2022年高考数学(文)一轮复习文档：第五章 数列 第3讲等比数列及其前n项和 Word版含答案
第3讲 等比数列及其前n项和
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)
1．等比数列的有关概念
(1)定义
假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an＋1an＝q(q≠0，n∈N*)．
(2)等比中项
假如a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇒G2＝ab．
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1．
(2)前n项和公式：Sn＝na1，q＝1，a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q，q≠1.
3．等比数列的性质
已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(m，n，p，q，r，k∈N*)
(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a2r；
(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列；
(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．
1．辨明三个易误点
(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能为0，但q可为正数，也可为负数．
(2)由an＋1＝qan，q≠0，并不能马上断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
(3)在运用等比数列的前n项和公式时，必需留意对q＝1与q≠1分类争辩，防止因忽视q＝1这一特殊情形而导致解题失误．
2．等比数列的三种判定方法
(1)定义法：an＋1an＝q(q是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．
(2)通项公式法：an＝cqn－1(c、q均是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．
(3)等比中项法：a2n＋1＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列． 3．求解等比数列的基本量常用的思想方法
(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和公式中联系着五个量：a1，q，n，an，Sn，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中依据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键．
(2)分类争辩思想：在应用等比数列前n项和公式时，必需分类求和，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a1（1－qn）1－q；在推断等比数列单调性时，也必需对a1与q分类争辩．
1.教材习题改编 等比数列{an}中，a3＝12，a4＝18，则a6等于( )
A．27 B．36
C．812 D．54
C 法一：由a3＝12，a4＝18，得
a1q2＝12，a1q3＝18，解得a1＝163，q＝32，
所以a6＝a1q5＝163×325＝812.故选C.
法二：由等比数列性质知，a23＝a2a4，
所以a2＝a23a4＝12218＝8，
又a24＝a2a6，所以a6＝a24a2＝1828＝812.故选C.
2.教材习题改编 设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝( )
A．31 B．32
C．63 D．64
C 由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.故选C.
3.教材习题改编 在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．
设该数列的公比为q，由题意知，
243＝9×q3，得q3＝27，所以q＝3.
所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81.
27，81
4.教材习题改编 由正数组成的等比数列{an}满足a3a8＝32，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝________．
log2a1＋log2a2＋…＋log2a10
＝log2
＝log2(a3a8)5＝log2225＝25. 25
5.教材习题改编 在等比数列{an}中，an>0，a5－a1＝15，a4－a2＝6，则a3＝________．
由于a5－a1＝15，a4－a2＝6.
所以a1q4－a1＝15，① a1q3－a1q＝6，②且q≠1.
①②得（q2＋1）（q2－1）q·（q2－1）＝156，即2q2－5q＋2＝0，
所以q＝2或q＝12，
当q＝2时，a1＝1；当q＝12时，a1＝－16(舍去)．
所以a3＝1×22＝4.
4
等比数列的基本运算(高频考点)
等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，属中、低档题．
高考对等比数列基本运算的考查主要有以下三个命题角度：
(1)求首项a1、公比q或项数n；
(2)求通项或特定项；
(3)求前n项和．
(2021·兰州模拟)设数列{an}的前n项和Sn满足6Sn＋1＝9an(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝1an，求数列{bn}的前n项和Tn.
【解】 (1)当n＝1时，由6a1＋1＝9a1，得a1＝13.
当n≥2时，由6Sn＋1＝9an，得6Sn－1＋1＝9an－1，
两式相减得6(Sn－Sn－1)＝9(an－an－1)，
即6an＝9(an－an－1)，所以an＝3an－1.
所以数列{an}是首项为13，公比为3的等比数列，其通项公式为an＝13×3n－1＝3n－2.
(2)由于bn＝1an＝13n－2， 所以{bn}是首项为3，公比为13 的等比数列，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝31－13n1－13
＝921－13n.
