关于二项式展开式系数最大值的讨论
怎样求二项展开式中系数最大的项
综上可知 ，系数最大的项为 Ｔ２＝６００ｘ．
例题 １：已知二项式（２ ）。
而实际 中，我们知 道 Ｔａ＝５ 。 ，显然 ＝６００ｘ不是展开式 中系数最
（１）求其展开式 中二项式系数最大的项 ； （２）求其展开式中系数最大的项． 对于（２），常见的一种解法如下 ： 设所求项 为第 ｒ＋ｌ项 ，则 ＝（ ２。 Ｘ ＝２ ８，－
北师大版新教材在二项 式定理这节 内容 中，明确 强调要 注意 ：“二项 式 中项 的系数与二项式 系数 的区别 ”
配合这一要求 ，有一类典型 的问题 ，给定二项式后 ，分别来求展 开式 中二项式系数最大 的项 以及系数最大的项
ｒ（７ ｓ ＂Ｃｊ－ ＝＝＞ １
一
由。 题意知：］５ ｒ（ ≥５ ， （１ 一 ６…
大 的 项 ． 那么 ，怎样才能使 这个解法更严 密呢？ 我认为 ，在完成 以上步骤之后 ，应 当再把首项 和末 项的结果 明确 了 ，
然后从其 中选择适合条件 的结果．
由题意知 ｃ ＞２ ｆ 一：＝＝＞２
。
：１２ 一 （ ２ （ “… …
而 ｒ∈｛１，２，……，８），故 ｒ＝２或者 ｒ＝３ 综上可知 ，系数最大 的项为 Ｔｓ＝１７９２ｘ 和 ／＇４＝１７９２ｘ，． 那 么上面 的解法是否正确？ 对 于上面 的解法 ，大家容易 验证结 果肯定 是正确的 ，但是 这个 解法 还是存在着一些问题． 比如 ，我们把上 例中求系数最大项 换成求 系数最 小项 ，我们再来 看
教 育 时 空
Ｃｈｉｎａ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｒｅｖｉｅｗ
怎样求二项 展开 式中系数最大 的项
呼 小 军 （陕西省延安市宜川中学 ７１６２００）
二项展开式中系数最大项的问题
二项展开式中系数最大项的问题例5 已知(x ＋12x)n 的展开式中前三项的系数成等差数列． ①求n 的值；②求展开式中系数最大的项．[解析] ①由题设，得C 0n ＋14×C 2n ＝2×12×C 1n ， 即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8，n ＝1(舍去)．②设第r ＋1项的系数最大，则⎩⎪⎨⎪⎧ 12r C r 8≥12r ＋1C r ＋18，12r C r 8≥12r －1C r －18.即⎩⎪⎨⎪⎧ 18－r ≥12(r ＋1)，12r ≥19－r .解得r ＝2或r ＝3.所以系数最大的项为T 3＝7x 5，T 4＝7x 72 .名师点拨 ☞求展开式中系数最大的项如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1A k ≥A k ＋1从而解出k 来，即得． 〔变式训练4〕已知(x 23 ＋3x 2)n 的展开式中第3项与第4项的二项式系数相等． (1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．[解析] (1)易知n ＝5，故展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项．所以T 3＝C 25(x 23 )3·(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23 )2·(3x 2)3＝270x 223 .(2)设展开式中第r ＋1项的系数最大．T r ＋1＝C r 5(x 23 )5－r ·(3x 2)r ＝C r 5·3r ·x 10+4r 3 ， 故有⎩⎪⎨⎪⎧C r 5·3r ≥C r －15·3r －1，C r 5·3r ≥C r ＋15·3r ＋1， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 3r ≥16－r .15－r ≥3r ＋1.解得72≤r ≤92.因为r ∈N ， 所以r ＝4，即展开式中第5项的系数最大．T 5＝C 45·x 23 ·(3x 2)4＝405x 263 .。
关于二项式(a+bx)n(a＞0,b＞0)展开式系数最大项的流行解法探究
＜１，从而知由不等式（１）中的解ｒ≥竺≮竿，知ｒ可
取到ｌ，２，…，，ｌ的所有值，不妨令ｇ（ｒ）＝Ｃ：口”～ｂ一，
则由不等式（１）知ｇ（ｏ）≥ｇ（１）≥…≥ｇ（，１），又ｒ
减的趋势，结合不等式（３）知（１＋３ｘ）２的展开式中 系数呈现出递增的趋势，因此（１＋３ｘ）２的展开式中
：系数的最大项应是最后一项．
能力素质综合立意，虽涉及的知识点多、能力要求
