数学建模-微积分模型
数学学科教学微积分与数学建模
数学学科教学微积分与数学建模微积分和数学建模是数学学科中的两个重要部分，它们在数学教学中起到了关键的作用。
微积分是研究变化以及极限的数学分支，而数学建模是利用数学方法解决实际问题的过程。
本文将探讨微积分和数学建模在数学学科教学中的应用和意义。
一、微积分在数学学科教学中的应用微积分是数学学科中的重要内容，它包括微分和积分两个部分，通过对函数的研究，能够帮助学生理解数学中的变化和极限概念。
在数学学科教学中，微积分可以应用于以下几个方面。
1.1 函数的导数与变化率函数的导数是微积分的重要概念之一，它表示了函数在某一点的变化率。
通过学习函数的导数，学生可以更好地理解函数的图像和性质，进一步探究函数的最值和变化趋势。
在教学中，可以通过练习和实例，引导学生发现函数的导数与函数图像之间的关系，培养他们的观察力和分析思维。
1.2 积分与面积问题积分是微积分的另一个重要概念，它可以用来求解曲线下面积和曲线长度等问题。
在数学学科教学中，可以通过具体的实例，如计算曲线下方的面积或曲线的弧长，让学生领会积分的几何意义和实际应用，培养他们的数学建模能力。
1.3 微分方程与实际问题微分方程是微积分的一个重要分支，它在解决实际问题中发挥着重要作用。
在数学学科教学中，可以通过引入实际问题，如物理、经济、生物等领域中的问题，让学生学习和掌握微分方程的建模和求解方法，提高他们的应用能力和创新思维。
二、数学建模在数学学科教学中的应用数学建模是指利用数学方法解决实际问题的过程，它将数学与实际问题相结合，培养学生的综合思维能力和解决问题的能力。
在数学学科教学中，数学建模可以应用于以下几个方面。
2.1 实际问题的抽象与模型建立数学建模在解决实际问题中的第一步是将实际问题抽象成数学模型。
在数学学科教学中，可以通过引入实际问题，让学生学习和掌握问题抽象的方法和建立模型的技巧，培养他们的问题分析和数学建模能力。
2.2 模型求解与结果分析数学建模的第二步是对建立的数学模型进行求解，并分析结果的合理性和可行性。
数学建模-微积分模型
需要对烧毁森林的损失费、救火费及火势蔓延程度的形式做出假设。
(1)损失费与森林烧毁面
积 成正比，比例系数为 ， 即烧毁单位面积森林的损失费，取决于森林的疏密程度和珍贵程度。
对于 ，火势蔓延程度 与时间t成正比，比例系数 称为火势蔓延速度。（注：对这个假设我们作一些说明，火势以着火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，所以蔓延的半径与时间成正比，因为烧毁森林的面积与过火区域的半径平方成正比，从而火势蔓延速度与时间成正比）。
从起跳到落地的时间为 ，人在雨中奔跑的总距离为 ，不妨假设 为 的整倍数。由物理学的抛体运动定律可得 。
模型建立
计算人在每个方向上的淋雨量：
对于垂直方向上，每一个小段的淋雨量为 。利用相对坐标系得到
时的垂直方向的速度为 ，这期间扫过的雨水体积
据此计算得到在垂直方向总的淋雨量为
（4.13）
从（4.13）式中可以看出， 关于水平方向的速度是单调减少的，但与垂直方向速度 无关。
(2)效用函数为
根据（4.10）式可以求得最优比例为
结果表明均衡状态下购买两种商品所用的资金的比例与价格无关，只与消费者对这两种商品的偏爱程度有关。
(3)效用函数为
根据（4.10）式可以求得最优比例为
。
结果表明均衡状态下购买两种商品所用的资金的比例，与商品价格比成反比，与消费者对这两种商品偏爱程度之比的平方成正比。
实际应用这个模型时， 都是已知常数， 由森林类型、消防人员素质等因素确定。
4.4消费者的选择
本节利用无差别曲线的概念讨论消费者的选择问题。如果一个消费者用一定数量的资金去购买两种商品，他应该怎样分配资金才会最满意呢？
记购买甲乙两种商品的数量分别为 ，当消费者占有它们时的满意程度，或者说给消费者带来的效用是 的函数，记作 ，经济学中称之为效用函数。 的图形就是无差别曲线族，如图4.4所示。类似于第二章中无差别曲线的作法，可以作出效用函数族，它们是一族单调下降、下凸、不相交的曲线。在每一条曲线上，对于不同的点，效用函数值不变，即满意程度不变。而随着曲线向右上方移动， 的值增加。曲线下凸的具体形状则反映了消费者对甲乙两种商品的偏爱情况。这里假设消费者的效用函数 ，即无差别曲线族已经完全确定了。
微积分方法建模1飞机的降落曲线--数学建模案例分析
