点集拓扑知识点

点集拓扑知识点【篇一：点集拓扑知识点】第二章拓扑空间 2.1 拓扑空间的概念 2.1.1 拓扑定义2.1.1 的一子集族。

如果t满足：上的离散拓扑；典型拓扑：余有限拓扑、余可数拓扑、有心拓扑、去心拓扑定义2.1.2 的子空间拓扑或相对拓扑：母空间的开集交上y即可。

定义2.1.3 )是拓扑空间，是x上的等价关系，等价类的集合为叫商空间。

下面证明上拓扑。

(1)由于拓扑t对有限交封闭有，，类似地，由拓扑t对任意并封闭上拓扑。

定理2.1.1 ；（2）有限并封闭；（3）任意交封闭。

定理2.1.2 作为子空间的闭集族。

2.1.2 领域系定义2.1.5 的开领域。

定义2.1.6 是拓扑空间，如果a内存在x 的领域。

注解：由拓扑定义中，有限交封闭和任意闭封闭，有限开领域(或领域)交集仍为开领域(或领域)，任意开领域(或领域)并集仍为开领域(或领域)。

注解：不同的度量可能诱导相同的拓扑；如前面的度量是不同度量，但诱导出相同拓扑。

定义2.1.9 上的拓扑，如果存在x上的一个度量d，使得d 的诱导拓扑是可度量化的拓扑。

注解：集合x 上的每个度量可诱导拓扑，但每一拓扑不一定由度量诱导。

例：离散拓扑是可度量化的拓扑，由离散度量诱导，因为单点集是开球；有限拓扑可度量化该拓扑为离散拓扑。

即非离散有限拓扑不可度量化； 2.2 拓扑基和子基 2.2.1 拓扑基在欧式空间中，开球时最简单的开集，而且任何开集可由开球作并运算得到，但在非度量诱导的拓扑空间中没有球的概念，为了弥补这一缺陷，引进拓扑基。

定义2.2.1 的一个拓扑基，而拓扑基的成员叫基开集。

注解：显然t是自己的一个基；如果b 例：离散拓扑空间，所有单点集构成拓扑基；由度量诱导的拓扑空间，所有开球构成拓扑基，实际上，以有理数为半径的球族也是拓扑基。

给定一集合，下面介绍一种判别它是否是拓扑基的方法：定理2.2.1 不是拓扑基。

其实，假设b是拓扑不能由b中某些成员之并，或者说它不满足上述定理的条件。

因而可以得到一种判别集合a 是开集的方法：定理2.2.2 给一集合，要求它是拓扑基，找出这个唯一拓扑：定理2.2.3 的一个子集族，则x上存在唯一拓扑t ，根据定理2.2.3知它是r 上某个拓扑的基，称为r 的上限拓扑；类似的有下限拓扑和通常拓扑。

注：通常拓扑比上限拓扑和下限拓扑都粗。

因为开区间是一族半开半闭的并。

维欧式空间r的积空间，即上的积拓扑。

证明：也就是要证明二者的拓扑基相等。

设的基。

根据定理2.2.1判别拓扑基的方法来证，即a a，存在以x为中心，以某个正数r 2.2.2拓扑子基定义2.2.3的子集族，若??的所有有限交构成t 是拓扑t的拓扑子基。

注解:拓扑基一定是拓扑子基；一维欧式空间r 通常拓扑的拓扑子基是所有的形如(a, 的区间构成的集族；二维欧式空间r 通常拓扑的拓扑子基是所有的平行于坐标轴的带形区域(不含边界)所构成的集族。

以这个集族为拓扑子基的拓扑是唯一的。

定理2.2.4 是非空集x的一子集族，则x 上存在唯一拓扑以它为拓扑子基。

生成的基是b={{1},{1，2},{1，3},x}，由b 生成的拓扑是={{1},{1,2},{1,3}{1,2,3},,x}。

2.2.3 可数公理定义2.2.4 处的局部基。

例：设(x,d)是度量空间，x 限制为正有理数也可以)。

下面给出一种找点x 局部基的方法：定理2.2.5 的局部基。

也就是说，含x 的所有开领域构成x 的局部基(由领域的定义即得)。

定理2.2.6 注解：证明提示：根据定理2.2.2 和局部基定义。

上面两个定理中，前者从拓扑基中找局部基；后者将所有局部基并起来就构成拓扑基。

定义2.2.6 如果x 的所有点x 处有可数局部基，则称x 是第一可数空间(或注解：第一可数当且仅当每一点有可数开局部基；第二可数空间一定是第一可数空间（根据定理2.2.5）；例：由上个例题知，度量空间是第一可数空间；维欧式空间是第二可数的。

