赵树嫄微积分-第二章

定义：对任意的正数，如果总存在一个正数X，
使得当 x >X 时，f (x )-A < , 则称当x 时，
f (x )以A为极限， 记为 lim f (x )=A.
x
x 的理解：
f ( x) A 10 . x 情形 : xlim
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x ) A .
1 ( 1)n 例4 : 一般项为yn , 数列为 0,1,0,1; 2
例5 : 一般项为yn (1)
n 1
1,1,1,1, , 数列为
1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴 上依次取 y , y , , y , .
1 2 n
2.数列是整标函数： yn f (n).
lim (1) 1
x 0
x x lim lim lim 1 1 x 0 x 0 x x0 x
f ( x ) 不存在. 左右极限存在但不相等, lim x0
x0 x 1 例7 : 讨论函数f ( x ) x 2 0 x 1, 1 x1 当x 0及x 1时的极限是否存在
２.１.２ 数列的极限
( 1)n1 观察数列{ }当 n 时的变化趋势. n
( 1) n1 将数列{ } 写成如下形式： n 0 1 2 3 4 5 6 （- 1 ） （- 1 ） （- 1 ） （- 1 ） （- 1 ） （- 1 ） （- 1 ） ， ， ， ， ， ， 1 2 3 4 5 6 7
2 . x 情形 : lim f ( x ) A
0
x
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x ) A .
lim f ( x ) A且 x lim f ( x ) A. 定理 : lim f ( x) A x x
注意 : { x 0 x x0 } { x 0 x x0 } { x x x0 0}
1.函数极限与f ( x )在点x0是否有定义无关 ; 注意： 2.与任意给定的正数有关.
几何解释:
当x在x0的去心邻 域时, 函数y f ( x ) 图形完全落在以直 线y A为中心线, 宽为2的带形区域内.
0
例4
证明 lim x x0 .
x x0
证 f ( x ) A x x0 , 任给 0, 取 ,
当0 x x0 时,
f ( x ) A x x0 成立,
lim x x 0 .
x x0
x2 1 2. 例5 证明 lim x 1 x 1
思考数列的有界性与有极限之间的关系
lim
n
n2 1 ? 2 n 2n 3
n2 1 n 2 2n 3 2n 3 1 2 n 2n 3 n 2 2n 3 2n 4 1 2 n 2n 3
2n 4 1 2 2 n 2n 3 n 2n 3
n2 1 例7 用定义证明lim 1 n n 2 2n 3
证
n2 1 2n 4 2n n 3 yn 1 1 2 2 2 n 2n 3 n 2n 3 n n (不妨考虑n 4的情况)
0, 要 yn 1 , 只要 3 , 即n , n
1 1 1 1 1 1 即： 1， ，， ，， ， 2 3 4 5 6 7
当n 时数列无限向 0 靠近！
( 1)n1 数列{ }当 n 时无限趋于0. n
( 1)n1 观察数列{1 }当 n 时无限趋于1 0 1. n
观察例1、2、3、4、5中的数列的极限
O
x
lim x 2 0
x 0
问题 : 函数 y 值
f ( x ) 在 x x0 的过程中 , 对应函数
f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小;
0 x x0 表示x x0的过程.
x0
x0
x0
解 : x 0时, lim f ( x ) lim ( x 1 ) 1 ;
x 0 x 0 2 lim f ( x ) lim x 0 x 0 x 0
左极限和右极限存在 但不相等,即极限 : lim f ( x ) 不存在 x 0
定理(保序性)
推论 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 且A B
x
点x0的去心邻域, 体现x接近x0程度.
定义2 如果对于任意给定的正数 , 总存在正数 ,
使得当0< x-x0 < 时，满足 f (x )-A < ,
则A就叫函数f (x )当x x0时的极限, 记作 lim f (x )=A.
x x0
" "定义
0, 0, 使当0 x x0 时, 恒有 f ( x ) A .
4 1 2 3 n 2n 3 n2 n
2
2 3 n2 n
0
4 0 2 n 2n 3
4 1 2 1 3 n 2n 3 n2 n
2
1.数列的极限存在情况与数列的前有限项无关，
所以如果只改变一个数列的有限项则不会改 变数列的极限的存在情况以及极限值的大小！
f (n)称为数列一般项或通项。
数列的例子 : 1 1 1 1 1 例1 : 一般项为yn n , 数列为 , , , , ; 2 2 4 8 16
1 3 4 5 例2 : 一般项为yn 1 ,数列为2, , , , ; n 2 3 4
例3 : 一般项为yn 2n, 数列为 2,4,6,8,;
证 函数在点x=1处没有定义.
任给 0,
x2 1 f ( x) A 2 x 1 x 1
要使 f ( x ) A ,
只要取 ,
x2 1 lim 2. x 1 x 1
x2 1 当0 x x0 时, 就有 2 , x 1
左极限 记作 lim f ( x ) A
x x0 0 ( x x0 )
或
f ( x 0 0) A.
x 从左侧无限趋近于 x0
右极限 记作 lim f ( x ) A
x x0 0 ( x x0 )
或
f ( x 0 0) A.
x 从右侧无限趋近于 x0
x q 0 例２ 用定义证明: 当0 q 1时, lim x
证
0,0 1, 要使 f ( x ) A q x 0 q x , 得x ln q ln ln 由于0 q 1, 知 ln q 0, 于是x ln q ln 因此 ,X 取 , 当 x X时 , 有
1 用定义证明lim y ( 1 ) 1 lim n n n n
证
1 yn 1 n
1 1 只要 , 或n , n
0, 要 yn 1 ,
所以,
1 取N [ ], 则当n N时, 就有 yn 1
1 即 lim (1 ) 1. n n
x x0 x x0
则 0, x U 0 ( x0 , ), 有f ( x ) g( x ).
定理(保号性)
若 lim f ( x ) A, 且A 0(或A 0),
x x0
则 0,当x U 0 ( x0 , )时, f ( x ) 0(或f ( x ) 0).
N定义 :
lim yn a
n
0, N 0, 使n N 时, 恒有 yn a .
几何解释:
y2
y1
y N 1
yN 2
y3
y
当n N时, 所有的点 xn都落在 (a , a )内, 只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
例6
dx rx dt
第二章 极限与连续
§2.1
数列的极限
定义1： 一个定义在正整数集合上的函数yn f (n),
当自变量n按正整数1,2,3,依次增大的顺序取值时,
函数值按对应的顺序排成一列数 : f (1), f ( 2), f ( 3),, f ( n),
称为一个无穷数列，简称数列，简记 : { yn }。
所以, 取N [ ],
3
3
则当n N时, 就有 yn 1
n2 1 即 : lim 1 2 n n 2n 3
§2.2
(一)
函数的极限
当x 时函数 y f ( x )的极限
y
1 考虑当 x ，函数 y 的变化情况 x
O
x
1 lim 0. x x
ln q f ( x) A q x 0 q x
x 所以,当0 q 1时, lim q 0 x
y f ( x )的极限 （二） 当x x0时函数
2 y wk.baidu.comf ( x ) x 在 x 0 的过程中,对应 问题:函数
函数值 f ( x) 将如何表现？ y
例6 (1). lim
x 0 x 0
x x x

