构造新函数()()g x xf x =，得出函数()g x 在(0,)+∞为单调递减函数，把()80f x x->，转化为()()220f xf x -<，得到()()2g x g >，结合单调性和定义域，即可求解. 【详解】 由题意，定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()()1122120x f x x f x x x -<-，设()()g x xf x =，可得()()12120g x g x x x -<-，所以函数()g x 在(0,)+∞为单调递减函数，因为()24f =，则()228f =， 不等式()80f x x ->，可化为()80xf x x-<，即()80xf x -<，即()()220f xf x -<，即()()2g x g >，可得20x x <⎧⎨>⎩，解得02x <<，所以不等式()80f x x->的解集为()0,2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，其中解答中根据已知条件，构造新函数，利用新函数的单调性和特殊点的函数值，得出不等式关系式是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力.10．A解析：A 【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f （﹣2）=﹣f （2）=0，结合函数的单调性分析可得在区间（﹣∞，﹣2）上，f （x ）＜0，在（﹣2，0）上，f （x ）＞0，再结合函数的奇偶性可得在区间（0，2）上，f （x ）＜0，在（2，+∞）上，f （x ）＞0，综合即可得答案． 【详解】根据题意，函数y=f （x ）为奇函数，且f （2）=0， 则f （﹣2）=﹣f （2）=0，又由f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，则在区间（﹣∞，﹣2）上，f （x ）＜0，在（﹣2，0）上，f （x ）＞0， 又由函数y=f （x ）为奇函数，则在区间（0，2）上，f （x ）＜0，在（2，+∞）上，f （x ）＞0， 综合可得：不等式f （x ）＞0的解集（﹣2，0）∪（2，+∞）；故选A ． 【点睛】本题考查函数单调性奇偶性的应用，关键是掌握函数的奇偶性与单调性的定义，属于基础题．11．B解析：B 【详解】由()f x 在[0,)+∞上是增函数，且(2)0f = 当0x >时，()0f x <的解集[0,2]； 当时()f x 为减函数，(2)0f -=，()0f x <的解集[2,0]-．综上()0f x <的解集[2,2]-，所以(1)0f x +<满足212,31x x -≤+≤∴-≤≤． 故选：B ．12．C解析：C 【分析】首先根据题意画出()h x 的图象，再根据图象即可得到()h x 的最小值. 【详解】 分别画出2yx ，83y x =，6y x =-的图象， 则函数()h x 的图象为图中实线部分.由图知：函数()h x 的最低点为A ，836y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，解得1848,1111⎛⎫⎪⎝⎭A .所以()h x 的最小值为4811. 故选：C. 【点睛】本题主要考查根据函数的图象求函数的最值，考查了数形结合的思想，属于中档题.二、填空题13．【分析】用赋值法由已知得到把转化为即再用定义法证明在上为减函数利用单调性可得答案【详解】因为对任意有令得所以令则所以可等价转化为即设当时则所以所以在上为减函数故由得得又所以原不等式的解集为故答案为：解析：()13， 【分析】用赋值法由已知得到()()()9332f f f =+=-，把()()612f x f x <--转化为()()61(9)f x f x f <-+，即()()699f x f x <-，再用定义法证明()f x 在(0,)+∞上为减函数，利用单调性可得答案. 【详解】因为对任意12,(0,)x x ∈+∞，有()()()f xy f x f y =+，令x y ==fff =+，得()231f f ==-，所以12f =-， 令3x y ==，则()()()9332f f f =+=-，所以()()612f x f x <--可等价转化为()()61(9)f x f x f <-+， 即()()699f x f x <-，设120x x <<，12,(0,)x x ∈+∞，当1x > 时 ()0f x <，则()()()22211111·x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫==+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()12()f x f x >，所以()f x 在(0,)+∞上为减函数，故由()()699f x f x <-， 得699x x >-，得3x <，又1x >，所以原不等式的解集为(1,3). 故答案为：（1,3） 【点睛】 思路点睛：确定抽象函数单调性解函数不等式的基本思路： 第一步(定性)确定函数在给定区间上的单调性和奇偶性；第二步(转化)将函数不等式转化为不等式类似()()f M f N <等形式；第三步(去)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号f “”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步(求解)解不等式或不等式组确定解集.14．3【分析】根据题意求得函数的周期性得出函数的周期然后利用函数的周期和的值即可求解得到答案【详解】由题意函数对任意实数满足条件则即函数是以4为周期的周期函数又由令则即所以【点睛】本题主要考查了抽象函数解析：3 【分析】根据题意，求得函数的周期性，得出函数的周期，然后利用函数的周期和()1f 的值，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，函数()f x 对任意实数x 满足条件1(2)()f x f x +=-， 则()1(4)[(2)2](2)f x f x f x f x +=++=-=+，即函数()f x 是以4为周期的周期函数， 又由()113f =-，令1x =-，则1(12)(1)f f -+=--，即1(1)3(1)f f -==， 所以()2019(14505)(1)3f f f =-+⨯=-=． 【点睛】本题主要考查了抽象函数的应用，以及函数的周期性的判定和函数值的求解，其中解答中根据题设条件求得函数的周期是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15．f(－3)>f(－π)【解析】由得是上的单调递增函数又解析：f (－3)>f (－π)【解析】由()()1212()[]0x x f x f x >－－ 得()f x 是R 上的单调递增函数，又3(3)()f f ππ>∴>－－，－－ ．16．【分析】令由题意得出解出该不等式组即可得出实数的取值范围【详解】对于任意的不等式恒成立即不等式恒成立令则解得或因此实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查不等式恒成立问题涉及主元思想的应用将问题转 解析：()(),52,-∞-+∞【分析】令()()224f m t m t =-+-，由题意得出()10230f f ⎧⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪>⎩，解出该不等式组，即可得出实数t 的取值范围.【详解】对于任意的1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式224t mt m +>+恒成立，即不等式()2240t m t -+->恒成立，令()()224f m t m t =-+-，则()()()()()()2211524202223324250f t t t t f t t t t ⎧⎛⎫⎛⎫=-+-=-+>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪=-+-=-+>⎩， 解得5t <-或2t >，因此，实数t 的取值范围是()(),52,-∞-+∞.故答案为：()(),52,-∞-+∞.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，涉及主元思想的应用，将问题转化为一次函数不等式恒成立是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.17．7【分析】根据函数的定义来研究由于函数是一对一或者多对一的对应且在B 中的元素可能没有原像故可以按函数对应的方式分类讨论可分为一对一二对一三对一三类进行讨论得答案【详解】由函数的定义知此函数可以分为三解析：7 【分析】根据函数的定义来研究，由于函数是一对一或者多对一的对应，且在B 中的元素可能没有原像，故可以按函数对应的方式分类讨论.可分为一对一，二对一，三对一三类进行讨论得答案． 【详解】由函数的定义知，此函数可以分为三类来进行研究：若函数的是三对一的对应，则值域为{}1、{}2、{}3三种情况； 若函数是二对一的对应，{}1,2、{}2,3、{}1,3三种情况； 若函数是一对一的对应，则值域为{1,2，3}共一种情况． 综上知，函数的值域的不同情况有7种． 故答案为7． 【点睛】本题考查函数的概念，函数的定义，考查数学的基本思想方法，是中档题．18．【分析】根据分段函数图象用待定系数法求解即可【详解】当时设函数为当时解得；当时设函数为当时时解得所以故答案为：【点睛】本题考查利用函数图象求解析式考查待定系数法是基础题解析：2,0139,1322x x y x x ≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩ 【分析】根据分段函数图象，用待定系数法求解即可. 