瑞利判据(衍射分辨极限)

《大学物理教程》郭振平主编第四章光的衍射课后习题答案

第四章光的衍射一、基本知识点光的衍射：当光遇到小孔、狭缝或其他的很小障碍物时，传播方向将发生偏转，而绕过障碍物继续前行，并在光屏上形成明暗相间的圆环或条纹。

光波的这种现象称为光的衍射。

菲涅耳衍射：光源、观察屏（或者是两者之一）到衍射屏的距离是有限的，这类衍射又称为近场衍射。

夫琅禾费衍射：光源、观察屏到衍射屏的距离均为无限远，这类衍射也称为远场衍射。

惠更斯－菲涅耳原理：光波在空间传播到的各点，都可以看作一个子波源，发出新的子波，在传播到空间某一点时，各个子波之间可以相互叠加。

这称为惠更斯－菲涅耳原理。

菲涅耳半波带法：将宽度为a 的缝AB 沿着与狭缝平行方向分成一系列宽度相等的窄条，1AA ，12A A ，…，k A B ，对于衍射角为θ的各条光线，相邻窄条对应点发出的光线到达观察屏的光程差为半个波长，这样等宽的窄条称为半波带。

这种分析方法称为菲涅耳半波带法。

单缝夫琅禾费衍射明纹条件：sin (21)(1,2,...)2a k k λθ=±+=单缝夫琅禾费衍射暗纹条件：sin (1,2,...)a k k θλ=±=在近轴条件下，θ很小，sin θθ≈, 则第一级暗纹的衍射角为 1aλθ±=±第一级暗纹离开中心轴的距离为 11x f faλθ±±==±, 式中f 为透镜的焦距。

中央明纹的角宽度为 112aλθθθ-∆=-=中央明纹的线宽度为 002tan 2l f f faλθθ=≈∆=衍射图样的特征：① 中央明纹的宽度是各级明纹的宽度的两倍，且绝大部分光能都落在中央明纹上。

