著名机构初中数学培优讲义.二次根式的概念及性质.第02讲(A).教师版
初二数学经典讲义 二次根式(基础)知识讲解
《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2a =（0a ≥），如2221122););)33x x ===（0x ≥）. （2）2a a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 2a .（3a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（42的异同a可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；a，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a2.3. 最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1. 乘除法（1）乘除法法则： 类型 法则逆用法则二次根式的乘法0,0)a b =≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥≥二次根式的除法0,0)a b ≥>商的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥>要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如= （2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.≠. 2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22+-=+-=-. 【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1． 当________时，二次根式3x -在实数范围内有意义. 【答案】x ≥3.【解析】根据二次根式的性质，必须3x -≥0才有意义.【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a ≥时a 才是二次根式. 举一反三【高清课堂：二次根式 高清ID 号：388065 关联的位置名称：填空题5】 【变式】①242x x =-成立的条件是 . ②2233x x x x--=--成立的条件是 . 【答案】① x ≤0；(2422x x x x ==-∴≤0.)② 2≤3x <.(20,30,x x -->∴≥2≤3x <)2．当0≤x <1时，化简21x x +-的结果是__________.【答案】 1.【解析】因为x ≥0，所以2x =x ；又因为x <1,即x -1<0,所以1(1)1x x x -=--=-，所以21x x +-=x +1-x =1.【总结升华】利用二次根式的性质化简二次根式，即2a =a ，同时联系绝对值的意义正确解答. 举一反三【变式】已知0a <，化简二次根式3a b -的正确结果是（ ）.A.a ab --B. a ab -C. a abD.a ab -【答案】A.3.下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）.1448ab44a +【答案】A.【解析】选项B ：48=43；选项C ：有分母；选项D ：44a +=21a +，所以选A. 【总结升华】本题考查了最简二次根式的定义.最简二次根式要满足：（1）被开方数是整数或是整式；（2）被开方数中不含能开方的因式或因数. 类型二、二次根式的运算4．下列计算错误的是（ ）.A. 14772⨯=B. 60523÷=C. 9258a a a +=D. 3223-= 【答案】 D.【解析】选项A ： 14714727772⨯=⨯=⨯⨯= 故正确；选项B ：605605123423÷=÷==⨯=，故正确；选项C925358a a a a a +=+=故正确；选项D ：32222-= 故错误.【总结升华】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，属于基础性考题. 举一反三 【变式】计算：48(54453)833-+⨯ 【答案】243610-.5.化简20102011(32)(32)⋅. 【答案与解析】201020102010=(32)32)(32)(32)32)32)132)3 2.⋅⋅⎡⎤=⋅⋅⎣⎦=⋅=原式【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是一道综合运算题型.6 已知2231,12x x x x=-+求.【答案与解析】2231,1=30,(1)1313331=3x x x xx x x =+∴->∴=--++==原式当时，原式【总结升华】 化简求值时要注意x 的取值范围，如果未确定要注意分类讨论. 举一反三【高清课堂:二次根式 高清ID 号：388065关联的位置名称：计算技巧6-7】 【变式】已知a b +=-3, ab =1,求ab b a +的值. 【答案】∵a b +=-3,ab =1，∴<0a ,<0b11+==-(+)=-=3--ab ab a bb a b a ab∴+原式.。
二次根式及其性质课件
1 •下列式子一定是二次根式的是( C )
知1－练
2 •(中考·武汉)若代数式 C
•则x的取值范围是( )
在实数范围内有意义，
•A．x≥－2 B．x>－2 C．x≥2 D．x≤2
知识点 2 二次根式的性质
知2－导
做一做
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
4 9 ____, 4 9 _____; 4 _____, 4 _____;
•
的根指数为2，所以
是二次根式．
• (7)是．理由：因为|x|≥0，且 根式．
的根指数为2，所以
是二次
总结
知1－讲
二次根式是在初始的外在情势上定义的，不能从化 简结果上判断，如 是二次根式. 像 （a≥0）这样的式子只能称为含有二次根式 的式子，不能称为二次根式.
知1－讲
• 例2 当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意 义？
知识点 1 二次根式的定义
知1－讲
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式． 其中a为整式或分式，a叫做被开方式． 特点：①都是形如 a 的式子，
②a都是非负数.
例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
知1－讲
导引： 判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根
式定义的条件，紧扣定义进行辨认．
知3－练
1 (中考·淮安)下列式子为最简二次根式的是( A )
2 在下列根式中，不是最简二次根式的是( D )
1. 当a≥0时， 2. 当a≥0时， •3.
