高考数学一轮总复习 2.12.1导数与函数的单调性课件

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2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版提优版)：导数与函数的单调性

当x>e时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减.
因为32<2<e，所以 f 32<f(2)，
即
2ln
33 2<2ln
2，故选项
A
正确；
因为 2< 3<e，所以 f( 2)<f( 3)，即 2ln 3> 3ln 2，故选项 B 不正确；因为e<4<5，所以f(4)>f(5)，即5ln 4>4ln 5，故选项C不正确；因为e<π，所以f(e)>f(π)，即π>eln π，故选项D正确.
综上，当－2<a<0 时，g(x)的单调递减区间为0，12，－1a，＋∞，单调递增区间为12，－1a；当a＝－2时，g(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；当 a<－2 时，g(x)的单调递减区间为0，－1a，12，＋∞，单调递增区间为－1a，12.
思维升华
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点.
当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0， ∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减. ∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1).
思维升华
确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.
(2)若函数 f(x)＝ln xe＋x 1，则函数 f(x)的单调递增区间为__(_0_,_1_) __.
f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝1x－lnexx－1，令 φ(x)＝1x－ln x－1(x>0)， φ′(x)＝－x12－1x<0， φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0， ∴当x∈(0,1)时，φ(x)>0，

高三数学总复习优质课件函数导数及其应用第2节函数的单调性与最值

(A)(0,1)
(B)(1,+∞)
(C)(-∞,1)
(D)(0,+∞)
解析:因为f(x)是R上的减函数且f(2a-1)<f(a),所以2a-1>a,所以a>1,故
选B.
4.若函数f(x)=(m-2)x+b在R上是减函数,则f(m)与f(2)的大小关系是
( A )
(A)f(m)>f(2)
(B)f(m)<f(2)
在这一区间具有(严格的)单调性, 区间D 叫做函数y=f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提
条件
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
(3)对于任意的 x∈I,
(1)对于任意的x∈I,都有 f(x)≤M ; 都有 f(x)≥M
;
(2)存在x ∈I,使得 f(x0)=M _
(4)存在x ∈I,使得
所以(2a+2b)x+c=0,所以 c=0,a=-b,

所以二次函数图象的对称轴方程为 x= .

因为 f(x)在区间[2m,m+1]上不单调,所以 2m< <m+1,所以- <m< .

答案:(- , )

[对点训练3] 若函数f(x)=2|x-a|+3在区间[1,+∞)上不单调,则a的取值范
是增函数;如果y=f(u)和u=g(x)的单调性相反,那么y=f(g(x))是减函数.在
应用这一结论时,必须注意:函数u=g(x)的值域必须是y=f(u)的单调区间的
子集;
(3)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数;一个增(减)函数与一个减(增)函

高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数第二节函数的基本性质课件(理)

奇偶性
定义
图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，偶函数都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数f(x)是偶关于
y轴
对
称
函数
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数f(x)是奇关于
原点
对
称
函数
2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝ f(x) ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
数f(x)在区间D上是减函数
(2)单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间. 2.函数的最值
前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
对于任意x∈I，都有 f(x)≤M ；
2
减函数，故 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1).故选 C.
答案 C [点评] 判断函数的单调性，应首先求出函数的定义域，在定
义域内求解.
函数的奇偶性解题方略奇偶性的判断 (1)定义法
答案 [－2，＋∞)
►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.
(2)[函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示，：可
以用逗号或 “ 和 ”] 函数
f(x)
＝xBiblioteka ＋1 x的
单
调
递
增

新高考一轮复习人教A版第二章第十一讲导数与函数的单调性课件(60张)

【题后反思】根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)单调递增(减)的充要条件是对任意的 x∈(a，b) 都有 f′(x)≥0(f′(x)≤0)且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
解：函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ax－(a＋1)＋1x＝ax2－a＋x 1x＋1＝
ax－1x－1
x
.
①当 0<a<1 时，1a>1， ∴x∈(0,1)和1a，＋∞时，f′(x)>0； x∈1，a1时，f′(x)<0， ∴函数 f(x)在(0,1)和1a，＋∞上单调递增，在1，1a上单调递减；
综上，当 0<a<1 时，函数 f(x)在(0,1)和1a，＋∞上单调递增，在1，a1上单调递减；
当 a＝1 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当 a>1 时，函数 f(x)在0，a1和(1，＋∞)上单调递增，在1a，1上单调递减.
【题后反思】 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点.
②当 a＞0 时，令 3x2－a＝0，得 x＝
33a或－
3a 3.
当 x＞ 33a或 x＜－ 33a时，f′(x)＞0；
当－ 33a＜x＜ 33a时，f′(x)＜0.
因此 f(x)在－∞，－ 33a， 33a，＋∞上单调递增，在－ 33a， 33a上单调递减.

