高二年级上(理)数学期末试卷及答案(必修3+选修2-1)
高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线221168x y -=的虚轴长是（ ）A ．8B ．C ．．2 2.在公差为d 的等差数列{}n a 中，“1d >”是“是递增数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.为了了解800名高三学生是否喜欢背诵诗词，从中抽取一个容量为20的样本，若采用系统抽样，则分段的间隔k 为（ ）A ．50B ．60C ．30D ．404.已知椭圆22:1169x y C +=的左、右焦点分别为12F F 、，过2F 的直线交椭圆C 于P Q 、两点，若1F P +110FQ =，则PQ 等于（ ） A ．8 B ．6 C.4 D ．25.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下，则这100个成绩的平均数为（ ）A ．3B ．2.5 C.3.5 D ．2.756.某单位有员工120人，其中女员工有72人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为15的样本，则男员工应选取的人数是（ ） A ．5 B ．6 C.7 D ．87.已知椭圆()222:10525x y C b b +=<<的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则该椭圆的方程是（ ）A ．221254x y +=B ．221259x y += C.2212516x y += D ．22125x y +=8.已知点()00,A x y 是抛物线()220y px p =>上一点，且它在第一象限内，焦点为,F O 坐标原点，若32pAF =，AO = ） A ．B ．3x =- C.2x =- D ．1x =-9.某班m 名学生在一次考试中数学成绩的频率分布直方图如图，若在这m 名学生中，数学成绩不低于100分的人数为33，则等于（ ）A ．45B ．48 C.50 D ．5510.已知定点()3,0M -，()2,0N ，如果动点P 满足2PM PN =，则点P 的轨迹所包围的图形面积等于（ ） A ．1009π B ．1429π C.103πD ．9π11.已知命题p ：直线20x y +=与直线20x y +-=之间的距离不大于1，命题q ：椭圆2222754x y +=与双曲线22916144x y -=有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（ ）A ．()p q ∧⌝B ．()p q ⌝∧ C.()()p q ⌝∧⌝ D ．p q ∧12.如图，12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线分别交于点,A B ，且(A ，若2ABF ∆为等边三角形，则12BF F ∆的面积为（ ）A ．1 BD ．2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知0m >，0n >，向量(),1,3a m =-与()1,,2b n =垂直，则mn 的最大值为 ．14.若[]x 表示不超过x 的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为 ．15.在区间2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上任取一个数x ，则函数()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的值不小于0的概率为 ．16.已知点A 是抛物线()2:20C x px p =>上一点，O 为坐标原点，若,A B 是以点为圆心，OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且ABO ∆为等边三角形，则p 的值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρθ=.（1）写出直线的普通方程及圆C 的直角坐标方程； （2）点P 是直线上的点，求点的坐标，使到圆心的距离最小.18. （本小题满分12分）已知p ：方程()2220x mx m +++=有两个不等的正根；q ：方程221321x ym m-=+-表示焦点在轴上的双曲线.（1）若为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围.19. （本小题满分12分）某公司经营一批进价为每件4百元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价x （百元）与日销售量（件）之间有如下关系：（1）求y 关于x 的回归直线方程；（2）借助回归直线方程请你预测，销售单价为多少百元（精确到个位数）时，日利润最大？相关公式：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.20. （本小题满分12分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学的投篮命中次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用x 表示.（1）若乙组同学投篮命中次数的平均数比甲组同学的平均数少1，求x 及乙组同学投篮命中次数的方差；（2）在（1）的条件下，分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中，各随机选取一名，求这两名同学的投篮命中次数之和为16的概率. 21. （本小题满分12分）如图，在三棱锥A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，CB CD =，AD DB =，,P Q 分别在线段,AB AC 上，3AP PB =，2AQ QC =，M 是BD 的中点.（1）证明：//DQ 平面CPM ； （2）若二面角C AB D --的大小为3π，求tan BDC ∠.22. （本小题满分12分）已知()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，1225F F =，点P 在椭圆上，21tan 2PF F ∠=，且的面积为4.（1）求椭圆的方程；（2）点M 是椭圆上任意一点，12A A 、分别是椭圆的左、右顶点，直线12MA MA ，与直线x =分别交于,E F 两点，试证：以EF 为直径的圆交x 轴于定点，并求该定点的坐标.试卷答案一、选择题1.B 因为28b =，所以虚轴长2b =.2.A 若1d >，则n N *∀∈，110n n a a d +-=>>，所以，{}n a 是递增数列；若{}n a 是递增数列，则n N *∀∈，10n n a a d +-=>，推不出1d >3.D 由于8002040÷=，即分段的间隔40k =.4.B 因为直线PQ 过椭圆的右焦点2F ，由椭圆的定义，在1F PQ ∆中，11416F P FQ PQ a ++==.又1110F P FQ +=，所以6PQ =. 5.A 设这100个成绩的平均数记为x ，则120210*********3100x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==.6.B 男员工应抽取的人数为12072156120-⨯=. 7.C 设焦距为2c ，则有222552b c c b ⎧-=⎨+=⎩，解得216b =，所以椭圆22:12516x y C +=.8.D 因为0322p px +=，所以0x p =，0y =.又)2212p +=，所以2p =，准线方程为1x =-.9.D ()10.0150.025100.6P =-+⨯=，由0.633m =，得55m =.10.A 设(),P x y ，则由2PM PN =得()()2222342x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，化简得223322x y x +-70+=，即221110039x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，所以所求图形的面积1009S π=. 11.B 对于命题p ，将直线l 平移到与椭圆相切，设这条平行线的方程为20x y m ++=，联立方程组224120x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，消去y 得222210x mx m ++-=.由0∆=得，所以m =，椭圆上的点到直线l最近距离为直线20x y +-=与l 的距离d =1>，所以命题p 为假命题，于是p ⌝为真命题.对于命题q ，椭圆2222754x y +=与双曲线22916144x y -=有相同的焦点()5,0±，故q 为真命题.从而()p q ⌝∧为真命题. 12.由已知212BF BF a -=，122AF AF a -=，又2ABF ∆为等边三角形，所以121AF AF BF -=2a =，所以24BF =.在12AF F ∆中，16AF a =，24AF a =，122F F c =，1260F AF ∠=︒，由余弦定理得，所以227c a =，22226b c a a =-=，所以双曲线方程为222216x y a a-=，又()1,3A 在双曲线上，所以，解得212a =，即22a =.所以122124sin1202BF F S a a ∆=⨯⨯⨯︒==. 二、填空题13.9 因为，所以，又，所以.14.7 第一次循环，0S =，2n =；第二次循环，1S =，4n =；第三次循环，3S =，6n =；第四次循环，5S =，8n =；第五次循环，7S =.因为8>6，所以输出S 的值为7. 15.611 当2,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，272,636x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.