教育最新K122019高考数学一轮复习第6章数列第3讲等比数列及其前n项和分层演练文
第3讲 等比数列及其前n 项和一、选择题1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2，3S 2＝a 3－2，则公比q ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析：选B.由题意知，q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧3a 1（1－q 3）1－q ＝a 1q 3－23a 1（1－q 2）1－q＝a 1q 2－2，两式相减可得－3（q 3－q 2）1－q ＝q 3－q 2，即－31－q＝1，所以q ＝4.2．(2018·成都第二次诊断检测)在等比数列{a n }中，已知a 3＝6，a 3＋a 5＋a 7＝78，则a 5＝( )A ．12B ．18C ．36D ．24解析：选 B.a 3＋a 5＋a 7＝a 3(1＋q 2＋q 4)＝6(1＋q 2＋q 4)＝78⇒1＋q 2＋q 4＝13⇒q 2＝3，所以a 5＝a 3q 2＝6×3＝18.故选B.3．(2017·高考全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏 解析：选B.每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n }，则前7项的和S 7＝381，公比q ＝2，依题意，得a 1（1－27）1－2＝381，解得a 1＝3，选择B.4．(2018·广州综合测试(一))已知等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，12a 5，a 4成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6的值是( ) A ．5－12B.5＋12 C ．3－52D.3＋52解析：选A.设等比数列{a n }的公比为q ，由a 3，12a 5，a 4成等差数列可得a 5＝a 3＋a 4，即a 3q 2＝a 3＋a 3q ，故q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52或q ＝1－52(舍去)，由a 3＋a 5a 4＋a 6＝a 3＋a 3q2a 4＋a 4q 2＝a 3（1＋q 2）a 4（1＋q 2）＝1q ＝25＋1＝2（5－1）（5＋1）（5－1）＝5－12，故选A.5．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15解析：选 C.因为数列{a n }是各项均为正数的等比数列，所以a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9，a 10a 11a 12，…也成等比数列．不妨令b 1＝a 1a 2a 3，b 2＝a 4a 5a 6，则公比q ＝b 2b 1＝124＝3.所以b m ＝4×3m －1.令b m ＝324，即4×3m －1＝324， 解之得m ＝5，所以b 5＝324，即a 13a 14a 15＝324. 所以n ＝14.6．在递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n ＝34，a 3·a n －2＝64，且前n 项和S n ＝42，则n 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 解析：选A.因为{a n }为等比数列， 所以a 3·a n －2＝a 1·a n ＝64. 又a 1＋a n ＝34，所以a 1，a n 是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，a n ＝2.又因为{a n }是递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝32.由S n ＝a 1－a n q 1－q ＝2－32q1－q＝42， 解得q ＝4. 由a n ＝a 1q n －1＝2×4n －1＝32， 解得n ＝3.故选A. 二、填空题7．在等比数列{a n }中，若a 1a 5＝16，a 4＝8，则a 6＝________．解析：因为a 1a 5＝16，所以a 23＝16，所以a 3＝±4. 又a 4＝8，所以q ＝±2.所以a 6＝a 4q 2＝8×4＝32. 答案：328．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．解析：设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12.又{a n }为递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，所以S n ＝1－2n1－2＝2n－1.答案：2n－19．(2018·郑州第二次质量预测)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若27a 3－a 6＝0，则S 6S 3＝________．解析：由题可知{a n }为等比数列，设首项为a 1，公比为q ，所以a 3＝a 1q 2，a 6＝a 1q 5，所以27a 1q 2＝a 1q 5，所以q ＝3，由S n ＝a 1（1－q n ）1－q，得S 6＝a 1（1－36）1－3，S 3＝a 1（1－33）1－3，所以S 6S 3＝a 1（1－36）1－3·1－3a 1（1－33）＝28.答案：2810．已知数列{a n }满足a 1＝2且对任意的m ，n ∈N ＋，都有a m ＋na m＝a n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．解析：因为a n ＋ma m＝a n ， 令m ＝1，则a n ＋1a 1＝a n ， 即a n ＋1a n＝a 1＝2， 所以{a n }是首项a 1＝2，公比q ＝2的等比数列， S n ＝2（1－2n）1－2＝2n ＋1－2.答案：2n ＋1－2 三、解答题11．已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5. (1)求{a n }的通项公式；(2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 2＋a 4＝10，所以2a 1＋4d ＝10. 解得d ＝2.所以a n ＝2n －1.(2)设等比数列{b n }的公比为q .因为b 2b 4＝a 5，所以b 1qb 1q 3＝9.解得q 2＝3.所以b 2n －1＝b 1q 2n －2＝3n －1.从而b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n－12.12．已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得d ＝a 4－a 13＝12－33＝3，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ＝1，2，…)． 设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－124－3＝8，解得q ＝2.所以b n －a n ＝(b 1－a 1)q n －1＝2n －1.从而b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1，2，…)．(2)由(1)知b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1，2，…)．数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)，数列{2n －1}的前n 项和为1－2n1－2＝2n－1.所以，数列{b n }的前n 项和为32n (n ＋1)＋2n－1.1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：因为a n ＋S n ＝n ①， 所以a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1②. ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，所以2a n ＋1＝a n ＋1，所以2(a n ＋1－1)＝a n －1，当n ＝1时，a 1＋S 1＝1，所以a 1＝12，a 1－1＝－12，所以a n ＋1－1a n －1＝12，又c n ＝a n －1， 所以{c n }是首项为－12，公比为12的等比数列．(2)由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n， 所以a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.所以当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 又b 1＝a 1＝12也符合上式，所以b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. 2．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．解：(1)因为a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)， 所以当n ＝1时，a 1＝2×1＝2； 当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4， 所以a 2＝4；当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6， 所以a 3＝8.综上，a 2＝4，a 3＝8.(2)证明：因为a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)．① 所以当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1 ＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．②①－②，得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2.所以－S n ＋2S n －1＋2＝0， 即S n ＝2S n －1＋2，所以S n ＋2＝2(S n －1＋2)．因为S 1＋2＝4≠0，所以S n －1＋2≠0，所以S n ＋2S n －1＋2＝2，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．。
【备战高考】2019年高考数学一轮复习第6章第3节《等比数列及其前n项和》
备战高考2019年高考数学一轮复习第6章 数列第3节 等比数列及其前n 项和考试要求：1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式．2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．3.了解等比数列与指数函数的关系.知识梳理，自主学习一、基础知识梳理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：a na n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数).(2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，其中G ＝2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1； 通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q .3.等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ， a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n .二、双基自测训练1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( × ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( × )(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( × ) (4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( × ) (5)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( × )(6)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × ) 2．