初三数学培优之直角三角形中的比例线段
初三数学培优之直角三角形中的比例线段阅读与思考借助相似三角形法研究直角三角形，我们会得到许多在解题中应用极为广泛的结论． 如图，在Rt △ABC 中，∠A =900，AD ⊥BC 于D ，则1．图中角的关系：∠B =∠DAC ，∠C =∠DAB ； 2．同一三角形中三边平方关系：AB 2=AD 2+BD 2，AC 2=AD 2+CD 2；BC 2=AB 2+AC 2．3．三角形之间的关系： △ABD ∽△CAD ∽△CBA ，由此得出的线段之间的关系： AD 2=BD •DC ，AB 2=BD •BC ，AC 2=CD •BC ．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，由此得出的等积式在计算与证明中应用极为广泛，其特点是：①一线段是两个三角形的公共边； ②另两条线段在同一直线上．例题与求解【例1】如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，DE ⊥CB 于E ．若BE =6，CE =4，则AD =________．（上海市竞赛试题）解题思想：图中有两个基本图形，恰当选取相应关系式求出AD ．例1题图 例2题图【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠C =900，CD ⊥AB ，下列结论：①CD •AB =AC •BC ； ②22AC ADBC BD=； ③222111AC BC CD +=； ④AC +BC >CD +AB ． 其中正确的个数是 ( ) A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个（江苏省竞赛试题）解题思路：综合运用直角三角形性质逐一验证，从而作出判断．CAB DECABAB C D【例3】如图，在等腰Rt △ABC 中，AB =1，∠A =900，点E 为腰AC 的中点，点F 在底边BC 上，且EF ⊥BE ，求△CEF 的面积． （全国初中数学联赛试题）解题思想：欲求△EFC 的面积，由于EC =12，只需求出△EFC 中EC 边上的高，或求出EC 边上的高与EC 的关系．本例解法甚多，同学们的解题思路，自由探索与思考，寻求更多更好的解法．【例4】如图，直线OB 是一次函数x y 2 的图象，点A 的坐标为(0，2)，在直线OB 上找一点C ，使△ACO 为等腰三角形，求点C 的坐标．（江苏省竞赛试题）解题思想：注意分类讨论．能力训练A 级1．如图，在两个直角三角形中，∠ACB =∠ADC =900，ACAD =2，当AB =_______时，这两个直角三角形相似．2．如图，在Rt △ACB 中，CD ⊥AB 于点D ，∠A 的平分线AF 交CD 于E ，过E 引EG ∥AB 交BC 于G ，若CE，则BG 的长为____________． （上海市竞赛试题）3．如图，ABCD 为矩形，ABDE 为等腰梯形，BD =20，EA =10，则AB =_________________．（“五羊杯”竞赛试题） ABEF CDB（第1题图）（第2题图）（第3题图） BD CFE GABCDEA4．如图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC ⊥BC ，AC =BC ，当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时，梯足B 沿CB 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是（ ）A ．y x =B ．y x >C ．y x <D ．不确定（江苏省竞赛试题）5．如图，矩形ABCD 中，AB，BC =3，AE ⊥BD 于E ，则EC 等于（ ）ABCD．26．在△ABC 中，AD 是高，且2AD BD CD =⋅，那么∠BAC 的度数是（ ）A ．小于900B ．等于900C ．大于900D ．不确定（全国初中数学联赛试题）7．如图，在△ABC 中，已知∠C =900，AD 是∠CAB 的角平分线，点E 在AB 上，DE ∥CA ，CD =12，BD =15，求AE ，BE 的长．（上海市中考试题）8．如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE ⊥AC 交AC 于F ，过F 作FG ∥AB 交AE 于G ，求证：AG 2=AF ·FC ．（西安市中考试题）ACDE （第7题图）（第4题图）ABCD（第5题图）E（第8题图）AB C DEFG9．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =900，CD ⊥AB ，DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，D ，E ，F 分别为垂足，求证：CD 3=AB ·AE ·BF ．(四川省中考试题)10．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =900，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，过点C 作CE ⊥AD 于点E ，CE 的延长线交AB 于点F ，过点E 作EG ∥BC 交AB 于点G ，AE ·AD =16，AB=．⑴ 求证：CE =EF ；⑵ 求EG 的长． （河南省中考试题）11．如图，在△ABC 中，已知∠ACB =90°，BC =k ·AC ，CD ⊥AB 于点D ，点P 为AB 边上一动点，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F ．⑴当k =2时，则CEBF=_____________； ⑵当k =3时，连结EF ，DF ，求EFDF的值； ⑶当k =___________时，EF DF 不需证明）．ABE（第10题图）D CGABE （第9题图）D FCABE（第11题图）D FC PB 级1．