当[]20,6x ππ-∈，即7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()0f x ≥，则所求概率为76121221134ππππ-=⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 16.56如图，因为MA OA =，所以，点A 在线段OM 的中垂线上，又()0,10M ，所以可设(),5A x . 由tan 305x︒=，得x =，所以A ⎫⎪⎭的坐标代入方程22x px =，得56p =.三、解答题17.解：（1）由3,.x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去参数t ，得直线l0y --=，由ρθ=得2sin ρθ=，22x y +=，即圆C的直角坐标方程为(223x y +-=.（2）()3P t +，(C ，PC ==，0t =∴时PC 最小，此时()3,0P .18.解：（1）由已知方程221321x y m m -=+-表示焦点在y 轴上的双曲线，则()244202020m m m m ⎧∆=-+>⎪->⎨⎪+>⎩解得21m -<<-，即:21p m -<<-. 因p 或q 为真，所以p q 、至少有一个为真. 又且为假，所以至少有一个为假.因此，两命题应一真一假，当为真，为假时，213m m -<<-⎧⎨≥-⎩，解得21m -<<-；当为假，为真时，213m m m ≤≥-⎧⎨<-⎩或，解得.综上，21m -<<-或.19.解：（1）因为7x =，1089616.85y ++++==，所以，122121857 6.82255549ni ii ni i x y nx yb x nx==--⨯⨯===--⨯-∑∑，()6.82720.8a y bx =-=--⨯=，于是得到y 关于x 的回归直线方程220.8y x =-+.（2）销售价为时的利润为()()24220.8228.883.2x x x x ω=--+=-+-，当28.8722x =≈⨯时，日利润最大. 20.（1）解：依题意得：82910789112155x +⨯+++++⨯=-，解得6x =，41=5x 乙，22222141414141682910 1.7655555s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-⨯+-+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. （2）记甲组投篮命中次数低于10次的同学为123,,A A A ，他们的命中次数分别为9，8，7. 乙组投篮命中次数低于10次的同学为1234,,,B B B B ，他们的命中次数分别为6，8，8，9. 依题意，不同的选取方法有：()()()()()()()()()()()()111213142122232431323334,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B 共12种.设“这两名同学的投篮命中次数之和为16”为事件，则中恰含有()()()222334,,,,,A B A B A B 共3种.()31124P C ==∴. 21.（1）证明：取AB 的中点E ，连接ED EQ 、，则2AE AQEP QC==，所以//EQ PC . 又EQ ⊄平面CPM ，所以//EQ 平面CPM . 又PM 是BDE ∆的中位线，所以//DE PM ， 从而//DE 平面CPM . 又DEEQ E =，所以平面//DEQ 平面CPM .因为DQ ⊂平面DEQ ，所以//DQ 平面.（2）解：法1：由AD ⊥平面BCD 知，AD CM ⊥， 由BC CD =，BM MD =，知BD CM ⊥， 故CM ⊥平面ABD .由（1）知//DE PM ，面DE AB ⊥，故PM AB ⊥. 所以CPM ∠是二面角的平面角，即3CPM π∠=.设PM a =，则CM =，又易知在Rt ABD ∆中，4B π∠=，可知DM BM ==，在Rt CMD ∆中，tan MC MDC MD ∠===法2：以M 为坐标原点，,,MC MD ME 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标.设MC a =，MD b =，则(),0,0C a ，()0,,0B b -，()0,,2A b b ，则，()0,2,2BA b b =，设()1,,n x y z =是平面ABC 的一个法向量，则110,0.n BC n BA ⎧=⎪⎨=⎪⎩即0,220.ax by by bz +=⎧⎨+=⎩取()1,,n b a a =-， 不难得到平面ABD 的一个法向量为()21,0,0n =，所以121cos ,2nn <>==，所以a b =， 在中，6tan 2MC a MDC MD b ∠===.22.解：（1）因为21tan 2PF F ∠=，所以21sin PF F ∠=，21cos PF F ∠=. 由题意得((2222122125542522PF PF PF PF ⎧⨯⨯=⎪⎪⎨⎪=+-⨯⎪⎩，解得1242PF PF ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 从而1224263a PF PF a =+=+=⇒=，结合2c =，得24b =，故椭圆的方程为22194x y +=. （2）由（1）得()13,0A -，()23,0A ，设()00,M x y ，则直线1MA 的方程为()0033y y x x =++，它与直线x =的交点的坐标为0033y E x ⎫⎫+⎪⎪⎪⎪+⎭⎭， 直线2MA 的方程为()0033y y x x =--，它与直线的交点的坐标为003535,3232y F x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎭， 再设以EF 为直径的圆交x 轴于点(),0Q m ，则QE QF ⊥，从而1QE QF k k =-，即033y x ⎫+00353321352y x m ⎛⎫- -⎝⎭=--，即，解得3512m =±. 故以为直径的圆交x 轴于定点，该定点的坐标为351,02⎛⎫+ ⎪ ⎪⎭或351,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎭.。
高二数学上学期期末考试试卷 理普通班,含解析 试题(共15页)
黄陵中学2021-2021学年(xuénián)高二〔普通班〕上学期期末考试数学〔理〕试题一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分)1.设命题：，那么为〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】因为特称命题的否命题全称命题，因为命题，所以为：，应选C.【方法点睛】此题主要考察全称命题的否认，属于简单题.全称命题与特称命题的否认与命题的否认有一定的区别，否认全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否认结论，而一般命题的否认只需直接否认结论即可.2.＝(－1,3)，＝(1，k)，假设⊥，那么实数k的值是( )A. k＝3B. k＝－3C. k＝D. k＝－【答案】C【解析】【分析】根据⊥得，进展数量积的坐标运算即可求k值.【详解】因为＝(－1,3)，＝(1，k)，且⊥，，解得k＝，应选(yīnɡ xuǎn)：C.【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：〔1〕两向量平行，利用解答；〔2〕两向量垂直，利用解答.是向量，命题“假设，那么〞的逆命题是A. 假设那么B. 假设那么C. 假设那么D. 假设那么【答案】D【解析】：交换一个命题的题设与结论，所得到的命题与原命题是〔互逆〕命题。
应选D4.命题“假设a>0，那么a2>0”的否认是( )A. 假设a>0，那么a2≤0B. 假设a2>0，那么a>0C. 假设a≤0，那么a2>0D. 假设a≤0，那么a2≤0【答案】B【解析】【分析】根据逆命题的定义，交换原命题的条件和结论即可得其逆命题，即可得到答案.【详解】根据逆命题的定义，交换原命题的条件和结论即可得其逆命题，即命题“假设，那么〞的逆命题为“假设，那么〞，应选B．【点睛】此题主要考察了四种命题的改写，其中熟记四种命题的定义和命题的改写的规那么是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题.5. “a＞0”是“|a|＞0”的〔〕A. 充分(chōngfèn)不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：此题主要是命题关系的理解，结合|a|＞0就是{a|a≠0}，利用充要条件的概念与集合的关系即可判断．解：∵a＞0⇒|a|＞0，|a|＞0⇒a＞0或者a＜0即|a|＞0不能推出a＞0，∴a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件应选A考点：必要条件．【此处有视频，请去附件查看】6.命题p：∃x∈R，使tan x＝1，命题q：∀x∈R，x2＞0.那么下面结论正确的选项是( )A. 命题“p∧q〞是真命题B. 命题“p∧q〞是假命题C. 命题“p∨q〞是真命题D. 命题“p∧q〞是假命题【答案】D【解析】取x0＝，有tan＝1，故命题p是真命题；当x＝0时，x2＝0，故命题q是假命题．再根据复合命题的真值表，知选项D是正确的．7.假设命题“〞为假，且“〞为假，那么〔〕A. 或者为假B. 假C. 真D. 不能判断的真假【答案】B【解析(jiě xī)】“〞为假，那么为真，而〔且〕为假，得为假8.假设向量且那么( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】此题首先可根据以及列出等式，然后通过计算得出结果。
高二数学上学期期末考试试卷 理含解析 试题 2(共17页)
一中2021-2021高二年级第一学期(xuéqī)期末试题高二数学〔理科〕一选择题：在每个小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
