微积分与数学建模共48页文档
数学学科教学微积分与数学建模
数学学科教学微积分与数学建模微积分和数学建模是数学学科中的两个重要部分，它们在数学教学中起到了关键的作用。
微积分是研究变化以及极限的数学分支，而数学建模是利用数学方法解决实际问题的过程。
本文将探讨微积分和数学建模在数学学科教学中的应用和意义。
一、微积分在数学学科教学中的应用微积分是数学学科中的重要内容，它包括微分和积分两个部分，通过对函数的研究，能够帮助学生理解数学中的变化和极限概念。
在数学学科教学中，微积分可以应用于以下几个方面。
1.1 函数的导数与变化率函数的导数是微积分的重要概念之一，它表示了函数在某一点的变化率。
通过学习函数的导数，学生可以更好地理解函数的图像和性质，进一步探究函数的最值和变化趋势。
在教学中，可以通过练习和实例，引导学生发现函数的导数与函数图像之间的关系，培养他们的观察力和分析思维。
1.2 积分与面积问题积分是微积分的另一个重要概念，它可以用来求解曲线下面积和曲线长度等问题。
在数学学科教学中，可以通过具体的实例，如计算曲线下方的面积或曲线的弧长，让学生领会积分的几何意义和实际应用，培养他们的数学建模能力。
1.3 微分方程与实际问题微分方程是微积分的一个重要分支，它在解决实际问题中发挥着重要作用。
在数学学科教学中，可以通过引入实际问题，如物理、经济、生物等领域中的问题，让学生学习和掌握微分方程的建模和求解方法，提高他们的应用能力和创新思维。
二、数学建模在数学学科教学中的应用数学建模是指利用数学方法解决实际问题的过程，它将数学与实际问题相结合，培养学生的综合思维能力和解决问题的能力。
在数学学科教学中，数学建模可以应用于以下几个方面。
2.1 实际问题的抽象与模型建立数学建模在解决实际问题中的第一步是将实际问题抽象成数学模型。
在数学学科教学中，可以通过引入实际问题，让学生学习和掌握问题抽象的方法和建立模型的技巧，培养他们的问题分析和数学建模能力。
2.2 模型求解与结果分析数学建模的第二步是对建立的数学模型进行求解，并分析结果的合理性和可行性。
数学建模-微积分模型
需要对烧毁森林的损失费、救火费及火势蔓延程度的形式做出假设。
(1)损失费与森林烧毁面
积 成正比，比例系数为 ， 即烧毁单位面积森林的损失费，取决于森林的疏密程度和珍贵程度。
对于 ，火势蔓延程度 与时间t成正比，比例系数 称为火势蔓延速度。（注：对这个假设我们作一些说明，火势以着火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，所以蔓延的半径与时间成正比，因为烧毁森林的面积与过火区域的半径平方成正比，从而火势蔓延速度与时间成正比）。
从起跳到落地的时间为 ，人在雨中奔跑的总距离为 ，不妨假设 为 的整倍数。由物理学的抛体运动定律可得 。
模型建立
计算人在每个方向上的淋雨量：
对于垂直方向上，每一个小段的淋雨量为 。利用相对坐标系得到
时的垂直方向的速度为 ，这期间扫过的雨水体积
据此计算得到在垂直方向总的淋雨量为
（4.13）
从（4.13）式中可以看出， 关于水平方向的速度是单调减少的，但与垂直方向速度 无关。
(2)效用函数为
根据（4.10）式可以求得最优比例为
结果表明均衡状态下购买两种商品所用的资金的比例与价格无关，只与消费者对这两种商品的偏爱程度有关。
(3)效用函数为
根据（4.10）式可以求得最优比例为
。
结果表明均衡状态下购买两种商品所用的资金的比例，与商品价格比成反比，与消费者对这两种商品偏爱程度之比的平方成正比。
实际应用这个模型时， 都是已知常数， 由森林类型、消防人员素质等因素确定。
4.4消费者的选择
本节利用无差别曲线的概念讨论消费者的选择问题。如果一个消费者用一定数量的资金去购买两种商品，他应该怎样分配资金才会最满意呢？