完成教材P43,习题T1-T4
谢谢！
知2－讲
知识点
商的算术平方根再探索 (1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法
二次根式的认识
二次根式的认识在数学中，二次根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数。
二次根式是数学中的一个重要概念，它在解方程、计算和几何等领域中具有广泛的应用。
本文将深入探讨二次根式的定义、性质和应用，帮助读者更好地认识和理解二次根式。
一、二次根式的定义二次根式的定义相对简单，就是非负实数的平方根。
其表示形式为√a，其中a ≥ 0，并且√表示根号符号。
例如，√4 = 2，因为2的平方等于4。
同样地，√9 = 3，因为3的平方等于9。
在这些例子中，4和9都是非负实数。
二、二次根式的性质二次根式具有以下几个重要的性质：1. 二次根式的运算规则：二次根式具有与平方根相似的运算规则。
例如，√a * √b = √(ab)，√a / √b = √(a/b)。
这些运算规则在化简和计算二次根式时非常有用。
2. 二次根式的化简：有时，二次根式可以通过化简来简化其表达形式。
例如，√9 = 3，因为9是一个完全平方数。
类似地，√16 = 4，√25 = 5。
通过将二次根式转化为它们的平方形式，可以使计算更加方便。
3. 二次根式的加减运算：对于相同根的二次根式，可以进行加减运算。
例如，√2 + √2 =2√2，√3 - √3 = 0。
注意，根号下的数字必须相同才能进行此类运算。
4. 二次根式的大小比较：对于非负实数a和b，如果a < b，则√a <√b。
这意味着二次根式的大小顺序与根号下的数字的大小顺序相同。
三、二次根式的应用二次根式在数学中有广泛的应用，下面列举几个常见的应用场景：1. 解方程：二次根式可以用于解关于二次根式的方程。
例如，方程√(x+2) = 4的解为x = 18。
2. 几何问题：二次根式可以用于计算几何图形的边长、面积和体积。
例如，在计算正方形的对角线长、圆的半径和球的体积时，常常会涉及到二次根式的计算。
3. 物理学中的运动问题：二次根式可以用于描述自由落体运动、弹射运动等物理过程中的速度、加速度和位移等量。
二次根式辅导讲义
二次根式一、知识梳理1、二次根式的概念和性质二次根式的定义：形如a （0a ≥）的式子叫做二次根式.注意点：（1）被开方数是正数或0；（2）二次根式a （0a ≥）表示非负数a 的算术平方根.二次根式的性质：（1）二次根式的非负性：0a ≥；（2）2()(0)a a a =≥；（3）2(0)(0)(0)a a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（4）当0a ≥时，22()a a =.2、最简二次根式最简二次根式最简二次根式的定义：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开 得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．最简二次根式的满足条件：（1）被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含二次根式．说明：二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．3、二次根式的加减同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式．二次根式的加减同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次 根式．合并同类二次根式：()a x b x a b x +=+，同类二次根式才可加减合并．分母有理化分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化．互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．a b+与a b-互为有理化因式；分式有理化时，一定要保证有理化因式不为0．4、二次根式综合运算二次根式的综合运算法则：先算乘除法，再算加减法，有括号的先算括号里面的，最终结果二次根式部分要化为最简二次根式．注意：在二次根式的计算题中，如果题目中没有明确说明字母的取值范围，按照字母使二次根式有意义计算．5、二次根式化简求值二次根式的化简求值：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减乘除运算，化为较为简单的一个式子（或直接得出结果），最后代入未知数的值求解，有时候也会存在整体代入的情况．注意：对于二次根式的化简求值如果字母没有明确说明取值范围，必须要进行分类讨论．6、根式的大小比较比较大小的方法1．作差法:比较a、b的大小，0,0,0,a b a b a ba b>>⎧⎪-==⎨⎪<<⎩2．作商法：比较a、b的大小，当0,0a b>>时，可以采用作商法，1,1,1,a b aa b ba b>>⎧⎪==⎨⎪<<⎩二次根式比较大小的方法（1）0a b a b>>⇔>（2）二次根式比较大小：能直接比较大小的直接比较；不能直接比较大小的，先平方再比较．（3）估算法（4）分子有理化（5）倒数法7、二次根式的乘除二次根式的乘除法二次根式的乘法法则：a b ab⋅=（0a≥，0b≥）．二次根式的除法法则：a abb=（0a≥，0b>）．说明：利用乘除法则时注意a、b的取值范围，对于ab a b=⋅，a、b都非负，否则不成立．二、典型例题题型一、二次根式的概念和性质例1： 函数1x y x =-中自变量x 的取值范围是（ ） A ．1x ≥B ．1x <且0x ≠C ．1x >D ．1x ≥且0x ≠【答案】C【解析】该题考查的是函数的定义域．根式下的式子在非负条件下有意义，分数在分母不为0的条件下有意义，综上所述，10x -≥，且10x -≠，∴1x >，故本题答案为C ．例2： 若320-+-=x y ，则xy 的值为____.A ．8B ．6C ．