2022版高考数学一轮复习第7章数列第3讲等比数列及其前n项和课件
2020版高考数学一轮复习第六章数列第3讲等比数列及其前n项和教案(理)(含解析)新人教A版
1 第3讲 等比数列及其前n项和
基础知识整合
1．等比数列的有关概念
(1)定义
如果一个数列从第□012项起，每一项与它的前一项的比等于□02同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的□03公比，通常用字母q表示，定义的表达式为□04an＋1an＝q.
(2)等比中项
如果a，G，b成等比数列，那么□05G叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒□06G2＝ab(ab≠0)．
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝□07a1qn－1.
2
等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．
(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a2k.
(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn(λ≠0)仍然是等比数列．
(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
(5)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
(6)等比数列{an}满足 a1>0，q>1或 a1<0，00，01时，{an}是递减数列．
3 1．(2019·四川成都检测)在等比数列{an}中，已知a3＝6，a3＋a5＋a7＝78，则a5＝( )
A．12 B．18
C．24 D．36
答案 B
解析 由题意，a3＋a5＋a7＝a3(1＋q2＋q4)＝78，所以1＋q2＋q4＝13，解得q2＝3，所以a5＝a3q2＝18.故选B.
2．已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值为( )
2022届高考数学一轮复习第五章数列第三节等比数列及其前n项和课时规范练含解析文北师大版202107
第五章 数列
第三节 等比数列及其前n项和
课时规范练
A组——基础对点练
1．(2020·合肥模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1a5＝16，a2＝2，则公比q＝( )
A．4 B．52
C．2 D.12
解析：由题意，得a1·a1q4＝16，a1q＝2，解得a1＝1，q＝2或a1＝－1，q＝－2(舍去)，故选C.
答案：C
2．(2020·重庆模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝14，a3＝8，则a6＝( )
A．16 B．32
C．64 D．128
解析：由题意得，等比数列的公比为q，由S3＝14，a3＝8，则a1（1＋q＋q2）＝14，a3＝a1q2＝8，解得a1＝2，q＝2，所以a6＝a1q5＝2×25＝64，故选C.
答案：C
3．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝( )
A．21 B．42
C．63 D．84
解析：设数列{an}的公比为q，则a1(1＋q2＋q4)＝21，又a1＝3，所以q4＋q2－6＝0，所以q2＝2(q2＝－3舍去)，所以a3＝6，a5＝12，a7＝24，所以a3＋a5＋a7＝42.故选B.
答案：B
4．(2020·辽宁五校协作体联考)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为22，则log2a7＋log2a11的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由题意得a4a14＝(22)2＝8，由等比数列的性质，得a4a14＝a7a11＝8，∴log2a7＋log2a11＝log2(a7a11)＝log28＝3，故选C.
答案：C
5．在等比数列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝8，则a1＝( )
A．1 B．±1 C．2 D．±2
解析：因为数列{an}是等比数列，所以a2a3a4＝a33＝8，所以a3＝2，所以a7＝a3q4＝2q4＝8，所以q2＝2，则a1＝a3q2＝1，故选A.
教育最新K122019届高考数学一轮复习 第五章 数列 第3节 等比数列及其前n项和练习 新人教A版
小学+初中+高中
小学+初中+高中 第五章 第3节 等比数列及其前n项和
[基础训练组]
1．(导学号14577459)若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：B [由anan＋1＝16n，知a1a2＝16，a2a3＝162，
后式除以前式得q2＝16，∴q＝±4.
∵a1a2＝a21q＝16>0，∴q>0，∴q＝4.]
2．(导学号14577460)等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an等于( )
A．(－2)n－1 B．－(－2)n－1
C．(－2)n D．－(－2)n
解析：A [∵|a1|＝1，∴a1＝1或a1＝－1.
∵a5＝－8a2＝a2·q3，∴q3＝－8，∴q＝－2.
又a5＞a2，即a2q3＞a2，∴a2＜0.而a2＝a1q＝a1·(－2)＜0，∴a1＝1.故an＝a1·(－2)n－1＝(－2)n－1.]
