2018年高中数学 1对3讲义 第04讲 函数的奇偶性(二)与对称性

第04讲 函数的奇偶性（二）与对称性考点1：函数的奇偶性<教师备案> 本板块复习一下上一讲的函数的奇偶性，从图象平移的角度与奇偶函数的本质角度理解一般的奇偶性， 并由此引出一般的对称性．如(1)f x -是偶函数，从图象平移角度来说：意味着函数()f x 的图象向右平移一个单位 后，有对称轴0x =，故函数()f x 的图象有对称轴1x =-．从偶函数本质角度来说，偶函数意味着自变量取相反数时，函数值相等，(1)f x -的自变量为x ，故意味着(1)(1)f x f x --=-．这说明：(1)(1)f x f x --=-与()f x 关于1x =-对称是等价的命题．【例1】⑴ ① 若()1f x +是偶函数，下列结论正确的有 ．（写出所有正确的选项） ② 若()f x 是偶函数，下列结论正确的有 ．（写出所有正确的选项） A ．()()11f x f x --=+ B ．()()11f x f x -+=+C ．()()11f x f x -=--D ．()()11f x f x -=+E ．(1)(1)f x f x --=-+F ．()()11f x f x -=-+⑵ ①若(2)f x -是偶函数，则函数()f x 图象的对称轴为_______． ②若(2)f x -是奇函数，则函数()f x 图象的对称中心为_________． ⑶ ①若(1)1f x +-是偶函数，则函数(1)f x -图象的对称轴为_______． ②若(1)1f x +-是奇函数，则函数(1)f x -图象的对称中心为_________． ⑷ 若()3f x +的对称中心为()21，，则函数()21f x -+图象的对称中心为 ． 【解析】 ⑴ ①B ；②A 、F ；⑵ ①2x =-；②(20)-，；⑶ ①2x =；②(21)，．⑷ ()72，；4.1函数奇偶性（二）偶函数与奇函数代表着最基本的轴对称与中心对称，这两种最基本的对称可以拓展到一般的结论．首先说明的是这里所说的函数对称性指的是一个函数自身的对称性，而不是两个函数之间的对称．一、轴对称：这里我们要讲的是研究方法：先来看偶函数，偶函数的图形是关于y()()f x f x =-，如何从图象的对称性得到这个代数形式呢？若有两个互为相反数的自变量x 和x -，由于图象是关于y 轴对称的，所以在x 与x -处的函数值是相等的，但在这个过程中我们隐藏了一些想法：为什么要取互为相反数的两个自变量呢？因为对称轴是0x =，所以在对称轴左右两边找两个对称的东西，x 和x -可以理解为一个是0x +，一个是0x -，也可以理解为x 与x -中点为0．由此角度可以想想，若将对称轴换成x a =呢？此时若想构造轴对称该如何构造？该取什么样的自变量？())x=x a = ①()()f a x f a x +=-②若122x x a +=，则12()()f x f x =，一定要写成12x x +的形式，只需两个括号中的和为2a 即可． 第1种思考方式：若关于x a =对称，则关于x a =对称的两自变量所对应的函数值相等；第2种思考方式：因为轴对称图形上对称两点连线的中点在对称轴上，所以若()()22x f x ，和()()11x f x ，两点关于y 轴对称()()12f x f x =，则两自变量满足120x x +=（∵中点在对称轴上）．如：()()42f x f x -=+，括号中的和为6，∴()f x 的图象关于3x =对称．一定是函数值相等才有轴对称这一说法，若两自变量和为常数且函数值相等，则可表达轴对称：()()f a x f b x +=-，则()f x 关于2a bx +=轴对称． 再如：若()()4222f x f x -=+，此时()f x 是否有对称轴？有，仍然为3x =． 当讨论轴对称时，只要看括号内的和是否为常数就行，不要受其它因素的干扰．例：若()2f x +是偶函数，则()f x 的对称轴为_____．在上一个板块，我们已经从图象平移角度得到过对称轴，这里我们从函数方程角度出发，由()()()22f x f x f x -+=+⇒关于2x =对称．上面的说法只是针对平常出现的，更变态的情况一般不可能出现，如若有1142f f x x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的图象否有对称性？不一定有，因为()4f 和()2f 的关系不能确定，但严格意义上还是关于3x =对称，因为()4f 与()2f 可通过12x =去解决． 若()()2242f x f x -=+，则()f x 的图象否有对称性？有，关于3x =对应．有限制时，不一定对称，如()()2242f x f x +=-，因为x ∈(24)，时，()f x 的情况无法确定．当然，这些问题本身就非常变态了，不必深究．本质上来说，当24x -与22x +的值域的并集为R 时，可以得到对称，否则得不到．4.2函数的对称性一般的轴对称：⑴ 函数()y f x =的图象关于直线x a =对称⇔()(2)f x f a x =-()()f a x f a x ⇔-=+；⑵ 若函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则()y f x =的图象关于直线2a bx +=成轴对称．【练习1】⑴若函数()f x 满足：(1)(1)0f x f x +--=，则()f x 的图象的对称轴为________；⑵若函数()f x 满足：()(4)f x f x -=-，则()f x 的图象的对称轴为________；⑶若函数()f x 满足：(22)(22)0f x f x +--=，则()f x 的图象的对称轴为________．【解析】 ⑴1x =；⑵2x =-；⑶2x =．考点2：二次函数的对称性<教师备案> 二次函数是一类很特殊的轴对称函数，对于二次函数来说，只需要两个特殊点的函数值相等就可得到它的对称轴，这是因为它的对称性+单调性决定的．对于一般的轴对称函数，并没有这样的性质． 