2018届高三数学文科二轮复习：专题检测(九) 导数的简单应用

专题检测（九） 导数的简单应用一、选择题1．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A.12 B ．1 C ．0D ．不存在解析：选A ∵f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x ，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1.∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，且f (1)＝12－ln 1＝12.2．函数f (x )＝x ＋1x 的极值情况是( )A ．当x ＝1时，取极小值2，但无极大值B ．当x ＝－1时，取极大值－2，但无极小值C ．当x ＝－1时，取极小值－2；当x ＝1时，取极大值2D ．当x ＝－1时，取极大值－2；当x ＝1时，取极小值2 解析：选D f ′(x )＝1－1x2，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，函数f (x )在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,0)和(0,1)上单调递减， 所以当x ＝－1时，取极大值－2，当x ＝1时，取极小值2.3．若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a 的值为( ) A ．e －12B ．2e －12C ．e 12D ．2e 12解析：选B 依题意，设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0，则有y ′|x ＝x 0＝2x 0，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2x 0，ax 0＝2ln x 0＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝e ，a ＝2e －12.4．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．0D ． 2解析：选B ∵函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，∴a2≥1，得a ≥2.又∵g ′(x )＝2x －ax ，依题意g ′(x )≥0在x ∈(1,2)上恒成立，得2x 2≥a 在x ∈(1,2)上恒成立，有a ≤2，∴a ＝2.5．若函数f (x )＝x ＋bx (b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，则f (x )在下列区间上单调递增的是( )A ．(－2,0)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：选D 由题意知，f ′(x )＝1－bx2，∵函数f (x )＝x ＋bx (b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，令当1－bx 2＝0，得b ＝x 2，又x ∈(1,2)，∴b ∈(1,4)．令f ′(x )＞0，解得x ＜－b 或x ＞b ，即f (x )的单调递增区间为(－∞，－b )，(b ，＋∞)． ∵b ∈(1,4)，∴(－∞，－2)符合题意．6．已知f (x )＝ln x －x 4＋34x ，g (x )＝－x 2－2ax ＋4，若对任意的x 1∈(0,2]，存在x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫54，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－18，＋∞ C.⎣⎡⎦⎤－18，54 D.⎝⎛⎦⎤－∞，－54 解析：选A 因为f ′(x )＝1x －14－34x 2＝－x 2＋4x －34x 2＝－(x －1)(x －3)4x 2， 易知，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，当x ∈(1,2]时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增， 故f (x )min ＝f (1)＝12.对于二次函数g (x )＝－x 2－2ax ＋4，易知该函数开口向下， 所以其在区间[1,2]上的最小值在端点处取得， 即g (x )min ＝min{g (1)，g (2)}．要使对任意的x 1∈(0,2]，存在x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)成立，只需f (x 1)min ≥g (x 2)min ， 即12≥g (1)且12≥g (2)， 所以12≥－1－2a ＋4且12≥－4－4a ＋4，解得a ≥54.二、填空题7．曲线f (x )＝x ln x 在点M (1，f (1))处的切线方程为________．解析：由题意，得f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝ln 1＋1＝1，即切线的斜率为1.因为f (1)＝0，所以所求切线方程为y －0＝x －1，即x －y －1＝0.答案：x －y －1＝08．已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意知f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在区间⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x在区间⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立．又∵y ＝－x ＋1x 在区间⎣⎡⎦⎤13，2上单调递减， ∴⎝⎛⎭⎫－x ＋1x max ＝83， ∴2a ≥83，即a ≥43.答案：⎣⎡⎭⎫43，＋∞9．已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝ln x 2＋12的图象分别与直线y ＝m 交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________．