第二章 微积分方法建模现实对象涉及的变量多是连续的，所以建立连续模型是很自然的，而连续模型一般可以用微积分为工具求解，得到的解析解便于进行理论分析，于是有些离散对象，如人口的演变过程，也可以构造连续模型。
当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程，分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立对象的动态模型。
建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其它对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析或预测了。
§1 飞机的降落曲线根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条三次抛物线（如图）。
在整个降落过程中，飞机的水平速度保持为常数u ，出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过10/g （这里g 是重力加速度）。
已知飞机飞行高度h （飞临机场上空时），要在跑道上O 点着陆，应找出开始下降点0x 所能允许的最小值。
一、 确定飞机降落曲线的方程设飞机的降落曲线为d cx bx ax y +++=23由题设有 h x y y ==)(,0)0(0。
由于曲线是光滑的，所以y(x)还要满足0)(,0)0(0='='x y y 。
将上述的四个条件代入y 的 表达式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++='=+++==='==023)()(0)0(0)0(020*******c bx ax x y hd cx bx ax x y c y d y 得 ,0,0,3,22030===-=d c x h b x ha飞机的降落曲线为 )32(23020x x x x h y --= 二、 找出最佳着陆点飞机的垂直速度是y 关于时间t 的导数，故dt dx x x x x h dt dy )66(2020--= 其中dtdx 是飞机的水平速度，,u dt dx = 因此 )(60220x x x x hu dt dy --= 垂直加速度为)12(6)12(6020202022--=--=x x x hu dt dx x x x hu dt y d 记 ,)(22dt y d x a =则126)(0202-=x x x hu x a ，[]0,0x x ∈ 因此，垂直加速度的最大绝对值为 2026)(max x hu x a = []0,0x x ∈设计要求 106202g x hu ≤，所以gh u x 600⋅≥ （允许的最小值） 例如：小时/540km u =，m h 1000=，则0x 应满足：)(117378.9100060360010005400m x =⨯⨯≥ 即飞机所需的降落距离不得小于11737米。
微积分与数学建模
建模实例
（三）模型的建立
在数理统计中，将A类或B类这样的群体称为统计总体， 把描述总体的每一个体特征的所有变量均视为随机变量。
如果不同总体中诸变量所遵循的分布有明显的差异时，则
可将此差异作为分类依据，这就是多元统计分析处理问题 的一般想法。区分一个DNA序列属于A类还是B类的问题属
于两总体间的判别问题，这里我们利用微积分中的向量代
1*1=1 11*11=121 111*111=12321 1111*1111=1234321 11111*11111=123454321 111111*111111=12345654321
前 言
• • • • • 1*8+1=9 12*8+2=98 123*8+3=987 1234*8+4=9876 12345*8+5=98765
分析建模
建模实例
节水洗衣机模型
（一）问题的提出
我国淡水资源有限，节约用水颇为重要。洗衣机在我国Biblioteka 相当普及，为节约洗衣机用水，要求设
计一洗衣机程序，在满足一定洗涤效果的前提下，
使得总用水量最少。 已知洗涤过程为：首先加入衣物和洗涤剂，然 后重复加水——漂洗——脱水过程。
建模实例
（二）模型假设
（1）洗涤剂一次加满，漂洗过程中不再添加；
的驻点。 又若 f " ( x0 ) 存在，且 f ' ( x) 0, f "' ( x) 0 ，则有下列结论：
若 f ( x0 ) 0 ，则 f ( x0 ) 为极大值。 若 f ( x0 ) 0 ，则 f ( x0 )为极小值。