1.假设命题：， ,那么命题的否认是〔〕A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】根据特称命题的否认，换量词否结论，不变条件；故得到命题的否认是，.故答案为：C.2.与向量垂直的一个向量的坐标是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】用与四个选项里面的向量求数量积，数量积为零的即是所求.【详解】对于A选项，不符合题意.对于B选项，不符合题意.对于C选项，不符合题意.对于D选项，符合题意，应选D.【点睛】本小题主要考察两个空间向量互相垂直的坐标表示，考察运算求解才能，属于根底题.3.双曲线的渐近线方程(fāngchéng)为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】双曲线实轴在轴上时，渐近线方程为，此题中，得渐近线方程为，应选A.4.抛物线的焦点坐标是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用抛物线的HY方程，转化求解即可．【详解】抛物线y=-x2的开口向下，，所以抛物线的焦点坐标．应选：A．【点睛】此题考察抛物线的简单性质的应用，考察计算才能．5.等比数列中，，，( )A. 32B. 64C. 128D. 256【答案】C【解析】【分析】将转化为的形式，求得的值，由此求得的值.【详解(xiánɡ jiě)】由于数列为等比数列，故，故，应选C.【点睛】本小题主要考察利用根本元的思想求等比数列的根本量个根本量，利用等比数列的通项公式或者前项和公式，结合条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.6.设变量想x、y满足约束条件为那么目的函数的最大值为( )A. 0B. -3C. 18D. 21【答案】C【解析】【详解】画出可行域如以下图所示，由图可知，目的函数在点处获得最大值，且最大值为.应选C.【点睛】本小题主要考察利用线性规划求线性目的函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是求得线性目的函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于根底题.7.假设命题“〞为真命题，那么( )A. 为假命题(mìng tí)B. 为假命题C. 为真命题D. 为真命题【答案】B【解析】【分析】命题“p∧(¬q)〞为真命题,根据且命题的真假判断得到p为真命题，¬q也为真命题,进而得到结果.【详解】命题“p∧(¬q)〞为真命题,根据且命题的真假判断得到p为真命题，¬q也为真命题,那么q为假命题,故B正确；p∨q为真命题；¬p为假命题，¬q为真命题,故得到(¬p)∧(¬q)为假命题.故答案为：B.【点睛】〔1〕由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假假设p且q真，那么p 真，q也真；假设p或者q真，那么p，q至少有一个真；假设p且q假，那么p，q至少有一个假．〔2〕可把“p或者q〞为真命题转化为并集的运算；把“p且q〞为真命题转化为交集的运算．8.在中，，，分别是三个内角、、的对边，，，，那么〔〕A. B. 或者 C. D. 或者【答案】D【解析】【分析】利用正弦(zhèngxián)定理列方程，解方程求得的值，根据特殊角的三角函数值求得的大小.【详解】由正弦定理得，解得，故或者，所以选D.【点睛】本小题主要考察利用正弦定理解三角形，考察特殊角的三角函数值，属于根底题.9.在中，分别为角的对边，假设，那么此三角形一定是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或者直角三角形【答案】A【解析】由正弦定理得sinA=2sinBcosC，即sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，整理得sinBcosC−cosBsinC=sin(B−C)=0，即B=C，那么三角形为等腰三角形，此题选择A选项.10.均为正数，，那么的最小值( )．A. 13B.C. 4D.【答案】D【解析】【分析】通过化简后利用根本不等式求得表达式的最小值.【详解】依题意.应选D.【点睛(diǎn jīnɡ)】本小题主要考察利用“〞的代换的方法，结合根本不等式求表达式的最小值.属于根底题.11.设双曲线的渐近线方程为，那么的值是( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】双曲线的渐近线方程为,所以，应选B.12.有以下三个命题:①“假设，那么互为相反数〞的逆命题;②“假设，那么〞的逆否命题;③“假设，那么〞的否命题. 其中真命题的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】①写出命题的逆命题，可以进展判断为真命题；②原命题和逆否命题真假性一样，而通过举例得到原命题为假，故逆否命题也为假；③写出命题的否命题，通过举出反例得到否命题为假。
全新人教高二数学(理)上学期期末试卷含答案
全新人教高二数学（理）上学期期末试卷含答案
一、单选题
1．已知双曲线与双曲线，给出下列说法，其中错误的是（）A．它们的焦距相等B．它们的焦点在同一个圆上
C．它们的渐近线方程相同D．它们的离心率相等
2．两圆与在交点处的切线互相垂直，则R=（）A．5B．4C．3D．
3．在平面直角坐标系中,直线的倾斜角大小为( ) A．B．C．D．
4．某单位在1至4月份用电量（单位：千度）的数据如下表：
已知用电量与月份之间有线性相关关系，其回归方程，由此可预测5月份用电量（单位：千度）约为（）
A．1.9B．1.8C．1.75D．
5．已知椭圆则
A．与顶点相同.B．与长轴长相同.
C．与短轴长相同.D．与焦距相等.
6．已知抛物线的焦点为，准线为，抛物线上有一点，过点作，垂足为，且，若的面积为，则等于（）
A．B．C．D．
7．已知点，直线与直线垂直，则的值为（）
A．2B．1C．0D．
8．下列说法错误
．．的是( )
A．在统计里，把所需考察对象的全体叫做总体
B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据
C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大
9．已知圆，圆，，分别是圆，上的动点.若动点在直线上，则的最小值为（）
A．3B．C．D．
10．已知点，，若直线过原点，且、两点到直线的距离相等，则直线的方程为( )
A．或B．或
C．或D．或
11．已知向量，，，则为（）A．B．C．D．
12．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的( )
A．115B．116C．357D．358
第II卷（非选择题）。
高二第一学期数学(理)期末试卷及答案5套
高二第一学期数学（理）期末试卷及答案5套（时间：120分钟 总分：150分，交答题纸）第Ⅰ卷（12题：共60分）一、选择题（包括12小题，每小题5分，共60分） 1.某高中有学生1 000人，其中一、二、三年级的人数比为4∶3∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ） A ．100 B ．40 C ．75 D ．252.某市进行一次高三教学质量抽样检测,考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布.已知数学成绩平均分为90分,60分以下的人数占10%,则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为 （ ） A.40%B.30%C.20%D. 10%3.对于空间的两条直线n m ,和一个平面α，下列命题中的真命题是 （ ） A.n m n m //,////则，若αα B.n m n m //,则，若αα⊥⊥ C.n m n m //,//则，若αα⊥ D.n m n m //,//则，若αα⊂4.根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830，则在吹东风的条件下下雨的概率为 （ ）A.911B.811C.89D.255.甲、乙两名学生六次数学测验成绩如右图所示。
①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分比乙同学的平均分高； ③甲同学的平均分比乙同学的平均分低； ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差。
上面说法正确的是（ ）A.②④B.①②④C.③④D.①③ 6.下图是把二进制数11111(2)化成十进制数的一个程序框图， 则判断框内应填入的条件是( )A.?5>iB.?4≤iC.?4>iD.?5≤i7．在4次独立重复试验中,事件A 发生的概率相同,若事件A 至少发生1次的概率为8165,则事件A 在1次试验中发生的概率为( ) A.32 B.31 C.95 D.94 8.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点与圆01022=-+x y x 的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为（ ）A.120522=-y x B.1202522=-y x C.152022=-y x D.1252022=-y x 9.设A 为定圆C 圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，求弦长超过半径2倍的概率（ ） A.34B. 35C.13D.1210.命题“设R b a ∈,，若6≠+b a ，则3≠a 或3≠b ”是一个真命题； 若“q p ∨”为真命题，则q p ,均为真命题；命题“)1(2,,22--≥+∈∀b a b a R b a ”的否定是“)1(2,,22--≤+∈∃b a b a R b a ”； ④“)(2Z k k ∈+=ππϕ”是函数)2sin(ϕ+=x y 为偶函数的充要条件。
高二上期末数学试卷(理)含答案解析
