天津大学金杰电磁场与电磁波 例题
电磁场与电磁波示范试卷
11、均匀平面波垂直入射到理想导体表面上，入射波电场与反射波电场振幅______________，相位_______________。
3、试由麦克斯韦方程导出电流连续性方程
4、写出理想介质中（无源区）E和H的波动方程，并改写为复数形式。
5、半径为R的接地导体球壳内有一点电荷ｑ，利用镜像法可以求解哪个区域内的场？
6、一接地金属导体的表面由一半球面(半径为R)和一无
限大平面组成,在球心的正下方ｂ处有一点电荷ｑ,如
图所示,求镜像电荷的位置和大小,并在图上标出。
12、两个同频率、同方向传播，极化方向相互垂直的线极化波的合成波为圆极化波，则它们的振幅___________，相位差为___________。
二、计算题
1、（8分）一个长螺线管，N匝，长度为L,横
截面积为A，通有电流I。把磁导率为μ,横
截面积为A的铁棒插入其中，使棒进入螺线
管内的长度为x，求铁棒受的力（大小和方
化波，沿z轴正方向入射于一理想导体的
表面，如图所示。已知
1）写出反射波电场和磁场的表达式，
2）写出z<0区域内合电场和合磁场的表达式，
3）求导体表面的面电流密度。
5、（10分）设一时变电磁场的矢量位 求场强E和H。
向）。
2、（12分）如图所示一矩形波导，在z＝0的一端电位为U0，沿z轴正方向无限长，四个管壁的电位均为0，
1）、列出边界条件，
2）、写出通解。
3、（10分）真空中一平面电磁波的电场强度
1）、写出磁场强度H的表达式，
2）、把E、H改写为复数形式，
3）、计算平均能流密度矢量Sav。
《电磁场与电磁波》试题含答案
E
；
E x 分量
� ˆ x + ye ˆ y + xe ˆz A = − x 2e
，试求
�
（2）若在 xy 平面上有一边长为 2 的正方形，且正方形的中心在坐标原点，试求该矢量 A 穿 过此正方形的通量。 17．已知某二维标量场 u ( x, y ) = x + y ，求 （1）标量函数的梯度； （2）求出通过点 (1,0) 处梯度的大小。
三、计算题
15．矢量函数
（每小题 10 分，共 30 分） � ˆ x + yze ˆz A = − yx 2 e
，试求
� ∇ ⋅ A （1） � （2） ∇ × A � � ˆx − e ˆy ˆ x − 2e ˆz B = e A = 2 e 16．矢量 ， ，求
（1 ） A − B （2）求出两矢量的夹角 17．方程 u ( x, y, z ) = x + y + z 给出一球族，求 （1）求该标量场的梯度； （2）求出通过点 (1,2,0) 处的单位法向矢量。
。
等于零，则此两个矢量必然相互垂直。 关系。 函
9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用 数的旋度来表示。
二、简述题
（每小题 5 分，共 20 分） � � ∂B ∇×E = − ∂t ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 11．已知麦克斯韦第二方程为
(1) 求出入射波磁场表达式； (2) 画出区域 1 中反射波电、磁场的方向。
�
区域 1 图3
区域 2《电磁场与电磁波》试题2一、填空题（每小题 1 分，共 10 分）
1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的介电常数为 ε ，则电位移矢量 D 和电场 E 满足的 方程为： 。
电磁场与电磁波(必考题)
1 / 91.已知自由空间中均匀平面波磁场强度瞬时值为：())]43(cos[31,,z x t-e t z x H +=πωπy A/m ，求①该平面波角频率ω、频率f 、波长λ ②电场、磁场强度复矢量③瞬时坡印廷矢量、平均坡印廷矢量。
