教育最新K122019届高考数学一轮复习第五章数列第3节等比数列及其前n项和练习新人教A版

第五章第3节等比数列及其前n 项和[基础训练组]1．(导学号14577459)若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n，则公比为( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16解析：B [由a n a n ＋1＝16n，知a 1a 2＝16，a 2a 3＝162，后式除以前式得q 2＝16，∴q ＝±4. ∵a 1a 2＝a 21q ＝16>0，∴q >0，∴q ＝4.]2．(导学号14577460)等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5＞a 2，则a n 等于( ) A ．(－2)n －1 B ．－(－2)n －1C ．(－2)nD ．－(－2)n解析：A [∵|a 1|＝1，∴a 1＝1或a 1＝－1. ∵a 5＝－8a 2＝a 2·q 3，∴q 3＝－8，∴q ＝－2.又a 5＞a 2，即a 2q 3＞a 2，∴a 2＜0.而a 2＝a 1q ＝a 1·(－2)＜0，∴a 1＝1.故a n ＝a 1·(－2)n－1＝(－2)n －1.]3．(导学号14577461)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．16(1－4－n) B ．16(1－2－n) C.323(1－4－n) D.323(1－2－n) 解析：C [∵a 2＝2，a 5＝14，∴a 1＝4，q ＝12.a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝323(1－4－n )．]4．(导学号14577462)在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或12解析：C [根据已知条件⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21.得1＋q ＋q2q2＝3.整理得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12.]5．(导学号14577463)(2018·泉州市一模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和且S n ＝2a n －2，则S 5－S 4的值为( )A ．8B ．10C ．16D ．32解析：D [当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，解得a 1＝2. 当n ＝2时，a 1＋a 2＝2a 2－2，求得a 2＝4. 当n ≥2时，S n ＝2a n －2，可得S n －1＝2a n －1－2，两式相减可得a n ＝2a n －2a n －1，即为a n ＝2a n －1，所以数列{a n }为首项为4，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n，对n ＝1也成立．所以S 5－S 4＝a 5＝25＝32.故选D.]6．(导学号14577464)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝m ·2n －1－3，则m ＝________ .解析：a 1＝S 1＝m －3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝m ·2n －2，∴a 2＝m ，a 3＝2m ，又a 22＝a 1a 3， ∴m 2＝(m －3)·2m ，整理得m 2－6m ＝0，则m ＝6或m ＝0(舍去)．答案：67．(导学号14577465)(2018·吴忠市模拟)已知等比数列{a n }中，a 3＋a 5＝8，a 1a 5＝4，则a 13a 9＝ ________ . 解析：由等比数列的性质可得a 1a 5＝a 23＝4，解得a 3＝2，或a 3＝－2. 当a 3＝2时，可得a 5＝8－a 3＝6，q 2＝a 5a 3＝3；当a 3＝－2，可得a 5＝8－a 3＝10，q 2＝a 5a 3＝－5(舍去)． ∴a 13a 9＝q 4＝32＝9. 答案：98．(导学号14577466)已知数列{a n }是等比数列，a 1，a 2，a 3依次位于下表中第一行，第二行，第三行中的某一格内，又a 1，a 2，a 3中任何两个都不在同一列，则a n ＝ ________ (n ∈N *).解析：123n 2，公比为3的等比数列，∴a n ＝2·3n －1.答案：2·3n －19．(导学号14577467)(2018·成都市一诊)已知等比数列{a n }的公比q ＞1，且2(a n ＋a n＋2)＝5a n ＋1，n ∈N *. (1)求q 的值；(2)若a 25＝a 10，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 的前n 项和S n .解：(1)∵2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，n ∈N *，∴2a n (1＋q 2)＝5a n q ，化为2(1＋q 2)＝5q ，又q ＞1，解得q ＝2.(2)a 25＝a 10，(a 1×24)2＝a 1×29，解得a 1＝2.∴a n ＝2n.∴a n 3n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n . ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 的前n 项和S n ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 1－23＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n . 10．(导学号14577468)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)．又a 1＝5，a 2＝5， ∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n，则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n)．又∵a 1－3＝2，∴a n －3n≠0，∴{a n －3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n(n ∈N *)．[能力提升组]11．(导学号14577469)(2018·南昌市一模)若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为814，则前4项倒数的和为( )A.32B.94 C ．1D ．2解析：D [∵等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为814，∴设此等比数列的首项为a 1，公比为q ，前4项之和为S ，前4项之积为P ，前4项倒数之和为M .若q ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＝9a 41＝814，无解；若q ≠1，则S ＝a 1－q41－q，M ＝1a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1q 41－1q＝q 4－1a 1q 4－q 3，P ＝a 41q 6， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫S M 4＝(a 21q 3)4＝a 81q 12，P 2＝a 81q 12，∴P 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S M 4. ∵S ＝9，P ＝814，∴前4项倒数的和M ＝S P 9814＝2.故选D.]12．(导学号14577470)(2018·潍坊市一模)在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝82，a 3·a n －2＝81，且数列{a n }的前n 项和S n ＝121，则此数列的项数n 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：B [由等比数列的性质可得a 1a n ＝a 3·a n －2＝81，又a 1＋a n ＝82，∴a 1和a n 是方程x 2－82x ＋81＝0的两根，解方程可得x ＝1或x ＝81.若等比数列{a n }递增，则a 1＝1，a n ＝81. ∵S n ＝121，∴a 1－a n q 1－q ＝1－81q1－q＝121，解得q ＝3，∴81＝1×3n －1，解得n ＝5；若等比数列{a n }递减，则a 1＝81，a n ＝1. ∵S n ＝121，∴a 1－a n q 1－q ＝81－q1－q＝121，解得q ＝13，∴1＝81×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，解得n ＝5.综上，数列的项数n 等于5.故选B.]13．(导学号14577471)(2018·深圳市二调)《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，S n 为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则S n ＝ __________ 尺．解析：依题意大老鼠每天打洞的距离构成以1为首项，2为公比的等比数列， ∴前n 天大老鼠每天打洞的距离为－2n1－2＝2n－1，同理：前n 天小老鼠每天打洞的距离为1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝2－12n －1，∴S n ＝2n －1＋2－12n －1＝2n－12n －1＋1.答案：2n－12n －1＋114．(导学号14577472)已知等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，公比是q ，且满足：a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝12，S 2＝b 2q .(1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝3b n －λ·2a n3，若数列{c n }是递增数列，求λ的取值范围．解：(1)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋3＋a 2＝12，3＋a 2＝q 2，所以q 2＋q －12＝0，解得q ＝3或q ＝－4(舍去)，从而a 2＝6，所以a n ＝3n ，b n ＝3n －1.(2)由(1)知，c n ＝3b n －λ·2a n3＝3n －λ·2n.由题意，c n ＋1＞c n 对任意的n ∈N *恒成立，即3n ＋1－λ·2n ＋1＞3n －λ·2n恒成立，亦即λ·2n ＜2·3n恒成立，即λ＜2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 恒成立．由于函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n是增函数，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n min ＝2×32＝3，故λ＜3，即λ的取值范围为(－∞，3)．。

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高三理科数学一轮复习第五章数列第三节等比数列课件

an=Sn-Sn-1=bn+r-bn-1-r=(b-1)bn-1,
由于 an 为等比数列,a1=b+r 也适合上式,因此 a1=(b-1)·b0=b+r,解得 r=-1,故 r 的值是-1.
9
考点 1 等比数列的基本量的运算
典例 1 (1)(2016·辽宁五校联考)各项都是正数的等比数列{an}的公比 q≠1,且 a2,12a3,a1 成
��1 (�� = 1),
(2)求和:利用条件求出首项 a1 与末项 an,再利用公式 Sn= ��1(1-��)
1-��
(�� ≠ 1)求解,但要注意
对 q 的分类讨论.
13
【变式训练】
1.(2015·广东仲元中学月考)若等比数列{an}的前 n 项和 Sn=a·3n-2,则 a2=
1,
又S3
=
a1
+
a2
+
a3
=
1 q2
+
1 q
+
1
=
7,
得到
6q2
−
q
−
1
=
0,
解得
q
=
1 2
或
q
=
−
1 3
(舍),
所以a��
=
a3
×
q�� −3
=
【参考答案】 B
1 2
n-3
, 则a1
=
4, S5
=
4
1-215 1-12
= 341.
18
【变式训练】
已知数列{an}是等比数列,且 Sm=15,S2m=40,则 S3m=