决解析几何问题就要进行一题多解，进行思维训练．
参考文献
［１］郭俊．思维碰撞平野阔方法交汇大江流［Ｊ】．中学教研 （数学），２０１３（８）．
高，但入口宽，过渡自然，解法多，在平和中见新奇， 在沉稳中见活力，较好地考查了圆锥曲线的相关知 识，也充分考查了考生的运算求解能力，是一道不可
解问题，在处理此类问题时，资料中给出的解答几乎 都是这样解答的：设第ｒ项的系数最大，则有
我们教师会不由自主地提出，而且学生也会能很容 易想到，遗憾的是，对于这些疑惑，教辅资料及中数
期刊上很少作介绍，此时此景，教师如果不坐下来静
心地研究一番，以发现问题的真相，则教学中是很难
把上述列不等式组解答的原理说清楚，这样一来，思
￡，
警ｍ≥半且ｎ≥半时，不等式 组（奉）的解集为［鲤≮譬，垒！Ｌ学］，此时易知
ａ
③当口，ｂ，ｎ在满足条件塑立÷≥２，且珏≥
４－Ｄ
鹾；乏： ６： 茎ｃＣ，ｒ‘ａ．ｎ口－。ｒ
ｂ 一。１口””１・’１≥Ｃ：＾２・口””２・’２（），
一二？７ｊｂｌ二。２，，进行解答
若笔≮害为整数时，第等号害与第亟等系数
口＋Ｄ 口４－Ｄ 口＋Ｄ ｎ＋Ｄ Ｄ＋Ｄ
＞Ｏ）的展开式中系数最大的项的项数，由此可知，
堕些产，即鱼≤ｎ≤堡业且掣≤ｎ≤
例析二项式中的最值问题
例析二项式中的最值问题作者：刘海山来源：《中学生数理化·学研版》2015年第07期二项式定理中的最值问题主要指最大项、最小项问题，都是满足一定条件的指定项或特殊项，通常都可以利用通项来解决。
在求解中，要注意系数的符号对求解的影响及项的系数与二项式系数的异同。
下面举例说明。
1。
二项式系数最大项问题例1已知12+2xn的展开式中，第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项。
分析：要注意展开式中二项式系数与项的系数的区别，根据条件，先确定n的值，再根据二项式系数的性质求解。
解：12+2xn的展开式中，第5项、第6项、第7项的二项式系数分别为C4n，C5n，C6n。
由题意得C4n+C6n=2C5n，即n2-21n+98=0。
所以n=7或n=14。
当n=7时，展开式中二项式系数最大的项为T4和T5，所以T4=C37124（2x）3=352x3，T5=C47123（2x）4=70x4。
当n=14时，展开式中二项式系数最大的项为T8，所以T8=C714127（2x）7=3432x7。
评注：求二项式（a+b）n系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时中间一项的二项式系数最大。
2。
二项展开式中系数最大项问题例2已知（1+3x）n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项。
解：末三项的二项式系数分别为Cn-2n，Cn-1n，Cnn，由题设，得Cn-2n+Cn-1n+Cnn=121，即C2n+C1n+1=121。
所以n2+n-240=0，所以n=15（n=-16舍去）。
因为Tr+1=Cr15（3x）r=Cr15·3rxr，设Tr项，Tr+1项和Tr+2的系数分别为tr，tr+1，和tr+2，则tr=Cr-115·3r-1，tr+1=Cr15·3r，tr+2=Cr+115·3r+1。
例析二项展开式中系数最大项的求法_黄家仁
,
4
4
2
( 5+ 8)
26
求出 r 的值 , 从而求出展开式中系数最大的项 . 若 a>0, b< 0, 设展开式中第 r 项 ,第 r +
项的系数与第三项的系数的比为 10 ∶ 1, 求展开 式中系数最大的项 . · 5·
数理化学习 ( 高中版 ) 解: 第五项的系数是 C -2), n· ( 第三项的系数是 C · ( -2), 依题意 , 得 C 2 ) =10 ×C -2), 解得 n= n· ( n· ( 8. 所以 , 展开式中第 r 项 ,第 r +1项 , 第 r +2 项的系数的绝对值分别是 : C · 2 , C· 2 , C · 2 , 若第 r +1项系数的绝对值最大 , 则 r r r 1 r 1 C ·2 8· 2 ≥ C 8 , 解得 5 ≤ r ≤ 6. r r r + 1 r + 1 C ·2 8· 2 ≥ C 8 ○ 朱孝春
3 2 2 2 2 2 2 2 2
■A B C 为正三角形 , B C = 2. 取 B C的 中 点 D , 连接 P D , 则 P D = P B -B D =
2 2
3 -1 = 2, 1 1 1 S BC· P A= · B C · 3 ■P 3 2