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝______.答案 12解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12.3．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 答案 27,81解析 设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.4．若1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值为________．答案 －12解析 ∵1，a 1，a 2,4成等差数列，∴3(a 2－a 1)＝4－1，∴a 2－a 1＝1.又∵1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，设其公比为q ，则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2>0，∴b 2＝2，∴a 1－a 2b 2＝－(a 2－a 1)b 2＝－12.5．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________.答案 －11解析 设等比数列{a n }的公比为q ， ∵8a 2＋a 5＝0，∴8a 1q ＋a 1q 4＝0. ∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，∴S 5S 2＝a 1(1－q 5)1－q ·1－q a 1(1－q 2)＝1－q 51－q 2＝1－(－2)51－4＝－11. 6．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB ＝210 KB)． 答案 48解析 由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{a n }，且a 1＝2，q ＝2，∴a n ＝2n ，则2n ＝64×210＝216，∴n ＝16. 即病毒共复制了16次． ∴所需时间为16×3＝48(分钟).考点突破，深度剖析考点一 等比数列基本量的运算【例1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________.(2)(2017·江苏卷)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析 (1)由{a n }为等比数列，设公比为q .由⎩⎨⎧a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，得⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＝－1，①a 1－a 1q 2＝－3，② 显然q ≠1，a 1≠0，②①得1－q ＝3，即q ＝－2，代入①式可得a 1＝1， 所以a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.(2)设数列{a n }首项为a 1，公比为q (q ≠1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1（1－q 3）1－q ＝74，S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2， 所以a 8＝a 1q 7＝14×27＝32. 答案 (1)－8 (2)32【训练1】 (1)(2018·武昌调研)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1＝( ) A.－2 B.－1 C.12D.23(2)(2016·全国Ⅰ卷)设等比数列满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________.解析 (1)由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即q ＋q 2＝3q 2－3，解得q ＝－1(舍)或q ＝32，将q ＝32代入S 2＝3a 2＋2，得a 1＋32a 1＝3×32a 1＋2，解得a 1＝－1，故选B.(2)设等比数列{a n }的公比为q ，∴⎩⎨⎧a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5⇒⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q ＋a 1q 3＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12， ∴a 1a 2…a n ＝a n 1q 1＋2＋…＋(n －1)＝2－n 22＋7n2.记t ＝－n 22＋7n 2＝－12(n 2－7n )，结合n ∈N *，可知n ＝3或4时，t 有最大值6.又y ＝2t 为增函数.所以a 1a 2…a n 的最大值为64. 答案 (1)B (2)64考点二 等比数列的性质及应用【例2】 (1)(必修5P68BT1(1))等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( ) A.12B.10C.8D.2＋log 35(2)(2018·云南11校调研)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( ) A.40B.60C.32D.50解析 (1)由等比数列的性质知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9，则原式＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝10.(2)数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4，8，S 9－S 6，S 12－S 9是首项为4，公比为2的等比数列，则S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝16，S 12－S 9＝a 10＋a 11＋a 12＝32，因此S 12＝4＋8＋16＋32＝60. 答案 (1)B (2)B【训练2】 (1)(2018·西安八校联考)已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝－33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 3＋b 91－a 4·a 8的值是( )A.－ 3B.－1C.－33D. 3(2)(一题多解)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________. 解析 (1)依题意得，a 36＝(－3)3，a 6＝－3，3b 6＝7π，b 6＝7π3，b 3＋b 91－a 4·a 8＝2b 61－a 26＝－7π3，故tan b 3＋b 91－a 4·a 8＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫－7π3＝－tan π3＝－ 3. (2)法一 由等比数列的性质S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，由已知得S 6＝3S 3， ∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3，即S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73.法二 因为{a n }为等比数列，由S 6S 3＝3，设S 6＝3a ，S 3＝a ，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等比数列，即a ，2a ，S 9－S 6成等比数列，所以S 9－S 6＝4a ，解得S 9＝7a ，所以S 9S 6＝7a 3a ＝73.答案 (1)A (2)73考点三 等比数列的判定与证明【例3】 (2016·全国Ⅲ卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.(1)证明 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1， 得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)解 由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－1n. 由S 5＝3132，得1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.【训练3】 (2017·安徽江南十校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4.(1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n . (1)证明 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， 所以S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)， 则S n ＝2S n －1－n ＋4(n ≥2)，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2](n ≥2)， 又由题意知a 1－2a 1＝－3， 所以a 1＝3，则S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2等比数列. (2)解 由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1， 所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n ＝4（1－2n ）1－2＋n （n ＋1）2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82.思想方法分类讨论思想在等比数列中的应用典例 (12分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)．思想方法指导 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式； (2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明． 规范解答(1)解 设等比数列{a n }的公比为q ， 因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4， 可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.[2分]又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n (n ∈N *)．[3分] (2)证明 由(1)知，S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ， S n ＋1S n＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＋11－⎝⎛⎭⎫－12n＝⎩⎨⎧2＋12n (2n ＋1)，n 为奇数，2＋12n(2n－1)，n 为偶数.[6分]当n 为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝32＋23＝136.[8分]当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝34＋43＝2512.[10分]故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136.[12分]自我检测，夯实智能一、选择题1.已知{a n }，{b n }都是等比数列，那么( ) A.{a n ＋b n }，{a n ·b n }都一定是等比数列B.{a n ＋b n }一定是等比数列，但{a n ·b n }不一定是等比数列C.{a n ＋b n }不一定是等比数列，但{a n ·b n }一定是等比数列D.{a n ＋b n }，{a n ·b n }都不一定是等比数列 解析 两个等比数列的积仍是一个等比数列. 答案 C2.(2018·太原模拟)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( ) A.2B.4C. 2D.2 2解析 在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q 2＝a 4a 2＝14，所以q ＝12，a 1＝a 2q ＝4.答案 B3．