【详解】当01x ≤<时，设函数为y kx =，当1x =时2y =，解得2k =； 当13x ≤≤时，设函数为y ax b =+， 当1x =时3y =，3x =时0y =，解得32a =-，92b =. 所以2,0139,1322x x y x x ≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩. 故答案为：2,0139,1322x x y x x ≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩ 【点睛】本题考查利用函数图象求解析式，考查待定系数法，是基础题.19．【分析】对分段讨论去绝对值计算求解【详解】当时可得当时符合题意；当时则不符合题意；当时此时不符合题意综上的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查函数不等式的恒成立问题解题的关键是对分段讨论求解 解析：(],1-∞【分析】对a 分段讨论去绝对值计算求解. 【详解】当1a ≤时，()44f x x a a x x x=-++=+，可得当[]1,4x ∈时，()45f x ≤≤，符合题意；当14a <<时，()42,14,4a x x a xf x x a x x ⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩，则()1325f a =+>，不符合题意；当4a ≥时，()42f x a x x=-+，此时()13211f a =+≥，不符合题意， 综上，a 的取值范围是(],1-∞. 故答案为：(],1-∞. 【点睛】本题考查函数不等式的恒成立问题，解题的关键是对a 分段讨论求解.20．【分析】由题设中的定义可对分区间讨论设表示整数综合此四类即可得到函数的值域【详解】解：设表示整数①当时此时恒有②当时此时恒有③当时此时恒有④当时此时此时恒有综上可知故答案为：【点睛】此题是新定义一个解析：{}0,1【分析】由题设中的定义，可对x 分区间讨论，设m 表示整数，综合此四类即可得到函数的值域 【详解】解：设m 表示整数．①当2x m =时，1[0.5]2x m m +⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦，[]2x m m ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦． ∴此时恒有0y =．②当21x m =+时，1[1]12x m m +⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦，[0.5]2x m m ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦． ∴此时恒有1y =．③当221m x m <<+时， 21122m x m +<+<+0.52xm m ∴<<+ 10.512x m m ++<<+ 2x m ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦，12x m +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∴此时恒有0y =④当2122m x m +<<+时， 22123m x m +<+<+ 0.512xm m ∴+<<+ 11 1.52x m m ++<<+ ∴此时2x m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，112x m +⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦ ∴此时恒有1y =．综上可知，{}0,1y ∈． 故答案为：{}0,1． 【点睛】此题是新定义一个函数，根据所给的规则求函数的值域，求解的关键是理解所给的定义，一般从函数的解析式入手，要找出准确的切入点，理解[]x 表示数x 的整数部分，考察了分析理解，判断推理的能力及分类讨论的思想三、解答题21．（1）奇函数；（2）证明见解析；（3）()1,1-.【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性； （2）结合单调性的定义可证明()f x 是R 上的增函数； （3）根据指数函数的性质即可求该函数的值域. 【详解】解：（1）函数的定义域为R ，则111()()111x x x x xx a a a f x f x a a a ------===-=-+++， 则函数()f x 是奇函数；（2）1122()1111x x x x xa a f x a a a -+-===-+++，1a >，x y a ∴=是增函数，设12x x <，则()()()()()12122121122222211111111x x x x x x x x a a f x f x a a a a a a -⎛⎫⎛⎫-=---=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭， 因为120x x a a <<，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， 即2()11xf x a =-+为增函数，即()f x 是R 上的增函数； （3）1122()1111x x x x xa a f x a a a -+-===-+++，1a >， 11x a ∴+>，则1011x a <<+，所以2021x a <<+，即2201x a -<-<+， 所以21111xa -<-<+，即11y -<<，故函数的值域为(1,1)-. 【点睛】 方法点睛：高一阶段求函数的单调性常用的思路有：一、紧扣单调性的定义；二、画出函数的图象，结合图象进行求解；三、结合函数单调性的性质，如增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数. 22．（1）[]0,1；（2）104m ≤<. 【分析】 1）由函数2yx 在[0,)+∞上是增函数，根据“不变”区间的定义，由22a ab b⎧=⎨=⎩求解；（2）假设函数存在“不变”区间，根据函数2(0)y x m x =+≥单调递增，由22a m ab m b⎧+=⎨+=⎩，消去m ，结合a b <，求得a 的范围，再由2m a a =-+，利用二次函数的性质求解. 【详解】 （1）因为函数2yx 在[0,)+∞上是增函数，所以22a a b b⎧=⎨=⎩，解得0a =或1a =，0b =或1b =，因为a b <， 所以 0,1a b ==，所以函数的 “不变”区间是[]0,1；（2）假设函数2(0)y x m x =+≥存在“不变”区间，因为函数2(0)y x m x =+≥单调递增，所以22a m a b m b⎧+=⎨+=⎩，消去m 得22a b a b -=-，即()()+10a b a b --=，因为a b <，所以+10a b -=，即1b a =-， 所以10a a ->≥，解得102a ≤<， 所以221124m a a a ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭， 所以104m ≤<， 所以实数m 的取值范围是104m ≤< 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是由a b <，即10a a ->≥求得a 的范围. 23．（1）(,1)(1,5]-∞；（2）单调性证明见解析，值域为17[,1]3--. 【分析】（1）利用偶次根式和分式有意义的条件，列出不等式组，求得函数的定义域；（2）依据减函数的定义，利用取值、作差、判断符号的过程，证得函数的单调减，在区间端点取得最大最小值，得到函数在[1,3]上的值域. 【详解】（1）由5010x x -≥⎧⎨-≠⎩.得5x ≤且1x ≠，故()f x 的定义域为()(]115∞－，，∪； （2）设120x x <<， 则()2112121221121212111()2()2()()(2)x x f x f x x x x x x x x x x x x x --=--+-=--+=-+， 因为120x x <<，所以和211210,0x x x x ->>. 所以21121()(2)0x x x x -+>，从而()12()0f x f x ->，故()f x 在()0,∞+上单调递减，因为()f x 在[1,3]上单调递减，且()11f -＝，()1733f -＝， 所以该函数在[1,3]上的值域为17[,1]3-- . 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关函数的问题，解题思路如下：（1）利用分式和偶次根式有意义的条件，列出不等式组，求得结果，得到函数的定义域； （2）利用函数在某个区间上单调减的定义，证得函数在给定区间上是减函数，求得函数在区间端点处取得最值，得到函数的值域.24．（1）[)4,-+∞；（2）答案见解析；（3）1,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）由二次函数值域的求解方法可直接求得结果；（2）将不等式变为()()30x a x a -->，分别在0a =、0a <和0a >三种情况下讨论得到不等式的解集；（3）利用分离变量法得到142a x x <+-，令()12g x x x=+-，由对勾函数性质可求得()min g x ，由()min 4a g x <可求得结果.【详解】（1）当1a =时，()24f x x x =-，∴当2x =时，()min 484f x =-=-，则()f x 的值域为[)4,-+∞.（2）由()230f x a +>得：()()224330x ax a x a x a -+=-->，当0a =时，20x >，则不等式的解集为()(),00,-∞⋃+∞； 当0a <时，3a a <，则不等式的解集为()(),3,a a -∞+∞； 当0a >时，3a a >，则不等式的解集为()(),3,a a -∞+∞.