所以 V A P B C = P D ·P A= 2. 3
r 1 8 r 1 r 8 r r + 1 8 r + 1 4 4 2 2 2 n 2 4 4
因为 r ∈ N , 所以 r= 5或 6. 当 r=5 时 , 第 6 项的系数 . 5 6 C -2) =-1792 < 0, 8· ( 所以 , 展开式中系数最大的项是第 7 项 , 即
浅谈二项展开式中的系数最大项
浅谈二项展开式中的系数最大项作者：史保军来源：《中学生数理化·教与学》2011年第04期一、问题的起源二项展开式中系数最大项肯定是存在的.求其系数最大项的问题，在现行的高中数学教材中没有涉及.但是在高中数学辅导书中类似的题目经常出现，每一本参考书给出的解法都是相同的.例求(3x+2x)10展开式中系数最大项.解：设系数最大项为T r+1=C r10(3x)10-r(2x)r=2rC r10x20-5r6.则22C r10≥2r-1C r-1102rC r10≥2r+1C r-110解得193≤r≤223.又r∈N*,∴r=7∴展开式中系数最大项是第8项.T8=27C710x-52.我一直用以上的方法讲述类似的问题，谁也没有提出任何疑问.今年我教的这个班级学生基础较好.在讲类似的题目时，我就让同学们体会一下这个方法.一会儿，同学们就向我发问：1.这个方法一定能求出系数的最大项吗？因为二项展开式中，系数最大项肯定存在.如果系数最大项是第一项或最后一项时，这个方法是不是就失效了呢？2.系数最大项会是第一或最后一项吗？3.这个解法会不会求出不相邻的多个r呢？带着这些问题，我进行了深入的思考.二、思考过程1.从求解方法入手.把求二项展开式系数最大项的方法叫“夹逼法”.这个方法如果正确的话，展开式的系数应该具有单调性，即(ax+by)n(a>0,b>0,a≠b,n∈N+)的展开式系数应该具有单调性.2．类比联想.二项展开式中，二项式系数具有单调性，那么系数具有单调性吗？三、探究过程在(ax+by)n(a>0,b>0,n∈N*,n≥2)的展开式中，各项系数f(r)=C rna n-r b r，r∈{0,1,2…n}．∵f(r)=C rna n-r b r,∴f(r+1)=C r+1na n-r-1b r+1,r∈{0,1,2…n-1}．∴f(r+1)f(r)=C r+1na n-r-1b r+1C rna n-r b r=(n-r)b(r+1)a.令f(r+1)f(r)≥1,即(n-r)b(r+1)a≥1．得r≤nb-aa+b=n-(n+1)aa+b．同理令f(r+1)f(r)≤1,即(n-r)b(r+1)a≤1．得r≥nb-aa+b=n-(n+1)aa+b．当nb-aa+b∈Z时，有nb-aa+b∈N.f(r)=C rna n-r b r．在0,1,2,…,nb-aa+b+1上是递增，在nb-aa+b,nb-aa+b+1,…,n上递减.此时有两项的系数最大，即f(r),f(r+1)最大，若r=0,即ab=n时，第一、第二项系数最大，若r=n-1，即ba=n时，最后两项的系数最大.当nb-aa+b∈Z时，nb-aa+b+1∈{0,1,2，…，n-1}.f(r)=C rna n-r b r在0,1,2,…,nb-aa+b+1上是递增，在nb-aa+b+1,…,n上递减.此时有一项的系数最大，即f(r).若r=0,即n若r=n，即n四、反思1.回答了同学们的提问.因为(ax+by)n(a>0,b>0,a≠,n∈N*,n≥2)展开式中，系数具有单调性，所以“夹逼法”一定能准确地求出系数的最大项.展开式中系数的最大项完全有可能是第一或最后一项.并且最大项要么是相邻的两项，要么是一项.2.通过思考，我有信心上好这节课.更重要的是我充分理解了“夹逼法”求展开式系数最大项的本质.注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
二项式定理中系数最大项的理论
二项式定理中系数最大项的理论
二项式定理是一个非常重要而又常见的数学定理，它经常用来计算排列和组合。
它可以用来求出一个多项式a(x+b)n的某项系数来。
二项式定理告诉我们，当一个多项式中出现n个相同项时，它的系数最大值是n！（阶乘）。
另外，它还告诉我们，当n是偶数时，系数最大值为n!/2。
因此，当系数最大时，多项式的变量coefficient 值会有以下形式：
n!/(b*x^n+a*b^n)
这就是当系数最大时，多项式a(x+b)n的系数取值。
简单来说，当多项式中包含n个相同项时，它的系数最大值是n！。
二项式定理的运用非常广泛，它常用于计算对数函数求值，概率论等领域。