高二（上）期末数学试卷一、选择题1．已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|x＞2} B．{x|x＞1} C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3} 2．下列结论正确的是（）A．x＞1⇒＜1 B．x+≥2 C．x＞y⇒=＜D．x＞y⇒x2＞y2 3．命题“∃x∈R+，lnx＞0”的否定是（）A．∃x∈R+，lnx＞0 B．∀x∈R+，lnx≤0 C．∀x∈R+，lnx＞0 D．∃x∈R+，lnx≥0 4．有20位同学，编号从1至20，现从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样法所抽的编号为（）A．5、10、15、20 B．2、6、10、14 C．2、4、6、8 D．5、8、11、14 5．执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4 B．5 C．6 D．76．椭圆+=1（a＞b＞0）的两个焦点F1，F2，点M在椭圆上，且MF1⊥F1F2，|MF1|=，|MF2|=，则离心率e等于（）A．B．C．D．7．如图，在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为（）A．B．C．D．8．已知直线a，b，平面α，β，且a⊥α，b⊂β，则“a⊥b”是“α∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．某四棱锥的三视图如图所示（单位：cm），则该四棱锥的体积是（）A．27cm3B．9cm3C．cm3D．3cm310．实数x，y满足，则z=y﹣x的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．411．函数，给出下列结论正确的是（）A．f（x）的最小正周期为B．f（x）的一条对称轴为C．f（x）的一个对称中心为D．是奇函数12．设f（x）是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[﹣2，1）时，f（x）=，则f（）=（）A．0 B．1 C．D．﹣1二、填空13．若角45°的终边上有一点（4，a），则a的值是．14．不等式x2﹣3x﹣18≤0的解集为．15．若与为非零向量，，则与的夹角为．16．直线l过点A（3，2）与圆x2+y2﹣4x+3=0相切，则直线l的方程为．三、解答题17．求椭圆+=1的长轴和短轴的长、顶点和焦点的坐标．18．焦点坐标（﹣5，0），实轴长为6，求双曲线标准方程并求此双曲线渐近线方程及离心率．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC，E为PB的中点．（1）求证：PD∥面AEC；（2）求证：平面AEC⊥平面PDB．20．为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，已知第二小组频数为12．（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明．21．已知等差数列{a n}，S n为其前n项和，a5=10，S7=56．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n+（），求数列{b n}的前n项和T n．22．已知函数（x∈R）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，B为锐角，且f（B）=，AC=4，D是BC边上一点，AB=AD，试求△ADC周长的最大值．2015-2016学年辽宁省阜新二中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|x＞2} B．{x|x＞1} C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3} 【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】直接利用交集运算求得答案．【解答】解：∵A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，∴A∩B={x|x＞2}∩{x|1＜x＜3}={x|2＜x＜3}．故选：C．【点评】本题考查交集及其运算，是基础的计算题．2．下列结论正确的是（）A．x＞1⇒＜1 B．x+≥2 C．x＞y⇒=＜D．x＞y⇒x2＞y2【考点】不等式的基本性质．【专题】不等式的解法及应用．【分析】A．x＞1⇒＜1；B．x＜时不成立；C．取x＞0，y＜0，不成立；D．取x=﹣1，y=﹣2，不成立．【解答】解：对于A．x＞1⇒＜1，正确；对于B．x＜时不成立；对于C．取x＞0，y＜0，则不成立；对于D．取x=﹣1，y=﹣2，不成立．只有A正确．故选；A．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．3．命题“∃x∈R+，lnx＞0”的否定是（）A．∃x∈R+，lnx＞0 B．∀x∈R+，lnx≤0 C．∀x∈R+，lnx＞0 D．∃x∈R+，lnx≥0 【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】解：特称命题的否定是全称命题，则命题“∃x∈R+，lnx＞0”的否定是：∀x∈R+，lnx≤0，故选：B【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4．有20位同学，编号从1至20，现从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样法所抽的编号为（）A．5、10、15、20 B．2、6、10、14 C．2、4、6、8 D．5、8、11、14 【考点】系统抽样方法．【专题】常规题型．【分析】系统抽样，要求编号后，平均分租，每一组只抽一个样本，两个相邻的样本的编号间距相等【解答】解：从20人中用系统抽样抽4个人，须把20人平均分成4组，每一组只抽1人，且所抽取的号码成等差数列只有A选项满足故选A【点评】本题考查系统抽样，要求掌握系统抽样的特点：平均分租，每一组只抽一个样本，号码成等差数列．属简单题5．执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．【解答】解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．6．椭圆+=1（a＞b＞0）的两个焦点F1，F2，点M在椭圆上，且MF1⊥F1F2，|MF1|=，|MF2|=，则离心率e等于（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意，|F1F2|==2=2c，2a=+=6，即可求出椭圆的离心率．【解答】解：由题意，|F 1F 2|==2=2c ，2a=+=6，∴e==．故选：C ．【点评】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．7．如图，在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】概率的应用． 【专题】计算题．【分析】先求出正方形的面积为22，设阴影部分的面积为x ，由概率的几何概型知，由此能求出该阴影部分的面积． 【解答】解：设阴影部分的面积为x ，则，解得x=．故选B ．【点评】本题考查概率的性质和应用，每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型． 解题时要认真审题，合理地运用几何概型解决实际问题．8．已知直线a ，b ，平面α，β，且a ⊥α，b ⊂β，则“a ⊥b ”是“α∥β”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据题意，分两步来判断：①分析当α∥β时，a⊥b是否成立，有线面垂直的性质，可得其是真命题，②分析当a⊥b时，α∥β是否成立，举出反例可得其是假命题，综合①②可得答案．【解答】解：根据题意，分两步来判断：①当α∥β时，∵a⊥α，且α∥β，∴a⊥β，又∵b⊂β，∴a⊥b，则a⊥b是α∥β的必要条件，②若a⊥b，不一定α∥β，当α∩β=a时，又由a⊥α，则a⊥b，但此时α∥β不成立，即a⊥b不是α∥β的充分条件，则a⊥b是α∥β的必要不充分条件，故选B．【点评】本题考查充分必要条件的判断，涉及线面垂直的性质的运用，解题的关键要掌握线面垂直的性质．9．某四棱锥的三视图如图所示（单位：cm），则该四棱锥的体积是（）A．27cm3B．9cm3C．cm3D．3cm3【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】几何体是四棱锥，由侧视图知四棱锥的高为1，根据三视图的数据判断底面是边长为1+2=3的正方形，代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的高为1，底面是边长为1+2=3的正方形，∴几何体的体积V=×32×1=3（cm3）．故选：D．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．10．实数x，y满足，则z=y﹣x的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】简单线性规划．【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件画出平面区域，如图所示．A（0，1），化目标函数z=y﹣x为y=x+z，由图可知，当直线y=x+z过点A时，目标函数取得最大值．∴z max=1﹣0=1．故选：A．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11．函数，给出下列结论正确的是（）A．f（x）的最小正周期为B．f（x）的一条对称轴为C．f（x）的一个对称中心为D．是奇函数【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】化简函数f（x），求出f（x）的最小正周期T，判断出A错误；把x=代入2x+中计算，根据正弦函数图象的对称性，判断出B、C错误；化简f（x﹣），得出f（x﹣）是定义域R上的奇函数，判断出D正确．