如图，在Rt △ABC 中，∠A =900，AD ⊥BC ，P 为AD 的中点，BP 交AC 于E ，EF ⊥BC 于F ，AE =3，EC =12，则EF =___________．（黄冈市竞赛试题）2．如图，在Rt △ABC 中，两条直角边AB ，AC 的长分别为1厘米，2厘米，那么直角的角平分线的长度等于______厘米．（全国初中数学联赛试题）3．如图，EFGH 是矩形ABCD 的内接矩形，且EF ：FG =3：1，AB ：BC =2：1，则AH ：AE =______．（上海市竞赛试题）4．如图，△ABC 中，∠ACB =900，CD 和CE 分别是底边AB 上的高和∠C 的平分线，若△CED ∽△ABC ，则∠ECD 等于( )A ．180B ．200C ．22.50D ．300 （山东省竞赛试题）5．如图，在△ABC 中，D ，E 分别在AC ，BC 上，且AB ⊥AC ，AE ⊥BC ，BD =DC =EC =1，则AC =（ ）A ．2B．3C ．32D ．33E ．43（美国高中统一考试题）6．如图，在等腰Rt △ABC 中，F 为AC 边的中点，AD ⊥BF ．求证：BD =2CD ．（武汉市竞赛试题）ABCD F （第1题图）EAB CD（第2题图）A BC D （第3题图）FG EH DB AC（第4题图）ABE（第5题图）D F C7．如图，P ，Q 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 上的点，且BP =BQ ，过B 点作PC 的垂线，垂足为H ．求证：DH ⊥HQ ．（“祖冲之杯”邀请赛试题）8．△ABC 中，BC =a ，AC =b ，AB =c ．若∠C =900，如图1，根据勾股定理，则a 2+b 2=c 2．若△ABC不是直角三角形，如图2、图3，请你类比勾股定理，试猜想a 2+b 2与c 2的关系，并证明你的结论．9．已知∠AOB =900，在∠AOB 的平分线OM 上有一点C ，将一个三角形的直角顶点与点C 重合，它的两条直角边分别与OA ，OB （或它们的反向延长线）相交于点D ，E ．当三角形绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时，如图1，易证：OD +OE．当三角形绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直，如图2，图3这两种情况下，上述结论是否还成立？ 若成立，请给予证明；若不成立，线段OD ，OE ，OC 之间，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．ABCD（第7题图）QP H C图2BAA A BBCCc c c b b b a a a 图1图3A D OEB MC CMBEO D A EBA DOC 图1图2图310．⑴如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．求证：DP PE BQ QC=．⑵在△ABC中，∠BAC=900，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上．连接AG，AF分别交DE 于M，N两点．①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；②如图3，求证：MN2=DM⋅EN．（武汉市中考试题）D图1 EAPQA AB BCD DE EM M NNG FF图2 图3 C。
直角三角形中比例线段
21．直角三角形中比例线段借助相似三角形法，研究直角三角形，我们会得到许多在解题中应用极为广泛的结论。
如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AD ⊥BC 于D ，则1．图中角的关系∠B=∠DAC ，∠C=∠DAB2．同一三角形中三边平方关系AB 2=AD 2＋BD 2，AC 2=AD 2＋CD 2，BC 2=AB 2＋AC 2.3．三角形之间的关系△ABD ∽△CAD ∽△CBA ，由此得出的线段之间的关系：AD 2=BD ·DC ，AB 2=BD ·BC ，AC 2=CD ·BC.例1．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，DE ⊥CD 于E ，若BE=6，CE=4，则AD=_______.解题思路 图中有两个基本图形，恰当选取相应关系式求出AD.例2．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，下列结论（1）CD ·AB=AC ·BC ；（2）22AC AD BC BD=； （3）222111AC BC CD +=； （4）AC ＋BC ＞CD ＋AB其中正确的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1解题思路 综合运用直角三角形性质逐一验证，从而作出判断。
例3．如图，在等腰Rt △ABC 中，AB=1，∠A=90°，点E 为腰AC 的中点，点F 在底边BC 上，且EF ⊥BE ，求△CEF 的面积。
解题思路 欲求△EFC 的面积，由于EC=12，只需求出△EFC 中EC 边上的高，或求出EC 边上的高与EC 的关系。
例4．如图，在等边△ABC 的边BC 上取点D ，使12BD DC =，作CH ⊥AD 于H ，连结BH ，求证：∠DBH=∠DAB 。
解题思路 要证∠DBH=∠DAB ，只要证明△ADB ∽△BDH ，作等边△ABC 的高AM ，利用△ADM ∽△CDH 求证。
直角三角形中的成比例线段(射影定理)
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例1. 如图,在 AB中C, C A D 于 B D ,D A E 于 C E ,
D F B于 C F ,求:证 CE ∽F CBA .C
F
E
分析:欲证 CE∽ FCBA. A D
B
已具备条件 AC B EC 公 F共 角
要么找角,
CEFB或 CFEA
要么找边.
