带约束的非线性优化问题解法小结
最优化方法第八章约束非线性优化
( 3)
15
i gi ( x*) 0 , i 1 , 2 , , l i 0 , gi ( x*) 0 ; i 0, i 1 , 2 , , l i 0 , gi ( x*) 0 ;
定理4(K-T条件): 设 x* Q ，f ( x) 和 g i ( x) (i I ( x*) ) 在x * 处可微，
g1 ( x) 4 x1 x2
g1 ( x ) [ 1 , 1 ]T
g2 ( x ) x1 , g2 ( x ) [ 1 , 0 ]T 。
g3 ( x ) x2 , g3 ( x ) [ 0 , 1 ]T 。
18
由 K T条件得
x1 3 1 1 0 x 3 1 1 2 0 3 1 0 2
s.t. ф(x,y)=0
引入Lagrange乘子：λ Lagrange函数 L(x,y;λ)= f(x,y)+ λ ф(x,y)
4
若(x*,y*)是条件极值，则存在λ* ，使 fx(x*,y*)+ λ* фx (x*,y*) =0 fy(x*,y*)+ λ* фy(x*,y*) =0 Ф (x*,y*)=0 推广到多元情况，可得到对于等式约束的情况： min f(x) 分量形式： s.t. hj(x)=0 j=1,2, …,l 若x*是其的最优解 , 则存在υ*∈ Rl 使
x1 d 1 d2
①可行方向与积极约束: 可行方向:
g2 ( x ) 0
设 x0 Q， d 为一个向量。如果存在 实数 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 使得对任意的 [ 0 , ] 有 x 0 d Q , 则称 d 为 x 0 处的 一个可行方向。
Matlab中的非线性优化和非线性方程求解技巧
Matlab中的非线性优化和非线性方程求解技巧在科学和工程领域中，我们经常会遇到一些复杂的非线性问题，例如最优化问题和方程求解问题。
解决这些问题的方法主要分为线性和非线性等，其中非线性问题是相对复杂的。
作为一种强大的数值计算工具，Matlab提供了许多专门用于解决非线性优化和非线性方程求解的函数和方法。
本文将介绍一些常用的Matlab中的非线性优化和非线性方程求解技巧。
非线性优化是指在给定一些约束条件下，寻找目标函数的最优解的问题。
在实际应用中，往往需要根据实际情况给出一些约束条件，如等式约束和不等式约束。
Matlab中的fmincon函数可以用于求解具有约束条件的非线性优化问题。
其基本语法如下：[x,fval] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)其中，fun是目标函数，x0是初始值，A、b是不等式约束矩阵和向量，Aeq、beq是等式约束矩阵和向量，lb、ub是变量的上下边界。
x表示最优解，而fval表示最优解对应的目标函数值。
另外，非线性方程求解是指寻找使得方程等式成立的变量值的问题。
Matlab中提供的fsolve函数可以用于求解非线性方程。
其基本语法如下：x = fsolve(fun,x0)其中，fun是方程函数，x0是初始值，x表示方程的解。
除了fmincon和fsolve函数之外，Matlab还提供了一些其他的非线性优化和非线性方程求解函数，例如lsqnonlin、fminunc等，这些函数分别适用于无约束非线性优化问题和带约束非线性方程求解问题。
除了直接调用这些函数外，Matlab还提供了一些可视化工具和辅助函数来帮助我们更好地理解和解决非线性问题。
例如，使用Matlab的优化工具箱可以实现对非线性优化问题的求解过程可视化，从而更直观地观察到优化算法的收敛过程。
此外，Matlab还提供了一些用于计算梯度、雅可比矩阵和海塞矩阵的函数，这些函数在求解非线性问题时非常有用。
