四川省绵阳市2015届高三“一诊”模拟考试数学理
四川省绵阳市高中2015届高三第一次诊断性考试数学理试题 扫描版
绵阳市高2015级第一次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．DBDAC BACDAax+对x∈R恒成立，显然a≥0，b≤1+x e-ax．10题提示：由1+x e≥b若a=0，则ab=0．若a >0，则ab ≤a 1+x e -a 2x ．设函数=)(x f x a ae x 21-+，求导求出f (x )的最小值为a a a a f ln 2)1(ln 22-=-．设)0(ln 2)(22>-=a a a a a g ，求导可以求出g(a )的最大值为32321)(e e g =， 即ab 的最大值是321e ，此时232321e b e a ==，．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．53-12．-1 13．40 14．3021 15．①③④15题提示：①容易证明正确．②不正确．反例：x x f =)(在区间[0，6]上．③正确．由定义：21020m m mx x --=--得1)1(10020+=⇒-=-x m m x x ， 又0x )11(，-∈所以实数m 的取值范围是)20(，∈m ．④正确．理由如下：由题知ab ab x --=ln ln ln 0．要证明abx 1ln 0<，即证明： b a a b ab a b a b ab a b a b -=-<⇔<--ln 1ln ln ，令1>=t ab ，原式等价于01ln 21ln 2<+-⇔-<t t t t t t ．令)1(1ln 2)(>+-=t t t t t h ，则0)1(12112)(22222<--=-+-=--='tt t t t t t t h ， 所以0)1(1ln 2)(=<+-=h tt t t h 得证．三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解：(Ⅰ)=)(x f 2m·n -11cos 2cos sin 22-+⋅=x x x ωωω=)42sin(22cos 2sin πωωω+=+x x x ． ……………………………6分由题意知：π=T ，即πωπ=22，解得1=ω．…………………………………7分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知)42sin(2)(π+=x x f ，∵6π≤x ≤4π，得127π≤42π+x ≤43π， 又函数y =sin x 在[127π，43π]上是减函数，∴ )34sin(2127sin 2)(max πππ+==x f …………………………………10分3sin 4cos 23cos 4sin 2ππππ+==213+．…………………………………………………………12分17．解：(Ⅰ) 由题知⎩⎨⎧≥->-，，0102t t 解得21<≤t ，即)21[，=D ．……………………3分(Ⅱ) g (x )=x 2+2mx -m 2=222)(m m x -+，此二次函数对称轴为m x -=．……4分 ① 若m -≥2，即m ≤-2时， g (x )在)21[，上单调递减，不存在最小值；②若21<-<m ，即12-<<-m 时， g (x )在)1[m -，上单调递减，]2(，m -上递增，此时22)()(2min ≠-=-=m m g x g ，此时m 值不存在；③m -≤1即m ≥-1时， g (x )在)21[，上单调递增，此时221)1()(2min =-+==m m g x g ，解得m =1． …………………………11分 综上：1=m ． …………………………………………………………………12分 18．解：(Ⅰ) 51cos 5=∠=ABC AB ，，2BC =， 由余弦定理：ABC BC BA BC BA AC ∠⋅⋅-+=cos 2222=52+22-2×5×2×51=25，∴ 5=AC ． ……………………………………………………………………3分又(0,)π∠∈ABC ，所以562cos 1sin 2=∠-=∠ABC ABC ， 由正弦定理：ABC ACACB AB ∠=∠sin sin ，得562sin sin =∠⨯=∠AC ABC AB ACB ．………………………………………6分 (Ⅱ) 以BC BA ，为邻边作如图所示的平行四边形ABCE ，如图， 则51cos cos -=∠-=∠ABC BCE ，BE =2BD =7，CE =AB =5，在△BCE 中，由余弦定理：BCE CE CB CE CB BE ∠⋅⋅-+=cos 2222．即)51(5225492-⨯⨯⨯-+=CB CB ，解得：4=CB ． ………………………………………………………………10分 在△ABC 中，335145245cos 222222=⨯⨯⨯-+=∠⋅⋅-+=ABC BC BA BC BA AC ， 即33=AC ．…………………………………………………………………12分 19．解：(Ⅰ) 由832539a a a S ⋅==，，得：⎪⎩⎪⎨⎧+⋅+=+=⨯+，，)7()2()4(9223311211d a d a d a d a 解得：121==d a ，．∴ 1+=n a n ，n n n n S n 2322)12(2+=++=． …………………………………5分(Ⅱ) 由题知=n c )12(2λ-+n n ． 若使}{n c 为单调递减数列，则B CDA E=-+n n c c 1)22(21λ-++n n -)12(2λ-+n n =0)1224(2<-+-+λn n n 对一切n ∈N *恒成立， …………………8分即： max )1224(01224+-+>⇔<-+-+n n n n λλ，又1224+-+n n =322232)1)(2(22++=++=++nn n n n n n n ，……………………10分 当1=n 或2时， max )1224(+-+n n =31． ∴31>λ．………………………………………………………………………12分20．(Ⅰ)证明： 由1)(--=ax e x f x ，得a e x f x -=')(．…………………………1分由)(x f '>0，即a e x ->0，解得x >ln a ，同理由)(x f '<0解得x <ln a ， ∴ )(x f 在(-∞，ln a )上是减函数，在(ln a ，+∞)上是增函数， 于是)(x f 在a x ln =取得最小值．又∵ 函数)(x f 恰有一个零点，则0)(ln )(min ==a f x f ， ………………… 4分 即01ln ln =--a a e a ．………………………………………………………… 5分 化简得：1ln 1ln 01ln -=-==--a a a a a a a a a 于是，即，，∴ 1-=a a e a ． ………………………………………………………………… 6分 (Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，)(x f 在a x ln =取得最小值)(ln a f ，由题意得)(ln a f ≥0，即1ln --a a a ≥0，……………………………………8分 令1ln )(--=a a a a h ，则a a h ln )(-='， 由0)(>'a h 可得0<a <1，由0)(<'a h 可得a >1．∴ )(a h 在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，即0)1()(max ==h a h ， ∴ 当0<a <1或a >1时，h (a )<0，∴ 要使得)(x f ≥0对任意x ∈R 恒成立，.1=a∴a 的取值集合为{1} ……………………………13分2015高考英语签约提分，保证最低涨10-40分，不达目标全额退费，详情QQ2835745855,其它各科试题及答案登陆QQ757722345或关注微信公众号qisuen21．解：(Ⅰ)由x e n x m x f +=ln )(得xxe xmx nx m x f ln )(--='(0>x )．由已知得0)1(=-='e nm f ，解得m =n ． 又ee nf 2)1(==，即n =2，∴ m =n =2．……………………………………………………………………3分(Ⅱ) 由 (Ⅰ)得)ln 1(2)(x x x xex f x --='，令=)(x p x x x ln 1--，)0(∞+∈，x ，当x ∈(0，1)时，0)(>x p ；当x ∈(1，+∞)时，0)(<x p ，又0>x e ，所以当x ∈(0，1)时，0)(>'x f ； 当x ∈(1，+∞)时，0)(<'x f ， ∴ )(x f 的单调增区间是(0，1)，)(x f 的单调减区间是(1，+∞)．……8分(Ⅲ) 证明：由已知有)ln 1()1ln()(x x x xx x g --+=，)0(∞+∈，x ， 于是对任意0>x ，21)(-+<e x g 等价于)1()1ln(ln 12-++<--e x xx x x ，由(Ⅱ)知=)(x p x x x ln 1--，)0(∞+∈，x ，∴ )ln (ln 2ln )(2---=--='e x x x p ，)0(∞+∈，x ． 易得当)0(2-∈e x ，时，0)(>'x p ，即)(x p 单调递增；当)(2∞+∈-，e x 时，0)(<'x p ，即)(x p 单调递减． 所以)(x p 的最大值为221)(--+=e e p ，故x x x ln 1--≤21-+e ．设)1ln()(x x x q +-=，则01)(>+='x xx q ， 因此，当)0(∞+∈，x 时，)(x q 单调递增，0)0()(=>q x q ．故当)0(∞+∈，x 时，0)1ln()(>+-=x x x q ，即1)1ln(>+x x．∴ x x x ln 1--≤21-+e <)1()1ln(2-++e x x．∴ 对任意0>x ，21)(-+<e x g ． ……………………………………………14分。
四川省绵阳市南山实验高中高考数学一诊试卷理(含解析)
四川省绵阳市南山实验高中2015届高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）集合M={﹣2，0，1，2}，N={x||2x﹣1|＞1}，则M∩N=（）A．{﹣2，1，2} B．{0，2} C．{﹣2，2} D．2．（5分）已知=（2，1），=（x，3），且∥，则x的值为（）A．2 B．1 C．3 D．63．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}中，成等差数列，则=（）A．﹣1或3 B．3 C．27 D．1或274．（5分）下列说法错误的是（）A．若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1=0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≠0B．“sinθ=”是“θ=30°”的充分不必要条件C．命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”D．已知p：∃x∈R，cosx=1，q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则“p∧￢q”为假命题5．（5分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位6．（5分）设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f=e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）的值等于（）A．1 B．e+l C．3 D．e+37．（5分）若实数x，y满足约束条件，则函数z=|x+y+1|的最小值是（）A．0 B．4 C．D．8．（5分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2014）B．（1，2015）C．（2，2015）D．9．（5分）已知定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x+4），且函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，如果x1＜2＜x2，且x1+x2＜4，则f（x1）+f（x2）的值（）A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能为0 D．可正可负10．（5分）设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有f′（x）＞f（x）成立，则（）A．3f（ln2）＞2f（ln3）B．3f（ln2）=2f（ln3）C．3f（ln2）＜2f（ln3）D．3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．（5分）幂函数y=（m2﹣3m+3）x m过点（2，4），则m=．12．（5分）计算log36﹣log32+4﹣3的结果为．13．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若•=1，则λ的值为．14．（5分）已知x，y∈R+，x2+=1，则x的最大值为．15．（5分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2）是函数f（x）=x3﹣|x|图象上的两个不同点，且在A，B两点处的切线互相平行，则的取值范围为．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤共75分）16．