5D ．9【答案】A【解析】该题考查的是的非负性．根据题意得：3020x y -=⎧⎨-=⎩解得：32x y =⎧⎨=⎩∴32x y =，故选A ．变式： 已知：()322512012x x y x -+-=+--，求x y 的值. 【答案】25【解析】该题考查的是二次根式的性质．∵()322512012x xy x -+-=+--有意义∴()32020120120x x x ⎧-≥⎪⎪-≥⎨⎪--≠⎪⎩所以2x =，055y =+=∴2525x y ==题型二、最简二次根式例1、下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A ．22xB ．0.5C ．22x y +D ．1x 【答案】C【解析】该题考查最简二次根式．A 、x x 222=被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；故本选项错误； B 、120.522==，被开方数含分母，不是最简二次根式；故本选项错误； C 、22x y +满足最简二次根式的定义，是最简二次根式；D 、1x x x=，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 故选C ．例2、若最简二次根式2342a +与22613a -是同类二次根式，则a =_________【答案】1±【解析】该题考查的是二次根式．满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据题意可列：22461a a +=-解得：1a =±变式、若2，m ，4为三角形三边，化简：()()2226m m -+-＝____________．【答案】4【解析】该题考查的是根式的化简求值．∵2，m ，4为三角形三边，可知包括如下关系：①24m +>，即6m <②24m +>，即2m >∴原式264m m =-+-=题型三、二次根式的加减例1、计算124183-⨯=__________．【答案】6【解析】该题考查的是二次根式的计算．原式346923=⨯-⨯⨯326323=-⨯ 2666=-=例2、111115533131317+++=++++____.【答案】1714-【解析】该题考查根式的分母有理化．11115135133171317144444155********-----+++=+++=++++ 故答案为1714-． 变式、已知32x =+，32y =-，则33_________x y xy +=.【答案】10【解析】因为32x =+，32y =-，所以()()32321xy =+-=，()()323223x y +=++-=，所以()()()22332221232110x y xy xy x y xy x y xy ⎡⎤⎡⎤+=+=+-=⨯-⨯=⎢⎥⎣⎦⎣⎦题型四、二次根式综合运算例1、化简：2244112a a a a -+--+（112a ≤≤）【答案】32a -【解析】()()222244112211211a a a a a a a a -+--+---=---，因为112a ≤≤，所以原式21121132a a a a a =---=-+-=-例2、若352x y +=-，325x y -=-，求xy ．【答案】52-【解析】2()352x y +=-；2()325x y -=-∴22()()352(325)5244x y x y xy +-----===-变式、化简22691025a a a a +++-+【答案】当3a <-时，原式=22a -+；当35a -≤<时，原式=8；当5a ≥时，原式=22a -；【解析】()()22226910253535a a a a a a a a +++-+=++-=++-，当3a <-时，原式353522a a a a a =++-=---+=-+；当35a -≤<时，原式35358a a a a =++-=+-+=；当5a ≥时，原式353522a a a a a =++-=++-=-题型五、二次根式化简求值例1、化简：()221269x x x -+-+=____【答案】43x -【解析】该题考查根式的化简．()()2221269123x x x x x -+-+=-+-∵由题得120x -≥，12x ≤∴()2333x x x -=-=-．∴原式12343x x x =-+-=-．故答案为43x -．例2、化简：108322++．【答案】42+【解析】22108322108(12)108(12)1882(42)42++=++=++=+=+=+变式、化简：（1）412-（2）415+【答案】（1）31-（2）1062+【解析】（1）()24124233131-=-=-=- （2）221064158215(53)222++=+=+=题型六、根式的大小比较例1、比较大小：512-_______12．（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】>【解析】该题考查的是二次根式比大小．5115115254022222------===>，即511022-->， 即51122->． 例2、设120082006,2007A B =-=，比较大小：A ____B ．【答案】A B >【解析】222008200620082006A ==+-，22220072007B ==；2008200622007+< ∴22A B< ∴A B >变式、已知21a =-，226b =-，62c =-，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c b a <<【答案】B【解析】()()221,223,2322a b c ⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭2222(231)2(13)(2223)0222b a -=--+=-+=+->，b a > 2222(132)2(13)(2223)0222a c -=--+=-+=+->,a c >b ac >>题型七、二次根式的乘除例1、下列计算正确的是（ ）A ．