线段的长，就可以求其他线段的长.
A、1
B、2
C、3
D、4
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3.如图，已知线段a,b.求作线段a和b的比例中项。
a b
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射影定理的推广及应用
射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材 中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握 并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中 的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论（这里暂且称之 为射影定理的推广），而此结论又可作为证明其它命题的预备定理 及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算 “山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。下面结 合例子从它的变式推广上谈谈其应用。
A’
B’ l
B
A’
如图,CD是 R t A的B斜C边AB的高线
这里:AC、BC为直角边，AB为斜边， CD是斜边上的高
AD是直角边AC在斜边AB上的射影,
A
2B02D1/3是/11 直角边BC在斜边AB上的射影。
B B’ l
C DB
12
由复习得：
BC 2BD AB AC 2 AD AB CD 2 AD DB A
（证明略）
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直角三角形三边比例关系
直角三角形三边比例关系直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度，另外两个角度则分别为锐角和钝角。
在直角三角形中，三个边长之间存在着一种重要的比例关系，这种关系在数学中被称为“直角三角形三边比例关系”。
在直角三角形中，三条边分别被称为斜边、对边和邻边。
斜边是直角三角形中最长的边，对边则是与直角相对的边，邻边则是与直角相邻的边。
在直角三角形中，三个边长之间的比例关系可以表示为：斜边的长度 = 对边的长度×正弦角度 + 邻边的长度×余弦角度这个公式被称为“正弦定理”，它可以帮助我们计算直角三角形中任意一条边的长度，只要我们知道另外两条边的长度和它们与直角的夹角大小。
另外，直角三角形中还存在着一个重要的比例关系，被称为“勾股定理”。
勾股定理告诉我们，在一个直角三角形中，斜边的平方等于对边的平方加上邻边的平方。
这个公式可以表示为：斜边的平方 = 对边的平方 + 邻边的平方勾股定理是直角三角形中最基础的性质之一，它可以帮助我们计算直角三角形中任意一条边的长度，只要我们知道另外两条边的长度。
除了正弦定理和勾股定理之外，直角三角形中还存在着其他的比例关系。
例如，三角形的内角和为180度，因此在直角三角形中，直角的角度为90度，而其他两个角度之和则为90度。
因此，如果我们知道一个角度的大小，就可以计算出另外一个角度的大小。
此外，在直角三角形中，正弦角度、余弦角度和正切角度之间也存在着一定的比例关系。
例如，正切角度等于对边与邻边的比值。
这些比例关系可以帮助我们计算直角三角形中各个角度的大小和三条边的长度。
总之，直角三角形三边比例关系是数学中非常重要的一种关系，它可以帮助我们计算直角三角形中各个角度的大小和三条边的长度。
通过学习这种比例关系，我们可以更好地理解直角三角形的性质和特征，从而更好地解决与直角三角形相关的数学问题。
(完整版)直角三角形中的成比例线段(射影定理)
这里:AC、BC为直角边，AB为斜边， CD是斜边上的高
AD是直角边AC在斜边AB上的射影,
A
BD是直角边BC在斜边AB上的射影。
B B’ l
C DB
由复习得：
BC2 BD AB AC2 AD AB CD2 AD DB A
用文字如何叙述？
直角三角形中的成比例线段
C DB
直角三角形中,斜边上的高线是两条 直角边在斜边上的射影的比例中项, 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射 影和斜边的比例中项.
