高中数学必修四(人教版)课件 第一章 三角函数 1.2.1(二)
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解
θ
(1)图①中阴影部分就是满足条件的角 θ 的范围，即
2kπ π 2π . ＋ 3 ≤θ ≤2kπ ＋ 3 ，k∈Z
(2)图②中阴影部分就是满足条件的角 θ 的范围，即
θ 2kπ π π 2 2 －3π ≤θ <2kπ － 6 或2kπ ＋ 6 <θ ≤2kπ ＋3π ，k∈Z.
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规律方法
作已知角的正弦线、余弦线、正切线时，要确定已
知角的终边，再画线，同时要分清所画线的方向，对于以后研 究三角函数很有用处.
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2 6 2 【训练 1】 sin5π ，cos5π ，tan 5π 从小到大的顺序是_____.
解析 分别在单位圆中作出它们的三角函
4π 4π M′P′，cos 5 ＝OM′，tan 5 ＝AT′. 显然|MP|>|M′P′|，符号皆正， 2π 4π ∴sin >sin ；|OM|<|OM′|，符号皆负， 3 5 2π 4π ∴cos 3 >cos 5 ；|AT|>|AT′|，符号皆负， 2π 4π ∴tan 3 <tan 5 .
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴函数定义域为x|2kπ
π 3 . ＋ 3 ≤x<2kπ ＋4π ，k∈Z
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[课堂小结]
三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方
向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值
的绝对值，方向表示三角函数值的正负 .具体地说，正弦线、 正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余 弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负 .三角函 数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象
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提示
(1)可以比较大小.
π (2) 角的余弦线变成了一个点而已. 2 (3)对. π (4) 2 角的终边与 x＝1 平行，故其正切线不存在.
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2.角 α(0<α<2π )的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号 相异，那么 α 的值为( π A. 4 3π B. 4 7π C. 4 ) 3π 7π D. 4 或 4
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即 时 自 测
1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由于正弦线平行于 y 轴，余弦线在 x 轴上、它们没法比 较大小.( × ) π (2) 2 角的余弦线不存在.( × ) (3) 根据单位圆中正弦线，余弦线的变化规律可知 |sin α | ≤1，|cos α |≤1.( √ ) π (4) 2 角的正切线不存在.( √ )
解析 选C. 答案 C 由正弦、余弦、正切线定义可知 A 、 B 、 D 都错，故
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4.比较大小：sin 1_______cos 1.
解析 π π ∵ <1< ， 故 1 rad 的正弦线大于余弦线， sin 1>cos 1. 4 2
答案 >
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类型一 任意角的三角函数线
1 【例 1】 在单位圆中画出满足 sin α ＝2的角 α 的终边，并求 角 α 的取值集合.
解 1 1 作直线 y＝2交单位圆于 P1， P2， 则∠xOP1＝∠xOP2＝2，
π 5π 在[0，2π]内，∠xOP1＝ ，∠xOP2＝ ， 6 6 所以满足条件的角 α 的集合为 π 5π {α|α＝2kπ＋ 6 或 α＝2kπ＋ 6 ，k∈Z}.
2π 4π 【例 2】 分别作出 3 和 5 的正弦线、余弦线和正切线，并 2π 4π 2π 4π 2π 4π 比较 sin 3 和 sin 5 ，cos 3 和 cos 5 ，tan 3 和 tan 5 的 大小.
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解
2π 2π 2π 4π 如图，sin ＝MP，cos ＝OM，tan ＝AT，sin ＝ 3 3 3 5
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[思路探究] 探究点一 提示 3 如何找正弦线为 的角？ 2
3 直线 y＝ 交单位圆于 A、B 两点，则 OA、OB 即为 2
3 正弦线为 2 的角. 探究点二 提示 1 如何找余弦线为－2的角？
1 作直线 x＝－2交单位圆于 C、D 两点，则 OC、OD
1 即为余弦线为－2的角.
π 结合单位圆 ( 如图所示 ) 中三角函数线及 0≤α<2 π . 可知 < α 4 π 5π < 2 或π <α < 4 .