.
(2). lim
x
.
定理 : lim f ( x ) A f ( x0 0) f ( x0 0) A.
x x0
x 例6 验证 lim 不存在. x0 x
x x lim lim 证 x 0 x x 0 x
y
y f ( x)
A
A
A
o
x0

x0

x0
x
例3 证明 lim C C , (C为常数).
x x0
证 任给 0, 任取 0, 当0 x x0 时,
f ( x ) A C C 0 成立, lim C C . x x
恒有 f ( x ) A . 记作 lim f ( x ) A 或 f ( x 0 0) A.
x x0 0 ( x x0 )
注意 : { x 0 x x0 } { x 0 x x0 } { x x x0 0}
（三） 单侧极限（左极限，右极限） 左极限
0, 0, 使当x0 x x 0时,
恒有 f ( x ) A . 记作 lim f ( x ) A 或 f ( x 0 0) A.
x x0 0 ( x x0 )
右极限
0, 0, 使当x 0 x x 0 时,
由图容易看出：
x
lim arctan x

2
,
lim arctan x , x 2

由定理可知： lim arctan x 不存在 .
x
1 0. 例1 证明 lim x x
1 1 证 0 x x
1 1 , x X
1 0, 取 X , 则当 x X时恒有 1 1 0 , 故 lim 0 . x x x
2、收敛数列不等于有限数列，比如 (1)

n
.
定义2 如果对于任意给定的正数， 总存在正整数N，
使得对于n >N时， yn -A < 恒成立， 则称A是数列y n
的极限， 或者称数列yn收敛于A,记为
lim yn =A,或 y n A （当n ）
n
如果数列没有极限, 就说数列是发散的.