② 暗条纹是等间隔的。

③ 当入射光为白光时，除中央明区为白色条纹外，两侧为由紫到红排列的彩色的衍射光谱。

④ 当波长一定时，狭缝的宽度愈小，衍射愈显著。

光栅: 具有周期性空间结构或光学性能（透射率，反射率和折射率等）的衍射屏，统称为光栅。

光栅常数: 每两条狭缝间距离d a b =+称为光栅常数。

显微镜分辨率：概念、因素和计算

显微镜分辨率：概念、因素和计算在显微镜学中，‘分辨率’一词用于阐述显微镜对细节进行区分的能力。

换言之，这是样本内两个能被观察人员或者显微镜摄像头区分的实体点之间的理想的距离。

显微镜的分辨率本质上与光学元件的数值孔径（NA）以及用于观察样本标本的光波长有关。

此外，我们必须考虑Ernst Abbe于1873年首次提出的衍射极限。

本文章包含了这些概念的历史介绍并使用相对简单的术语对其进行了解释。

分辨率与数值孔径数值孔径（NA）与光通过的介质的折射率（n）以及给定物镜的孔径角（α）有关（NA=n ×sin α）。

显微镜的分辨率不仅取决于物镜的NA，还取决于整个系统的NA，要把显微镜聚光镜的NA也纳入考虑。

在显微镜系统中，所有光学元件都正确对齐、具有相对较高的NA值并且相互协调工作，可以分辨出更多的图像细节。

分辨率还与标本成像所用的光波长有关；波长越短，可分辨的细节越多，波长越长则分辨细节越少。

在处理分辨率时需要考虑三个数学概念：‘阿贝衍射极限’、‘艾里斑’和‘瑞利判据’。

以下按时间顺序逐一介绍。

George Biddell Airy与‘艾里斑’（1835）George Biddell Airy（1801-1892）是英国数学家和天文学家。

1826年，25岁的他被任命为三一学院的数学教授，两年后，被任命为新剑桥天文台的天文学教授。

1835年到1881年期间，他是“皇家天文学家”，月球和火星上各有一处以他的名字命名的陨石坑。

1835年，他在剑桥哲学学会学报上发表了一篇题为《有关圆孔径物镜的衍射》的论文。

Airy在论文中以一个天文学家的视角描述了通过一个精良的望远镜观察到的恒星周围的光环或者射线的形状及亮度。

尽管是从不同的科学领域发表的文章，但这些观察结果与其他光学系统，特别是显微镜存在着关联。

艾里斑(Airy Disc)是在衍射限制的系统中由圆形孔径形成的聚焦的光点。

如图1所示，其呈现为中央亮点和周围是明暗相间的同心环（更准确地说，这是艾里图案Airy pattern）。

66助视光学仪器的分辨本领

物理科学与信息工程学院 14
眼睛的分辨本领为
眼

1.22
d
,
由于 D d , 所以望眼.
望远镜的分辨本领要比人眼大。在设计望远镜或其它光学仪器时，应使它的放大率和分辨本领相适应。
对于助视仪器，若选择其放大率，使望远镜的最小分辨角刚好放大到人眼所能分辨的最小角度，这个放大率称为望远镜的有效放大率或正常放大率。
最小分辨角：
S1
D

*
0
*
I

1
1.22

D
S2
分辨本领：艾里斑分辨极限的倒数成为分辨本领，或者称为分辨能力。
物理科学与信息工程学院 7
由此可见，为了提高光学仪器的分辨本领，即减小其最小分辨角。必须加大物镜的直径D。如图
D小
D大
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另外，入射效波长约为10－11m，比光波波长短的多，因此，电子显微镜比一般的光学显微镜具有高得多的分辨本领。

1.22
D
两个发光点在光屏上成 “像”时。它们各自的衍射图样有一部分落在屏上同一区域。
由于两个独立的发光点是不相干的。故光屏上的总照度是两组明暗条纹光强分布的非相干叠加。
2
如果两个衍射斑的中央亮斑的中心相距比较远，中央亮
斑的范围又比较小，两个衍射圆斑分得很开，从而知道
是两个物点。
1
如果两个衍射斑的中央亮斑靠得很近，中央亮斑的范围又比较大，那么两个衍射圆斑（即两个发光点的“像”）将彼此重叠而难以分辨。
y' f ' ' 1.22 D f'
f 为物镜的像方焦距，D/ f 为望远镜的相对孔径。