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规律方法
三角函数线的应用实质是数形结合思想的应用，作
三角函数线的前提是作单位圆. 解形如 f(α)≤m 或 f(α)≥m(|m|<1)的三角不等式时，在直角坐标 系及单位圆中，标出满足 f(α)＝m 的两个角的终边(若 f 为 sin， 则角的终边是直线 y＝m 与单位圆的两个交点与原点的连线； 若 f 为 cos，则角的终边是直线 x＝m 与单位圆的两个交点与原 点的连线；若 f 为 tan，则角的终边与角的终边的反向延长线表 示的正切值相同)， 根据三角函数值的大小， 找出 α 在 0～2π内 的取值，再加上 2kπ(k∈Z).
解析
Байду номын сангаас
) B.OM>0>MP D.MP>0>OM
π 7 作 α＝ π＝π－ 的正弦线和余弦线可知 MP>0， 8 8
OM<0，故选 D.
答案 D
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2 3.若 α 是三角形的内角，且 sin α ＋cos α ＝ ，则这个三角 3 形是_______(填三角形的形状).
解析 若 α 是锐角或直角，作出 α 的正弦线和余弦线，则
π 2 ，k∈Z} ___________.
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2.三角函数线
如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于
P点.过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线
交 OP 的延长线 ( 或反向延长线 ) 于 T 点 . 单位圆中的有向线段 MP 、____ ____ OM 、____ AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线. MP ，cos α＝___ AT OM，tan α＝___. 记作：sin α＝____
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【训练 3】 求函数 f(x)＝ 1－2cos
x＋lnsin
2 x－ 的定义域. 2
cos x 1 , 1 2cos x 0, 2 解 由题意，自变量 x 应满足不等式组 即 sin x 2 0. sin x 2 . 2 2
直观，为从几何途径解决问题提供了方便.
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π 6π 1.角 5 和角 5 有相同的( A.正弦线 C.正切线
解析
) B.余弦线 D.不能确定
π 6 ∵ π＝π＋ ，故它们有相同的正切线，故选 C. 5 5
答案 C
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7 2.如果 MP 和 OM 分别是角 α＝8π 的正弦线和余弦线，那么下 列结论中正确的是( A.MP<OM<0 C.OM<MP<0
数线，由图可知： 6 2 2 cos 5π<0，tan 5π>0，sin 5π>0. 2 2 ∵|MP|<|AT|，∴sin π<tan π. 5 5 6 2 2 故 cos 5π<sin 5π<tan 5π.
答案 6 2 2 cos 5π <sin 5π <tan 5π
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类型二 利用三角函数线比较大小
1.2.1 任意角的三角函数(二)
目标定位 1. 认识单位圆中任意角的正弦线、余弦线
和正切线； 2. 利用单位圆中的三角函数线解决简单的 三角函数问题.
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自 主 预 习
1.三角函数的定义域 R ；余弦函数y＝cos x的定义域 正弦函数y＝sin x的定义域是___ {x|x∈R，且x≠kπ＋ R ；正切函数y＝tan x的定义域是__________________ 是___
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规律方法
利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般
分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的 长度；③确定有向线段的正负.
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【训练2】 比较sin 1 155°与sin(－1 654°)的大小.
解 先把两角化成 0°～360°间的角的三角函数. sin 1 155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin 75°， sin(－1 654°)＝sin(－5×360°＋146°)＝sin 146°. 在单位圆中， 分别作出 sin 75°和 sin 146°的正弦线 M2P2， M1P1(如图).
sin α＋cos α≥1，故 α 是钝角.
答案 钝角三角形
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4.已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，若α∈[0，2π)， 求α的取值范围.
sin cos 0, sin cos , 解 ∵点 P 在第一象限内， tan 0. tan 0,
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解
θ
(1)图①中阴影部分就是满足条件的角 θ 的范围，即
2kπ π 2π . ＋ 3 ≤θ ≤2kπ ＋ 3 ，k∈Z
(2)图②中阴影部分就是满足条件的角 θ 的范围，即
θ 2kπ π π 2 2 －3π ≤θ <2kπ － 6 或2kπ ＋ 6 <θ ≤2kπ ＋3π ，k∈Z.