记购买甲乙两种商品的数量分别为 ，当消费者占有它们时的满意程度，或者说给消费者带来的效用是 的函数，记作 ，经济学中称之为效用函数。 的图形就是无差别曲线族，如图4.4所示。类似于第二章中无差别曲线的作法，可以作出效用函数族，它们是一族单调下降、下凸、不相交的曲线。在每一条曲线上，对于不同的点，效用函数值不变，即满意程度不变。而随着曲线向右上方移动， 的值增加。曲线下凸的具体形状则反映了消费者对甲乙两种商品的偏爱情况。这里假设消费者的效用函数 ，即无差别曲线族已经完全确定了。
微积分与数学建模
建模实例
（三）模型的建立
在数理统计中，将A类或B类这样的群体称为统计总体， 把描述总体的每一个体特征的所有变量均视为随机变量。
如果不同总体中诸变量所遵循的分布有明显的差异时，则
可将此差异作为分类依据，这就是多元统计分析处理问题 的一般想法。区分一个DNA序列属于A类还是B类的问题属
于两总体间的判别问题，这里我们利用微积分中的向量代
1*1=1 11*11=121 111*111=12321 1111*1111=1234321 11111*11111=123454321 111111*111111=12345654321
前 言
• • • • • 1*8+1=9 12*8+2=98 123*8+3=987 1234*8+4=9876 12345*8+5=98765
分析建模
建模实例
节水洗衣机模型
（一）问题的提出
我国淡水资源有限，节约用水颇为重要。洗衣机在我国Biblioteka 相当普及，为节约洗衣机用水，要求设
计一洗衣机程序，在满足一定洗涤效果的前提下，
使得总用水量最少。 已知洗涤过程为：首先加入衣物和洗涤剂，然 后重复加水——漂洗——脱水过程。
建模实例
（二）模型假设
（1）洗涤剂一次加满，漂洗过程中不再添加；
的驻点。 又若 f " ( x0 ) 存在，且 f ' ( x) 0, f "' ( x) 0 ，则有下列结论：
若 f ( x0 ) 0 ，则 f ( x0 ) 为极大值。 若 f ( x0 ) 0 ，则 f ( x0 )为极小值。
内容回顾
但在实际问题中，上述简单的极值问题很少能出现，而是 有某些条件的限制，这就需要利用求条件极值的方法--Lagrange算法来解决。
数学建模思想融入微积分
目录
数学建模概述 微积分基础知识 数学建模在微积分中的应用 案例分析 数学建模思想在微积分教学中的实践与思考
01
数学建模概述
数学建模的定义
数学建模：运用数学语言、符号、公式和理论对现实问题进行抽象和简化，以解决实际问题的方法和过程。
数学建模是一种跨学科的综合性技术，涉及数学、计算机科学、工程学等多个领域。
详细描述
无穷小和极限在建模中有着广泛的应用。例如，在物理学中，瞬时速度可以看作是平均速度的极限，而瞬时加速度则可以看作是平均加速度的无穷小变化量。在经济学中，无穷小和极限的概念也常用于描述经济变量的变化趋势和规律。
总结词
无穷小与极限在建模中的应用案例
05
数学建模思想在微积分教学中的实践与思考
强调概念背景
对实际问题进行深入分析，明确问题的背景、条件和目标。
问题分析
根据问题分析的结果，选择适当的数学方法和工具，建立数学模型。
建立模型
运用数学方法和计算机技术，求解建立的数学模型。
求解模型
对求解结果进行评估，并根据实际情况对模型进行优化和改进。
模型评估与优化
数学建模的基本步骤
02
微积分基础知识
03
导数与微分的应用
定积分与不定积分
定积分是积分的一种特殊形式，用于计算具体几何量或物理量；不定积分则用于求函数的原函数或反导数。
积分的应用
积分在解决实际问题中有着广泛的应用，如计算旋转体的体积、曲线的长度等。
积分
级数概念
级数是无穷多个数的和，可以用来表示连续变化的过程或现象。
无穷小的概念
无穷小是数学中的一个重要概念，用于描述函数在某点附近的变化趋势。
高等数学模型—微积分模型(数学建模课件)
