2.3匀变速直线运动的位移与时间的关系
2.3.1匀变速直线运动的位移与时间的关系
【知识拓展】
1 2
x at
2
因为位移公式是关于t的一元
二次函数，故x－t图象是一条抛物
线（一部分）。
注意：x-t图象不是物体运动的
轨迹，而是位移随时间变化的规律。
匀变速直线的位移-时间图像
【例3】有些汽车刹车后，停止转动的轮胎在地面上发生滑动，可以明
7 89
12t13t14
t
V
V
如果把整个运动过程分割得非常
非常细，很多很多小矩形的面积之和
就能非常精确地代表物体的位移了。
V0
0
t
t
这是物理上常用的微元法。
匀变速直线运动的位移仍可用图线与坐标轴所围的面积表示。
科学
方法
∆t 内是简单的匀速直线运动---- 化简
分割许多很小的时间间隔∆t---- 微分
站的加速度是多少？它还要行驶多远才能停下来？
解： 沿动车运动方向为正方向建立一维坐标系。把动车通过3000m
的运动称为前一过程，之后到停下来称为后一过程。
设在前一过程中的末位置为 M 点。初速度 v0 ＝126 km/h＝35 m/s，
末速度vM＝54 km/h＝15 m/s，位移 x1 ＝ 3000m。
匀速直线运动的位移就是v – t 图线
与坐标轴所夹的矩形“面积”
图象法
v/（m∙s-1）
v
v
x=v（t2-t1）/s
t1-t2时间内的位移
01. 匀速直线运动的位移
x1=12m
x2= -12m
v/m·s-1
x/m
10
匀速直线运动的v－t 图象中，图线与时间轴围
8
2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关系
2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关系
2021.09.16
学习目标
1、能利用v-t图像得出匀变速直线运动的位移与时间关系式 = 0 +
1
2 ，进一步体会利用物理图像分析物体运动规律的研究方法。
2
2、能推导出匀变速直线运动的速度与位移关系式 2 − 02 = 2，体
（2）飞机在航母上降落时，需用阻拦索使飞机迅速停下来。若某次
飞机着舰时的速度为 80 m/s，飞机钩住阻拦索后经过 2.5 s 停下来。将这
段运动视为匀减速直线运动，此过程中飞机加速度的大小及滑行的距离各
是多少？
上面这种分析问题的方法具有一般意义，原则上对于处理
拓
展 任意形状的 v-t 图像都适用。对于图 所示的运动物体的位移，
1
2 ，是一个二次函数。
2
2、公式的适用条件：只适用于匀变速直线运动。
3、公式的矢量性：
0 、 、 均为矢量，应用公式解决问题时，应先选取正方
向。一般以0 的方向为正方向，若物体做匀加速运动,a取正值,
若物体做匀减速运动,则a取负值。
4、公式的特殊情况：
1 2
(1)如果v0＝0，则x＝ at ，物体做初速度为0的匀加速直线运动。
刚好减为0。
【特别提醒】如果在所研究的问题中，已知量和未知
量都不涉及时间，利用这个公式求解，往往会更简便。
【例题2】动车铁轨旁两相邻里程碑之间的距离是1km。某同学乘坐
动车时，通过观察里程碑和车厢内电子屏上显示的动车速度来估算动车
减速进站时的加速度大小。当他身边的窗户经过某一里程碑时，屏幕显
示的动车速度是126km/h。动车又前进了 3 个里程碑时，速度变为 54
匀变速直线运动的位移与时间的关系
2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关系教学目标知识与技能1．理解v-t图象中图线与t轴所夹的面积表示物体在这段时间内运动的位移。
2．了解匀变速直线运动位移公式的推导方法，掌握位移公式x＝v o t+ at2/2 。
过程与方法1．通过对初速度为零的匀变速直线运动的实验探究，让学生领悟科学探究的奥妙。
2．感悟一些数学方法的应用特点．情感态度与价值观通过实验的探究，理论的推导，体验成功的快乐和方法的意义。
教学重点1．v-t图象中图线与t轴所夹的面积表示物体在这段时间内运动的位移。
2．匀变速直线运动位移公式的应用。
教学难点1．v-t图象中图线与t轴所夹的面积表示物体在这段时间内运动的位移。
2．微元法推导位移时间关系式。