(2017·福建漳州八校联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( )A ．－3B ．5C ．－31D ．33答案 D解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知得q ≠1. ∵S 3＝2，S 6＝18，∴1－q 31－q6＝218，得q 3＝8，∴q ＝2. ∴S 10S 5＝1－q 101－q5＝1＋q 5＝33，故选D. 4．(2017·武汉市武昌区调研)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1等于( ) A ．－2 B ．－1 C.12 D.23答案 B解析 由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即q ＋q 2＝3q 2－3，解得q ＝－1(舍去)或q ＝32，将q ＝32代入S 2＝3a 2＋2中得a 1＋32a 1＝3×32a 1＋2，解得a 1＝－1，故选B.5．(2017·张掖市一诊)已知等比数列{a n }中，a 3＝2，a 4a 6＝16，则a 10－a 12a 6－a 8的值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16答案 B解析 a 5＝±a 4·a 6＝±16＝±4， ∵q 2＝a 5a 3>0，∴a 5＝4，q 2＝2，则a 10－a 12a 6－a 8＝q 4＝4. 6.(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏解析 设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则依题意S 7＝381，公比q ＝2.∴a 1（1－27）1－2＝381，解得a 1＝3.答案 B7.设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18B.－18C.578D.558解析 因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且公比不等于－1，在等比数列中，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，则8(S 9－S 6)＝(－1)2，S 9－S 6＝18，即a 7＋a 8＋a 9＝18. 答案 A8.(2018·昆明诊断)在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的值是( ) A.－2B.－ 2C.± 2D. 2解析 根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4， a 3a 7＝2，由a 3＋a 7＝－4<0，a 3a 7>0， 所以a 3<0，a 7<0，即a 5<0， 由a 3a 7＝a 25，得a 5＝－a 3a 7＝－ 2. 答案 B9.数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A.(3n －1)2B.12(9n －1)C.9n －1D.14(3n －1)解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1， ∴当n ≥2时，a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3n －1，故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列.因此a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4（1－9n）1－9＝12(9n －1).答案 B二、填空题10．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________． 答案 4解析 因为a 8＝a 2q 6，a 6＝a 2q 4，a 4＝a 2q 2，所以由a 8＝a 6＋2a 4，得a 2q 6＝a 2q 4＋2a 2q 2，消去a 2q 2，得到关于q 2的一元二次方程(q 2)2－q 2－2＝0，解得q 2＝2，q 2＝－1(舍去)，a 6＝a 2q 4＝1×22＝4.11.(2018·河南百校联盟联考改编)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝40，且S 6＋3a 7＝S 8，则a 2等于________.解析 由S 6＋3a 7＝S 8，得2a 7＝a 8，则公比q 为2，所以a 2＝a 523＝4023＝5.答案 512．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和为________． 答案 2n －1解析 设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21·q 3＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝8，q ＝12.又{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2， ∴数列{a n }的前n 项和为1－2n1－2＝2n －1.13.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1(n ∈N *)，则通项a n ＝________. 解析 ∵a n ＋S n ＝1，①∴a 1＝12，a n －1＋S n －1＝1(n ≥2)，②由①－②，得a n －a n －1＋a n ＝0，即a n a n －1＝12(n ≥2)， ∴数列{a n }是首项为12，公比为12的等比数列，则a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝12n . 答案 12n14.(2018·成都诊断)已知数列{a n }中，a 1＝2，且a 2n ＋1a n＝4(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则其前9项的和S 9＝________.解析 由a 2n ＋1a n＝4(a n ＋1－a n )得，a 2n ＋1－4a n ＋1a n ＋4a 2n ＝0， ∴(a n ＋1－2a n )2＝0，a n ＋1a n＝2，∴数列{a n }是首项a 1＝2，公比为2的等比数列， ∴S 9＝2（1－29）1－2＝1 022. 答案 1 02215.(2018·东北三省三校联考)各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为________.解析 由题意知2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n ·b n ＋1，∴a n ＋1＝b n b n ＋1，当n ≥2时，2b n ＝b n －1b n ＋b n b n ＋1，∵b n >0，∴2b n ＝b n －1＋b n ＋1，∴{b n }成等差数列，由a 1＝1，a 2＝3，得b 1＝2，b 2＝92，∴b 1＝2，b 2＝322，∴公差d ＝22，∴b n ＝n ＋122，∴b n ＝（n ＋1）22， ∴a n ＝b n －1b n ＝n （n ＋1）2. 答案 a n ＝n （n ＋1）2三、解答题16.(2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2＝2，S 3＝－6.(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列.解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设可得⎩⎨⎧a 1（1＋q ）＝2，a 1（1＋q ＋q 2）＝－6，解得⎩⎨⎧q ＝－2，a 1＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n .(2)由(1)得S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝－2[1－（－2）n ]1－（－2）＝23[(－2)n －1]，则S n ＋1＝23[(－2)n ＋1－1]，S n ＋2＝23[(－2)n ＋2－1]，所以S n ＋1＋S n ＋2＝23[(－2)n ＋1－1]＋23[(－2)n ＋2－1]＝23[2(－2)n －2]＝43[(－2)n －1]＝2S n ，∴S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列.17.(2018·惠州调研)已知数列{a n }中，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上，且首项a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值.解 (1)根据已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，即a n ＋1－a n ＝2＝d ，所以数列{a n }是一个等差数列，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2.等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3，所以q ＝3，b n ＝3n －1.数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n 1－3＝3n －12.T n ≤S n 即3n －12≤n 2，又n ∈N *，所以n ＝1或2.18.(2017·合肥模拟)设{a n }是公比为q 的等比数列.(1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列.解 (1)设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n, ②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，∴S n ＝a 1（1－q n）1－q ，∴S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1. (2)假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *，(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，∴q ＝1，这与已知矛盾.故数列{a n ＋1}不是等比数列.19．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ；(2)求T 2n .解 (1)∵a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，∴a n ＋1·a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1，∴a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n . ∵b n ＝a 2n ＋a 2n －1，∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12，∵a 1＝1，a 1·a 2＝12， ∴a 2＝12，∴b 1＝a 1＋a 2＝32. ∴{b n }是首项为32，公比为12的等比数列． ∴b n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝32n . (2)由(1)可知，a n ＋2＝12a n ， ∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列， ∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝3－32n .。
等比数列及其前n项和(高三一轮复习)
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思维点睛►
(1)等比数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，q，an，Sn，一般可 以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，分为q＝1时与q≠1时的情 况．
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解法二：设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1.由题意可得aa12＋ －aa25＋ ＝a432＝，168，
即a111－－qq3＝168， a1q1－q3＝42，
a1＝96， 解得q＝12，
所以a6＝a1q5＝3，故选D.