教育最新K12全国版2019版高考数学一轮复习第5章数列第3讲等比数列及其前n项和学案

第3讲等比数列及其前n项和板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 等比数列的有关概念 1．定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q . 2．等比中项如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab (ab ≠0)．考点2 等比数列的有关公式 1．通项公式：a n ＝a 1qn －1.2．前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.[必会结论]等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n＋3k，…为等比数列，公比为q k.(5)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n.(6)等比数列{a n }满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，0<q <1时，{a n }是递增数列；满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }是递减数列．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．( )(2)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (3)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( )(4)如果{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( ) (5)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)×2．[2018·河南名校联考]在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝3，a 9＝a 2a 3a 4，则公比q 的值为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3 答案 D解析由a 9＝a 2a 3a 4得a 1q 8＝a 31q 6，所以q 2＝a 21，因为等比数列{a n }的各项都为正数，所以q ＝a 1＝3.故选D.3．[课本改编]等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A.13 B ．－13 C.19 D ．－19 答案 C解析由已知条件及S 3＝a 1＋a 2＋a 3，得a 3＝9a 1，设数列{a n }的公比为q ，则q 2＝9. 所以a 5＝9＝a 1·q 4＝81a 1，得a 1＝19.故选C.4．[2018·黄冈调研]设等比数列{a n }中，公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 3的值( ) A.154 B.152 C.74 D.72答案 A解析根据等比数列的公式，得S 4a 3＝a 1(1－q 4)1－q a 1q 2＝1－q 4(1－q )q 2＝1－24(1－2)×22＝154. 5．[2015·全国卷Ⅰ]在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________.答案 6解析 ∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．又∵S n ＝126，∴2(1－2n)1－2＝126，∴n ＝6.6．[2018·衡中检测]在等比数列{a n }中，若a 4－a 2＝6，a 5－a 1＝15，则a 3＝________. 答案 4或－4解析设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3－a 1q ＝6，a 1q 4－a 1＝15，两式相除，得q 1＋q 2＝25，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－16，q ＝12.故a 3＝4或a 3＝－4.板块二典例探究·考向突破考向等比数列的基本运算例 1 (1)[2017·全国卷Ⅱ]我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏答案 B解析设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则由题意知S 7＝381，q ＝2，∴S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝a 1(1－27)1－2＝381，解得a 1＝3.故选B.(2)[2017·江苏高考]等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________. 答案 32解析设{a n }的首项为a 1，公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 3)1－q ＝74，a 1(1－q 6)1－q ＝634，两式相除得1－q 31－q 6＝1－q 3(1－q 3)(1＋q 3)＝19，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，所以a 8＝14×27＝25＝32.触类旁通等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)所求问题可迎刃而解．解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程．【变式训练1】 (1)[2018·东北师大附中月考]已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 3＝52，且a 2＋a 4＝54，则S na n＝( )A ．4n －1B ．4n －1C ．2n －1D ．2n－1答案 D解析设等比数列的公比为q ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q 2)＝52，a 1q (1＋q 2)＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝12，则a n ＝a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝a 12n －1，S n ＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝a 1(2n －1)2n －1，所以S n a n＝2n－1.故选D.(2)[2018·安徽皖江名校联考]已知S n 是各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和，若a 2·a 4＝16，S 3＝7，则a 8＝________.答案 128解析 ∵a 2·a 4＝a 23＝16，∴a 3＝4(负值舍去)，∵a 3＝a 1q 2＝4，S 3＝7，∴q ≠1，S 2＝a 1(1－q 2)1－q＝4q2(1＋q )(1－q )1－q＝3，∴3q 2－4q －4＝0，解得q ＝－23或q ＝2，∵a n >0，∴q ＝－23舍去，∴q ＝2，∴a 1＝1，∴a 8＝27＝128.考向等比数列的性质命题角度1 等比数列性质的应用例 2 (1)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( )A ．5 2B ．7C ．6D ．4 2 答案 A解析 (a 1a 2a 3)×(a 7a 8a 9)＝a 65＝50，a 4a 5a 6＝a 35＝5 2.选A.(2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n >0，q >1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝________. 答案 31解析 a 3a 5＝a 2a 6＝64，因为a 3＋a 5＝20，所以a 3和a 5为方程x 2－20x ＋64＝0的两根，因为a n >0，q >1，所以a 3<a 5，所以a 5＝16，a 3＝4，所以q ＝a 5a 3＝164＝2，所以a 1＝a 3q＝44＝1，所以S 5＝1－q 51－q＝31.命题角度2 等比数列前n 项和性质的应用例 3 (1)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18 C.578 D.558 答案 A解析因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.故选A.(2)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( ) A ．80 B ．30 C ．26 D ．16 答案 B解析由题意知公比大于0，由等比数列性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…仍为等比数列．设S 2n ＝x ，则2，x －2,14－x 成等比数列．由(x －2)2＝2×(14－x )，解得x ＝6或x ＝－4(舍去)．∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…是首项为2，公比为2的等比数列．又∵S 3n ＝14，∴S 4n ＝14＋2×23＝30.故选B. 触类旁通等比数列的性质应用问题(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．考向等比数列的判定与证明例 4 [2018·兰州模拟]已知数列{a n }满足对任意的正整数n ，均有a n ＋1＝5a n －2·3n，且a 1＝8.(1)证明：数列{a n －3n}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)记b n ＝a n3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)因为a n ＋1＝5a n －2·3n，所以a n ＋1－3n ＋1＝5a n －2·3n －3n ＋1＝5(a n －3n)，又a 1＝8，所以a 1－3＝5≠0，所以数列{a n －3n}是首项为5、公比为5的等比数列．所以a n －3n＝5n，所以a n ＝3n＋5n.(2)由(1)知，b n ＝a n 3n ＝3n ＋5n3n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫53n，则数列{b n }的前n 项和T n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫531＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫532＋…＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫53n ＝n ＋53⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫53n 1－53＝5n ＋12·3n ＋n －52. 触类旁通等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n－k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．提醒前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中．【变式训练2】已知数列{a n }满足2a 1＋4a 2＋…＋2n a n ＝n (n ＋1)2.(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和T n .解 (1)证明：当n ＝1时，由2a 1＝1，得a 1＝12，当n ≥2时，由2a 1＋4a 2＋ (2)a n ＝n (n ＋1)2，得2a 1＋4a 2＋…＋2n －1a n －1＝(n －1)n2，于是2na n ＝n (n ＋1)2－(n －1)n2＝n ，整理得a n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，又a 1＝12符合上式，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列．(2)由(1)得，a n ＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，T n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，①12T n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋…＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，②由①－②得12T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，即T n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12－n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n－n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝2－n ＋22n .核心规律1.已知a 1、q 、n 、a n 、S n 中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想．2.证明一个数列为等比数列常用定义法或等比中项法，其他方法用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．满分策略1.求解等比数列的问题，要注意等比数列性质的应用以减少运算量，而提高解题速度．2.在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误.板块三启智培优·破译高考易错警示系列7——数列中的思维定式致误[2018·武汉检测]已知等比数列{a n }中a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，0)∪[1，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)错因分析本题易错的原因是受q >0的思维定式的影响，遗漏当q <0时的情况，认为S 3＝1q＋1＋q ≥3.解析因为等比数列{a n }中a 2＝1，设其公比为q ，所以S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1q＋1＋q ＝1＋q ＋1q.当公比q >0时，S 3＝1＋q ＋1q≥1＋2q ·1q＝3，当且仅当q ＝1时，等号成立；当公比q <0时，S 3＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－q －1q ≤1－2－q ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1q ＝－1，当且仅当q ＝－1时，等号成立．所以S 3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．答案 D答题启示等比数列的公比q <0时，相邻两项一定异号，相隔一项的两项符号一定相同；等比数列的公比q >0时，数列中的各项符号相同；用等比数列前n 项和公式时，如果其公比q 不确定，要分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论.跟踪训练已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7 答案 D解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4.当a 4＝4，a 7＝－2时，易得a 1＝－8，a 10＝1，从而a 1＋a 10＝－7；当a 4＝－2，a 7＝4时，易得a 10＝－8，a 1＝1，从而a 1＋a 10＝－7.板块四模拟演练·提能增分[A 级基础达标]1．在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于( ) A ．3 B ．－3 C ．－1 D ．1 答案 A解析两等式相减得a 4－a 3＝2a 3，从而求得a 4a 3＝3＝q .故选A. 2．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12 D.18答案 C解析设等比数列{a n }的公比为q ，a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，由题可知q ≠1，则a 1q 2·a 1q4＝4(a 1q 3－1)，∴116×q 6＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫14×q 3－1，∴q 6－16q 3＋64＝0，∴(q 3－8)2＝0，∴q 3＝8，∴q＝2，∴a 2＝12.故选C.3．[2018·江西九江一模]已知单调递增的等比数列{a n }中，a 2·a 6＝16，a 3＋a 5＝10，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．2n －2－14B ．2n －1－12 C ．2n －1 D ．2n ＋1－2答案 B解析因为a 2·a 6＝16，所以a 3·a 5＝16，又a 3＋a 5＝10，等比数列{a n }单调递增，所以a 3＝2，a 5＝8，所以公比q ＝2，a 1＝12，所以S n ＝12(1－2n )1－2＝2n －1－12.故选B.4．[2018·延庆模拟]等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1) C.n (n ＋1)2D.n (n －1)2答案 A解析 ∵a 2，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 2·a 8，即(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )，将d ＝2代入上式，解得a 1＝2， ∴S n ＝2n ＋n (n －1)·22＝n (n ＋1)．故选A.5．[2015·全国卷Ⅱ]已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84 答案 B解析设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1(1＋q 2＋q 4)＝21，又a 1＝3，所以q 4＋q 2－6＝0，所以q 2＝2(q 2＝－3舍去)，所以a 3＝6，a 5＝12，a 7＝24，所以a 3＋a 5＋a 7＝42.故选B.6．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 3a 5＝14a 1，且a 4与a 7的等差中项为98，则S 5等于( )A ．35B ．33C ．31D ．29 答案 C解析设等比数列{a n }的公比是q ，所以a 3a 5＝a 21q 6＝14a 1，得a 1q 6＝14，即a 7＝14.又a 4＋a 7＝2×98，解得a 4＝2，所以q 3＝a 7a 4＝18，所以q ＝12，a 1＝16，故S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1321－12＝31.故选C.7．[2018·昆明模拟]设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( ) A ．2 B.73 C.310 D ．1或2答案 B解析设S 2＝k ，S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，∴S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，S 4＝3k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73.故选B.8．已知数列1，a 1，a 2,9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，则b 2a 1＋a 2的值为________．答案310解析因为1，a 1，a 2,9是等差数列，所以a 1＋a 2＝1＋9＝10.又1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，所以b 22＝1×9＝9，易知b 2>0，所以b 2＝3，所以b 2a 1＋a 2＝310. 9．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a )．这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x 的值等于________．答案－1＋52解析已知(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项，即(c －a )2＝(b －c )(b －a )，把c ＝a ＋x (b －a )代入上式，得x 2(b －a )2＝[b －a －x (b －a )](b －a )，即x 2(b －a )2＝(1－x )(b －a )2.因为b >a ，所以b －a ≠0，所以x 2＝1－x ，即x 2＋x －1＝0，解得x ＝－1＋52或x ＝－1－52(舍去)．10．等比数列{a n }满足：对任意n ∈N *,2(a n ＋2－a n )＝3a n ＋1，a n ＋1>a n ，则公比q ＝________. 答案 2解析由题知2(a n q 2－a n )＝3a n q ，即2q 2－3q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－12，又a n ＋1>a n ，故q ＝2.[B 级知能提升]1．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝x ·3n －1－16，则x 的值为( ) A.13 B ．－13 C.12 D ．－12 答案 C解析解法一：∵S n ＝x ·3n －1－16＝x 3·3n－16，由上述结论，得x 3＝16，∴x ＝12.解法二：当n ＝1时，a 1＝S 1＝x －16；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2x ·3n －2.∵{a n }是等比数列，∴n ＝1时也应适合a n ＝2x ·3n －2，即2x ·3－1＝x －16，解得x ＝12.故选C.2．记等比数列{a n }的前n 项积为T n (n ∈N *)，已知a m －1·a m ＋1－2a m ＝0，且T 2m －1＝128，则m 的值为( )A ．4B ．7C ．10D ．12 答案 A解析因为{a n }是等比数列，所以a m －1a m ＋1＝a 2m .又a m －1a m ＋1－2a m ＝0，则a 2m －2a m ＝0.所以a m ＝2. 由等比数列的性质可知前2m －1项积T 2m －1＝a 2m －1m，即22m －1＝128，故m ＝4.选A. 3．[2016·全国卷Ⅰ]设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．答案 64解析设{a n }的公比为q ，由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，得a 1＝8，q ＝12，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －4(n∈N *)，即数列为递减数列．当n ≤4时，a n ≥1；当n ≥5时，0<a n <1，所以当n ＝3或4时，a 1a 2…a n 最大，又a 2＝4，a 3＝2，a 4＝1，所以a 1a 2…a n ≤a 1a 2a 3a 4＝64.4．[2017·北京高考]已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.(1)求{a n }的通项公式； (2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 2＋a 4＝10，所以2a 1＋4d ＝10，解得d ＝2，所以a n ＝2n －1. (2)设等比数列{b n }的公比为q ，因为b 2b 4＝a 5，所以b 1qb 1q 3＝9，解得q 2＝3，所以b 2n －1＝b 1q2n －2＝3n －1.从而b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n－12.5．已知在数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝4，且a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2)． (1)证明：数列{a n ＋1－a n }为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝2n －1a n，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2)，得a n ＋1－a n ＝2(a n －a n －1)，因此数列{a n ＋1－a n }是公比为2，首项为a 2－a 1＝2的等比数列．所以当n ≥2时，a n －a n －1＝2×2n －2＝2n －1，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝(2n －1＋2n －2＋…＋2)＋2＝2n ，当n ＝1时，也符合，故a n ＝2n . (2)由(1)知b n ＝2n －12n ，所以T n ＝12＋322＋523＋…＋2n －12n ①，12T n ＝122＋323＋524＋…＋2n －12n ＋1②， ①－②，得12T n ＝12＋222＋223＋224＋…＋22n －2n －12n ＋1 ＝12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋124＋…＋12n －2n －12n ＋1＝12＋2×14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－2n －12n ＋1 ＝12＋1－12n －1－2n －12n ＋1 ＝32－2n ＋32n ＋1，所以T n ＝3－2n ＋32n .。