教学方法探究法、讲授、讨论教具准备坐标纸、铅笔、刻度尺、多媒体课件，位移传感器，小车，轨道，数据采集器课时安排1课时教学过程导入新课师：屏幕中是我国的第一艘航空母舰，辽宁舰，它的出现增强了我国海军的实力，也对某些国家产生了一定的威慑作用，大家都知道航空母舰只是作为一种战斗平台，本身并没有攻击能力，它主要是依靠搭载的舰载机进行攻击。
据说辽宁舰目前正在配备舰载机。
舰载机跑道的长度的设计是很重要的，这就涉及到我们今天所学的内容，第三节匀变速直线运动的位移与时间的关系新课教学一、实验探究师：在我们前面的学习中，有没有同时记录运动物体位移与时间的器材？结论：(打点计时器打出的纸带)，纸带可以记录物体位置随时间的变化，但是打点计时器是每隔一段时间打一个点，我们绘制出的位移随时间的图像还是比较粗糙的。
师: 今天我们用一种更加先进的仪器—位移传感器来研究物体的运动，位移传感器它可以时时记录运动物体位移随时间的变化，并把这种变化，通过数据采集器显示在计算机上。
v0 t t/s v 开始实验：1．截取小车开始运动以后的位移与时间的图像。
2、观察图像。
3．以x 为横轴，t 平方为纵轴，画出的图像应该是直线。
4．作出x-t 2图像结论：初速度为零的匀变速直线运动的位移与时间成二次函数关系。
匀变速直线运动的位移与时间的关系公式
匀变速直线运动的位移与时间的关系公式
匀变速直线运动的位移与时间的关系公式可以由运动学公式推导得到，具体分为两种情况：
1. 匀速直线运动的位移与时间的关系公式：
位移 = 速度 ×时间
其中，位移表示物体在运动过程中从起点到终点的距离，速度表示物体的运动速度，时间表示运动的时间长度。
2. 变速直线运动的位移与时间的关系公式：
位移 = 初速度 ×时间 + 0.5 ×加速度 ×时间²
其中，初速度表示运动开始时的速度，加速度表示运动过程中的加速度。
这个公式描述了的位移与时间的关系可以用来计算变速直线运动下物体在不同时间点的位置。
注意，这个公式的适用条件是运动过程中加速度是一个常量。
另外还有一种特殊情况，匀变速直线运动中，如果物体的位移与时间的关系符合二次函数的形式，可以使用二次函数公式来描述位移与时间的关系。
例如：位移 = a ×时间² + b ×时间 + c，其中a、b和c是常数。
【学霸笔记】物理必修一2.3匀变速直线运动位移与时间的关系
第三节匀变速直线运动的位移与时间的关系一、位移时间公式1、推导：①图像法：（由v-t图像求位移）---微元的思想结论：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v－t图象中的图线与对应的时间轴所包围的面积．即：位移与时间关系式：x＝v0t＋12at2.②解析法：（由平均速度求得）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+==atvvvvvt vxtt2得：x＝v0t＋12at2.2、物理意义：在匀变速直线运动中位移随时间变化的规律。
3、注意：①适用范围：匀变速直线运动。
②决定关系：位移的决定式，即匀变速直线运动中位移是由初速度、加速度、时间共同决定。
③比例关系：二次关系，也叫非线性关系。
④同一性：x、a、v0、vt具有同一性。
⑤合理性：已知位移反求时间，可能有两个值，要合理取舍。
二、速度--时间公式应用1、使用方法：①判断：运动性质（a为定值）。
②确定：研究对象和研究过程。
③设定：正方向（一般初速度的方向为正方向，无初速度则选择加速度为正方向）。
④公式应用：x＝v0t＋12at2；（此式子为矢量式，应将方向带入求解）⑤结果：结果如何为矢量，大小方向都需要求解。
2、例子：已知一个物体以向西的初速度4m/s做匀变速直线运动，其加速度大小为2m/s2，求1s末、2s末、4s末、8s末的速度和位移和路程，如果该物体是汽车，则结果又将如何？．三、推论1、逐差相等原理：在匀变速直线运动中，相邻相等的时间间隔位移之差是一个定值。