不等式约束的非线性优化问题
不等式约束的非线性优化问题非线性优化问题是当前研究领域中一个重要且复杂的研究方向，其中加入了不等式约束，则研究难度更大。
不等式约束可以帮助提供更多颜色的解决，从而丰富了非线性优化问题的研究内容，特别是在重要的科学技术领域，偏见较大的决策问题中。
例如，在金融行业，投资组合的构建问题依然是一个重要的研究难题，而有了不等式约束，就可以得到更加准确的优化结果，为投资者带来更多投资机会。
同时，不等式约束对于经济学研究领域也具有重要意义。
在计算机仿真中，不等式约束可以指导模拟结果如何随着市场环境的变化而变化。
而在关系分析的仿真建模中，不等式约束可以实质性地保证模型参数的稳定，从而让模型更具有可信度。
再者，由于不等式约束可以扩展多变量线性模型，因此可以解决复杂的决策问题，探索模型内部数据运动规律，有助于深入理解经济问题，特别是现代经济中复杂而多变的定量问题。
当然，由于非线性优化问题涉及到约束，数学模型的复杂性较大，因此算法的设计相对较困难。
传统的优化方法，例如随机搜索、梯度下降和牛顿法等，大多只能处理简单的线性约束，而在具有不等式约束的优化问题中，由于约束的复杂性，这些算法的效果可能不太理想。
为了克服这些问题，目前研究已经提出了一些新的算法，例如贪婪算法、自适应种群算法、可变群体算法等，这些都是针对不等式约束优化问题的有效算法。
除此之外，还有一些混合算法也非常有效，可以采用特定的算法组合，在多个算法之间进行灵活切换，来实现更加优秀的效果。
相比于传统的算法，这些新的算法性能更加稳定，可以在具有不等式约束的非线性优化问题中取得更优结果。
综上所述，不等式约束对于非线性优化问题具有重要作用，它不仅可以丰富研究问题，还可以为各个研究领域实现更准确和稳定的理论依据。
非线性约束优化问题的数值解法
非线性约束优化问题的数值解法在实际问题中，我们经常会遇到一类非线性约束优化问题，即在一定约束条件下，最小化或最大化一个非线性目标函数。
这类问题的数学模型可以表示为：$$\begin{aligned}\min_{x} \quad & f(x) \\\text{s.t.} \quad & g_i(x) \leq 0, \quad i=1,2,\ldots,m \\& h_j(x) = 0, \quad j=1,2,\ldots,n\end{aligned}$$其中，$x$是决策变量，$f(x)$是目标函数，$g_i(x)$和$h_j(x)$是约束函数。
有时候，这类问题的解析解并不容易求得，因此需要借助数值方法来找到近似解。
本文将介绍几种常用的非线性约束优化问题的数值解法。
一、拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是最基础的非线性约束优化问题求解方法之一。
它将原始问题转化为等价的无约束问题，并通过引入拉格朗日乘子来建立求解函数。
具体而言，我们将原始问题改写成拉格朗日函数的形式：$$L(x,\lambda,\mu) = f(x) + \sum_{i=1}^{m}\lambda_ig_i(x) +\sum_{j=1}^{n}\mu_jh_j(x)$$其中，$\lambda_i$和$\mu_j$是拉格朗日乘子。
然后，我们对拉格朗日函数求取对$x$的梯度，并令其等于零，得到一组等式约束：$$\nabla_x L(x,\lambda,\mu) = \nabla f(x) +\sum_{i=1}^{m}\lambda_i\nabla g_i(x) + \sum_{j=1}^{n}\mu_j\nablah_j(x) = 0$$再加上约束条件 $g_i(x) \leq 0$ 和 $h_j(x) = 0$，我们可以得到原始问题的一组等价条件。