（3）由()21f x x >-得：2421x ax x ->-，[)2,x ∈+∞142a x x∴<+- 记函数()12g x x x =+-，由对勾函数性质知：()g x 在[)2,+∞上单调递增， ()()1122222g x g ∴≥=+-=，142a ∴<，解得：18a <，a ∴的取值范围为1,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：恒成立问题的常用处理方法是采用分离变量的方式，将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系：①若()a f x ≤恒成立，则()min a f x ≤；②若()a f x ≥恒成立，则()max a f x ≥.25．（1）2221y x x =++；（2）()22728,5116913,59221255,91322872,13m m m m m h m m m m m m -<⎧⎪⎪-+≤≤⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎪->⎩.【分析】（1）待定系数法求出参数,,a b c ，写出二次函数表达式即可；（2）由（1）知22(22)1y x m x =+-+，即对称轴为12m x -=，讨论12m -与区间[]2,6的位置关系求m 范围及对应()h m . 【详解】解：（1）由题可得12215ba c abc ⎧-=-⎪⎪=⎨⎪++=⎪⎩，解得221a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，即2221y x x =++；（2）22(2)2(22)1y ax b m x c x m x =+-+=+-+，其图象对称轴的方程为12m x -=. ①当122m -<时，即5m <时，()8512G m m =-，()134H m m =-，()728h m m =-；②当1242m -≤≤时，即59m ≤≤时，()8512G m m =-，221()2m m H m -++=，21169()1322h m m m =-+； ③当1462m -<≤时，即913m <≤时，()134G m m =-，221()2m m H m -++=，2125()522h m m m =-+；④当162m ->时，即13m >时，()134G m m =-，()8512H m m =-，()872h m m =-.综上，()22728,5116913,59221255,91322872,13m m m m m h m m m m m m -<⎧⎪⎪-+≤≤⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎪->⎩. 【点睛】关键点点睛：已知过定点及对称轴，应用待定系数法求二次函数解析式；当对称轴含参数时，研究区间最值需要讨论对称轴与区间的关系确定最值情况.26．（Ⅰ）[]2,11；（Ⅱ）[)6,+∞.【分析】（Ⅰ）令2log 2t x =+，求出其值域；再结合二次函数的性质即可求解；（Ⅱ）设12x x <，可得()()2211f x kx f x kx -<-，令()()g x f x kx =-，()2,4x ∈， 问题转化为()g x 在()2,4上是减函数，利用二次函数的性质建立不等式，即可求解.【详解】（Ⅰ）令2log 2t x =+，因为1,44x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 所以(]2log 2,2x ∈-，(]2log 20,4t x =+∈，()()22log 223y f x f t t t =+==-+，对称轴为：1t = ，所以()223f t t t =-+在区间()0,1上单调递减，在区间()1,4上单调递增， 所以()()min 11232f t f ==-+=，()()2max 4424311f t f ==-⨯+=， 所以函数()2log 2y f x =+，1,44x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的值域为[]2,11，（Ⅱ）设12x x <，易知2()23=-+f x x x 在区间(2,4)上单调递增， 所以()()12f x f x <，故()()1212f x f x k x x -<-可化为()()2122f x f x kx kx -<-，即()()2211f x kx f x kx -<-，令()()()223g x f x kx x k x =-=-++，()2,4x ∈， 所以()()21g x g x <，即()g x 在()2,4上是减函数，故242k +≥， 解得：6k ≥所以实数k 的取值范围是[)6,+∞【点睛】关键点点睛：第二问的关键点是将已知条件转化为()()2211f x kx f x kx -<-，构造函数()()g x f x kx =-，可得()()21g x g x <，问题转化为()g x 在()2,4上是减函数，利用二次函数的对称轴建立不等式，即可求解.。
新北师大版高中数学必修一第二单元《函数》测试(有答案解析)(1)
一、选择题1．已知函数(1)f x +为偶函数，当0x >时，23()f x x x =+，则(2)f -=（ ）A ．4-B ．12C ．36D ．802．以下说法正确的有（ ）（1）若(){},4A x y x y =+=，(){},21B x y x y =-=，则{}3,1AB =；（2）若()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =； （3）函数1y x=的单调区间是()(),00,-∞⋃+∞； （4）在映射:f A B →的作用下，A 中元素(),x y 与B 中元素()1,3x y --对应，则与B 中元素()0,1对应的A 中元素是()1,2 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．若函数()f x =在[]1,3-上具有单调性，则实数a 的可能取值是（ ）A ．4-B ．5C ．14D ．234．设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3x y =具有性质M ； ②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =. 其中正确的个数是（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．对于每个实数x ，设()f x 取24y x =-+，41y x =+，2y x =+三个函数值中的最小值，则()f x （ ） A ．无最大值，无最小值 B ．有最大值83，最小值1 C ．有最大值3，无最小值D ．有最大值83，无最小值 6．已知函数2()(3)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任意实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,9)B ．(3,+)∞C ．(,9)-∞D ．(0,9)7．函数sin y x x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．对x R ∀∈，用()M x 表示()f x ，()g x 中较大者，记为()()()max{,}M x f x g x =，若()()2{3,1}M x x x =-+-，则()M x 的最小值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．49．若函数2()34f x x x =--的定义域为[]0m ，，值域为2544⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，，则m 的取值范围是（ ） A ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]0,4D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．已知函数f x （）满足当4x ≥时，f x （）=12x⎛⎫ ⎪⎝⎭；当4x <时，1f x f x =+（）（），则22log 3f +（）=A ．124 B ．112C ．18D ．3811．若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．34a >-B ．53a <-C ．5334a -<<- D ．5334a -≤≤- 12．已知函数()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，且()21f =，()()()f xy f x f y =+，则不等式()()23f x f x +-≤（ ）A ．()1,2B ．[)1,3C ．()2,4D ．(]2,4二、填空题13．函数y x =+______．14．已知对于任意实数x ，函数f （x ）都满足f （x ）+2f （2-x ）=x ，则f （x ）的解析式为______．15．若()22f x x ax =-+与()ag x x=在区间[]1,2上都是减函数，则a 的取值范围是______．16．已知函数2()2f x x x a =-++，21()7log g x x=+，若对任意1[0,3]x ∈，总存在24x ⎤∈⎦，使得12()()f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是___________.17．二次函数()222f x x x =-+在区间[]0,3上的最大值为________．18．已知(6)4,(1)(),(1)a x a x f x ax x --<⎧=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的增函数，则实数a 的取值范围是_________.19．