等比数列基本运算的解题技巧
(1)求等比数列的基本量问题，其核心思想是解方程(组)，一般步骤是：①由已知条件列出以首项和公比为未知数的方程(组)；②求出首项和公比；③求出项数或前n项和等其余量．
(2)设元的技巧，可削减运算量，如三个数成等比数列，可设为aq，a，aq(公比为q)；四个数成等比数列且q>0时，设为aq3，aq，aq，aq3.
角度一 求首项a1、公比q或项数n
1．(2021·高考全国卷Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________．
由于a1＝2，an＋1＝2an，
所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．
又由于Sn＝126，所以2（1－2n）1－2＝126，所以n＝6.
6
角度二 求通项或特定项
2．设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an＝________．
由于3S1，2S2，S3成等差数列，所以4S2＝3S1＋S3，即4(a1＋a2)＝3a1＋a1＋a2＋a3.化简，得a3a2＝3，即等比数列{an}的公比q＝3，故an＝1×3n－1＝3n－1.
3n－1
角度三 求前n项和
3．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－43，则{an}的前10项和等于( )
A．－6(1－310) B．19(1－3－10)
C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10) C 由题意知数列{an}为等比数列，设其公比为q，则q＝an＋1an＝－13，a1＝a2q＝4，因此其前10项和等于41－－13101－－13＝3(1－3－10)．
等比数列的判定与证明
(2022·高考全国卷丙)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；
(2)若S5＝3132，求λ.
【解】 (1)由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝11－λ，a1≠0.
由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，
即an＋1(λ－1)＝λan.由a1≠0，λ≠0且λ≠1得an≠0，
所以an＋1an＝λλ－1.
因此{an}是首项为11－λ，
公比为λλ－1的等比数列，
于是an＝11－λ(λλ－1)n－1.
(2)由(1)得，Sn＝1－(λλ－1)n.
由S5＝3132得，1－(λλ－1)5＝3132，
即(λλ－1)5＝132.
解得λ＝－1.
证明数列{an}是等比数列常用的方法
一是定义法，证明anan－1＝q(n≥2，q为常数)；二是等比中项法，证明a2n＝an－1·an＋1.若推断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法． 已知数列{an}是等差数列，a3＝10，a6＝22，数列{bn}的前n项和是Tn，且Tn＋13bn＝1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{bn}是等比数列．
(1)设等差数列{an}的公差为d，则由已知得a1＋2d＝10，a1＋5d＝22，解得a1＝2，d＝4.
所以an＝2＋(n－1)×4＝4n－2.
(2)证明：由Tn＝1－13bn，①
令n＝1，得T1＝b1＝1－13b1.解得b1＝34，
当n≥2时，Tn－1＝1－13bn－1，②
①－②得bn＝13bn－1－13bn，所以bn＝14bn－1，
所以bnbn－1＝14.又由于b1＝34≠0，
所以数列{bn}是以34为首项，14为公比的等比数列．
等比数列的性质
(1)(2021·高考全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝14，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝( )
A．2 B．1
C．12 D．18
(2)等比数列{an}的前n项和为Sn，若an>0，q>1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，则S5＝( )
A．31 B．36
C．42 D．48
(3)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若S10S5＝3132，则公比q＝________．
【解析】 (1)法一：由于a3a5＝a24，a3a5＝4(a4－1)，
所以a24＝4(a4－1)，
所以a24－4a4＋4＝0，
2022届高三数学(理)一轮总复习课时规范训练：第五章 数列 5-4 Word版含答案
课时规范训练
[A级 基础演练]
1．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝( )
A．15 B．12
C．－12 D．－15
解析：选A.记bn＝3n－2，则数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝(－b1)＋b2＋…＋(－b9)＋b10＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b10－b9)＝5×3＝15.故选A.
2．(2021·河北承德模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn(n＝1，2，3，…)，当首项a1和公差d变化时，若a5＋a8＋a11是一个定值，则下列各数中为定值的是( )
A．S17 B．S18
C．S15 D．S16
解析：选C.由等差数列的性质得a5＋a11＝2a8，所以a5＋a8＋a11为定值，即a8为定值．又由于S15＝15（a1＋a15）2
＝15×2a82＝15a8，所以S15为定值．故选C.