【解答】解：函数=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π，A错误；又当x=时，2x+=≠kπ+，k∈Z，∴x=不是f（x）的对称轴，B错误；同理x=时，2x+=≠kπ，k∈Z，∴（，0）不是f（x）的对称中心，C错误；又f（x﹣）=sin[2（x﹣）+]=sin2x，∴f（x﹣）是定义域R上的奇函数，D正确．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数的恒等变换问题，是基础题目．12．设f（x）是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[﹣2，1）时，f（x）=，则f（）=（）A．0 B．1 C．D．﹣1【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】既然3是周期，那么﹣3也是周期，所以f（）=f（﹣），代入函数解析式即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为3的函数，∴f（）=f（﹣3）=f（﹣）=4（﹣）2﹣2=﹣1故选：D【点评】本题考查函数的周期性以及分段函数的表示，属于基础题．二、填空13．若角45°的终边上有一点（4，a），则a的值是4．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；函数思想；定义法；三角函数的求值．【分析】直接利用三角函数的定义，即可求出m的值．【解答】解：因为45°角的终边上有一点为（4，a），所以tan45°==1，所以a=4．故答案为：4．【点评】本题考查三角函数的定义，考查计算能力，正确运用利用三角函数是关键．14．不等式x2﹣3x﹣18≤0的解集为[﹣3，6]．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；方程思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】不等式可化为（x+3）（x﹣6）≤0．解得x≤﹣3≤x≤6，由此得到不等式的解集．【解答】解：不等式x2﹣3x﹣18≤0，即（x+3）（x﹣6）≤0．解得x≤﹣3≤x≤6，故不等式解集为[﹣3，6]，故答案为：[﹣3，6]．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．15．若与为非零向量，，则与的夹角为．【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模．【专题】平面向量及应用．【分析】利用模的计算公式和数量积即可得出．【解答】解：∵，∴，∴=，∴．∵与为非零向量，∴．∴与的夹角为．故答案为．【点评】熟练掌握模的计算公式和数量积是解题的关键．16．直线l过点A（3，2）与圆x2+y2﹣4x+3=0相切，则直线l的方程为x=3或3x﹣4y﹣1=0．【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】根据直线和圆相切的条件进行求解即可．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣2）2+y2=1，则圆心坐标为（2，0），半径R=1若直线斜率k不存在，则直线方程为x=3，圆心到直线的距离d=3﹣2=1，满足条件．若直线斜率k存在，则直线方程为y﹣2=k（x﹣3），即kx﹣y+2﹣3k=0，圆心到直线的距离d==1，平方得k=，此时切线方程为3x﹣4y﹣1=0，综上切线方程为x=3或3x﹣4y﹣1=0，故答案为：x=3或3x﹣4y﹣1=0．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．三、解答题17．求椭圆+=1的长轴和短轴的长、顶点和焦点的坐标．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆性质求解．【解答】解：椭圆+=1中，∵a=4，b=2，c==2，∴椭圆+=1的长轴2a=8，短轴2b=4，顶点（﹣4，0），（4，0），（0，﹣2），（0，2），焦点（﹣2，0），（2，0）．【点评】本题考查椭圆的长轴和短轴的长、顶点和焦点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．18．焦点坐标（﹣5，0），实轴长为6，求双曲线标准方程并求此双曲线渐近线方程及离心率．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可知，双曲线为实轴在x轴上的双曲线，并求得c与a的值，代入隐含条件求得b，则双曲线标准方程、渐近线方程及离心率可求．【解答】解：∵双曲线焦点坐标（﹣5，0），∴双曲线为实轴在x轴上的双曲线，且c=5，又实轴长为6，即2a=6，得a=3，∴b2=c2﹣a2=25﹣9=16，则b=4，∴双曲线标准方程为，渐近线方程为y=±，即4x±3y=0，双曲线的离心率为e=．【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查了双曲线的简单性质，是基础题．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC，E为PB的中点．（1）求证：PD∥面AEC；（2）求证：平面AEC⊥平面PDB．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题．【分析】（1）设AC∩BD=O，连接EO，证明PD∥EO，利用直线与平面平行的判定定理证明PD∥面AEC．（2）连接PO，证明AC⊥PO，AC⊥BD，通过PO∩BD=O，证明AC⊥面PBD，然后证明面AEC⊥面PBD【解答】解：（1）证明：设AC∩BD=O，连接EO，因为O，E分别是BD，PB的中点，所以PD∥EO…（4分）而PD⊄面AEC，EO⊂面AEC，所以PD∥面AEC…（7分）（2）连接PO，因为PA=PC，所以AC⊥PO，又四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD…（10分）而PO⊂面PBD，BD⊂面PBD，PO∩BD=O，所以AC⊥面PBD…（13分）又AC⊂面AEC，所以面AEC⊥面PBD…（14分）【点评】本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力．20．为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，已知第二小组频数为12．（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明．【考点】频率分布直方图．【专题】计算题；图表型．【分析】（1）根据各个小矩形的面积之比，做出第二组的频率，再根据所给的频数，做出样本容量．（2）从频率分步直方图中看出次数子啊110以上的频数，用频数除以样本容量得到达标率，进而估计高一全体学生的达标率．（3）这组数据的中位数落在的位置是刚好把频率分步直方图分成两个相等的部分的位置，测试中各个小组的频数分别是6，12，51，45，27，9前3组频数之和是69，后3组频数之和是81，得到中位数落在第四小组．【解答】解：（1）∵各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3∴第二小组的频率是=0.08∵第二小组频数为12，∴样本容量是=150（2）∵次数在110以上（含110次）为达标，∴高一学生的达标率是=88%即高一有88%的学生达标．（3）∵这组数据的中位数落在的位置是刚好把频率分步直方图分成两个相等的部分的位置，∵测试中各个小组的频数分别是6，12，51，45，27，9前3组频数之和是69，后3组频数之和是81，∴中位数落在第四小组，即跳绳次数的中位数落在第四小组中．【点评】本题考查频率分步直方图，考查用样本的频率分布估计总体的频率分布，本题解题的关键是读懂直方图，本题是一个基础题．21．已知等差数列{a n}，S n为其前n项和，a5=10，S7=56．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n+（），求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）根据题意和等差数列的前n项和公式、通项公式，求出公差和首项，再求出数列{a n}的通项公式；（2）由（1）求出b n，由分组求和法和等差、等比数列的前n项和公式求出T n．【解答】解：（1）由S7=56得=56，则7a4=56，解得a4=8，因为a5=10，所以公差d=a5﹣a4=10﹣8=2，则a4=a1+3d，解得a1=8﹣6=2，所以a n=2+2（n﹣1）=2n；（2）由（1）得，b n=a n+（）=2n+3n，所以T n=（2+3）+（4+32）+（6+33）+…+（2n+3n）=（2+4+6+…+2n）+（3+32+33+…+3n）=+=，所以T n=．【点评】本题考查等差数列的通项公式，等差、等比数列的前n项和公式，及数列的求和方法：分组求和法，属于中档题．22．已知函数（x∈R）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，B为锐角，且f（B）=，AC=4，D是BC边上一点，AB=AD，试求△ADC周长的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【专题】计算题；三角函数的图像与性质；解三角形．（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=．由【分析】，可得单调递增区间．（2）由得．又，则可求得，由AB=AD可求得：AD+DC=BD+DC=BC，又由正弦定理可得BC=8sin∠BAC．由，可得．故可得周长最大值．【解答】解：（1）===．由，得（k∈Z）．∴单调递增区间为，k∈Z（2）由得．又，则，从而，∴．由AB=AD 知△ABD 是正三角形，AB=AD=BD ，∴AD+DC=BD+DC=BC ，在△ABC 中，由正弦定理，得，即BC=8sin ∠BAC ．∵D 是BC 边上一点，∴，∴，知．当时，AD+CD 取得最大值8，周长最大值为．【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理的应用，综合性较强，属于中档题．。