设函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，2()()g x f x x =-，若函数()y g x =在区间[0,)+∞上是严格增函数，则不等式2(1)(1)2f x f x x +->+的解集为___________.20．已知函数2262()2x ax x f x a x x⎧-+⎪=⎨>⎪⎩，≤，，是R 上的减函数，则a 的取值范围为______．三、解答题21．已知函数()4f x x x=+. （1）用单调性的定义证明()f x 在()0,2上单调递减； （2）判断()f x 在71,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调情况，并求最值.22．已知函数()1f x x x=+. （1）请判断函数()f x 在()0,1和()1,+∞内的单调性，并用定义证明在()0,1的单调性. （2）当11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，210x ax -+≥恒成立，求实数a 的取值范围.23．（1）已知)1fx =-()f x 的表达式．（2）已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且2()()2f x g x x x +=+-，求()f x ，()g x 的表达式．24．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足()()00f x f x -=-，则称()f x 为（1）已知函数()23f x cos x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，试判断()f x 是否为“M 类函数”，并说明理由； （2）设()1423xx f x m +=-⋅-是定义域R 上的“M 类函数”，求实数m 的取值范围25．已知a R ∈，函数2()25f x x ax =-+．（1）若不等式()0f x >对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若1a >，且函数()f x 的定义域和值域都是[1,]a ，求实数a 的值； （3）函数()f x 在区间[1,1]a +的最大值为()g a ，求()g a 的表达式． 26．已知函数()2mf x x x=++（m 为实常数）. （1）当4m =时，试判断函数在[)2,+∞上的单调性，并用定义证明； （2）设0m <，若不等式()f x kx ≤在1[,1]2x ∈有解，求实数k 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】首先根据函数(1)f x +为偶函数，得到(1)(1)f x f x +=-+，所以有(2)(4)f f -=，结合题中所给的函数解析式，代入求得结果. 【详解】∵函数(1)f x +为偶函数，所以图象关于y 轴对称，即(1)(1)f x f x +=-+， 构造(2)(31)(31)(4)f f f f -=-+=+=，而40>， 所以23(4)4+4=16(14)80f =⨯+=. 故选：D. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关函数的问题，解题思路如下： （1）根据函数(1)f x +为偶函数，得到(1)(1)f x f x +=-+； （2）根据(1)(1)f x f x +=-+，得到(2)(4)f f -=； （3）结合当0x >时，23()f x x x =+，将4x =代入求得结果.2．B【分析】 根据AB 为点集，可判断（1）的正误；根据奇函数的性质，可判断（2）的正误；分解反比例函数的单调性，可判断（3）的正误；根据映射的概念，可判断（4）的正误. 【详解】 （1）若(){},4A x y x y =+=，(){},21B x y x y =-=，则{}(3,1)AB =，所以（1）错误；（2）若()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =，所以（2）正确； （3）函数1y x=的单调区间是(),0-∞和()0,∞+，所以（3）错误； （4）设A 中元素为(,)x y ，由题意可知1031x y -=⎧⎨-=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，所以A 中元素是()1,2，所以（4）正确；所以正确命题的个数是2个， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关命题的真假判断，在解题的过程中，关键点是要熟练掌握基础知识，此类题目综合性较强，属于中档题目.3．C解析：C 【分析】令函数()218g x x ax =-++，则只需使当[]1,3x ∈-时，()0g x ≥且单调，然后针对()3210a g ⎧≥⎪⎨⎪-≥⎩或()1230ag ⎧≤-⎪⎨⎪≥⎩两种情况讨论求解. 【详解】由题意可设()218g x x ax =-++，则当[]1,3x ∈-时，()218g x x ax =-++单调，且()0g x ≥恒成立，因为()218g x x ax =-++的对称轴方程为2a x =， 则()3210a g ⎧≥⎪⎨⎪-≥⎩或()1230ag ⎧≤-⎪⎨⎪≥⎩，解得617a ≤≤或32a --≤≤，即[][]6,173,2a ∈--，则只有14满足题意． 故选：C ． 【点睛】本题考查根据复合函数的单调性求参数的取值范围，解答时注意不仅要使原函数在所给区间上单调，且必须使原函数在所给区间上有意义.4．C解析：C 【分析】根据函数性质M 的定义和指数对数函数的性质，结合每个选项中具体函数的定义，即可判断. 【详解】解：对于①：3xy =的定义域是R ，所以1212()()13x x f x f x +⋅==，则120x x +=.对于任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=， 所以函数3xy =具有性质M ，①正确； 对于②：函数3y x x =-的定义域为R ，所以若取10x =，则1()0f x =，此时不存在2x R ∈，使得12()()1f x f x ⋅=，所以函数3y x x =-不具有性质M ，②错误；对于③：函数8log (2)y x =+在[]0,t 上是单调增函数，其值域为[]88log 2,log (2)t +，要使得其具有M 性质，则88881log 2log (2)1log (2)log 2t t ⎧≤⎪+⎪⎨⎪+≤⎪⎩，即88log 2log (2)1t ⨯+=，解得3(2)8t +=，510t =， 故③正确； 故选：C. 【点睛】本题考查函数新定义问题，对数和指数的运算，主要考查运算求解能力和转换能力，属于中档题型.5．D解析：D 【分析】作出函数()f x 的图象，结合图象可得出结论. 【详解】由已知可得(){}min 24,41,2f x x x x =-+++，作出函数()f x 的图象如下图所示：函数()f x 的图象如上图中的实线部分，联立224y x y x =+⎧⎨=-+⎩，解得2383x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由图象可知，函数()f x 有最大值83，无最小值. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数最值的求解，解题的关键就是结合函数()f x 的定义，进而作出函数()f x 的图象，利用图象得出结论.6．D解析：D 【分析】根据所给条件，结合二次函数的图像与性质，分类讨论，即可得解. 【详解】当0m <时，二次函数2()(3)1f x mx m x =--+的图像开口向下，()g x mx =单调递减，故存在x 使得()f x 与()g x 同时为负，不符题意； 当0m =时，()31f x x =-+，()0g x =显然不成立； 当0m >时，2109m m ∆=-+， 若∆<0，即19m <<时，显然成立，0∆=，1m =或9m =，则1m =时成立，9m =时，13x =-时不成立，若0∆>，即01m <<或9m >，由(0)1f =可得： 若要()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，如图，则必须有302mm->，解得01m <<， 综上可得：09m <<， 故答案为：D. 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图像与性质，考查了分类讨论思想和计算能力，属于中档题.解决此类问题的关键主要是讨论，涉及二次函数的讨论有： （1）如果平方项有参数，则先讨论； （2）再讨论根的判别式； （3）最后讨论根的分布.7．A解析：A 【分析】先判断函数奇偶性，排除CD ，再结合函数在()0,π的正负选出正确答案 【详解】设()sin y f x x x ==，求得()sin f x x x -=，故函数为偶函数，排除CD ，由三角函数图像特征可知在()0,π时sin 0x >，故在()0,π时()0f x >，故A 正确 故选：A 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.8．C解析：C 【分析】根据定义求出()M x 的表达式，然后根据单调性确定最小值．【详解】由23(1)x x -+=-解得：1x =-或2x =，2(1)3x x -≥-+的解集为1x ≤-或2x ≥，2(1)3x x -<-+的解为12x -<<，∴2(1),12()3,12x x x M x x x ⎧-≤-≥=⎨-+-<<⎩或，∴2x ≤时，()M x 是减函数，2x >时，()M x 是增函数，∴min ()(2)1M x M ==． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义函数，解题关键是确定新定义函数的解析式，根据新定义通过求最大值得出新函数的解析式，然后根据分段函数研究新函数的性质．9．B解析：B 【分析】求出(0)4f =-，再计算出最小值为32524f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后求出()4f m =-的值后可得m 的范围． 【详解】2325()24f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()f x 在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递减，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增， (0)4f =-，又32524f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以32m ≥，由2()344f m m m =--=-解得0m =或3m =，因此332m ≤≤． 故选：B ． 【点睛】方程点睛：本题考查二次函数的性质，掌握其对称轴、单调性是解题关键．由此可得二次函数2()f x ax bx c =++在区间[,]m n 上的最值求法： 设0a >，函数的对称轴0x x =（02bx a=-）， 当0x m <时，min ()()f x f m =，0m x n ≤≤时，min 0()()f x f x =，0x n >时，min ()()f x f n =，当02m n x +≤时，max ()()f x f n =，当02m nx +>时，max ()()f x f m =． 0a <类似讨论．10．A解析：A 【分析】根据232log 34<+<，()()222log 33log 3f f +=+可得，又有23log 34+> 知，符合4?x >时的解析式，代入即得结果. 【详解】因为函数f x （）满足当4x ≥时，f x （）=12x⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当4x <时，1f x f x =+（）（），所()()()()22222log 3log 121log 12log 24f f f f +==+=以=21log 242=124，故选A ． 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、对数的运算法则，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.11．C解析：C 【详解】分析：函数()3221f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值，则极大值在()1,2之间，一阶导函数有根在()1,2，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解 详解：f ′（x ）＝3ax 2+4x +1，x ∈（1，2）．a ＝0时，f ′（x ）＝4x +1＞0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． a ≠0时，△＝16﹣12a ． 由△≤0，解得43a ≥，此时f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．由△＞0，解得a 43＜（a ≠0），由f ′（x ）＝0，解得x 1=，x 223a-+=．当403a ＜＜时，x 1＜0，x 2＜0，因此f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．当a ＜0时，x 1＞0，x 2＜0，∵函数f （x ）＝ax 3+2x 2+x +1在（1，2）上有最大值无最小值，∴必然有f ′（x 1）＝0，∴123a-＜2，a ＜0．解得：53-＜a 34-＜． 综上可得：53-＜a 34-＜． 故选：C ．点睛：极值转化为最值的性质：若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为()f x 的最小值；若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为()f x 的最大值；12．D解析：D 【分析】根据()()()f xy f x f y =+且()21f =可得()42f =，83f ，则()()23f x f x +-≤可化为()()28f x x f -≤⎡⎤⎣⎦，然后根据单调性求解.【详解】根据()()()f xy f x f y =+可得，()()23f x f x +-≤可转化为()23f x x -≤⎡⎤⎣⎦， 又()()()()422222f f f f =+==，所以()()()842213f f f =+=+=，即()()28f x x f -≤⎡⎤⎣⎦，因为()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，所以只需满足()28020x x x x ⎧-≤⎪>⎨⎪->⎩，解得：24x <≤.故选：D. 【点睛】本题考查抽象函数的应用，考查利用函数的单调性解不等式，难度一般，根据题目条件将问题灵活转化是关键.二、填空题13．【分析】利用换元法将函数换元构造出新函数由新函数的定义域结合二次函数的性质求出最值即可得到值域【详解】设则所以原函数可化为：由二次函数性质当时函数取最大值2由性质可知函数无最小值所以值域为：故答案为 解析：(],2-∞【分析】利用换元法将函数换元构造出新函数，由新函数的定义域结合二次函数的性质求出最值即可得到值域.【详解】设)0t t =≥，则21x t =-， 所以原函数可化为：()2210y t t t =-++≥，由二次函数性质，当1t =时，函数取最大值2，由性质可知函数无最小值， 所以值域为：(],2-∞. 故答案为：(],2-∞. 【点睛】本题考查换元法求函数值域，当函数解析式中含有根式时，一般考虑换元法，用换元法时要注意一定写出新变量数的取值范围.14．【分析】用2-x 换上f （x ）+2f （2-x ）=x①中的x 得到f （2-x ）+2f （x ）=2-x②这样①②联立即可解出f （x ）【详解】由题意因为f （x ）+2f （2-x ）=x①；∴f （2-x ）+2f （x ） 解析：()4f x x 3=- 【分析】用2-x 换上f （x ）+2f （2-x ）=x①中的x 得到，f （2-x ）+2f （x ）=2-x②，这样①②联立即可解出f （x ）． 【详解】由题意，因为f （x ）+2f （2-x ）=x①； ∴f （2-x ）+2f （x ）=2-x②； ①②联立解得()43f x x =-. 故答案为()43f x x =-． 【点睛】本题主要考查了函数的解析式的求解，其中解答中根据题意，联立方程组求解是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.15．【分析】根据二次函数和分式函数的单调性求解即可【详解】根据与在区间上都是减函数又的对称轴为所以又在区间上是减函数所以所以即的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查了已知函数的单调性求参数问题考查了数学解析：(]01， 【分析】根据二次函数和分式函数的单调性求解即可. 【详解】根据2()2f x x ax =-+与()ag x x=在区间[1，2]上都是减函数，又()f x 的对称轴为x a =，所以1a ≤， 又()ag x x=在区间[1，2]上是减函数，所以0a > 所以01a <≤，即a 的取值范围为(]01，． 故答案为：(]01，【点睛】本题考查了已知函数的单调性求参数问题，考查了数学运算能力.属于中档题.16．【分析】由和的单调性求得它们的最大值由题意可得解不等式可得所求范围【详解】在递增递减可得在递减可得由对任意总存在使得成立可得则解得所以的取值范围是故答案为：【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与解析：13,15⎛⎤-∞-⎥⎝⎦【分析】由()f x 和()g x 的单调性求得它们的最大值，由题意可得()()max max f x g x ≤，解不等式可得所求范围. 【详解】2()2f x x x a =-++在[0]1，递增，[1]3，递减，可得()()11max f x f a ==+， 21()7log g x x=+在⎤⎦递减，可得()max 215g x g ===， 由对任意1[0,3]x ∈，总存在24x ⎤∈⎦，使得12()()f x g x ≤成立，可得()()max max f x g x ≤， 则2115a +≤，解得1315a ≤-， 所以a 的取值范围是13,15⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦， 故答案为：13,15⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集.17．5【分析】由二次函数的图象与性质得到函数在区间递减递增即可求得在区间函数的最值得解【详解】由题意函数可得函数在区间递减递增所以函数在递减递增所以故答案为：5【点睛】熟记二次函数的图象与性质是解答的关解析：5 【分析】由二次函数的图象与性质，得到函数()f x 在区间(,1]-∞递减[1,)+∞递增,即可求得在区间[]0,3函数的最值得解． 【详解】由题意，函数()222f x x x =-+，可得函数()f x 在区间(,1]-∞递减[1,)+∞递增[]0,3，所以函数()f x 在[0,1]递减,[1,3]递增(1)1,(3)5f f ∴==所以max (3)5y f == 故答案为：5 【点睛】熟记二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.18．