解：① z x z k y k x k z y x ππ43+=++；π3=x k ，0=yk ，π4=z k ；)/(5)4()3(22222m rad k k k k z y x πππ=+=++=；λπ2=k ，)(4.02m k ==πλ c v f ==λ（因是自由空间），)(105.74.010388Hz c f ⨯=⨯==λ；)/(101528s rad f ⨯==ππω②)/(31),()43(m A e e z x H z x j y +-=ππ； )/()243254331120),(),(),()43()43(m V e e e e e e e k k z x H e z x H z x E z x j z x z x z x j y n +-+--=+⨯⨯=⨯=⨯=πππππππηη（③ ()[])/()43(cos 2432),,(m V z x t e e t z x E z x +--=πω())]43(cos[31,,z x t-e t z x H +=πωπy （A/m ） ()[]()[])/()43(cos 322431)]43(cos[31)43(cos 243222m W z x t e e z x t-e z x t e e H E S z x z x +-+=+⨯+--=⨯=πωππωππωy ())43(2432),(z x j z x e e e z x E +--=π，)43(31),(z x j y e e z x H +-=ππ()())/(322461312432Re 21Re 212*)43()43(*m W e e e e e e e H E S z x z x j y z x j z x av +=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=+-+-ππππ2.横截面为矩形的无限长接地金属导体槽，上部有电位为 的金属盖板；导体槽的侧壁与盖板间有非常小的间隙以保证相互绝缘。
电磁场与电磁波练习题
电磁场与电磁波练习题一、单项选择题(每小题1分，共15分)1、电位不相等的两个等位面（）A. 可以相交B. 可以重合C. 可以相切D. 不能相交或相切2、从宏观效应看，物质对电磁场的响应包括三种现象，下列选项中错误的是（）A.磁化B.极化C.色散D.传导3、电荷Q 均匀分布在半径为a 的导体球面上，当导体球以角速度ω绕通过球心的Z 轴旋转时，导体球面上的面电流密度为（）A.sin 4q e a ?ωθπB.cos 4q e a ?ωθπC.2sin 4q e a ?ωθπD.33sin 4q e r aωθπ 4、下面说法错误的是（）A.梯度是矢量, 其大小为最大方向导数,方向为最大方向导数所在的方向。
B.矢量场的散度是标量，若有一个矢量场的散度恒为零，则总可以把该矢量场表示为另一个矢量场的旋度。
C.梯度的散度恒为零。
D.一个标量场的性质可由其梯度来描述。
5、已知一均匀平面波以相位系数30rad/m 在空气中沿x 轴方向传播，则该平面波的频率为（）A.81510π?HzB.8910?HzC.84510π?Hz D.9910?Hz6、坡印廷矢量表示（）A.穿过与能量流动方向相垂直的单位面积的能量B.能流密度矢量C.时变电磁场中空间各点的电磁场能量密度D.时变电磁场中单位体积内的功率损耗7、在给定尺寸的矩形波导中，传输模式的阶数越高，相应的截止波长（）A.越小B.越大C.与阶数无关D.与波的频率有关8、已知电磁波的电场强度为(,)cos()sin()x y E z t e t z e t z ωβωβ=---，则该电磁波为（）A. 左旋圆极化波B. 右旋圆极化波C. 椭圆极化波D.直线极化波9、以下矢量函数中，可能表示磁感应强度的是（）A. 3x y B e xy e y =+B.x y B e x e y =+C.22x y B e x e y =+D. x y B e y e x =+10、对于自由空间，其本征阻抗为（）A. 0η=B.0η=C. 0η=D. 0η=11、自感和互感与回路的（）无关。
电磁场与电磁波大题
1、高斯定理求电场例2.2.2求真空中均匀带电球体的场强分布。
已知球体半径为a ，电 荷密度为ρ0。
解：（1）球外某点的场强（2）球内某点的场强2、安培环路定理求均匀分布磁场例2.3.2 求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。