2019版高考数学一轮复习第5章数列5.3等比数列及其前n项和学案理

5．3 等比数列及其前n 项和[知识梳理]1．等比数列的有关概念 (1)等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (q ≠0)表示．数学语言表达式：a na n －1＝q (n ≥2)，q 为常数，q ≠0. (2)等比中项如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab .2．等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1qn －1；可推广为a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.3．等比数列的相关性质设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *. 特别地，若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中p ，s ，r ∈N *.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m(k ，m ∈N *)．(3)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n (其中b ，p ，q 是非零常数)也是等比数列．(4)S m ＋n ＝S n ＋q nS m ＝S m ＋q mS n .(5)当q ≠－1或q ＝－1且k 为奇数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…是等比数列，公比为q k .当q ＝－1且k 为偶数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…不是等比数列．(6)若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T 3nT 2n，…成等比数列． (7)若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q .[诊断自测] 1．概念思辨(1)如果{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( ) (2)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( )(3)在等比数列{a n }中，如果m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)，那么a m ·a n ＝a 2k .( )(4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× 2．教材衍化(1)(必修A5P 53T 1)若等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝20，a 2＋a 4＝40，则公比q ＝( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．4答案 B解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝20，a 1q ＋a 1q 3＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝2.故选B.(2)(必修A5P 56例1)设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为________．答案 127解析a 5＝a 1q 4得q ＝2，所以S 7＝1－271－2＝127.3．小题热身(1)(2018·华师一附中联考)在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝8，a 7＝8，则a 1＝( ) A ．1 B ．±1 C ．2 D ．±2答案 A解析因为数列{a n }是等比数列，所以a 2a 3a 4＝a 33＝8，所以a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝2q 4＝8，所以q 2＝2，a 1＝a 3q2＝1.故选A.(2)(2018·安徽芜湖联考)在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或12答案 C解析根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7，①a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21，②②÷①得1＋q ＋q 2q2＝3.整理得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12.故选C.题型1 等比数列基本量的运算典例1 (2017·广东惠州第二次调研)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7方程组法．答案 D解析由a 5a 6＝a 4a 7，得a 4a 7＝－8，解⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8得a 4＝4，a 7＝－2或a 4＝－2，a 7＝4，∴q 3＝－12或q 3＝－2.当q 3＝－12时，a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 4q 6＝4－12＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝－7；当q 3＝－2时，a 1＋a 10＝a 4q3＋a 4q 6＝－2－2＋(－2)·(－2)2＝－7.故选D.典例2 (2017·金凤区四模)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5＝10，S 10＝50，则S 20等于( )A ．90B ．250C ．210D ．850把a 11－q看成一个整体．答案 D解析由题意数列的公比q ≠1，设首项为a 1， ∵S 5＝10，S 10＝50，∴a 1(1－q 5)1－q ＝10，a 1(1－q 10)1－q＝50，∴两式相除可得1＋q 5＝5，∴q 5＝4， ∴a 11－q ＝－103，∴S 20＝a 1(1－q 20)1－q ＝－103·(1－256)＝850.故选D.方法技巧等比数列的基本运算方法及数学思想1．等比数列的基本运算方法(1)对于等比数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程(组)求出a 1，q .如果再给出第三个条件就可以完成a n ，a 1，q ，n ，S n 的“知三求二”问题．(2)对称设元法：一般地，连续奇数个项成等比数列，可设为…，xq，x ，xq ，…；连续偶数个项成等比数列，可设为…，x q 3，x q，xq ，xq 3，…(注意：此时公比q 2>0，并不适合所有情况)这样即可减少未知量的个数，也使得解方程较为方便．2．基本量计算过程中涉及的数学思想方法 (1)方程思想，即“知三求二”．(2)分类讨论思想，即分q ＝1和q ≠1两种情况，此处是常考易错点，一定要引起重视． (3)整体思想．应用等比数列前n 项和时，常把q n，a 11－q当成整体求解．见典例2. 冲关针对训练(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.答案 32解析设{a n }的首项为a 1，公比为q ，当q ＝1时，S 3＝3a 1，S 6＝6a 1＝2S 3，不符合题意，所以q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 3)1－q ＝74，a 1(1－q 6)1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，所以a 8＝14×27＝25＝32.题型2 等比数列的判断与证明典例已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *有a n ＋S n ＝n . (1)设b n ＝a n －1，求证：数列{b n }是等比数列； (2)设c 1＝a 1且c n ＝a n －a n －1(n ≥2)，求{c n }的通项公式．本题用定义法．解 (1)证明：由a 1＋S 1＝1及a 1＝S 1，得a 1＝12.又由 a n ＋S n ＝n 及a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1，得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1.∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，即2b n ＋1＝b n .∴数列{b n }是以b 1＝a 1－1＝－12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)知2a n ＋1＝a n ＋1.∴2a n ＝a n －1＋1(n ≥2)． ∴2a n ＋1－2a n ＝a n －a n －1.∴2c n ＋1＝c n (n ≥2)．又c 1＝a 1＝12，a 2＋a 1＋a 2＝2，∴a 2＝34.∴c 2＝34－12＝14，c 2＝12c 1.∴数列{c n }是首项为12，公比为12的等比数列．∴c n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.[条件探究] 将典例条件“a n ＋S n ＝n ”变为“a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2，若b n ＝a n ＋1－2a n ”， (1)求证{b n }是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)若c n ＝a n3n －1，证明{c n }为等比数列．解 (1)a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n .b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝(4a n ＋1－4a n )－2a n ＋1a n ＋1－2a n＝2a n ＋1－4a na n ＋1－2a n＝2，∴数列{b n }是公比为2的等比数列，首项为a 2－2a 1. ∵S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2， ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.b n ＝3·2n －1＝a n ＋1－2a n ，∴a n ＋12n －1－a n2n －2＝3. ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －2是等差数列，公差为3，首项为2.∴a n2n －2＝2＋(n －1)×3＝3n －1.∴a n ＝(3n －1)·2n －2.(2)证明：由(1)知a n ＝(3n －1)·2n －2，所以c n ＝2n －2.所以c n ＋1c n ＝2n －12n －2＝2.又c 1＝a 13×1－1＝12，所以数列{c n }是首项为12，公比为2的等比数列．方法技巧等比数列的判定方法1．定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．见典例．2．等比中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．3．通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．4．前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n－k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．提醒：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．冲关针对训练(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解 (1)由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.题型3 等比数列前n 项和及性质的应用角度1 等比数列性质的综合应用典例 (2015·安徽高考)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．方程组法．答案 2n－1解析由已知得，a 1a 4＝a 2a 3＝8，又a 1＋a 4＝9，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1.又数列{a n }是递增的等比数列，∴a 1＜a 4，∴a 1＝1，a 4＝8，从而q 3＝a 4a 1＝8，即q ＝2，则前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n－1. 角度2 等比数列的前n 项和典例各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．16q ≠1，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列．答案 B解析由题意知公比大于0，由等比数列性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…仍为等比数列．设S 2n ＝x ，则2，x －2,14－x 成等比数列．由(x －2)2＝2×(14－x )，解得x ＝6或x ＝－4(舍去)．∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…是首项为2，公比为2的等比数列．又∵S 3n ＝14，∴S 4n ＝14＋2×23＝30.故选B. 角度3 等差数列与等比数列的综合典例 (2015·湖南高考)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________.利用方程思想方法．答案 3n －1解析设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，依题意得a 2＝a 1q ＝q ，a 3＝a 1q 2＝q 2，S 1＝a 1＝1，S 2＝1＋q ，S 3＝1＋q ＋q 2.又3S 1,2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(1＋q )＝3＋1＋q ＋q 2，解得q ＝3(q ＝0舍去)．所以a n ＝a 1qn －1＝3n －1.方法技巧1．在解答等比数列的有关问题时，为简化解题过程常常利用等比数列项的如下性质： (1)通项公式的推广：a n ＝a m qn －m ；(2)等比中项的推广与变形：a 2p ＝a m ·a n (m ＋n ＝2p )及a k ·a t ＝a m ·a n (k ＋t ＝m ＋n )(m ，n ，p ，k ，t ∈N *)．见角度1典例．2．对已知条件为等比数列的前几项和，求其前多少项和的问题，应用公比不为－1的等比数列前n 项和的性质：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列比较简便．见角度2典例．冲关针对训练(2017·滨海新区期中)已知递增等比数列{a n }的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项分别减去1,3,9后成等差数列．(1)求{a n }的首项和公比； (2)设S n ＝a 21＋a 22＋…＋a 2n ，求S n .解 (1)根据等比数列的性质，可得a 3·a 5·a 7＝a 35＝512，解之得a 5＝8. 设数列{a n }的公比为q ，则a 3＝8q2，a 7＝8q 2，由题设可得⎝ ⎛⎭⎪⎫8q2－1＋(8q 2－9)＝2(8－3)＝10，解之得q 2＝2或12.∵{a n }是递增数列，可得q ＞1，∴q 2＝2，得q ＝ 2. 