235⋅=B ．236⋅=C ．84=D ．2(3)3-=-【答案】B【解析】根据二次根式的乘法运算法则，可得236⋅=，故答案为B 选项．例2、下列计算结果正确的是（ ）A ．257+=B ．2510⨯=C ．3223-=D ．25105=【答案】B【解析】该题考查的是二次根式计算．A 选项2与5不是同类项，不能合并，故本选项错误；B 选项252510⨯=⨯=，故本选项正确；C 选项32222-=，故本选项错误；D 选项21055=，故本选项错误． 故答案是B ．变式、已知：4322232b a a =-+-+，求11a b +的平方根．【答案】2±【解析】该题考查的是二次根式．4322232b a a =-+-+，根据被开方数的非负性我们知道320230a a -≥⎧⎨-≥⎩，所以23a =， 代入得43222322b a a =-+-+=，所以1131222a b +=+=，平方根为2±三、课堂巩固1、函数11y x =-中自变量的取值范围是（ B ）A ．1x ≠B ．1x >C ．1x ≥D ．1x ≥-2、对于所有实数,a b ，下列等式总能成立的是（ C ）A ．()2a b a b +=+B ．22a b a b +=+C ．()22222a b a b +=+ D ．()2a b a b +=+ 3、函数12y x =+中，自变量x 的取值范围是2->x 4、实数P 在数轴上的位置如图所示，化简()()2223p p -+-=15、计算：=⨯121726，=--)84)(213(24， =⨯-03.027.02-0.18，=÷-327348-5.6、化简：()221269x x x -+-+=x 34-.7、设120082006,2007A B =-=，比较大小：A >B ． 8、已知: 21x =-，求223x x +-的值．()()()()2222231322-=-+=+-=-+x x x x 9、已知：,x y 为实数，且113y x x <-+-+，化简：23816y y y ---+． 1=x 3<y 原式=()1-4343=---=---y y y y1 2 3 4 p课后作业1、函数2x y x-=中，自变量x 的取值范围是（ A ） A ．2x ≤且0x ≠B ．2x ≤C ．2x <且0x ≠D ．0x ≠2、若()424A a =+，则A =（ A ） A ．24a +B ．22a +C ．()222a + D ．()224a + 3、若2(2)10m n ++-= 则m n -= -3 ．4、在下列二次根式22211025312232322a a a a b m x a b x a b +-++，，，，，，，，，，中，最简二次根式有6个．5、若最简二次根式35a -与3a +是同类二次根式，则a =___4___.6、若231604b a a +-+=-，则3223a b a b +=-___-18___.7、比较大小：512-___>___12．（填“>”、“<”或“=”）． 8、计算：01186(121)221+---- 原式=01232212=--++9、化简：（1）412-原式=()13132-=- （2）415+221064158215(53)222++=+=+=。
二次根式的概念与性质
二次根式的概念与性质二次根式是数学中一个重要的概念，它在代数学和几何学中都有广泛的应用。
本文将介绍二次根式的概念、计算方法以及其性质。
通过对二次根式的深入理解，读者将能够更好地应用它解决实际问题。
一、二次根式的概念在代数学中，二次根式是指一个被平方的数的根。
普遍形式下，二次根式可以表示为√a，其中a为一个非负实数。
二次根式可以分为有理二次根式和无理二次根式两类。
当a为有理数的平方时，二次根式是一个有理数；当a为无理数的平方时，二次根式是一个无理数。
二、二次根式的计算计算二次根式时，可以运用以下几种常见方法：1. 提取因式法当二次根式的被开方数具有完全平方因式时，可以利用提取因式法进行计算。
例如：√16 = √(4×4) = 42. 合并同类项法当二次根式的被开方数可以分解为多个相同的完全平方数时，可以利用合并同类项法进行计算。
例如：√12 = √(4×3) = 2√33. 分解因式法当二次根式的被开方数不能直接提取完全平方因式时，可以利用分解因式法进行计算。
例如：√20 = √(4×5) = √4×√5 = 2√5三、二次根式的性质二次根式具有以下几个性质：1. 乘法性质：对于任意非负实数a和b，有√(ab) = √a × √b。
2. 除法性质：对于任意非负实数a和b（b≠0），有√(a/b) = √a / √b。
3. 加法性质：对于任意非负实数a和b，如果√a和√b是二次根式，且它们的被开方数和指数相等，那么√a + √b也是一个二次根式。
例如：√2 + √2 = 2√24. 减法性质：对于任意非负实数a和b，如果√a和√b是二次根式，且它们的被开方数和指数相等，那么√a - √b也是一个二次根式。
例如：√5 - √25. 乘方性质：对于任意非负实数a和整数n（n为奇数），有（√a）^n = a^(n/2)。
例如：（√2）^3 = 2^（3/2）= 2√2四、应用举例二次根式在几何学中有广泛的应用。
普陀秋季最好的初中补习班 新王牌 二次根式的概念和性质讲解
a2 a
ab a b （a≥0，b≥0）
a a （a≥0，b>0） b b
3.最简二次根式，同类二次根式，有理化因式，分母有理化 最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式:（1）被开方数的因数是整数，因式是整式; （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 同类二次根式 有理化因式 分母有理化 几个二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,这几个二次根式叫同类二次根式 两个含有二次根式代数式相乘,若它们的积不含二次根式,这两个代数式互为有理化因式 通过适当的变形化去代数式分母中根号的运算;在根式运算和把一个根式化成最简分式 时，都要将分母有理化.