内容回顾
但在实际问题中，上述简单的极值问题很少能出现，而是 有某些条件的限制，这就需要利用求条件极值的方法--Lagrange算法来解决。
数学建模思想融入微积分
目录
数学建模概述 微积分基础知识 数学建模在微积分中的应用 案例分析 数学建模思想在微积分教学中的实践与思考
01
数学建模概述
数学建模的定义
数学建模：运用数学语言、符号、公式和理论对现实问题进行抽象和简化，以解决实际问题的方法和过程。
数学建模是一种跨学科的综合性技术，涉及数学、计算机科学、工程学等多个领域。
详细描述
无穷小和极限在建模中有着广泛的应用。例如，在物理学中，瞬时速度可以看作是平均速度的极限，而瞬时加速度则可以看作是平均加速度的无穷小变化量。在经济学中，无穷小和极限的概念也常用于描述经济变量的变化趋势和规律。
总结词
无穷小与极限在建模中的应用案例
05
数学建模思想在微积分教学中的实践与思考
强调概念背景
对实际问题进行深入分析，明确问题的背景、条件和目标。
问题分析
根据问题分析的结果，选择适当的数学方法和工具，建立数学模型。
建立模型
运用数学方法和计算机技术，求解建立的数学模型。
求解模型
对求解结果进行评估，并根据实际情况对模型进行优化和改进。
模型评估与优化
数学建模的基本步骤
02
微积分基础知识
03
导数与微分的应用
定积分与不定积分
定积分是积分的一种特殊形式，用于计算具体几何量或物理量；不定积分则用于求函数的原函数或反导数。
积分的应用
积分在解决实际问题中有着广泛的应用，如计算旋转体的体积、曲线的长度等。
积分
级数概念
级数是无穷多个数的和，可以用来表示连续变化的过程或现象。
无穷小的概念
无穷小是数学中的一个重要概念，用于描述函数在某点附近的变化趋势。
数学建模(微积分)一
数学建模讲座
(1) 机理分析法
常用的建模方法有机理分析法、测试分析法等。 机理分析法是立足于事物内在规律的一种常见建 模方法，主要是依对现实对象的特性有较为清楚 的了解与认识，通过分析其因果关系，找出反映 其内部机理的规律性而建立其模型的一种方法.
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数学建模讲座
四、模型建立
我们以1天为时间单位，那么每天基础代谢的能量消 耗为B=24b（焦耳/日）。由于人的活动不可能是全天 进行的，所以假设每天人体活动h小时，则一天消耗的 能量应为R=rh（焦耳/日） ； 按照假设3，我们可以在任何一个时间段内考虑由 于能量的摄入与消耗引起人的体重的变化。 按照能量平衡原理，任何时间段内由于体重的改变 所引起的人体内能量变化应等于这段时间内摄入的能 量与消耗的能量之差。
从以上两个方面来看，咳嗽时气管收缩（在一定范围内） 有助于咳嗽，它促进气管内空气的流动，从而使气管中 的脏物能尽快地被清除掉
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数学建模讲座
减肥模型
一、问题的提出 随着社会的进步和发展，人们的生活水平在不断 提高，由于饮食营养摄入量的不断改善和提高，“肥 胖”已经成为社会关注的一个重要问题，无论从健康 的角度还是从审美的角度，人们越来越重视自己的形 体的健美。从面就导致目前社会上出现了各种各样的 减肥食品（或营养素）和名目繁多的健美中心。 如何对待减肥的问题，我们也可以通过组建模型， 从数学的角度对有关规律作进一步的探讨和分析
实例十一、群体遗传模型
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数学建模讲座
一、数学建模的总体介绍
1．数学建模中常用的书籍
2．数学建模基本过程
高等数学模型—微积分模型(数学建模课件)
2、假设易拉罐是一个正圆柱体，什么是它的最优设计？其结果是
否可以合理地说明你们所测量地易拉罐地形状和尺寸。
二、数据测量
罐直径、罐高、罐壁厚、顶盖厚、圆台高、
顶盖直径、圆柱体高、罐底厚、罐内体积等。
该如何测量？
二、数据测量
1、直接测量
①用软皮尺环绕易拉罐相关部位一圈
（罐桶直径、罐
测得周长。
高、圆台高、顶
速度、出手角度和出手高度)
作定性和定量研究并得到明
确结论。
森林救火问题
微积分模型
知识点
一、问题的提出
二、模型分析与假设
三、模型建立与求解
四、模型应用
一、问题的提出
一、问题的提出
森林失火了！消防站接到火警后，立即决定派消防队员前去救火。队
员多，火被扑灭的快，森林损失小，但救援费用大；队员少，救援费用小，