因为以有理点为中心、以有理数为半径的球族。

定理2.2.7 ，存在x的可数开局部，称为规范局部基。

证明：设{ 2.3闭包、内部和边界定义2.3.1的每个领域u满足集合a的所有聚点组成的集合叫a 的导集，记为的孤立点；如果存在x 的领域u 使得u 的所有内点构成的集合叫a的内部，记为是不可数的余可数拓扑空间，a是它的不可数子集，则每个局部领域u满足和中将领域换成开领域也行。

特殊地，若x是度量空间，则从而存在x的领域u 仍是x的领域且注解：由上述定理中知，a是闭集；上述两定理中对任意并不一定成立，如上述两定理中对有限交也不一定成立，如a=(-1,0),b=(0,1)定理2.3.4 是包含于a的最大开集；a是包含a 的最小闭集。

注解：说明是包含于a的所有开集之并；a是包含a 的所有闭集之交。

下面是一些常用的集合结论：是拓扑空间x的子空间，a 小结：本章从拓扑定义出发，由度量诱导的拓扑中开球，引出拓扑基、拓扑子基及局部基。

拓扑基与局部基联系在于局部与整体的关系，将整体“打碎”就是局部，将局部“粘”在一起就是整体。

根据“点”与“集合”的关系：聚点、孤立点、边界点和内点，产生了一些新的集合：导集、闭包、边界和内部。

第三章连续映射 3.1 连续映射与同胚 3.1.1 连续映射定义3.1.1 连续。

注：定义中“领域”可换成“开领域”或“局部基领域”或“开局部基领域”。

例：（1）离散拓扑空间任一拓扑空间的任意映射是连续的；（2）任一拓扑空间平庸拓扑空间的任意映射是连续的。

定理3.1.1 注：其实“连续”的定义来源于（2），见教材p27 练习的习题9。

证明中用到的关系：定理3.1.2连续映射的复合映射是连续的，即：如果）为恒等映射，则id 连续的充要条件：都是连续的；证明：的连续性有，x中存在中的领域v，则在y中必存在的连续性有，x中存在x 的领域u 的一领域，得证！（3）商投影与有限积投影都是连续的证明：商投影：设（x，t ）为拓扑空间，定义x 上的一个等价关系，从x 到等价类集合的映射为商投影，其中等价类集合中的拓扑为：，此拓扑刚好就是开集的原像是开集。

3.1.2 为映射。

如果f 为开映射（闭映射）。

注:同胚关系为等价关系。

定理3.1.4 是连续的闭映射。

例：同一集合上的两个不同拓扑间的恒等映射id，id 同胚的充要条件：两个拓扑相同。

3.1.3 焊接引理定理3.1.5 是Ｘ的闭集＋∧有限集，则ｆ连续。

证明：（１）作映射，则此定义的映射是合理的。

假设还存在映射（３）类似地，证任意闭集的原像集是闭集，而闭集对有限并封闭，故要求∧有限集。

注解：引理中（２）中的“开集”条件与（3）中的“有限”条件都不能去掉。

满足焊接引理条件，因此定义，在(0,1]上为恒等映射，在 3.2由函数诱导的拓扑、任意积拓扑 3.2.1 函数诱导的拓扑定义3.2.1设{ 为一族映射。

把所有y 中的开集的原像集作一集族，以这一集族为拓扑子基的拓扑就叫由函数族{ 诱导的拓扑，其中这一集族叫做这一拓扑的定义子基。

回顾：拓扑子基：设x 为一拓扑空间，拿出所有开集的一部分构成a，如果a 注解：3.1节讲述的是给定两个拓扑空间，再做一映射，判断这一映射是否是连续的；而本节中“由函数诱导的拓扑”是确定的拓扑使函数连续。