（D）x≤1 ）
2． （江苏镇江常州）若 x 2 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围（ （A）x≥2 （B）x≤2 （C）x＞2
（D）x＜2 ） （D）
3． （四川凉山）已知 y 2x 5 5 2x 3 ，则 2 xy 的值为（ （A） 15 （B） 15 （C）
15 2
x2 9 9 x2 2 ，求 5x 6 y 的值. x3
4．若 m 适合关系式 3x 5 y 2 m 2x 3 y m
x 199 y 199 x y ，求 m 的值．
-6-
唐 L 老师
初二数学
☆ Round 4 ☆ 课后百科
1．人有我大，天没有我大。 （打一字）
2．上在下，下在上，卡在中间。 （打一字）
3．天有地没有，工有农没有。 （打一字）
4．增白皂。 （打一字）
5．保留一半，放弃一半。 （打一字）
6．加一倍不少，加一横不好。 （打一字）
7．左边加一是一千，右边减一是一千。 （打一字）
二次根式的概念
二次根式的概念二次根式是数学中重要的概念之一，它涉及到平方根的运算和性质。
在本文中，我们将详细介绍二次根式的定义、性质以及在实际问题中的应用。
1. 定义二次根式是指形如√a的数，其中a为非负实数。
√a表示a的平方根，即一个数的平方等于a。
例如，√9等于3，因为3的平方等于9。
2. 性质（1）对于任意非负实数a和b，有以下性质：a) √a * √b = √(a * b)b) √(a / b) = √a / √bc) (√a)^2 = a（2）二次根式与有理数的关系：a) 如果a是一个完全平方数，即a = b^2，其中b为有理数，则√a是一个有理数。
b) 如果a不是一个完全平方数，则√a是一个无理数。
（3）二次根式的化简：a) 如果a可以因式分解为完全平方数的乘积，则可以将二次根式化简为一个有理数。
b) 如果a不可因式分解为完全平方数的乘积，则二次根式无法化简。
3. 应用二次根式在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：（1）几何问题：二次根式可以用于计算直角三角形的斜边长度。
例如，在一个边长为a的正方形中，对角线的长度可以表示为√(2a^2)。
（2）物理问题：二次根式可以用于计算物体的速度、加速度等。
例如，在自由落体运动中，物体下落的距离可以表示为h = 1/2 * g * t^2，其中h为下落距离，g为重力加速度，t为时间。
（3）金融问题：二次根式可以用于计算利息、久期等金融指标。
例如，复利计算公式中涉及到年利率的开平方运算。
总结：二次根式作为数学的一个重要概念，涉及到平方根的运算和性质。
通过了解二次根式的定义和性质，我们可以更好地理解和应用它们。
在几何、物理、金融等实际问题中，二次根式都有广泛的应用，帮助我们解决复杂的计算和分析。
因此，对于二次根式的学习和掌握是数学学习的关键之一。
以上是对二次根式概念的详细介绍，希望对您有所帮助。
通过深入学习和练习，相信您会更加熟练地运用二次根式，并在解决实际问题中发挥其重要作用。
《二次根式课件》公开课课件
二次根式的历史与文化背景
01
二次根式的起源
二次根式最初起源于古希腊数学家毕达哥拉斯学派，他们研究了直角三
角形的边长关系，发现了直角三角形的勾股定理。
02 03
二次根式的发展历程
随着数学的发展，二次根式在各个历史时期都得到了广泛的应用和研究 。特别是在文艺复兴时期，数学家们开始系统地研究二次根式的性质和 运算方法。
二次根式的性质
总结词
二次根式具有非负性、算术平方根的单调性、算术平方根的取值范围等性质。
详细描述
二次根式的被开方数是非负数，因此二次根式本身也是非负数。此外，算术平 方根具有单调性，即随着被开方数的增大，其平方根也单调增大。最后，算术 平方根的取值范围是非负实数。
二次根式的化简
总结词
化简二次根式的方法包括因式分解、配方法、直接开平方法 和分母有理化等。
二次根式在代数式变形中的应用
总结词
简化表达式
详细描述
二次根式在代数式变形中有着重要的应用，它可以简化复杂的代数表达式。通过利用二 次根式的性质和运算法则，可以将复杂的代数表达式化简为更简单的形式，方便后续的
运算和分析。
二次根式在代数式变形中的应用
总结词：因式分解
详细描述：在代数式变形中，二次根式还可以用于因式分解 。通过提取公因式和利用二次根式的性质，可以将多项式进 行因式分解，从而更好地理解和分析代数式的结构。
详细描述
化简二次根式是数学中常见的代数运算之一。通过因式分解 或配方法，将二次根式化为最简形式。如果被开方数是多项 式，则可以使用直接开平方法或分母有理化进行化简。化简 后的二次根式更易于计算和运用。02 二次 Nhomakorabea式的运算
二次根式的加减法
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内容 基本要求略高要求较高要求二次根式的化简和运算 理解二次根式的加、减、乘、除运算法则 会进行二次根式的化简，会进行二次根式的混合运算（不要求分母有理化）1. 二次根式a (0)a ≥的内涵，a (0)a ≥是一个非负数；2()a a =(0)a ≥；2a a =(0)a ≥•及其运用．2. 二次根式乘除法的规定及其运用．3. 二次根式的加减运算．无 穷 小 是 零 吗 ？ ── 第 二 次 数 学 危 机18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的．1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论．他指出："牛顿在求n x 的导数时，采取了先给x 以增量0，应用二项式(0)n x +，从中减去n x 以求得增量，并除以0以求出n x 的增量与x 的增量之比，然后又让0消逝，这样得出增量的最终比．这里牛顿做了违反矛盾律的手续──先设x 有增量，又令增量为零，也即假设x 没有增量．"