解析：显然m ＞0，由e x ＝m 得x ＝ln m ，由ln x 2＋12＝m 得x ＝2e 12m －，则|AB |＝2e 12m －－ln m ．令h (m )＝2e 12m －－ln m ，由h ′(m )＝2e12m －－1m ＝0，求得m ＝12.当0＜m ＜12时，h ′(m )＜0，函数h (m )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减；当m ＞12时，h ′(m )＞0，函数h (m )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增．所以h (m )min ＝h ⎝⎛⎭⎫12＝2＋ln 2，因此|AB |的最小值为2＋ln 2.答案：2＋ln 2 三、解答题 10．已知函数f (x )＝xln x＋ax ，x >1. (1)若f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围； (2)若a ＝2，求函数f (x )的极小值．解：(1)f ′(x )＝ln x －1ln 2x＋a ， 由题意可得f ′(x )≤0在(1，＋∞)上恒成立， ∴a ≤1ln 2x －1ln x ＝⎝⎛⎭⎫1ln x －122－14. ∵x ∈(1，＋∞)， ∴ln x ∈(0，＋∞)， ∴当1ln x －12＝0时，函数t ＝⎝⎛⎭⎫1ln x －122－14的最小值为－14， ∴a ≤－14，即实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－14. (2)当a ＝2时，f (x )＝xln x＋2x (x >1)， f ′(x )＝ln x －1＋2ln 2xln 2x，令f ′(x )＝0得2ln 2x ＋ln x －1＝0， 解得ln x ＝12或ln x ＝－1(舍去)，即x ＝e 12.当1<x <e 12时，f ′(x )<0，当x >e 12时，f ′(x )>0， ∴f (x )的极小值为f (e 12)＝e1212＋2e 12＝4e 12.11．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x . (1)讨论f (x )的单调性； (2)当a ＜0时，证明f (x )≤－34a－2. 解：(1) f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x ＋2ax ＋2a ＋1＝(x ＋1)(2ax ＋1)x . 若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x)＞0， 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a ＜0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－12a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞时，f ′(x )＜0. 故f(x)在⎝⎛⎭⎫0，－12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递减． (2)证明：由(1)知，当a ＜0时，f (x )在x ＝－12a处取得最大值，最大值为f ⎝⎛⎭⎫－12a ＝ln ⎝⎛⎭⎫－12a－1－14a.所以f (x )≤－34a －2等价于ln ⎝⎛⎭⎫－12a －1－14a ≤－34a －2，即ln ⎝⎛⎭⎫－12a ＋12a ＋1≤0. 设g (x )＝ln x －x ＋1，则g ′(x )＝1x－1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＜0.所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故当x ＝1时，g (x )取得最大值，最大值为g (1)＝0. 所以当x ＞0时，g (x )≤0.从而当a ＜0时，ln ⎝⎛⎭⎫－12a ＋12a ＋1≤0， 即f (x )≤－34a－2.12．(2017·福州质检)已知函数f (x )＝aln x ＋x 2－ax (a ∈R )． (1)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间； (2)求g (x )＝f (x )－2x 在区间[1，e]上的最小值h (a )． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝ax ＋2x －a ＝2x 2－ax ＋a x ，因为x ＝3是f (x )的极值点，所以f ′(3)＝18－3a ＋a3＝0，解得a ＝9，所以f ′(x )＝2x 2－9x ＋9x ＝(2x －3)(x －3)x ， 所以当0＜x ＜32或x ＞3时，f ′(x )＞0；当32＜x ＜3时，f ′(x )＜0. 所以f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，32，(3，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫32，3. (2)g (x )＝a ln x ＋x 2－ax －2x ，则g ′(x )＝2x 2－ax ＋a x －2＝(2x －a )(x －1)x . 令g ′(x )＝0，得x ＝a2或x ＝1.①当a2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上为增函数，h (a )＝g (1)＝－a －1；②当1＜a2＜e ，即2＜a ＜2e 时，g (x )在⎣⎡⎭⎫1，a 2上为减函数，在⎝⎛⎦⎤a 2，e 上为增函数， h (a )＝g ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ln a 2－14a 2－a ； ③当a2≥e ，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上为减函数，h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e.综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a －1，a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2＜a ＜2e ，(1－e )a ＋e 2－2e ，a ≥2e.。