2、假设易拉罐是一个正圆柱体，什么是它的最优设计？其结果是
否可以合理地说明你们所测量地易拉罐地形状和尺寸。
二、数据测量
罐直径、罐高、罐壁厚、顶盖厚、圆台高、
顶盖直径、圆柱体高、罐底厚、罐内体积等。
该如何测量？
二、数据测量
1、直接测量
①用软皮尺环绕易拉罐相关部位一圈
（罐桶直径、罐
测得周长。
高、圆台高、顶
速度、出手角度和出手高度)
作定性和定量研究并得到明
确结论。
森林救火问题
微积分模型
知识点
一、问题的提出
二、模型分析与假设
三、模型建立与求解
四、模型应用
一、问题的提出
一、问题的提出
森林失火了！消防站接到火警后，立即决定派消防队员前去救火。队
员多，火被扑灭的快，森林损失小，但救援费用大；队员少，救援费用小，
118.0 123.5 136.5 142.0 146.0 150.0 157.0 158.0];
y1=[44 45 47 50 50 38 30 30 34 36 34 41 45 46 43 37 33 28 32 65 55 54 52 50 66 66 68];
y2=[44 59 70 72 93 100 110 110 110 117 118 116 118 118 121 124 121 121 121 122 116 83 81 82 86
四、模型建立与求解
一、问题的提出
运动员单手托住铅球，在投掷圆内将铅球掷出并使铅
球落入有效区内，以铅球投掷的远度评定运动员的成绩。
问题：
建模分析如何使铅球投掷的最远？
二、问题分析
• 铅球投掷中，影响投掷距离的因素有哪些？
数学建模之微积分模型
2c1r Q = rT = c2
模型分析
c1 ↑⇒ T,Q↑
模型应用
• 回答问题
c2 ↑ ⇒ T, Q ↓
r ↑ ⇒T ↓, Q ↑
c1=5000, c2=1，r=100 T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元)
• 经济批量订货公式（EOQ公式）
用于订货、供应、存贮情形 每天需求量 r，每次订货费 c1,每天每件贮存费 c2 ， T天订货一次(周期), 每次订货Q件，当贮存量降到 零时，Q件立即到货。
思考 在森林救火模型中，如果考虑消防 队员的灭火速度λ与开始救火时的火 势b有关，试假设一个合理的函数关 系，重新求解模型
3.4
问题 假设
最优价格
根据产品成本和市场需求，在产销平 衡条件下确定商品价格，使利润最大 1）产量等于销量，记作 x 2）收入与销量 x 成正比，系数 p 即价格 3）支出与产量 x 成正比，系数 q 即成本 4）销量 x 依赖于价格 p, x(p)是减函数 进一步设
f1 (x) = c1B(t2 ), f2 (x) = c2 x(t2 − t1 ) + c3 x
C( x) = f1 ( x) + f 2 ( x)
目标函数——总费用
模型建立
2
目标函数——总费用
2 2
c1 β t 1 c1 β t 1 c 2 β t1 x C ( x) = + + + c3 x 2 2(λx − β ) λx − β
2 2 每天总费用 C c1 c2 Q c3 (rT − Q ) C (T , Q ) = = + + 平均值 T T 2rT 2rT （目标函数） 求 T ,Q 使 C (T , Q ) → Min
数学模型和微积分问题
数学模型和微积分问题数学是一门抽象的学科，但它也是一个解决实际问题的有力工具。
在现实生活中，很多问题都可以通过建立数学模型来解决。
而微积分则是一种常用的数学工具，它能够对函数以及数值和图形进行深入的分析。
本文将探讨数学模型和微积分问题，并介绍它们在实际应用中的重要性。
一、什么是数学模型数学模型一般指数学描述现实系统的方法。
在数学模型中，我们将现实问题转化为数学问题，并用数学语言来描述它们。