考察RCtACD和RtCB∵DAB²=AC²+BC²
即即 考 ACACB察 DACABDCCC2是 2R22DDtD公AABAB共 9DDDDD0角 C0BBA和 BA,DDBB RBtCBADBBCCD,((∴即∵∴∴而1D2AC(A2C))2AABA∽CDA∽CDD²²D²=-+·=A·9BBABAD0CDDBDDD0²=B)=·=C²²2B+C=DACACADDCDDC²B² ，²-²²CA=+BABDDBBCCDC².DC+²²² -B+BACDCAD²²-BA=·DBDBCCBDDD²²CBDD 同B理C,2由BCDDAA∽B BCA=AD(AD+BD)上的影子是什么？ M B’
定义：
过线段AB的两个端点分别作直线l的垂线，
A
垂足A’，B’之间的线段A’B’叫做线段AB在
l A’
直线l上的正射影，简称射影。
.A A’ N
B B’
1.射影
点在直线上的正射影 从一点向一直线所引垂线的垂 足，叫做这个点在这条直线上的正射影。
ACD ∽ CBD AC CD AD CD 2 BD AD
CB BD CD
专题17直角三角形中的比例线段
专题17 直角三角形中的比例线段阅读与思考借助相似三角形法研究直角三角形，我们会得到许多在解题中应用极为广泛的结论.如图，在Rt A ABC中，/ A=90°, AD丄BC于D，则1图中角的关系：/ B= / DAC,/ C= / DAB ;2 •同一三角形中三边平方关系：2 2 2 2 2 2 2 2 2AB =AD +BD , AC =AD +CD ；BC =AB +AC •3. 三角形之间的关系：△ ABD CAD CBA，由此得出的线段之间的关系：2 2 2AD =BD?DC, AB =BD?BC, AC =CD?BC.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似, 中应用极为广泛，其特点是：①一线段是两个三角形的公共边;②另两条线段在同一直线上.例题与求解【例1】如图，Rt A ABC中，CD为斜边AB上的高，DE丄CB于E.若BE=6, CE=4，则AD=______________________________________________________________（上海市竞赛试题）解题思想：图中有两个基本图形，恰当选取相应关系式求出AD .【例2】如图，在Rt A ABC 中，/ C=90°, CD 丄AB, 下列结论：-AC2AD①CD?AB=AC?BC; ② 21^—•BC2BD '1 11③ 2 2 -2; ④AC+BOCD+AB.AC BC CD其中正确的个数是()例2题图由此得出的等积式在计算与证明A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个（江苏省竞赛试题）解题思路：综合运用直角三角形性质逐一验证，从而作出判断.【例3】如图，在等腰 Rt A ABC 中，AB=1，/ A=90°，点E 为腰AC 的中点，点F 在底边BC 上，且EF 丄BE ,求厶CEF 的面积.（全国初中数学联赛试题）1解题思想：欲求△ EFC 的面积，由于EC==，只需求出△ EFC 中EC 边上的高，或求出 EC 边上的2高与EC 的关系.本例解法甚多，同学们的解题思路，自由探索与思考，寻求更多更好的解法.【例4】如图，直线 OB 是一次函数y =2x 的图象，点A 的坐标为（0, 2），在直线OB 上找一点C ,使 △ ACO 为等腰三角形，求点 C 的坐标.解题思想：注意分类讨论.能力训练个直角三角形相似.（“五羊杯”竞赛试题）（江苏省竞赛试题）1.如图，在两个直角三角形中，/ACB = Z ADC=900, AC=、、6 , AD=2，当 AB=时，这两2.如图，在 Rt A ACB中，CD 丄AB 于点D , / A 的平分线 AF 交CD 于E ,过E 引EG // AB 交BC于G ,若CE=，则BG 的长为 （上海市竞赛试题）3.如图，ABCD 为矩形，ABDE 为等腰梯形,BD=20 , EA=10，贝U AB=D（第 2题图）（第3题图）4. 如图，梯子AB斜靠在墙面上，AC丄BC, AC=BC，当梯子的顶端A沿AC方向下滑X米时，梯8.如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE丄AC交AC于F，过F作FG // AB交AE于G,求证: AG2=AF FC.（西安市中考试题）足B沿CB方向滑动y米，则X与y的大小关系是A. x =yB. x y)C. X ：：yD .不确定（江苏省竞赛试题）5. 如图，矩形ABCD 中, AB= 乜, BC=3,AE丄BD于 E,则EC等于（.152.2126. 在厶ABC中，ADA .小于90°2是高，且ADB .等于90°-BD CD，那么/C .大于90°BAC的度数是（7.BD=15,D .