3．(导学号14577461)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝( )
A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)
C.323(1－4－n) D.323(1－2－n)
解析：C [∵a2＝2，a5＝14，∴a1＝4，q＝12.
a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝323(1－4－n)．]
4．(导学号14577462)在等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值为( )
A．1 B．－12
C．1或－12 D．－1或12
解析：C [根据已知条件 a1q2＝7，a1＋a1q＋a1q2＝21.得1＋q＋q2q2＝3.整理得2q2－q－1＝0，小学+初中+高中
小学+初中+高中 解得q＝1或q＝－12.]
5．(导学号14577463)(2018·泉州市一模)已知Sn为数列{an}的前n项和且Sn＝2an－2，则S5－S4的值为( )
2020版高考数学(理)新精准大一轮课标通用版刷好题练能力：第六章 3 第3讲 等比数列及其前n项和 含解析
[基础题组练]
1．(2019·湖南湘东五校联考)已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是( )
A．1 B．－12
C．1或－12 D．－1或12
解析：选C.当q＝1时，an＝7，S3＝21，符合题意；当q≠1时，a1q2＝7，a1（1－q3）1－q＝21，得q＝－12.综上，q的值是1或－12，故选C.
2．在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝( )
A．135 B．100
C．95 D．80
解析：选A.由等比数列前n项和的性质知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，其首项为40，公比为6040＝32，所以a7＋a8＝40×323＝135.
3．等比数列{an}的各项为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝( )
A．12 B．10
C．8 D．2＋log35
解析：选B.由题a5a6＋a4a7＝18，所以a5a6＝9，log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log3(a5a6)5＝5log39＝10.
4．(一题多解)(2019·湖北武汉联考)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10等于( )
A．7 B．5
C．－5 D．－7
解析：选D.法一：设数列{an}的公比为q，则由题意得a4＋a7＝a1q3＋a1q6＝2，a5a6＝a1q4×a1q5＝a21q9＝－8，所以q3＝－2，a1＝1或q3＝－12，a1＝－8，所以a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
法二：由a4＋a7＝2，a5a6＝a4a7＝－8，
解得a4＝－2，a7＝4或a4＝4，a7＝－2.
所以q3＝－2，a1＝1或q3＝－12，a1＝－8，所以a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
新高考2023版高考数学一轮总复习练案36第六章第三讲等比数列及其前n项和
1 第三讲 等比数列及其前n项和
A组基础巩固
一、单选题
1．在等比数列{an}中，a1＝12，q＝12，an＝132，则项数n为( C )
A．3 B．4
C．5 D．6
[解析] an＝132＝a1qn－1＝12×12n－1＝12n，
∴n＝5，故选C.
2．(2021·陕西西安中学六模)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，Sn是它的前n项和．若a2a6＝4，且a4＋2a7＝52，则S5＝( C )
A．29 B．30
C．31 D．32
[解析] 本题考查等比数列性质及基本量的运算．∵a2a6＝a24＝4，且an>0，∴a4＝2.又a4＋2a7＝52，∴a7＝14.设{an}的公比为q，则a7a4＝q3＝18，q＝12，∴an＝a412n－4＝25－n，∴S5＝16＋8＋4＋2＋1＝31.
3．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝( B )
A．152 B．314
C．334 D．172
[解析] 设数列{an}的公比为q，则显然q≠1，由题意得 a1q·a1q3＝1，a11－q31－q＝7，解得 a1＝4，q＝12或 a1＝9，q＝－13(舍去)，
∴S5＝a11－q51－q＝4×1－1251－12＝314.
4．(2021·全国甲理)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则( B ) 2 A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
[解析] 当q＝1，a1<0时，等比数列{an}的前n项和Sn＝na1<0，可知{Sn}是单调递减数列，因此甲不是乙的充分条件；
若{Sn}是递增数列，则当n≥2时，an＝Sn－Sn－1>0，即a1qn－1>0恒成立，而只有当a1>0，q>0时，a1qn－1>0恒成立，所以可得q>0，因此甲是乙的必要条件．综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件．故选B.