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(2)设等比数列{an}的公比为q， 由题意得2（12a3）＝3a1＋2a2， 即a1q2＝3a1＋2a1q. 因为数列{an}的各项均为正数，所以a1>0，且q>0，故A、B正确； 由q2－2q－3＝0，解得q＝3或q＝－1(舍)， 所以aa32＝q＝3，aa46＝q2＝9，故C错误，D正确，故选ABD.
第六章 数列
第3讲 等比数列及其前n项和
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1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义；2.探索并掌握等 比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系；3.能在具 体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题；4.体会等比数列与指 数函数的关系．
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(2)由(1)可知 an－3n＝(－1)n， 所以 an＝3n＋(－1)n， 所以 Sn＝311－－33n＋－11·－[1－－1－ 1n] ＝3n＋1－2－1n＋1－2.
2019版高考数学第6章数列3第3讲等比数列及其前n项和教案
第3讲 等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念 (1)定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (q ≠0，n ∈N *)． (2)等比中项如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔G 2＝ab ．“a ，G ，b 成等比数列”是“G 是a 与b 的等比中项”的充分不必要条件． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1qn －1．(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *) (1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ； (2)数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列；(3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时{a n }的公比q ≠－1)． 4．等比数列的单调性当q >1，a 1>0或0<q <1，a 1<0时，{a n }是递增数列； 当q >1，a 1<0或0<q <1，a 1>0时，{a n }是递减数列； 当q ＝1时，{a n }是常数列． 5．等比数列与指数函数的关系当q ≠1时，a n ＝a 1q·q n ，可以看成函数y ＝cq x，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y ＝cq x的图象上．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．( )(2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( ) (3)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (4)如果{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( ) (5)等比数列中不存在数值为0的项．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√(教材习题改编)已知{an }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝( )A ．－12B ．－2C ．2D.12解析：选D.由通项公式及已知得a 1q ＝2①，a 1q 4＝14②，由②÷①得q 3＝18，解得q ＝12.故选D.已知数列{an }满足a n ＝12a n ＋1，若a 3＋a 4＝2，则a 4＋a 5＝( )A. 12 B ．1 C ．4D ．8解析：选C.法一：因为a n ＝12a n ＋1得a n ＋1a n ＝2，所以{a n }为等比数列，其公比为2，又a 3＋a 4＝2得a 1＝16，则a 4＋a 5＝a 1q 3＋a 1q 4＝4.法二：已知a n ＝12a n ＋1，可得a n ＋1＝2a n ，所以a 4＋a 5＝2a 3＋2a 4＝2(a 3＋a 4)＝2×2＝4.设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为________．解析：设等比数列{a n }的公比为q (q >0)， 由a 5＝a 1q 4＝16，a 1＝1，得16＝q 4，解得q ＝2，所以S 7＝a 1（1－q 7）1－q ＝1×（1－27）1－2＝127.答案：127(2017·高考北京卷)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，则a 4＝－1＋3d ＝8，解得d ＝3；b 4＝－1·q 3＝8，解得q ＝－2.所以a 2＝－1＋3＝2，b 2＝－1×(－2)＝2，所以a 2b 2＝1. 答案：1等比数列的基本运算(高频考点)等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度为中、低档题．高考对等比数列的基本运算的考查常有以下三个命题角度： (1)求首项a 1、公比q 或项数n ； (2)求通项或特定项； (3)求前n 项和．[典例引领]角度一 求首项a 1、公比q 或项数n(2018·武汉市武昌区调研考试)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1＝( ) A ．－2 B ．－1 C. 12D. 23【解析】 由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即q ＋q 2＝3q 2－3，解得q ＝－1(舍)或q ＝32，将q ＝32代入S 2＝3a 2＋2中得a 1＋32a 1＝3×32a 1＋2，解得a 1＝－1.【答案】 B角度二 求通项或特定项(方程思想)(2018·合肥模拟)设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3，3a 2，a 3＋4构成等差数列，则a n ＝________．【解析】 由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，（a 1＋3）＋（a 3＋4）2＝3a 2.解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q，a 3＝2q .又S 3＝7，可知2q＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q >1，所以q ＝2， 所以a 1＝1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.【答案】 2n －1角度三 求前n 项和(2016·高考全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n . (1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．【解】 (1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2.所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列， 通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)和a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，得b n ＋1＝b n 3，因此数列{b n }是首项为1，公比为13的等比数列．记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n1－13＝32－12×3n －1.解决等比数列有关问题的三种常见思想方法(1)方程思想：等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．(2)分类讨论思想：因为等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，所以当某一参数为公比进行求和时，就要对参数是否为1进行分类讨论． (3)整体思想：应用等比数列前n 项和公式时，常把q n或a 11－q当成整体进行求解． [通关练习]1．设等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 3＝4，S k ＝63，则k ＝( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选C.设等比数列{a n }的公比为q ，由已知a 1＝1，a 3＝4，得q 2＝a 3a 1＝4.又{a n }的各项均为正数，所以q ＝2.而S k ＝1－2k1－2＝63，所以2k－1＝63， 解得k ＝6.2．(2017·高考江苏卷)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________． 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由S 6≠2S 3得q ≠1，则S 3＝a 1（1－q 3）1－q ＝74，S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝634，解得q ＝2，a 1＝14，则a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案：323．