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规律方法
作已知角的正弦线、余弦线、正切线时，要确定已
知角的终边，再画线，同时要分清所画线的方向，对于以后研 究三角函数很有用处.
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2 6 2 【训练 1】 sin5π ，cos5π ，tan 5π 从小到大的顺序是_____.
解析 分别在单位圆中作出它们的三角函
4π 4π M′P′，cos 5 ＝OM′，tan 5 ＝AT′. 显然|MP|>|M′P′|，符号皆正， 2π 4π ∴sin >sin ；|OM|<|OM′|，符号皆负， 3 5 2π 4π ∴cos 3 >cos 5 ；|AT|>|AT′|，符号皆负， 2π 4π ∴tan 3 <tan 5 .
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴函数定义域为x|2kπ
π 3 . ＋ 3 ≤x<2kπ ＋4π ，k∈Z
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[课堂小结]
三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方
向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值
的绝对值，方向表示三角函数值的正负 .具体地说，正弦线、 正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余 弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负 .三角函 数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象
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提示
(1)可以比较大小.
π (2) 角的余弦线变成了一个点而已. 2 (3)对. π (4) 2 角的终边与 x＝1 平行，故其正切线不存在.
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2.角 α(0<α<2π )的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号 相异，那么 α 的值为( π A. 4 3π B. 4 7π C. 4 ) 3π 7π D. 4 或 4
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即 时 自 测
1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由于正弦线平行于 y 轴，余弦线在 x 轴上、它们没法比 较大小.( × ) π (2) 2 角的余弦线不存在.( × ) (3) 根据单位圆中正弦线，余弦线的变化规律可知 |sin α | ≤1，|cos α |≤1.( √ ) π (4) 2 角的正切线不存在.( √ )
解析 选C. 答案 C 由正弦、余弦、正切线定义可知 A 、 B 、 D 都错，故
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4.比较大小：sin 1_______cos 1.
解析 π π ∵ <1< ， 故 1 rad 的正弦线大于余弦线， sin 1>cos 1. 4 2
答案 >
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类型一 任意角的三角函数线
1 【例 1】 在单位圆中画出满足 sin α ＝2的角 α 的终边，并求 角 α 的取值集合.
解 1 1 作直线 y＝2交单位圆于 P1， P2， 则∠xOP1＝∠xOP2＝2，
π 5π 在[0，2π]内，∠xOP1＝ ，∠xOP2＝ ， 6 6 所以满足条件的角 α 的集合为 π 5π {α|α＝2kπ＋ 6 或 α＝2kπ＋ 6 ，k∈Z}.
2π 4π 【例 2】 分别作出 3 和 5 的正弦线、余弦线和正切线，并 2π 4π 2π 4π 2π 4π 比较 sin 3 和 sin 5 ，cos 3 和 cos 5 ，tan 3 和 tan 5 的 大小.
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解
2π 2π 2π 4π 如图，sin ＝MP，cos ＝OM，tan ＝AT，sin ＝ 3 3 3 5
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[思路探究] 探究点一 提示 3 如何找正弦线为 的角？ 2
3 直线 y＝ 交单位圆于 A、B 两点，则 OA、OB 即为 2
3 正弦线为 2 的角. 探究点二 提示 1 如何找余弦线为－2的角？
1 作直线 x＝－2交单位圆于 C、D 两点，则 OC、OD
1 即为余弦线为－2的角.
π 结合单位圆 ( 如图所示 ) 中三角函数线及 0≤α<2 π . 可知 < α 4 π 5π < 2 或π <α < 4 .
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规律方法
三角函数线的应用实质是数形结合思想的应用，作
三角函数线的前提是作单位圆. 解形如 f(α)≤m 或 f(α)≥m(|m|<1)的三角不等式时，在直角坐标 系及单位圆中，标出满足 f(α)＝m 的两个角的终边(若 f 为 sin， 则角的终边是直线 y＝m 与单位圆的两个交点与原点的连线； 若 f 为 cos，则角的终边是直线 x＝m 与单位圆的两个交点与原 点的连线；若 f 为 tan，则角的终边与角的终边的反向延长线表 示的正切值相同)， 根据三角函数值的大小， 找出 α 在 0～2π内 的取值，再加上 2kπ(k∈Z).