（12分）已知函数f（x）=2cos（x+）．（1）求f（x）的值域和最小正周期；（2）若对任意x∈，使得m+2=0恒成立，求实数m的取值范围．17．（12分）设公差不为0的等差数列{a n}的首项为1，且a2，a5，a14构成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．18．（12分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．19．（12分）已知二次函数f（x）=Ax2+Bx（A≠0），f（1）=3，其图象关于x=﹣1对称，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*均在y=f（x）图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式，并求S n的最小值；（Ⅱ）数列{b n}，，{b n}的前n项和为 T n，求证：﹣＜T n＜﹣．20．（13分）设函数f（x）=x2+ax﹣lnx （a∈R）（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性．（Ⅲ）若对任意a∈（2，3）及任意x1，x2∈，恒有ma+ln2＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．21．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．（1）若曲线y=f（x）过点P（1，﹣1），求曲线y=f（x）在点P处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间上的最大值；（3）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＞e2．四川省绵阳市南山实验高中2015届高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）集合M={﹣2，0，1，2}，N={x||2x﹣1|＞1}，则M∩N=（）A．{﹣2，1，2} B．{0，2} C．{﹣2，2} D．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合N，然后求解M∩N．解答：解：因为集合M={﹣2，0，1，2}，N={x||2x﹣1|＞1}={x|x＜0或x＞1}，则M∩N={﹣2，2}．故选C．点评：本题考查集合的求法，交集的运算，注意元素的特征，考查计算能力．2．（5分）已知=（2，1），=（x，3），且∥，则x的值为（）A．2 B．1 C．3 D．6考点：平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：根据“两个向量平行，坐标交叉相乘差为0”的原则，我们可以构造一个关于x的方程，解方程即可得到答案．解答：解：∵平面向量=（2，1），=（x，3），又∵向量∥，∴x﹣2×3=0解得x=6故选：D．点评：本题考查的知识点是平行向量与共线向量，其中根据两个向量平行，坐标交叉相乘差为0，构造一个关于x的方程，是解答本题的关键．3．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}中，成等差数列，则=（）A．﹣1或3 B．3 C．27 D．1或27考点：等比数列的通项公式；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：已知各项均为正数的等比数列{a n}，设出首项为a1，公比为q，根据成等差数列，可以求出公比q，再代入所求式子进行计算；解答：解：∵各项均为正数的等比数列{a n}中，公比为q，∵成等差数列，∴a3=3a1+2a2，可得a1q2=33a1+2a1q2，解得q=﹣1或3，∵正数的等比数列q=﹣1舍去，故q=3，∴====27，故选C；点评：此题主要考查等差数列和等比数列的性质，是一道基础题，计算量有些大，注意q=﹣1要舍去否则会有两个值；4．（5分）下列说法错误的是（）A．若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1=0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≠0B．“sinθ=”是“θ=30°”的充分不必要条件C．命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”D．已知p：∃x∈R，cosx=1，q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则“p∧￢q”为假命题考点：特称命题；命题的否定．分析：利用特称命题的否定是全称命题判断A的正误；利用充要条件判断B的正误；否命题的真假判断C的正误；复合命题的真假判断D的正误；解答：解：对于A，命题p：∃x∈R，x2﹣x+1=0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≠0，满足特称命题的否定是全称命题，所以A正确．对于B，“sinθ=”则θ不一定是30°，而“θ=30°”则sinθ=，所以是必要不充分条件，B不正确；对于C，“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”判断正确．对于D，p：∃x∈R，cosx=1，q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则“p∧￢q”一假就假，所以为假命题，D正确．错误命题是B．故选B．点评：本题考查命题的真假的判断充要条件的应用，基本知识的考查．5．（5分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．解答：解：∵，只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象．故选A．点评：本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．6．（5分）设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f=e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）的值等于（）A．1 B．e+l C．3 D．e+3考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用换元法将函数转化为f（t）=e+1，根据函数的对应关系求出t的值，即可求出函数f（x）的表达式，即可得到结论．解答：解：设t=f（x）﹣e x，则f（x）=e x+t，则条件等价为f（t）=e+1，令x=t，则f（t）=e t+t=e+1，∵函数f（x）为单调递增函数，∴函数为一对一函数，解得t=1，∴f（x）=e x+1，即f（ln2）=e ln2+1=2+1=3，故选：C．点评：本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．7．（5分）若实数x，y满足约束条件，则函数z=|x+y+1|的最小值是（）A．0 B．4 C．D．考点：简单线性规划的应用；简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线x+y+1=0时，z最小值即可．解答：解：作出可行域如图，由，可得A，由，可得B（0，），由，可得C（0，﹣5）．A、B．C坐标代入z=|x+y+1|，分别为：；，4，又z=|x+y+1|≥0，当x=0，y=﹣1时，z取得最小值0．z=|x+y+1|取可行域内的红线段MN 时x+y+1=0．z都取得最小值0．故选A．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．8．（5分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2014）B．（1，2015）C．（2，2015）D．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意，在坐标系里作出函数f（x）的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），确定a，b，c的大小，即可得出a+b+c的取值范围．解答：解：作出函数的图象如图，直线y=m交函数图象于如图，不妨设a＜b＜c，由正弦曲线的对称性，可得（a，m）与（b，m）关于直线x=对称，因此a+b=1，当直线y=m=1时，由log2014x=1，解得x=2014，即x=2014，∴若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），由a＜b＜c可得1＜c＜2014，因此可得2＜a+b+c＜2015，即a+b+c∈（2，2015）．故选：C．点评：本题以三角函数和对数函数为例，考查了函数的零点与方程根个数讨论等知识点，利用数形结合，观察图象的变化，从而得出变量的取值范围是解决本题的关键．9．（5分）已知定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x+4），且函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，如果x1＜2＜x2，且x1+x2＜4，则f（x1）+f（x2）的值（）A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能为0 D．可正可负考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：首先根据条件f（﹣x）=﹣f（x+4）转化为f（4﹣x）=﹣f（x），再根据函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，将x1转换为4﹣x1，从而4﹣x1，x2都在（2，+∞）的单调区间内，由单调性得到它们的函数值的大小，再由条件即可判断f（x1）+f（x2）的值的符号．解答：解：定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x+4），将x换为﹣x，有f（4﹣x）=﹣f（x），∵x1＜2＜x2，且x1+x2＜4，∴4﹣x1＞x2＞2，∵函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，∴f（4﹣x1）＞f（x2），∵f（4﹣x）=﹣f（x），∴f（4﹣x1）=﹣f（x1），即﹣f（x1）＞f（x2），∴f（x1）+f（x2）＜0，故选：A．点评：本题主要考查函数的单调性及应用，运用条件，正确理解函数单调性的定义，特别是单调区间，是解决此类问题的关键．10．（5分）设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有f′（x）＞f（x）成立，则（）A．3f（ln2）＞2f（ln3）B．3f（ln2）=2f（ln3）C．3f（ln2）＜2f（ln3）D．3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．专题：综合题；导数的综合应用．分析：构造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，由单调性可得g（ln2）与g（ln3）的大小关系，整理即可得到答案．解答：解：令g（x）=，则=，因为对任意x∈R都有f'（x）＞f（x），所以g′（x）＞0，即g（x）在R上单调递增，又ln2＜ln3，所以g（ln2）＜g（ln3），即，所以，即3f（ln2）＜2f（ln3），故选C．点评：本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．（5分）幂函数y=（m2﹣3m+3）x m过点（2，4），则m=2．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：由题意得，由此能求出m=2．解答：解：∵幂函数y=（m2﹣3m+3）x m过点（2，4），∴，解得m=2．故答案为：2．点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数的性质的合理运用．12．（5分）计算log36﹣log32+4﹣3的结果为﹣1．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用对数的运算法则以及指数的运算法则求法即可．解答：解：log36﹣log32+4﹣3=log3+2﹣4=1+2﹣4=﹣1．故答案为：﹣1点评：本题考查指数与对数的运算法则的应用，基本知识的考查．13．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若•=1，则λ的值为2．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．解答：解：∵BC=3BE，DC=λDF，∴=，=，=+=+=+，=+=+=+，∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，∴||=||=2，•=2×2×cos120°=﹣2，∵•=1，∴（+）•（+）=++（1+）•=1，即×4+×4﹣2（1+）=1，整理得，解得λ=2，故答案为：2．点评：本题主要考查向量的基本定理的应用，以及数量积的计算，要求熟练掌握相应的计算公式．14．（5分）已知x，y∈R+，x2+=1，则x的最大值为．