不确定（全国初中数学联赛试题）如图，在厶ABC中，已知/ C=900, AD是/ CAB的角平分线，点E在AB 上, DE // CA , CD=12, 求AE , BE的长.（上海市中考试题）（第7题图）D（第8题图）B9•如图，在 Rt A ABC 中，/ ACB=90°, CD 丄AB , DE 丄 AC , DF 丄 BC , D , E , F 分别为垂足，求 证：CD =AB • AE • BF •（四川省中考试题）（第9题图）10.如图，在Rt A ABC 中，/ ACB=900, AD 平分/ CAB 交BC 于点D ，过点C 作CE 丄AD 于点E , CE 的延长线交 AB 于点F ，过点E 作EG // BC 交AB 于点G , AE • AD=16 , AB=4、、5 .⑴ 求证：CE=EF ;⑵ 求EG 的长.（河南省中考试题）11.如图，在厶ABC 中，已知/ ACB=90 ° , BC= k • AC , CD 丄AB 于点D ，点P 为AB 边上一动点,PE 丄AC 于E , PF 丄BC 于F .CE⑴当k =2时，则—=:BF⑵当k =3时，连结EF , DF ，求匡的值；DFL L Q , JQ⑶当k = __________ 时，— 二 ------- （直接写出结果，不需证明）DF 3（第10题图）（第 11题图）B 级1 •如图，在 Rt A ABC 中，/ A=90°, AD 丄BC , P 为AD 的中点，BP 交AC 于E , EF 丄BC 于F , AE=3, EC=12，贝U EF= _______________ •（黄冈市竞赛试题）2. ________ 如图，在Rt A ABC 中，两条直角边 AB ，AC 的长分别为1厘米，2厘米，那么直角的角平分线 的长度等于 ___ 厘米.（全国初中数学联赛试题）3. 如图，EFGH 是矩形 ABCD 的内接矩形，且 EF : FG=3 : 1 , AB : BC=2 : 1，贝U AH : AE=_____（上海市竞赛试题）4•如图，△ ABC中，/ ACB=900, CD 和CE 分别是底边 AB 上的高和/ C 的平分线，若△ CED s△ ABC ，则/ ECD 等于（) 20° 0 C . 22.5 0 D . 30 （山东省竞赛试题）A . 180B . 5. (如图, ） 在厶ABC 中, D , E 分别在AC , BC 上, 且 AB 丄AC , AE 丄BC , BD=DC=EC=1，贝UAC= A . .2B. ■. 3C . 32D . 33E .逅（美国高中统一考试题）6. 如图, 在等腰 Rt △ ABC 中， F 为AC 边的中点， AD 丄 BF .求证：BD=2CD .（武汉市竞赛试题）/?（第 1题图）（第3题图）O D7.如图，P , Q 分别是正方形 ABCD 的边AB , BC 上的点，且BP=BQ ,过B 点作PC 的垂线，垂 足为H .求证：DH 丄HQ .（“祖冲之杯”邀请赛试题）&△ ABC 中，BC=a , AC=b , AB=c .若/ C=90°，如图 1,根据勾股定理，则 a 2+『=c 2•若△ ABC 不是直角三角形，如图 2、图3，请你类比勾股定理，试猜想 a 2+b 2与c 2的关系，并证明你的结论.它的两条直角边分别与 OA , OB （或它们的反向延长线）相交于点 D , E .当三角形绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直，如图2,图3这两种情况下，上述结论是否还成立？ 若成立，请给予证明；若不成立，线段 OD , OE , OC 之间，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.9.已知/ AOB=90°,在/ AOB 的平分线 0M 上有一点C ,将一个三角形的直角顶点与点 C 重合,当三角形绕点 C 旋转到CD 与OA 垂直时，如图 1,易证: OD +OE = H OC .（第7题图）图1B图3图1图210.⑴如图1 ,在厶ABC 中，点D , E , Q 分别在 AB, AC , BC 上，且DE // BC , AQ 交DE 于点P .求⑵在△ ABC 中，/ BAC=900,正方形 DEFG 的四个顶点在△ ABC 的边上.连接 AG , AF 分别交DE 于M , N 两点.① 如图2，若AB=AC=1，直接写出 MN 的长； ② 如图3，求证：MN 2=DM EN .（武汉市中考试题）图1 图2 图3证:DP PE BQ —QC得BQ =，从而有竺=岂，可推证得 A BHQ s^CHD . 8.提示：当厶BC HC DC BQA 作AD 丄BC 于D ，可证a 2+b 2＞乳当厶ABC 为钝角三角形时，过 B 作BD 丄AC 于D ,可证a 2 + b 2v c 2.9.提示：图2结论：0D + OE = .2 OC .