【分析】根据分段函数的单调性在各个分段上递增且在衔接点处也要递增列式即可得解【详解】由是上的增函数则：解得故答案为：【点睛】本题考查了分段函数单调性问题考查了一次函数的单调性属于中档题求分段函数递增 解析：[1,6)【分析】根据分段函数的单调性，在各个分段上递增，且在衔接点处也要递增，列式即可得解. 【详解】由(6)4,(1)(),(1)a x a x f x ax x --<⎧=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的增函数， 则：60065a a a a ->⎧⎪>⎨⎪-≤⎩，解得16a ≤<，故答案为：[1,6). 【点睛】本题考查了分段函数单调性问题，考查了一次函数的单调性，属于中档题. 求分段函数递增（递减）要注意以下两点： （1）在各个分段上分别递增（递减）；（2）在衔接点处也要递增（递减），此处为易错点.19．【分析】根据题意分析可得为偶函数进而分析可得结合函数的奇偶性与单调性分析可得解可得的取值范围即可得答案【详解】解：根据题意且是定义在上的偶函数则则函数为偶函数又由为偶函数且在区间上是严格增函数则解可 解析：(,2)(0,)-∞-+∞【分析】根据题意，分析可得()g x 为偶函数，进而分析可得()(1)1f x f +-()222(1)(1)11x x f x x f >+⇒+-+>-()(1)1g x g ⇒+>，结合函数的奇偶性与单调性分析可得|1|1x +>，解可得x 的取值范围，即可得答案． 【详解】解：根据题意，2()()g x f x x =-，且()f x 是定义在R 上的偶函数，则22()()()()()g x f x x f x x g x -=---=-=，则函数()g x 为偶函数， ()(1)1f x f +-()222(1)(1)11x x f x x f >+⇒+-+>-()(1)1g x g ⇒+>，又由()g x 为偶函数且在区间[0,)+∞上是严格增函数，则|1|1x +>， 解可得：2x <-或0x >， 即x 的取值范围为：(,2)(0,)-∞-+∞；故答案为：(,2)(0,)-∞-+∞．【点睛】关键点睛：解题关键在于，把题目通过转化化归思想，转化为：()(1)1f x f +-()222(1)(1)11x x f x x f >+⇒+-+>-()(1)1g x g ⇒+>，进而分析，难度属于中档题20．2【分析】由已知利用分段函数的性质及二次函数与反比例函数的单调性可求【详解】解；是上的减函数解可得故答案为：【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性的应用二次函数及反比例函数性质的应用是求解问题的关键解析：[2，209] 【分析】由已知利用分段函数的性质及二次函数与反比例函数的单调性可求． 【详解】 解；226,2(),2x ax x f x a x x⎧-+⎪=⎨>⎪⎩是R 上的减函数，∴204462a a a a ⎧⎪⎪>⎨⎪⎪-+⎩， 解可得，2029a．故答案为：202,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性的应用，二次函数及反比例函数性质的应用是求解问题的关键，属于中档题．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）()f x 在[)1,2上单调递减，在72,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，最小值4，最大值5.【分析】（1）任取1x 、()20,2x ∈且12x x <，作差()()12f x f x -、因式分解，判断()()12f x f x -的符号，进而可证得结论成立；（2）同（1）可证函数()f x 在区间()2,+∞上为增函数，由此可判断出函数()f x 在71,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，并由此可求得函数()f x 在71,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【详解】（1）证明：任取1x 、()20,2x ∈且12x x <，则()()()()()121212121212121244444x x x x f x f x x x x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 1202x x <<<，120x x ∴-<，1204x x <<，1240x x ∴-<，()()()()1212121240x x x x f x f x x x --∴-=>，即()()12f x f x >，因此，函数()4f x x x=+在()0,2上单调递减； （2）由（1）可知，()f x 在()0,2上单调递减，同理（1）可证()f x 在()2,+∞上单调递增，当71,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 在[)1,2上为减函数，在72,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上为增函数，故当2x =时，()f x 取最小值4， 又()15f =，765214f ⎛⎫= ⎪⎝⎭且65514>，故当1x =时，()f x 取最大值5. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：（1）取值：设1x 、2x 是所给区间上的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差()()12f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差()()12f x f x -的符号； （4）下结论：判断，根据定义得出结论. 即取值→作差→变形→定号→下结论.22．（1）()f x 在()0,1内单调递减，在()1,+∞内单调递增，证明见解析；（2）5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【分析】（1）由单调性的定义证明；（2）分离参数不等式变形为211x a x x x+≤=+在11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恒成立，然后由函数的单调性得右边的最小值即可得结论． 【详解】（1）()f x 在()0,1内单调递减，在()1,+∞内单调递增. 任取()12,0,1x x ∈且12x x <，()()12121211f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()121211x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()1212121x x x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.因为1201x x ，所以120x x -<，1201x x <<， 所以1210x x -<，因为()()120f x f x ->，即()()12f x f x >， 因此，函数()y f x =在()0,1上是单调减函数. （2）由210x ax -+≥在11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恒成立，得211x a x x x+≤=+在11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恒成立，由（1）知，函数()1f x x x =+在11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦为减函数， 所以当12x =时，()1f x x x =+取得最小值，()min 1522f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以52a ≤， 因此，实数a 的取值范围是5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】方法点睛：本题考查用定义证明函数的单调性，考查不等式恒成立问题，解决不等式恒成立的常用方法是用分离参数法转化为求函数的最值．在不能分离参数时，可直接引入函数，利用分类讨论思想求得函数的最值，由最值满足的不等关系得出参数范围． 23．（1）2()43(1)f x x x x =-+≥；（2）2()2f x x =-，()g x x =． 【分析】（1）利用换元法求解析式即可；（2）根据函数奇偶性的性质利用方程组法即可求求()f x ，()g x 的表达式.【详解】（1）由)1f x =-，令11t =≥，()21,1t x t =-=-，所以()()()2212143f t t t t t =---=-+，故()f x 的表达式为：2()43(1)f x x x x =-+≥；（2）由()f x 是偶函数，()g x 是奇函数， 得()()()(),f x f x g x g x -=-=-， 又由2()()2f x g x x x +=+-，（1） 得2()()2f x g x x x +-=---， 即2()()2f x g x x x =---，（2） 解（1）（2）联立的方程组得：2()2f x x =-，()g x x =，所以()f x ，()g x 的表达式为：2()2f x x =-，()g x x =.【点睛】关键点睛：利用换元法求解析式，根据函数奇偶性的定义利用方程组法是解决本题的关键. 24．（1）是；答案见解析；（2）1m -. 【分析】（1）特殊值验证使得()()f x f x -=-即可；（2）因为函数满足新定义，则问题由存在问题转化为求函数值域问题，进而可以求解． 