【铺垫】函数()2f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-，那么()0f 、()1f -、()1f 的大小关系是（ ） A ．()()()110f f f <-< B ．()()()011f f f <-< C ．()()()101f f f <<- D ．()()()101f f f -<< 【解析】 C 【例2】 ⑴二次函数()()20f x ax bx c a =++≠，若1212()()()f x f x x x =≠，则122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭等于（ ）A ．2b a -B ． b a -C ．cD ．244ac b a- ⑵二次函数()()20f x ax bx c a =++≠，若1212()()()f x f x x x =≠，则()12f x x +等于（ ）A ．2b a -B ．b a -C ．cD ．244ac b a -⑶设()2f x x bx c =++且()()02f f =，则（ ） A ．()322f c f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭B ．()322f c f ⎛⎫<<- ⎪⎝⎭C ．()322f f c ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭D ．()322c f f ⎛⎫<<- ⎪⎝⎭【解析】 ⑴ D ⑵ C ⑶ B考点3：轴对称函数的性质【铺垫】若函数()f x 在(4)+∞，上为减函数，且对任意的x ∈R ，有(4)(4)f x f x +=-，则（ ） A ．(2)(3)f f > B ．(2)(5)f f > C ．(3)(5)f f > D ．(3)(6)f f >【解析】 D 【例3】 ⑴已知函数()f x ，当4x >时，()2013f x x =-，且()()44f x f x -=+恒成立，则当4x <时，()f x = ．⑵已知()f x 为定义在R 上的函数，且(1)f x +为偶函数，且当1x ≥时，2()f x x =，则当1x < 时，()f x =__________．⑶设函数()f x 对于一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，如果方程()0f x =有且只有三个不相等的实数根，那么这三根之和等于 ． 【解析】 ⑴ 2005x --⑵ 2(2)x -．⑶ 6．经典精讲知识点睛【拓展】已知函数()()y f x x =∈R 满足①()()11f x f x +=-；②[)1x ∈+∞，时，()f x 为增函数；③10x <，21x > 且122x x +<-，则()1f x -与()2f x -的大小关系是 ．【解析】 12()()f x f x ->-．二、中心对称())f x f x -=- 2f a x f a x b ++-=对称中心：每个点绕着对称中心旋转180︒后还在图象上．奇函数中两自变量的中点是中间的0，两函数值中点是0，有()()0f x f x +-=． 若将对称中心移到点()a b ，，可同理，从a 出发，向左向右距离相等，使其自变量对称，则它们对应的函数值的中点应为b ，所以()()2f a x f a x b ++-=．当自变量关于a 对称时，函数值关于b 对称． 例：()()312f x f x ++-=，则()f x 关于()21，中心对称．当描述对称性时一定要注意，自变量的和是一个常数时，所表达的一定是对称性，因为对称性就是往两边走．例：(1)1()f x f x -=-，则()f x 是中心对称的，对称中心为1122⎛⎫⎪⎝⎭，．()(8)2f x f x -++=-，则()f x 关于(41)-，中心对称．一般的中心对称：⑴ 函数()y f x =的图象关于点()a b ，对称⇔()()2f a x f a x b ++-=⇔2()(2)b f x f a x -=-． ⑵ 若函数()y f x =满足()()f a x f b x c ++-=，则()y f x =的图象关于点22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭，成中心对称． 【练习2】⑴若函数()f x 满足：(1)(1)0f x f x ++-=，则()f x 的图象的对称中心为________；⑵若函数()f x 满足：()(4)f x f x -=--，则()f x 的图象的对称中心为________； ⑶若函数()f x 满足：(2)(2)2f x f x ++-=，则()f x 的图象的对称中心为________．【解析】 ⑴(10)，；⑵(20)-，；⑶(21)，．考点4：中心对称函数的性质 【例4】 ⑴已知函数()f x 当4x >时，()2013f x x =-，且()()440f x f x -++=恒成立，则当4x <时，()f x = ．⑵已知当4x >时，()2013f x x =-，且()()442013f x f x -++=恒成立，则当4x <时，()f x =________． ⑶已知()f x 是定义在R 上的函数且()1f x +为奇函数，则下列说法不正确的是（ ） A ．函数()f x 不是奇函数 B ．()()20f x f x +-+=C ．函数()f x 的图象关于点(01)-，对称D ．函数()f x 的图象关于点(01)，对称 ⑷已知()f x 为定义在R 上的函数，若函数(1)f x +为奇函数，则下列说法不正确的是（ ）A ．(1)(1)f x f x -+=-+B ．函数()f x 的图象关于点(10)，对称C ．(2012)(2010)0f f +-=D ．