高二上学期数学(理)期末试卷及答案
上学期期末考试高二数学（理）试卷考试时间：120分钟 试题分数：150分卷Ⅰ一、选择题：本大题共12小题；每小题5分；共60分.在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的.1. i 是虚数单位；计算23i i i ++=( )A.1-B.1C.i -D.i 2.下列命题中的真命题为（ ）A.,0Z x ∈∃使得 3410<<xB.,0Z x ∈∃ 使得 0150=+xC.01,2=-∈∀x R x D.02,2>++∈∀x x R x 3. 已知()1,3,a λ=-；()2,4,5b =-；若a b ⊥； 则λ= （ ）A ．2B ．4-C ．2-D ．34. 原命题“若3x ≤-；则0x <”的逆否命题是（ ） A ．若3x <-；则0x ≤ B ．若3x >-；则0x ≥ C ．若0x <；则3x ≤- D ．若0x ≥；则3x >-5.“双曲线渐近线方程为x y 2±=”是“双曲线方程为)0(422≠=-λλλ为常数且y x ”的（ ）C ． 充要条件 D.既不充分也不必要条件6. 设向量{},,是空间一个基底；则一定可以与向量,,-=+=构成空间的另 一个基底的向量是 （ ） A ．B ．C ．D ．或7. 椭圆221164x y +=上的点到直线220x y +-=的最大距离为( )． A. 3 B. 11 C. 22 D. 108. 若正三棱锥的侧面都是直角三角形；则它的侧棱与底面所成角的余弦值为（ ） A.36 B.33 C.32 D. 31 9. 已知抛物线方程为x y 42=；则经过它的焦点的弦的中点轨迹方程是（ ）A.12-=x y B.)1(22-=x y C.212-=x y D.122-=x y 10．设点)2,1,12(++a a C 在点)4,1,8(),2,3,1(),0,0,2(--B A P 确定的平面上；则a =（ ）A.16B.4C.2D.811．设离心率为e 的双曲线方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ；它的右焦点为F ；直线l 过点F 且斜率为k ；若直线l 与双曲线的左、右两支都相交；则有（ ）A.122>-e k B.122<-e k C.122>-k e D.122<-k e12．若椭圆)0(1:112122121>>=+b a b y a x C 和椭圆)0(1:222222222>>=+b a b y a x C 的焦点相同且21a a >．给出如下四个结论：①椭圆1C 与椭圆2C 一定没有公共点 ②2121b b a a > ③22212221b b a a -=- ④2121b b a a -<-其中所有正确结论的序号是（ ）A. ①②③B. ①③④C. ①②④D.②③④卷Ⅱ二、填空题：本大题共4小题；每小题5分.共20分.13. i 是虚数单位；若复数()()12i a i -+ 是纯虚数；则实数a 的值为__________.21,F F 为椭圆192522=+y x 的两个焦点；过1F 的直线交椭圆于B A ,两点；若12||||22=+B F A F ；则||AB =__________.°；这条直线与斜线在平面内的射影的夹角为45°；则斜线与平面所成的角为_______.16.如图；已知21,F F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右两个焦点；8||21=F F ；P 是双曲线右支上的一点；直线P F 2与y 轴交于点A ；△1APF 的内切圆在边1PF 上的切点为Q ；若2||=PQ ；则双曲线的离心率为________三、解答题：本大题共6小题；共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）已知抛物线方程为x y 82=；直线l 过点)4,2(P 且与抛物线只有一个公共点；求直线l 的方程.18.（本小题满分12分）已知命题p ：“方程221222+=-+-m m ym x 表示的曲线是椭圆”；命题q ：“方程123122+=-+-m m y m x 表示的曲线是双曲线”。
2018-2019高二年级期末考试必修三、选修2-1(含详解答案)
2018-2019学年上学期高二年级期末考试理科数学必修三、选修2－1一、选择题(每小题5分)1．设x R ∈,则“12x >”是“2210x x +->”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要必要条件D ．既不充分也不必要条件 2．已知p :函数12x y -=的图象关于直线x =1对称；q :函数1y x x=+在()0,+∞上是增函数．由它们组成的新命题“p q ∧”“p q ∨”“p ⌝”中,真命题的个数为 （ ） A ．0B ．1C ．2D ．33.抛物线y =- 8mx 2(m ＜0)的焦点坐标是（ ）A.(m 81,0) B.(0,m321) C.(0,－m321) D.(m321,0) 4．椭圆220(0)mx ny mn m n ++=<<焦点坐标为 （ ）Ａ．(0，Ｂ．(Ｃ．(0，Ｄ．(5. 如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。
若=，b AD =，=1则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）（A ） c b a ++-2121 （B ）c b a ++2121（C ）+--2121 （D ）+-21216．对于空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，有如下关系：6OP→＝OA →＋2OB →＋3OC →，则 ( ) A ．四点O 、A 、B 、C 必共面 B ．四点P 、A 、B 、C 必共面 C ．四点O 、P 、B 、C 必共面 D ．五点O 、P 、A 、B 、C 必共面7.当曲线y =240kx y k -+-=有两个相异的交点时,实数k 的取值范围是 （ ）A. 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 53,124⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ 8.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ ）A.13B.32C.12D.19.如图所示，在正三棱柱111C B A ABC -中，D 是AC的中点，1AA ，则异面直线1AB 与BD 所成的角为 ( )A.30︒B.45︒C.60︒D.90︒10．已知抛物线2:8C yx =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若0MA MB ⋅=uuu r uuu r,则k =（ ）A ．12B．2CD ．2 11.已知双曲线E ：22221x y a b-= ()0,0a b >>，点1F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足113PF QF =，若O 为双曲线E 的中心，OP b =，则E 的离心率为 （ ）212：已知F 1,F 2是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点，点P 是椭圆上的点，I 是△F 1P F 2内切圆的圆心，直线PI 交x 轴于点M,则∣PI ∣:∣IM ∣的值为A ．a c B.c a C.b a D.ab二、填空题(每小题5分) 13. 下列说法：①命题“,20x x R ∃∈≤” 的否定是“对,20x x R ∀∈>”；②关于的不等式221sin sin a x x<+恒成立，则的取值范围是3a <； ③函数2()||f x alog x x b =++为奇函数的充要条件是0==b a ； 其中正确的序号是14.设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点,点(),M a b ,若1230MF F ∠=︒,则双曲线的渐近线方程为________. 15．已知：如图，△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形，SA ⊥平面ABC ，SA ＝BC ＝2，AB ＝4，M 、N 、D 分别是SC 、AB 、BC 的中点，则A 到平面SND 的距离为________．16.已知椭圆和双曲线有共同焦点12,F F ，P 是它们的一个交点，1260F PF ∠=︒，记椭圆和双曲线的离心率分别12,e e ，则2212e e +的最小值是xa三、解答题17．（本题满分10分）已知命题2:450p x x --≤,命题()22:2100q x x m m -+-≤>（1）若p 是q 的充分条件,求实数m 的取值范围;（2）若5m =,p q ∨为真命题, p q ∧为假命题,求实数x 的取值范围．18．（本题满分12分）已知A 、B 、C 为三角形ABC 的三内角，其对应边分别为a ，b ，c ，若有2acosC=2b+c 成立.（1）求A 的大小；（2）若32=a ，4=+c b ，求三角形ABC 的面积.19．如图所示，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点， OA→＋OB →＝(－4，－12)． (1)求直线l 和抛物线C 的方程；(2)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值．20、如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =，160BAA ∠=.（Ⅰ）证明：1AB AC ⊥； （Ⅱ）若11ABC AA B B ⊥平面平面，AB CB =，求直线1AC 与11BB C C 平面所成角的正弦值．21．