解析
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) B.OM>0>MP D.MP>0>OM
π 7 作 α＝ π＝π－ 的正弦线和余弦线可知 MP>0， 8 8
OM<0，故选 D.
答案 D
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2 3.若 α 是三角形的内角，且 sin α ＋cos α ＝ ，则这个三角 3 形是_______(填三角形的形状).
解析 若 α 是锐角或直角，作出 α 的正弦线和余弦线，则
π 2 ，k∈Z} ___________.
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2.三角函数线
如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于
P点.过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线
交 OP 的延长线 ( 或反向延长线 ) 于 T 点 . 单位圆中的有向线段 MP 、____ ____ OM 、____ AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线. MP ，cos α＝___ AT OM，tan α＝___. 记作：sin α＝____
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【训练 3】 求函数 f(x)＝ 1－2cos
x＋lnsin
2 x－ 的定义域. 2
cos x 1 , 1 2cos x 0, 2 解 由题意，自变量 x 应满足不等式组 即 sin x 2 0. sin x 2 . 2 2
直观，为从几何途径解决问题提供了方便.
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π 6π 1.角 5 和角 5 有相同的( A.正弦线 C.正切线
解析
) B.余弦线 D.不能确定
π 6 ∵ π＝π＋ ，故它们有相同的正切线，故选 C. 5 5
答案 C
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7 2.如果 MP 和 OM 分别是角 α＝8π 的正弦线和余弦线，那么下 列结论中正确的是( A.MP<OM<0 C.OM<MP<0
数线，由图可知： 6 2 2 cos 5π<0，tan 5π>0，sin 5π>0. 2 2 ∵|MP|<|AT|，∴sin π<tan π. 5 5 6 2 2 故 cos 5π<sin 5π<tan 5π.
答案 6 2 2 cos 5π <sin 5π <tan 5π
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类型二 利用三角函数线比较大小
1.2.1 任意角的三角函数(二)
目标定位 1. 认识单位圆中任意角的正弦线、余弦线
和正切线； 2. 利用单位圆中的三角函数线解决简单的 三角函数问题.
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自 主 预 习
1.三角函数的定义域 R ；余弦函数y＝cos x的定义域 正弦函数y＝sin x的定义域是___ {x|x∈R，且x≠kπ＋ R ；正切函数y＝tan x的定义域是__________________ 是___
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规律方法
利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般
分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的 长度；③确定有向线段的正负.
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【训练2】 比较sin 1 155°与sin(－1 654°)的大小.
解 先把两角化成 0°～360°间的角的三角函数. sin 1 155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin 75°， sin(－1 654°)＝sin(－5×360°＋146°)＝sin 146°. 在单位圆中， 分别作出 sin 75°和 sin 146°的正弦线 M2P2， M1P1(如图).
sin α＋cos α≥1，故 α 是钝角.
答案 钝角三角形
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4.已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，若α∈[0，2π)， 求α的取值范围.
sin cos 0, sin cos , 解 ∵点 P 在第一象限内， tan 0. tan 0,
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人教版高一数学必修四1.2.2同角三角函数的基本关系(课件)
知识探究（一）：基本关系
思考1：如图，设α是一个任意角，它
的终边与单位圆交于点P，那么，正弦
线MP和余弦线OM的长度有什么内在联
系？由此能得到什么结论？
y P
1
MO
x
思考2：上述关系反应了角α的正弦和 余弦之间的内在联系，根据等式的特点， 将它称为平方关系.那么当角α的终边 在坐标轴上时，上述关系成立吗？
y P
P Ox
思考3：设角α的终边与单位圆交于点
P（x，y），根据三角函数定义，有
，
，
，
由此可得sinα，cosα，tanα满足什
么关系？
思考4：上述关系称为商数关系，那么商 数关系成立的条件是多么？
思考5：平方关系和商数关系是反应同一 个角的三角函数之间的两个基本关系， 它们都是恒等式，如何用文字语言描述 这两个关系？
同一个角的正弦、余弦的平方和等于1， 商等于这个角的正切.