3．已知数列{an}的通项公式是an＝n2sin2n＋12π，则a1＋a2＋a3＋…＋a2 016＝( )
A.2 015×2 0162 B．2 016×2 0172
C.2 015×2 0152 D．2 016×2 0162
解析：选B.an＝n2sin2n＋12π＝－n2n2 （n为奇数），（n为偶数），
∴a1＋a2＋a3＋…＋a2 016＝－12＋22－32＋42－…－2 0152＋2 0162＝(22－12)＋(42－32)＋…＋(2 0162－2
0152)＝1＋2＋3＋4＋…＋2 016＝2 016×2 0172.
4．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝( )
A．－6 B．－4
C．－2 D．2
解析：选A.由等差数列性质及前n项和公式，得
S8＝8（a1＋a8）2＝4(a3＋a6)＝4a3，所以a6＝0.
2019-2020年高考数学一轮总复习第五章数列5.3等比数列及其前n项和课时跟踪检测理
2019-2020年高考数学一轮总复习第五章数列5.3等比数列及其前n项和课时跟踪检测理
[课 时 跟 踪 检 测]
[基 础 达 标]
1．已知数列{an}为等比数列，若a4＋a6＝10，则a7(a1＋2a3)＋a3a9的值为( )
A．10 B．20
C．100 D．200
解析：a7(a1＋2a3)＋a3a9＝a7a1＋2a7a3＋a3a9＝a24＋2a4a6＋a26＝(a4＋a6)2＝102＝100.
答案：C
2．设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于( )
A.18 B．－18
C.578 D．558
解析：因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝18.所以a7＋a8＋a9＝18.
答案：A
3．已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log13(a5＋a7＋a9)的值是( )
A．－5 B．－15
C．5 D．15
解析：∵log3an＋1＝log3an＋1，∴an＋1＝3an.
∴数列{an}是公比q＝3的等比数列．
∵a5＋a7＋a9＝q3(a2＋a4＋a6)，
∴log13(a5＋a7＋a9)＝log13(9×33)＝log1335＝－5.
答案：A
4．(xx届太原一模)在单调递减的等比数列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝52，则a1＝( )
A．2 B．4
C.2 D．22 解析：在等比数列{an}中，a2a4＝a23＝1，又a2＋a4＝52，数列{an}为递减数列，所以a2＝2，a4＝12，所以q2＝a4a2＝14，所以q＝12，a1＝a2q＝4.
答案：B
5．(xx届莱芜模拟)已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝3，an＋1－an＝bn＋1bn＝3，n∈N*，若数列{cn}满足cn＝ban，则c2 017＝( )
【创新方案】2021届高考数学一轮复习 5.3等比数列及其前n项和讲解与练习 理 新人教A版
1 第三节 等比数列及其前n项和
[备考方向要明了]
考 什 么 怎 么 考
1.理解等比数列的概念．
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．
3.能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．
4.了解等比数列与指数函数的关系. 1.以客观题的形式考查等比数列的性质及其基本量的计算，如2012年新课标全国T5，浙江T13等．
2.以解答题的形式考查等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及性质的综合应用，如2012年湖北T18等.
[归纳·知识整合]
1．等比数列的相关概念
相关名词 等比数列{an}的有关概念及公式
定义 an＋1an＝q(q是常数且q≠0，n∈N*)或anan－1＝q(q是常数且q≠0，n∈N*且n≥2)
通项公式 an＝a1qn－1＝am·qn－m
前n项和公式 Sn＝ na1 q＝1a11－qn1－q＝a1－anq1－q q≠1
等比中项 设a，b为任意两个同号的实数，则a，b的等比中项G＝±ab
[探究] 1.b2＝ac是a，b，c成等比数列的什么条件？
提示：b2＝ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件，因为当b＝0时，a，c至少有一个为零时，b2＝ac成立，但a，b，c不成等比数列；若a，b，c成等比数列，则必有b2＝ac.