二、内点法内点法是解决非线性约束优化问题的一种有效算法。
该方法通过将约束条件转化为惩罚项，将原问题转化为无约束的目标函数最小化问题。
求解带约束的非线性规划问题论文
求解带约束的非线性规划问题罚函数法求解带约束的非线形规划问题的基本思想是：利用问题的目标函数和约束函数构造出带参数的所谓增广目标函数，把约束非线形规划问题转化为一系列无约束非线形规划问题来求解。
增广目标函数由两个部分构成，一部分是原问题的目标函数，另一部分是由约束函数构造出的“惩罚”项，“惩罚”项的作用是对“违规”的点进行“惩罚”。
罚函数法主要有两种形式。
一种称为外部罚函数法，或称外点法，这种方法的迭代点一般在可行域的外部移动，随着迭代次数的增加，“惩罚”的力度也越来越大，从而迫使迭代点向可行域靠近；另一种成为内部罚函数法，或称内点法，它从满足约束条件的可行域的内点开始迭代，并对企图穿越可行域边界的点予以“惩罚”，当迭代点越接近边界，“惩罚”就越大，从而保证迭代点的可行性。
1. 外部罚函数法(外点法)约束非线形规划问题min f(x),s.t. g(x)>=0,其中g (x) = (g 1(x),…,gm(x)),将带约束的规划问题转化为无约束非线形规划问题来求解的一个直观想法是：设法加大不可行点处对应的目标函数值，使不可行点不能成为相应无约束问题的最优解，于是对于可行域 S= { x | g(x) >= 0} 作一惩罚函数P(x) = 0, x∈S;K, else其中K是预先选定的很大的数。
然后构造一个增广目标函数F (x) = f (x) + P (x) ,显然x∈S时，F（x）与f (x)相等，而x S 时，相应的F值很大。
因此以F(x)为目标函数的无约束问题minF x) = f(x) + P (x) （1）的最优解也是原问题（NP）的最优解。
上述P(x)虽然简单，但因它的不连续性导致无约束问题（1）求解的困难。
为此将P(x)修改为带正参数M（称为罚因子）的函数P(x) =M ∑[min (0,gj(x))]²则min F(x,M) = f(x) + M∑[min (0,gj(x))]²的最优解x(M) 为原问题的最优解或近似最优解。
非线性优化问题的求解研究
非线性优化问题的求解研究一、引言非线性优化问题是数学和工程学中一个十分重要的课题，它们在现实生活中有着广泛的应用。
例如，在工程和物理学中，需要优化设计和控制系统；在金融学中，需要优化投资组合；在医学中，需要优化药物剂量等。
对于这些问题，我们需要建立数学模型，并且寻找最优解。
因此，如何高效地解决非线性优化问题一直是一个热门的研究领域。
二、非线性优化问题非线性优化问题是指在无约束或有约束条件下，目标函数为非线性函数的问题。
通俗的说，就是在一个复杂的系统中，寻找一个能够达到最优状态的方案。
非线性优化问题包括多元函数非线性规划、不等式约束问题、等式约束问题等。
这些问题的特点在于目标函数或约束条件不能表示为简单的线性形式，需要使用非线性方法进行求解。
三、非线性优化问题的求解方法1. 牛顿法牛顿法被广泛用于求解非线性方程组和最优化问题。
在求解非线性优化问题中，其基本思路是将目标函数在当前点进行泰勒展开，然后求解导数为零的点所对应的下降方向，并对这个方向进行步长的控制，进行迭代。
2. 拟牛顿法拟牛顿法是基于牛顿法的一种算法。
它通过逼近目标函数的海森矩阵或该矩阵的逆矩阵来获得下降方向。
由于在牛顿法中，需要求解复杂的海森矩阵的逆矩阵，因此在实际应用中比较困难。
而拟牛顿法则可以通过近似估算来解决这个问题，在保证解精度的基础上，减少计算时间。
3. 共轭梯度法共轭梯度法主要用于解决对称正定线性方程组。
在非线性优化问题中，共轭梯度法通常被用作拟牛顿法的一个变体，用于求解目标函数梯度的方向。