解 选用圆柱坐标系，则应用安培环路定理，得应用安培环路定律，得ar 0 r r E a V S E V S ⎰⎰=⋅d d 001ρε 03023414ρεπa E r r π=2303ra eE r ερ =( r ≥ a ) VS E V S ⎰⎰=⋅d d 001ρε 03023414ρεπr E r r π=003ερr eE r =（r < a ）a b c()B e B φρ=(1)0aρ≤<取安培环路 ，交链的电流为 ()a ρ<22122ππI I I a a ρρ=⋅=21022πI B aρρμ=0122πI B eaφμρ=(2)a bρ≤<202πB I ρμ=022πIB eφμρ=(3)b c ρ≤<222232222b c I I I I c b c b ρρ--=-=--220322()2πI c B c b μρρ-=-2203222πI c B e c b φμρρ-=⋅-(4)cρ≤<∞40I =40B =3、拉普拉斯方程 点位 电场强度 书例3.1.3 习题3.74、双导体电容 球型电容例3.1.5 同轴线内导体半径为a ，外导体半径为b 均匀介质，求同轴线单位长度的电容。
解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为+ρl 和－ρl ，应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为内外导体间的电位差故得同轴线单位长度的电容为练习：同心球形电容器的内导体半径为、外导体半径为b ，其间填充介电常数为ε的均匀介质。
求此球形电容器的电容。
解：设内导体的电荷为q ，则由高斯定理可求得内外 导体间的电场同心导体间的电压球形电容器的电容εa b 同轴线 ()2πl E eρρρερ=1()d d 2πb b la a U E e ρρρρρερ=⋅=⎰⎰ln(/)2πl b a ρε=12π(F/m)ln(/)l C U b a ρε==a bεo 4π4πr r 22qqD e ,E er rε==0011d ()4π4πba q qb aU E r a b abεε-==-=⋅⎰4πab q C U b aε==-当 时，∞→b 04πC aε=孤立导体球的电容5、电感例3.3.3b ，空气填充。
《电磁场与电磁波》-习题及详细题解
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槡 槡 槡 % $!" & $"" ' $#定出，求其在（#，%，(） 点的方向导数值。 '4 '4 '4
预备知识：矢量分析习题及题解
!"给定三个矢量 !、"和 #如下：
!!$!"#$"$%$# "!$&$""$# #!'$!$#$#
求：（(） $$。 （#） !$" 。 （%） !·"。 （&） ）$%。 （'） !在 "上的分量。 （。） !）#。
电磁场与电磁波例题
1、如图1－1，平板电容器间由两种媒质完全填充，厚度分别为1d 和2d ，介电常数分别为1ε和2ε，电导率分别为1σ和2σ，当外加电压0U 时，求分界面上的自由电荷密度。
解：设电容器极之间的电流密度为J ，则： 2211E E J σσ==11σJ E = ，22σJ E = 于是+=101σJd U 22σJd 即：22110σσd d U J +=分界面上的自由面电荷密度为：J E E n D n D s )1122(112212σεσεεερ-=-=-=)1122(σεσε-=22110σσd d U +2、一个截面如图2－1所示的长槽，向y 方向无限延伸，两则的电位是零，槽内∞→y ，0→ϕ，底部的电位为：0)0,(U x =ϕ。
求槽内的电位。
解：由于在0=x 和a x =两个边界的电位为零，故在x 方向选取周期解，且仅仅取正弦函数，即：)(sin an n k x n k n X π==在y 方向，区域包含无穷远处，故选取指数函数，在∞→y 时，电位趋于零，所以选取y n k e nY -= 由基本解的叠加构成电位的表示式为：∑∞=-=1sin n a y n e a x n n C ππϕ待定系数由0=y 的边界条件确定。
在电位表示式，令0=y ，得：∑∞==1sin 0n a x n n C U π⎰-==a n n aUdx a x n U a n C 0)cos 1(0sin 02πππ 当n 为奇数时， πn U n C4=，当n 为偶数时，00=C 。
最后，电位的解为：a y n e n a x n n U πππϕ-∑∞==5,3,1sin 043、在两导体平板（0=z 和d z =）之间的空气中传输的电磁波，其电场强度矢量)cos()sin(0x x k t z dE y e E -=ωπ其中x k 为常数。
试求：（1）磁场强度矢量H 。