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：根据椭圆的方程可设 x=cosθ、y=2sinθ，代入式子x化简后，根据基本不等式和平方关系求出式子的最大值．解答：解：由题意得，x，y∈R+，x2+=1，则设x=cosθ＞0，y=sinθ＞0，所以x===≤×==，当且仅当2cos2θ=1+2sin2θ时取等号，此时sinθ=，所以x的最大值为：，故答案为：．点评：本题考查椭圆的参数方程，以及基本不等式求最值问题，关键是变形后利用平方关系得到和为定值．15．（5分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2）是函数f（x）=x3﹣|x|图象上的两个不同点，且在A，B两点处的切线互相平行，则的取值范围为（﹣1，0）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：创新题型．分析：首先把含有绝对值的函数写成分段函数的形式，然后求导，通过在A，B两点处的切线互相平行，即在A，B两点处的导数值相等，分析出A点在y轴的右侧，B点在y轴的左侧．根据A，B两点处的导数相等，得到x1与x2的关系式，根据关系式得出它表示的曲线，然后利用式子的几何意义求解．解答：解：由题意，f（x）=x3﹣|x|=，当x≥0时，f′（x）=3x2﹣1，当x＜0时，f′（x）=3x2+1，因为在A，B两点处的切线互相平行，且x1＞x2，所以x1＞0，x2＜0 （否则根据导数相等得出A、B两点重合），所以在点A（x1，y1）处切线的斜率为f′（x1）=3﹣1，在点B（x2，y2）处切线的斜率为f′（x2）=3+1所以3﹣1=3+1，即，（x1＞x2，x2＜0）表示的曲线为双曲线在第四象限的部分，如图：表示这个曲线上的点与原点连线的斜率，由图可知取值范围是（﹣1，0），故答案为：（﹣1，0）．点评：本题考查了导数在研究切线方面的应用，同时考查了数形结合的思想，综合性较强，难度较大．本题的关键是把问题转化成图形的几何意义求解．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤共75分）16．（12分）已知函数f（x）=2cos（x+）．（1）求f（x）的值域和最小正周期；（2）若对任意x∈，使得m+2=0恒成立，求实数m的取值范围．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据二倍角公式和和差角公式（辅助角公式），化简函数解析式为正弦型函数的形式，进而结合ω=2，可得f（x）的最小正周期；由A，B的值，可得f（x）的值域；（2）若对任意x∈，使得m+2=0恒成立，f（x）+=，进而可得实数m的取值范围．解答：解：（1）∵f（x）=2cos（x+）sin（x+）﹣2cos2（x+）=sin（2x+）﹣cos（2x+）﹣=2sin（2x+﹣）﹣=2sin（2x+）﹣∵A=2，B=﹣，故f（x）的值域为，∵ω=2，故f（x）的最小正周期为π；（2）当x∈时，2x+∈，故sin（2x+）∈，此时f（x）+=2sin（2x+）∈，由m+2=0恒成立得：m≠0，∴f（x）+=﹣，即﹣∈，解得：m∈，故实数m的取值范围为：点评：本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换，三角函数的周期性及单调性，熟练掌握三角函数的图象和性质是解答的关键．17．（12分）设公差不为0的等差数列{a n}的首项为1，且a2，a5，a14构成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差数列与等比数列的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由a2，a5，a14构成等比数列得关于d 的方程，解出d后利用等差数列的通项公式可得a n；（Ⅱ）由条件可知，n≥2时，=1﹣﹣（1﹣）=，再由（Ⅰ）可求得b n，注意验证n=1的情形，利用错位相减法可求得T n；解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），∵a2，a5，a14构成等比数列，∴=a2a14，即（1+4d）2=（1+d）（1+13d），解得d=0（舍去），或d=2．∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（Ⅱ）由已知，，n∈N*，当n=1时，=；当n≥2时，=1﹣﹣（1﹣）=．∴=，n∈N*．由（Ⅰ），知a n=2n﹣1，n∈N*，∴b n=，n∈N*．又T n=+++…+，则T n=++…++．两式相减，得T n=+（++…+）﹣=﹣﹣，∴T n=3﹣．点评：本题考查等差数列等比数列的综合应用、错位相减法对数列求和，属中档题．18．（12分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π求得ω=2．再根据图象关于直线x=对称，结合﹣≤φ＜可得φ的值．（Ⅱ）由条件求得sin（α﹣）=．再根据α﹣的范围求得cos（α﹣）的值，再根据cos（α+）=sinα=sin，利用两角和的正弦公式计算求得结果．解答：解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2．再根据图象关于直线x=对称，可得2×+φ=kπ+，k∈z．结合﹣≤φ＜可得φ=﹣．（Ⅱ）∵f（）=（＜α＜），∴sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=．再根据 0＜α﹣＜，∴cos（α﹣）==，∴cos（α+）=sinα=sin=sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin=+=．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题．19．（12分）已知二次函数f（x）=Ax2+Bx（A≠0），f（1）=3，其图象关于x=﹣1对称，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*均在y=f（x）图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式，并求S n的最小值；（Ⅱ）数列{b n}，，{b n}的前n项和为 T n，求证：﹣＜T n＜﹣．考点：数列与不等式的综合；数列的函数特性；数列的求和．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由f（1）=3，二次函数f（x）=Ax2+Bx的对称轴为x=﹣1列式求得A，B的值，则函数解析式可求，结合点（n，S n）在y=f（x）图象上得到数列数列的前n项和，由a n=S n﹣S n﹣1求得数列的通项公式．由函数的单调性求得S n的最小值；（Ⅱ）利用裂项相消法求出数列{b n}的前n项和为T n，然后利用放缩法证得数列不等式．解答：（Ⅰ）解：f（1）=A+B=3，，∴A=1，B=2，f（x）=x2+2x，点均在y=f（x）图象上，∴①，（n≥2）②，①﹣②得S n﹣S n﹣1=2n+1，即a n=2n+1 （n≥2），又a1=S1=3，∴a n=2n+1（n∈N*）．由=（n+1）2﹣1，该函数在（Ⅱ）证明：，，==．即证，也就是证，∵，，∴右边成立，又T n随n的增大而增大，，左边成立．∴原不等式成立．点评：本题是数列与不等式的综合题，考查了数列的函数特性，考查了裂项相消法求数列的和，训练了利用放缩法证明数列不等式，是压轴题．20．（13分）设函数f（x）=x2+ax﹣lnx （a∈R）（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性．（Ⅲ）若对任意a∈（2，3）及任意x1，x2∈，恒有ma+ln2＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）确定函数的定义域为（0，+∞），求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f （x）的极值；（Ⅱ）求导函数，并分解，再进行分类讨论，利用f′（x）＜0，确定函数单调减区间；f′（x）＞0，确定函数的单调增区间；（Ⅲ）确定f（x）在上单调递减，可得f（x）的最大值与最小值，进而利用分离参数法，可得，从而可求实数m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）．当a=1时，．令f′（x）=0，得x=1．当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．∴f（x）极小值=f（1）=1，无极大值…（4分）（Ⅱ）===（5分）当，即a=2时，，f（x）在（0，+∞）上是减函数；当，即a＞2时，令f′（x）＜0，得或x＞1；令f′（x）＞0，得．当，即1＜a＜2时，令f′（x）＜0，得0＜x＜1或；令f′（x）＞0，得．（7分）综上，当a=2时，f（x）在定义域上是减函数；当a＞2时，f（x）在和（1，+∞）单调递减，在上单调递增；当1＜a＜2时，f（x）在（0，1）和单调递减，在上单调递增（8分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a∈（2，3）时，f（x）在上单调递减，∴当x=1时，f（x）有最大值，当x=2时，f（x）有最小值．∴∴ma+ln2＞（10分）而a＞0经整理得由2＜a＜3得，所以m≥0．（12分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查恒成立问题，解题的关键是确定函数的最值，利用分离参数法求参数的范围．21．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．（1）若曲线y=f（x）过点P（1，﹣1），求曲线y=f（x）在点P处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间上的最大值；（3）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＞e2．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）中求出斜率，代入切线方程即可；（2）中需要讨论m的范围，m的取值范围不一样，求出的最值不同；（3）中将所证的结论转化为求新函数的单调区间问题得以解决．解答：解：（1）因为点P（1，﹣1）在曲线y=f（x）上，所以﹣m=﹣1，解得m=1．因为f′（x）=﹣1=0，所以切线的斜率为0，所以切线方程为y=﹣1．（2）因为f′（x）=﹣m=．①当m≤0时，x∈（1，e），f′（x）＞0，所以函数f （x）在（1，e）上单调递增，则f （x）max=f （e）=1﹣me．②当≥e，即0＜m≤时，x∈（1，e），f′（x）＞0，所以函数f （x）在（1，e）上单调递增，则f （x）max=f （e）=1﹣me．③当1＜＜e，即＜m＜1时，函数f （x）在（1，）上单调递增，在（，e）上单调递减，则f （x）max=f （）=﹣lnm﹣1．④当≤1，即m≥1时，x∈（1，e），f′（x）＜0，函数f （x）在（1，e）上单调递减，则f （x）max=f （1）=﹣m．综上，①当m≤时，f （x）max=1﹣me；②当＜m＜1时，f （x）max=﹣lnm﹣1；③当m≥1时，f （x）max=﹣m．（3）不妨设x1＞x2＞0．因为f （x1）=f （x2）=0，所以lnx1﹣mx1=0，lnx2﹣mx2=0，可得lnx1+lnx2=m（x1+x2），lnx1﹣lnx2=m（x1﹣x2）．要证明x1x2＞e2，即证明lnx1+lnx2＞2，也就是m（x1+x2）＞2．因为m=，所以即证明＞，即ln＞．令=t，则t＞1，于是lnt＞．令ϕ（t）=lnt﹣（t＞1），则ϕ′（t）=﹣=＞0．故函数ϕ（t）在（1，+∞）上是增函数，所以ϕ（t）＞ϕ（1）=0，即lnt＞成立．所以原不等式成立．点评：本题是关于导数的综合应用，利用导数求斜率，求函数的单调区间以及区间上的最值是最主要的题型之一．。
2015年绵阳一诊数学试卷(文科、理科+答案)