它还可以用于解决组合问题，帮助我们快速计算多项式中某项系数。
总之，二项式定理是一个非常重要而又常见的定理，它通过提供一个快速计算多项式中某项系数的方法，在许多领域都有着广泛的应用。
二项式最大系数
二项式最大系数1. 什么是二项式？在代数学中，二项式是指两个数的和的幂，如(a+b)²、(a+b)³等。
其中，a和b是任意实数或复数。
2. 什么是二项式系数？在一个二项式展开式中，每一项的系数称为二项式系数。
例如，在(a+b)³的展开式中，第一项系数为1，第二项系数为3，第三项系数为3，第四项系数为1。
3. 什么是二项式定理？二项式定理又称为牛顿-莱布尼茨公式或牛顿公式。
它表达了一个任意实数或复数的幂可以通过展开成一组二次多项式来表示。
具体地说，它表达了以下恒等关系：(a+b)ⁿ = C(n,0)aⁿb⁰ + C(n,1)aⁿ⁻¹b¹ + ... + C(n,n-1)a¹bⁿ⁻¹ +C(n,n)a⁰bⁿ其中C(n,k)表示从n个不同元素中选取k个元素的组合数量。
4. 如何计算二项式系数？计算二项式系数有多种方法，其中最常用的方法之一是使用杨辉三角形（也称帕斯卡三角形）。
杨辉三角形由数字排列成三角形状，其中每个数字等于上方两数之和。
第n行的数字表示C(n,k)。
例如，下面是一个五行的杨辉三角形：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1通过查找杨辉三角形中的相应数字，可以计算出任何二项式系数。
5. 如何确定二项式系数的最大值？二项式系数的最大值通常发生在中间项（即k=n/2）处。
这是因为当k<n/2时，C(n,k)与C(n,n-k)相等，而当k>n/2时，C(n,k)逐渐减小。
具体地说，当n为偶数时，中间两个系数相等且最大；当n为奇数时，中间一项系数最大。
6. 最大二项式系数的应用最大二项式系数在组合数学、概率论、统计学和计算机科学等领域都有广泛的应用。
例如，在概率论中，它可以用于计算二项分布函数；在计算机科学中，它可以用于优化算法性能。
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关于二项式展开式系数最大值的讨论
作者：张宾
来源：《科教导刊》2011年第09期
摘要本文主要讨论如何求得二项式展开式中哪项的系数最大，从而找到一个便捷的方法或公式。
关键词二项式系数最大值
中图分类号：O151 文献标识码：A
Discussion of the Maximum Expansions in the Binomial Coefficient
ZHANG Bin
(Preparatory College of Education College, Hubei Institute For Nationalities, Enshi, Hubei 445000)
AbstractThis article mainly discuss how to seek which item is the maximum expansions in the binomial coefficient, so as to find a convenient method or formula.
Key wordsbinomial; coefficient; maximum
二项式(ax + by)n (n∈N+)的展开式有n+1项，相应的有n+1个系数。
下面分两种情况来讨论这n+1个系数的最大值。
1 第一种情形：a＞0且b＞0
系数的最大值可能出现在首项，末项，或是中间的某一项。
此时将首项系数，末项系数以及所有中间项系数的最大值逐个进行比较，就可以找出系数的最大值。
①首项T1的系数为an；②末项Tn+1的系数为bn；
③找出n-1个中间项T2，T3，……Tn系数的最大值：
设第r + 1项的系数最大(r = 1,2,……,n)，则下面的不等式组成立解得：≤r≤
而 -= 1，故不等式组的解是一个自然数或者是两个相邻的自然数。
下面接着讨论解的情况：
若不是整数，则也不是整数，此时不等式组的解只有一个，记为r0 =[ ]，其中[]表示取整。
若是整数，则也是整数，此时不等式组的解有两个，记为r1 = 或r2 =
当r1 = 时，
即第r1 + 1项和第r2 + 1项系数同时取得最大值；
当r2 = 时，
即第r2项和第r2 + 1项系数同时取得最大值；
又由r2 = r1+1，故可总结为r = 时，第r+1项和第r+2项系数同时取得最大值。