表达式：△x=aT 2．推导：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=212022019213421221T a T v x T a T v x aT T v x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-+=-20232012521321T a T v x x T a T v x x 2aT x =∆ 2、比例关系：初速度为零的匀加速直线运动中①在前T ，前2T ，前3T 的位移之比1:4:9……n2②在第T ，第2T ，第3T 的位移之比1:3:4……（2n-1） 3、逆向思维法：末速度为零的匀减速直线运动可以看做反向的初速度为零的匀加速直线运动。
教学设计1：2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关系
教师姓名学生姓名年级学科课题名称第二章第3节匀变速直线运动的位移与时间的关系课型时间教学目标1.知道匀速直线运动的位移与时间的关系.2.理解匀变速直线运动的位移及其应用.3.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系及其应用.4.理解v-t图象中图线与t轴所夹的面积表示物体在这段时间内运动的位移.教学重难点教学重点1.理解匀速直线运动的位移及其应用.2.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系及其应用.教学难点1.v-t图象中图线与t轴所夹的面积表示物体在这段时间内运动的位移.2.微元法推导位移公式.A预习本节内容，了解本节内容基本概况B、新课教学前面我们学习了匀变速直线运动中速度与时间的关系，其关系式为v=v0+at.在探究速度与时间的关系时，我们分别运用了不同方法来进行.我们知道，描述运动的物理量还有位移，那位移与时间的关系又是怎样的呢？我们又将采用什么方法来探究位移与时间的关系呢？一、匀速直线运动的位移与时间的关系做匀速直线运动的物体在时间t内的位移x=vt.说明：取运动的初始时刻物体的位置为坐标原点，这样，物体在时刻t的位移等于这时的坐标x，从开始到t时刻的时间间隔为t.在坐标纸上作出匀速直线运动的v---t图象，猜想一下，能否在v---t图象中表示出做匀速直线运动的物体在时间t内的位移呢？探究1.作出匀速直线运动的物体的速度—时间图象.2.由图象可看出匀速直线运动的v-t图象是一条平行于t轴的直线.3.发现，从0——t时间内，图线与t轴所夹图形为矩形，其面积为vt.4.结论：对于匀速直线运动，物体的位移对应着v-t图象中一块矩形的面积，如图教学过程讨论了匀速直线运动的位移可用v-t图象中所夹的面积来表示的方法，匀变速直线运动的位移在v-t 图象中是不是也有类似的关系，下面我们就来学习匀变速直线运动的位移和时间的关系.二、匀变速直线运动的位移问题：对于匀变速直线运动的位移与它的v-t图象是不是也有类似的关系？思考，并阅读“思考与讨论”。
匀变速直线运动的位移与时间的关系
匀变速直线运动的位移与时间的关系【考点归纳】（1）匀变速直线运动的位移与时间的关系式：x＝v0t+at2。
（2）公式的推导①利用微积分思想进行推导：在匀变速直线运动中，虽然速度时刻变化，但只要时间足够小，速度的变化就非常小，在这段时间内近似应用我们熟悉的匀速运动的公式计算位移，其误差也非常小，如图所示。
②利用公式推导：匀变速直线运动中，速度是均匀改变的，它在时间t内的平均速度就等于时间t内的初速度v0和末速度v的平均值，即＝．结合公式x＝vt和v＝v t+at可导出位移公式：x＝v0t+at2（3）匀变速直线运动中的平均速度在匀变速直线运动中，对于某一段时间t，其中间时刻的瞬时速度v t/2＝v0+a×t＝，该段时间的末速度v＝v t+at，由平均速度的定义式和匀变速直线运动的位移公式整理加工可得＝＝＝v0+at＝＝＝＝v t/2。
即有：＝＝v t/2。
所以在匀变速直线运动中，某一段时间内的平均速度等于该段时间内中间时刻的瞬时速度，又等于这段时间内初速度和末速度的算术平均值。
（4）匀变速直线运动推论公式：任意两个连续相等时间间隔T内，位移之差是常数，即△x＝x2﹣x1＝aT2．拓展：△x MN＝x M﹣x N＝（M﹣N）aT2。
推导：如图所示，x1、x2为连续相等的时间T内的位移，加速度为a。