数学(文史类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．CBCBD BACCC二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．[)∞+，10 12．3 13．a ≥2 14．7 15．②③三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解 ：（1）∵ m ⊥n ，∴ m ·n =(cos α，1-sin α)·(-cos α，sin α)=0，即-cos 2α+sin α-sin 2α=0． ……………………………………………………3分由sin 2α+cos 2α=1，解得sin α=1，∴ 22ππα+=k ，k ∈Z .…………………………………………………………6分（2） ∵ m -n =(2cos α，1-2sin α)，∴ |m -n |=22)sin 21()cos 2(αα-+αααsin 41)sin (cos 422-++=αsin 45-=， ………………………………………………………9分∴ 5-4sin α=3，即得21sin =α， ∴ 21sin 212cos 2=-=αα． ……………………………………………………12分 17．解：（1）由已知a n +1=2a n +1，可得a n +1+1=2(a n +1)．∴ 2111=+++n n a a （常数）．………………………………………………………3分 此时，数列}1{+n a 是以211=+a 为首项，2为公比的等比数列，∴ n n n a 22211=⋅=+-，于是a n =2n -1． ………………………………………6分（2）∵n n n b 2=.…………………………………………………………………7分 ∴ n n n S 2232221321++++= ， 两边同乘以21，得,2232221211432+++++=n n n S 两式相减得 12221212121+-+++=n n n n S 12211)211(21+---=n n n 12211+--=n n n ， ∴n n n n S 22121--=-．…………………………………………………………12分 18．解：（1）设第n 年的受捐贫困生的人数为a n ，捐资总额为b n ．则a n =80+(n -1)a ，b n =50+(n -1)×10=40+10n . ……………………………2分∴ 当a =10时，a n =10n +70，∴ 8.070101040>++=n n a b n n ， 解得：n >8． ……………………………………………………………………5分即从第9年起每年的受捐大学生人均获得的奖学金才能超过0.8万元． …6分（2）由题意：n n n n a b a b >++11(n >1)， 即 an n na n )1(80104080)1(1040-++>+++，………………………………………………8分 整理得 (5+n )[80+(n -1)a ]-(4+n )(80+na )>0，即400+5na -5a +80n +n 2a -na -320-4na -80n -n 2a >0，化简得80-5a >0，解得a <16，……………………………………………………………………11分∴ 要使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过15人．……………………………………………12分19．解：（1）在Rt △ABC 中，AC =AB cos60º=3216=⨯，231==AB AD . ∵ AD CA CD +=，∴ CA AD CA CA AD CA CA CD ⋅+=⋅+=⋅2)( ><⋅⋅+=CA AD CA AD CA ，cos ||||||2=9+2×3×cos120º=6. …………………………………………………………………4分（2）在△ACD 中，∠ADC =180º-∠A -∠DCA=120º-θ， 由正弦定理可得ADC AC A CD ∠=sin sin ，即)120sin(233)120sin(233θθ-︒=-︒⨯=CD . ………………………………………5分 在△AEC 中，∠ACE =θ+30º，∠AEC =180º-60º-(θ+30º)=90º-θ， 由正弦定理可得：AEC AC A CE ∠=sin sin ，即θθcos 233)90sin(233=-︒⨯=CE ， ……6分 ∴ θθcos 233)120sin(2334130sin 21⋅-︒⋅=︒⋅⋅=∆CE CD S DCE θθc o s )120sin(11627⋅-︒⋅=，………………………7分令f (θ)=sin(120º-θ)cos θ，0º≤θ≤60º，∵ f (θ)=(sin120ºcos θ-cos120ºsin θ)cos θθθθcos sin 21cos 232+= θθ2sin 212122cos 123+++⨯= )2sin 212cos 23(2143θθ++= )602sin(2143︒++=θ，………………………………………………10分 由0º≤θ≤60º，知60º≤2θ+60º≤180º，∴ 0≤sin(2θ+60º)≤1，∴ 43≤f (θ)≤2143+，∴ )32(4-≤)(1θf ≤334， ∴ DCE S ∆≥)32(427-， 即DCE S ∆的最小值为)32(427-．……………………………………………12分 20．解：（1）c bx ax x f ++='23)(，由题意得3ax 2+bx +c ≥0的解集为{x |-2≤x ≤1}， ∴ a <0，且方程3ax 2+bx +c =0的两根为-2，1． 于是13-=-ab，23-=a c ， 得b =3a ，c =-6a ．………………………………………………………………2分 ∵ 3ax 2+bx +c <0的解集为{x |x <-2或x >1}，∴ f (x )在(-∞，-2)上是减函数，在[-2，1]上是增函数，在(1，+∞)上是减函数． ∴ 当x =-2时f (x )取极小值，即-8a +2b -2c -1=-11， 把b =3a ，c =-6a ，代入得-8a +6a +12a -1=-11，解得a =-1． ……………………………………………………………………5分 （2）由方程f (x )-ma +1=0，可整理得0112123=+--++ma cx bx ax ， 即ma ax ax ax =-+62323． ∴ x x x m 62323-+=．…………………………………………………………7分 令x x x x g 623)(23-+=，∴ )1)(2(3633)(2-+=-+='x x x x x g ． 列表如下：x(-∞，-2)-2 (-2，1) 1 (1，+∞))(x g '+ 0 - 0 + g (x )↗极大值↘极小值↗∴ g (x )在[-3，-2]是增函数，在[-2，0]上是减函数．……………………11分 又∵29)3(=-g ，g (-2)=10，g (0)=0， 由题意知直线y =m 与曲线x x x x g 623)(23-+=有两个交点， 于是29<m <10.…………………………………………………………………13分 21．解：（1）∵ a xx f -='1)(，x >0， ∴ 当a <0时，0)(>'x f ，即f (x )在(0，+∞)上是增函数．当a >0时， x ∈(0，a 1)时0)(>'x f ，f (x )在(0，a 1)上是增函数；x ∈(a 1，+∞) 时0)(<'x f ，f (x )在(a1，+∞)上是减函数．∴ 综上所述，当a <0时f (x )的单调递增区间为(0，+∞)；当a >0时，f (x )的单调递增区间为(0，a1)，f (x )的单调递减区间为(a1，+∞)．…………5分 （2）当a=1时，()ln 1f x x x =-+，∴ 1ln ln ln ln 12121211221212---=-+--=--=x x x x x x x x x x x x y y k ，∴ 1212ln ln 1x x x x k --=+.要证2111x k x <+<，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-， 因210x x ->，即证21221211ln x x x x x x x x --<<， 令21x t x =(1t >)，即证11ln 1t t t-<<-(1t >). 令()ln 1k t t t =-+(1t >)，由(1)知，()k t 在(1，+∞)上单调递减， ∴ ()()10k t k <=即ln 10t t -+<， ∴ ln 1t t <-．①令1()ln 1h t t t=+-(1t >)，则22111()t h t t t t-'=-=>0， ∴()h t 在(1，+∞)上单调递增，∴()(1)h t h >=0，即1ln 1t t>-(1t >)．② 综①②得11ln 1t t t -<<-(1t >)，即2111x k x <+<．……………………9分 （3）由已知)21(2)(xk ax x f ->-+即为)2()1(ln ->-x k x x ，x >1， 即02)1(ln >+--k kx x x ，x >1．令k kx x x x g 2)1(ln )(+--=，x >1，则k x x g -='ln )(． 当k ≤0时，0)(>'x g ，故)(x g 在(1，+∞)上是增函数， 由 g (1)=-1-k +2k =k -1>0，则k >1，矛盾，舍去．当k >0时，由k x -ln >0解得x >e k ，由k x -ln <0解得1<x <e k ， 故)(x g 在(1，e k )上是减函数，在(e k ，+∞)上是增函数， ∴ )(x g min =g (e k )=2k -e k ．即讨论)(x g min =2k -e k >0(k >0)恒成立，求k 的最小值． 令h (t )=2t -e t ，则t e x h -='2)(， 当t e -2>0，即t <ln2时，h (t )单调递增， 当t e -2<0，即t >ln2时，h (t )单调递减， ∴ t =ln2时，h (t )max =h (ln2)=2ln2-2. ∵ 1<ln2<2， ∴ 0<2ln2-2<2．又∵ h (1)=2-e <0，h (2)=4-e 2<0， ∴ 不存在整数k 使2k -e k >0成立．综上所述，不存在满足条件的整数k ．………………………………………14分绵阳市高2013级第一次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．CDADD BACBC二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(]100，12．3 13．a ≥2 14．2 15．①③三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解 ：（1）∵ m ⊥n ，∴ m ·n =(cos α，1-sin α)·(-cos α，sin α)=0，即-cos 2α+sin α-sin 2α=0． ……………………………………………………3分 由sin 2α+cos 2α=1，解得sin α=1， ∴ 22ππα+=k ，k ∈Z .…………………………………………………………6分（2） ∵ m -n =(2cos α，1-2sin α)， ∴ |m -n |=22)sin 21()cos 2(αα-+αααsin 41)sin (cos 422-++=αsin 45-=， ………………………………………………………9分∴ 5-4sin α=3，即得21sin =α， ∴ 21sin 212cos 2=-=αα．……………………………………………………12分 17．解：（1）由已知a n +1=2a n +λ，可得a n +1+λ=2(a n +λ)．∵ a 1=1，当a 1+λ=0，即λ=-1时，a n +λ=0，此时{a n +λ}不是等比等列． …………3分 当a 1+λ≠0，即λ≠-1时，21=+++λλn n a a （常数）．此时，数列}{λ+n a 是以λλ+=+11a 为首项，2为公比的等比数列，∴ 12)1(-⋅+=+n n a λλ，于是12)1(-⋅+=+n n a λλ． ………………………6分 （2）当λ=1时，a n =2n -1，∴ n n nb 2=. ……………………………………………………………………7分 ∴ n n nS 2232221321++++= ，两边同乘以21，得,2232221211432+++++=n n n S两式相减得 12221212121+-+++=n n n nS12211)211(21+---=n n n 12211+--=n n n， ∴nn n nS 22121--=-．…………………………………………………………12分 18．解：（1）设第n 年的受捐贫困生的人数为a n ，捐资总额为b n ．则a n =80+(n -1)a ，b n =50+(n -1)×10=40+10n . ……………………………2分 ∴ 当a =10时，a n =10n +70， ∴8.070101040>++=n na b n n ， 解得：n >8． ……………………………………………………………………5分 即从第9年起受捐大学生人均获得的奖学金才能超过0.8万元． …………6分 （2）由题意：nnn n a b a b >++11， 即an nna n )1(80104080)1(1040-++>+++，………………………………………………8分整理得 (5+n )[80+(n -1)a ]-(4+n )(80+na )>0， 即400+5na -5a +80n +n 2a -na -320-4na -80n -n 2a >0， 化简得80-5a >0，解得a <16，……………………………………………………………………11分 ∴ 要使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过15人．……………………………………………12分19．解：（1）在Rt △ABC 中，AC =AB cos60º=3216=⨯，231==AB AD .∵ AD CA CD +=，∴ CA AD CA CA AD CA CA CD ⋅+=⋅+=⋅2)(><⋅⋅+=CA AD CA AD CA ，cos ||||||2=9+2×3×cos120º=6.…………………………………………………………………4分（2）在△ACD 中，∠ADC =180º-∠A -∠DCA=120º-θ，由正弦定理可得ADCAC A CD ∠=sin sin ，即)120sin(233)120sin(233θθ-︒=-︒⨯=CD . ………………………………………5分 在△AEC 中，∠ACE =θ+30º，∠AEC =180º-60º-(θ+30º)=90º-θ，由正弦定理可得：AECAC A CE ∠=sin sin ，即θθcos 233)90sin(233=-︒⨯=CE ， …6分 ∴θθcos 233)120sin(2334130sin 21⋅-︒⋅=︒⋅⋅=∆CE CD S DCEθθc o s)120sin(11627⋅-︒⋅=， …………………7分 令f (θ)=sin(120º-θ)cos θ，0º≤θ≤60º， ∵ f (θ)=(sin120ºcos θ-cos120ºsin θ)cos θθθθcos sin 21cos 232+= θθ2sin 212122cos 123+++⨯= )2sin 212cos 23(2143θθ++=)602sin(2143︒++=θ，………………………………………………10分 由0º≤θ≤60º，知60º≤2θ+60º≤180º， ∴ 0≤sin(2θ+60º)≤1， ∴43≤f (θ)≤2143+， ∴ )32(4-≤)(1θf ≤334， ∴)32(427-≤DCE S ∆≤12327．