因此a 5＝a 1q 4＝4a 1＝8，解得a 1＝2. (2)由(1)得{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1＝2×(2)n －1＝(2)n ＋1，∴a 2n ＝[(2)n ＋1]2＝2n ＋1，可得{a 2n }是以4为首项，公比等于2的等比数列．因此S n ＝a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4(1－2n)1－2＝2n ＋2－4.1．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏答案 B解析设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则由题意知S 7＝381，q ＝2，∴S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝a 1(1－27)1－2＝381，解得a 1＝3.故选B.2．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84答案 B解析设{a n }的公比为q ，由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得1＋q 2＋q 4＝7，解得q 2＝2(负值舍去)．∴a 3＋a 5＋a 7＝a 1q 2＋a 3q 2＋a 5q 2＝(a 1＋a 3＋a 5)q 2＝21×2＝42.故选B.3．(2017·北京高考)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.答案 1解析设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，则由a 4＝a 1＋3d ，得d ＝a 4－a 13＝8－(－1)3＝3，由b 4＝b 1q 3得q 3＝b 4b 1＝8－1＝－8，∴q ＝－2.∴a 2b 2＝a 1＋db 1q ＝－1＋3－1×(－2)＝1.4．(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．答案 64解析等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，可得q (a 1＋a 3)＝5，解得q ＝12.a 1＋q 2a 1＝10，解得a 1＝8.则a 1a 2…a n ＝a n1·q1＋2＋3＋…＋(n －1)＝8n·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n (n －1)2＝23n －n 2－n2 ＝27n －n 22，当n ＝3或4时，表达式取得最大值2122 ＝26＝64. 故答案为64.[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2018·邢台摸底)已知数列{a n }为等比数列，a 5＝1，a 9＝81，则a 7＝( ) A ．9或－9 B ．9 C ．27或－27 D ．27答案 B解析依题意得a 27＝a 5·a 9＝81，又注意到a 7a 5＝q 2>0(其中q 为公比)，因此a 5，a 7的符号相同，故a 7＝9.故选B.2．(2018·安徽安庆模拟)数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值等于( )A ．1B ．－1 C.12 D ．2答案 D解析由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －2λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2.故选D.3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里答案 B解析设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝12，依题意有a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝192×12＝96，即第二天走了96里．故选B.4．(2018·浙江温州十校联考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C解析由已知得，S m －S m －1＝a m ＝－16，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝32，故公比q ＝a m ＋1a m＝－2.又S m ＝a 1－a m q 1－q＝－11，故a 1＝－1.又a m ＝a 1·q m －1＝－16，故(－1)×(－2)m －1＝－16，求得m ＝5.故选C.5．(2017·福建漳州八校联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( )A ．－3B ．5C ．－31D ．33答案 D解析设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知得q ≠1. ∵S 3＝2，S 6＝18， ∴1－q 31－q 6＝218，得q 3＝8， ∴q ＝2.∴S 10S 5＝1－q 101－q5＝1＋q 5＝33.故选D.6．(2017·安徽六校素质测试)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，a 1＝2，S n 是数列{a n }的前n 项的和，则S 10－S 4＝( )A ．1008B ．2016C ．2032D ．4032答案 B解析由题意知2(a 4＋2)＝a 2＋a 5，即2(2q 3＋2)＝2q ＋2q 4＝q (2q 3＋2)，得q ＝2，所以a n ＝2n，S 10＝2(1－210)1－2＝211－2＝2046，S 4＝2(1－24)1－2＝25－2＝30，所以S 10－S 4＝2016.故选B.7．(2018·上海黄浦模拟)已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n 是数列{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为( )A.158或4 B.4027或4 C.4027D.158答案 C解析设数列{a n }的公比为q .当q ＝1时，由a 1＝1，得28S 3＝28×3＝84，S 6＝6，两者不相等，因此不合题意．当q ≠1时，由28S 3＝S 6及首项为1，得28(1－q 3)1－q ＝1－q61－q ，解得q ＝3.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为1＋13＋19＋127＝4027.8．(2018·衡水模拟)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 1＝120，9S 3＝S 6，设T n ＝a 1a 2a 3·…·a n ，则使T n 取最小值时n 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C解析设等比数列{a n }的公比为q ，由9S 3＝S 6知，q ≠1，故9(1－q 3)1－q ＝1－q61－q ，解得q ＝2，又a 1＝120，所以a n ＝a 1qn －1＝2n －120. 因为T n ＝a 1a 2a 3·…·a n ，故当T n 取最小值时a n ≤1，且a n ＋1≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2n －120≤1，2n20≥1，得n ＝5.故选C.9．(2018·河南洛阳模拟)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 D解析∵a ，b 是函数f (x )＝x 2－px 十q (p >0，q >0)的两个不同的零点，∴a ＋b ＝p ，ab ＝q .∵p >0，q >0，∴a >0，b >0.又a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2b ＝a －2，ab ＝4①或⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝b －2，ab ＝4，②解①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，解②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.∴p ＝a ＋b ＝5，q ＝1×4＝4. ∴p ＋q ＝9.故选D.10．(2017·广东清远一中一模)已知正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53C.256D ．不存在答案 A解析∵正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1， ∴a 1q 2＝a 1q ＋2a 1，即q 2＝q ＋2，解得q ＝－1(舍)或q ＝2， ∵存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1， ∴a m a n ＝16a 21， ∴(a 1·2m －1)·(a 1·2n －1)＝16a 21，∴a 21·2m ＋n －2＝16a 21，∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(m ＋n ) ＝16⎝⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2n m ·4m n ＝32(当且仅当n ＝2m 时取等)， ∴1m ＋4n 的最小值是32.故选A. 二、填空题11．(2014·天津高考)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．答案－12解析S 1＝a 1，S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6.故(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12.12．(2014·广东高考)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.答案 50解析因为等比数列{a n }中，a 10·a 11＝a 9·a 12，所以由a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，可解得a 10·a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln (a 1·a 2·…·a 20) ＝ln (a 10·a 11)10＝10ln (a 10·a 11)＝10ln e 5＝50.13．(2017·广东潮州二模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＝2×3n －1(n ∈N *)，若b n＝a n ＋1S n S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝________. 答案 12－13n ＋1－1解析由a n ＝2×3n －1可知数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，所以S n ＝2(1－3n)1－3＝3n－1，则b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝12－13n ＋1－1.14．一正数等比数列前11项的几何平均数为32，从这11项中抽去一项后所余下的10项的几何平均数为32，那么抽去的这一项是第________项．答案 6解析由于数列的前11项的几何平均数为32，所以该数列的前11项之积为3211＝255. 当抽去一项后所剩下的10项之积为3210＝250， ∴抽去的一项为255÷250＝25.又因a 1·a 11＝a 2·a 10＝a 3·a 9＝a 4·a 8＝a 5·a 7＝a 26， ∴a 1·a 2·…·a 11＝a 116.故有a 116＝255，即a 6＝25. ∴抽出的应是第6项．三、解答题15．(2017·海淀区模拟)已知{a n }是等差数列，满足a 1＝2，a 4＝14，数列{b n }满足b 1＝1，b 4＝6，且{a n －b n }是等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若∀n ∈N *，都有b n ≤b k 成立，求正整数k 的值．解 (1)设{a n }的公差为d ，则d ＝a 4－a 13＝4，∴a n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2，故{a n }的通项公式为a n ＝4n －2(n ∈N *)．设c n ＝a n －b n ，则{c n }为等比数列．c 1＝a 1－b 1＝2－1＝1，c 4＝a 4－b 4＝14－6＝8，设{c n }的公比为q ，则q 3＝c 4c 1＝8，故q ＝2. 则c n ＝2n －1，即a n －b n ＝2n －1.∴b n ＝4n －2－2n －1(n ∈N *)．故{b n }的通项公式为b n ＝4n －2－2n －1(n ∈N *)．(2)由题意，b k 应为数列{b n }的最大项．由b n ＋1－b n ＝4(n ＋1)－2－2n－4n ＋2＋2n －1＝4－2n －1(n ∈N *)．当n ＜3时，b n ＋1－b n ＞0，b n ＜b n ＋1，即b 1＜b 2＜b 3；当n ＝3时，b n ＋1－b n ＝0，即b 3＝b 4；当n ＞3时，b n ＋1－b n ＜0，b n ＞b n ＋1，即b 4＞b 5＞b 6＞…. 综上所述，数列{b n }中的最大项为b 3和b 4. 故存在k ＝3或4，使∀n ∈N *，都有b n ≤b k 成立．16．(2015·广东高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列；(3)求数列{a n }的通项公式．解 (1)∵4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1， ∴n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，∴4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋5(a 1＋a 2)＝8(a 1＋a 2＋a 3)＋a 1，∴4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝8×( 1＋32＋54 )＋1，解得a 4＝78.(2)证明：∵n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1， ∴4(S n ＋2－S n ＋1)－2(S n ＋1－S n ) ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤(S n ＋1－S n )－12(S n －S n －1)，∴(S n ＋2－S n ＋1)－12(S n ＋1－S n )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(S n ＋1－S n )－12(S n －S n －1)， ∴a n ＋2－12a n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1－12a n .又a 3－12a 2＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 2－12a 1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是首项为1，公比为12的等比数列．(3)由(2)知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是首项为1，公比为12的等比数列，∴a n ＋1－12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，两边同乘以2n ＋1，得a n ＋1·2n ＋1－a n ·2n＝4.又a 2·22－a 1·21＝4，∴{a n ·2n}是首项为2，公差为4的等差数列， ∴a n ·2n ＝2＋4(n －1)＝2(2n －1)， ∴a n ＝2(2n －1)2n＝2n －12n －1.。