2．如何理解等比数列{an}与指数函数的关系？ 2 提示：等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1可改写为an＝a1q·qn.当q>0，且q≠1时，y＝qx是一个指数函数，而y＝a1q·qx是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{an}的图象是函数y＝a1q·qx的图象上的一群孤立的点．
2．等比数列的性质
(1)对任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q则am·an＝ap·aq.
特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝a2p.
(2)若等比数列前n项和为Sn则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列，即(S2m－Sm)2＝Sm(S3m－S2m)(m∈N*，公比q≠－1)．
(完整word版)数列知识点复习总结,推荐文档
数列知识点复习总结
1 / 24 数列高考知识点大扫描
数列基本概念
数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类：
依定义域分为：有穷数列、无穷数列；
依值域分为：有界数列和无界数列；
依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。
数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）；
数列通项：()nafn
2、等差数列
1、定义 当nN,且2n 时，总有 1,()nnaadd常，d叫公差。
2、通项公式 1(1)naand
1）、从函数角度看 1()nadnad是n的一次函数，其图象是以点 1(1,)a为端点, 斜率为d斜线上一些孤立点。
2）、从变形角度看 (1)()nnaand, 即可从两个不同方向认识同一数列，公差为相反数。
又11(1),(1)nmaandaamd,
相减得 ()nmaanmd，即()nmaanmd.
若 n>m，则以 ma为第一项，na是第n-m+1项，公差为d；
若n
3）、从发展的角度看 若{}na是等差数列，则12(2)pqaaapqd ，12(2)mnaaamnd, 因此有如下命题：在等差数列中，若2mnpqr , 则2mnpqraaaaa.
3、前n项和公式
由 1211,nnnnnSaaaSaaaLL，
相加得 12nnaaSn， 还可表示为1(1),(0)2nnnSnadd，是n的二次函数。
特别的，由1212nnaaa 可得 21(21)nnSna。
数列知识点复习总结
2 / 24 3、等比数列
1、 定义 当nN,且2n 时，总有
1(0)nnaqqa , q叫公比。
2022数学第五章数列第一节数列的概念与简单表示法教师文档教案文
2022
第一节 数列的概念与简单表示法
授课提示：对应学生用书第88页
［基础梳理］
1．数列的有关概念
概念 含义
数列 按照一定顺序排列的一列数
数列的项 数列中的每一个数
数列的通项 数列｛an｝的第n项an
通项公式 数列{an｝的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f（n）表示,这个公式叫作数列的通项公式
前n项和 数列{an｝中,Sn＝a1＋a2＋…＋an叫作数列的前n项和
2。数列的表示方法
列表法 列表格表示n与an的对应关系
图像法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中
公式法 通项公式 把数列的通项使用公式表示的方法
递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an）或a1,a2和an＋1＝f（an，an－1)等表示数列的方法
3.an与Sn的关系
若数列{an｝的前n项和为Sn，
则an＝错误! 2022
4．数列的分类
1．与函数的关系：
数列是一种特殊的函数，定义域为N＋或其有限子集数列的图像是一群孤立的点．
2．周期性：若an＋k＝an(n∈N＋，k为非零正整数)，则{an}为周期数列，k为｛an｝的一个周期．
[四基自测］
1．（基础点：数列的项)已知数列｛an｝的通项公式为an＝9＋12n，则在下列各数中,不是｛an}的项的是( )
A．21 B．33
C．152 D．153
答案：C
2．（基础点:数列递推关系）在数列{an｝中，a1＝1，an＝1＋错误!（n≥2）,则a4＝（ ）
A.错误! B．错误!
C.错误! D．错误!
答案：B
3．（基础点：数列的前n项和）设Sn为数列{an}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则S5为________．
答案：5
4．（易错点：数列的通项公式)数列1,错误!，错误!，错误!，错误!,…的一个通项公式an＝________．
答案：错误! 2022
授课提示：对应学生用书第89页
2022届高三数学(理)一轮总复习课时规范训练：第五章 数列 5-1 Word版含答案
课时规范训练
[A级 基础演练]
1．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式an是( )
A.n2n＋1 B.n2n－1
C.n2n－3 D．n2n＋3
解析：选B.由已知得，数列可写成11，23，35，…，故通项为n2n－1.