……………………………………………12分 20．解：（1）c bx ax x f ++='23)(，由题意得3ax 2+bx +c ≥0的解集为{x |-2≤x ≤1}， ∴ a <0，且方程3ax 2+bx +c =0的两根为-2，1． 于是13-=-ab，23-=a c ， 得b =3a ，c =-6a . ………………………………………………………………2分 ∵ 3ax 2+bx +c <0的解集为{x |x <-2或x >1}，∴ f (x )在(-∞，-2)上是减函数，在[-2，1]上是增函数，在(1，+∞)上是减函数． ∴ 当x =-2时f (x )取极小值，即-8a +2b -2c -1=-11，把b =3a ，c =-6a 代入得-8a +6a +12a -1=-11，解得a =-1.………………………………………………………………………5分 （2）由方程f (x )-ma +1=0，可整理得0112123=+--++ma cx bx ax ， 即ma ax ax ax =-+62323． ∴ x x x m 62323-+=．…………………………………………………………7分 令x x x x g 623)(23-+=，∴ )1)(2(333)(2-+=-+='x x b x x x g ． 列表如下：x(-∞，-2)-2 (-2，1) 1 (1，+∞))(x g '+ 0 - 0 + g (x )↗极大值↘极小值↗∴ g (x )在[-3，-2]是增函数，在[-2，0]上是减函数．……………………11分 又∵29)3(=-g ，g (-2)=10，g (0)=0， 由题意，知直线y =m 与曲线x x x x g 623)(23-+=仅有一个交点， 于是m =10或0<m <29. ………………………………………………………13分 21．解：（1）1111)(+=-+='x xx x f ， ∴当x ∈(-1，0)时，0)(>'x f ，即f (x )在(-1，0)上是增函数，当x ∈(0，+∞)时，0)(<'x f ，即f (x )在(0，+∞)上是减函数．∴ f (x )的单调递增区间为(-1，0)，单调递减函数区间为(0，+∞)．………3分（2）由f (x -1)+x >k )31(x -变形得)31()1(ln xk x x x ->+--，整理得x ln x +x -kx +3k >0，令g (x )=x ln x +x -kx +3k ，则.2ln )(k x x g -+=' ∵ x >1， ∴ ln x >0若k ≤2时，0)(>'x g 恒成立，即g (x )在(1，+∞)上递增， ∴ 由g (1)>0即1+2k >0解得21->k ， ∴ .221≤<-k 又∵ k ∈Z ， ∴ k 的最大值为2．若k >2时，由ln x +2-k >0解得x >2-k e ，由ln x +2-k <0，解得1<x <2-k e . 即g (x )在(1，2-k e )上单调递减，在(2-k e ，+∞)上单调递增． ∴ g (x )在(1，+∞)上有最小值g (2-k e )=3k -2-k e ， 于是转化为3k -2-k e >0(k >2)恒成立，求k 的最大值． 令h (x )=3x -2-x e ，于是23)(--='x e x h ．∵ 当x >2+ln3时，0)(<'x h ，h (x )单调递减，当x <2+ln3时0)(>'x h ，h (x )单调递增． ∴ h (x )在x =2+ln3处取得最大值． ∵ 1<ln3<2， ∴ 3<2+ln3<4， ∵ 013)1(>-=eh ，h (2+ln3)=3+3ln3>0，h (4)=12-e 2>0，h (5)=15-e 3<0， ∴ k ≤4．∴ k 的最大取值为4．∴ 综上所述，k 的最大值为4.…………………………………………………9分 （3）假设存在这样的x 0满足题意，则 由20)(210x a e x f -<等价于01120020<-++x e x x a （*）． 要找一个x 0>0，使(*)式成立，只需找到当x >0时，函数h (x )=1122-++x ex x a 的最小值h (x )min 满足h (x )min <0即可． ∵ )1()(xe a x x h -='， 令)(x h '=0，得e x =a1，则x =-ln a ，取x 0=-ln a ， 在0<x <x 0时，)(x h '<0，在x >x 0时，)(x h '>0，∴ h (x )min =h (x 0)=h (-ln a )=1ln )(ln 22-++a a a a a， 下面只需证明：在0<a <1时，1ln )(ln 22-++a a a a a<0成立即可．又令p (a )=1ln )(ln 22-++a a a a a，a ∈(0，1)， 则2)(ln 21)(a a p ='≥0，从而p (a )在a ∈(0，1)时为增函数． ∴ p (a )<p (1)=0，因此x 0=-ln a 符合条件，即存在正数x 0满足条件． …………………………………………………14分。
四川省绵阳南山实验高中2015届高三数学一诊模拟考试题_理
四川省绵阳南山实验高中2015届高三一诊模拟考试数学（文、理）试题第I 卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1.集合{}2,0,1,2M -=，{}211N x x =->,则N M ⋂=( )A.｛-2,1,2｝B.｛0,2｝C.｛-2，2｝D.［-2，2］2.已知a =(2,1), (),3b x =,且 b a//，则x 的值为（ ）A.2B.1C.3D.6 3.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，13213,,22a a a 成等差数列，则1113810a aa a +=+（ ） A.1-或3B.3C.1或27D.274.下列说法错误的是 （ ）A ．若2:,10p x R x x ∃∈-+=，则 2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≠；B ．“1sin 2θ=”是“30θ=”的充分不必要条件；C ．命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ≠，则0ab ≠”；D ．若1cos ,:=∈∃x R x p ，01,:2>+-∈∀x x R x q ，则“q p ⌝∧”为假命题.8.已知函数⎩⎨⎧>≤≤=1,log 10,sin )(2014x x x x x f π若,,a b c 互不相等,且()()()f a f b f c ==,则a b c ++的取值范围是( ).A.(1,2014)B.(1,2015)C.[2,2015]D.(2,2015)9.已知定义为R 的函数()f x 满足()()4f x f x -=-+，且函数()f x 在区间()2,+∞上单调递增.如果122x x <<，且124x x +<，则()()12f x f x +的值（ ）A. 恒小于0B.恒大于0C ．可能为0D ．可正可负10.设函数()f x 的导函数为()'fx ，对任意x R ∈都有()()'f x f x >成立，则（ ）A. 3(ln 2)2(ln3)f f> B. 3(ln 2)2(ln3)f f <C. 3(ln 2)2(ln3)f f =D. 3(ln 2)f 与2(ln 3)f 的大小不确定第Ⅱ卷二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．)11.幂函数2(33)my m m x =-+错误！未找到引用源。
绵阳市高2015级第三次诊断性考试数学试题答案卡和答案(文理科)
数学（文史类）答案第1页（共4页）ABDCC ADABC DB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．1(0)8−， 14．2 15．81256π 16．210三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（Ⅰ）由已知a 1a n =S 1+S n ，可得 当n =1时，a 12=a 1+a 1，可解得a 1=0，或a 1=2， (2)分由{a n }是正项数列，故a 1=2．…………………………………………………3分 当n ≥2时，由已知可得2a n =2+S n ，2a n -1=2+S n -1，两式相减得，2(a n -a n -1)=a n ．化简得a n =2a n -1， (6)分∴ 数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，故a n =2n ．∴ 数列{a n }的通项公式为a n =2n ． …………………………………………8分（Ⅱ）∵ b n =32log 2n a ，代入a n =2n 化简得b n =n -5， ………………………9分 显然{b n }是等差数列，…………………………………………………………10分∴ 其前n 项和T n =292)54(2n n n n −=−+−．…………………………………12分 18．解：（Ⅰ）由题得蜜柚质量在[17502000)，和[20002250)，的比例为2∶3，∴ 应分别在质量为[17502000)，，[20002250)，的蜜柚中各抽取2个和3个． ……………………………………………2分 记抽取质量在[17502000)，的蜜柚为A 1，A 2，质量在[20002250)，的蜜柚为B 1，B 2，B 3，则从这5个蜜柚中随机抽取2个的情况共有以下10种：A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，B 1B 2，B 1B 3，B 2B 3，其中质量均小于2000克的仅有A 1A 2这1种情况，…………………………5分 故所求概率为101．………………………………………………………………6分 （Ⅱ）方案A 好，理由如下：…………………………………………………7分 由频率分布直方图可知，蜜柚质量在)17501500[，的频率为250×0.0004=0.1，数学（文史类）答案第2页（共4页）于是总收益为 (150017502+×500+175020002+×500+200022502+×750+225025002+×2000+250027502+×1000+275030002+×250)×40÷1000 =2502×250×[(6+7)×2+(7+8)×2+(8+9)×3+(9+10)×8+(10+11)×4+(11+12)×1]× 40÷1000=25×50 [26+30+51+152+84+23]=457500（元）． ……………………………………………………………10分 若按B 方案收购：∵ 蜜柚质量低于2250克的个数为 (0.1+0.1+0.3)×5000=1750，蜜柚质量低于2250克的个数为5000-1750=3250，∴ 收益为1750×60+325080=250×20×[7×3+13×4]=365000元．∴ 方案A 的收益比方案B 的收益高，应该选择方案A ．…………………12分19．解：（Ⅰ）证明：连接AC ，与交BD 于点N ，连接MN ． 由ABCD 是菱形，知点N 是AC 的中点．…1分又∵ 点M 是PC 的中点， ∴ MN //PA ， ………………………………3分而MN ⊂面MDB ，PA ⊄面MDB ， ∴ PA //面MDB ． ……………………………5分 （Ⅱ） ∵ PA ⊥面ABCD ， ∴ PA ⊥AB ，PA ⊥AD ．又∵ AB=AD ，∴ Rt △PAD ≌Rt △PAB ，于是PB=PD ．……………………………………7分 由已知PB ⊥PD ，得2PB 2=BD 2． ……………………………………………8分令菱形ABCD 的边长为a ，则由∠BAD =32π，可得BD =a 3， ∴ PB =a 26，PA =a22． (9)分 ∴ V P-ABD=23111332ABD S PA a ∆⋅=× 解得a =2，于是PA =222=a ． ……………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）设F 2(c ，0)，由题意可得12222=+by a c ，即y M =a b 2． ∵ OH 是△F 1F 2M 的中位线，且OH =42， P DM C A B N∴ |MF 2|=22，即a b 2=22，整理得a 2=2b 4．① …………………………2分又由题知，Q 为椭圆C 的上顶点，∴ △F 1F 2Q 的面积=1221=××b c ，整理得bc =1，即b 2(a 2-b 2)=1，② ……3分联立①②可得2b 6-b 4=1，变形得(b 2-1)(2b 4+b 2+1)=0， 解得b 2=1，进而a 2=2，∴ 椭圆C 的方程为1222=+y x ． ……………………………………………5分（Ⅱ）由|OB OA 2+|=|−|可得|2+|=|2−|，两边平方整理得=0OA OB ⋅．……………………………………………………6分直线l 斜率不存在时，A (-1，22)，B (-1，22−)，不满足=0OA OB ⋅ ．…7分直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为1−=my x ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立 =+−= 12122y x my x 消去x ，得(m 2+2)y 2-2my -1=0， ∴ y 1+y 2=222+m m，y 1y 2=212+−m ，（*） (9)分 由=0OA OB ⋅得02121=+y y x x ．