2019年高考数学一轮复习：等比数列

2019年高考数学一轮复习：等比数列等比数列1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的等于同一，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，通常用字母q 表示(q ≠0)．2．等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的，且G 2＝或G ＝ .3．等比数列的通项公式(1)若{a n }是等比数列，则通项a n ＝或a n ＝ .当n －m 为大于1的奇数时，q 用a n ，a m 表示为q ＝；当n －m 为正偶数时，q ＝．(2)a n ＝a 1q n －1可变形为a n ＝Aq n ，其中A ＝；点(n ，a n )是曲线上一群孤立的点．4．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }中，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ ，q ＝1，＝，q ≠1.求和公式的推导方法是：，为解题的方便，有时可将求和公式变形为S n ＝Bq n －B (q ≠1)，其中B＝且q ≠0，q ≠1.5．等比数列的性质(1)在等比数列中，若p ＋q ＝m ＋n ，则a p ·a q ＝a m ·a n ；若2m ＝p ＋q ，则a 2m ＝a p ·a q (p ，q ，m ，n ∈N *)．(2)若{a n }，{b n }均为等比数列，且公比分别为q 1，q 2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{p ·a n }(p ≠0)，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 仍为等比数列且公比分别为，，， .(3)在等比数列中，按序等距离取出若干项，也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋m ，a n ＋2m ，…仍为等比数列，公比为．(4)公比不为－1的等比数列前n 项和为S n (S n ≠0)，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…构成等比数列，且公比为．(5)对于一个确定的等比数列，在通项公式a n ＝a 1q n －1中，a n 是n 的函数，这个函数由正比例函数a n＝a 1q·u 和指数函数u ＝q n (n ∈N *)复合而成． ①当a 1＞0，或a 1＜0，时，等比数列{a n }是递增数列；②当a 1＞0，或a 1＜0，时，等比数列{a n }是递减数列；③当时，它是一个常数列； ④当时，它是一个摆动数列．自查自纠1．比常数公比 2．等比中项 ab ±ab 3．(1)a 1qn －1a m qn －mn －m a n a m ±n －m a na m(2)a 1qy ＝⎝⎛⎭⎫a 1q q x 4．na 1 a 1（1－q n ）1－q a 1－a n q1－q乘公比，错位相减 a 1q －15．(2)1q 1 q 1 q 1q 2 q 1q 2(3)q m (4)q n (5)①q ＞1 0＜q ＜1 ②0＜q ＜1 q ＞1 ③q ＝1 ④q ＜0已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝( )A.12B.22C. 2 D ．2 解：因为a 3·a 9＝2a 25，则由等比数列的性质有：a 3·a 9＝a 26＝2a 25，所以a 26a 25＝2，即⎝⎛⎭⎫a 6a 52＝q 2＝2.因为公比为正数，故q ＝ 2.又因为a 2＝1，所以a 1＝a 2q ＝12＝22.故选B .已知等比数列{a n }为递增数列．若a 1>0，且2(a n＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的公比q ＝( )A ．2 B.12 C ．2或12 D ．3解：由题意得2a n ＋2a n q 2＝5a n q ，化简得2q 2－5q＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12，由题意知q >1.所以q ＝2.故选A .设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n解：a n ＝⎝⎛⎭⎫23n －1，S n＝1－23a n 1－23＝3⎝⎛⎭⎫1－23a n ＝3－2a n .故选D .等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________.解：设数列{a n }的公比为q .由S 3＋3S 2＝0，得4a 1＋4a 2＋a 3＝0，则4a 1＋4a 1q ＋a 1q 2＝0.显然a 1≠0，所以4＋4q ＋q 2＝0，解得q ＝－2.故填－2.(2015·湖南)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________．解：由3S 1，2S 2，S 3成等差数列，得4S 2＝3S 1＋S 3，即3S 2－3S 1＝S 3－S 2，也即3a 2＝a 3，得公比q ＝3，所以a n ＝a 1q n －1＝3n －1.故填3n －1.类型一等比数列的判定与证明(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0.(1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式；(2)若S 5＝3132，求λ.解：(1)由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0.所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n，由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132，解得λ＝－1.定义法若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列中项公式法若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则{a n }是等比数列通项公式法若数列{a n }的通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ，q均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列前n 项和公式法若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0，1)，则{a n }是等比数列已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，其中λ为实数，n 为正整数．是否存在实数λ，使得数列{a n }是等比数列？解：假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即⎝⎛⎭⎫23λ－32＝λ⎝⎛⎭⎫49λ－4，故49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ，即9＝0，矛盾．所以对任意实数λ，数列{a n }都不是等比数列．类型二等比数列基本量的计算(1)在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为________．解：根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21，所以1＋q ＋q 2q2＝3，整理得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12.故填1或－12.(2)已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)解：设等比数列{a n }的公比为q ，则S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2⎝⎛⎭⎫1＋q ＋1q ＝1＋q ＋1q ，当q >0时，S 3＝1＋q ＋1q ≥1＋2q ·1q ＝3(当且仅当q ＝1时取等号)；当q <0时，S 3＝1－⎝⎛⎭⎫－q －1q ≤1－2（－q ）·⎝⎛⎭⎫－1q ＝－1(当且仅当q ＝－1时取等号)．所以S 3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．故选D .(3)设数列{a n }的前n 项和S n 满足6S n ＋1＝9a n (n ∈N *)．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n }满足b n ＝1a n，求数列{b n }前n 项和T n .解：(Ⅰ)当n ＝1时，由6a 1＋1＝9a 1，得a 1＝13.当n ≥2时，由6S n ＋1＝9a n ，得6S n －1＋1＝9a n －1，两式相减得6(S n －S n －1)＝9(a n －a n －1)，即6a n ＝9(a n －a n －1)，所以a n ＝3a n －1.所以数列{a n }是以13为首项，3为公比的等比数列，其通项公式为a n ＝13×3n －1＝3n －2.(Ⅱ)因为b n ＝1a n ＝⎝⎛⎭⎫13n －2，b 1＝1a 1＝3，所以{b n }是以3为首项，13为公比的等比数列，所以T n ＝3⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝92⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n .【点拨】在等比数列五个基本量a 1，q ，n ，a n ，S n 中，已知其中三个量，可以将已知条件结合等比数列的性质或通项公式、前n 项和公式转化为关于基本量的方程(组)来求得余下的两个量，计算有时要整体代换，根据前n 项和公式列方程还要注意对q 是否为1进行讨论．(1)(2016·绵阳一模)设各项均不为0的数列{a n }满足a n ＋1＝2a n ，S n 是其前n 项和，若a 2a 4＝2a 5，则S 4＝( )A ．4 2B ．8 2C ．3－3 2D ．6＋6 2(2)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝ ( )A ．2B ．1 C.12 D.18(3)(2016·浙江)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________.解：(1)易知q ＝2，由a 2a 4＝2a 5⇒a 23＝2a 5，故a 3＝4，a 1＝2，于是S 4＝2[1－（2）4]1－2＝6＋6 2.故选D .(2)设等比数列{a n }的公比为q ，a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 1q 2×a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，所以116×q 6＝4⎝⎛⎭⎫14×q 3－1，所以q 6－16q 3＋64＝0，所以(q 3－8)2＝0，所以q 3＝8，所以q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12.故选C .(3)a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1⇒a 1＝1，a 2＝3，再由a n ＋1＝2S n ＋1，a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)⇒a n ＋1－a n ＝2a n ⇒a n＋1＝3a n (n ≥2)，又a 2＝3a 1，所以a n ＋1＝3a n (n ≥1)，所以{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以S 5＝1－351－3＝121.故填1；121. 类型三等比数列的性质(1)已知各项均不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.解：因为{a n }为等差数列，所以a 3＋a 11＝2a 7，所以已知等式可化为4a 7－a 27＝0，解得a 7＝4或a 7＝0(舍去)，又{b n }为等比数列，所以b 6b 8＝b 27＝a 27＝16.故填16.(2) 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n >0，q >1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝( )A ．31B ．36C ．42D ．48 解：由等比数列的性质，得a 3a 5＝a 2a 6＝64，于是由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，且a n >0，q >1，得a 3＝4，a 5＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝4，a 1q 4＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2. 所以S 5＝1×（1－25）1－2＝31.故选A .(3)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3＝________.解：由等比数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)，不妨令S 3＝2，则S 6＝1，代入解得S 9＝32，S 9∶S 3＝3∶4.故填3∶4.(4)设数列{a n }，{b n }都是正项等比数列，S n ，T n分别为数列{lg a n }与{lg b n }的前n 项和，且S n T n ＝n2n ＋1，则log b 5a 5＝________.解：由题意知S 9T 9＝lg （a 1·a 2·…·a 9）lg （b 1·b 2·…·b 9）＝lg a 95lg b 95＝lg a 5lg b 5＝log b 5a 5＝919.故填919. 【点拨】(1)在等比数列中，若S n ≠0，则S n ，S 2n－S n ，S 3n －S 2n 成等比数列．(2)等比数列中，依次m 项积仍为等比数列，但公比发生改变．(3)性质“当m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)时，有a m ·a n ＝a p ·a q ”常用来转化条件．(1) 已知数列{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9的值为( )A ．10B ．20C ．100D ．200 解：a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9＝a 7a 1＋2a 7a 3＋a 3a 9＝a 24＋2a 4a 6＋a 26＝(a 4＋a 6)2＝102＝100.故选C .(2)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7 解：设数列{a n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5·a 6＝a 4·a 7＝－8，得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，q 3＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q 3＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，a 10＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 10＝－8，所以a 1＋a 10＝－7.故选D .(3)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________. 解：由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知，S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12.