【命题方向】例1：对基本公式的理解汽车在平直的公路上以30m/s的速度行驶，当汽车遇到交通事故时就以7.5m/s2的加速度刹车，刹车2s内和6s内的位移之比（）A.1：1B.5：9C.5：8D.3：4分析：求出汽车刹车到停止所需的时间，汽车刹车停止后不再运动，然后根据位移时间公式求出2s内和6s内的位移。
解：汽车刹车到停止所需的时间＞2s所以刹车2s内的位移＝45m。
t0＜6s，所以刹车在6s内的位移等于在4s内的位移。
＝60m。
所以刹车2s内和6s内的位移之比为3：4．故D正确，A、B、C错误。
2.3_匀变速直线运动的位移与时间的关系(笔记上传)
特别提醒（非常实用）：末速度为零的 匀减速直线运动可看成初速度为零，加速度 同原来相同的反方向匀加速直线运动。
A
v0
a
0
B
v0
A
a
0
B
又v=v0+at
1 2 得： x v 0 t at 2
1 2 2.对位移公式 x v 0 t at 的理解: 2
⑴反映了位移随时间的变化规律。
⑵因为υ 0、a、x均为矢量，使用公式时应先规定正
方向。(一般以υ 0的方向为正方向，若物体做匀加速 运动,a取正值,若物体做匀减速运动,则a取负值）。 (3)特别提醒:t是指物体运动的实际时间,要将位 移与发生这段位移的时间对应起来。
示
思考： 1、这个过程体现了什么科学思想方法？
答：把过程先微分后再累加(积分)的思想。 (无限分割，逐渐逼近)
2、是否是任何运动的位移仍都可以用V-t图中图
线与坐标轴所围的面积表示呢？ 答：是的
1.由图可知：梯形OABC的面积S=(OC+AB)×OA/2
1 代入各物理量得： x (v0 v)t 2
位置X0出发。
d为匀加速直线运动的x-t图像。想想这 是数学上的哪种函数呢？那么匀减速直
线运动呢？
二次函数，抛物线。
交点M所代表的物理意义是什么？
X0
a、b、c、d三个物体在t1时刻相遇 0
t1
t
【问题思考】
如果一位同学问：“我们研究的是直线运动，为
什么画出来的匀变速直线运动的x-t图像不是直线？”
三、用图像表示位移（拓展）
复习：你还能画出静止的x-t图像吗？那么匀速直线运动呢？匀变速直线 运动呢？试试试看。 a为静止物体的x-t图像：平行于时间轴的直线。 b为匀速直线运动的x-t图像：一条倾斜的直线。 c也为匀速直线运动的x-t图像：只不过 在0时刻时不在0位置出发，而是在某一
高一上学期物理人教版必修一：2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关系
高一上学期物理人教版必修一：2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关 系
位移与时间的关系
LOGO
v v/m·s-1
v0 0
S
1 2
v0
vt
x
v v0 at
t t/s
x
v0t
1 2
at
2
高一上学期物理人教版必修一：2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关 系
高一上学期物理人教版必修一：2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关 系
位移与时间的关系
LOGO
1. 特例
当 v0=0 时：
x 1 at2 2
2. 适用范围： 匀变速直线运动
3. 矢量性： x、v0、a都是矢量，应先规定正方向
高一上学期物理人教版必修一：2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关 系
高一上学期物理人教版必修一：2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关 系
位移与时间的关系
二.平均速度
LOGO
v v/m·s-1
v0 0
适用范围：
S
1 2
v0
vt
x
vx
t
t t/s
v v0 v 2
匀变速直线运动
高一上学期物理人教版必修一：2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关 系