知识探究（二）：基本变形 思考1：对于平方关系 可作哪些变形？
sin2 cos2 1
思考2：对于商数关系 哪些变形？
可作
思考3：结合平方关系和商数关系， 可得到哪些新的恒等式？
思考4：若已知sinα的值，如何求cosα 和tanα的值？
思考5：若已知tanα的值，如何求sinα 和cosα的值？
理论迁移
例1 求证：
例2 已知
,求
若α是第三象限角，则
若α是第四象限角，则
， 的值.
，
.
，
.
例3 已知tanα=2，求下列各式的值.
（1）
；（2）
5 2
例4 已知 求
， 的值.
小结作业
1.同角三角函数的两个基本关系是对同一个 角而言的，由此可以派生出许多变形公式， 应用中具有灵活、多变的特点.
高中数学必修四 第一章三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系
故 tan ������
1 sin2������
-1
=
tan
������
1-sin2������ sin2������
=
tan
������
cos������ sin������
=
sin������ cos������
·-scions������������
=
−1.
(2)证法一:sin2α+cos2α=1⇒1-cos2α=sin2α
sin������ 1 + cos������ ∴ 1-cos������ = sin������ .
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
题型四 已知 tan α 的值求其他代数式的值
【例4】 已知tan α=7,求下列各式的值.
(1)
sin������+cos������ 2sin������-cos������
则 sin α=−
1-cos2 ������
=
−
15 17
,
tan
������
=
sin������ cos������
=
185.
反思已知cos α(或sin α)求tan α时,先利用平方关系求出sin α(或 cos α),再利用商关系求出tan α.注意在求sin α(或cos α)时,往往需分 类讨论α所在的象限.
证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边的差异来促成统 一的过程,证明的方法在形式上显得较为灵活.常用的有以下几种:
(1)直接法——从等式的一边开始直接化为等式的另一边,常从比 较复杂的一边开始化简到另一边,其依据是相等关系的传递性.
(2)综合法——由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到 所要证明的等式,其依据是等价转化的思想.
高中数学 第一章 三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系课件2 新人教A版必修4.ppt
5
55
5
5
3.已知cos α= 1 ，且α是第四象限角，则sin α=（ ）
2
A . 1
B .3 C .3 D . 1
2
2
2
2
【解析】选C.因为α是第四象限角，所以sin α＜0，
所以 sin 1cos21(1)23.
22
6
4.化简：s i n =_______.
tan
【解析】
sin tan
10
10 10
方法二：(cosα+2sinα)2= cos24sincos4sin2
sin2cos2
1 4 ta n 4 ta n 2 1 4 3 4 3 2 4 9
由已知条件得
分子分母同除以cos2α可得关于tanα的方程.
(cos2sin)2 sin2cos2
5，
12
【解析】方法一：因为cosα+2sinα= 5 ， 所以cosα=-2sinα 5 ， 又因为sin2α+cos2α=1，所以sin2α+(-2sinα- )2=5 1， 整理得5sin2α+4 s5 inα+4=0，( si5 nα+2)2=0，
sin sin
cos.
答案：cos θ cos
7
5.已知tan φ=- 2 ，φ∈( ，π)，则sin φ=_____.
2
sin 2 cos 2 1，
【解析】由已知得
sin cos
所以
2，
sin2(sin)2 1， 2
所以sin2φ= 2 ，由φ∈( ， π)得sin φ＞0，
3
2
限决定的，不可凭空想象.
11
1.2.1(2)单位圆与三角函数线(高中数学人教A版必修四).ppt
π 5π (2)如图所示，在 0～2π 内作出正切值等于 1 的角：4和 4 ， 则在图中所示的阴影区域内的每个角 x(不包括终边在 y 轴上的 角)均满足 tanx≤1.