他认为无穷小dx 既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，"dx 为逝去量的灵魂"．无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论．导致了数学史上的第二次数学危机．18世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠．其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等．中考要求重难点课前预习二次根式的概念及性质直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础．从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础．模块一 二次根式的概念及性质二次根式的概念：形如a （0a ≥）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．二次根式的基本性质：（1）0a ≥（0a ≥）双重非负性；（2）2()a a =（0a ≥）；（3）2 (0)(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．对二次根式定义的考察【例1】 判下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、4、33、1x、(0)x x >、0、42、1x y+、x y +（x ≥0，y ≥0）． 【难度】1星【解析】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．【答案】二次根式有：2、(0)x x >、0、x y +（x ≥0，y ≥0）；不是二次根式的有：4、33、1x、42、1x y+．【巩固】下列式子中，是二次根式的是（ ）． A ．7- B ．38 C ．x D ．x 【难度】1星 【解析】略【答案】A ．【例2】 当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？ 【难度】1星【解析】由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x -1≥0，•31x -才能有意义．【答案】x ≥13．【例3】 当x 是多少时，1231x x +++在实数范围内有意义？例题精讲【难度】2星 【解析】11x +在实数范围内有意义，2x+3≥0和11x +中的x+1≠0． 依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由2x +3≥0得：x ≥32-由x +1≠0 得：x ≠-1当x ≥32-且x ≠-111x +在实数范围内有意义【答案】x ≥32-且x ≠-1．有意义的未知数x 有（ ）个 ． A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数 【难度】1星【解析】利用二次根式和平方非负性解题． 【答案】B ．【巩固】某工厂要制作一批体积为13m 的产品包装盒，其高为0．2m ，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？ 【难度】1星【解析】注意在实际应用题中数据的非负性． 设底面边长为x ，则20.21x =，解答：x【例4】 解答下列题目（1） 已知6y =，求xy的值． 【难度】1星【解析】二次根式非负性的考察．由题可知3030x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得x =3，y =6，则x y =3162=【答案】12．（20，求20112011a b +的值．【难度】1星【解析】原式=20112011(1)1110-+=-+=． 【答案】0．【巩固】已知a 、b5b +，求a 、b 的值． 【难度】2星【解析】二次根式非负性的考察． 【答案】a =5，b =-5．【巩固】已知实数a 与非零实数x满足等式：222130x x ⎫⎛-++ ⎪⎝⎭【难度】3星【解析】非负性的考察．由题可知2213010x x a x x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩2x Q 2130x -+=，222221113,25,()5x x x x x x ∴+=++=+=．又Q 110,a x x a x x--=∴+=，a ∴=∴原式=2a -∴当a原式=a-2=2，当a=原式=a2．22．对二次根式性质的考察【例5】 计算（1）2 （2）2 （3）2( （4）2【难度】1星 【解析】略 【答案】（1）34；（2）36；（3）5；（4）34．【巩固】计算（1）2(0)x ≥ （2）2 （3）2 （4）2 【难度】1星 【解析】略【答案】（1）x +2；（2）2a ；（3）221a a ++；（4）24129x x -+．【例6】 在实数范围内分解下列因式:（1）25x - （2）44x - （3） 223x - 【难度】2星【解析】实数与有理数的区别:实数包含无理数．【答案】（1）(x x -+；（2）2(2)x x x +；（3）．【例7】 先化简再求值：当a=9时，求a 的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=(1)1a a a +=+-=；乙的解答为：原式=(1)2117a a a a ++-=-=．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．【难度】2星 【解析】略【答案】甲； 甲没有先判定1-a 是正数还是负数．【巩固】若-3≤x ≤2时，试化简2x - 【难度】2星0；2a = (0)(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩原式=23523510x x x x x x x -+++-=-+++-=-． 