4. 遗传算法遗传算法是一种基于遗传学的算法，其主要思路是模拟自然界中的进化过程来获得最优解，包括基因的突变、遗传操作等。
在非线性优化问题中，遗传算法被广泛用于寻找最优解的搜索和优化。
四、非线性优化问题的应用非线性优化问题有着广泛的应用。
以下是一些应用案例：1. 金融学：非线性优化问题被用于优化投资组合和资产定价等问题。
2. 工程学：非线性优化问题被用于优化设计和控制系统等问题。
非线性优化与约束优化问题的求解方法
非线性优化与约束优化问题的求解方法非线性优化问题是在目标函数和约束条件中包含非线性项的优化问题。
约束优化问题是在目标函数中加入了一些约束条件的优化问题。
解决这些问题在实际应用中具有重要意义，因此研究非线性优化和约束优化问题的求解方法具有重要的理论和实际意义。
一、非线性优化问题的求解方法非线性优化问题的求解方法有很多，下面介绍几种常见的方法：1. 黄金分割法：黄金分割法是一种简单但有效的搜索方法，它通过不断缩小搜索范围来逼近最优解。
该方法适用于目标函数单峰且连续的情况。
2. 牛顿法：牛顿法利用目标函数的一阶和二阶导数信息来逼近最优解。
该方法收敛速度较快，但在计算高阶导数或者初始点选取不当时可能产生不稳定的结果。
3. 拟牛顿法：拟牛顿法是对牛顿法的改进，它通过逼近目标函数的Hessian矩阵来加快收敛速度。
拟牛顿法可以通过不同的更新策略来选择Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）方法或者DFP方法。
4. 全局优化方法：全局优化方法适用于非凸优化问题，它通过遍历搜索空间来寻找全局最优解。
全局优化方法包括遗传算法、粒子群优化等。
二、约束优化问题的求解方法约束优化问题的求解方法也有很多，下面介绍几种常见的方法：1. 等式约束问题的拉格朗日乘子法：等式约束问题可以通过引入拉格朗日乘子来转化为无约束优化问题。
通过求解无约束优化问题的驻点，求得原始约束优化问题的解。
2. 不等式约束问题的罚函数法：不等式约束问题可以通过引入罚函数来转化为无约束优化问题。
罚函数法通过将违反约束条件的点处添加罚项，将约束优化问题转化为无约束问题。
3. 逐次二次规划法：逐次二次规划法是一种常用的求解约束优化问题的方法。
该方法通过依次处理逐个约束来逼近最优解，每次处理都会得到一个更小的问题，直至满足所有约束条件。
4. 内点法：内点法是一种有效的求解约束优化问题的方法。
该方法通过向可行域内部逼近，在整个迭代过程中都保持在可行域内部，从而避免了外点法需要不断向可行域逼近的过程。
带约束的非线性优化问题解法小结
(1)带约束的非线性优化问题解法小结考虑形式如下的非线性最优化问题(NLP):min f(x)「g j (x )“ jI st 彳 g j (x)=O j L其 中， ^(x 1,x 2...x n )^ R n， f : R n > R ， g j :R n > R(j I L) ， I 二｛1,2,…m ｝， L ={m 1,m 2...m p}。
上述问题(1)是非线性约束优化问题的最一般模型，它在军事、经济、工程、管理以 及生产工程自动化等方面都有重要的作用。
非线性规划作为一个独立的学科是在上世纪 50年 代才开始形成的。
到70年代，这门学科开始处于兴旺发展时期。
在国际上，这方面的专门性 研究机构、刊物以及书籍犹如雨后春笋般地出现，国际会议召开的次数大大增加。
在我国， 随着电子计算机日益广泛地应用，非线性规划的理论和方法也逐渐地引起很多部门的重视。
关于非线性规划理论和应用方面的学术交流活动也日益频繁，我国的科学工作者在这一领域 也取得了可喜的成绩。
到目前为止，还没有特别有效的方法直接得到最优解，人们普遍采用迭代的方法求解： 首先选择一个初始点，利用当前迭代点的或已产生的迭代点的信息，产生下一个迭代点，一 步一步逼近最优解，进而得到一个迭代点列，这样便构成求解( 1)的迭代算法。