将x 1=my 1-1，x 2=my 2-1代入整理得(my 1-1)(my 2-1)+y 1y 2=0， 展开得m 2y 1y 2-m (y 1+y 2)+1+y 1y 2=0，将（*）式代入整理得222102m m −+=+，解得m = ……………………10分 ∴ y 1+y 2=y 1y 2=25−，△ABO 的面积为S =11212OF y y ××−=112××，代入计算得S =即△ABO 的面积为 ……………………………………………………12分21．解：（Ⅰ）当a =1时，2221441()1x x f x x x x−+′=+−=，………………………1分 由题意知x 1、x 2为方程x 2-4x +1=0的两个根， 根据韦达定理得121241x x x x +=⋅=，． 于是x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=14． ……………………………………………4分（Ⅱ）∵ 22244()a ax x af x a x x x −+′=+−=，同（Ⅰ）由韦达定理得121241x x x x a +=⋅=，，于是121x x =． ……………5分∵ 21221121()()4ln 4ln a af x f x ax x ax x x x −=−−−++，∴ 21()()f x f x −22222214ln 4ln a a ax x ax x x x =−−−++ 222228ln aax x x =−−22212()8ln a x x x =−−，…………………………………………7分由121241x x x x a+=⋅=，整理得221222244411x a x x x x x ==+++，代入得 21()()f x f x −22222281()8ln 1x x x x x −−+ 222228(1)8ln 1x x x −−+，………………………9分 令222=(1)t x e ∈， ，于是可得88()4ln 1t h t t t −=−+， 故222221644(21)4(1)()0(1)(1)(1)t t t h t t tt t t t −−+−−′=−==<+++∴ h (t )在2(1)e ，上单调递减，…………………………………………………11分∴ 21216()()(0)1f x f x e −∈−+，． ………………………………………………12分 22．解：（Ⅰ）由题可变形为ρ2+3ρ2cos 2θ=16，∵ ρ2=x 2+y 2，ρcos θ=x ， ∴ x 2+y 2+3x 2=16，∴ 221416x y +=．…………………………………………………………………5分（Ⅱ）由已知有M (2，0)，N (0，4)，设P (2cos α，4sin α)，α∈(0，2π)．于是由OMPN OMP ONPS S S ∆∆=+ 1124sin 42cos 22αα=⋅⋅+⋅⋅ 4sin 4cos αα+)4πα+，由α∈(0，2π)，得4πα+∈(4π，34π)，于是)4πα+≤∴ 四边形OMPN最大值………………………………………………10分 23．解：（Ⅰ）f (x )=|x +a |+|x -3a |≥|(x +a )-(x -3a )|=4|a |，有已知f (x )min =4，知4|a |=4，解得a=±1．……………………………………………………………………5分（Ⅱ）由题知|m2|-4|m|≤4|a|，又a是存在的，∴ |m|2-4|m|≤4|a|ma x=12．即 |m|2-4|m|-12≤0，变形得 (|m|-6)(|m|+2)≤0，∴ |m|≤6，∴-6≤m≤6．…………………………………………………………………10分绵阳市高2015级第三次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．ABBCC ACBDD BA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．16 14．2 15．81256π16．325+三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．解：（Ⅰ）由已知a 1a n =S 1+S n ，可得当n =1时，a 12=a 1+a 1，可解得a 1=0，或a 1=2， (1)分当n ≥2时，由已知可得a 1a n -1=S 1+S n -1，两式相减得a 1(a n -a n -1)=a n ． (3)分若a 1=0，则a n =0，此时数列{a n }的通项公式为a n =0． (4)分若a 1=2，则2(a n -a n -1)=a n ，化简得a n =2a n -1，即此时数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，故a n =2n ．∴ 综上所述，数列{a n }的通项公式为a n =0或a n =2n ． (6)分（Ⅱ）因为a n >0，故a n =2n ．设b n =32log 2n a，则b n =n -5，显然{b n }是等差数列，…………………………8分由n -5≥0解得n ≥5，…………………………………………………………10分∴ 当n =4或n =5时，T n 最小，最小值为T 5=2045）（+−=-10．……………12分 18．解：（Ⅰ）由题得P (270≤X ≤310)=0.25=41，设在未来3年里，河流的污水排放量X ∈)310270[，的年数为Y ，则Y ~B (3，41)．…………………………………………………………………2分 设事件“在未来3年里，至多有一年污水排放量X ∈)310270[，”为事件A ，则P (A )=P (Y =0)+P (Y =1)=322741)43()43(213303=×+C C ． ∴ 在未来3年里，至多1年污水排放量X ∈)310270[，的概率为3227．……5分 （Ⅱ）方案二好，理由如下： ………………………………………………6分 由题得P (230≤X ≤270)=0.74，P (310≤X ≤350)=0.01． …………………7分 用S 1，S 2，S 3分别表示方案一、方案二、方案三的经济损失．S 2的分布列为：S 2 2 62 P 0.99 0.01E (S 2)= 2×0.99+62×0.01=2.6．………………………………………………10分 S 3的分布列为：S 3 0 10 60 P 0.74 0.25 0.01E (S 3)=0×0.74+10×0.25+60×0.01=3.1．∴ 三种方案中方案二的平均损失最小，所以采取方案二最好． ………12分 19．解：（Ⅰ）在菱形ABCD 中，AB //CD ， ∵ CD ⊂面CDPN ，AB ⊄面CDPN ，∴ AB //面CDPN ． ………………………………………………………………3分 又AB ⊂面ABPN ，面ABPN ∩面CDPN =PN ，∴ AB //PN ．………………………………………………………………………6分（Ⅱ）作CD 的中点M ，则由题意知AM ⊥AB ，∵ PA ⊥面ABCD ， ∴ PA ⊥AB ，PA ⊥AM ．如图，以A 点为原点，建立空间直角坐标系A -xy z ，设AB =2，则B (2，0，0)，C (1，3，0)，D (-1，3，0)，N (0，0，2)，∴ =(-3，3，0)，=(1，-3，2)，=(-2，0，0)．…………7分设平面BDN 的一个法向量为n 1=(x 1，y 1，z 1)，则由n 1•=0，n 1•=0，得=+−=+−，，023********z y x y x 令x 1=1，则y 1=3，z 1=1，即n 1=(1，3，1)， …………………………9分 同理，设平面DNC 的一个法向量为n 2=(x 2，y 2，z 2)，由n 2•=0，n 2•=0，得 ==+−，，020232222x z y x令z 2=1，则y 2=23，x 2=0，即n 2=(0，23，1)，…………………………11分 ∴ cos<n 1，n 2>=1212⋅⋅n n n n =735，即二面角B -DN -C 的余弦值为735． ………………………………………12分20．解：（Ⅰ）设F (c ，0)，由题意可得12222=+by a c ，即y M =a b 2． ∵ OH 是△F 1F 2M 的中位线，且OH =42，∴ |MF 2|=22，即a b 2=22，整理得a 2=2b 4．① …………………………2分又由题知，当Q 在椭圆E 的上顶点时，△F 1F 2Q 的面积最大，∴ 1221=××b c ，整理得bc =1，即b 2(a 2-b 2)=1，②…………………………4分联立①②可得2b 6-b 4=1，变形得(b 2-1)(2b 4+b 2+1)=0， 解得b 2=1，进而a 2=2， ∴ 椭圆E 的方程为1222=+y x ． ……………………………………………5分（Ⅱ）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由对称性可知D (x 1，-y 1)，B (x 2，-y 1)． 设直线AC 与x 轴交于点(t ，0)，直线AC 的方程为x =my +t (m ≠0)，联立 =++=，，1222y x t my x 消去x ，得(m 2+2)y 2+2mty +t 2-2=0， ∴ y 1+y 2=222+−m mt，y 1y 2=2222+−m t ，……………………………………………8分由A 、B 、S 三点共线k AS =k BS ，即442211−−=−x y x y ， 将x 1=my 1+t ，x 2=my 2+t 代入整理得y 1(my 2+t -4)+y 2(my 1+t -4)=0， 即2my 1y 2+(t -4)(y 1+y 2)=0，从而02)4(2)2(222=+−−−m t mt t m ，化简得2m (4t -2)=0，解得t =21，于是直线AC 的方程为x =my +21，故直线AC 过定点(21，0)．……………10分同理可得BD 过定点(21，0)，∴ 直线AC 与BD 的交点是定点，定点坐标为(21，0)． …………………12分21．解：（Ⅰ）22244()a ax x af x a x x x −+′=+−=，…………………………………1分 由题意知x 1，x 2即为方程ax 2-4x +a =0的两个根．由韦达定理：121241x x a x x+= ⋅= ，， 整理得221222244411x a x x x x x==+++．……………3分又221y x x =+在(e ，3)上单调递增， ∴ 246()15e a e ∈+，． ……………………………………………………………5分（Ⅱ）21221121()()4ln 4ln a af x f x ax x ax x x x −=−−−++， ∵ 121x x =， ∴ 21()()f x f x −22222214ln 4ln a a ax x ax x x x =−−−++22212()8ln a x x x =−−， 由（Ⅰ）知22241x a x =+， 代入得 21()()f x f x −22222281()8ln 1x x x x x −−+222228(1)8ln 1x x x −−+， ……………………8分 令222=(9)t x e ∈， ，于是可得88()4ln 1t h t t t −=−+， 故222221644(21)4(1)()0(1)(1)(1)t t t h t t t t t t t −−+−−′=−==<+++∴ h (t )在2(9)e ，在单调递减，…………………………………………………11分∴ 2123216()()(8ln 3)51f x f x e −∈−−+，．………………………………………12分 22．解：（Ⅰ）由题可变形为ρ2+3ρ2cos 2θ=16，∵ ρ2=x 2+y 2，ρcos θ=x ， ∴ x 2+y 2+3x 2=16，∴ 221416x y +=．…………………………………………………………………5分 （Ⅱ）由已知有M (2，0)，N (0，4)，设P (2cos α，4sin α)，α∈(0，2π)．于是由OMPNOMP ONP S S S ∆∆=+ 1124sin 42cos 22αα=⋅⋅+⋅⋅ 4sin 4cos αα+)4πα+，由α∈(0，2π)得4πα+∈(4π，34π)，于是)4πα+≤∴ 四边形OMPN最大值10分 23．解：（Ⅰ）f (x )=|x +a |+|x -3a |≥|(x +a )-(x -3a )|=4|a |，有已知f (x )min =4，知4|a |=4，解得 a =±1．……………………………………………………………………5分 （Ⅱ）由题知|m 2|-4|m |≤4|a |， 又a 是存在的，∴ |m |2-4|m |≤4|a |ma x =12．即 |m |2-4|m |-12≤0，变形得 (|m |-6)(|m |+2)≤0， ∴ |m |≤6，∴-6≤m≤6．…………………………………………………………………10分。
2012—2015年绵阳一诊考试(理数)汇编：(选填题)
考点一向量线性运算
（2010级，6）如图，在 中， ， ，若 ，
，则 ( )
A． B．
C． D．
（2012级，4）如图，正六边形 的边长为1，则 ( )
A．
B．
C．3
D．
考点二向量坐标运算
（2011级，3）若向量a=(1，2)，b=(1，-1)，则2a+b与b的夹角为( )
A．0B． C． D．π
A． B． C． D．
考点五函数图象
（2011级，6）已知函数 在 上是奇函数，且是增函数，则函数g(x)=loga(x-k)的大致图象是( )
A．B．C．D．