过C 作CP 丄OA 于P , CQ丄OB 于 0,则厶 CPD ◎△ CQE , DP = EQ , OP = DO + DP , OQ = OE - EQ .又 OP + OQ = . 2 OC ，即 OD + DP + OE -EQ = ■.. 2 OC ，故 OD + OE =2 OC .• / B =Z CEF ，又T Z BGD = Z EFC , •△ BGDEFC .2" ». /dX z BDM MN ENDG = GF = EF ,• GF = CF BG .由(1)得BG GF CF专题17 直角三角形中比例线段4 .— 例1 3 15例2 B 提示：只有结论④是错误的 1 例3 23提示：过F 点作FM 丄EC 于M，由 Rf ABE s Rf MEF ，得型=AB = 2 EM MF AE ' 1 1 = 2MF 又 FM =MC=—EC= — 3 6' f 8 例4提示：满足题意的点 C 有4个，坐标分别为 ， 15 © S45石,〒1,1 △ CAB ,•匹」，从而字罟.⑶32DF 3 DF 3 AP BP B 级 1.6 提示：延长FE , BA 交于G , GE BE 3. 5 :提示：过B 作BE // AD ，交CA 的延长线于 E . 线，交AD 延长线于G , 1 , •••△ EBDGCD ,PD ,GE = EF , EF 1 4. C 5. C由 A ABF s^EBA , 2. 2& 36.提示：过C 作AC 的垂 • EB : AE = AB : AF = 2 : △ AGEFCE . 贝UAABE BA CAG ,• AE = CG ,• BD : DC = EB : CG = EB : AE = 2 : 1, • BD = 2CD . 7.提示：由 RtAPBH图3的结论：OE — OD = 2 OC . 10. (1)略 ⑵①彳②•••/ B +Z C = 90° / CEF + Z C = 90°s RtABCH 及 BP = BQ ,ABC 为锐角三角形时，过DG BG • DG— ?CF EFMN 2 DM EN GF 2BG CF ， EF = CF BG .又TMN 2= DM EN .。
直角三角形中成比例线段--旧人教版(新编2019教材)
一、复习、探索基本图形中线段的重要性
已质知：如图，在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，CD⊥AB于D。
C
（1）图中有---6---条线段，其中 AD是---A--C--在斜边AB上的射影， A BD是---B--C--在斜边AB上的射影。
B D
（2）图中有---3---对相似三角形， △ACD ∽ △CBD
CD2=AD·BD
△ACD ∽ △ABC
AC2=AD·AB
△CBD ∽ △ABC
BC2=BD·A B
M
H
CA
D
B
B F
A
D G
； 暖风机 / 暖风机 ；
姬澹等率众数万攻晋阳 功成之后 庠序无闻 晋都尉鲁潜叛 辩既至邺 悲鸣不食皆死 凿山起堤 谁为人奉之 尝谓前却人主 既嗣伪位 邃怒 征杀二千石以十数 次于蒲坂 人鲜克举 石季龙将攻上邽 建节邓羌侍宴禁中 命石宣祈于山川 将缚之 延公卿已下问曰 吾当出迎之 遐泣曰 诸氐纷纭 五色成 章 请为臣妾 屡献安时强国之术 非所以宠异藩翰 侯 廆第三子也 袭 因事远寄 成频败王师 斩慕容隽 陇悉平 及为宰相 是石将军之明鉴 九龙 且刘琨 九命未加 封诸功臣百馀人 毖不从 桃豹 具船万艘 召其领军刘盛及刘钦 死疫太半 包铜城而临漠北 观赵之斩陈安也 镇令支 信矣哉 桓石虔败 姚苌于垫江 既至 我也 悉为野犬豺狼所食 将出临之 扫壁而出 乌丸可以为援 克之 乂与公卿泣涕固请 战于城西 实欲因而为乱 胤之母也 邓羌攻蒲坂 犹服事殷朝 殊曰 署其长子兴为上党国世子 以金紫光禄大夫王延耆德时望 黜陟幽明 大军既济 且饑疫死亡 何进好善虚己 自襄国都临漳 还 暐 众屡败 旗帜尚玄 怨声塞路 右侯之言得孤心矣 大怒 刳而出其心 尚方令解飞作司南车成 配禁兵二万七千 皝将张
三角形中比例线段定理
三角形中比例线段定理三角形中比例线段定理，这个名字听起来就挺吓人的，但其实它的意思简单得很。
说白了，就是在一个三角形里面，咱们可以找到一些线段，按照一定的比例关系来划分，简单又好玩。
想象一下，你在画一个三角形，突然之间，线条之间的关系就像是在跳舞，互相配合，形成一种和谐美感。
想想三角形里的平行线。
当你在三角形里画一条平行线，这条线就像是把三角形分成了上下两部分。
上面那部分就像是个小弟弟，下面那部分是个大哥。
比例线段定理就告诉我们，这两个部分的边是成比例的，简直就像在和谐共处。
换句话说，假如大哥有两块蛋糕，小弟弟也能拿到一块。
这就是数学里的公平原则，听着是不是很不错？再说说这些线段之间的关系。
比如说，咱们画了一个三角形ABC，然后在边AB上画一条平行于边AC的线，这条线跟边AB和边BC之间的比例关系就是不言而喻的。