(12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，H 是正方形AA 1B 1B 的中心，AA 1＝22，C 1H ⊥平面AA 1B 1B ，且C 1H ＝ 5. (1)求异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值； (2)求二面角A －A 1C 1－B 1的正弦值；(3)设N 为棱B 1C 1的中点，点M 在平面AA 1B 1B 内，且MN ⊥平面A 1B 1C 1，求线段BM 的长．22. (本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ，.当直线AB 的斜率为0时，7AB CD +=.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求AB CD +的取值范围.参考答案1． A2． B 3. C 4． A 5. A 6． B 7． C 8. C9. C.60︒ 10．D 11. B 12． B二、13.①③14.y =15．6316. 1+三、解答题17．解：（1）对于[]:1,5p A =-，对于[]:1,1q B m m =-+，由已知， A B ⊆，∴1115m m -≤-⎧⎨+≥⎩∴[4,)m ∈+∞（2）若p 真: 15x -≤≤，若q 真: 46x -≤≤. 由已知,p q 一真一假.①若p 真q 假，则1546x x x -≤≤⎧⎨<->⎩或无解; ②若p 假q 真，则1546x x x <->⎧⎨-≤≤⎩或 ∴[)(]4,15,6x ∈--⋃18．（1）∵2cos 2a C b c =+，由正弦定理可知2sin cos 2sin sin A C B C=+①，而在三角形中有：sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+②，由①、②可化简得：2cos sin sin 0A C C +=，在三角形中sin 0C ≠，故得21cos -=A ，又π<<A 0，所以32π=A .（2）由余弦定理A bc c b a cos 2222⋅-+=，得32cos 22)()32(22π⋅--+=bc bc c b ，即：)21(221612-⋅--=bc bc ，∴4=bc .故得：323421sin 21=⨯⨯==∆A bc S ABC .19． (1)由⎩⎨⎧y ＝kx －2，x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.因为OA→＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk 2－4)＝(－4，－12)，所以⎩⎨⎧ －2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12.解得⎩⎨⎧p ＝1，k ＝2.所以直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线C 的方程为x 2＝－2y .(2)由⎩⎨⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝1＋22·(－4)2－(－4)＝410，设P (t ，－12t 2)(－2－22<t <－2＋22)，因为AB 为定值，当点P 到直线l 的距离d 最大时，△ABP 的面积最大，d＝|2t ＋12t 2－2|22＋(－)2＝|12(t ＋2)2－4|5，因为－2－22<t <－2＋22，所以当t ＝－2时，d max ＝455，此时P (－2，－2)．∴△ABP 的面积最大值为410·4552＝8 2. 20、解：（Ⅰ）证明：取AB 的中点O ，连结OC ，1OA ，1A B .CA CB = ∴O C A B ⊥1AB AA =，160BAA ∠=∴1AA B 为等边三角形 ∴1O A A B ⊥ 又1OC OA O =，11,OC OA AOC ⊂平面 ∴1AB AOC ⊥平面 又11AC AOC ⊂平面 ∴1A B A C ⊥ （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，OC AB ⊥，1OA AB ⊥ 又11ABC AA B B ⊥平面平面，11=ABC AA B B AB 平面平面，OC ABC ⊂平面∴11OC AA B B ⊥平面 ∴1,,OAOA OC 两两垂直.如图，以O 为坐标原点，分别以1,,OA OA OC 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -. 设2AB=，则(1,0,0)A ，1A，C ，(1,0,0)B -∴1(0,AC =，11(1BB AA ==-，(1BC =设11BBC C 平面的一个法向量为111(,,)n x y z =则11111111100003y x x n BB n BC x z x ⎧=⎪⎧⎧-=⋅=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⋅==⎪⎪⎪⎩⎩=-⎪⎩，取(3,1,1)n =- 设直线1AC 与11BB C C 平面所成角为则111sin cos ,3n AC n AC n AC θ⋅=<>====∴直线1AC 与11BB C C 平面21． 如图所示，建立空间直角坐标系，点B 为坐标原点，依题意得A (22，0,0)，B (0,0,0)，C (2，－2，5)，A 1(22，22，0)，B 1(0,22，0)，C 1(2，2，5)．(1)易得AC →＝(－2，－2，5)，A 1B 1→＝(－22，0,0)． 于是cos 〈AC →，A 1B 1→〉＝AC →·A 1B 1→|AC →|·|A 1B 1→|＝43×22＝23.所以异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值为23. ……………4分(2)易知AA 1→＝(0,22，0)，A 1C 1→＝(－2，－2，5)． 设平面AA 1C 1的法向量m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1C 1→＝0，m ·AA 1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＋5z ＝0，22y ＝0.不妨令x ＝5，可得m ＝(5，0，2)． 同样地，设平面A 1B 1C 1的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1C 1→＝0，n ·A 1B 1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＋5z ＝0，－22x ＝0.不妨令y ＝5，可得n ＝(0，5，2)． 于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝27·7＝27. 从而sin 〈m ，n 〉＝357.所以二面角A －A 1C 1－B 1的正弦值为357. ……………8分(3)由N 为棱B 1C 1的中点，得N (22，322，52)． 设M (a ，b,0)，则MN →＝(22－a ，322－b ，52)． 由MN ⊥平面A 1B 1C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧MN →·A 1B 1→＝0，MN →·A 1C 1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧(22－a )·(－22)＝0，(22－a )·(－2)＋(322－b )·(－2)＋52·5＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22，b ＝24.故M (22，24，0)．因此BM →＝(22，24，0)，所以线段BM 的长|BM →|＝104. ……………12分22. （Ⅰ）由题意知，12c e a ==，∴22222,4,3.a c a c b c === 当直线AB 的斜率为0时，2,AB a = 72CD a ∴=-.2222, 72,b b CD a a a=∴-= 解得得221,4,3c a b ===.∴椭圆的方程为22143x y +=.……………………4分（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知7AB CD +=.……5分②当两弦斜率均存在且不为0时，由（1）知，()1,0F ，设()()1122,,,,A x y B x y 直线AB 的方程为()1y k x =-，则直线CD 的方程为1(1)y x k=--.将直线AB 的方程代入椭圆方程，整理得()22223484120k xk x k +-+-=，………………7分解得212434k x k +=+222434k x k -=+()212212134k AB x k+∴=-=+.……………………8分 同理,()2222112(1)1214343k k CD k k++==++. ……………………9分 ()()()()()2222222212112184134343434k k k AB CD k k k k +++∴+=+=++++. 令()211t k t =+>，则23441k t +=-，23431k t +=+.设()()()222413111114912(),24t t f t t t tt -+==-++=--+()()(1491, 0,1, 12,.4t f t t ⎤>∴∈∴∈⎥⎦())8448,77AB CD f t ⎡∴+=∈⎢⎣. 综合①与②可知，AB CD +的取值范围是48,7.7⎡⎤⎢⎥⎣⎦……………………12分。