(2017·高考全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； (2)若T 3＝21，求S 3.解：设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3.① (1)由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.②联立①和②解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝0(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)由b 1＝1，T 3＝21得q 2＋q －20＝0， 解得q ＝－5，q ＝4.当q ＝－5时，由①得d ＝8，则S 3＝21. 当q ＝4时，由①得d ＝－1，则S 3＝－6.等比数列的判定与证明[典例引领]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋S n ＝n ，c n ＝a n －1. (1)求证：数列{c n }是等比数列； (2)求S n .【解】 (1)证明：由a n ＋S n ＝n ，① 得a 1＋S 1＝1，即2a 1＝1，解得a 1＝12.又a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1，②由②－①得a n ＋1－a n ＋(S n ＋1－S n )＝1， 即2a n ＋1－a n ＝1，③因为c n ＝a n －1，所以a n ＝c n ＋1，a n ＋1＝c n ＋1＋1，代入③式，得2(c n ＋1＋1)－(c n ＋1)＝1，整理得2c n ＋1＝c n ， 故c n ＋1c n ＝12(常数)． 所以数列{c n }是一个首项c 1＝a 1－1＝12－1＝－12，公比为12的等比数列．(2)由(1)知，c n ＝－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，所以a n ＝c n ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＋1， 所以S n ＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＋n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋n －1.等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2)，则{a n }是等比数列．(2)中项公式法：若数列{a n }中a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列的通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ，q 均为不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0，1)，则{a n }是等比数列．[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．[通关练习]1．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －1＋16，则a 的值为( ) A ．－13B.13C ．－12D.12 解析：选A.法一：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a ·2n －1－a ·2n －2＝a ·2n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝a ＋16，所以a ＋16＝a 2，所以a ＝－13.法二：因为等比数列的前n 项和S n ＝k ×q n－k ，则12a ＝－16，a ＝－13.2．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，设b n ＝a n ＋1－2a n . (1)求证：{b n }是等比数列； (2)设c n ＝a n3n －1，求证：{c n }是等比数列． 证明：(1)a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n .b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝（4a n ＋1－4a n ）－2a n ＋1a n ＋1－2a n＝2a n ＋1－4a n a n ＋1－2a n＝2. 因为S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，所以a 2＝5. 所以b 1＝a 2－2a 1＝3.所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列． (2)由(1)知b n ＝3·2n －1＝a n ＋1－2a n ，所以a n ＋12n －1－a n2n －2＝3.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －2是等差数列，公差为3，首项为2.所以a n2n －2＝2＋(n －1)×3＝3n －1.所以a n ＝(3n －1)·2n －2，所以c n ＝2n －2.所以c n ＋1c n ＝2n －12n －2＝2.所以数列{c n }为等比数列．等比数列的性质(高频考点)等比数列的性质是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，其难度为中等．高考对等比数列的性质的考查常有以下两个命题角度： (1)等比数列项的性质的应用； (2)等比数列前n 项和的性质的应用．[典例引领]角度一 等比数列项的性质的应用(1)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2－6x ＋8＝0的根，则a 1a 17a 9的值为( ) A ．2 2B ．4C ．－22或2 2D ．－4或4(2)(2018·武汉华师附中调研)数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，则使不等式a 21＋a 22＋…＋a 2n<5×2n ＋1成立的n 的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 (1)因为a 3，a 15是方程x 2－6x ＋8＝0的根， 所以a 3a 15＝8，a 3＋a 15＝6，易知a 3，a 15均为正，由等比数列的性质知，a 1a 17＝a 29＝a 3a 15＝8， 所以a 9＝22，a 1a 17a 9＝22，故选A. (2)因为a n ＝2n －1，a 2n ＝4n －1，所以a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1×（1－4n）1－4＝13(4n－1)．因为a 21＋a 22＋…＋a 2n <5×2n ＋1，所以13(4n －1)<5×2n ＋1，所以2n(2n －30)<1，对n 进行赋值，可知n 的最大值为4. 【答案】 (1)A (2)C角度二 等比数列前n 项和的性质的应用等比数列{a n }中，已知a 1＋a 3＝8，a 5＋a 7＝4，则a 9＋a 11＋a 13＋a 15的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．5【解析】 法一：因为{a n }为等比数列，所以a 5＋a 7是a 1＋a 3与a 9＋a 11的等比中项，所以(a 5＋a 7)2＝(a 1＋a 3)·(a 9＋a 11)，故a 9＋a 11＝（a 5＋a 7）2a 1＋a 3＝428＝2.同理，a 9＋a 11是a 5＋a 7与a 13＋a 15的等比中项， 所以(a 9＋a 11)2＝(a 5＋a 7)(a 13＋a 15)， 故a 13＋a 15＝（a 9＋a 11）2a 5＋a 7＝224＝1.所以a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝2＋1＝3. 法二：在等比数列{a n }中，得q 4＝a 5＋a 7a 1＋a 3＝12， 所以a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝q 8(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝14(8＋4)＝3.【答案】 C等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类： (1)通项公式的变形； (2)等比中项的变形；(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．[通关练习]1．已知等比数列{a n }中，a 4＋a 8＝－2，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．－9解析：选 A.a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6a 2＋2a 26＋a 6a 10＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2，因为a 4＋a 8＝－2，所以a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝4.2．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A. 18 B ．－18C. 578D. 558解析：选A.因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.所以a 7＋a 8＋a 9＝18.3．