利用间接法求解最优化问题的途径一般有：一是利用目标函数和约束条件构造增广目标 函数，借此将约束最优化问题转化为无约束最优化问题，然后利用求解无约束最优化问题的 方法间接求解新目标函数的局部最优解或稳定点，如人们所熟悉的惩罚函数法和乘子法；另 一种途径是在可行域内使目标函数下降的迭代点法，如可行点法。
此外，近些年来形成的序 列二次规划算法和信赖域法也引起了人们极大的关注。
在文献［1］中，提出了很多解决非线性 规划的算法。
下面将这些算法以及近年来在此基础上改进的算法简单介绍一下。
1. 序列二次规划法序列二次规划法，简称SQ 方法.亦称约束变尺度法。
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(1)带约束的非线性优化问题解法小结考虑形式如下的非线性最优化问题(NLP):min f(x)「g j (x )“ jI st 彳 g j (x)=O j L其 中， ^(x 1,x 2...x n )^ R n， f : R n > R ， g j :R n > R(j I L) ， I 二｛1,2,…m ｝， L ={m 1,m 2...m p}。
上述问题(1)是非线性约束优化问题的最一般模型，它在军事、经济、工程、管理以 及生产工程自动化等方面都有重要的作用。
非线性规划作为一个独立的学科是在上世纪 50年 代才开始形成的。
到70年代，这门学科开始处于兴旺发展时期。
在国际上，这方面的专门性 研究机构、刊物以及书籍犹如雨后春笋般地出现，国际会议召开的次数大大增加。
在我国， 随着电子计算机日益广泛地应用，非线性规划的理论和方法也逐渐地引起很多部门的重视。
关于非线性规划理论和应用方面的学术交流活动也日益频繁，我国的科学工作者在这一领域 也取得了可喜的成绩。
到目前为止，还没有特别有效的方法直接得到最优解，人们普遍采用迭代的方法求解： 首先选择一个初始点，利用当前迭代点的或已产生的迭代点的信息，产生下一个迭代点，一 步一步逼近最优解，进而得到一个迭代点列，这样便构成求解( 1)的迭代算法。
利用间接法求解最优化问题的途径一般有：一是利用目标函数和约束条件构造增广目标 函数，借此将约束最优化问题转化为无约束最优化问题，然后利用求解无约束最优化问题的 方法间接求解新目标函数的局部最优解或稳定点，如人们所熟悉的惩罚函数法和乘子法；另 一种途径是在可行域内使目标函数下降的迭代点法，如可行点法。
此外，近些年来形成的序 列二次规划算法和信赖域法也引起了人们极大的关注。
在文献［1］中，提出了很多解决非线性 规划的算法。
下面将这些算法以及近年来在此基础上改进的算法简单介绍一下。
1. 序列二次规划法序列二次规划法，简称SQ 方法.亦称约束变尺度法。
这类方法最早从1963年 Wilson 的研 究开始，70年代由Har 与Powell 做了奠基性的工作，经过二十几年的发展，目前已形成了一个 理论上比较完整，计算上可行的WE 方法。
它是目前公认的求解约束非线性优化问题的最有效 方法之一，得到广泛的重视及应用。
但这种方法也有其不足之处，即其迭代过程中的每一步 都需要求解一个或多个二次规划的子问题。
一般地，由于二次子规划的求解难以利用原问题 的稀疏性、对称性等良好特性，随着问题规模的扩大，其计算工作量和所需存贮量是非常大 的。
因此，目前的序列二次规划方法一般只适用于中小型问题。
另外，由于大型二次规划问 题的求解通常使用迭代法，所需解的精度越高，花费的时间就越多，稳定性也越差，相对线 性方程组的求解理论来说，二次规划的求解方法是不完善的，这就严重影响了序列二次规划 算法的效率。