综上可得：对于n-1个中间项T2，T3，……Tn系数来说，当r =[]时，第[] + 1项的系数最大。
由以上①②③的讨论可得出：
(ax + by)n (n∈N+)的最大系数为max {an,bn,Crnan-rbr}，其中r =[]
下面几个结论是关于(ax + by)n (n∈N+)中系数的增减性与最大值的关系。
结论一：在(ax + by)n的n+1个系数中，若首项系数最大，则此n+1个系数是逐项递减的。
证明：首项T1的系数为an，若首项系数最大，则有
an≥C1nan-1b，即a≥nb
下证Crnan-rbr＞Cr+1nan-r-1br+1对所有的r = 1,2,……,n-1都成立。
即证＞
因为a≥nb，故≥＞
故首项系数最大时，二项式展开式中的系数是逐个严格递减的。
推论一：(ax + by)n中首项系数最大的充要条件是a≥nb
证明：必要性：因为首项系数最大，故有an≥C1nan-1b，所以a≥nb
充分性：因为a≥nb，所以an≥C1nan-1b，同时由结论一的证明可得Tr+1的系数≥Tr+2的系数，其中r = 1,2,……,n-1
故此n+1时个系数是逐项递减的，所以首项系数最大。
结论二：(ax + by)n在的n+1个系数中，若末项系数最大，则此个系数是逐项递增的。
证明：末项Tn+1的系数为bn，若末项系数最大，则有
bn≥Cn-1abn-1，即b≥na
下证Crnan-rbr＞Cr+1nan-r-1br+1对所有的r = 1,2,……,n-2都成立。
即证＜
因为a≥nb，故≥＞
故末项系数最大时，二项式展开式中的系数是逐个严格递增的。
推论二：(ax + by)n中末项系数最大的充要条件是b≥na
证明：必要性：因为末项系数最大，故有bn≥Cn-1nabn-1，即b≥na
充分性：因为b≥na，所以bn≥Cn-1nabn-1，同时由结论二的证明可得Tr+1的系数≤Tr+2的系数，其中r = 1,2,……,n-2
故此时n+1个系数是逐项递增的，所以末项系数最大。
结论三：(ax + by)n在的展开式中，若中间项的系数最大，则n+1由个系数组成的数列先增后减。
证明：由以上的讨论知，系数的最大值在中间项T2，T3，……Tn的某项，则最大值不在首项和某项。
因首项系数不为最大，根据推论一，故有a＜nb，从而有an＜C1nan-1b，即T1系数＜T2系数；因末项系数不为最大，根据推论二，故有b＜na，从而有bn＜Cn-1nabn-1，即Tn+1系数＜Tn系数；又因为中间项的系数只有一个最大值，故所有的n+1个系数组成的数列先增后减。
2 第二种情形：a＞0且b＜0
要讨论(ax + by)n (n∈N+)的n+1个系数的最大值，先考虑二项式(ax + |b|y)n：根据第一种情形：a≥n|b|时，首项系数最大，此时n+1个系数组成递减数列；|b|≥na时，末项系数最大，此
时n+1个系数组成递增数列；中间项系数最大时，时，相应的项的系数最大，此时n+1个系数组成先增后减数列。
(ax + by)n与(ax + |b|y)n对应项系数的关系为：r为偶数时，对应的奇数项系数相等；r为奇数时，对应的偶数项系数互为相反数。
根据第一种情形，故可得下列结论：
①a≥n|b|时，首项系数的绝对值最大，此时首项系数为正，故(ax + by)n展开式中最大系数为首项系数an。
②|b|≥na时，当n为偶数时，末项系数的绝对值最大，且末项系数为正，故此时展开式中最大系数为某项系数bn；当n为奇数时，(ax + by)n展开式中的n+1个系数的绝对值组成递增数列，又因末项系数为负，倒数第二项Tn的系数为正，故此时系数最大为倒数第二项Tn的系数nabn-1。
③当a,b均不满足a≥n|b|与|b|≥na时，中间项的系数最大。
(ax + |b|y)n展开式的系数最大值位于奇数项时，即为偶数时，(ax + by)n也在相应的项，即第项，系数达到最大值。
(ax + |b|y)n 展开式的系数最大值位于偶数项时，即为奇数时，(ax+|b|y)n展开式中第r+1项为负，但此时第r项与第r+2项的系数为正，又因为(ax+|b|y)n展开式的系数组成的数列先增后减，故(ax + by)n 的系数在第r项或第r+2项达到最大值。
此时(ax + by)n的系数最大值为max {Cr-1nan-r+1br-1,Cr+1nan-r-1br+1}，其中。
参考文献
[1]唐先成.二项式定理及其应用[J].数学教学通讯,2002(S5).
[2]龚彦森,魏立国.二项式定理的应用[J].数理天地(高中版),2006(8).
[3]方厚良,罗灿.二项式定理的应用[J].数学通讯,2004(7).。