在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前87项的和S 87＝140，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 87＝( ) A ．20 B ．56 C ．80D ．136解析：选 C.法一：a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 87＝a 3(1＋q 3＋q 6＋…＋q 84)＝a 1q 21－（q 3）291－q3＝q 21＋q ＋q 2·a 1（1－q 87）1－q ＝47×140＝80.故选C. 法二：设b 1＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 85，b 2＝a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 86，b 3＝a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 87，因为b 1q ＝b 2，b 2q ＝b 3，且b 1＋b 2＋b 3＝140，所以b 1(1＋q ＋q 2)＝140，又1＋q ＋q 2＝7，所以b 1＝20，b 3＝q 2b 1＝4×20＝80.故选C.等比数列的单调性当⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，0<q <1时，{a n }是递增数列； 当⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }是递减数列； 当q ＝1时，{a n }为常数列； 当q <0时，{a n }为摆动数列．与等比数列前n 项和S n 相关的结论(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{a n }中，公比为q . ①若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q ； ②若共有2n ＋1项，则S 奇－S 偶＝a 1＋a 2n ＋1q1＋q(q ≠1且q ≠－1)．(2)分段求和：S n ＋m ＝S n ＋q nS m ⇔q n＝S n ＋m －S nS m(q 为公比)．易错防范(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q 也不能为0，但q 可为正数，也可为负数．(2)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.(3)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．1．(2018·成都市第二次诊断性检测)在等比数列{a n }中，已知a 3＝6，a 3＋a 5＋a 7＝78，则a 5＝( )A ．12B ．18C ．24D ．36解析：选B.a 3＋a 5＋a 7＝a 3(1＋q 2＋q 4)＝6(1＋q 2＋q 4)＝78⇒1＋q 2＋q 4＝13⇒q 2＝3，所以a 5＝a 3q 2＝6×3＝18.故选B.2．(2018·银川一中模拟)在等比数列{a n }中，若a 1＝19，a 4＝3，则该数列前5项的积为( ) A ．±3 B ．3 C ．±1D ．1解析：选D.因为a 4＝3，所以3＝19×q 3(q 为公比)，得q ＝3，所以a 1a 2a 3a 4a 5＝a 53＝(a 1q 2)5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫19×95＝1，故选D. 3．(2018·云南省11校跨区调研)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( )A ．40B ．60C ．32D ．50解析：选B.由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4，8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，因此S 12＝4＋8＋16＋32＝60，选B. 4．(2018·莱芜模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *，若数列{c n }满足c n ＝ba n ，则c 2 017＝( ) A ．92 016B ．272 016C ．92 017D ．272 017解析：选D.由已知条件知数列{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列， 所以a n ＝3n ，b n ＝3n. 又c n ＝ba n ＝33n， 所以c 2 017＝33×2 017＝272 017.5．(2018·江南十校联考)设数列{a n }是各项均为正数的等比数列，T n 是{a n }的前n 项之积，a 2＝27，a 3a 6a 9＝127，则当T n 最大时，n 的值为( )A ．5或6B ．6C ．5D ．4或5解析：选D.数列{a n }是各项均为正数的等比数列，因为a 3a 6a 9＝127，所以a 36＝127，所以a 6＝13.因为a 2＝27，所以q 4＝a 6a 2＝1327＝181，所以q ＝13.所以a n ＝a 2q n －2＝27×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －5.令a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －5＝1，解得n ＝5，则当T n 最大时，n 的值为4或5.6．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项公式a n ＝________． 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2＝3，①a 10＝a 1q 9＝384，②②÷①，得q 7＝128，即q ＝2，把q ＝2代入①，得a 1＝34，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1＝34×2n －1＝3×2n －3. 答案：3×2n －37．设数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，若S 3＝3a 3，则公比q ＝________．解析：当q ≠1时，a 1（1－q 3）1－q ＝3a 1q 2，解得q ＝1(舍去)或－12.当q ＝1时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 3也成立． 答案：1或－128．在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝________．解析：因为1a 7＋1a 10＝a 7＋a 10a 7a 10，1a 8＋1a 9＝a 8＋a 9a 8a 9，由等比数列的性质知a 7a 10＝a 8a 9，所以1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 8a 9＝158÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－98＝－53. 答案：－539．已知{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，S n 表示{a n }的前n 项和． (1)求a n 及S n ；(2)设{b n }是首项为2的等比数列，公比q 满足q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，求{b n }的通项公式及其前n 项和T n .解：(1)因为{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. 故S n ＝1＋3…＋(2n －1)＝n （a 1＋a n ）2＝n （1＋2n －1）2＝n 2.(2)由(1)得a 4＝7，S 4＝16.因为q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，即q 2－8q ＋16＝0， 所以(q －4)2＝0，从而q ＝4.又因为b 1＝2，{b n }是公比q ＝4的等比数列， 所以b n ＝b 1qn －1＝2·4n －1＝22n －1.从而{b n }的前n 项和T n ＝b 1（1－q n ）1－q ＝23(4n－1)．10．(2017·高考北京卷)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.(1)求{a n }的通项公式； (2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .因为a 2＋a 4＝10，所以2a 1＋4d ＝10. 解得d ＝2.所以a n ＝2n －1. (2)设等比数列{b n }的公比为q .因为b 2b 4＝a 5，所以b 1qb 1q 3＝9.解得q 2＝3. 所以b 2n －1＝b 1q2n －2＝3n －1.从而b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n－12.1．(2018·郑州市第一次质量预测)已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n＜t ，则实数t 的取值范围为( )A ．(13，＋∞)B ．[13，＋∞)C ．(23，＋∞)D ．[23，＋∞)解析：选D.依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a n a 1a 2a 3…a n －1＝2 n22（n －1）2＝2n 2－(n －1)2＝22n －1，又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n ＝122n －1，数列{1a n }是以12为首项，14为公比的等比数列，等比数列{1a n }的前n 项和等于12（1－14n ）1－14＝23(1－14n )＜23，因此实数t 的取值范围是[23，＋∞)，选D.2．