导数与函数的单调性课件高三数学一轮复习

目录
｜解题技法｜讨论函数f（x）单调性的步骤
（1）确定函数f（x）的定义域；（2）求导数f'（x），并求方程f'（x）＝0的根；（3）利用f'（x）＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f'（x）的正负，由符号确定f（x）在该区间上的单调性. 提醒研究含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.
目录
考向2 解不等式
A.（－∞，－2）∪（1，＋∞） B.（2，＋∞） C.（－∞，－1）∪（2，＋∞） D.（－1，2）
目录
答案 C
目录
（1）若函数f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
目录
所以a＞－1. 即a的取值范围是（－1，＋∞）.
目录
（2）若函数f（x）在[1，4]上单调递减，求a的取值范围.
⁠
1.（多选）（2023·贵阳一模）下列选项中，在R上是增函数的有
（）
A.f（x）＝x4 C.f（x）＝xex
B.f（x）＝x－sin x D.f（x）＝ex－e－x－2x
目录
目录
2.已知f（x）＝x3－ax在[1，＋∞）上是增函数，则a的最大值是
.
⁠
解析：f'（x）＝3x2－a，由结论1知f'（x）≥0，即a≤3x2，又∵x∈[1，＋∞），
∴a≤3，即a的最大值是3.
答案：3
目录
02
目录
⁠
证明（判断）函数的单调性【例1】（1）（2022·北京高考·节选）已知函数f（x）＝exln（1＋x），设g （x）＝f'（x），讨论函数g（x）在[0，＋∞）上的单调性；
目录
目录

导数与函数的单调性-2021届高三数学一轮高考总复习课件

2.函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法：一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， ①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0) 是极大值； ②如果在x0附近的左侧___f_′__(x_)_＜__0__，右侧__f_′__(_x_)＞__0__，那么f(x0)是极小值.
(2)求可导函数极值的步骤： ①求 f′(x)； ②求方程 f′(x)＝0 的根； ③检查 f′(x)在方程 f′(x)＝0 的根的左、右值的符号.如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得__极__小__值____；如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点.
图 2-16-2
A
B
C
D
解析：原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点的横坐标大于 0.故选 D.
答案：D
(2)函数f(x)＝(3－x2)ex的单调递增区间是( ) A.(－∞，0) B.(0，＋∞) C.(－∞，3)和(1，＋∞) D.(－3,1) 解析：f′(x)＝－2xex＋(3－x2)ex＝(3－2x－x2)ex，∴f′(x)>0，即x2＋2x－3<0.解得－3<x<1.∴f(x)的单调递增区间为(－3,1).故选 D. 答案：D
小值的可能值为端点值，故只需保证gg－ 1＝113＝＋13－ a≥a≥ 0，0，
解
得－13≤a≤13.故选 C.
答案：C
思想与方法 ⊙运用分类讨论思想讨论函数的单调性例题：(2016 年新课标Ⅰ)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)若 f(x)有两个零点，求实数 a 的取值范围. 解：(1) f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a). ①设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0. ∴f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.

高考数学一轮复习-用导数研究函数的单调性ppt课件

恒成立，即 ≥
恒成立，又 =
在 , +∞ 上单调递减，故
< ，所以
+
+
+
≥ ，当 = 时，导数不恒为0.故选D.
02
研考点题型突破
题型一不含参数的函数的单调性
典例1 函数y = xln x(
D )
A.是严格增函数
B.在
1
0,
e
上是严格增函数，在
1
, +∞
e
上是严格减函数
为 , .故选A.
（2）函数f x
[解析] 函数
或 =
2
x2
0,
= x 的增区间为________.
ln 2
2

⋅ − ⋅ ⋅
= ，则′ =

，当

.
.令′ = ，解得 =
∈ −∞, 时,′ < ,函数单调递减，当 ∈ ,
（2）已知函数f x = ex − e−x − 2x + 1，则不等式f 2x − 3 >
3
, +∞
1的解集为_________.
2
[解析] = − − − + ，其定义域为，
∴ ′ = + − − ≥ ⋅ − − = ，当且仅当 = 时取“=”，∴ 在
在 a, b 上单调递减，则当x ∈ a, b 时，f′ x ≤ 0恒成立.
2.若函数f x 在 a, b 上存在增区间，则当x ∈ a, b 时，f′ x > 0有解；若函数f x
在 a, b 上存在减区间，则当x ∈ a, b 时，f′ x < 0有解.