（2012级，9）已知函数 的图象上关于 轴对称的点至少有3对，则实数 的取值范围是( )
A． B．
C． D．
考点六函数零点
（2010级，5）函数 的零点所在的区间为( )
考点二基本不等式的应用
（2011级，7）若正数a，b满足 ，则 的最小值为( )
A．1B．6C．9D．16
【专题七】数列
（2010级，3）已知数列 为等差数列，且 ，则 的值为( )
A． B． C． D．
（2011级，11）设数列 的前 项和 ，则 __________．
（2011级，3）设各项均不为0的数列 满足 ， 是其前n项和，若 ，则 ( )
A． B．
C． D．
（2012级，2）下列说法中正确的是( )
A．命题“ ， ”的否定是“ ， ≤1”
B．命题“ ， ”的否定是“ ， ≤1”
C．命题“若 ，则 ”的逆否命题是“若 ，则 ”
D．命题“若 ，则 ”的逆否命题是“若 ≥ ，则 ≥ ”
考点三复合命题真假判断
四川省绵阳市高三数学第一次诊断性考试试题 理(含解析)
四川省绵阳市2015届高三第一次诊断性考试数学（理）试题（解析版）【试卷综析】本套试卷能从学科结构上设计试题，已全面覆盖了中学数学教材中的知识模块，同时，试卷突出了学科的主干内容，集合与函数、不等式、数列、概率统计、解析几何、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例，也达到了必要的考查深度．本套试卷没有刻意追求覆盖面，还有调整和扩大的空间，注重了能力的考查，特别是运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出，实践能力和创新意识方面也在努力体现.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）。
第I 卷1至2页，第II 卷2至4页.共4页。
满分150分。
考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 第I 卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．【题文】1.已知集合A ={x ∈Z |x 2-1≤0}，B ={x |x 2-x -2=0}，则A ∩B =(A)(B) {2}(C) {0}(D) {-1}【知识点】集合运算. A1【答案解析】D 解析：因为A={-1，0，1}, B={-1，2}，所以=⋂B A {}1-，故选B. 【思路点拨】化简集合A 、B,从而求得A B ⋂. 【题文】2．下列说法中正确的是(A) 命题“)0(∞+∈∀，x ，12>x ”的否定是“)0(0∞+∉∃，x ，02x ≤1” (B) 命题“)0(∞+∈∀，x ，12>x ”的否定是“)0(0∞+∈∃，x ，02x ≤1” (C) 命题“若b a >，则22b a >”的逆否命题是“若22b a <，则b a <” (D) 命题“若b a >，则22b a >”的逆否命题是“若2a ≥2b ，则a ≥b ” 【知识点】四种命题 A2【答案解析】B 解析：根据命题之间的关系可知命题的否定是只否定结论，但全称量词要变成特称量词，而逆否命题是即否定条件又否定结论，所以分析四个选项可知应该选B. 【思路点拨】根据命题之间的关系可直接判定.【题文】3．设各项均不为0的数列{a n }满足n n a a 21=+(n ≥1)，S n 是其前n 项和，若5422a a a =，则S 4=(A) 42 (B) 28 (C) 233+ (D) 266+【知识点】等比数列. D3【答案解析】D 解析：由)1(21≥=+n a a n n 知数列{}n a 是以2为公比的等比数列，因为5422a a a =，所以34111122a q a q a q a ⋅=⇒=，所以()414161a q S q-==+- D.【思路点拨】由已知条件确定数列{}n a 是等比数列，再根据5422a a a =求得1a ，进而求3a . 【题文】4．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，则DB AD ⋅=(A) -3 (B) 3- (C) 3(D) 3【知识点】向量的数量积. F3【答案解析】A 解析：因为,AD AB BD AB BD =+⊥,所以=⋅()203AB BD DB AB DB BD DB BD+⋅=⋅+⋅=-=-,故选 A.【思路点拨】利用向量加法的三角形法则，将数量积中的向量表示为夹角、模都易求的向量的数量积.【题文】5．已知53)4cos(=-x π，那么sin 2x = (A)2518(B) 2524±(C) 257-(D)257 【知识点】二倍角公式；诱导公式.C2,C6 【答案解析】C 解析：因为53)4cos(=-x π，所以 27cos 22cos 14425x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即7cos 2sin 2225x x π⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，故选C.【思路点拨】利用二倍角公式求得cos 2x π⎛⎫-⎪⎝⎭值，再用诱导公式求得sin2x 值. 【题文】6．已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-，，，0330101y x y x y x 则2x -y 的最大值为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4http//www【知识点】简单的线性规划.E5【答案解析】B 解析：画出可行域如图：平移直线z=2x-y 得 ，当此直线过可行域中的点A （1,0）时 2x-y 有最大值2，故选B. 【思路点拨】设目标函数z=2x-y ，画出可行域平移目标函数得点A （1,0）是使目标函数取得最大值的最优解.【题文】7.已知x ∈[π-，π]，则“x ∈]22[ππ，-”是“sin(sin x )<cos(cos x )成立”的(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分不必要条件(D) 既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 A2【答案解析】C 解析：解：（1）∵x∈[﹣，]，∴sinx+cosx≤，即＜sinx＜﹣cosx，∴sin（sinx ）＜sin （﹣cosx ），即sin （sinx ）＜cos （cosx ）成立，（2）∵sin（sinx ）＜cos （cosx ） ∴sin（sinx ）＜sin （﹣cosx ），sinx ＜﹣cosxsinx+cosx ＜，x ∈[﹣π，π]， ∴x∈[，]，不一定成立，根据充分必要条件的定义可判断：“x∈[﹣，]是“sin（sinx ）＜cos （cosx ）成立”的充分不必要条件，故选：C【思路点拨】利用诱导公式，结合三角函数的单调性判断，命题成立，再运用充分必要条件定义判断【题文】8．)(x f 是定义在非零实数集上的函数，)(x f '为其导函数，且0>x 时，0)()(<-'x f x f x ，记5log )5(log 2.0)2.0(2)2(22222.02.0f c f b f a ===，，，则 (A) c b a <<(B) c a b << (C) b a c <<(D) a b c <<【知识点】函数的单调性.B3【答案解析】C 解析：因为对任意两个不相等的正数21,x x ，都有0)()(212112<--x x x f x x f x ，即对任意两个不相等的正数21,x x ，都有21121212121212()()()()0x f x x f x f x f x x x x x x x x x --=<--，所以函数()()f x h x x=是()+∞,0上的减函数，因为20.220.22log 5<<，所以b>a>c,故选C. 【思路点拨】构造函数()()f x h x x =，根据条件可以判断它是()+∞,0上的减函数，由此可以判断a,b,c 的大小关系.【题文】9．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≠><-=0)10(log 01)2sin()(x a a x x x x f a ，，且，，π的图象上关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是 (A) )330(，(B) )155(， (C) )133(， (D) )550(，【知识点】分段函数的应用 B1【答案解析】D 解析：解：若x ＞0，则﹣x ＜0， ∵x＜0时，f （x ）=sin （）﹣1，∴f（﹣x ）=sin （﹣）﹣1=﹣sin （）﹣1，则若f （x ）=sin （）﹣1，（x ＜0）关于y 轴对称， 则f （﹣x ）=﹣sin （）﹣1=f （x ），即y=﹣sin （）﹣1，x ＞0，设g （x ）=﹣sin （）﹣1，x ＞0作出函数g （x ）的图象，要使y=﹣sin （）﹣1，x ＞0与f （x ）=log a x ，x ＞0的图象至少有3个交点，则0＜a ＜1且满足g （5）＜f （5）， 即﹣2＜log a 5， 即log a 5＞，则5，解得0＜a ＜，故选：A【思路点拨】求出函数f （x ）=sin （）﹣1，（x ＜0）关于y 轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论【题文】10．已知∈b a ，R ，且1+x e ≥b ax +对x ∈R 恒成立，则ab 的最大值是(A) 321e (B)322e (C)323e(D) 3e【知识点】分类讨论 E8【答案解析】A 解析：由1+x e ≥b ax +对x ∈R 恒成立，显然a ≥0，b ≤1+x e -ax ．若a =0，则ab =0．若a >0，则ab ≤a 1+x e -a 2x ．设函数=)(x f x a ae x 21-+，求导求出f (x )的最小值为a a a a f ln 2)1(ln 22-=-．设)0(ln 2)(22>-=a a a a a g ，求导可以求出g(a )的最大值为32321)(e e g =， 即ab 的最大值是321e ，此时232321e b e a ==，．【思路点拨】利用导数证明不等关系第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。
2015届绵阳市高三“一诊”试题及答案
保密 ★ 启用前 【考试时间：2014年11月1日上午9∶00～11∶30】绵阳市高中2012级第一次诊断性考试理科综合·化学理科综合考试时间共150分钟，满分300分。
其中，物理110分，化学100分，生物90分。
化学试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷5至6页，第Ⅱ卷7至8页，共4页。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，将答题卡交回。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16 S 32 Na 23 Cu 64第Ⅰ卷（选择题 共42分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共7题，每题6分。
每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 由塑化剂引起的食品、药品问题受到广泛关注。
下列关于塑化剂DBP （结构如下图）的说法不．正确．．的是 A ．属于芳香族化合物，能溶于水 B ．其核磁共振氢谱共有6种吸收峰 C ．分子中一定有12个原子位于同一平面上 D ．水解得到的酸性产物能与乙二醇发生缩聚反应 2. 下列关于物质分类的说法正确的是A ．油脂、糖类、蛋白质均是天然高分子化合物B ．三氯甲烷、氯乙烯、三溴苯酚均是卤代烃C ．CaCl 2、烧碱、聚苯乙烯均为化合物D ．稀豆浆、硅酸、雾霾均为胶体 3. 下列离子方程式正确的是A ．向Fe(NO 3)3溶液中滴入少量的HI 溶液：2Fe 3＋＋2I －==2Fe 2＋＋I 2B ．向苯酚钠溶液中通入少量CO 2气体：2C 6H 5O －＋CO 2＋H 2O —→2C 6H 5OH↓＋CO 2-3C ．Cu(OH)2沉淀溶于氨水得到深蓝色溶液：Cu(OH)2＋4NH 3== [Cu(NH 3)4]2+＋2OH －D ．澄清石灰水中加入少量NaHCO 3溶液：Ca 2+＋2OH －＋2HCO －3==CaCO 3↓＋CO 2-3 ＋2H 2OOO O O4. 短周期主族元素R 、T 、Q 、W 在元素周期表中的相对位置如右下图所示，T 元素的最高正价与最低负价的代数和为0。
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绵阳南山中学. 南山中学实验学校四川省绵阳市2015届高三“一诊”模拟考试数学理试题本试卷分I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