2023年新高考数学一轮复习7-5 数列的综合应用(知识点讲解)含详解
专题7.5 数列的综合应用（知识点讲解）
【知识框架】
【核心素养】
1.数列与传统数学文化、实际问题相结合，考查等差、等比数列的基本运算，凸显数学建模的核心素养．
2．数列与新定义问题相结合，考查转化、迁移能力，凸显数学抽象的核心素养．
3．数列与函数、不等式、解析几何等相结合，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理的核心素养．
【知识点展示】
（一）数列与函数
数列与函数的综合问题主要有以下两类：
（1）已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；
（2）已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．
（二）数列与不等式
1.数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．
放缩法常见的放缩技巧有：
(1)1k2＜1k2－1＝121k－1－1k＋1.
(2)1k－1k＋1＜1k2＜1k－1－1k.
(3)2(n＋1－n)＜1n＜2(n－n－1)．
2.数列中不等式恒成立的问题
数列中有关项或前n项和的恒成立问题，往往转化为数列的最值问题；求项或前n项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解． （三）解答数列实际应用问题的步骤
(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单递推数列模型．基本特征如下：
等差数列模型：均匀增加或者减少
等比数列模型：指数增长或减少，常见的是增产率问题、存款复利问题
简单递推数列模型：指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销，即数列11.2nnnaaaa＋满足＝－
(2)准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确．
(3)给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点．
2022年高考数学一轮复习专题 专题49 求数列前n项和常用方法经典例题与练习(解析版)
专题49 求数列前n项和常用方法经典例题与练习（解析版）
等差数列与等比数列性质的比较
等差数列性质 等比数列性质
1、定义 n+1na-a=d(n1)；nn-1a-a=d(n2) n+1na=q(n1)a,nn-1a=q(n2)a
2、通项
公式 1(1)naand
()(,)nmaanmdnmN qaaqaamnmnnn11
3、前n项和
dnnnnasaasnnn2)1(2)(11 n1n11nnq=1 , S=na;a(1-q)a-aqq1,S= =1-q1-q
4、中项 a、A、b成等差数列A=a+b2；
na是其前k项n-ka与后k项n+ka的等差中项，即：na=n-kn+ka+a2 a、A、b成等比数列AbaA
（不等价于2A=ab，只能）;
na是其前k项n-ka与后k项n+ka的
等比中项，即：2nn-kn+ka=aa
5、下标和公式 若m+n=p+q,则aaaaqpnm
特别地,若m+n=2p,则aaapnm2 若m+n=p+q,则aaaaqpnm特别地,若m+n=2p,则aaapnm2
6、首尾项性质 等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首尾两项的和, 即：aaaaaaknknn)1(121 等比数列的第k项与倒数第k项的积等于首尾两项的积, 即：aaaaaaknknn)1(121
7、结论 {an}为等差数列,若m,n,p成等差数列,则aaapnm,,成等差数列 {an}为等比数列,若m,n,p成等差数列,则aaapnm,,成等比数列
（两个等差数列的和仍是等差数列）
等差数列{an},{bn}的公差分别为ed,,则数列{bann}仍为等差数列，公差为ed （两个等比数列的积仍是等比数列）
等比数列{an},{bn}的公比分别为qp,,则数列{bann}仍为等比数列，公差为pq
高考数学一轮复习 第六章 数列 第3讲 等比数列及其前n项和配套课时作业 理(含解析)新人教A版-新
word 第3讲 等比数列及其前n项和
配套课时作业
1．(2019·某某某某模拟)已知等比数列{an}中，a2＝2，a6＝8，则a3a4a5＝( )
A．±64 B．64
C．32 D．16
答案 B
解析 因为a2＝2，a6＝8，所以由等比数列的性质可知a2·a6＝a24＝16，而a2，a4，a6同号，所以a4＝4，所以a3a4a5＝a34＝64.故选B.
2．(2019·某某调研)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝3，a4＝24，则S6＝(
)
A．93
B．189
C．99 D．195
答案 B
解析 ∵a4＝a1q3＝3q3＝24，∴q＝2，∴S6＝a11－q61－q＝189.故选B.