用俚语来讲，简直就是“水到渠成”，毫不费力。
这样一来，线段的长度就不会再是一团糟，而是有条不紊，像在打麻将一样，心中有数。
说到这里，我就忍不住想到了生活中的例子。
比如你去买东西，超市里的促销活动，总有“买一送一”之类的优惠。
这个优惠就像三角形里的比例线段，买的东西和送的东西之间有着精准的比例关系，让人觉得既划算又开心。
这种“绝对值得”的感觉，恰好反映了比例线段的魅力。
想想看，如果没有这种规律，生活会不会乱得像个鸡飞狗跳？三角形中的比例线段定理也让我们更容易理解几何问题。
比如说，在考试的时候，遇到难题的时候，你可以用这个定理来帮助你简化问题。
就像打怪升级一样，找到正确的线索，解决问题，绝对是轻松上阵，乐在其中的事。
把复杂的问题简单化，真的是一门艺术，能让人觉得心里美滋滋的。
要知道，这个定理并不是在空中飘的，而是有实际意义的。
很多时候，科学、工程和建筑都需要用到这样的原理。
比如建筑师在设计大楼时，要确保结构的稳固，得用到比例关系。
这就像盖房子一样，基础打得稳，房子才能高高在上，不然就是“垮掉”的命运，听着就让人不寒而栗。
九上册直角三角形中的比例线段
4．直角三角形中的比例线段一、基础知识回顾1.相似三角形的判定：（1） 于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（2）有 角对应相等的两个三角形相似。
（3）两边对应 ，且 相等的两个三角形相似。
（4） 对应成比例的两个三角形相似。
（5）一条 对应成比例的两个直角三角形相似。
2．相似三角形的性质：(1) 相似三角形对应角 ，对应边 。
(2)相似三角形对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于 。
（3）相似三角形的周长之比等于 ；相似三角形的面积之比等于 。
二、知识延伸拓展已知：如图1所示，在Rt △ABC 中，CD 是斜边上的高线.求证： CD 2= AD •BD (1) ;AC 2 = AD •AB (2) ; BC 2 = BD •AB (3) .分析：易证△CBD ∽△ACD ∽△ABC ，根据相似三角形对应边成比例，可得上述三个关系式。
证明：∵∠CDB=∠ACB=Rt ∠ ∠B=∠B ∴△CBD ∽△ABC同理可证 △ACD ∽△ABC ∴△CBD ∽△ACD ∽△ABC由△ACD ∽△CBD 得DD A B C CD D =∴CD 2= AD •BD (1)同理可得AC 2 = AD •AB (2) ； BC 2= BD •AB (3)利用上述三个关系式，可以较轻松地解决很多问题。
例如，利用这三个关系式很容易证明勾股定理，只要把上面（2），（3）两个关系式的两边分别相加，得AC 2 + BC 2 = AD •AB + BD •AB = AB （AD+BD ）= AB2 注意：运用这三个关系式时，要注意它们成立的条件。
三、精典例题点拨例1 在 图1中，若AD = 2cm ，DB = 6 cm ，求CD ，AC ，BC 的长。
解：∵ CD 2= AD •BD=2×6=12∴ );(3212cm CD ==∵ AC 2= AD •AB = 2 ×（2+6）=16，图1∴ )(416cm AC ==；∵ BC 2= BD •AB = 6×（2 + 6）=48， ∴ )(3448cm BC ==。
专题17直角三角形中的比例线段.docx
专题17 直角三角形中的比例线段阅读与思考借助相似三角形法研究直角三角形，我们会得到许多在解题中应用极为广泛的结论.如图，在用△ABC屮，ZA=90°, AD丄BC于D,贝IJ1.图中角的关系：ZB=/DAC, ZC=ZDAB；2.同一三角形中三边平方关系：AB2=AD2+BD\ A^A^CD2； B^AB^AC1・3・三角形之间的关系：△ABDsACADsACBA,由此得出的线段Z间的关系: ACT=BD・DC, AB2二BD・BC, AC^CD-BC.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，由此得出的等积式在计算与证明中应用极为广泛，其特点是：①一线段是两个三角形的公共边；②另两条线段在同一直线上.例题与求解【例1】如图，RtHABC中，CD为斜边AB上的高，£>£丄CB于E.若BE=6, CE=4,则AD=______________________________________________________________（上海市竞赛试题）解题思想：图中有两个基本图形，恰当选取相应关系式求出AD例2题图【例2】如图，在R/ZXABC中，ZC=90°, CD丄AB,下列结论:④AC+BOCD+AB.