故填－12.(4)在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝________.解：因为1a 7＋1a 10＝a 7＋a 10a 7a 10，1a 8＋1a 9＝a 8＋a 9a 8a 9，由等比数列的性质知a 7a 10＝a 8a 9，所以1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 8a 9＝158÷⎝⎛⎭⎫－98＝－53.故填－53.1．注意等比数列每一项均不为0，q 也不为0. 2．等比数列中，已知五个元素a 1，a n ，n ，q ，S n中的任意三个，便可求出其余两个．可类比上节等差数列“名师点睛”栏1进行探究．3．准确理解等比数列的定义及各公式的等价形式，灵活运用等比数列的性质．4．在含字母参数的等比数列求和时，应分q ＝1与q ≠1两种情况进行讨论．5．学习等比数列，要善于将其与等差数列进行类比，如等差数列中与“和”有关的性质可类比等比数列中与“积”有关的性质，还可对二者的思维形式、方法与技巧进行类比．6．等比数列通项公式的求法有： (1)观察法．(2)公式法：①a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2）；②等比数列{a n }的通项公式． (3)构造法：①a n ＋1＝pa n ＋q; ②a n ＋1＝pa n ＋q n ； ③a n ＋1＝pa n ＋f (n ); ④a n ＋2＝pa n ＋1＋qa n .1．在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( )A.32B.23 C ．－23 D.23或－23解：由⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝18，a 1q 3＝8 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝27，q ＝23或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－27，q ＝－23，又a 1<0，因此q ＝－23.故选C .2．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( )A ．a 1，a 3，a 9成等比数列B ．a 2，a 3，a 6成等比数列C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解：因为在等比数列中a n ，a 2n ，a 3n ，…也成等比数列，所以a 3，a 6，a 9成等比数列．故选D . 3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若8a 2－a 5＝0，则S 4S 2＝( )A ．－8B ．5C ．8D ．15 解：因为在等比数列{a n }中，8a 2－a 5＝0，所以公比q ＝2.所以S 4S 2＝a 1（1－24）1－2a 1（1－22）1－2＝5.故选B .4．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏解：每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n }，则前7项的和S 7＝381，公比q ＝2，依题意，得a 1（1－27）1－2＝381，解得a 1＝3.故选B .5．已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n 是数列{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为( )A.158或4B.4027或4C.4027D.158解：设数列{a n }的公比为q .当q ＝1时，由a 1＝1，得28S 3＝28×3＝84.S 6＝6，两者不相等，因此不合题意．当q ≠1时，由28S 3＝S 6及首项为1，得28（1－q 3）1－q＝1－q 61－q，解得q ＝3.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为1＋13＋19＋127＝4027.故选C .6．若正项数列{a n }满足lg a n ＋1＝1＋lg a n ，且a 2 001＋a 2 002＋a 2 003＋…＋a 2 010＝2 017，则a 2 011＋a 2 012＋a 2013＋…＋a 2 020的值为()A ．2.017×1013B ．2.017×1014C ．2.018×1013D ．2.018×1014 解：由条件知lg a n ＋1－lg a n ＝lg a n ＋1a n ＝1，即a n ＋1a n＝10，所以{a n }是公比为10的等比数列．因为(a 2 001＋a 2 002＋…＋a 2 010)·q 10＝a 2 011＋a 2 012＋…＋a 2 020，所以a 2011＋a 2 012＋…＋a 2 020＝2.017×1013.故选A .7．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________.解：因为在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，因为S n＝126，所以2－2n ＋11－2＝126，解得2n ＋1＝128，所以n ＝6.故填6.8．设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40＝________.解：依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30；又S 20>0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40，故S 40－S 30＝80.S 40＝150.故填150.9．(2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解：(1)由题意得a 2＝12，a 3＝14.(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0，得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12.故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n＝12n －1. 10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，在数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：因为a n ＋S n ＝n ，① 所以a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1，② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，所以2a n ＋1＝a n ＋1，所以2(a n ＋1－1)＝a n －1，又易得a 1＝12，a 1－1＝－12≠0，所以a n ＋1－1a n －1＝12.所以{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)可知c n ＝⎝⎛⎭⎫－12·⎝⎛⎭⎫12n －1＝－⎝⎛⎭⎫12n ，所以a n ＝c n ＋1＝1－⎝⎛⎭⎫12n . 所以当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝⎛⎭⎫12n－⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n ＝⎝⎛⎭⎫12n .又b 1＝a 1＝12代入上式也符合，所以b n ＝⎝⎛⎭⎫12n. (2016·天津)已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，且1a 1－1a 2＝2a 3，S 6＝63.(1)求{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，由已知有1a 1－1a 1q ＝2a 1q 2，解得q ＝2，或q ＝－1，又由S 6＝a 1（1－q 6）1－q＝63知q ≠－1，所以a 1（1－26）1－2＝63，解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1.(2)由题意得b n ＝12(log 2a n ＋log 2a n ＋1)＝12(log 22n －1＋log 22n )＝n －12，b 1＝12，即数列{b n }是首项为12，公差为1的等差数列．设数列{(－1)n b 2n }的前n 项和为T n ，则T 2n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )＝b 1＋b 2＋…＋b 2n ＝2n （b 1＋b 2n ）2＝2n 2.1．在正项等比数列{a n }中，S n 是其前n 项和．若a 1＝1，a 2a 6＝8，则S 8＝( )A ．8B ．15(2＋1)C ．15(2－1)D ．15(1－2)解：因为a 2a 6＝a 24＝8，所以a 21q 6＝8，所以q ＝2，所以S 8＝1－q81－q＝15(2＋1)．故选B .2．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8 解：因为{a n }为等差数列，且a 2，a 3，a 6成等比数列，设公差为d .则a 23＝a 2·a 6，即(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )．又因为a 1＝1，代入上式可得d 2＋2d ＝0. 又因为d ≠0，则d ＝－2.所以S 6＝6a 1＋6×52d ＝1×6＋6×52×(－2)＝－24.故选A .3．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84 解：因为a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，所以3＋3q 2＋3q 4＝21.所以1＋q 2＋q 4＝7，解得q 2＝2或q 2＝－3(舍去)．所以a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42.故选B .4．(2016·天津)设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解：设数列的首项为a 1，则a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2(1＋q )<0，即q <－1.故选C .5．(2016·四川)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年 D ．2021年解：设x 年后该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由题可知，130(1＋12%)x ≥200，解得x ≥log 1.12200130＝lg2－lg1.3lg1.12≈3.80，因为x 为整数，所以x 取4，故开始超过200万元的年份是2019年．故选B .6．若数列{a n }是正项递减等比数列，T n 表示其前n 项的积，且T 8＝T 12，则当T n 取最大值时，n 的值等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12 解：因为T 8＝T 12，所以a 9a 10a 11a 12＝1，又a 9a 12＝a 10a 11＝1，且数列{a n }是正项递减数列，所以a 9>a 10>1>a 11>a 12，因此T 10取最大值．故选B .7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.解：利用“特殊值”法，确定公比．由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2＋q －2)＝0.由q 2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，则S 5＝a 1（1－q 5）1－q ＝1－（－2）53＝11.故填11.8．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于________．解：设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，根据题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2，a 1q 4＝5，解得⎩⎨⎧a 1＝16125，q ＝52，所以a n ＝a 1q n －1＝16125×⎝⎛⎭⎫52n －1＝2×⎝⎛⎭⎫52n －4，所以lg a n ＝lg2＋(n －4)lg 52，所以前8项的和为8lg2＋(－3－2－1＋0＋1＋2＋3＋4)lg 52＝8lg2＋4lg 52＝4lg ⎝⎛⎭⎫4×52＝4.故填4. 9．(2016·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．解：(1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，其通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)和a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n 得b n ＋1＝b n3，因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列．记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝32－12×3n －1.10．已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由题设知a 1a 4＝a 2a 3＝8，又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1(舍去)．设等比数列{a n }的公比为q ，由a 4＝a 1q 3得q ＝2，故a n ＝a 1q n －1＝2n －1.(2)S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝2n－1，又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝⎝⎛⎭⎫1S 1－1S 2＋⎝⎛⎭⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1S n －1S n ＋1 ＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1. (2015·浙江)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1n b n＝b n ＋1－1(n ∈N *)．(1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n . 解：(1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n (n ∈N *)．由题意知，当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2.当n ≥2时，1n b n ＝b n ＋1－b n ，整理得b n ＋1n ＋1＝b n n ，所以b n ＝n (n ∈N *)． (2)由(1)知a n b n ＝n ·2n ，因此T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ， 2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1，所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1，故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N *)．2019年高考数学一轮复习第8 页共8 页。