（2）两导体表面上的面电流密度s J 。
电磁场与电磁波重要例题、习题
电磁场与电磁波易考简答题归纳1、什么是均匀平面电磁波？答：平面波是指波阵面为平面的电磁波。
均匀平面波是指波的电场→E 和磁场→H 只沿波的传播方向变化，而在波阵面内→E 和→H 的方向、振幅和相位不变的平面波。
2、电磁波有哪三种极化情况？简述其区别。
答：（1）直线极化，同相位或相差 180；2）圆极化，同频率，同振幅，相位相差 90或 270；（3）椭圆极化，振幅相位任意。
3、试写出正弦电磁场的亥姆霍兹方程（即亥姆霍兹波动方程的复数形式），并说明意义。
答：002222=+∇=+∇→→→→H k H E k E ，式中μεω22=k 称为正弦电磁波的波数。
意义：均匀平面电磁波在无界理想介质中传播时，电场和磁场的振幅不变，它们在时间上同相，在空间上互相垂直，并且电场、磁场、波的传播方向三者满足右手螺旋关系。
电场和磁场的分量由媒质决定。
4、写出时变电磁场中麦克斯韦方程组的非限定微分形式，并简述其意义。
答：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋅∇=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂+=⨯∇→→→→→→→ρεμμεE H t H E tE J H )4(0)3()2()1(物理意义：A 、第一方程：时变电磁场中的安培环路定律。
物理意义：磁场是由电流和时变的电场激励的。
B 、第二方程：法拉第电磁感应定律。
物理意义：说明了时变的磁场激励电场的这一事实。
C 、第三方程：时变电场的磁通连续性方程。
物理意义：说明了磁场是一个旋涡场。
D 、第四方程：高斯定律。
物理意义：时变电磁场中的发散电场分量是由电荷激励的。
5、写出麦克斯韦方程组的微分形式或积分形式，并简述其意义。
答：（1）微分形式（2） 积分形式 物理意义：同第4题。
6、写出达朗贝尔方程，即非齐次波动方程，简述其意义。
答：→→→-=∂∂-∇J t A A μμε222，ερμε-=∂Φ∂-Φ∇→→222t物理意义：→J 激励→A ，源ρ激励Φ，时变源激励的时变电磁场在空间中以波动方式传播，是时变源的电场辐射过程。
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4 r 2 D02
2 a3 于是得 D02 0 2 15 r
例：同轴线内外导体半径分别为a和b，填充的介质 0 ，具有漏电现象。同轴 线外加电源电压为U，求漏电介质内的 、E、J 和单位长度的漏电电导。 解：采用圆柱坐标系，由于电荷分布具 有对称性，于是漏电介质中电场强度也
例：海水的电导率为4S/m，相对介电常数为81，求频率为1MHz时，位移电流 与传导电流振幅的比值。（电场随时间作正弦变化 E ex Em cos t） 解：位移电流密度为
D Jd e x 0 r Em sin t t
其幅值为
J dm 0 r Em 4.5 103 Em
H
回路 C2 所包围的电流 I I
得
H
I 2r
I H e 2r
o
a
r
例：铁质的无限长圆管中通过电流I，管的内外半径分别为a和b。已知铁的磁导 率为 ，求管壁中和管内外空气中的 B ，并计算铁中的 M 和 J ms 。 解：采用圆柱坐标系坐标系，设电流沿z方向，则场分布是轴对称的，只有 分
d
o
x
1 H E0 e x cos z cos t k x x d t e z k x sin z sin t k x x d t 0 d d d k ex E0 cos z sin t k x x e z x E0 sin z cos t k x x 0 d 0 d d
例：已知半径为a，长度为l的均匀极化介质圆柱内的极化强度 P P0ex ，圆柱轴
线与坐标z轴重合，求圆柱内的极化电荷体密度和圆柱上下表面及侧面的极化电 荷面密度。
例：两个无限长的同轴圆柱半径分别为r=a和r=b(b>a)的同轴圆柱表面分别带有
面电荷 1和 2。（1）计算各处的电位移；（2）欲使r>b区域内D=0，则 1 和 2
在r =a和r =b处的磁化面电流为
J ms J ms
r a
M 2 e r 0 I M 2 er 1 ez 2 b 0
r b