第I 卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.集合{}2,0,1,2M -=，{}211N x x =->,则N M ⋂=( ) A.｛-2,1,2｝ B.｛0,2｝ C.｛-2，2｝ D.［-2，2］2.已知a =(2,1), (),3b x =,且 b a//，则x 的值为（ ）A.2B.1C.3D.63.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，13213,,22a a a 成等差数列，则1113810a aa a +=+（ ）A.1-或3B.3C.1或27D.27 4.下列说法错误的是 （ ）A ．若2:,10p x R x x ∃∈-+=，则 2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≠；B ．“1sin 2θ=”是“30θ=”的充分不必要条件；C ．命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ≠，则0ab ≠”；D ．若1cos ,:=∈∃x R x p ，01,:2>+-∈∀x x R x q ，则“q p ⌝∧”为假命题.8.已知函数(){2014sin ,01log ,1x x x x f x π≤≤>=若,,a b c 互不相等,且()()()f a f b f c ==,则a b c ++的取值范围是( ).A.(1,2014)B.(1,2015)C.[2,2015]D.(2,2015)9.已知定义为R 的函数()f x 满足()()4f x f x -=-+，且函数()f x 在区间()2,+∞上单调递增.如果122x x <<，且124x x +<，则()()12f x f x +的值（ ） A. 恒小于0B.恒大于0C ．可能为0D ．可正可负10.设函数()f x 的导函数为()'f x ，对任意x R ∈都有()()'f x f x >成立，则（ ）A. 3(ln 2)2(ln3)f f >B. 3(ln 2)2(ln3)f f <C. 3(ln 2)2(ln3)f f =D. 3(ln 2)f 与2(ln 3)f 的大小不确定第Ⅱ卷二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．) 11.幂函数2(33)m y m m x =-+过点()2,4，则m = . 12. 计算31log 4233log 6log 243-+-的结果为 .13已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，点,E F 分别在边,BC DC 上，3BC BE =，DC DF λ=. 若1AE AF ⋅=，则λ的值为.14.已知22,,12y x y R x +∈+=，则12的最大值为. 15.已知()()()112212,,,A x y B x y x x >是函数()3f x x =-,A B 两点三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤共75分） 16. （本小题满分12分）已知函数()2cos sin 333f x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.（Ⅰ）求()f x 的值域和最小正周期；（Ⅱ）若对任意0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()20m f x ⎡+=⎣恒成立，求实数m 的取值范围.17.（本小题满分12分）设公差不为0的等差数列{}n a 的首项为1，且2514,,a a a 构成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足12121 (12)n n n b b b a a a +++=-，*n N ∈，求{}n b 的前n 项和n T18. （本小题满分12分）已知函数())(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-≤<的图像关于直线3x π=对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π. （I ）求ω和ϕ的值；（II ）若()24f α= ,( 263ππα<<)，求3cos()2πα+的值.19. （本小题满分12分）已知二次函数2()(0),(1)3,f x Ax Bx A f =+≠=其图象关于1x =-对称，数列{}n a 的前n 项和为n S ,点()()*,n n S n N ∈均在()y f x =图象上.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式，并求n S 的最小值； （Ⅱ）数列{}n b , 1n nb S =, {}n b 的前n 项和为n T ,求证：11313443n T n n -<<-+.20．（本小题满分13分）设函数x ax x a x f ln 21)(2-+-=（R a ∈）． （Ⅰ）当1=a 时，求函数)(x f 的极值； （Ⅱ）当R a ∈时，讨论函数)(x f 的单调性；（Ⅲ）若对任意(2,3)a ∈及任意1x ，[]2,12∈x ，恒有12ln 2()()ma f x f x +>-成立，求实数m 的取值范围．21.（本小题满分14分） 已知()ln ()f x x mx m R =-∈.（Ⅰ）若曲线()y f x =过点P(1,1)-，求曲线在P 点处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 在区间[]1,e 上的最大值；（Ⅲ）若函数()f x 有两个不同的零点12,x x ，求证212x x e >.绵阳南山中学. 南山中学实验学校绵阳市“一诊”模拟考试试题理科数学参考答案一、CDDBA CADAB 二、填空题11.2 12. -1 13．2 14. 3815.（-1,0）三、解答题16.解： (1)f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－23cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－ 3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－ 3.∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1.∴－2－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3≤2－3，T ＝2π2＝π，即f(x)的值域为[－2－3，2－3]，最小正周期为π. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3， 故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1，此时f(x)＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈[3，2].由m[f(x)＋3]＋2＝0知，m≠0，∴f(x)＋3＝－2m ，即3≤－2m ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋3≤0，2m ＋2≥0，解得－233≤m≤－1.即实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－233，－1.17.解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d,(d 0≠),则2514,,a a a 构成等比数列，∴22145a a a =，即2(14)(1))113)d d d +=++ 解得d=0（舍去）或d=2, ∴n a =1+2(n-1)=2n-1 ……………….3分 （II ）由已知1212...n nb b b a a a +++112n =-（*n N ∈）当n=1时，11b a =12； 当2n ≥时，n nb a =（112n -）11(1)2n ---=12n ，∴n nb a ==12n ，（*n N ∈） 由（I ），n a =2n-1（*n N ∈），∴212n nn b -=（*n N ∈）…………7分 12313521 (2222)n n n T -=++++ 2341113521 (22222)n n n T +-=++++ 两式相减得234111222221(...)2222222n n n n T +-=+++++-， =113121222n n n -+---， ∴n T =2332n n +- …………….12分 18.解：（I ）6π-φ2ω,.6π-φ)6π-2sin(3)12π-(2sin 3f(x)∴2πφ≤2π-0)12π()4-3π(∴3π2ω⇒|ω|π2∴π=====<======，所以，，且为对称轴由题可知，周期x x f T f x T T ………………………….5分（II ）8153)23παcos(,.8153214152341)23παcos(∴.415)6π-αcos(2π6π-α0∴32πα6π21)6π-αcos(23)6π-αsin(]6π)6π-αsin[(αsin )23παcos(41)6π-αsin(43)6π-αsin(3∴43)2α(+=++=•+•=+=<<<<•+•=+==+===所以，，即 f……………………12分 19.解：（1）(1)3,12Bf A B A=+=-=-, ∴21,2,,()2A B f x x x ===+ ……………..1分点()()*,n n S n N ∈均在y=f(x)图象上，∴22n S n n =+①………………..2分21(1)2(1)n S n n -=-+-（2n ≥）②①-②得121n n S S n --=+，即n a =2n+1 （2n ≥）……………………….4分， 又113a s == ……………5分∴n a =2n+1（*n N ∈） ………………6分 （2）211111()(2)222n b n n n n n n===-+++ ………………….7分111111[(1)()...()23242n T n n =-+-++-+] =1111[(1)]2212n n +--++=3111()4212n n -+++ ………9分 即证313111()434212n n n ->-++++ 即证211()312n n n <++++， 1111,3132n n n n <<++++，所以右边成立……..10分， 又n T 随n 的增大而增大，1111334n T T n>=>-，左边成立…………..11分 所以，原不等式成立 . ……………………….12分20.解：（Ⅰ）函数的定义域为(0,)+∞，当1a =时，11()ln ,'()1.x f x x x f x x x-=-=-= 令'()0, 1.f x x ==得，当01x <<时，'()0f x <；当1x >时，'()0f x >，()(0,1)f x ∴在单调递减，在(1,)+∞单调递增，()(1)1f x f ∴==极小值，无极大值 ；…… 4分 （Ⅱ）21(1)1[(1)1](1)'()(1)a x ax a x x f x a x a x x x-+--+-=-+-==1(1)()(1)1a x x a x----=………………5分①1a ≤时，(1)10a x -+>,()f x 在(0,1)单减，(1,)+∞单增； ②12a <<时，111a >-，()f x 在(0,1)单增，在1(1,)1a -单减，1(,)1a +∞-单增；③当111a =-即2a =时，2(1)'()0,()(0,)x f x f x x -=-≤+∞在上是减函数；④当111a <-，即2a >时，令'()0f x <，得1011x x a <<>-或,令'()0f x >，得111x a <<- ……………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当(2,3)a ∈时，()[1,2]f x 在上单调递减，当1x =时，()f x 有最大值，当2x =时，()f x 有最小值，123|()()|(1)(2)ln 222a f x f x f f ∴-≤-=-+，3ln 2ln 222a ma ∴+>-+ ，而0a >经整理得13113230,22422m a a a>-<<-<-<由得 0m ∴≥．……13分21．解：（1）因为点P （1，-1）在曲线上，所以f(1)=-1,得m=1/1()1f x x=-，∴/(1)f =0，故切线方程为y=-1. ……3分 （2） /1()f x m x=-=1mxx-①当m ≤0时，(1,)x e ∈； (1,)x e ∈，/()f x >0, ()f x 单增，max ()f x =f(e)=1-me ； ② 当1e m ≥，即10m e<≤时，(1,)x e ∈，/()f x >0, ()f x 单增，max ()f x =f(e)=1-me ；③ 当11e m<<时，即111em <<时，(1,)x e ∈，()f x 在1(1,)m 单增，在1(,)e m单减，max ()f x =1()f m=ln 1m --④当11m≤即1m ≥时，(1,)x e ∈，/()f x 0<，()f x 单减，max ()f x = f(1)=-m∴()f x 在［1，e ］上的最大值max ()f x=………………………………8分(3)不妨设120x x >>，12()()0f x f x ==，∴11ln 0x mx -=，22ln 0,x mx -=1212ln ln ()x x m x x +=+，1212ln ln ()x x m x x -=-， 要证212x x e >，即证12ln ln x x +2>，即证12()m x x +2>，………10分1212ln ln x x m x x -=-，即证1212ln ln x x x x --122x x >+，即证12ln ln x x -12)122(x x x x ->+，即证1121222(1)ln 1x x x x x x ->+，……………12分 令12x x =t,则1t >，即证1ln 1t t t ->+，1()ln 1t t t t ϕ-=-+，则/()t ϕ=22214(1)0(1)(1)t t t t t --=>--，函数()t ϕ在(1,)+∞单增，∴()t ϕ(1)ϕ>=0，∴原不等式成立. ……………………14分。