2019届高考数学一轮复习第五章数列第三节等比数列及其

4．(2017·江苏高考)等比数列{an}的各项均为实数，其前 n 项和为 Sn.已知 S3＝74，S6＝643，则 a8＝________. 解析：设等比数列{an}的公比为 q，则由 S6≠2S3，得 q≠1，
S3＝a111－－qq3＝74，则S6＝a111－－qq6＝643，
2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝ a1qn－1 .
na1 ，q＝1， (2)前 n 项和公式：Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq，q≠1.
3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m (n，m∈N*)． (2)若 m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，
q＝2，解得a1＝14，
则 a8＝a1q7＝14×27＝32. 答案：32
∵an>0，∴q＝2，∴a8＝a3·q5＝27＝128. 答案：C
5．(2017·北京高考)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足 a1＝b1 ＝－1，a4＝b4＝8，则ab22＝________. 解析：设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn}的公比为 q，则 a4＝－1＋3d＝8，解得 d＝3； b4＝－1·q3＝8，解得 q＝－2. 所以 a2＝－1＋3＝2，b2＝－1×(－2)＝2，所以ab22＝1. 答案：1
答案：2
考法(二) 求通项公式或特定项 3．设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，若 a1＝1 且 3S1,2S2，S3 成
等差数列，则 an＝________. 解析：因为 3S1,2S2，S3 成等差数列，所以 2×2(a1＋a2)＝3a1＋a1＋a2＋a3⇒a3＝3a2⇒q＝3，所以 an ＝a1qn－1＝3n－1. 答案：3n－1

2019届高考数学一轮复习第五章数列第3讲等比数列及其前n项和课件文

等比数列的判定方法
(1)定义法：若aan＋n 1＝q(q 为非零常数，n∈N*)或aan－n 1＝q(q 为非零常数且 n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列． (2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0 且 a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成 an＝c·qn(c，q 均是不为 0 的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
na，q＝1，前 n 项和 Sn＝__a_（__11_－－__qq_n_）__，__q_≠__1_______________．
[解析] 当 q＝1 时，Sn＝na，当 q≠1 时，Sn＝a（11－－qqn）.
3．(2018·唐山模拟)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且
a1＋a3＝52，a2＋a4＝54，则Sann＝__2_n_－__1__.
3．等比中项若 G2＝a·b(ab≠0)，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项． 4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)． (2)若{an}为等比数列，且 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则
am·an＝___a_p_·a__q ___．
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，a1n， {a2n}，{an·bn}，abnn仍是等比数列．
(4)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 仍成等比数列，其公比为 qn(当{an}的公比 q＝－1 时，n 不取偶数)．
5．等比数列的前 n 项和公式
等比数列{an}的公比为 q(q≠0)，其前 n 项和为 Sn，当 q＝1 时，Sn＝na1；当 q≠1 时，Sn＝a1（11－－qqn）＝__a_11_－－__aqn_q___．