例：在两导体平板（z=0和z=d）之间的空气中传播的电磁波，已知其电场强度为 E e y E0 sin z cos t k x x 式中kx为常数。 d z 求：(1)磁场强度H；(2)两导体表面上的面电流密度Js。 H 解:(1)由 E 0 t H E E 得 e x ez 0 则 z x t
应具有什么关系。
2 2 例：电荷按体密度 r 0 1 r / a 分布于半径为a 的球形区域内，其中 0为
常数，试计算球内外的电通密度（电位移矢量）。 解：由于电荷分布具有球对称性，则电场也具有球对称性，E 和D0 方向均为径向。
q e ；高斯定理积分形式 S D0 dS q 2 r 4 r 4 r r r3 r5 r 2 2 当 r ≤a r 2 dr 40 2 S D01 dS q 0 4 r dr 40 0 a 3 5a
量,磁感线是圆心在导线轴上的一簇同心圆。
利用基本方程的积分形式，有 (a) H1 dl H1 2r = I I
C1
x
c1
z
I H1 e r ≤b 2r I B1 e r ≤b 2r r 2 a2 I (b) H 2 dl H 2 2r I 2 2 b a C2
根据电位移的表达式 D r
4 r 2 D01
r r3 于是得 D01 0 2 3 5a
当 r≥a
S
D02 dS q
a
0
2 r4 8 4 r dr 40 r 2 dr 0 a3 0 a 15
C C
C
H dl I
I 是回路C 所包围电流的代数和
r r
c1
当 r ≤a
a
I r 2 r2 I 2 回路 C1 所包围的电流 I a 2 a
r2 故有 H 2r I 2 得 a
当 r≥a
c2
H I re 2a 2
I H r 2 2a
2 Ey x2 2 Ey y 2 2 Ey z 2 0 0 2 Ey t 2 0
将E 代入得 2 Ey 2 9 0.1 10 sin10 x cos 6 10 t z 2 x 2 Ey 0 2 y 2 Ey 2 9 0.1sin10 x cos 6 10 t z 2 z
C3
H3 0 B3 0
r≤a r≤a
在管壁空间内，磁化强度为
B2 r 2 a 2 I M 2 H 2 1 H 2 1 2 2 e b a 2 r 0 0 0
2 Ey t 2
9 2 9 0.1sin10 x 6 10 cos 6 10 t z
综上可得
10 2 +0 0 6 109 =0
2 2
解得 = 300=54.41
rad/m
例:已知均匀平面波在真空中沿+z方向传播，其电场强度的瞬时值为 E z , t ex 20 cos 6 108 t 2 z
b b U / ln 得 ln a r
例：半径为a 的无限长直导体通有电流I ，计算导体内外的磁场强度。 解：场变量仅与 有关，磁感应线是圆心在导线轴上的一簇同心圆。 由基本方程
则 H dl H rd H 2r
c2
c3
y
r 2 a2 I H2 2 2 e a ≤r ≤b b a 2 r r 2 a2 I B2 H 2 2 2 e a ≤ r ≤ b b a 2 r
H (c) 3 dl H 3 2r I 0
(2)导体表面电流存在于两导体相向的面 J J s z 0 n H s e z H z 0
z d
n H e z H ey
z d
ey
0 d
E0 sin t k x x
E0 sin t k x x 0 d
r z
U
a
b
是对称的，电位只是径向r 的函数，柱
坐标系下拉普拉斯方程为
1 d d = r 0 其通解 A ln r B r dr dr
2
边界条件为
r a r b
0 U
b d erU / r ln 导电媒质中的电场强度 E r er dr a b 电流密度 J E er U / r ln a b I 2 rJ 2 U / ln 单位长度上的漏电流 0 a I0 b G 2 / ln 单位长度上的漏电导 0 U a
传导电流密度为
Jc E ex 4Em cos t
J cm 4Em
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
其幅值为
故位移电流与传导电流振幅之比为
J dm 1.125 103 J cm
例：已知在空气中 E e y 0.1sin10 x cos 6 109 t z ，求 。 2 E 2 解：根据电场的波动方程 E 0 0 2 0 t 有
求:（1）频率及波长；（2）电场强度和磁场强度的复矢量； （3）相速；（4）平均坡印廷矢量。