瑞利判据公式的推导过程

瑞利判据公式的推导过程好的，以下是为您生成的文章：咱今天来好好聊聊瑞利判据公式的推导过程，这可是个挺有意思的事儿。

先给大家简单说下啥是瑞利判据。

想象一下，您拿着望远镜看星星，有时候两颗靠得近的星星，看起来就像是一颗，为啥呢？这就和瑞利判据有关系啦。

那这瑞利判据公式到底咋来的呢？咱们一步一步来。

先说光的衍射，这就像是光在跟我们玩“捉迷藏”。

光通过一个小孔或者狭缝的时候，它不会乖乖地直着走，而是会散开，形成一些明暗相间的条纹。

这就是光的衍射现象。

然后咱们假设一个点光源发出的光，经过一个圆形孔径衍射。

衍射后的光强分布可以用一些复杂的数学公式来描述。

这时候，咱们再引入两个点光源。

如果这两个点光源离得足够远，那我们就能很清楚地分辨出这是两个光源。

但要是离得太近，它们衍射后的图案就会重叠在一起，让我们分不清到底是一个还是两个。

那这个“太近”到底是多近呢？这就用到瑞利判据啦。

瑞利判据说，当一个点光源衍射的中央极大，刚好和另一个点光源衍射的第一极小重合时，我们就认为这两个点光源刚好能被分辨。

那为啥是第一极小呢？这就好比您在人群中找人，要是两个人的位置刚好在最不容易被注意到的地方重合，那就很难分辨了。

咱们来推导推导这个公式。

假设圆形孔径的直径是 D，光的波长是λ，根据衍射的理论，第一极小的角度位置可以表示为1.22λ / D 。

这 1.22 这个数字是咋来的呢？这可是经过好多科学家研究计算出来的，您就先别管那么多细节啦。

咱说回分辨两个点光源的事儿。

如果两个点光源对圆孔的张角等于1.22λ / D ，那按照瑞利判据，这就是刚好能分辨的极限。

给您举个例子吧，有一次我在观测星空的时候，就碰到了两颗看起来模模糊糊的星星。

我当时就在想，它们到底是两颗靠得近的星星，还是只是一颗比较亮的星星产生的错觉呢？后来我用学到的瑞利判据的知识一分析，发现它们离得还没到分辨不出来的程度，果然，仔细看还是能分辨出是两颗星星的。

总之，瑞利判据公式虽然看起来有点复杂，但它在光学领域可是非常重要的。

光学分辨率计算公式

光学分辨率计算公式
其中，λ是光的波长，D是光学系统的孔径直径。

该公式的推导基于菲涅尔衍射原理和瑞利判据。

根据这两个原理，当两个物体间的角距离小于一定限度时，经过光学系统后的点光源成像将模糊不清，无法分辨出两个物体的细节。

只有当两个物体间的角距离大于这一限度时，光学系统才能够将两个物体分辨开来。

瑞利判据给出了分辨极限的表达式，即最小可分辨角度θ为：
θ=1.22*λ/D
其中，θ是最小可分辨角度，λ是光的波长，D是光学系统的孔径直径。

这个公式又称为瑞利判据或瑞利公式。

通过这个公式，我们可以推导出光学分辨率的计算公式。

光学分辨率可以定义为最小可分辨角度对应的线性距离。

假设分辨率为R，D为光学系统的孔径直径，可以得到以下关系：
R = D * tan(θ)
由于θ非常小，可以用θ的正切近似代替sinθ，即tan(θ) ≈ sin(θ) ≈ θ。

将θ用1.22 * λ / D代入上式，可以得到：R≈D*(1.22*λ/D)
化简后得到：
R≈1.22*λ
综上所述，光学分辨率的计算公式为光学分辨率=1.22*λ/D。