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高二年级（理）数学期末试卷一、选择题（每小题5 分，共10小题，满分50分）1.已知a,b 是实数，则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件2、计算机执行如图语句所示程序后,输出的结果是（A ）22 （B ）23 （C ）25 （D ）26 3、抛掷一均匀的正方体玩具（各面分别标有数字1、2、3、4、5、6），事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过2”，则 P （A+B ）=（A ）0.5 （B ）0.6 （C ）32 （D ）654. 已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）55.有以下命题：①如果向量,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量OC OB OA ,,不构成空间的一个基底，则点,,,O A B C 一定共面；③已知向量c b a ,,是空间的一个基底，则向量c b a b a ,,-+也是空间的一个基底。
其中正确的命题的个数是 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）36. 有下列四个命题：①“若xy ＝1，则x 、y 互为倒数”的逆命题； ②不存在实数x ，使x 3+x+1=0③“若b ≤－1，则方程 x 2-2bx+b 2+b=0 有实根”的逆否命题； ④“存在实数x ，使|x+1|≤1且x 2＞0”的否定命题.其中真命题是A. ①②B. ②③C. ①③D. ③④7. 在区间［-1，1］上随机取一个数x, 2cos x π 的值介于0到0.5之间的概率为（A ）31 （B ）π2 （C ）0.5 （D ）328. 过抛物线 y 2 = 4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1, y 1）B （x 2, y 2）两点，如果21x x +=6，那么直线AB 的斜率为 （A ）±2 （B ）±1 （C ）±3 （D ）不存在9. 如果过椭圆1=+2222bya x （a ＞b ＞0）左焦点F 且斜率为1的直线与椭圆交于A 、B 两点，若 724+9=FB AF ,则椭圆的离心率为 （A ） 21 （B ）31 （C ）32 （D ）32 10.考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等( )（A ）751 （B ）752 （C ）753 （D ）754二、填空题（每小题5分，共5小题，满分25分）11、某店一个月的收入和支出总共记录了N 个数据n a a a ,,,21 ，其中收入记为正数，支出记为负数.该店用如图所示的程序框图计算月总收入S 和月净盈利V ，那么在右图图中空白的判断框和处理框中，应分别填入， 12.已知A （1，－2，11）、B （4，2，3）、C （x ，y ，15）三点共线，则x y =___________。
13、给出一组数据：-2，-1,4，x,10,12;其中位数是7，且这组数据存 在众数，则x 的取值可能最多有 种。
14、已知命题p ：方程 a 2x 2+ax-2=0在［-1,1］上有解；命题q ：只有一个实数 x 满足不等式 x 2+2ax+2a ≤0，若命题“p 或q ”是假命题，实数a 的取值集合是15. 已知P(x,y)在曲线0=+22y x y x ——上，O 为坐标原点，则OP 的最大值与最小值的和 为三、解答题（共6小题，满分75分）16、（本题满分13分）为了了解九年级学生中女生的身高（单位：cm ）情况，某中学对九年级女生进行了一次身高测量，所得数据整理后,列出了频率分布表如下： （1）求出表中m,n 所表示的数分别是多少;（2）估计该校女生的平均身高（保留3个有效数字）。
（3）按比例分别在153.5-157.5及161.5-165.5两组中共抽取7人，在这7名女生中任取2人，求抽到的2人身高差超过4 cm 的概率.17.（本题满分12分）如图，已知三棱锥O ABC -的侧棱OA OB OC ，，两两垂直， 且1OA =，2OB OC ==，E 是OC 的中点。
（1）求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值； （2）求点E 和平面ABC 的所成角的正弦值。
18、（本题满分12分）在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，小布袋只有3只黄色、3只白色的球（其体积、质地完全相同），旁边立着一块小黑板，写道：摸球方法：从小布袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱. （1）摸出的3个球为白球的概率是多少？(2)摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？（3）假定一天中有100人摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？19、（本题满分12分）过点P(0,-2)的直线l 交抛物线y 2=4x 于A 、B 两点，求以OA 、OB 为邻边的平行四边形OAMB 的顶点M 的轨迹方程.20、（本题满分12分）箱中装有15张大小、重量一样的卡片，每张卡片正面分别标有1到15中的一个号码，正面号码为n 的卡片反面标的数字是n 2-12n+40(卡片正反两面用颜色区分). （1）如果任意取出1张卡片，试求正面数字大于反面数字的概率； （2）如果同时取出2张卡片，试求它们反面数字相同的概率.21.（本题满分14分）求经过点(0.5,2) 且与双曲线4x2-y2=1仅有一个公共点的直线方程.高二年级理（重）数学期末试卷参考答案一、选择题：二、填空题： 11、A>0？ V=S+T 12、2 13、214、（-1，0）∪（0，1） 15、2三、解答题：16、解：(1) M=1/0.2=50, m=50-(1+4+20+15+8)=2, n=0.4 (2) 158=502×5.167+8×5.163+15×5.159+20×5.155+5.151×4+5.147×1=x所以，该校女生的平均身高约为158cm.（3）2110=P17、解：（1）以O 为原点,OB 、OC 、OA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.则有(0,0,1)A 、(2,0,0)B 、(0,2,0)C 、(0,1,0).E ……………………………3分(2,0,0)(0,1,0)(2,1,0),(0,2,1)EB AC =-=-=-COS<,EB AC>2,5==- ……………………………5分 所以异面直线BE 与AC 所成角的余弦为52……………………………6分（2）设平面ABC 的法向量为1(,,),n x y z =则 11:20;n AB n AB x z ⊥⋅=-=知11:20.n AC n AC y z ⊥⋅=-=知取1(1,1,2)n =， ………8分设BE 和平面ABC 的所成角为θ则sin θ=303065012,cos 1=+->=<n EB ，…………………10分 点E 到平面ABC 的距离sin θ=66…………12分新课 标第 一网 18、解： 把3只黄色球标记为A 、B 、C ，3只白色的球标记为1、2、3.从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC 、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共20个.（1）事件E={摸出的3个球为白球}，事件E 包含的基本事件有1个，即摸出123号3个球P （E ）=201=0.05. （2）事件F={摸出的3个球为2个黄球1个白球}，事件F 包含的基本事件有9个，P （F ）= 209=0.45.(3)事件G={摸出的3个球为同一颜色}={摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}， P （G ）=202=0.1，假定一天中有100人次摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G 发生有10次,不发生有90次.则一天可赚90×1-10×5=40（元）,每月可赚1200元. 19、解：正解 设M(x,y),A(x 1,y 1),B( x 2 ,y 2 )，直线l 的方程为 y+2=kx ，即y=kx-2.由 , 消去y,得 ，∴ ,又四边形OAMB 为平行四边形，∴ ,消去k,得 又∵l 与抛物线 交于不同两点A 、B,∴解得 ,又 ,∴ y<-8或y>0. 综上,点M 的轨迹方程为 (y<-8或y>0).20、解（1）由不等式n ＞n 2-12n+40,得5＜n ＜8.由题意得，n=6,7,即共有2张卡片正面数字大于反面数字,故所求的概率为152. （2）设取出的是第m 号卡片和n 号卡片（m ≠n ），则有 m 2-12m+40= n 2-12n+40,即12(n-m)= n 2- m 2,由m ≠n,得m+n=12,故符合条件的取法为1,11; 2,10; 3,9; 4,8; 5,7. 所求的概率为P=21121、解若直线的斜率存在，设为k,则所求直线方程为y-2=kx - 21,……………………………………..1′由y-2=k （x- 21）,①4x 2-y 2=1，②……………………………………………………… 2′ 将①代入②整理,得(4-k2)x 2-2k （2- 21k ）x-（41k 2-2k+5）=0.③…………………...4′(1)当直线与双曲线相切时，仅有一个公共点，所以有Δ=0,4-k2≠0,即[-2k （2-21k)]2-4(4-k 2)-[-(41k 2-2k+5)]=0且k ≠±2，解得k= 25 . 故所求的直线方程为y=25x+43…………………………………… 7′(2)当k=2时，方程③变为一次方程，且有唯一解,因而直线①和双曲线仅有一个公共点，故得到直线方程为y=2x+1………………8′(3)当k=-2时，同理可得直线方程为y=-2x+3,…………………….11′ 当斜率不存在时，因为点(0.5,2) 在直线x=21上，且x= 21与双曲线只有一个公共点，故所求直线方程为x=21……………………………………...13′综上所述，符合题意的直线有四条，直线方程分别为y=25x+43, y=2x+1 , y=-2x+3,以及 x=21 (14)24(1)(2)x y =++24x y =2216(21)0[4(1)]16k k ∆=-=+>-+12k >-4y k =24(1)(2)x y =++。