【详解】解：（1）因为()2cos()2cos()2(22323f πππππ-=--=+=⨯=()2cos()2223f πππ=-==()()22f f ππ-=-， 所以存在02=x π使得函数()f x 为“M 类函数”；（2）由已知函数1()423x x f x m +=--满足：()()f x f x -=-， 则化简可得：442(22)60x x x x m --+-+-=⋯① 令222x x t -=+，则2442x x t -+=-，所以①可化为：2280t mt --=在区间[2，)+∞上有解可使得函数()f x 为“M 类函数”， 即18()2m t t=-在[2，)+∞有解，而函数18()2t t -在[2，)+∞上单调递增，所以当2t =时，有最小值为18(2)122-=-，所以1m -，故实数m 的取值范围为：[1-，)+∞． 【点睛】本题考查了新定义的函数问题以及函数的有解问题，涉及到求函数的值域问题. 求函数最值和值域的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．25．（1）(a ∈；（2）2；（3）()g a 262,26,2a a a a ->⎧=⎨-⎩． 【分析】（1）利用二次函数的性质列出关系式求解即可．（2）根据二次函数定义域和值域之间的关系进行判断即可． （3）对对称轴分类讨论，得到最大值． 【详解】解：（1）a R ∈，函数2()25f x x ax =-+．开口向上，不等式()0f x >对任意的x ∈R 恒成立，可得：24200a -<，解得(a ∈．（2）函数2()25f x x ax =-+的对称轴为x a =，则函数在[1,]a 上为减函数，函数的值域为[1,]a ，∴()1f a =，即22251a a -+=，即24a =， 解得2a =-（舍)或2a =．（3）函数2()25f x x ax =-+的对称轴为x a =，开口向上，①当12a a +，即2a 时，()f x 在区间[1，1]a +上的最大值为2(1)6f a a +=-； ②2a >时，()f x 在区间[1，1]a +上的最大值为(1)f 62a =-．所以()g a 262,26,2a a a a ->⎧=⎨-⎩． 【点睛】方法点睛：求二次函数的最值或值域时，关键在于确定二次函数的对称轴与所求的区间的关系，也即是二次函数在所求区间上的单调性，利用单调性求得值域． 26．（1）增函数；证明见解析；（2）当23m ≤-时，[)45,k m ∈++∞; 当203-<<m 时， [)3,k m ∈++∞ 【分析】（1）用函数单调性的定义进行证明得解； （2）参变分离得到221m k x x++≤，再换元转化为二次函数求最值得解. 【详解】（1）()f x 为[)2,+∞上的增函数 证明如下：任取[)12,2,x x ∈+∞，且12x x < 则()121212121212444()()x x f x f x x x x x x x x x --=-+-=- 21120,4x x x x ->>所以12()()f x f x <；所以()f x 为[)2,+∞上的增函数 （2）由()f x kx ≤，得2mx kx x++≤ 212[,1],12m x k x x∈∴++≤令1t x =，[]2211()21()1,(1,2)g t mt t m t t m m=++=++-∈ 则1[,1]2x ∈有解，当且仅当[]min ()(1,2)k g t t ≥∈0m <当132m ->即203-<<m 时，min ()(1)3g t g m ==+当132m<-≤即23m≤-时，min()(2)45g t g m==+综上，当23m≤-时，[)45,k m∈++∞.当23-<<m时，[)3,k m∈++∞【点睛】函数不等式恒成立问题通常转化为函数最值问题，注意对参数进行讨论.。
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2015高考数学一轮复习单元检测：函数本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014，江西文，2)设全集为R，集合A＝{x|x2－9<0}，B＝{x|－1<x≤5}，则A∩(∁R B)＝( )A．(－3,0) B．(－3，－1)C．(－3，－1] D．(－3,3)[答案] C[解析] A＝{x|x2－9<0}＝{x|－3<x<3}，∁R B＝{x|x≤－1或x>5}，≨A∩(∁R B)＝{x|－3<x<3}∩{x|x≤－1或x>5}＝{x|－3<x≤－1}，故选C.2．已知集合A＝{x|0<log4x<1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝( ) A．(0,1) B．(0,2]C．(1,2) D．(1,2][答案] D[解析] 因为A＝{x|0<log4x<1}＝{x|1<x<4}，B＝{x|x≤2}．所以A∩B＝{x|1<x<4}∩{x|x≤2}＝{x|1<x≤2}．3．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋≦)上是减少的函数是( )A．y＝1xB．y＝e－xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg|x |[答案] C[解析] 利用偶函数定义及单调性的判断方法求解． A 项，y ＝1x是奇函数，故不正确；B 项，y ＝e －x 是非奇非偶函数，故不正确；C 、D 两项中的两个函数都是偶函数，且y ＝－x 2＋1在(0，＋≦)上是减少的，y ＝lg|x |在(0，＋≦)上是增加的．故选C.4．已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝(15)log 30.3，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b[答案] C[解析] ≧－log 30.3＝log 3103>1且103<3.4，≨log 3103<log 33.4<log 23.4≧log 43.6<1，log 3103>1，≨log 43.6<log 3103.≧y ＝5x为增函数，≨5log 23.4>5log 3103>5log 43.6 即5log 23.4>(15) log 30.3>5 log 43.6，即a >c >b . 5．(2013·浙江高考)已知x ，y 为正实数，则( ) A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg y B ．2lg(x ＋y )＝2lg x ·2lg y C ．2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y[答案] D[解析] 本题考查指、对运算． 2lg(xy )＝2(lg x ＋lg y )＝2lg x ·2lg y .6．函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5，最小值2，则a ，b 的值为( )A ．a ＝1，b ＝0B ．a ＝1，b ＝0或a ＝－1，b ＝3C ．a ＝－1，b ＝3D ．以上答案均不正确 [答案] B[解析] 对称轴x ＝1，当a >0时在[2,3]上递增，则⎩⎪⎨⎪⎧ f 22，f35，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.当a <0时，在[2,3]上递减，则⎩⎪⎨⎪⎧f（2）5，f （3）2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.故选B.7. 函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( )A.14 B ．12 C ．2 D ．4[答案] B[解析] ≧当a >1或0<a <1时，a x 与log a (x ＋1)的单调性一致， ≨f (x )min ＋f (x )max ＝a ，即1＋log a 1＋a ＋log a (1＋1)＝a ，≨a ＝12.8．已知函数f (x )满足：x ≥4，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；当x <4时，f (x )＝f (x＋1)，则f (2＋log 23)＝( )A.124 B ．112 C.18 D ．38[答案] A[解析] f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝18×13＝124，选A.9．函数f (x )＝(x －1)ln|x |－1的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] D[解析] f (x )＝(x －1)ln|x |－1的零点就是方程(x －1)ln|x |－1＝0的实数根，而该方程等于方程ln|x |＝1x －1，因此函数的零点也就是函数g (x )＝ln|x |的图像与h (x )＝1x －1的图像的交点的横坐标．在同一平面直角坐标系内分别画出两个函数的图像(图略)，可知两个函数图像有三个交点，所以函数有三个零点．10．若f (x )＝x －2x ＋2(x ∈R )，且f (x －2x ＋2)＝－x2，则x 的值为( )A ．2B ．－2C ．±2D ．0[答案] A[解析] 函数f (x )的定义域为(－≦，－2)∪(－2，＋≦)．f (x －2x ＋2)＝x －2x ＋2－2x －2x ＋2＋2＝－x －63x ＋2＝－x 2. ≨2(x ＋6)＝(3x ＋2)x ， 即x 2＝4，≨x ＝±2. 又x ≠－2，≨x ＝2.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11．(2014·天津文，12)函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是________．