π 5π π 所以所求的角 x 的集合为： {x|2kπ＋2<x≤ 4 ＋2kπ 或－2＋ π π π 2kπ<x≤4＋2kπ，k∈Z}＝{x|kπ－2<x≤kπ＋4，k∈Z}．
cos OM tan AT
O P
A(1,0)
α的终边
终边落在第四象限
y
α
sin MP
M A(1,0)
O
P
T
x
cos OM tan AT
α的终边
α的终边 y P α
M
三角函数线
y α的终边 P T x
A(1,0) T
α
O y
O
M A(1,0)
x
sin MP cos OM
3. 特殊情况： ① 当角的终边在x轴上时，点P与点M重合， 点T与点A重合，这时正弦线与正切线都变成 了一点，数量为零，而余弦线OM=1或－1。 ② 当角的终边在y轴上时，正弦线MP=1或－1 余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切 线不存在。
用 途
三角函数线的具体作用 :
1.比较两个三角函数值的大小
实例
剖析
3π 例1、作出 2π 的正弦线、余弦线和正切线.. 4 3
解：在直角坐标系中作单位圆如图示 2
y y
以x轴的正半轴为始边作出 的角， 3 其终边与单位圆交于P点，作PM x轴，垂足
为M，由单位圆与x轴的正半轴的交点A作 x轴的垂线, 与OP的反向延长线交于T点，
P
1.2.1任意角的三角函数(二)
2.诱导公式
终边相同的角三角函数值相同
讲授新课
2.诱导公式
终边相同的角三角函数值相同
sin(2k ) sin ( k Z) cos(2k ) cos ( k Z) tan(2k ) tan ( k Z)
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3. 例题与练习
例3. 求下列三角函数的值：
1.2.1任意角的 三角函数
复习引入
1. 三角函数的定义
阅读教材P.13，完成探究.
复习引入
1. 三角函数的定义 练习. 已知角的终边上一点P( 3, 1)，
求 cos ，sin , tan 的值.
复习引入
2. 三角函数的符号
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1. 例题与练习 例1. 求证：若sin＜0且tan＞0 ，则
(1) sin( ); 4 9 (3) cos 4
(2) tan(3 ).
练习. 教材P.15练习第7题第⑵、⑷.
课堂小结
1．任意角的三角函数的定义；
2．三角函数的定义域、值域； 3．三角函数的符号及诱导公式.
课后作业
1. 阅读教材P.11-P.17；
2. 《学案》P..
角是第三象限角，反之也成立.
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1. 例题与练习 例1. 求证：若sin＜0且tan＞0 ，则
角是第三象限角，反之也成立.
练习. 教材P.15练习第6题.
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1. 例题与练习
cos x tan x 例2. 求函数 y cos x tan x
的值域.
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2.诱导公式
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终边相同的角三角函数值相同
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2.诱导公式
终边相同的角三角函数值相同
sin(2k ) sin ( k Z) cos(2k ) cos ( k Z) tan(2k ) tan ( k Z)
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3. 例题与练习
例3. 求下列三角函数的值：
1.2.1任意角的 三角函数
复习引入
1. 三角函数的定义
阅读教材P.13，完成探究.
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1. 三角函数的定义 练习. 已知角的终边上一点P( 3, 1)，
求 cos ，sin , tan 的值.
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2. 三角函数的符号
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1. 例题与练习 例1. 求证：若sin＜0且tan＞0 ，则
(1) sin( ); 4 9 (3) cos 4
(2) tan(3 ).
练习. 教材P.15练习第7题第⑵、⑷.
课堂小结
1．任意角的三角函数的定义；
2．三角函数的定义域、值域； 3．三角函数的符号及诱导公式.
课后作业
1. 阅读教材P.11-P.17；
2. 《学案》P..
角是第三象限角，反之也成立.
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1. 例题与练习 例1. 求证：若sin＜0且tan＞0 ，则
角是第三象限角，反之也成立.
练习. 教材P.15练习第6题.
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1. 例题与练习
cos x tan x 例2. 求函数 y cos x tan x
的值域.
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2.诱导公式
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高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.2.2 同角三角函数的基本关系
互动探究 探究点1 同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？
提示 同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都
有意义．所以sin2α＋cos2α＝1对于任意角α∈R都成立，而
sin cos
αα＝tan
α并不是对任意角α∈R都成立，这时α≠kπ＋π2，k∈
Z.