118.0 123.5 136.5 142.0 146.0 150.0 157.0 158.0];
y1=[44 45 47 50 50 38 30 30 34 36 34 41 45 46 43 37 33 28 32 65 55 54 52 50 66 66 68];
y2=[44 59 70 72 93 100 110 110 110 117 118 116 118 118 121 124 121 121 121 122 116 83 81 82 86
四、模型建立与求解
一、问题的提出
运动员单手托住铅球，在投掷圆内将铅球掷出并使铅
球落入有效区内，以铅球投掷的远度评定运动员的成绩。
问题：
建模分析如何使铅球投掷的最远？
二、问题分析
• 铅球投掷中，影响投掷距离的因素有哪些？
微积分的数学模型解析
微积分的数学模型解析微积分，是数学的一个分支，它是构建现代科学的基础之一。
微积分是研究自然界各种现象的基础，几乎所有科学的研究都需要用到微积分的方法。
微积分的核心是求解导数和积分，通过导数和积分的作用，可以建立不同的数学模型，此时微积分就将不同的问题转化为数学问题，使问题的求解变得简单明了。
微积分的数学模型解析，虽然是微积分的一个难点，但是却是非常重要的。
在现实生活中，经常会遇到各种需要建立数学模型的问题，如经济、发展、生物、环境等，这些问题都需要微积分的数学模型进行分析和解决。
下面，就来详细探讨微积分的数学模型解析。
一、导数的数学模型解析导数是微积分中的一个重要概念，具有解决许多问题的力量。
导数包含了物理学、工程学、生物学、经济学等众多学科中的各种数学模型。
导数可以体现一个量随着另一个量的改变所带来的变化率。
导数的推导过程中涉及到极限，而极限则是微积分的核心概念之一。
在数学模型解析过程中，常常需要建立函数的导数模型。
假设函数f(x)表示某一变量随着另一变量的变化而发生变化的规律，那么f(x)的导数f'(x)就是一个新的变量随着原变量x的改变而发生变化的规律。
这里需要注意的是，导数f'(x)并不是函数的直接表示，而是函数变化的速度，也就是函数斜率的大小。
导数的数学模型解析，有助于解决许多现实生活中的问题。
例如，对于销售某种商品的商家，可以通过建立该商品的销售量与时间的导数模型，来分析该商品在不同时间下销售情况的变化趋势，并为制定销售策略提供支持。
二、积分的数学模型解析积分是微积分中的另一个核心概念，也有着非常重要的应用价值。
积分可以将一个函数曲线下的面积求出，因此，在物理学、化学、统计学、经济学等学科领域中，经常会用到积分的方法。
在数学模型解析过程中，建立函数的积分模型需要注意一些要点。
首先，需要选择合适的积分方法，例如，定积分、不定积分、面积积分等。
其次，需要确定积分区间，即对函数需要积分的范围进行明确。
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第四章 微积分模型今天人们不论从事什么活动都讲究高效益,即希望所采取的策略使某个或某些指标达到最优。
商店订货要使订货、存贮等费用最小，体育比赛运动员要创造最好的成绩，工程设计要追求最佳方案。
普遍存在的优化问题经常成为人们研究的对象，建立这类问题的模型，我们称为优化模型。
建立优化模型首先要确定所关心的优化指标的数量描述，然后构造包括这个指标及各种限制条件的模型，通过模型求解给出达到优化指标的所谓策略。
本章仅考虑定常情况(即所给的策略不随时间改变)。
不允许缺货模型；某配送中心为所属的几个超市送配某种小电器，假设超市每天对这种小电器的需求量是稳定的，订货费与每个产品每天的存贮费都是常数。
如果超市对这种小家电的需求是不可缺货的，试制定最优的存贮策略(即多长时间订一次货，一次订多少货)。
如果日需求量价值100元，一次订货费用为5000元，每件电器每天的贮存费1元，请给出最优结果。
模型假设:（1）每天的需求量为常数r ； （2）每次的订货费用为c 1，每天每件产品的存贮费为c 2 ；（3）T 天订一次货,每次订Q 件，且当存贮量为0时，立即补充，补充是瞬时完成的； （4）为方便起见，将r ，Q 都视为连续量。
模型建立 》将存贮量表示为时间的函数(),0q t t =时，进货Q 件这类小电器,储存量(0),()q Q q t =以需求r 的速率递减，直到q (T )=0。
易见Q=rT一个周期的存贮费用C 2=A c ds s q T20)(=⎰一个周期的总费用C =2221rT c c +每天平均费用—2)(21rT c T c T c +=模型求解求T ，使)(T c 取最小值。