高一上学期物理人教版必修一：2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关 系
平均速度
LOGO
【例】某市规定，汽车在学校门前马路上的行 驶速度不得超过40km/h。一次，一辆汽车在校 门前马路上遇到紧急情况刹车，由于车轮抱死， 滑行时在马路上留下一道笔直的车痕，交警测量 了车痕长度为9m,又从监控资料上确定了该车刹 车时到停止的时间为1.5s，立即判断出这辆车违 章超速，这是为什么？
2.3_匀变速直线运动的位移与时间的关系
1 x v t at 得 2
答：汽车开始加速时的速度是9m/s。
2-3匀变速直线运动的位移和时间的关系
计算题演算规范要求
一般应该先用字母代表物理量进行 运算，得出用已知量表示未知量的关系式， 然后再把数值和单位代入式中，求出未知 量的值。 这样做能够清楚地看出未知量与已知 量的关系，计算也简便。
思想方法：用简单模型来研究复杂问题
思考与讨论
2-3匀变速直线运动的位移和时间的关系
在“探究小车的运动规律”的测量记录中，某同学得到了小 车在0，1，2，3，4，5几个位置的瞬时速度．如下表：
位置编号
时间t／s 速度v／(m· s—1)
0
0 0．38
1
0．1 0．63
2
0．2 0．88
3
0．3 1．11
2-3匀变速直线运动的位移和时间的关系
四、用图像表示位移：x-t图
x/m
80
O
2.5 3.0 t/min
本课小结
2-3匀变速直线运动的位移和时间的关系
2-3匀变速直线运动的位移与时间的关系
一、用v-t图象研究运动的位移
位移=“面积” 二、匀变速直线运动的位移与时间的关系
1 v v x t x v t at 2 2
2-3匀变速直线运动的位移和时间的关系
回顾
在初中时，我 们曾经用“以直代曲” 的方法，估测一段曲 线的长度。 将复杂问题抽象成一个我们熟悉的 简单模型，利用这个模型的规律进行近 似研究,能得到接近真实值的研究结果。 这是物理思想方法之一。
研究方法的探讨
2-3匀变速直线运动的位移和时间的关系
要研究变速运动的 位移规律 我们已知匀速运动 的位移规律 能否借鉴匀速 运动的规律来研究 变速运动？
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§2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关系【学习目标 细解考纲】
1．会用“面积法”推导匀变速直线运动的位移与时间的关系公式。
2．会用和推导位移和速度的关系公式。
3．会用匀变速直线运动的规律求解有关问题。
【知识梳理 双基再现】
1．做匀速直线运动的物体，其位移公式为___________，其 v-t 图象为__________。
在 v-t 图象中某段时间内位移的大小与____________相等。
2．匀变速直线运动的 v-t 图象是________________，其中图象的斜率表示物体的__________，图象与坐标轴所围面积是物体的
______________。
3．匀变速直线运动中，初末速度与位移的关系式为
________________。
4．匀变速直线运动的平均速度公式：____________。
【小试身手 轻松过关】
1．一物体运动的位移与时间关系则（）
A．这个物体的初速度为12 m/s
B．这个物体的初速度为6 m/s
C．这个物体的加速度为8 m/s2
D．这个物体的加速度为-8 m/s2
2．根据匀变速运动的位移公式和，则做匀加速直线运动的物体，在t 秒内的位移说法正确的是（）
A．加速度大的物体位移大 B．初速度大的物体位移大
C．末速度大的物体位移大 D．平均速度大的物体位移大
3．质点做直线运动的v-t 图象如图所示，则（）
A．3 ~ 4 s 内质点做匀减速直线运动
B．3 s 末质点的速度为零，且运动方向改变
C．0 ~ 2 s 内质点做匀加速直线运动，4 ~ 6 s 内质点做匀减速直线运动，加速度大小均为2 m/s2
D．6 s 内质点发生的位移为8 m
4．物体从静止开始以2 m/s2 的加速度做匀加速运动，则前6 s 的平均速度是____________，第6 s 内的平均速度是_____________，第6 s 内的位移是___________。