针对上述问题，近年来国际上，特别是国内部分研究工作者［2,3,4,5,6］开展了序列线性 方程组(Seque ntial Systems of Lin ear Equatio ns ，简记SSLE)算法的研究，试图用若干同 系数线性方程组代替二次子规划以求得迭代方向，在保证与序列二次规划算法具有相同收敛 性质的情况下，大大减少了每步的计算工作量，提高算法的稳定性。
从目前己有结果来看， 该类算法是有效的，具有很大的潜力，值得开展进一步的研究工作。
下面分别就问题(1)的SQP算法和SSL 算法作一介绍1.1 . SQ 算法在国内外研究学者的共同努力下，SQ 算法的研究工作已经十分丰富，大量文献不断问世，不少成果[7,8,9,10,11]相继出现。
它的一个重要优点就是：如果沿着二次规划子问题的解方 向搜索最终能得到步长为1，那么算法就是超线性收敛的.下面给出一般的SQ 算法的基本步骤[1] .步一：给定初始点x o • R n，选取正定矩阵B o ,令k = 0. 步三：令X k %二兀“d k (九-0).步四：修正B k ，使B k d 正定，令^k 1，返回步三.1.2. SSLE 算法SSL 算法是近年来发展起来的新算法，该算法的基本思想是 ：将序列二次规划方法中的一个或多个二次子规划用一个或多个线性方程组来取代，在保持算法具有快速收敛性质的同 时，能充分利用求解线性方程组的一些优点，寻求一些求解非线性最优化问题的新算法。
此 类算法每一步迭代只需求解几个系数矩阵相同的线性方程组，即只需做一次 LU 分解，因此每 一次迭代的计算量要比现有的SQ 算法少得多.数值实验表明，该算法具有迭代时间少，存贮 量小，数值稳定且收敛速度快等优点，特别对大规模非线性规划问题的求解较为有效[12] o 在 与实际相关的许多优化问题中，通常要求算法每一次迭代产生的点都是可行点[13,2,14,15]， 而一般来说，SQ 算法产生的点是不可行的，因此SSLEf 法对于求解这类实际问题更具有重要 意义。
由于SSLEf 法是近年来发展起来的新算法，与SQ 算法最新成果相比还有许多工作有待 进一步研究.2. 信赖域算法信赖域方法是一类很新的方法，它和线搜索法并列为目前求解非线性规划问题的两类主 要数值方法.信赖域方法思想新颖，算法可靠，具有很强的收敛性 [16][17][18]. 它不仅能很 快地解决良态问题，而且也能有效地求解病态 (ill-conditioned) 的优化问题.因而对信赖域 方法的研究是近二十年来非线性规划领域的一个重要的研究方向，是当今寻求如何构造新的 优化计算方法的主要途径.信赖域方法的研究起源于Powell 1970年的工作[19]，信赖域的大小是通过迭代逐步调节 的.一般来说，如果在当前迭代模型较好地通近原问题， 则信核城可扩大，否则信赖域应缩小. 1982年,国际著名优化专家R.Fletcher 提出了用信赖域法求解复合非光滑优化问题[20].1986 年，袁亚湘和Powell 合作，构造了利用R.Flet.che ：光滑罚函数[18]作为价值函数的信赖域方 法[21].这是第一个利用光滑价值函数的信赖域方法.1991年，袁亚湘和J.Nocedal 合作，首创 性地提出了用信赖域方法和传统的线搜索方法相结合来构造新的计算方法，并依次给出了一 个利用信赖域以及回溯(back-tracking) 技巧的求解无约束优化的算法[22].这是综合了两大类方法之优点的一个大胆试探.另外，他在1993年还提出了利用L_精确罚函数处理约束优化的 信赖域方法[23].