这个公
式表明，光学分辨率与波长和孔径直径有关。

波长越短，光学分辨率越高；孔径直径越大，光学分辨率越低。

光的衍射极限如何测定？

光的衍射极限如何测定？在探索光的奇妙世界时，光的衍射现象是一个引人入胜且至关重要的课题。

而其中，测定光的衍射极限更是一项具有挑战性和重要意义的任务。

要理解光的衍射极限测定，首先得清楚什么是光的衍射。

当光通过一个狭窄的缝隙或者绕过一个障碍物时，光不再沿着直线传播，而是会扩散开来，形成一系列明暗相间的条纹，这就是光的衍射现象。

那么，为什么要测定光的衍射极限呢？这是因为它对于光学系统的性能评估和应用具有关键意义。

在许多光学领域，如显微镜、望远镜、光刻技术等，了解光的衍射极限能够帮助我们确定系统能够分辨的最小细节，从而评估其成像质量和性能。

接下来，让我们看看常见的测定光的衍射极限的方法。

一种常用的方法是利用阿贝成像原理。

阿贝认为，在显微镜成像中，物体可以看作是由不同空间频率的光栅组成。

通过分析这些光栅的成像情况，可以确定系统的衍射极限。

具体操作时，通常会使用已知周期的光栅作为样品，然后观察其在显微镜下的成像。

当成像的清晰度开始下降，无法分辨更小的光栅周期时，就达到了该显微镜系统的衍射极限。

另一种方法是瑞利判据。

瑞利判据指出，当一个点光源的艾里斑中心与另一个点光源的艾里斑第一暗环重合时，刚好能分辨出这两个点光源。

基于这个判据，可以通过测量点光源成像的艾里斑大小来确定衍射极限。

在实际测定中，实验设备的精度和准确性至关重要。

例如，使用高质量的光源，以确保光的单色性和稳定性。

同时，光学元件如透镜、光栅等的质量和精度也会影响测定结果。

为了更精确地测定光的衍射极限，还需要考虑环境因素的影响。

例如，空气的波动、温度的变化等都可能导致光的传播发生微小的变化，从而影响测定结果。

因此，在一些高精度的测定中，会在恒温、恒压的环境中进行实验。

在现代科技中，随着纳米技术的发展，对于光的衍射极限的测定要求越来越高。

一些先进的技术，如近场光学技术，被引入到测定中。

近场光学技术能够突破传统光学衍射极限的限制，实现更高分辨率的测量。

此外，还有基于数值模拟的方法。

CM P Tilt 望远镜观测图片的注释内容

CM P Tilt望远镜观测图片的注释内容物镜的口径（D）物镜的口径是望远镜最重要的参数，一般是指有效口径，也就是通光直径，即望远镜的入射光瞳直径，是望远镜聚光本领的主要标志，而不是指镜头的玻璃的直径大小。

一般用英寸(in)或者毫米(mm)来表示,口径越大，它收集的光越多，成像的亮度和清晰度就越好。

（注：1 in=25.4 mm）聚光本领(集光力)这是理论上望远镜与眼睛相比收集光的能力。

它直接与口径的面积成正比。

先把望远镜的口径(单位：mm)除以7mm(年轻人眼睛瞳口的大小)，然后将得到的商平方，此结果即是集光力。

比如，8英寸的望远镜的集光力是843((203.2/7)²=843)。

焦距（f）就是从透镜(或者主反射镜)到焦点的距离，通常单位是毫米(m m)。

一般来说，望远镜的焦距越长，它的放大率就越大，成像的尺寸就越大，但是视场范围就越小。

比如，与焦距为1000mm的望远镜相比，2000mm焦距望远镜的放大率和视场范围分别是前者的2倍和1/ 2。

如果你不知道焦距，只知道焦比(focal ratio)，你可以通过这样计算的得到焦距：口径(单位是mm)乘以焦比就是焦距。

比如，口径为8英寸(203.2mm)，焦比为f/10的透镜，其焦距为203.2 x 10=2032mm。

相对口径（A）与焦比（1/A）望远镜有效口径D与焦距f之比，称为相对口径或相对孔径A，即A＝D/f。

这是望远镜光力的标志，故有时也称A为光力。

彗星、星云或星系等有视面天体的成像照度与相对口径的平方（A2）成正比；流星或人造卫星等所谓线性天体成像照度与相对口径A和有效口径D 之积（D2/f）成正比。

因此，作天体摄影时，要注意选择合适的A或焦比1/A（即f/D。

照相机上称为光圈号数或系数）。

分辨角对于望远镜来说，就是指杜氏极限(Dawes limit)。

也就是能够分开两个距离很近的两颗星的能力，单位是角秒1′(seconds of ar c)。

瑞利判据(衍射分辨极限)

瑞利判据（衍射分辨极限）
λ→
2
2 k
3. 衍射与成像
物镜成象光路图
[001]带轴电子衍射图．(a) SmBa
2Cu
3
O
6.76
；
(b) YbBa
2Cu
3
O
6.55
．
2005-5-174.2005-5-17三维倒易点阵重构a *C *
001/2
Staining and shadowing technique
with heavy metals (U, Pb, Os)
2005-5-17SiGe 外延膜中的60°位错
尖晶石与NiO 基体之间的失配位错间接观察晶体缺陷直接观察晶体缺陷
O
M
MO 6
S. Iijima & J. M. Cowley (1972), J Appl Phys, 42, 5891)
七十年代初：高分辫子显微像Ewald Prize in 1987 awarded by IUCr
•是与原子（核和核外电子云）的库仑势作用的结果，它是电•
㈠电离
⎧发
•高能电子打在半导体、绝缘体等上时，在内层电子被激发过程例：半导体中杂质原子
②电子云的
•入射电子进入固体中某一点的瞬间，引起与固体中电子的排斥力（库仑
③电子云集体振荡的能量：（
㈣入射电子与晶格相互作用引起的非弹性散射（电子。