[答案] (－≦，0)[解析] 函数f (x )的定义域为(－≦，0)∪(0，＋≦)，令u ＝x 2，则函数u ＝x 2在(－≦，0)上是减函数，在(0，＋≦)上是增函数，又≧y ＝lg u 是增函数，≨函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间为(－≦，0)．12．方程9x －6·3x －7＝0的解是________． [答案] x ＝log 37[解析] 原方程可化为(3x )2－6·3x －7＝0， 即(3x －7)(3x ＋1)＝0，又≧3x ＋1>0，≨3x ＝7，则原方程的解是x ＝log 37.13．若函数y ＝m ·3x －1－1m ·3x －1＋1的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．[答案] [0，＋≦)[解析] 要使函数y ＝m ·3x －1－1m ·3x －1＋1的定义域为R ，则对于任意实数x ，都有m ·3x －1＋1≠0，即m ≠－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1.而⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1>0，≨m ≥0.故所求m 的取值范围是m ≥0，即m ∈[0，＋≦)．14.某单位计划建造如图所示的三个相同的矩形饲养场，现有总长为1的围墙材料，则每个矩形的长宽之比为________时，围出的饲养场的总面积最大．[答案] 32[解析] 设矩形的长为x ，则宽为1－4x6，饲养场的总面积为y ，则有y ＝3x ·1－4x 6＝－2x 2＋12x .当x ＝18时，y 有最大值，此时宽为112，故每个矩形的长宽之比为32时，围出的饲养场的总面积最大．15．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ， x <1－x －2a ， x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．[答案] －34[解析] 首先讨论1－a,1＋a 与1的关系． 当a <0时，1－a >1,1＋a <1，所以f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ；f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝3a ＋2.因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以－1－a ＝3a ＋2. 解得a ＝－34.当a >0时，1－a <1,1＋a >1， 所以f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a .f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－3a －1，因为f (1－a )＝f (1＋a )所以2－a ＝－3a －1，所以a ＝－32(舍去)综上，满足条件的a ＝－34.三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)设A ＝{2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}，A ∩B ＝{2}．(1)求a 的值及A ，B ；(2)设全集U ＝A ∪B ，求(∁U A )∪(∁U B )； (3)写出(∁U A )∪(∁U B )的所有子集． [解析] (1)≧A ∩B ＝{2}，≨8＋2a ＋2＝0,4＋6＋2a ＝0.≨a ＝－5. ≨A ＝{x |2x 2－5x ＋2＝0}＝{12，2}，B ＝{x |x 2＋3x －10＝0}＝{－5,2}．(2)U ＝{12，－5,2}，(∁U A )∪(∁U B )＝{－5}∪{12}＝{－5，12}．(3)(∁U A )∪(∁U B )的子集为： ∅，{－5}，{12}，{－5，12}．17．(本小题满分12分)已知：函数f (x )＝ax ＋b x＋c (a 、b 、c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝52，f (2)＝174，(1)求a ，b ，c 的值；(2)试判断函数f (x )在区间(0，12)上的单调性并证明．[解析] (1)≧f (x )为奇函数， ≨f (－x )＝－f (x )． ≨－ax －b x ＋c ＝－ax －b x－c ， ≨c ＝0.≨f (x )＝ax ＋bx.又f (1)＝52，f (2)＝174，≨⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝52，2a ＋b 2＝174.≨a ＝2，b ＝12.(2)由(1)可知f (x )＝2x ＋12x .函数f (x )在区间(0，12)上为减函数．证明如下： 任取0<x 1<x 2<12，则f (x 1)－f (x 2) ＝2x 1＋12x 1－2x 2－12x 2＝(x 1－x 2)(2－12x 1x 2)＝(x 1－x 2)4x 1x 2－12x 1x 2.≧0<x 1<x 2<12，≨x 1－x 2<0,2x 1x 2>0,4x 1x 2－1<0. ≨f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)， ≨f (x )在(0，12)上为减函数．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有唯一零点．(1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．[解析] (1)≧函数f (x )在区间(－1,1)上有唯一零点，≨⎩⎪⎨⎪⎧f 1>0，f1<0，或⎩⎪⎨⎪⎧f1<0，f1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >2，a <1，或⎩⎪⎨⎪⎧a <2，a >1.≨1<a <2.(2)若a＝32 17，则f(x)＝3217x3－6417x＋2817，≧f(－1)>0，f(1)<0，f(0)＝2817>0，≨零点在(0,1)上．又f(0.5)＝0，≨f(x)＝0的根为0.5.19．(本小题满分12分)某地区上年度电价为0.8元/度，年用电量为1亿度．本年度计划将电价调至0.55～0.75元/度之间，经测算，若电价调到x元/度，则本年度新增用电量y(亿度)与(x－0.4)(元/度)成反比例．又当x＝0.65元/度时，y＝0.8.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若每度电的成本价为0.3元/度，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？(收益＝用电量×(实际电价－成本价)) .[解析] (1)≧y与x－0.4成反比例，≨设y＝kx－0.4(k≠0)．将x＝0.65，y＝0.8代入上式，得0.8＝k0.65－0.4，解得k＝0.2.≨y＝0.2x－0.4＝15x－2，即y与x之间的函数关系式为y＝15x－2.(x≠25)(2)根据题意，得(1＋15x－2)·(x－0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)．整理，得x 2－1.1x ＋0.3＝0.解得x 1＝0.5，x 2＝0.6.经检验x 1＝0.5，x 2＝0.6都是所列方程的根．≧x 的取值范围是0.55～0.75之间，故x ＝0.5不符合题意，应舍去．≨取x ＝0.6.当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.20．(本小题满分13分)定义在[－1，1]上的奇函数f (x )，已知当x ∈[－1，0]时的解析式为f (x )＝14x －a 2x (a ∈R )． (1)写出f (x )在[0,1]上的解析式；(2)求f (x )在[0,1]上的最大值．[解析] (1)设x ∈[0,1]，则－x ∈[－1,0]，f (－x )＝14－x －a 2－x ＝4x －a ·2x ， 又≧函数f (x )为奇函数，≨f (x )＝－f (－x )，≨f (x )＝a ·2x －4x ，x ∈[0,1]．(2)≧f (x )＝a ·2x －4x ，x ∈[0,1]，令t ＝2x ，t ∈[1,2]． ≨g (t )＝at －t 2＝－(t －a 2)2＋a 24. 当a 2≤1，即a ≤2时，g (t )max ＝g (1)＝a －1； 当1<a 2<2，即2<a <4时，g (t )max ＝g (a 2)＝a 24； 当a 2≥2，即a ≥4时，g (t )max ＝g (2)＝2a －4.综上所述，当a ≤2时，f (x )最大值为a －1，当2<a <4时，f (x )最大值为a 24， 当a ≥4时，f (x )最大值为2a －4.21．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝log 12(x 2－mx －m .) (1)若m ＝1，求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的值域为R ，求实数m 的取值范围；(3)若函数f (x )在区间(－≦，1－3)上是增函数，求实数m 的取值范围．[解析] (1)m ＝1时，f (x )＝log 12(x 2－x －1)， 由x 2－x －1>0可得：x >1＋52或x <1－52， ≨函数f (x )的定义域为(1＋52，＋≦)∪(－≦，1－52)． (2)由于函数f (x )的值域为R ，所以z (x )＝x 2－mx －m 能取遍所有的正数从而Δ＝m 2＋4m ≥0，解得：m ≥0或m ≤－4.即所求实数m 的取值范围为m ≥0或m ≤－4.(3)由题意可知： ⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≥1－31－32－m 1－3m >0⇒2－23≤m <2. 即所求实数m 的取值范围为[2－23，2)．。