高考数学一轮复习第5章数列第3节等比数列及其前n项和教学案理(含解析)新人教A版-新人教A

第三节等比数列及其前n 项和[考纲传真] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的数学表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇒a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1＝a m qn －m.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q q ≠1.[常用结论]1．在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .2．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍然是等比数列．3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n，其中当公比为－1时，n 为偶数时除外．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( )(3)若{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( )(4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a 1－a n1－a.( )[答案](1)× (2)× (3)× (4)×2．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12D [由通项公式及已知得a 1q ＝2①，a 1q 4＝14②，由②÷①得q 3＝18，解得q ＝12.故选D.]3．已知数列{a n }满足a n ＝12a n ＋1，若a 3＋a 4＝2，则a 4＋a 5＝( )A.12 B ．1 C ．4 D ．8 C [∵a n ＝12a n ＋1，∴a n ＋1a n＝2.∴a 4＋a 5＝2(a 3＋a 4)＝2×2＝4.故选C.]4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A.13 B ．－13 C.19 D ．－19C [∵S 3＝a 2＋10a 1，∴a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，∴a 3＝9a 1，即公比q 2＝9，又a 5＝a 1q 4，∴a 1＝a 5q 4＝981＝19.故选C.] 5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝__________. 6 [∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．又∵S n ＝126，∴21－2n1－2＝126，解得n ＝6.]等比数列的基本运算1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6B [因为3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，所以两式相减，得3(S 3－S 2)＝(a 4－2)－(a 3－2)，即3a 3＝a 4－a 3，得a 4＝4a 3，所以q ＝a 4a 3＝4.]2．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 2＝________.－3或32 [法一：∵数列{a n }是等比数列，∴当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，显然S 3＝3a 3＝92.当q ≠1时，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q 31－q ＝92，a 1q 2＝32，解得q ＝－12或q ＝1(舍去)．∴a 2＝a 3q ＝32×(－2)＝－3.综上可知a 2＝－3或32.法二：由a 3＝32得a 1＋a 2＝3.∴a 3q 2＋a 3q＝3，即2q 2－q －1＝0， ∴q ＝－12或q ＝1.∴a 2＝a 3q ＝－3或32.]3．(2019·某某模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n 且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝________.2n－1 [设等比数列的公比为q ，则 (a 1＋a 3)q ＝(a 2＋a 4)，即q ＝5452＝12，由a 1＋a 3＝a 1(1＋q 2)＝52可知a 1＝2.∴a n ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝12n －2.S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n .∴S n a n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 12n －2＝2n －1.] [规律方法]1等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程组便可迎刃而解.2等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和等比数列的判定与证明【例1】 (2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a n n. (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式． [解](1)由条件可得a n ＋1＝2n ＋1na n . 将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以，a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以，a 3＝12.从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn ，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.[规律方法]1证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 2利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1－2a n ，(1)求证：{b n }是等比数列． (2)求{a n }的通项公式．[解](1)因为a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n ，所以b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n＝4a n ＋1－4a n －2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－4a na n ＋1－2a n＝2.因为S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，所以a 2＝5. 所以b 1＝a 2－2a 1＝3.所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列． (2)由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，所以a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列．所以a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14，所以a n ＝(3n －1)·2n －2.等比数列性质的应用【例2】 (1)等比数列{a n }中，已知a 1＋a 3＝8，a 5＋a 7＝4，则a 9＋a 11＋a 13＋a 15的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．5(2)(2019·某某调研)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ·a m ＋2＝2a m ＋1(m ∈N *)，数列{a n }的前n 项积为T n ，且T 2m ＋1＝128，则m 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6(3)等比数列{a n }满足a n ＞0，且a 2a 8＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋…＋log 2a 9＝________. (1)C (2)A (3)9 [(1)因为{a n }为等比数列，所以a 5＋a 7是a 1＋a 3与a 9＋a 11的等比中项，所以(a 5＋a 7)2＝(a 1＋a 3)(a 9＋a 11)，故a 9＋a 11＝a 5＋a 72a 1＋a 3＝428＝2；同理，a 9＋a 11是a 5＋a 7与a 13＋a 15的等比中项，所以(a 9＋a 11)2＝(a 5＋a 7)(a 13＋a 15)，故a 13＋a 15＝a 9＋a 112a 5＋a 7＝224＝1. 所以a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝2＋1＝3.(2)因为a m ·a m ＋2＝2a m ＋1，所以a 2m ＋1＝2a m ＋1，即a m ＋1＝2，即{a n }为常数列．又T 2m ＋1＝(a m ＋1)2m ＋1，由22m ＋1＝128，得m ＝3，故选A.(3)由题意可得a 2a 8＝a 25＝4，a 5＞0，所以a 5＝2，则原式＝log 2(a 1a 2……a 9)＝9log 2a 5＝9.] [规律方法]1在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度.2等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形；二是等比中项的变形；三是前n 项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.(1)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________. (2)(2019·某某模拟)在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝________.(1)－12 (2)－53 [(1)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠1，S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，所以q ＝－12.(2)因为1a 7＋1a 10＝a 7＋a 10a 7a 10，1a 8＋1a 9＝a 8＋a 9a 8a 9，由等比数列的性质知a 7a 10＝a 8a 9，所以1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 8a 9＝158÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－98＝－53.]1．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏D ．9盏B [设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则由题意知S 7＝381，q ＝2，∴S 7＝a 11－q 71－q ＝a 11－271－2＝381，解得a 1＝3.故选B.]2．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63D ．84B [∵a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，∴3＋3q 2＋3q 4＝21. ∴1＋q 2＋q 4＝7.解得q 2＝2或q 2＝－3(舍去)． ∴a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42.故选B.]3．(2017·全国卷Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________. －8 [设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3， ∴a 1(1＋q )＝－1，①a 1(1－q 2)＝－3.②②÷①，得1－q ＝3，∴q ＝－2.∴a 1＝1，∴a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.]4．(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．64 [设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝q (a 1＋a 3)＝5，知q ＝12.又a 1＋a 1q 2＝10，∴a 1＝8. 故a 1a 2…a n ＝a n 1q1＋2＋…＋(n －1)＝23n·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1n2＝23n －n 22＋n2＝2－n 22＋72n .记t ＝－n 22＋7n2＝－12(n 2－7n )，结合n ∈N *可知n ＝3或4时，t 有最大值6.又y ＝2t 为增函数，从而a 1a 2…a n 的最大值为26＝64.]5．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . [解](1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝qn －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－－2n3.由S m ＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若a n ＝2n －1，则S n ＝2n－1.由S m ＝63得2m＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.。

2019版高考数学一轮复习第五章数列第3讲等比数列配套课件理

思想与方法
⊙分类讨论思想在数列中的应用
例题：(2015年福建)若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p>0，
q>0)的两个不同的零点，且 a，b，－2 这三个数可适当排序后
成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p＋q 的值等于
()
A.6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B.7
C.8
D.9
解析：由根与系数的关系，得 a＋b＝p，a·b＝q，则 a>0， b>0.
答案：1 121
(4)(2017 年江苏)等比数列{an}的各项均为实数，其前 n 项的和为 Sn，已知 S3＝74， S6＝643，则 a8＝________.
解析：设等比数列{an}的公比为 q.当 q＝1 时，显然不符合
题意；当 q≠1 时，aa111111－－－－qqqq36＝＝7464， 3，
【互动探究】
2.(2017年新课标Ⅱ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.
(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式； (2)若T3＝21，求S3. 解：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1. 由a2＋b2＝2，得d＋q＝3. ①
a4，a8 是方程 x2－3x＋2＝0 的两根，则 a6 的值是( )
A.± 2
B.－ 2
C. 2
D.±2
解析：因为 a4，a8 是方程 x2－3x＋2＝0 的两根，所以 a4a8 ＝2.所以 a26＝a4a8＝2.又由等比数列性质可得 a4，a6，a8 同号，所以 a6＝ 2.
答案：C
(2)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________.

2019年高三一轮总复习理科数学课件：5-3等比数列及其前n项和 (数理化网)

33
【解析】 (1)由等差数列的性质，得 a6＋a8＝2a7.由 a6－a27＋a8＝0，可得 a7＝2，所以 b7＝a7＝2.由等比数列的性质得 b2b8b11＝b2b7b12＝b37＝23＝8.
(2)设数列{an}的公比为 q，由已知得SS42＝1＋aa31＋＋aa42＝5，即 1＋q2＝5，所以 q2＝4， SS84＝1＋aa15＋＋aa26＋＋aa37＋＋aa48＝1＋q4＝1＋16＝17.
9
2．辨明三个易误点 (1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为 0，因此 q 也不能为 0，但 q 可为正数，也可为负数． (2)由 an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证 a1≠0. (3)在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对 q＝1 与 q≠1 分类讨论，防止因忽略 q＝1 这一特殊情形而导致解题失误．
8
「应用提示研一研」
1．等比数列{an}的单调性
(1)满足a1>0， q>1
或a1<0， 0<q<1
时，{an}是递增数列．
(2)满足a1>0， 0<q<1
或a1<0， q>1
时，{an}是递减数列．
(3)当aq1＝≠10，时，{an}为常数列． (4)当 q<0 时，{an}为摆动数列．
32
等比数列的性质
[典例导引]
(1)(2017 届湖南师大附中月考)已知各项不为 0 的等差数列{an}满足 a6
－a27＋a8＝0，数列{bn}是等比数列，且 b7＝a7，则 b2b8b11＝( )
A．1
B．2
C．4
D．8
(2)若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且SS42＝5，则SS84＝________.

高考数学一轮复习第五章数列 5.3 等比数列及其前n项和课件

(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列.( × )
(5)数列{an}的通项公式是
an＝an，则其前
n
项和为
a1－an Sn＝ 1－a .(
×
)
(6)数列{an}为等比数列，则 S4，S8－S4，S12－S8 成等比数列.( × )
答案
2
考点自测
1.(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则 a3＋a5＋a7等于( B )
A.6
B.5
C.4
D.3
解析数列{lg an}的前8项和S8＝lg a1＋lg a2＋…＋lg a8＝lg(a1·a2·…·a8) ＝lg(a1·a8)4 ＝lg(a4·a5)4＝lg(2×5)4＝4.
1 2345
解析答案
4.(2015·安徽)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于 2n－1 . 解析由等比数列性质知a2a3＝a1a4，又a2a3＝8，a1＋a4＝9，
A.21
B.42
C.63
D.84
解析设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，
于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B.
1 2345
解析答案
2.设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6等于( C )
第五章数列
§5.3 等比数列及其前n项和
内容索引
基础知识自主学习题型分类深度剖析思想与方法系列思想方法感悟提高练出高分

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