3．已知正项等比数列{an}中，an＋1
A.56 B.65
C.23 D.32
答案 D
解析 由等比数列性质可知a2a8＝a4a6＝6，故a4，a6分别是方程x2－5x＋6＝0的两根．因为an＋1
4．(2019·某某模拟)设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为2的等比数列，则a6＝( )
A．31.5 B．160
C．79.5 D．159.5
答案 C
解析 因为1＋2an＝(1＋2a1)·2n－1，则an＝
5·2n－1－12，an＝5·2n－2－12.
a6＝5×24－12＝5×16－12＝80－12＝79.5.
5．(2019·某某某某中学调研)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a5＝2a3，且a4与2a7的等差中项为54，则S5＝( )
A．29 B．31
C．33 D．36
答案 B word
解析
由a2a5＝a3a4＝2a3，得a4＝2.又a4＋2a7＝2×54，所以a7＝14，又因为a7＝a4q3，所以q＝12，所以a1＝16，所以S5＝16×1－1251－12＝31.故选B.
6．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝( )
2022届高考数学一轮复习第7章7.1数列含递推公式核心考点精准研析训练含解析新人教B版
word
- 1 - / 10 第7章
核心考点·精准研析
考点一 数列的有关概念及通项公式
1.数列{an}中,a1=1,当n≥2且n∈N*时,an=,则a3+a5= ( )
A. B. C. D.
n=n2-8n+15,则3 ( )
A.不是数列{an}中的项
B.只是数列{an}中的第2项
C.只是数列{an}中的第6项
D.是数列{an}中的第2项或第6项
,-,,-,…的一个通项公式为 ( )
n=(-1)n·n=(-1)n·
n=(-1)n+1·n=(-1)n+1·
4.若数列{an}满足a1=1,且对于任意的n∈N*都有an+1=an+n+1,则++…+等于 ( )
世纪金榜导学号
A. B. C. D.
5.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,则an=( )
世纪金榜导学号
A.2+ln n B.2+(n-1)ln n word - 2 - / 10 C.2+nln n D.1+n+ln n
【解析】n=(n≥2),所以a3=,a5=,所以a3+a5=+=+=.
n=3,即n2-8n+15=3,解得n=2或6,故3是数列{an}中的第2项或第6项.
3.选D.该数列是分数形式,分子为奇数2n+1,分母是指数2n,各项的符号由(-1)n+1来确定,所以D选项正确.
n+1=an+n+1,得an+1-an=n+1,则a2-a1=1+1,a3-a2=2+1,a4-a3=3+1,…,
an-an-1=(n-1)+1,以上等式相加,得an-a1=2+3+…+(n-1)+n,把a1=1代入上式得an=1+2+3+…+(n-1)+n=, 所以==2, 则++…+=2=2=
.
n+1=an+ln,
所以an-an-1=ln=ln(n≥2),
所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =ln+ln+…+ln+ln 2+2
高考数学第一轮复习-第6章 第3讲 等比数列及前n项和
高考数学第一轮复习
第3讲 等比数列及前n项和
考点一 等比数列的概念及运算
知识点
1 等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数q(q≠0)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数q叫做等比数列的公比．
2 等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．
3 等比数列的通项公式及其变形
通项公式：an＝a1·qn－1(a1q≠0)，其中a1是首项，q是公比．通项公式的变形：an＝am·qn－m.
4 等比数列前n项和公式
Sn＝ a11－qn1－qq≠1，na1q＝1或Sn＝ a1－anq1－qq≠1，na1q＝1.
5 等比数列的单调性
当q>1，a1>0或0
当q>1，a1<0或00时，{an}是递减数列；
当q＝1时，{an}是常数列．
注意点 等差中项与等比中项的区别
两个数的等差中项只有一个，两个同号且不为0的数的等比中项有两个.
入门测
1．思维辨析
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列.
( )
(2)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．( )
(3)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.( )
(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝a1－an1－a.( )
2．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为( )
A．63 B．64
C．127 D．128
3．已知在等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，则该等比数列的公比q为( )
A.14 B.12