函数()f x 为奇函数 经典精讲知识点睛【解析】 ⑴ 2005x +；⑵ 4018x +；⑶ D ；⑷ D【拓展】若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意12x x ∈R ，，有1212()()()1f x x f x f x +=++，则下列说法一定的是 （ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是偶函数C ．()1f x +是奇函数D ．()1f x +是偶函数 【解析】 C ； 考点5：含绝对值的函数的对称性这里研究三种常见的含绝对值的函数：()f x x a =-，()f x x a x b =-+-，()f x x a x b =---：a b ，的两点之间的距离，从这个角度去理解()12f x x x =+++：2-，，()f x 表示x 到这两个零点12--，的距离之和，两零点应关于对称轴对称，故函数的对称轴为32x =-．且此函数的最小值为2(1)1---=．同样的，对()12f x x x =+-+，表示的是距离之差，当2x <-时，函数值一直为1，且为最大值；当1x >-时，函数值一直为1-，且为最小值，在21x -<<-时，函数单调递减．⑴()f x x a =-的图象关于直线x a =对称，且函数的最小值为0；⑵()f x x a x b =-+-的图象关于直线2a bx +=对称，且函数的最小值为b a -； ⑶()f x x a x b =---的图象关于点02a b +⎛⎫⎪⎝⎭，对称，且函数的值域为a b a b ⎡---⎤⎣⎦，． <教师备案> 对上面结论的证明：方法一：可以由函数图象的对称性获得． x=ax=a+b 2ba x=a+b 2ba()f x x a =- ()f x x a x b =-+-（a b <） ()f x x a x b =---（a b <）方法二：代数证明．⑴ ()(2)2f a x a x a a x f x -=--=-=；⑵ ()()f a b x a b x a a b x b b x a x f x +-=+--++--=-+-=； ⑶ ()()f a b x a b x a a b x b b x a x f x +-=+---+--=---=-．【例5】 ⑴设函数()1f x x x a =++-的图象关于直线1x =对称，则a 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．1-⑵设函数()f x x a x b =---的图象关于点(10)，对称，且函数的最大值为2，则a =_______．⑶用{}min a b ，表示a ，b 两数中的最小值．若函数(){}min f x x x t =+，的图象关于直线12x =-对称，则t 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．1-D ．1经典精讲知识点睛【解析】 ⑴ A ⑵ 0或2；⑶ D【拓展】要使得函数123y x x x x a =-+-+-+-的图象有对称轴，a 的值为_____．【解析】 0a =或2或4．若()y f x =的图象的对称轴为8x =，则①()y f x =-的图象的对称轴为______；②(1)y f x =-的图象的对称轴为_______； ③(2)y f x =的图象的对称轴为______．【解析】 ①8x =-；②7x =-；③4x =．()y f x =-与()y f x =是关于y 轴对称的，故()y f x =-有对称轴8x =-；()y f x =-向右平移一个单位得到(1)y f x =-+，故(1)y f x =-的对称轴为7x =-． 因为(8)(8)f x f x -=+，从而(82)(82)f x f x -=+，故[2(4)][2(4)]f x f x -=+，记()(2)g x f x =，则有(4)(4)g x g x -=+，即()g x 有对称轴4x =，即(2)f x 有对称轴4x =．【演练1】对于二次函数()22f x x x m =-+，及任意的x ∈R 有( )A ．()()11f x f x --=-+B ．()()11f x f x -=+C ．()()11f x f x -=+D ．()()22f x f x -=+【解析】 B 【演练2】若二次函数()2f x ax bx c =++的对称轴为1x =且其图象过点()20，，则()()11f f -的值为（ ） A ．3- B ．3 C ．2 D ．1【解析】 A【演练3】若函数()f x 满足()()2f x f x =-，且1x >时，()245f x x x =-+，则1x <时，()f x =______． 【解析】21x -+； 【演练4】 若函数()f x 满足()()24f x f x +-=，1x >时，()245f x x x =-+，则1x <时，()f x =______． 【解析】23x -+； 【演练5】 已知定义域为R 的函数()f x 在()8+∞，上为减函数，且函数()8y f x =+为偶函数，则（ ）A ．()()67f f >B ．()()69f f >C ．()()79f f >D ．()()710f f > 【解析】 D（2009年全国Ⅰ理11）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则（ ）． A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数 C ．()(2)f x f x =+ D ．(3)f x +是奇函数 【解析】 D∵(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，∴(1)(1)f x f x -+=-+，(1)(1)f x f x --=--，∴函数()f x 关于点()10，及点()10-，对称，函数()f x 是周期2[1(1)]4T =--=的周期函数． ∴(14)(14)f x f x --+=--+，(3)(3)f x f x -+=-+，即(3)f x +是奇函数．故选D ．大千世界实战演练。