(2018·安徽池州模拟)在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”意思是某人要走三百七十八里的路程，第一天脚步轻快有力，走了一段路程，第二天脚痛，走的路程是第一天的一半，以后每天走的路程都是前一天的一半，走了六天才走完这段路程．则下列说法错误的是( ) A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第三天走的路程占全程的18D ．此人后三天共走了四十二里路解析：选C.记每天走的路程里数为a n (n ＝1，2，3，…，6)， 由题意知{a n }是公比为12的等比数列，由S 6＝378，得a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，所以a 2＝192×12＝96，此人第一天走的路程比后五天走的路程多192－(378－192)＝6(里)，a 3＝192×14＝48，48378>18， 前3天走的路程为192＋96＋48＝336(里)， 则后3天走的路程为378－336＝42(里)，故选C.3．已知直线l n ：y ＝x －2n 与圆C n ：x 2＋y 2＝2a n ＋n 交于不同的两点A n ，B n ，n ∈N *，数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝14|A n B n |2，则数列{a n }的通项公式为________．解析：圆C n 的圆心到直线l n 的距离d n ＝|2n |2＝n ，半径r n ＝2a n ＋n ，故a n ＋1＝14|A n B n |2＝r 2n －d 2n ＝2a n ，故数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，故a n ＝2n －1(n ∈N *)．答案：a n ＝2n －1(n ∈N *)4．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，且对任意正整数m ，n 都有a m ＋n ＝a m ·a n ，若S n <a 恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：因为a m ＋n ＝a m ·a n ，令m ＝1得a n ＋1＝a 1·a n ，即a n ＋1a n ＝a 1＝13，所以{a n }为等比数列，所以a n ＝13n ，所以S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n <12，所以a ≥12.故a 的最小值为12.答案：125．(2018·成都市第一次诊断性检测)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2a n ＋4. (1)证明数列{a n ＋4}是等比数列； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)证明：因为a 1＝－2，所以a 1＋4＝2. 因为a n ＋1＝2a n ＋4，所以a n ＋1＋4＝2a n ＋8＝2(a n ＋4)， 所以a n ＋1＋4a n ＋4＝2， 所以{a n ＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)，可知a n ＋4＝2n ，所以a n ＝2n－4. 当n ＝1时，a 1＝－2<0，所以S 1＝|a 1|＝2； 当n ≥2时，a n ≥0.所以S n ＝－a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋(22－4)＋...＋(2n －4)＝2＋22＋ (2)－4(n －1)＝2（1－2n）1－2－4(n －1)＝2n ＋1－4n ＋2.又当n ＝1时，上式也满足． 所以当n ∈N *时，S n ＝2n ＋1－4n ＋2.6．(2018·湖北黄冈调研)数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋12na n (n ∈N *)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n4n －a n，若数列{b n }的前n 项和是T n ，求证：T n <2. 解：(1)由题设得a n ＋1n ＋1＝12·a nn， 又a 11＝2， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为2，公比为12的等比数列，所以a n n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝22－n ，a n ＝n ·22－n＝4n 2n .(2)证明：b n ＝a n 4n －a n ＝4n2n 4n －4n 2n＝12n －1，因为对任意n ∈N *，2n －1≥2n －1，所以b n ≤12n －1.所以T n ≤1＋12＋122＋123＋…＋12n －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n <2.。
高考数学一轮总复习第六章数列第三节等比数列课件
qn+B(A≠0,B≠0,q≠0,q≠1),则必有A+B=0;反之,若某一非常数数列的前
n项和Sn=A·
qn-A(A≠0,q≠0,q≠1),则数列{an}必为等比数列.
1 > 0,
1 < 0,
4.若等比数列{an}的公比为 q,则当
或
时,数列{an}为递增
>1
0<<1
1 > 0,
A.-8
)
B.16 C.32 D.-32
(2)(2023全国乙,理15)已知{an}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则
a7=
.
5
3 27
(3)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 = ,则
=
6 28 4 -3
.
答案 (1)D
(2) -2
1
(3)6
解析(1)设等比数列{an}的公比为q,
(1)方程思想:等比数列的基本量为首项a1和公比q,通常利用已知条件及通
项公式或前n项和公式列方程(组)求解,等比数列中包含a1,q,n,an,Sn五个量,
可“知三求二”.
(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用a1,q表示,寻求两
者间的联系,整体代换即可求解.
(3)分类讨论思想:若题目中公比q未知,则运用等比数列前n项和公式时要
1 < 0,
数列;当
或
时,数列{an}为递减数列;当 q=1 时,数列{an}为
0<<1
>1
常数列;当 q<0 时,数列{an}为摆动数列.
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
2019版高考数学一轮复习第六章数列第三节等比数列及其前n项和实用课件理
及
本节主要包括 3 个知识点： 1.等比数列基本量的计算；
n项和 2.等比数列的性质；
其前
3.等比数列的判定与证明.
突破点(一) 等比数列基本量的计算
突破点(二) 等比数列的性质
012453
突破点(三) 等比数列的判定与证明 全国卷5年真题集中演练——明规律
课时达标检测
01 突破点(一) 等比数列基本量的计算
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝ a1qn－1 .
(2)前
n
项和公式：Sn＝
na1 ，q＝1， a11－qn
1－q ＝
a1－anq 1－q
，q≠1.
[基本能力]
1．判断题
(1)满足 an＋1＝qan(n∈N *，q 为常数)的数列{an}为等比数列．
(2)G 为 a，b 的等比中项⇔G2＝ab.
[解析]
(1)
由
题
意
，
得
a1·a1q4＝16， a1q＝2，
解
得
a1＝1， q＝2，
或
a1＝－1， q＝－2，
(舍去)，故选 C.
(2)①当 n＝1 时，由 6a1＋1＝9a1，得 a1＝13.
当 n≥2 时，由 6Sn＋1＝9an，得 6Sn－1＋1＝9an－1， 两式相减得 6(Sn－Sn－1)＝9(an－an－1)， 即 6an＝9(an－an－1)，∴an＝3an－1.
[答案] (1)C
[全练题点]
1．已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＋a3＝52，a2＋a4＝54，
则Sann＝ A．4n－1
B．4n－1
()
C．2n－1
2019高考数学一轮复习第6章数列第3讲等比数列及其前n项和课件文
【解析】 (1)因为 a1＝3，a1＋a3＋a5＝21， 所以 3＋3q2＋3q4＝21. 所以 1＋q2＋q4＝7. 解得 q2＝2 或 q2＝－3(舍去)． 所以 a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.
(2)由题意得 a1＋a3＋…＝85，a2＋a4＋…＝170， 所以数列{an}的公比 q＝2， 由数列{an}的前 n 项和公式 Sn＝a1（11－－qqn），得 85＋170＝ 11－－22n，解得 n＝8. 【答案】 (1)B (2)8
第六章 数 列
第3讲 等比数列及其前n项和
1．等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一 个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比 数列的__公__比__，公比通常用字母 q(q≠0)表示． aan－n1＝_q_(n≥2，q 为非零常数)，或aan＋n1＝q(n∈N*，q 为非零常 数)⇔{an}是等比数列．
则{an}的前 5 项和为( )
A．93
B．96
C．189
D．192
解析：选 A.设{an}的公比为 q，由 a3＝12，a4＝24 得aa11qq23＝ ＝1242，.
解得 a1＝3，q＝2，所以 S5＝3（11－－225）＝93.