2．在数列{an}中，a1＝1，an＝1an－1＋1，则a4等于( )
A.53 B．43
C．1 D．23
解析：选A.由a1＝1，an＝1an－1＋1得，a2＝1a1＋1＝2，a3＝1a2＋1＝12＋1＝32，a4＝1a3＋1＝23＋1＝53.
3．(2021·保定高三调研)在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式为an＝( )
A．2n－1 B．2n－1＋1
C．2n－1 D．2n－2
解析：选A.由题意知an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1.
4．(2021·银川模拟)设数列{}an满足：a1＝2，an＋1＝1－1an，记数列{}an的前n项之积为Tn，则T2 016的值为( )
A．－12 B．1
C.12 D．2
解析：选B.由a2＝12，a3＝－1，a4＝2，a5＝12可知，数列{}an是周期为3的数列，且a1·a2·a3＝－1，从而T2 016＝(－1)672＝1.
5．(2021·吉林长春质量检测)设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，{Sn＋nan}为常数列，则an＝( )
A.13n－1 B．2n（n＋1） C.6（n＋1）（n＋2） D．5－2n3
解析：选B.由题意知，Sn＋nan＝2，当n≥2时，Sn－1＋(n－1)an－1＝2，∴(n＋1)an＝(n－1)an－1从而a2a1·a3a2·a4a3·…·anan－1＝13·24·…·n－1n＋1，则an＝2n（n＋1），当n＝1时上式成立，所以an＝2n（n＋1），故选B.
2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)4-2 等比数列(精讲)(含详解)
4.2 等比数列（精讲）（基础版）
思维导图 考点一 等比数列基本量的计算
【例1】（1）（2022·北京丰台·一模）若数列na满足12nnaa，且41a，则数列na的前4项和等于（ ） 考点呈现
例题剖析 A．15 B．14 C．158
D．78
（2）（2022·重庆·模拟预测）已知等比数列na的前n项和为nS，且2a，53a，89a成等差数列，则63SS（ ）
A．13 B．43 C．3 D．4
【一隅三反】
1．（2022·江西·新余四中）已知nS为等比数列na的前n项和，若38a，324S，则公比q（ ）
A．12 B．13
C．12或1 D．13或1
2．（2022·河北廊坊·高三阶段练习）已知nS为等比数列na的前n项和，且公比1q，则“51aa”是“40S”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022·全国·高三专题练习）已知na为等比数列，nS为其前n项和，若213Sa，223aa，则4S（ ）
A．7 B．8 C．15 D．31
4．（2022·河北石家庄·高三期末）等比数列na的前n项和为nS，33S，69S，则公比q（ ）A．3 B．2 C．33 D．32
5（2022·四川·三模（理））已知nS是各项均为正数的等比数列na的前n项和，若2481aa，313S，则6a（ ）．
A．21 B．81 C．243 D．729
考点二 等比中项
【例2-1】（2022·江西·上饶市第一中学二模）等比数列na中，若59a，则3436loglogaa（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9 1.等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
高考数学(理科)一轮复习等比数列及其前n项和学案含答案
高考数学（理科）一轮复习等比数列及其前n项和学案含答案
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学案30 等比数列及其前n项和
导学目标：1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．
自主梳理
．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝______________.
3．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．
4．等比数列的常用性质
通项公式的推广：an＝am•________．
若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n，则__________________________．
若{an}，{bn}是等比数列，则{λan}，1an，{a2n}，{an•bn}，anbn仍是等比数列．
单调性：a1>0，q>1或a1<00<q<1⇔{an}是________数列；a1>0，0<q<1或a1<0q>1⇔{an}是________数列；q＝1⇔{an}是____数列；q<0⇔{an}是________数列．
5．等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1qn－1q－1＝a1qnq－1－a1q－1.