【基础训练 锋芒初显】
t/s
v/(m/s)
2
4
5
-5
第 5 题图
5．若一质点从t= 0 开始由原点出发沿直线运动，其速度一时间图象如图所示，则该物体质点（）
A．t= 1 s 时离原点最远
B．t= 2 s 时离原点最远
C．t= 3 s 时回到原点
D．t= 4 s 时回到原点
6．物体由静止开始做匀加速直线运动，它最初10 s 内通过的位移为80 m，那么它在5 s 末的速度等于_____________，它经过5 m 处时的速度等于____________。
7．汽车以10m/s的速度行驶，刹车后获得大小为2m/s2的加速度，
则刹车后4s 内通过的位移为_________m，刹车后8s 通过的位移为___________m。
8．完全相同的三块木块并排固定在水平面上，一颗子弹以速度水平射入，若子弹在木块中做匀减速直线运动，且穿过第三块木块后速度恰好为零，则子弹依次射入每块木块时的速度之比和穿过每块木块所用时间之比为（）
A．
B．
C．
D．
【举一反三 能力拓展】
9．做匀变速直线运动的物体，在时间t 内的位移为 s ，设这段时间的中间时刻的瞬时速度为v1 ，这段位移的中间位置的瞬时速度为v2 ，则（）
A．无论是匀加速运动还是匀减速运动，v1< v2
B．无论是匀加速运动还是匀减速运动，v1> v2
C．无论是匀加速运动还是匀减速运动，v1= v2
D．匀加速运动时，v1< v2，匀减速运动时，v1> v2
10．火车刹车后7 s 停下来，设火车匀减速运动的最后1 s 内的位移是 2 m ，则刹车过程中的位移是多少米？
【名师小结 感悟反思】
本节公式较多，基本公式选择要注意以下几点：
公式中包含五个物理量，它们分别为：初速度v0 和加速度 a ，运动时间t ，位移x 和末速度v ，在解题过程中选用公式的基本方法为：1．如果题目中无位移x ，也不让求位移，一般选用速度公式；
2．如果题中无末速度v ，也不让求末速度，一般选用位移公式；
3．如果题中无运动时间t ，也不让求运动时间，一般选用导出公式v2-v02=2ax；
注①对以上公式中加速度 a 有：当物体做加速运动时，a为正；当物体做减速运动时，a为负。
②如果物体做初速度为零的匀加速运动，那以上公式中的
v0=0。
③匀变速运动中的各公式均是矢量式，注意各量的符号。
1．BD 2．D 3．BC 4．6m/s 11m/s 11m 5．BD 6．8m/s 4m/s 7．24 25 8．BD
9．解析：本题可利用匀变速直线运动的规律，用不同的方法解决。
解法I：利用运动简图分情况分析。
若为匀加速直线运动，如图1所示，从A至B，中间位置为C，则前进AC段所用时间必然大于前进CB段所用时间，即中间时刻D必在C之前，所以v1<v2。
同理，若为匀减速直线运动，也得结论v1<v2。
图1
B
C
D
A
解法II：利用公式比较。
设这段过程的初速为v0，末速度为v1，则由匀变速直线运动的规律知，，又因为。
解法III：利用图象法分情况比较。
若为匀加速直线运动，其速度——时间图象如图2所示。
t1为中间时刻，对应速度v1，因为图线与时间轴所围成的梯形面积表示了位移，所以中间位移对应的时刻t2必在t1之后，得v1<v2。
若为匀减速直线运动，也得结论v1<v2。
答案：A
10．解析：末速度为零的匀减速直线运动可以看做是初速度为零的匀加速直线运动的逆过程，这样按初速为零的匀加速直线运动来处理将
更为简捷。
当然本题也可以用图象法解决。
解法I：末速度为零的匀减速直线运动可以看做是初速度为零的匀加速直线运动的逆过程，火车减速运动的最后1s内的位移，相当于加速运动的第1s内的位移。
由x1:x=1:72=1:49得x=72×2m=98m。
解法II：由解法I可知，火车减速运动最后1s内的平均速度就是其逆过程的第0.5s末的瞬时速度，所以 解法III：火车的v-t图象如图所示，它与时间轴所围成的面积就是这段时间内的位移，由图象可知，阴影部分的三角形与大三角形相似，所以它们所围面积之比等于它们对应边的平方之比，所以有x/x1=(7/1)2=49。
故x=49x1=98m。
答案：98m。