(必修 5 P53 练习 T3 改编)设{an}是由正数组成的等比数列， 公比为 q，则下列结论正确的是( ) A．{a2n}是公比为 q 的等比数列 B．{ an}是公比为 q 的等比数列 C．{a2n}是公比为 q2 的等比数列 D．{ an}是公比为 q2 的等比数列
＋1)＝1，整理得 2cn＋1＝cn，
故ccn＋n 1＝21(常数)． 所以数列{cn}是一个首项 c1＝a1－1＝21－1＝－12，公比为12的等
2019-2020年高考数学一轮复习专题6.3等比数列及其前n项和讲
考点
等比数列的概 念与运算
考纲内容 1. 理解等比数列的概念， 掌 握等比数列的通项公式； 2. 了解等比数列与文 19；理 18； xx 浙江理 19； xx 浙江文 10,17 ；理 3； xx 浙江文 17.
A. 一定是等差数列 B. 一定是等比数列
C. 可能是等差数列，但不会是等比数列
D. 可能是等比数列，但不会是等差数列
【答案】 C
【解析】∵ an+1=3Sn，
∴ Sn+1- Sn=3Sn，
∴ Sn+1=4Sn，
若 S1=0，则数列 {a n} 为等差数列； 若 S1≠0，则数列 {S n} 为首项为 S1，公比为 4 的等比数列，∴ Sn=S1?4n-1，
(4) 如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一 般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构
成什么样的新数列． 对点练习：
【 xx 届浙江省杭州高级中学高三 2 月模拟】已知数列的前项和为，对任意正整数，
列关于的论断中正确的是（ ）
（ 2）在等比数列中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列，
如：，，，，……；，，，，……；
（ 3）在等比数列中，对任意，，； （ 4）在等比数列中，若， ，，且，则 , 特殊地，时，则，是的等比中项
. 也就是：
a1 an a 2 an 1 a3 a n 2
a1 an
，如图所示： a1, a2 , a3, , an 2 , an 1 , an .
（ 2）根据已知递推式构造等
比数列求解相关问题 .
2019版高考理科数学一轮复习课件：第6章(3)等比数列及其前n项和
理科数学 第六章：数列
理科数学 第六章：数列
理科数学 第六章：数列
拓展变式1 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n(n∈N*).
(1)求a1,a2,a3的值;
(2)是否存在常数λ,使得{an+λ}为等比数列?若存在,求出λ的值和通项公式an,若
不存在,请说明理由.
解析 (1)当n=1时,S1=a1=2a1-3,解得a1=3,
考点3 等比数列的性质
理科数学 第六章：数列
理科数学 第六章：数列
理科数学 第六章：数列
理科数学 第六章：数列
考法1 等比数列的判定与证明
B考法帮·题型全突破
考法2 等比数列的基本运算 考法3 等比数列的性质的应用
考法1 等比数列的判定与证明
理科数学 第六章：数列
理科数学 第六章：数列
理科数学 第六章：数列
理科数学 第六章：数列
示例3 A.31
(1)等比数列{an}的前n项和为Sn,若an>0,q>1,a3+a5=20,a2a6=64,则S5= B.36 C.42 D.48
(2)在等比数列{an}中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式 an= . 思路分析 (1)结合已知条件,由根与系数的关系,得a5,a3的值,从而求得q,a1,代 入等比数列前n项和公式即可. (2)利用通项法或对称设元法设出等比数列的项求解,注意an=amqn-m的应用. .
理科数学 第六章：数列
理科数学 第六章：数列
理科数学 第六章：数列
突破攻略 在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要对性质进 行适当变形.此外,解题时注意设而不求思想的运用.
新高考数学 第6章 第3讲 等比数列及其前n项和
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(4)当 q≠－1 或 q＝－1 且 k 为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是 等比数列．当 q＝－1 且 k 为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比 数列．
(5)等比数列{an}的单调性
①满足a1>0， q>1
或a1<0， 0<q<1
＝－18，若 Sk＝－181，则 k＝_5__.
(4)(2020·课标Ⅱ)记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 a5－a3＝12，
a6－a4＝24，则Sann＝ A．2n－1
B．2－21－n
(B )
C．2－2n－1
D．21－n－1
第六章 数列
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[解析] (1)解法一：设等比数列{an}的公比为 q，由 a1＝14，a3a5＝4(a4 －1)，知 q≠1，则 a1q2×a1q4＝4(a1q3－1)，∴116×q6＝414×q3－1，∴q6 －16q3＋64＝0，∴(q3－8)2＝0，即 q3＝8，∴q＝2，∴a2＝12，故选 C．
返回导航[解析]源自解法一：设等比数列{an}的公比为
q，
所
以
a2＋a3＋a4 a1＋a2＋a3
＝
aa11＋＋aa22＋＋aa33q＝q＝2，由 a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝a1(1＋2＋22)＝1 解得
a1＝17，所以 a6＋a7＋a8＝a1(q5＋q6＋q7)＝17×(25＋26＋27)＝17×25×(1＋2
第六章 数列
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6．(2019·全国卷Ⅰ，14,5 分)记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 a1
2019高考数学一轮复习第六章数列6.3等比数列及其前n项和课件理新人教A版
+1 ������
=
���������-���1.
因此{an}是首项为11-������
,公比为 ������ 的等比数列,于是
������-1
an=11-������
������ ������-1
������ -1
.
(2)由(1)得 Sn=1-
������ ������-1
������
.
由 S5=3312,得 1-
(前1)∵n项S3和=aS1n+,aa12=+1a,S3=3=33aa3,3∴,则aS1+5=a(2=2a3),化简可得 1+q-2q2=0,解得 q由(∴12=2)等∵1(AaA���2(���3.比舍1).和在31(���2���数去22等0-a13B列)5比7或���的.���安21的数���或等q���徽前=列=3差安-C12B{n2中,.a庆.,2项5n项}二中和D,则模,公.a6{3,式理-a3na得4}2的)=在SC2公5等,.=且34比181比-15等+-数a12124于5列为=({1a11D216na},.故113中)16和选,a23D-a35.a的2=等2,且差5中a4项为,
������ ������-1
5 = 3312,即
������ ������-1
5 = 312.解得 λ=-1.
答案
考点1 考点2 考点3 考点4
-13-
思考判断或证明一个数列是等比数列有哪些方法? 解题心得1.证明数列{an}是等比数列常用的方法: (1)定义法,证明���������������������-���1=q(n≥2,q 为常数); (2)等比中项法,证明���������2��� =an-1·an+1(n≥2,n∈N*);