由0=dTdc，得 21212,2c r c Q rc c T ==上式称为经济订货批量公式。
模型解释(1)订货费越高，需求量越大，则每次订货批量应越大，反之，每次订货量越小；%(2)贮存费越高，则每次订货量越小，反之，每次订货量应越大。
模型应用将100,1,500021===r c c 代入式得 T =10天,Q =1000件，c =1000元。
允许缺货模型某配送中心为所属的几个超市送配某种小电器，假设超市每天对这种小电器的需求量是稳定的，订货费与每个产品每天的存贮费都是常数。
如果超市对这种小家电的需求是可以缺货的，试制定最优的存贮策略(即多长时间订一次货，一次订多少货)。
如果日需求为100元，一次订货费用为5000元，每件电器每天的贮存费1元，每件小家电每天的缺货费为元，请给出最优结果。
《与不允许缺货情况不同的是，对于允许缺货的情况，缺货时因失去销售机会而使利润减少，减少的利润可以看作为因缺货而付出的费用，称为缺货费。
于是这个模型的第（1）、（2）条假设与不允许缺货的模型相同，除此之外，增加假设（3）每隔T 天订货Q 件，允许缺货，每天每件小家电缺货费为c 3 。
缺货时存贮量q 看作负值，)(t q 的图形如图，货物在1T t =时送完。
一个供货周期T 内的总费用包括：订货费1c ，存贮费⎰102)(T dt t q c ，缺货费dt t q c T T ⎰1|)(|3，借助图可以得到一个周期总费用为 213121)(2121T T r c QT c c C -++= 每天的平均费用rTQ rT c rT Q c T c Q T C 2)(2),(23221-++= （）!利用微分法，令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00Q CTC可以求出最优的Q T ,值为 3232133221.2',.2'c c c c rc Q c c c rc c T +=+= （） 记)1(332>+=c c c μ 通过与不允许缺货的模型相比较得到 ：μμ/','Q Q T T == （） 显然Q Q T T <>','，即允许缺货时订货周期可以长一些，每次可以少订一些货。
（）式表明，缺货费3c 越大，μ值越小，','Q T 与Q T ,越接近，这与实际是相符的，因为3c 越大，意味着因缺货造成的损失越大，所以应该尽量避免缺货，当+∞→3c 时，1→μ，于是Q Q T T →→','。
这个结果是合理的，因为缺货费充分大，造成的缺货损失也充分大，所以不允许缺货。
将所给的数据代入（）式得到 7.301,333',33'===c Q T 件天元。
森林救火模型本节讨论森林救火问题。
森林失火了，消防站接到报警后派多少消防队员前去救火呢队员派多了，森林的损失小，但是救火的开支增加了；队员派少了，森林的损失大，救火的开支相应减小。
所以需要综合考虑森林损失和救火队员开支之间的关系，以总费用最小来确定派出队员的多少。
从问题中可以看出，总费用包括两方面，烧毁森林的损失，派出救火队员的开支。
烧毁森林的损失费通常正比于烧毁森林的面积，而烧毁森林的面积与失火的时间、灭火的时间有关，灭火时间又取决于消防队员数量，队员越多灭火越快。
通常救火开支不仅与队员人数有关，而且与队员救火时间的长短也有关。
记失火时刻为0=t ，开始救火时刻为1t t =，火被熄灭的时刻为2t t =。
设t 时刻烧毁森林的面积为)(t B ，则造成损失的森林烧毁的面积为)(2t B 。
下面我们设法确定各项费用。
先确定)(t B 的形式，研究)('t B 比)(t B 更直接和方便。
)('t B 是单位时间烧毁森林的面积，取决于火势的强弱程度，称为火势蔓延程度。
在消防队员到达之前，即10t t ≤≤，火势越来越大，即)('t B 随t 的增加而增加；开始救火后，即21t t t ≤≤，如果消防队员救火能力充分强，火势会逐渐减小，即)('t B 逐渐减小，且当2t t =时，0)('=t B 。
? 救火开支可分两部分：一部分是灭火设备的消耗、灭火人员的开支等费用，这笔费用与队员人数及灭火所用的时间有关；另一部分是运送队员和设备等的一次性支出，只与队员人数有关。
模型假设需要对烧毁森林的损失费、救火费及火势蔓延程度的形式做出假设。
(1) 损失费与森林烧毁面积)(2t B 成正比，比例系数为1c ，1c 即烧毁单位面积森林的损失费，取决于森林的疏密程度和珍贵程度。