数学工作者们还提出了另外几种类型的方法，比如 ：曲线搜索信赖域算法min 步二:求解子规划Q(X k ,Bj(即sti f (x k )T d -d TB k d 2 g j (xQ '、g j (xQ T d 乞0, j I )，得到d k . g j (xj i g j (xQ Td =0, j • L[24]，即它在信赖域范围内采用曲线路径搜索下一个迭代点而得到具有整体收敛性的算法 ； 自适应的信赖域算法[25][26][27]，即每次迭代时都充分利用当前迭代点的信息自动产生一 个恰当的信赖域半径，在此区域内，二次模型与目标函数尽可能一致，从而避免了盲目的搜 索尝试，提高了计算效率•目前,已有学者将具有并行性能的遗传算法(GA)用于求信赖域子问 题的解，并建立起一种具有全局随机搜索性能的信赖域遗传算法 [28].下面给出信赖域算法的 一般步骤[29]:Stepl.初始化选取初始点x n ，对称阵B o R n ，最大信赖域半径二0 ；取初始信赖域半径二0 • (0,二)，容许误差；_0,参数 "0,1/ 4)；置k = 0。
Step2.收敛性检验若|八广12—，则x k为近似最优解，算法停止；否则，求解 k T1 T 捫叫(df+^fk 门+尹恥(*)，得到可能的移动量d k ，在求解(*)时，采用 i S.t ||d ||^A k 一种基于共轭梯度法的算法，即 Steilhaug.1) .初始化：取初始最优解d 0 = 0, g 0，初始搜索方向为r 0二-g 0，容许误差M 0， 置 k = 0。
2) .收敛性检验：若||g k 卜：；1，则取近似解d =d k ，算法停止；若||r k |B = (r k )T Br k乞0, 则沿着直线d =d k 十订k求解(*)，得到一个满足||d ||2 = A 的近似解，算法停止；其他情形下， 令:k =||g k |2/||r k ||B ，d k1 =d k ：k 「k ，若 ||d k『2」，则寻找步长 -0,使得 ||d k r k ||2 八， 并且令近似解d =d^ r k ，算法停止；否则，转3)。
3).迭代改进：令g k 1二g k * k Br k ，若|| g k 1|2 ； ||g 0 ||，则近似解d = d k1，算法停止;k1=-g k1「k r k，置 k 1 > k ，转 2）。
= f(x k )- f(x k d k ) = m k (0) -m k (d k)得到下降量比率。
令新的迭代点和信 匚=ARed k / PRed kStep4.校正矩阵 令f k 1f (x k 1)，通过修正矩阵 3. 约束优化问题的可行算法否则，令 \ =||g k 1|£/||g k |2，r Step3.迭代改进"实际下降量 根据丿预期下降量下降量比率 ARed k PRed k 赖域半径分别为x k1 x k+d kx if 4 if'k ; kj ||d ||/4, 和也k 十=* min{2也k ,》}, △if if ，k ：：1/4 3/4,||d k |F *。
else B k ，得到新的对称矩阵B k 1 ；置k k ，转Step2.在求解约束优化问题的算法中，可行算法是比较重要的一种。
它的迭代过程是从一个可行点迭代到另一个可行点。
这样的迭代过程一般通过两种策略来实现：由当前可行点产生可行下降方向，求步长，产生下一个可行点，即Zoutendijk可行方向法；还有一种是由当前可行点产生一个中间点，然后通过某种渠道得到一个新的可行点，即投影梯度算法。
3.1. Zoute ndijk 可行方向法Wolfe(1972)用实例说明了对于带线性约束的凸规划问题，Zoutendijk可行方向法产生的迭代点列不一定收敛到最优值点处，为从理论上证明Zoutendijk可行方向法的收敛性，Topkis 和Veinott(1967)对Zoutendijk可行方向法进行修正：在每一步迭代，将所有的约束都考虑进去。
得到了如下的Topkis-Veinott可行方向法来求解(1)。