数学模型可以用方程、函数、图表或者图形来表示，具有严密的逻辑结构和精确的数学表达式。
数学模型的建立是解决问题的第一步。
通过建立合适的数学模型，我们可以对实际问题进行更深入的分析和研究，并达到更好的解决方案。
二、数学模型的应用数学模型在现代工程技术、自然科学、社会科学和经济学等领域都有广泛应用。
例如，科学家们利用数学模型研究疾病的扩散、气候变化、金融市场的波动等一系列实际问题。
在工程技术中，数学模型被广泛应用于设计中。
例如，建筑师和结构设计师使用数学模型来预测建筑物的性能，以及电气工程师在设计电子设备时使用数学模型预测电信号和电流的变化。
在自然科学中，数学模型常用于描述物理系统和空气流动等现象。
例如，物理学家在分析某个系统的运动时，常用微积分工具进行推导，并得到各种物理定律。
在社会科学中，数学模型也被广泛应用于经济学、政治学和心理学等领域。
例如，经济学中，数学模型被用于描述经济增长、失业率和通货膨胀等问题。
三、微积分的应用微积分是一种数学分支，它研究连续变化和变化率的计算。
微积分在自然科学、社会科学和工程技术等领域中都有广泛应用。
微积分在物理学中应用非常广泛。
例如，利用微积分，科学家们可以计算物体在重力作用下的运动轨迹，从而更好地解释行星的运动规律。
微积分在天文学中也有应用。
例如，微积分技术被用于计算星体的运动轨迹和星系的组成结构。
此外，微积分在金融学中也有广泛应用。
例如，借助微积分工具，金融分析师可以对股票市场进行深入的分析，以便更好地预测股票的波动。
微积分与数学模型
微积分与数学模型微积分是数学中最基础的分支，自17世纪以来就被广泛应用在科学、工程、经济学等不同科学领域。
微积分主要研究函数、无穷数据的构造和变化的性质和原理，从而解决实践中的难题。
微积分的发展主要源自17世纪中叶的新数学运动，它是由英国数学家斯蒂芬斯特拉蒙斯的著作《几何学的计算术》中的一系列创新理论发展而来的。
斯特拉蒙斯开创性地把曲线视为函数，并发现了微分中有用的基本元素，即微分、微积分、无穷级数和定积分。
这使得他们能够以函数研究物理变化的过程，建立描述它们的数学模型，并使用定积分来求解难于解释的问题。
斯特拉蒙斯的理论开拓了微积分的新领域，在数学家莱布尼兹的贡献下，微积分变得完善并进一步发展。
莱布尼兹贡献有力，开创性地提出了微积分及其相关知识的完整概念。
他创造了微积分的新数学语言，发明了新的数学概念，丰富了微积分中的内容，并使微积分变得更加全面完善。
随后，微积分在很多领域都得到了广泛的应用，这些领域包括物理学、化学、经济学、社会学等科学领域。
物理学家利用微积分来研究动力学，化学家使用微积分来研究反应动态，经济学家使用微积分来分析市场经济，社会学家使用微积分来研究发展趋势。
因此，微积分的广泛应用极大地推动了科学技术的发展。
同时，微积分也被广泛用于建立数学模型，尤其是用于描述物理事件和社会现象。
数学模型是根据物理实验或社会观察数据，结合数学研究方法和微积分，建立一系列方程来描述物理事件和社会现象的一种技术。
数学模型可以帮助我们理解实际问题，深入挖掘问题背后的性质，并且可以更精确地预测未来的趋势。
由此可见，微积分在数学和科学技术的发展中发挥了重要作用，它也是建立数学模型的基础。
在今后的学术研究中，将继续将微积分应用于重要科学问题的研究，并且进一步推动科学技术的发展。
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2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
微积分与数学建模4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
END
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