)2( 对于10t t ≤≤，火势蔓延程度)('t B 与时火势蔓延速度。
间t 成正比，比例系数β称为（注：对这个假设我们作一些说明，火势以着火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，所以蔓延的半径与时间成正比，因为烧毁森林的面积与过火区域的半径平方成正比，从而火势蔓延速度与时间成正比）。
(3) 派出消防队员x 名，开始救火以后，火势蔓延速度降为x λβ-，其中λ称为每个队员的平均救火速度，显然必须λβ/>x ，否则无法灭火。
?（4）每个消防队员单位时间的费用为2c ，于是每个队员的救火费用为)(122t t c -，每个队员的一次性开支为3c 。
模型建立根据假设条件（2）、（3），火势蔓延程度在10t t ≤≤时线性增加，在21t t t ≤≤时线性减小，具体绘出其图形见图。
记1t t =时，b t B =)('。
烧毁森林面积⎰=202)(')(tdt t B t B正好是图中三角形的面积，显然有 2221)(bt t B = 而且 (βλ-=-x b t t 12因此)(221)(212βλ-+=x b bt t B根据条件（1）、（4）得到，森林烧毁的损失费为)(21t B c ，救火费为x c t t x c 3122)(+-据此计算得到救火总费用为x c x bx c x b c bt c x C 322111)(221)(+-+-+=βλβλ （） 问题归结为求x 使C (x )达到最小。
令0=dxdC得到最优的派出队员人数为 —λβλβλ++=232122c b c b c x （） 模型解释)('t B（）式包含两项，后一项是能够将火灾扑灭的最低应派出的队员人数，前一项与相关的参数有关，它的含义是从优化的角度来看：当救火队员的灭火速度λ和救火费用系数3c 增大时，派出的队员数应该减少；当火势蔓延速度β、开始救火时的火势b 以及损失费用系数1c 增加时，派出的队员人数也应该增加。
这些结果与实际都是相符的。
实际应用这个模型时，321,,c c c 都是已知常数，λβ,由森林类型、消防人员素质等因素确定。
消费者的选择}本节利用无差别曲线的概念讨论消费者的选择问题。
如果一个消费者用一定数量的资金去购买两种商品，他应该怎样分配资金才会最满意呢记购买甲乙两种商品的数量分别为21,q q ，当消费者占有它们时的满意程度，或者说给消费者带来的效用是21,q q 的函数，记作),(21q q U ，经济学中称之为效用函数。
c q q U =),(21的图形就是无差别曲线族，如图所示。
类似于第二章中无差别曲线的作法，可以作出效用函数族，它们是一族单调下降、下凸、不相交的曲线。
在每一条曲线上，对于不同的点，效用函数值不变，即满意程度不变。
而随着曲线向右曲线下凸的具体上方移动，),(21q q U 的值增加。
形状则反映了消费者对甲乙两种商品的偏爱情况。
这里假设消费者的效用函数),(21q q U ，即无差别曲线族已经完全确定了。
设甲乙两种商品的单价分别为21,p p 元，消费者有资金s 元。
当消费者用这些钱买这两种商品时所作的选择，即分别用多少钱买甲和乙，最大，即达到最大应该使效用函数),(21q q U 达到的满意度。
经济学上称这种最优状态为消费者均衡。
当消费者购买两种商品量为21,q q 时，他用的钱分别为11q p 和22q p ，于是问题归结为在条件s q p q p =+2211 （） 下求比例2211/q p q p ，使效用函数达到最大。
这是二元函数求条件极值问题，用乘子法不难得到最优解应满足2121/p p q Uq U =∂∂∂∂ （）>当效用函数),(21q q U 给定后，由（）式即可确定最优比例2211/q p q p 。
上述问题也可用图形法求解。
约束条件（）在图中是一条直线，此直线必与无差别曲线族中的某一条相切（见图中的Q 点），则21,q q 的最优值必在切点Q 处取得。
图解法的结果与（）式是一致的。
因为在切点Q 处直线与曲线的斜率相同，直线的斜率为21/p p -，曲线的斜率为21/q Uq U ∂∂∂∂-，在Q 点，利用相切条件就得到（）式。
/s经济学中21,q Uq U ∂∂∂∂称为边际效用，即商品购买量增加1单位时效用函数的增量。
（）式表明，消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比正好等于价格之比时达到。