数学建模综合题影院座位设计问题

数学模型张峰华材料学院材料成型及控制工程04班刘泽材料学院材料成型及控制工程04班杨海鹏材料学院冶金工程03班一、问题重述影院座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β，视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不适，一般要求仰角β不超过030；记影院的屏幕高为h ，上边缘距离地面高为H ,影院的地板线通常与水平线有一个倾角θ，第一排和最后一排与屏幕水平距离分别为,d D ，观众的平均座高为c （指眼睛到地面的距离），已知参数h =. H =5， 4.5,19d D ==，c =(单位m)。

求解以下问题：(1) 地板线的倾角010=θ时，求最佳座位的所在位置。

(2) 地板线的倾角θ一般超过020，求使所有观众的平均满意程度最大时的地板线倾角。

二、问题的分析电影院座位的设计应满足什么要求，是一个非常现实的问题。

根据题意观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角α和仰角β，α越大越好，而β越小越好，最佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点，使观众对两者的综合满意程度达到最大。

本文通过对水平视角α和仰角β取权重，建立适当的坐标系，从而建立一个线形型满意度函数。

针对问题一，已知地板线倾角，求最佳座位所在，即将问题转化求综合满意度函数的最大值，建立离散加权的函数模型并利用Matlab 数学软件运算求解；针对问题二，将所有观众视为离散的点，要使所有观众的平均满意程度达到最大，即将问题转化求满意度函数平均值的最大值。

对此利用问题一所建立的满意度函数，将自变量转化为地板线倾角；在问题二的基础上对地板线形状进行优化设计，使观众的平均满意程度可以进一步提高。

本文在满意度呈线性的基础上来建立模型的，为使模型简化，更好地说明问题，文中将作以下假设。

三、模型假设1.忽略因视力或其他方面因素影响观众的满意度；2.观众对座位的仰角的满意程度呈线性；3.观众对座位的水平视角的满意程度呈线性；4.最后排座位的最高点不超过屏幕的上边缘；5.相邻两排座位间的间距相等，取为m ；6.对于同一排座位，观众的满意程度相同；7.所有观众的座位等高为平均座高；8.影院的的地板成阶梯状。

四、符号说明α 水平视角δ视高差，即从眼睛到头顶的竖直距离 β 仰角αS 观众对水平视角为α的满意程度 θ 地板线与水平线的倾角βS观众对仰角为β的满意程度 d 第一排离屏幕水平距离S平均满意程度D 最后一排离屏幕水平距离 βαc c , 视角α、仰角β在综合满意度i S 中的权重h 屏幕的高度l 相邻两排座位间沿地板线方向的间距 H 屏幕上边缘离地面的高度五、模型的建立与求解问题一每一个到影院看电影的观众都想坐在最佳位置，而对座位的满意程度主要取决于两个因素：水平视角α和仰角β，且视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角，越大越好，仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不适，要求不超过030。

5.1.1 模型Ⅰ的建立：仰角在满足条件的范围内,观众满意度只取决于视角以第一排观众的眼睛为原点，建立平面直角坐标系，如图1所示：其中，AB 为屏幕，MS 为地板线，OE 为所有的观众的眼睛所在的直线。

则由图可设视觉线OE 上任意一点P 的坐标为)tan ,(θx x ，屏幕上下点的坐标分别为),(c H d A --，),(c h H d B ---，AP 的斜率记为AP k ,BP 的斜率记为BP k 。

由斜率公式得：)(tan tan d x c H x k AP --+-=-=θβ，)(tan )tan(d x ch H x k BP --++-=--=θαβ则直线AP 和BP 的斜率与夹角α满足如下关系：)tan )(tan ()()(1tan 2c h H x c H x d x d x h k k k k AP BP AP BP ++-+-+++=+-=θθα仰角满足条件：]30,0[ ∈β 所以：33)(tan 033tan 0≤--+--≤⇒≤≤d x cH x θβθθtan tan 3333cH x d c H -≤≤+-- 由公式 得到模型为：)tan )(tan ()()(arctanmax 2c h H x c H x d x d x h ++-+-+++=θθα⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤+---≤≤θθtan tan 33330..c H x d c H d D x t s模型Ⅰ的求解当 10=θ时，用Matlab 软件运算求解（程序见附录1），得最大视角为 9522.13=α，仰角为 30=β，7274.1=x 米。

即P 点的坐标为)3046.0,7274.1(为最佳位置。

离屏幕的水平距离为米2274.67274.15.4=+。

模型Ⅱ的建立：离散加权模型在地板线上的座位可视为是离散的点，设两排座位在地板线方向上的前后间距为l （查阅相关资料间距一般取米），则在水平方向的间距为θcos l ，考虑仰角和视角对观众的满意度为主要因素。

对模型Ⅰ进行修正，将座位连续情况进行离散化可以得到：)(cos )1(tan cos )1()(tan tan d l k cH l k d x c H x ---+---=--+--=θθθθβ)tan cos )1)((tan cos )1(()cos )1(()cos )1((tan 2c h H l k c H l k d l k d l k h ++--+--++-+-=θθθθθθα其中，n k ,,3,2,1 =，n 为地板线上的座位的总排数，且191]cos 5.14[=+=θl n 。