【答案】 10x -．【巩固】如果0a >，0ab< 【难度】2星 【解析】略0,0,0aa b b><∴<Q原式=414(1)413b a a b b a a b b a a b ----+=-++--+=-++-+-=．【答案】3．总结:（1）在做题中,在有取之范围的情况下,根式下的式子要满足大于等于0；同时特别注意其与分式的结合应用；（2）整个初中数学共学习了三个非负性：绝对值；偶次方（常以平方的形式出现）；根号．在中考题中经常以填空或选择的形式出现．模块二 二次根式的乘除运算（0a ≥，0b ≥）【例8】 =x ，y 必须满足条件 ． 【难度】1星 【解析】略【答案】0,0x y ≥≥．【例9】 化简：（1）＝______；（2＝______；（3______． 【难度】1星 【解析】略【答案】（1） 63； （2）0．3 （3）236a ．【例10】 如果)3(3-=-⋅x x x x ，那么（ ）． A ．0x ≥B ． 3x ≥C ．03x ≤≤D ． x 为任意实数【难度】1星 【解析】略 【答案】B ．【巩固】已知三角形一边长为cm 2，这条边上的高为cm 12，求该三角形的面积． 【难度】1星【解析】12s ==2cm ）．【例11】 把4324根号外的因式移进根号内，结果等于（ ）． A ．11-B ．11C ．44-D ．44【难度】1星 【解析】略【答案】D ．【巩固】把下列各式中根号外的因式移到根号里面：（1）;1aa -（2）⋅---11)1(y y 【难度】2星0)a ≥解题，在解题过程中要注意0a ≥的应用．（1）；（2）(y - 【答案】（1）（2）【例12】 先化简，再求值：((6)a a a a --，其中215+=a 【难度】1星【解析】在做题过程中，一定要注意先化简，再代入求值．原式223663a a a a =--+=-，把215+=a 代入得原式=16)32⨯-=．【答案】．【例13】 已知a ，b 为实数，且01)1(1=---+b b a ，求20112011a b -的值． 【难度】3星【解析】非负性的考察．(0,(b b -==-0,(00,10,101,1b b b b a ∴-≥≥∴-≥-≥∴=∴=-Q 又，原式=20112011(1)1112--=--=-．【答案】2-．【巩固】探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：===验证：=同理可得：=……通过上述探究你能猜测出： =_______（a >0），并验证你的结论．【难度】2星 【解析】略【答案】 验证：==总结：对于上题，在做题中要注意横向和纵向的对比，即式子本身及式子与式子自检的关系，以便找到规律．利用乘法法则时注意a 、b =，a 、b 都非负，否则不成立，≠=（0a ≥，0b >）【例14】 计算： （1）（1（3 （4【难度】1星=（0a ≥，0b >）便可直接得出答案（12===；（22===（32===；（4==【答案】 （1）2；（2）（3）2；（4a b =，的值． 【难度】3星【解析】乘法公式和除法公式的综合应用．10ab===． 【答案】10ab ．【例15】 已x 为偶数，求(1x +【难度】3星【解析】由题可知90,60,69x x x -≥->∴<≤x Q 为偶数，8x ∴=Q （1+x (1(1x x =+=+当x =8时，原式=2(1963+==⨯=． 【答案】6．( （m >0，n >0） 【难度】1星【解析】原式==22n n m m --=．【答案】总结：利用这除法法则时注意a 、b =（0a ≥，0b >），a 非负，b 必须大于０，否则不成立．模块三 最简二次根式：0a ≥）中的a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式．（1）被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式） （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 （3）分母中不含二次根式注意：二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．【例16】 把下列各式化成最简二次根式：（1______；（2______；（3______；（4______．【难度】1星 【解析】略【答案】（1）（2）（3）（4）【例17】 下列各式中是最简二次根式的是（ ）．A ．a 8B ．32-bC ．2yx - D ．y x 23【难度】1星 【解析】略【答案】B ．【巩固】把下列各式化成最简二次根式：（1 （2 （3 （4 【难度】1星 【解析】略【答案】（1（2；（3）ab （4．【例18】 计算：（1 （2） （3 【难度】1星 【解析】略【答案】（1）；（2）24；（3）分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化．互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．互为有理化因式，原理是平方差公式22()()a b a b a b +-=-；分式有理化时，一定要保证有理化因式不为0．【例19】的有理化因式是 ；y 的有理化因式是 ．的有理化因式是 ． 【难度】1星 【解析】略【答案】（1（2） y ； （3）．【例20】 把下列各式分母有理化：（1（22 （3（4【难度】1星【解析】（1==；（22==-；（31===；（4==【答案】（1；（2）-（31；（4【难度】1星 【解析】略【例21】【难度】2星【解析】原式=．【例22】 观察规律：32321,23231,12121-=+-=+-=+，……，求值． （1）7221+＝______；（2）10111+＝______；（3）n n ++11＝______． 