定理 3.2.1 为一族映射，t是由函数族{ 都连续的最粗拓扑。

证明：由“函数诱导的拓扑”定义知,开集的原像为拓扑子基的元素，当然连续。

，则由此函数族诱导的拓扑是离散拓扑。

由常值函数诱导的拓扑为平庸拓扑。

由积空间上的投影映射诱导的拓扑为积拓扑仿照有限积，可以看成积空间，也可看成欧式度量空间。

同样任意多个拓扑空间也有积空间，也可看成某度量的度量空间（即一致拓扑空间）。

3.2.2 任意多个拓扑空间的积空间定义3.2.2 为基的拓扑box 为拓扑子基的拓扑prod 叫积拓扑。

注：由定义，积拓扑是由投射族诱导的拓扑，这就与 3.2.1 挂上勾了。

另外，箱拓扑可以这样理解：比如三维空间，箱拓扑基开集看起来像“箱子”。

定理 3.2.2 设任意积空间的拓扑基是中可以任意取，得证！注解：（1）对有限积空间而言，积拓扑与箱拓扑一致；（2）积拓扑比箱拓扑要粗；（3）积拓扑是使所有投射都连续的最粗拓扑。

定理 3.2.3 为积拓扑空间，y为任意拓扑空间，连续。

证明：只需证充分性，的关于箱拓扑的一领域，而r中不存在t=0 的领域u 上的一致度量与一致拓扑定义3.2.3 时，就是全空间，因为一致度量的最大值为1；当时，就是开正方形。

同样地，对于一致拓扑箱拓扑的原因。

定理3.2.5 上，积拓扑一致拓扑箱拓扑。

证明：思路：需证在一致拓扑当中有比积拓扑基开集更小的开集。

定义3.3.1 映射来表示；映射定义3.3.2 ，若ａ的任意领域Ｕ，存在自然数Ｎ，使得当n 注解：数分中极限唯一，但拓扑空间并不一定唯一，如平庸拓扑空间Ｘ的任意序列收敛于空间中任意点，即lim 如果拓扑空间x中的序列为了便于操作，将上述定义进行改进如下：定义3.3.3 中，则称序列的尾部是ａ。

注解：尾部在ａ的每个局部基领域内。

序列的尾部是ａ，仅能知道ａ是序列的一个极限，但不能说明序列只有一个极限ａ，如平庸拓扑的任意序列。

例：余可数拓扑空间x 中序列收敛于a的充要条件：该序列尾部是a。

证明：注解：之所以有这样的结论在于序列是一可数集合。

从而可知余可数拓扑空间Ｘ中序列的极限唯一。

下面给出另一个极限唯一的拓扑空间。

定义 3.2.4 设Ｘ是拓扑空间，如果对Ｘ中任意不同两点，分别存在领域，使得这两个领域不相交，称x 是hausdorff 空间或者中通常拓扑空间是hausdorff空间；多于一点的平庸拓扑空间不是hausdorff 空间。

定理3.3.1（1）hausdorff 空间x 中收敛序列的极限唯一；是第一可数的+x中收敛序列的极限唯一，则x 是hausdorff 空间。

证明：回顾第一可数拓扑空间：如果x 的每一点处有可数局部基。

由定理2.2.9 ，称为规范局部基。

（1）假设是Ｘ的收敛序列，且有两个不同的极限ａ和ｂ，由于Ｘ是hausdorff 空间，则分别存在ａ和ｂ的开领域Ｕ和Ｖ，使得Ｕ，Ｖ不相交，另外，的尾部在Ｕ中，又在Ｖ中，矛盾！（２）（反证法）假设不是hausdorff 空间，则存在有两个极限a，b，矛盾！注解：定理中“x 为第一可数的”不能去掉，如不可数集x 的余可数拓扑空间，其极限是唯一的，但它不是第一可数的（证明：假设在点的领域v，使得盾！）此时有x不是hausdorff 空间，因为任意开集必相交。

应用一：用序列的极限来刻画第一可数空间的闭包，从而断定它是不是闭集。

定理3.3.2 收敛于p。

因为对p的任意领域u 可以用可数规范局部基（可数渐缩）的并表示，从而有某，由（1）的充分性，lim （充分性）设对a内任意序列注解：定理中“x为第一可数的”不能去掉，仍然是不可数集x 的余可数拓扑空的不可数真子集，由于a的闭集只能是可数子集或x，则a 不是闭集，但a 内任一序列的极限唯一，即此序列的尾部是此极限，从而有（2）中结论。