第3讲 等比数列的概念及其通项公式(教师版)2023年高考数学重难突破之导数、数列(全国通用)
79数列专题
引子:
数列从不吝啬她的优雅，不是出其不意，就是猝不及防;
数列的通项公式与求和是数列两大永恒的主题,无论是求通项公式，还是求和，方法都多得令人发指;
好在目前高考对此降低了难度，就算偶尔发生意外，也顶多是一个小题的差距，根本没法伤筋动骨;
她那忧郁、深沉、咄咄逼人而又富有浪漫色彩的魅力，只有拿满分才配得上。
第3讲等比数列概念及其通项公式
思维导图-----知识梳理
80脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶
81思维导图-----典型题型讲练
考点一等比数列的判断或证明
思维导图-----方法梳理
1.定义法：数列{a
n}若满足
nn
aa
1=q(qq,0为常数)称为等比数列
2.若G是a与b的等比中项，则，所以=ab，即G=.
围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹
例1.（2021·全国高二专题练习）下面四个数列中，一定是等比数列的是（）
A．q，2q，4q，6qB．q，q2，q3，q4
C．q，2q，4q，8qD．1
q，
21
q，
31
q，
41
q
【答案】D
【解析】对于A、B、C：当q＝0时不是等比数列，故A、B、C错误；
对于D：由题意可得0q
，且符合等比数列的定义，公比是1
q，故D正确，故选：D
例2.（2021·全国高二课时练习）已知数列{}
na
满足
11a
，
22a，且
1123
nnnaaa
(2,)nnN，
设
1nnnbaa
()nN，求证{}
nb
是等比数列
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为
1123
nnnaaa
(2,)nnN，
所以
11
1113
3nnnnn
nnnnnaabaa
baaaa
，又因为
1213baa
，
所以{}
nb
是以首项为3，公比为3的等比数列.
例3.（2021春•和田市校级期中）已知{a
n}满足a
1＝3，a
n+1＝2a
n+1，
（1）求证：{a
n+1}是等比数列；
（2）求这个数列的通项公式a
n．
【解题思路】（1）由数列的递推公式可得{a
2022年高考数学一轮复习专题 专题49 求数列前n项和常用方法经典例题与练习(解析版)
专题49 求数列前n项和常用方法经典例题与练习（解析版）
等差数列与等比数列性质的比较
等差数列性质 等比数列性质
1、定义 n+1na-a=d(n1)；nn-1a-a=d(n2) n+1na=q(n1)a,nn-1a=q(n2)a
2、通项
公式 1(1)naand
()(,)nmaanmdnmN qaaqaamnmnnn11
3、前n项和
dnnnnasaasnnn2)1(2)(11 n1n11nnq=1 , S=na;a(1-q)a-aqq1,S= =1-q1-q
4、中项 a、A、b成等差数列A=a+b2；
na是其前k项n-ka与后k项n+ka的等差中项，即：na=n-kn+ka+a2 a、A、b成等比数列AbaA
（不等价于2A=ab，只能）;
na是其前k项n-ka与后k项n+ka的
等比中项，即：2nn-kn+ka=aa
5、下标和公式 若m+n=p+q,则aaaaqpnm
特别地,若m+n=2p,则aaapnm2 若m+n=p+q,则aaaaqpnm特别地,若m+n=2p,则aaapnm2
6、首尾项性质 等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首尾两项的和, 即：aaaaaaknknn)1(121 等比数列的第k项与倒数第k项的积等于首尾两项的积, 即：aaaaaaknknn)1(121
7、结论 {an}为等差数列,若m,n,p成等差数列,则aaapnm,,成等差数列 {an}为等比数列,若m,n,p成等差数列,则aaapnm,,成等比数列
（两个等差数列的和仍是等差数列）
等差数列{an},{bn}的公差分别为ed,,则数列{bann}仍为等差数列，公差为ed （两个等比数列的积仍是等比数列）
等比数列{an},{bn}的公比分别为qp,,则数列{bann}仍为等比数列，公差为pq