一般说来，人们的心理变化是一个模糊的概念。

本文中观众对某个座位是否满意的看法就是一个典型的模糊概念。

由模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，根据题意，在假设条件下，对于第k 排座位，建立观众对视角α、仰角β的满意度函数]1[如下：minmax mintan tan tan tan ααααα--=k k Sminmax mintan tan tan tan 1βββββ---=k k S式中k k βα,为第k 排座位上观众视角和仰角，max max ,βα表示在θ给定的情况下最优满意度，min min ,βα表示在θ给定的情况下最差满意度。

视角α、仰角β在综合满意度k S 中的权重分别为βαc c ,，建立第k 排座位综合满意度函数如下：βαββααc c S c S c S kk k ++=根据地板线倾角︒=10θ，通过计算可以得出 8975.154210.5≤≤α，9149.400451.4≤≤β，主观给定权重4.0,6.0==βαC C ，根据模型的建立，可以得出：1357.0tan 5025.0tan 1596.34.06.04.06.0+-=++=++=k k kk kk k S S c c S c S c S βαβαβαββαα将式和式带入公式得到优化模型为：1357.0)(cos )1(tan cos )1(5025.0)tan cos )1)((tan cos )1(()cos )1(()cos )1((*1596.3max 2+---+--+++--+--++-+-=d l k cH l k c h H l k c H l k d l k d l k h S k θθθθθθθθθ 19,,3,2,1,cos )1(tan tan 33330.. =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-≤≤+---≤≤k l k x c H x dc Hd D x t s θθθ模型Ⅱ的求解用Matlab 软件运算求解（程序见附录2）可得：3635.2=x 米，4=k 排，最大满意度为6176.04=S ,最大视角为 1282.13=α，仰角为 9084.26=β,最佳位置离屏幕的水平距离为米8635.63635.25.4=+。

问题二模型Ⅲ的建立要使所有观众的平均满意程度达到最大，即需求S 的最大值。

由模型Ⅱ可知，第k 排观众的满意度为S ,则观众平均满意程度函数为：n S S nk k ∑==1，平均满意度S 的大小由每一排的满意度所决定，而又是由仰角β和视角α所决定。

所以，要使观众的满意程度达到最大，取决于两个方面：(1) 仰角不超过条件的座位所占的比例越大，观众的平均满意程度就越大；(2) 所有座位的视角的均值越大，观众的平均满意程度就越大。

由式可知，地板线倾角θ的改变将同时使所有座位的仰角和视角的大小发生改变，且在某一座位(即x 取某一定值)，在θ逐渐增大的过程中仰角逐渐减小，视角逐渐增大，见图2所示。

仰角不超过条件的区域扩大，即地板线倾角θ越大,仰角不超过条件的座位所占的比例越大。

θ角变化α角变化θ角变化β角变化图2 视角α和仰角β随θ变化的变化曲线第一排观众的仰角为 9149.40=β，不满足仰角的条件，由模型Ⅱ可知第k 排座位所对应的仰角的正切值：n k d l k cH l k k ,,3,2,1,)(cos )1(tan cos )1(tan =---+---=θθθβ其中n 为地板线上的座位的总排数：1]cos 5.14[+=θl n ，随着地板线倾角θ的变化，相邻两排座位间的间距l 不变，但相邻两排座位间的水平间距会发生改变。

由于地板线倾角θ不超过 20，所以2019≤≤n ，并限制最后一排观众的视高不要超过屏幕的上边缘，即 0543.15≤θ。

由模型Ⅰ可求出第k 排座位所对应的水平视角的正切值为：)tan cos )1)((tan cos )1(()cos )1(()cos )1((tan 2c h H l k c H l kd l k d l k h ++--+--++-+-=θθθθθθα 模型Ⅲ的求解让地板线倾角θ在]20,0[ 内逐一取值,步长为 01.0；让x 在]5.14,0[内逐一取值,步长为。

对一个取定的θ，判断x 所在的位置仰角是否超过 30，若超过，则该座位的综合满意度必须同时考虑仰角β和视角α的取值；否则，只需要考虑视角α的取值，把所有座位的综合满意度相加，并求出观众的平均综合满意度，判断此时的平均满意度是否最大，最后一排的高度是否超过屏幕的上边缘，并记下最大值时θ的取值。

当取地板线倾角为θ变化时，通过计算可以得出 8975.151143.5≤≤α，9149.400≤≤β。

由模型Ⅱ的式得：=++=++=4.06.04.06.0kk kk k S S c c S c S c S βαβαββαα （）所以，将式和式带入公式得到平均满意度的优化模型为：nSS nk k∑==1max取整数其中n n k l k x d D x n t s ,,2,1,cos )1(00543.1502019. =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-≤≤≤≤≤≤θθ 用Matlab 软件计算（程序见附录3）可得：最大平均满意度为6572.0=S ，对应地板线的倾角为 0543.15=θ。