【难度】1星【解析】略【答案】（1）（2；（3=_______． 【难度】2星【解析】原式123==-． 【答案】3-．模块四 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 合并同类二次根式：(a b =+．同类二次根式才可加减合并．【例23】 把有 ；的被开方数相同的有 ；的被开方数相同的有 ．【难度】1星【解析】略【答案】【例24】 若____a =．【难度】2星【解析】同类二次根式的考察依题意，得，3a -5=a +3 ，解得a =4 ．【答案】4．【例25】 化简后，与2的被开方数相同的二次根式是（ ）．A ．12B ．18C ．41D ．61 【难度】1星【解析】略【答案】 B ．【例26】 若n m 、n 的值． 【难度】2星【解析】依题意，得2223241012m m n ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩ ，2283m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，m n ⎧=±⎪⎨=⎪⎩所以m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或m n ⎧=-⎪⎨=⎪⎩m n ⎧=-⎪⎨=⎪⎩【答案】m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或m n ⎧=-⎪⎨=⎪⎩m n ⎧=-⎪⎨=⎪⎩【巩固】若a a ，b 的值．【难度】2星【解析】在做题过程中，要注意是否是最简二次根式， 此题注意到a【答案】11a b =⎧⎨=⎩．【巩固】已知最简根式a ，b 的值（ ）A ．不存在B ．有一组C ．有二组D ．多于二组【难度】1星【解析】略【答案】B ．【例27】 化简计算：（1（2）(a b -0a b >>)（3）- 【难度】2星【解析】略【答案】（1）3-（2（3．【练习1】下列各式中，一定是二次根式的是（ ）． A ．23- B ．2)3.0(- C ．2- D ．x 【难度】1星【解析】略【答案】B ．【练习2】已知33x +是二次根式，则x 应满足的条件是（ ）． A ． x ＞0 B ． x ≤0 C ． x ≥－3 D ． x ＞－3 【难度】2星【解析】注意分式与二次根式的结合．【答案】D ．【练习3】若m m 32-+有意义，则m ＝ ． 【难度】1星【解析】略【答案】0．【练习4】计算下列各式：（1） 2)23( （2）2)32(⨯ （3）2)53(⨯- （4）2)323( 【难度】1星【解析】略【答案】（1）18；（2）6；（3）15；（4）6．【练习5】计算下列各式，使得结果的分母中不含有二次根式：（1）3＝______；（2）24______；（3）322＝______；（4）6y ＝______． 【难度】1星【解析】略【答案】（1）3；（2）6；（3）6；（4）6x y ．【练习6】计算 222223333()22m n m n a a a m n -+-÷⨯- （a >0） 【难度】2星课堂检测【解析】原式22223()()332m n m n a a m n m n a -+=-⨯⨯⋅⋅+- 23222626a a a =-⨯-==- 【答案】6a -．1.通过本堂课你学会了 ．2.掌握的不太好的部分 ．3.老师点评：① ．② ． ③ ．1.当a ______时，23-a 有意义；当x______时，31-x 有意义． 当x ______时，x 1有意义；当x ______时，x 1的值为1． 【难度】1星【解析】略【答案】23a ≥；3x >；x >0；x =1．2.若b ＜0，化简5ab -的结果是______．【难度】1星【解析】略 【答案】原式2b ab =-．3.在9，112,,8,273中，与3是同类二次根式的是 ． 【难度】1星【解析】略【答案】112,,273． 总结复习课后作业4.若3xy m = ．【难度】2星【解析】依题意，得366224x y y y x y x y m +=+⎧⎪+=⎨⎪-=++⎩，解得244x y m =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，4m ∴=．【答案】4．5.若a ，b 两数满足b ＜0＜a 且｜b ｜＞｜a ｜，则下列各式有意义的是（ ）．A ．b a +B ．a b -C ．b a -D ．ab【难度】2星【解析】由已知条件，借助于数轴解决问题．【答案】C ．6.=成立的条件是（ ） A ．2x ≥ B ．2x ≥- C ．22x -≤≤ D ．2x ≥或2x ≤-【难度】1星【解析】略【答案】A ．7.若3,4a b =-=-，则下列各式求值过程和结果都正确的是（ ）A ．()3(34)21a a b +=---= B ．15==--- C ．15=-= D ．15±=±=±=±【难度】2星【解析】略【答案】C ．8.计算（1）（2）781)1)（3）(⋅ （4） 48)832(3x x x x ÷- （5）(1x x +++-【难度】2星【解析】（1）原式(55=--=-=--=-+（2）原式71)]1)(21)1==-=；（3）原式3()2a b =⋅-⋅===（4）原式(6=÷-=； （5）原式223(1)[(1)](1)(1)1x x x x x x x =-+-=-++=-．【答案】（1）5-+；（21；（3）（4）；（5）31x -．9.若最简二次根式a 是同类根式，求2b a -的值【难度】2星【解析】222a b a b a b +=⎧⎨+=+⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，∴原式211=-=-． 【答案】1-．10. =（ ）A BC D ．不同于以上三个答案 【难度】2星【解析】灵活应用分母有理化．=====【答案】C ．。