探究点2 在利用平方关系求sin α或cos α时，其正负号应怎样确 定？
＝tan
tan2αsin2α α－sin αtan
αsin
α＝tatnanαα－sisninαα＝左边，
∴原等式成立．
[规律方法] (1)证明三角恒等式的实质：清除等式两端的差异， 有目的的化简． (2)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简． (3)常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【活学活用2】 化简：
1－2sinα2cosα2＋ 1＋2sinα2cosα20<α<π2.
解 原式＝
cosα2－sinα22＋
cosα2＋sinα22
＝cosα2－sinα2＋cosα2＋sinα2.
∵α∈0，π2，∴α2∈0，π4.
利用tan α＝csoins αα和sin2α＋cos2α＝1向等号左边式子进行转化；
也可利用tan
α＝
sin cos
α α
将等号左、右两边式子进行切化弦，结
合sin2α＋cos2α＝1达到两边式子相等的目的．
证明
∵右边＝ tan
tan2α－sin2α α－sin αtan αsin
α
＝tantaαn2－α－sintaαn2tαacnoαs2sαin α＝tantαan－2αsi1n－αctaons2ααsin α
高中数学第一章三角函数1.2.1.1三角函数的定义省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
探究二
探究三
(1)解析:依题意,x2+
5
3
2
3
α=± ,tan α=
2
3
答案:
5
±3
5
±3
思维辨析
2 2
=1,解得
3
5
x=± 3 ,于是
2
sin α=3,cos
2 5
.
5
=±
2 5
5
±
(2) 解析:由已知得 x=-6,y=8,
8
10
所以 r= 2 + 2 =10,于是 sin θ=
8
-6
4
4
一
二
三
3.做一做:求值
(1)sin 780°;
25
(2)cos 4 π;
(3)tan
15
-4π
.
3
2
解:(1)sin 780°=sin(2×360°+60°)=sin 60°= .
25
π
π
2
(2)cos 4 π=cos 3 × 2π + 4 =cos4 = 2 .
15
π
π
(3)tan - 4 π =tan -2 × 2π + 4 =tan4=1.
第27页
探究一
探究二
探究三
思维辨析
忽视对参数的分类讨论致误
【典例】 角 α 的终边过点 P(-3a,4a),a≠0,则 cos
α=
.
错解因为 x=-3a,y=4a,所以 r= (-3)2 + (4)2 =5a,于是 cos
-3 3
α= 5 =-5.
错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?
必修四第一章 三角函数1.2.2
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第一章 三角函数
[思路分析] tanα＝3，即sinα＝3cosα，结合sin2α＋cos2α＝1，解方程组可求 出sinα和cosα；对于(2)，注意到分子分母都是sinα与cosα的一次式，可分子分母 同除以cosα化为tanα的表达式；对于(3)，如果把分母视作1，进行1的代换，1＝ sin2α＋cos2α然后运用(2)的方法，分子分母同除以cos2α可化为tanα的表达式，也 可以将sinα＝3cosα代入sin2α＋cos2α＝1中求出cos2α，把待求式消去sinα，也化为 cos2α的表达式求解．
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第一章 三角函数
[解析] (1)tanα＝3＝csoinsαα>0， ∴α 是第一或第三象限角． 当 α 是第一象限角时，结合 sin2α＋cos2α＝1，有
sinα＝3
10 10
．
cosα＝
10 10
当 α 是第三象限角时，结合 sin2α＋cos2α＝1，有
如 sin23α＋cos23α＝1 成立，但是 sin2α＋cos2β＝1 就不一定成立．
(2)sin2α 是(sinα)2 的简写，读作“sinα 的平方”，不能将 sin2α 写成 sinα2，前
者是 α 的正弦的平方，后者是 α2 的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并
能正确书写．
数
(3)同角三角函数的基本关系式是针对使三角函数有意义的角而言的，sin2α＋
人
教
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第一章 三角函数
3．化简 1－sin2440°＝____c_o_s_8_0_°_____．