高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2111导数的应用课件理新人教A版

答案－32 3
解法一：因为 f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)，所以[f(x)]2＝4sin2x(1 ＋cosx)2＝4(1－cosx)(1＋cosx)3，设 cosx＝t，则 y＝4(1－t)(1＋t)3(－1≤t≤1)，所以 y′＝4[－(1＋t)3＋3(1－t)(1＋t)2]＝4(1＋t)2(2－4t)，所以当－1<t<21时， y′>0；当21<t<1 时，y′<0。所以函数 y＝4(1－t)(1＋t)3(－1≤t≤1)在－1，21 上单调递增，在12，1上单调递减，所以当 t＝12时，ymax＝247；当 t＝±1 时， ymin＝0。所以 0≤y≤247，即 0≤[f(x)]2≤247，所以－32 3≤f(x)≤32 3，所以 f(x)的最小值为－32 3。
(ⅱ)当 0<2a<1，即 0<a<2 时，由 f′(x)>0，得 0<x<a2或 x>1；由 f′(x)<0，得a2<x<1。则函数 f(x)的单调递增区间为0，a2，(1，＋∞)，函数 f(x)的单调递减区间为a2，1。 (ⅲ)当2a＝1，即 a＝2 时，f′(x)≥0 恒成立，则函数 f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)。
2．函数的极值与导数
(1)函数的极小值
若函数 y＝f(x)在点 x＝a 处的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数
值都小
，且 f′(a)＝0，而且在点 x＝a 附近的左侧 f′(x)＜0 ，右
侧 f′(x)＞0 ，则 x＝a 叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值。
(2)函数的极大值
1．函数 f(x)在区间(a，b)上递增，则 f′(x)≥0，“f′(x)>0 在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件。

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6
知识点二函数的导数与极值的关系
(1)函数的极值
已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近所有点x，都有 f(x)<f(x0) ，那么称函数f(x)在x0处取极大值，记作 y极大值＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极大值点；如果在x0附近都有 f(x)>f(x0) ，那么称函数f(x)在点x0处取极小值，记作 y极小值＝f(x，0)并把x0称为函数f(x)的一个极小值点．
所以当x＝6π时，函数取最大值，为π6＋ 3.
答案 π6＋ 3
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20
6．设函数f(x)＝x3－x22－2x＋5，若对任意的x∈[－1,2]，都有 f(x)>a，则实数a的取值范围是________．
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21
解析 f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，得3x2－x－2＝0. 解得x＝1或x＝－23. 又f(1)＝72，f－23＝12577，f(－1)＝121，f(2)＝7，故f(x)min＝72， ∴a<72.
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8
知识点三函数的导数与最值的关系
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a) 为函数的最小值， f(b) 为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则
f(a) 为函数的最大值， f(b) 为函数的最小值．
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11
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12
对点自测
知识点一函数的导数与单调性的关系
1.判一判
(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件．( )
(2)函数在其定义域内离散的点处导数等于0不影响函数的单
调性．( )
(3)函数y＝12x2－lnx的单调递减区间为(0,1]．(
)
答案 (1)× (2)√ (3)√
答案 D
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18
知识点三函数的导数与最值的关系 5.函数y＝x＋2cosx在区间0，2π上的最大值是________．
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19
解析
y′＝1－2sinx，令y′＝0，且x∈
0，2π
，得x＝
π 6
，则
x∈0，6π时，y′>0；x∈π6，π2时，y′<0，
故函数在0，π6上递增，在6π，π2上递减，
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4
J 基础回扣·自主学习
理教材夯基础厚积薄发
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5
知识梳理
知识点一
函数的导数与单调性的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导，则 (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增． (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减． (3)若f′(x)＝0, 则f(x)在这个区间内是常数函数 .
答案 C
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16
4．设函数f(x)＝xex，则( ) A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点 C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点
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17
解析求导得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝ex(x＋1) ＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点．
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7
(2)求可导函数极值的步骤
①求导数f′(x)； ②求方程 f′(x)＝0 的所有实数根；
③对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数
f′(x)的符号如何变化．如果f′(x)的符号由正变负，那么f(x0)是极大值；如果f′(x)的符号由负变正，那么f(x0)是极小值．
如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右侧符号不变，那么 f(x0) 不是极值 .
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3
备考知考情由于高考对本节知识的考查仍将突出导数的工具性，重点考查利用导数研究函数极值、最值及单调性等问题，其中蕴含对转化与化归、分类讨论和数形结合等数学思想方法的考查，故备考时要认真掌握导数与函数单调性、极值的关系，强化导数的工具性的作用．另外，导数常与解析几何、不等式、方程相联系．因此，要加强导数应用的广泛意识，注重数学思想和方法的应用.
A．x＝1
B．x＝－1
C．x＝1或－1或0 D．x＝0
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15
解析 ∵f(x)＝x4－2x2＋3，由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，得 x＝0或x＝1或x＝－1. 又当x<－1时f′(x)<0，当－1<x<0时，f′(x)>0，当0<x<1 时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0， ∴x＝0,1，－1都是f(x)的极值点．
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13
2．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是________．
解析 f′(x)＝3x2－a在x∈[1，＋∞)上f′(x)≥0，则f′(1)≥0⇒a≤3.
答案 3
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14
知识点二函数的导数与极值的关系
3.函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是( )
第二章函数、导数及其应用
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1
第十二节 ►►导数的应用
基础回扣·自主学习
热点命题·深度剖析
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2
高考明方向 1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)
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9
(3)求可导函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
①求f(x)在(a，b)内的极值； ②将f(x)的各极值与 f(a)，f(b)
进行比较，其中最大的一
个是最大值，最小的一个是最小值．
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10
知识点四生活中的优化问题 (1)生活中的优化问题通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点． (2)利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
答案－∞，72
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22
知识点四生活中的优化问题
7.从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的
小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为( )
A．12 cm3