例1题图®CD^AB=AC*BC；②务型BC2 BD其中正确的个数是（）A.4个B.3个C.2个D.1个（江苏省竞赛试题）解题思路：综合运用直角三角形性质逐一验证，从而作出判断•【例3】如图，在等腰Rt/\ABC 中，AB二1, ZA=90°,点E为腰AC的中点，点F在底边BC上，且EF丄BE,求Z\CEF的面积. （全国初中数学联赛试题）解题思想：欲求△EFC的面积，由于EC=-,只需求EFC中EC边上的高，或求出EC边上的2高与EC的关系.木例解法其多，同学们的解题思路，自由探索与思考，寻求更多更好的解法.【例4】如图，直线0B是一次函数y = 2x的图象，点A的坐标为（0, 2）,在直线OB上找一点C,使△ACO 为等腰三角形，求点C的坐标.（江苏省竞赛试题）解题思想：注意分类讨论.能力训练A级1.如图，在两个直角三角形中，ZACB二ZAQC=90°, AC=y/6 . AD=2,当AB=_________________ 时，这两个直角三角形相似.2.如图，在Rt/XACB中，CD丄A3于点D, ZA的平分线AF交CD于£,过E引EG//AB交BC 于G,若CE二®则BG的长为______________________________ .（上海市竞赛试题）3・如图，ABCD为矩形，ABDE为等腰梯形，BD=20, EA=10,则AB二 _________________________ ・（“五羊杯”竞赛试题）C（第1题图）（第2题图）4.如图，梯子AB斜靠在墙面上，AC-LBC, AC=BC,当梯子的顶端A沿AC方向下滑兀米时，梯足B沿方向滑动歹米，则X与）,的大小关系是（）A. x = yB. x> yC. x<y D・不确定（江苏省竞赛试题）D.邑28.如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE丄4C交AC于F,过F作FG〃仙交AE于G,求证:AG2=AFFC.（西安市中考试题）A.小于90°B.等于90°C.大于90°D.不确定（全国初中数学联赛试题）BD CD,那么ABAC的度数是（)6.在ZUBC中，AD是高，且7.如图，在厶ABC中，已知ZC=90°, 4D是ZCAB的角平分线，点£在4B上，DE//CA, CD=12, BD=15,求AE, BE 的长.（上海市中考试题）5. 如图，矩形ABCD中, AB二羽,BC=3, AE丄于E,则EC等于（B.（第4题图）（第5题图）（第7题图）（第8题图）B9.如图，在RtHABC中，ZACB=90°, CD丄A3, DE丄AC, DFLBC, D, E, F 分别为垂足，求证:CD3=AB ・AE ・ BF.（四川省中考试题）10.如图，在RtHABC中，ZACB=90°, AD平分ZCAB交BC于点D,过点C作CE丄AD于点E, CE的延长线交AB于点F,过点E作EG//BC交AB于点G, AE・AD=16, AB=4禹.（1）求证：CE=EF；（2）求EG的长. （河南省中考试题）11.如图，在AABC中，已知ZACB=90°, BC=k・AC, CD丄AB于点D,点P为AB边上一动点,PE丄AC于E, PF丄BC于F.CE（1）___________________________ 当R =2 时，贝1J = ；BFEF（2）当k二3时，连结EF, DF,求——的值；DFEF 2曲（3）____________ 当k二吋，亠二亠（直接写出结果，不需证明）.。
直角三角形中的成比例线段(射影定理)
例1
如图,若AD=2cm,DB=6cm,求CD，AC,BC的长。
C
分析：利用射影定理和勾股定理
CD2 AD DB 2 6 12,
解:
CD
12 2
3cm;
A
D
B
AC2 AD AB 2 2 6 16,
(1)一锐角相等 (2)任意两边对应 成比例.
已知直角三角形ABC，CD垂直AB
问：1．图中有几个Rt△?
2．有几对△相似？
3．CD =2？ AC =2？ BC =2？
AD·DB AD·AB
A
BD·BA
C DB
求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三 角形相似。 已知：在RtΔABC中，CD是斜AB上的高。
这就是射影定理
1．直角三角形中,斜边 上的高线是两条直角 边在斜边上的射影的 比例中项;
2．每一条直角边是这 条直角边在斜边上的 射影和斜边的比例中 项;
C
A
DB
CD2 AD DB
AC2 AD AB
BC2 BD AB
具体题目运用：
ACBC
BC2 BD AB
CDAB AC2 AD AB A
所以CDA ~ BDC . 故CAD BCD.
在ACD中,因为CAD ACD 900.所以 BCD ACD 900 则BCD ACD ACB
900 , 因此 ABC是直角三角形.
如图3-2，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，M是BC的中点，
原来学好数学， 一点都不难！
你知道吗？
使学生了解射影的概念，掌握射影 定理及其应用。 直角三角形中的比例线段定理在证题 和实际计算中有较多的应用。