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第一章 三角函数
[思路分析] tanα＝3，即sinα＝3cosα，结合sin2α＋cos2α＝1，解方程组可求 出sinα和cosα；对于(2)，注意到分子分母都是sinα与cosα的一次式，可分子分母 同除以cosα化为tanα的表达式；对于(3)，如果把分母视作1，进行1的代换，1＝ sin2α＋cos2α然后运用(2)的方法，分子分母同除以cos2α可化为tanα的表达式，也 可以将sinα＝3cosα代入sin2α＋cos2α＝1中求出cos2α，把待求式消去sinα，也化为 cos2α的表达式求解．
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第一章 三角函数
[解析] (1)tanα＝3＝csoinsαα>0， ∴α 是第一或第三象限角． 当 α 是第一象限角时，结合 sin2α＋cos2α＝1，有
sinα＝3
10 10
．
cosα＝
10 10
当 α 是第三象限角时，结合 sin2α＋cos2α＝1，有
如 sin23α＋cos23α＝1 成立，但是 sin2α＋cos2β＝1 就不一定成立．
(2)sin2α 是(sinα)2 的简写，读作“sinα 的平方”，不能将 sin2α 写成 sinα2，前
者是 α 的正弦的平方，后者是 α2 的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并
能正确书写．
数
(3)同角三角函数的基本关系式是针对使三角函数有意义的角而言的，sin2α＋
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第一章 三角函数
3．化简 1－sin2440°＝____c_o_s_8_0_°_____．
高中数学必修四 第一章三角函数 1.2.1.2 三角函数线
,������∈Z
=
������
������
=
������π
+
3π 4
,������∈Z
, 如图.
题型一 题型二 题型三
题型二
解简单的三角不等式
【例 2】 解不等式 sin α≥− 12.
解:如图,作直线
y=−
1 2
交单位圆于A,B
两点,则∠xOA=
76π,∠
xOB=− π6.
又
sin
α≥−
1 2
题型一 题型二 题型三
【变式训练 2】 已知 cos α≥12 , 试求出角������的集合. 解:
如图,在平面直角坐标系内作直线
x=
1 2
交单位圆于A,B
两点,当
α
的
终边落在阴影部分时,cos α≥12 , 所以角α 的集合为
������
2�����≤
2������π
2.三角函数线的方向:正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交 点;余弦线由原点指向垂足;正切线由切点指向切线与α的终边(或反 向延长线)的交点.
3.三角函数线的正负:三条有向线段凡与x轴的正方向或y轴的正 方向同向的为正值,与x轴的正方向或y轴的正方向反向的为负值.
4.三角函数线的书写:有向线段的起点字母在前,终点字母在后. 5.三角函数线的意义:三角函数线的方向表示三角函数值的符号; 三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值.
x+ 3 > 0,
即
cos
x≥−
1 2
,
且sin
x>
−
23.
由
cos
x≥−
1 2
,
高中数学必修四 第一章三角函数 1.2.1.1 三角函数的定义
解析:角
α
的终边在
y
轴的非负半轴上,则
α=2kπ+
π 2
(������∈Z),所以
tan α 无意义.
答案:A
【做一做 1-2】 若角 α 的终边与单位圆相交于点
2 2
,-
2 2
,
则 sin ������的值为( )
A.
2 2
B.
−
2 2
C.
1 2
D.
−1
解析:x=
2 2
,
������
=
−
2 2
,
则sin
题型一 题型二 题型三 题型四
解:(1)∵-670°=-2×360°+50°,
∴-670°是第一象限角,
∴sin(-670°)>0.
又1 230°=3×360°+150°,
∴1 230°是第二象限角,
∴cos 1 230°<0,
∴sin(-670°)cos 1 230°<0.
(2)∵
5π 2
<
8
<
(2)∵
5π 4
是第三象限角,
4π 5
是第二象限角,
11π 6
是第四象限角,∴
sin
5π 4
<
0,
cos
4π 5
<
0,
tan
11π 6
<
0,
∴sin
54π·cos
45π·tan
11π 6
<
0,
式子符号为负.
(3)∵191°角为第三象限角,∴tan 191°>0,cos 191°<0,